2019—2020学年度济南市槐荫区第一学期初三期末考试初中数学

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，直线AC,DF 被三条平行线所截，若 DE:EF=1:2，AB=2，则AC 的值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．52【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC ，计算即可．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴12AB DE BC EF == ， 又∵AB=2，∴BC=4，∴AC=AB+BC=1．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．一元二次方程x 2-2x+1=0的根的情况是（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根 【答案】B【解析】△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴原方程有两个相等的实数根．故选B ．【点睛】，本题考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为( )A ．()2514y x =-++B ．()2512y x =-++C ．()2512y x =--+D ．()2514y x =--+ 【答案】B 【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.【详解】将抛物线253y x =-+向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为： ()2513-1=y x =-++()2512x -++故选：B【点睛】本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式. 4．抛物线2(1)2y x =+-的对称轴是直线（ ）A ．x=-2B ．x=-1C ．x=2D ．x=1 【答案】B【解析】令10,x += 解得x=-1,故选B.5．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )A ．y=2(x+1)2+3B ．y=2(x －1)2－3C ．y=2(x+1)2－3D ．y=2(x －1)2+3 【答案】A【分析】抛物线平移不改变a 的值．【详解】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，1）．可设新抛物线的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入得：y=2（x+1）2+1．故选：A ．6．若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（ ）A ．4B ．2C ．20D ．14 【答案】A【分析】根据比例的性质得到34b a =，结合14a b +=求得,a b 的值，代入求值即可．【详解】解：由a ：b ＝3：4:3:4a b =知34b a =， 所以43a b =． 所以由14a b +=得到：4143a a +=， 解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．【点睛】 考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若a c b d=，则ad bc =． 7．如图的几何体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】从正面看所得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：主视图就是从正面看到的图形，因此A 图形符合题意，故选：A ．【点睛】此题主要考查三视图，解题的关键是熟知三视图的定义．8．如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 【答案】D【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.【详解】由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE AC BC =， 故选D .【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '.9．一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，有人统（总）计一共握了45次手，这次参加会议到会的人数是x 人，可列方程为：（ ）A ．(1)45x x +=B ．1(1)452x x -=C ．1(1)452x x +=D ．(1)45x x -=【答案】B【分析】设这次会议到会人数为x，根据每两个参加会议的人都相互握了一次手且整场会议一共握了45次手，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设这次会议到会人数为x，依题意，得：1(1)452x x-=．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如图所示，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D=50°，则∠BOF为( )A．35°B．30°C．25°D．20°【答案】C【解析】试题分析：CD∥AB，∠D=50°则∠BOD=50°．则∠DOA=180°-50°=130°．则OE平分∠AOD，∠EOD=65°．∵OF⊥OE，所以∠BOF=90°-65°=25°．选C．考点：平行线性质点评：本题难度较低，主要考查学生对平行线性质及角平分线性质的掌握．11．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤23AM MF=．其中正确结论的是（）A．①③④B．②④⑤C．①③⑤D．①③④⑤【答案】D【解析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB ，然后求出∠BAF≠∠EDB ，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED 、△MAD 、△MEA 三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得2AM MD AD EM AM AE===，然后求出MD=2AM=4EM ，判断出④正确，设正方形ABCD 的边长为2a ，利用勾股定理列式求出AF ，再根据相似三角形对应边成比例求出AM ，然后求出MF ，消掉a 即可得到AM=23MF ，判断出⑤正确；过点M 作MN ⊥AB 于N ，求出MN 、NB ，然后利用勾股定理列式求出BM ，过点M 作GH ∥AB ，过点O 作OK ⊥GH 于K ，然后求出OK 、MK ，再利用勾股定理列式求出MO ，根据正方形的性质求出BO ，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD 中，AB=BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE=BF=12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，AE BF ABC BAD AB AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABF ≌△DAE （SAS ），∴∠BAF=∠ADE ，∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF ）=180°-90°=90°，∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；∵DE 是△ABD 的中线，∴∠ADE≠∠EDB ，∴∠BAF≠∠EDB ，故②错误；∵∠BAD=90°，AM ⊥DE ，∴△AED ∽△MAD ∽△MEA ， ∴2AM MD AD EM AM AE=== ∴AM=2EM ，MD=2AM ，∴MD=2AM=4EM ，故④正确；设正方形ABCD 的边长为2a ，则BF=a ，在Rt △ABF 中，==∵∠BAF=∠MAE ，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME ∽△ABF ，∴AM AE AB AF=，即25AMa a=，解得AM=255a∴MF=AF-AM=25355=a aa-，∴AM=23MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则MN AN AMBF AB AF==即25525MN ANa a a==解得MN=a52，AN=45a，∴NB=AB-AN=2a-45a=65a，根据勾股定理，222262210555NB MN a a a⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK=a-a52=a53，MK=65a-a=15a，在Rt△MKO中，22221310555MK OK a a a⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据正方形的性质，BO=2a×222a=，∵BM2+MO2=222210102a⎫⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222BO a a==∴BM 2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．12．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解．把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．考点：平行投影．二、填空题（本题包括8个小题）13．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力和阻力臂分别是90N和0.3m，则动力1F（单位：N）与动力臂1L（单位：m）之间的函数解析式是__________．【答案】1127FL=【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而代入已知数据即可得解．【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴11900.3F L⨯=⨯∴1127FL=故答案为：1127FL=．本题考查的知识点是用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是要知道阻力×阻力臂=动力×动力臂．14．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是___cm．【答案】13.【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OB，从而求出EC，再根据勾股定理即可求出BC，根据三线合一即可求出BF，最后再利用勾股定理即可求出OF.【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝12BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，解得：OB＝132，∴AC=2OA=2OB=13cm则EC＝AC﹣AE＝9cm，BC＝22E BEC+＝2296+＝313cm，∵OF⊥BC，OB=OC∴BF＝12BC＝313cm，∴OF＝22BFOB-＝221331322⎛⎫⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝13cm，故答案为13．此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.15．点（2，5）在反比例函数k y x =的图象上，那么k ＝_____． 【答案】1 【分析】直接把点（2，5）代入反比例函数k y x=求出k 的值即可． 【详解】∵点（2，5）在反比例函数k y x=的图象上， ∴5＝2k ， 解得k ＝1．故答案为：1．【点睛】此题考查求反比例函数的解析式，利用待定系数法求函数的解析式.16．一元二次方程的x 2+2x ﹣10＝0两根之和为_____．【答案】﹣2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】x 2+2x ﹣10＝0的两根之和为﹣2，故答案为：﹣2【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.17．如图,点()()()111222,,,,,,n n n P x y P x y P x y 在函数()10y x x=>的图象上, 11212,,POA P A A 3231,,n n n P A A P A A -都是等腰直角三角形.斜边112231,,,,n n OA A A A A A A -都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数),点n P 的坐标是______．【答案】1,1()n n n n --【分析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标．【详解】解：过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ， ∵△P 1OA 1是等腰直角三角形，∴P 1E=OE=A 1E=12OA 1， 设点P 1的坐标为（a ，a ），（a ＞0）， 将点P 1（a ，a ）代入1y x=，可得a=1， 故点P 1的坐标为（1，1），则OA 1=2，设点P 2的坐标为（b+2，b ），将点P 2（b+2，b ）代入1y x =，可得b=21-， 故点P 2的坐标为（21+，21-），则A 1F=A 2F=21-，OA 2=OA 1+A 1A 2=22，设点P 3的坐标为（c+22，c ），将点P 3（c+22，c ）代入1y x=， 可得c=32-，故点P 3的坐标为（32+，32-），综上可得：P 1的坐标为（1，1），P 2的坐标为（21+，21-），P 3的坐标为（21+，21-）， 总结规律可得：P n 坐标为1,1()n n n n +---；故答案为：1,1()n n n n +---. 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律是解题的关键.18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上，过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．【答案】（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．三、解答题（本题包括8个小题）19．计算：22sin30cos60cos 45︒+︒-︒；【答案】1【分析】根据特殊角的三角函数值代入即可求解.【详解】22sin30cos60cos 45︒+︒-︒21122222⎛⎫=⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭ 11122=+- 1=【点睛】此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.20．如图，AB 是⊙O 的直径，BM 切⊙O 于点B ，点P 是⊙O 上的一个动点(点P 不与A ，B 两点重合)，连接AP ，过点O 作OQ ∥AP 交BM 于点Q ，过点P 作PE ⊥AB 于点C ，交QO 的延长线于点E ，连接PQ ，OP ．(1)求证：△BOQ ≌△POQ ；(2)若直径AB 的长为1．①当PE ＝ 时，四边形BOPQ 为正方形；②当PE ＝ 时，四边形AEOP 为菱形．【答案】（1）见解析；（2）①6，②3【分析】(1)根据切线的性质得∠OBQ ＝90°，再根据平行线的性质得∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，加上∠OPA ＝∠OAP ，则∠POQ ＝∠BOQ ，于是根据“SAS”可判断△BOQ ≌△POQ ；(2)①利用△BOQ ≌△POQ 得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，由于OB ＝OP ，所以当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，于是PE ＝PO ＝6；②根据菱形的判定，当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，则OC ＝12OA ＝3，然后利用勾股定理计算出PC ，从而得到PE 的长． 【详解】(1)证明：∵BM 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BQ ，∴∠OBQ ＝90°，∵PA ∥OQ ，∴∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，而OA ＝OP ，∴∠OPA ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 和△POQ 中OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ ；(2)解：①∵△BOQ ≌△POQ ，∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝6； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝3， ∴PC=∴PE ＝2PC ＝．故答案为6，【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．21．如图，BC 是O 的弦，OD BC 于E ，交O 于D ，若8,2BC ED ==，求O 的半径.【答案】5.【分析】连接OB ，由垂径定理得BE=CE=4，在Rt OEB 中，根据勾股定理列方程求解.【详解】解：连接OB,8OD BC BC ⊥= 142BE CE BC ∴==＝ 设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-在Rt OEB 中，由勾股定理得222OE BE OB =＋，即()22242R R +=- 解得5R ＝O ∴的半径为5【点睛】本题考查了圆的垂径定理，利用勾股定理列方程求解是解答此题的关键.22．已知抛物线y ＝x 2+bx ﹣3经过点A （1，0），顶点为点M ．（1）求抛物线的表达式及顶点M 的坐标；（2）求∠OAM 的正弦值．【答案】（1）M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）．【解析】（1）把A 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x 轴的交点B 坐标，根据题意得到三角形AMB 为直角三角形，由MB 与AB 的长，利用勾股定理求出AM 的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．【详解】解：（1）由题意，得1＋b ﹣3＝0，解这个方程，得，b ＝2，所以，这个抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x ﹣3，所以y ＝（x ＋1）2﹣4，则顶点M 的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1，设直线x ＝-1与x 轴的交点为点B ，则点B 的坐标为（﹣1，0），且∠MBA ＝90°，在Rt △ABM 中，MB ＝4，AB ＝2，由勾股定理得：AM 2＝MB 2＋AB 2＝16＋4＝20，即AM ＝2， 所以sin ∠OAM ＝＝． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE BC ∥，:2:5AD AB =，4ADE S ∆=.求四边形BCED 的面积.【答案】21.【分析】利用平行判定ADE ABC ∆∆∽，然后利用相似三角形的性质求得425ADE ABC S S ∆∆=，从而求得25ABC S ∆=，使问题得解.【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠.∴ADE ABC ∆∆∽. ∵25AD AB =， ∴425ADE ABC S S ∆∆=. ∵4ADE S ∆=，∴25ABC S ∆=.∴=21BCED S 四边形.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是本题的解题关键. 24．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y ＝k x（k≠0，x ＞0）过点D ．（1）写出D 点坐标；（2）求双曲线的解析式；（3）作直线AC 交y 轴于点E ，连结DE ，求△CDE 的面积．【答案】（1）点D 的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y ＝2x；（1）△CDE 的面积是1． 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；（2）求出点D 的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；（1）观察图形，可用割补法将CDE ∆分成ADE ∆与ACD ∆两部分，以AD 为底，分别以E 到AD 的距离和C 到AD 的距离为高求解即可.【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1）， ∴点D 的坐标是（1，2），（2）∵双曲线y ＝k x （k≠0，x ＞0）过点D （1，2）， ∴2＝1k ，得k ＝2， 即双曲线的解析式是：y ＝2x； （1）∵直线AC 交y 轴于点E ，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D 的坐标是（1，2），∴AD＝2，点E到AD的距离为1，点C到AD的距离为2，∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝212222⨯⨯+＝1+2＝1，即△CDE的面积是1．【点睛】本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B 的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝1．（1）填空：点B的坐标为（用含m的代数式表示）；（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为12时，求m的值．【答案】（1）（m﹣1，0）；（3）①y＝18（x﹣m）（x﹣m+1）；②m的值为：3+32或3﹣32或3≤m≤3．【分析】（1）A的坐标为（m，0），AB=1，则点B坐标为（m-1，0）；（3）①S△ABP=12•AB•y P=3y P=8，即：y P=1，求出点P的坐标为（1+m，1），即可求解；②抛物线对称轴为x=m-3．分x=m-3≥1、0≤x=m-3≤1、x=m-3≤0三种情况，讨论求解.【详解】解：（1）A的坐标为（m，0），AB＝1，则点B坐标为（m﹣1，0），故答案为（m﹣1，0）；（3）①S△ABP＝12AB•y P＝3y P＝8，∴y P＝1，把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，此时，直线AP表达式中的k值为1，设：直线AP的表达式为：y＝x+b，把点A坐标代入上式得：m+b＝0，即：b＝﹣m，则直线AP的表达式为：y＝x﹣m，则点P的坐标为（1+m，1），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m+1），把点P坐标代入上式得：a（1+m﹣m）（1+m﹣m+1）＝1，解得：a＝18，则抛物线表达式为：y＝18（x﹣m）（x﹣m+1），②抛物线的对称轴为：x＝m﹣3，当x＝m﹣3≥1（即：m≥3）时，x＝0时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：18（0﹣m）（0﹣m+1）＝12±，解得：m＝3或3±32，∵m≥3，故：m＝3+32；当0≤x＝m﹣3≤1（即：3≤m≤3）时，在顶点处，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：﹣18（m﹣3﹣m）（m﹣3﹣m+1）＝12，符合条件，故：3≤m≤3；当x＝m﹣3≤0（即：m≤3）时，x＝1时，抛物线上的点到x轴距离为最大值，即：18（1﹣m）（1﹣m+1）＝12±，解得：m＝3或3±32，∵m≤3，故：m＝3﹣32；综上所述，m的值为：3+32或3﹣32或3≤m≤3．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到图象旋转、一次函数基本知识等相关内容，其中（3）中，讨论抛物线对称轴所处的位置与0，1的关系是本题的难点．26．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求cosP的值．【答案】25【分析】作OC⊥AB于C点，根据垂径定理可得AC、CP的长度，在Rt△OCA和Rt△OCP中，运用勾股定理分别求出OC、OP的长度，即可算得cos P∠的值．【详解】解：作OC⊥AB于C点，根据垂径定理，AC＝BC＝4cm，∴CP＝4+2=6cm，在Rt△OCA中，根据勾股定理，得2222OC=OA CA=54=3cm--，在Rt△OCP中，根据勾股定理，得2222OP=OC CP=36=35cm++，故PC25 cos P===PO35∠．【点睛】本题主要考察了垂径定理、勾股定理、求角的余弦值，解题的关键在于运用勾股定理求出图形中部分线段的长度．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，求弧DE的长；（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）弧DE的长为910π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.【解析】(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切. 【详解】(1)连接AE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE；(2)∵AB=AC，AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12×54°=27°，∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，∴弧DE的长=5439 18010ππ⨯⨯=；(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，理由如下：∵∠BAC=54°，∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，∴AB⊥BF，∴BF为⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若270x y -=. 则下列式子正确的是（ ）A ．72x y = B ．27x y = C ．27x y = D ．27x y = 【答案】A 【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y ．A ．72x y =，则2x=7y ，故此选项正确； B ．27x y=，则xy=14，故此选项错误； C ．27x y =，则2y=7x ，故此选项错误； D ．27x y =，则7x=2y ，故此选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．2． “2020年的6月21日是晴天”这个事件是（ ）A ．确定事件B ．不可能事件C ．必然事件D ．不确定事件 【答案】D【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．【详解】“2020年的6月21日是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，故选：D ．【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．3．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，30B ∠=，AD 平分BAC ∠，E 是AD 的中点，若8AB =，则CE 的长为（ ）A ．4B 43C 3D 23 【答案】B 【分析】首先证明AD BD =，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即12CE AD =.【详解】解：90,30,ACB B ∠=︒∠=︒60.CAB ∴∠=︒AD CAB ∠又平分30CAD DAB ∴∠=∠=︒DAB B ∴∠=∠.AD BD ∴=1.2Rt ACD CD AD =在中，设,AD BD x == 则12CD x =, 142AC AB ==在Rt ACD 中，222AC CD AD += 即222142x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解得833x = E 为AD 中点，14323CE AD ∴==故选B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形.4．Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15b =4c =，则cos B 的值是（ ）A 15B．13C15D．14【答案】D【分析】根据勾股定理求出BC的长度，再根据cos函数的定义求解，即可得出答案. 【详解】∵15AB=4，∠C=90°∴221BC AC AB=-=∴14BC cosBAB==故答案选择D.【点睛】本题考查的是勾股定理和三角函数，比较简单，需要熟练掌握sin函数、cos函数和tan函数分别代表的意思.5．抛物线y=x2+2x﹣3的最小值是（）A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4【答案】D【解析】把y=x2+2x﹣3配方变成顶点式，求出顶点坐标即可得抛物线的最小值.【详解】∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣1，﹣1），∵a=1＞0，∴开口向上，有最低点，有最小值为﹣1．故选：D．【点睛】本题考查二次函数最值的求法：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握并灵活运用适当方法是解题关键.6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4，则EF的长是（）A ．83B ．203C ．6D ．10【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得ABDE BC EF =，代入计算即可解答．【详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF =，即243EF =，解得：EF ＝1．故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键．7．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∠ABD ＝60°，CD ＝23，则阴影部分的面积为（）A ．23π B ．π C ．2π D ．4π【答案】A【解析】试题解析：连接OD.∵CD ⊥AB ，132CE DE CD ∴===，故OCE ODE S S =，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又60ABD ∠=，30CDB ∴∠=，60COB ∴∠=，∴OC=2，∴S 扇形OBD 260π22π.3603⨯== 即阴影部分的面积为2π.3 故选A. 点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3【答案】C 【解析】分析：根据直角三角形的性质得出AE=CE=1，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可． 详解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CE 为AB 边上的中线，CE=1，∴AE=CE=1，∵AD=2，∴DE=3，∵CD 为AB 边上的高，∴在Rt △CDE 中，2222=53=4CE DE --，故选C ．点睛：此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=1．9．在二次函数2y x 2x 1=-++的图像中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是A ．x 1<B ．x 1>C ．x 1<-D ．x 1>-【答案】A【解析】∵二次函数2y x 2x 1=-++的开口向下，∴所以在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大．∵二次函数2y x2x1=-++的对称轴是b2x12a2(1)=-=-=⨯-，∴x1<．故选A．10．下列计算，正确的是（）A．a2·a3=a6B．3a2-a2=2 C．a8÷a2=a4D．(a2)3=a6【答案】D【分析】按照整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方依次化简即可得到答案.【详解】A. a2·a3=a5，故该项错误；B.3a2-a2=2a2，故该项错误；C. a8÷a2=a6，故该项错误；D.(a2)3=a6正确，故选：D.【点睛】此题考查整式的化简计算，熟记整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方的计算方法即可正确解答. 11．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴13 BC OBEF EO==，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴136BOBO=+，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．12．如图，⊙O的圆周角∠A =40°，则∠OBC的度数为（）A．80°B．50°C．40°D．30°【答案】B【分析】然后根据圆周角定理即可得到∠OBC的度数，由OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，根据三角形内角和定理计算出∠OBC．【详解】∵∠A=40°．∴∠BOC=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=50°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．二、填空题（本题包括8个小题）13．若抛物线y＝2x2+6x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是_____．【答案】92 m【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵抛物线y=2x2+6x+m与x轴有两个交点，∴△=62﹣4×2m=36﹣8m＞0，∴m92＜．故答案为：m92＜．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键．14．如图，抛物线y＝﹣13（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交BC于点E，连结AP交BC于点F，则PF AF的最大值为_______．【答案】81 40【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN⊥BC，垂足为N．先证明△PNE∽△BOC，由相似三角形的性质可知PN 310，然后再证明△PFN∽△AFC，由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得PFAF的最大值．【详解】∵抛物线y=﹣13(x+1)(x﹣9)与坐标轴交于A、B、C三点，∴A(﹣1，0)，B(9，0)，令x=0，则y=1，∴C(0，1)，∴BC222293310 OB OC+=+=设直线BC的解析式为y=kx+b．∵将B、C的坐标代入得：903k bb+=⎧⎨=⎩，解得k=﹣13，b=1，∴直线BC的解析式为y=﹣13x+1．设点P的横坐标为m，则纵坐标为﹣13(m+1)(m﹣9)，点E(m，﹣13m+1)，∴PE=﹣13(m+1)(m﹣9)﹣(﹣13m+1)=﹣13m2+1m．作PN⊥BC，垂足为N．∵PE∥y轴，PN⊥BC，∴∠PNE=∠COB=90°，∠PEN=∠BCO．∴△PNE∽△BOC．∴PNPE=OBBC=310=310．∴PN=310PE=310(-13m2+1m)．∵AB2=(9+1)2=100，AC2=12+12=10，BC2=90，∴AC2+BC2=AB2．∴∠BCA=90°，又∵∠PFN=∠CFA，∴△PFN∽△AFC．∴PFAF=PNAC=23101(3)10310m m-+﹣110m2+910m=﹣110(m﹣92)2+8140．∵110a=-<，∴当m92=时，PFAF的最大值为8140．故答案为：8140．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得PFAF与m的函数关系式是解题的关键．15．如图，点p是∠a的边OA上的一点，点p的坐标为（12,5），则tanα=_____．【答案】512【分析】根据题意过P作PE⊥x轴于E，根据P（12，5）得出PE=5，OE=12，根据锐角三角函数定义得出PEtanOEα=，代入进行计算求出即可．【详解】解：过P作PE⊥x轴于E，∵P（12，5），∴PE=5，OE=12，∴512PEtanOEα==．故答案为：512．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，注意掌握在Rt△ACB中，∠C=90°，则AC BC ACsinB cosB tanBAB AB BC===，，．16．如图，在平面直角坐标系中，点()3,0A，点()0,1B，作第一个正方形111OA C B且点1A在OA上，点1B在OB上，点1C在AB上；作第二个正方形1222A A C B且点2A在1A A上，点2B在12A C上，点2C在AB 上…，如此下去，其中1C纵坐标为______，点nC的纵坐标为______．33-33n-⎝⎭【分析】先确定直线AB的解析式，然后再利用正方形的性质得出点C1和C2的纵坐标，归纳规律，然后按规律求解即可．【详解】解：设直线AB的解析式y=kx+b则有：301k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：31kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线仍的解析式是：3y=1x-+设C1的横坐标为x，则纵坐标为3y=13x-+∵正方形OA1C1B1∴x=y，即313x x=-+，解得33313x-==+∴点C1的纵坐标为33-同理可得：点C2的纵坐标为6232-=233⎛⎫-⎪⎝⎭∴点C n的纵坐标为33n⎛⎫-⎪⎝⎭．故答案为：33-，332n⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特点等知识，掌握数形结合思想是解答本题的关键．17．如图，已知点A，C在反比例函数(0)ay ax=>的图象上，点B，D在反比例函(0)by bx=<的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=5，CD=4，AB与CD的距离为6，则a−b的值是_______.【答案】403【分析】利用反比例函数k的几何意义得出a-b=4•OE，a-b=5•OF，求出45a b a b--+=6，即可求出答案．【详解】如图，∵由题意知：a-b=4•OE ，a-b=5•OF ， ∴OE=4a b-，OF=5a b -， 又∵OE+OF=6，∴45a b a b --+=6， ∴a-b=403，故答案为：403．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程45a b a b--+=6是解此题的关键． 18．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．【答案】4223-【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，。

济南市2019-2020年度九年级上学期期末数学试题D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 在中，，是边的中点，以为圆心，长为半径作，则、、、四点中，在圆内的有（）A．个B．个C．个D．个2 . 如图，老师出示了小黑板上的题目后，小敏回答：“方程有一根为4”，小聪回答：“方程有一根为－1”．则你认为（）A．只有小敏回答正确B．只有小聪回答正确C．小敏、小聪回答都正确D．小敏、小聪回答都不正确3 . 九年级一班和二班每班选8名同学进行投篮比赛，每名同学投篮10次，对每名同学投中的次数进行统计，甲说：“一班同学投中次数为6个的最多”乙说：“二班同学投中次数最多与最少的相差6个．”上面两名同学的议论能反映出的统计量是（）A．平均数和众数B．众数和极差C．众数和方差D．中位数和极差4 . 袋子内有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是A．B．C．D．5 . 抛物线的顶点坐标是（）A．(2, 1)B．(2, -1)C．(-2, 1)D．(-2, -1)6 . 如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°7 . 圆锥的母线长为8cm，底面半径为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．96πcm2B．60πcm2C．48πcm2D．24πcm28 . 如图，点的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），若点的横坐标的最小值为0，则点的横坐标最大值为（）A．6B．7C．8D．9二、填空题9 . 关于的方程的根是_________________．10 . 同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚硬币落地后，都是正面朝上的概率是______.11 . 某公司招聘一名公关人员甲，对甲进行了笔试和面试，其面试和笔试的成绩分别为86分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，则甲的平均成绩为__分．12 . 对于实数、，我们定义符号的意义为：时，；当时，；如：，.解答下列问题：（1）______．（2）若关于的函数为，则函数的最小值是______．13 . 如图，一段抛物线y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（37，m）在此“波浪线”上，则m的值为______．14 . 已知二次函数y＝ax2﹣bx+c的y与x的部分对立值如表：x﹣1013y﹣3131下列结论①抛物线的开口向下：②其图象的对称轴为x＝1：③当x＜1时．函数值y随x的增大而增大，④方程ax2+bx+c＝0有一个根大于4．其中正确的结论有_____15 . 2016年11月11日，某网站销售额1207亿人民币. 2018年，销售额增长到2135亿人民币，设这两年销售额的平均增长率为，则根据题意可列出方程______.16 . 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（4,a）且（a>2）半径为4，函数的图像被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是____________．三、解答题17 . 适当的学前教育对幼儿智力及其日后的发展有很大的作用，积木玩具对孩子的学前教育帮助非常大，孩子会因好奇和本能去探索这个世界．某网店店主经营某种品牌积木玩具，购进时的单价是20元/件，根据市场调查：在一段时间内，销售量（件）与销售单价（元/件）满足函数关系（如图所示）．若该店主销售玩具的售价高于进价，但不高于40元．（1）求与之间的函数关系式；（2）若该店主想获得9000元的利润，该品牌积木玩具的销售单价应定为多少元?（3）若玩具厂规定该店销量不少于540件的情况下，求该店主将销售单价定为多少时，该品牌积木玩具获得的利润最大，最大利润是多少？18 . 解方程（1）x2﹣4x﹣4＝0（2）2（x+5）2＝x（x+5）19 . 已知k为实数，关于x的一元二次方程（k+3）x²-2（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根。

2022-2023学年山东省济南市槐荫区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的．）1．已知23(0)x y xy =≠，则下列比例式成立的是( )A ．32x y =B ．32x y= C ．23xy = D ．32yx =2．反比例函数12y x =经过经过下面哪一个点( )A ．(4,3)−B ．(2,6)−−C ．(2,6)−D ．(1,12)−3．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则tan A 的值是( )A ．35B ．34C ．53D ．434．二次函数23(1)7y x =−+−的顶点坐标是( )A ．(1,7)B ．(1,7)−C ．(1,7)−D ．(1,7)−−5．反比例函数ky x =的图象经过点(2,1)−，则下列说法错误的是( )A ．2k =−B ．函数图象分布在第二、四象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小6．如图，若AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，50ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数为()A ．40︒B ．50︒C ．35︒D ．55︒7．若两个相似三角形的面积比是1:9，则它们对应边的中线之比为( )A ．1:9B ．3:1C ．1:3D ．1:818．如图所示，若DAC ABC ∆∆∽，则需满足( )A ．2CD AD DB =⋅ B ．2AC BC CD =⋅ C ．AC AB CD BC = D ．CD BC DA AC= 9．下列关于抛物线223y x x =+−的说法正确的是①开口方向向上；②对称轴是直线2x =−；③当1x <−时，y 随x 的增大而减小；④当1x <−或3x >时，0y >．( )A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④10．如图，ACB ∆中，4CA CB ==，90ACB ∠=︒，点P 为CA 上的动点，连BP ，过点A 作AM BP ⊥于M ．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为( )A ．22πB ．2πC ．3πD ．2π二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11．已知锐角α满足1cos 2α=，则锐角α的度数是 度． 12．如图，O 的内接四边形ABCD 中，50D ∠=︒，则B ∠的度数为 ．13．将抛物线2y x =向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．14．如图是反比例函数3y x =和(3)k y k x=>在第一象限的图象，直线//AB x 轴，并分别交两条双曲线于A 、B 两点，若4AOB S ∆=，则k = ．15．如图，AB 是O 的切线，B 为切点，OA 与O 交于点C ，以点A 为圆心、以OC 的长为半径作EF ，分别交AB ，AC 于点E ，F ．若2OC =，4AB =，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，已知抛物线2132y x x =−与直线2y x =交于O ，A 两点．点B 是抛物线上O ，A 之间的一个动点，过点B 分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA 交于点C ，E ，以BC ，BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为(,)m n ，则m 关于n 的函数关系式是 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：2tan 45sin30cos60cos 45︒−︒︒−︒．18．已知一个二次函数2y x bx c =++的图象经过点(2,2)和(1,5)．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数图象的顶点坐标．19．如图，在ABC ∆中，8BC =，4AC =，D 是BC 边上的点，2CD =．求证：2AB AD =．20．如图所示的拱桥， 用AB 表示桥拱 ．（1）若AB所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高(AB的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R．21．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43︒，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35︒，求MN的长．（参考数据：tan430.9︒≈，结果保留整数）︒≈，tan350.7︒≈，sin430.7︒≈，cos350.822．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个)与销售单价x（元)有如下关系：280(2040)=−+，设这种健身球每天的销售利润为w元y x x（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23．如图，AB为O的直径，DE切O于点E，BD DE⊥于点D，交O于点C，连接BE．（1）求证：BE平分ABC∠；（2）若10BC=，求CD的长．AB=，624．已知(4,2)A −、(,4)B n −两点是一次函数y kx b =+和反比例函数m y x=的图象的两个交点，点P 的坐标为(,0)p ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求AOB ∆的面积．（3）观察图象，直接写出不等式0m kx b x+−>的解集； （4）若ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形时，请直接写出p 的值．25．【问题呈现】如图1，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，连接BD ，CE ．易知BD CE= ． 【类比探究】如图2，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒．连接BD ，CE ．则BD CE= ． 【拓展提升】如图3，ABC ∆和ADE ∆都是直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，且34AB AD BC DE ==，连接BD ，CE ．（1）求BD CE的值； （2）延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin BFC ∠的值．26．若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,0)A −，(0,4)B −，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x ⊥轴于点N ．①若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；②以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的．）1．解：根据等式性质2，可判断出只有B 选项正确．故选：B ．2．解：当4x =时，1234y ==， 故A 选项不符合题意；当2x =−时，1262y ==−−， 故B 选项符合题意；当2x =时，1262y ==， 故C 选项不符合题意；当1x =时，12121y ==， 故D 选项不符合题意；故选：B ．3．解：3AC =，4BC =，90C ∠=︒， 4tan 3BC A AC ∴==， 故选：D ．4．解：二次函数解析式为：23(1)7y x =−+−，∴顶点坐标(1,7)−−，故选：D ．5．解：反比例函数k y x=的图象经过点(2,1)−， 212k ∴=−⨯=−．故A 正确；20k =−<，∴双曲线2y x=−分布在第二、四象限， 故B 选项正确；当20k =−<时，反比例函数2y x=−在每一个象限内y 随x 的增大而增大，即当0x >或0x <时，y 随x 的增大而增大．故C 选项正确，D 选项错误，综上，说法错误的是D ，故选：D ．6．解：如图，连接AC ， AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，50ABD ∠=︒，50ACD ABD ∴∠=∠=︒， 905040BCD ACB ACD ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，故选：A ．7．解：两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，两个相似三角形的面积之比为1:9，∴它们对应边上的中线之比为1:3．故选：C ．8．解：由2CD AD DB =⋅，可得::CD AD BD CD =，由此得不出结论；由2AC BC CD =⋅，可得::AC BC CD AC =，C C ∠=∠，ABC DAC ∴∆∆∽，故B 选项正确； 由AC AB CD BC=得不出结论； 由CD BC DA AC=及90BAC ADC ∠=∠=︒可得结论，但题目中未提及． 故选：B ．9．解：抛物线2223(1)4y x x x =+−=+−，1a ∴=，该抛物线开口向上，故①正确；其图象的对称轴是直线1x =−，故②错误；当1<−，y 随x 的增大而减小，故③正确；223(3)(1)y x x x x =+−=+−，∴抛物线与x 轴的交点为(3−，0)(1，0)，抛物线开口向上，∴当3x <−或1x >时，0y >，故④错误；故选：A ．10．解：设AB 的中点为Q ，连接NQ ，如图所示： N 为BM 的中点，Q 为AB 的中点，NQ ∴为BAM ∆的中位线，AM BP ⊥，QN BN ∴⊥，90QNB ∴∠=︒，∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心，14AB 长为半径的圆交CB 于D 的QD ， 4CA CB ==，90ACB ∠=︒，242AB CA ∴==，45QBD ∠=︒，90DOQ ∴∠=︒，∴QD 为O 的14周长， ∴线段BM 的中点N 运动的路径长为：19042241802ππ⨯⨯=， 故选：A ．二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11．解：由锐角α满足1cos 2α=，则锐角α的度数是60度， 故答案为：60．12．解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180D B ∴∠+∠=︒，50D ∠=︒，18050130B ∴∠=︒−︒=︒， 故答案为：130︒．13．解：将抛物线2y x =向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：2(2)3y x =+−． 故答案为：2(2)3y x =+−．14．解：如图，设直线AB 与y 轴交于点C ，由反比例函数比例系数k 的几何意义可知， 12BOC S k ∆=， 32AOC S ∆=，4BOC AOC AOB S S S ∆∆∆−==， ∴13422k −=，11k ∴=．故答案为：11．15．解：连接OB ，AB 是O 的切线，B 为切点， 90OBA ∴∠=︒， 90BOA A ∴∠+∠=︒， 由题意得：2OB OC AE AF ====，∴阴影部分的面积AOB =∆的面积−（扇形BOC 的面积+扇形EAF 的面积）219022360AB OB π⨯=⋅− 1422π=⨯⨯− 4π=−，故答案为：4π−．16．解：如图，直线OA 的解析式为：2y x =，点D 的坐标为(,)m n ，∴点E 的坐标为1(2n ，)n ，点C 的坐标为(,2)m m ， ∴点B 的坐标为1(2n ，2)m ， 把点1(2B n ，2)m 代入2132y x x =−，可得213164m n n =−， m ∴、n 之间的关系式为213164m n n =−， 故答案为：213164m n n =−． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：原式2111(222=−⨯− 11142=−− 14=． 18．解：（1）由题意得42215b c b c ++=⎧⎨++=⎩， 解这个方程组得610b c =−⎧⎨=⎩， 所以所求二次函数的解析式是2610y x x =−+；（2）22610(3)1y x x x =−+=−+，所以顶点坐标是(3,1)．19．证明：8BC =，4AC =，2CD =， ∴422AC DC ==，824BC AC ==， ∴AC BC DC AC=， 又ACD BCA ∠=∠，ACD BCA ∴∆∆∽，∴2AB AC AD DC==， 2AB AD ∴=．20．解： （1） 作弦AB 的垂直平分线， 交于G ，交AB 于点H ，交CD 的垂直平分线EF 于点O ，则点O 即为所求作的圆心 ． （如 图1)（2） 连接OA ． （如 图2)由 （1） 中的作图可知：AOH ∆为直角三角形，H 是AB 的中点，4GH =，182AH AB ∴==．4GH =，4OH R ∴=−．在Rt AOH ∆中， 由勾股定理得，222OA AH OH =+，2228(4)R R ∴=+−．解得：10R =．∴拱桥的半径R 为10m ．21．解：由题意得：43ANO ∠=︒，35BMO ∠=︒，AO MN ⊥，在Rt AON ∆中，135AO m =，135150()tan 430.9AOON m ∴=≈=︒，40AB m =，95()BO AO AB m ∴=−=，在Rt MBO ∆中，95135.7()tan 350.7OB MO m =≈≈︒， 150135.7286()MN NO MO m ∴=+=+≈，MN ∴的长约为286m ．22．解：（1）在280y x =−+中，令25x =得：2258030y =−⨯+=，故答案为：30；（2）根据题意得：2(20)(280)21201600w x x x x =−−+=−+−，w ∴与x 之间的函数关系式为221201600w x x =−+−；（3）22212016002(30)200w x x x =−+−=−−+，20−<，∴当30x =时，w 取最大值，最大值为200，答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．23．解：（1）如图，DE 切O 于点E ，OE ED ∴⊥，BD DE ⊥，//OE BD ∴，OEB EBD ∴∠=∠，OB OE =，OEB OBE ∴∠=∠，EBD OBE ∴∠=∠，BE ∴平分ABC ∠；（2）连接AC ，过点E 作EM AB ⊥于点M ，BE 平分ABD ∠，ED EM ∴=，AB 是O 的直径，90ACD D DEF ∴∠=∠=∠=︒， ∴四边形CDEF 是矩形，12DE CF AC ∴==， 10AB =，6BC =，8AC ∴===， 则142EM ED CF AF AC =====．3OF ∴===， 2EF OE OF ∴=−=，2CD EF ∴==．24．解：（1）把(4,2)A −代入m y x =， 得2(4)8m =⨯−=−， 则反比例函数解析式为8y x=−； 把(,4)B n −代入8y x=−， 得48n −=−，解得2n =，则B 点坐标为(2,4)−， 把(4,2)A −、(2,4)B −代入y kx b =+得， 4224k b k b −+=⎧⎨+=−⎩， 解得12k b =−⎧⎨=−⎩， 则一次函数解析式为2y x =−−．（2）直线与x 轴的交点为C ，在2y x =−−中，令0y =，则2x =−， 即直线2y x =−−与x 轴交于点(2,0)C −， 2OC ∴=．112224622AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=． （3）由图可得，不等式0m kx b x+−>解集范围是4x <−或02x <<． （4）(,0)P p ，(4,2)A −，(2,4)B −， 222(24)(42)72AB ∴=++−−=， 2222(4)2820PA p p p =++=++，2222(2)4420PB p p p =−+=−+，①当AP 是斜边时，222AB PB PA +=，222:72420820p p p p +−+=++， 解得：6p =，②当BP 是斜边时，222PA AB PB +=，2282072420p p p p ∴+++=−+， 解得：6p =−，p ∴的值为：6−，6．25．【问题呈现】证明：ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形， AD AE ∴=，AB AC =，60DAE BAC ∠=∠=︒， DAE BAE BAC BAE ∴∠−∠=∠−∠， BAD CAE ∴∠=∠，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆，BD CE ∴=， ∴1BD CE=． 故答案为：1；【类比探究】解：ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形， ∴AD AB AE AC ==45DAE BAC ∠=∠=︒， DAE BAE BAC BAE ∴∠−∠=∠−∠， BAD CAE∴∠=∠， BAD CAE ∴∆∆∽，∴2BD AB CE AC ===．； 【拓展提升】解：（1）34AB AD BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒， ABC ADE ∴∆∆∽，BAC DAE ∴∠=∠，35AB AD AC AE ==，CAE BAD ∴∠=∠，CAE BAD ∴∆∆∽， ∴35BD AD CE AE ==；（2）由（1）得：CAE BAD ∆∆∽， ACE ABD ∴∠=∠，AGC BGF∠=∠， BFC BAC ∴∠=∠，4sin 5BC BFC AC ∴∠==． 26．解：（1）二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,4)B −， 4c ∴=−，对称轴为直线1x =，经过(2,0)A −， ∴124240b a a b ⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩， 解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线的解析式为2142y x x =−−；（2）①如图1中，设直线AB 的解析式为y kx n =+， (2,0)A −，(0,4)B −，∴204k n n −+=⎧⎨=−⎩， 解得24k n =−⎧⎨=−⎩， ∴直线AB 的解析式为24y x =−−， A ，C 关于直线1x =对称，(4,0)C ∴，设(,0)N m ，MN x ⊥轴，(,24)M m m ∴−−，4NC m ∴=−，3MN NC =，243(4)m m ∴+=−， 85m ∴=， ∴点8(5M ，36)5−；②如图2中，连接PQ ，MN 交于点E ．设(,24)M t t −−，则点(,0)N t ，四边形MPNQ 是正方形，PQ MN ∴⊥，NE EP =，12NE MN =， //PQ x ∴轴，(,2)E t t ∴−−，2NE t ∴=+，222ON EP ON NE t t t ∴+=+=++=+， (22,2)P t t ∴+−−，点P 在抛物线2142y x x =−−上， ∴21(22)(22)422t t t +−+−=−−， 解得112t =，22t =−， 点P 在第四象限，2t ∴=−舍去，12t ∴=， ∴点M 坐标为1(2，5)−．。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，如果1sin 2P =，OB=1，那么BP 的长是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．3【答案】C 【分析】根据题意连接OA 由切线定义可知OA 垂直AP 且OA 为半径，以此进行分析求解即可.【详解】解：连接OA ，已知PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，可知OA 垂直AP 且OA 为半径，所以三角形OAP 为直角三角形，∵1sin 2P =，OB=1， ∴1sin 2OA P OP ==，OA=OB=1， ∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1.故选C.【点睛】本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是解题关键.2．若一元二次方程2220x kx k -+=的一个根为1x =-，则其另一根是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2【答案】C【分析】把1x =-代入方程求出k 的值，再解方程即可．【详解】∵一元二次方程2220x kx k -+=的一个根为1x =-∴212(1)0k k -⨯-+=解得1k =-∴原方程为2210x x ++=解得121x x ==-故选C【点睛】本题考查一元二次方程的解，把方程的解代入方程即可求出参数的值.3．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°【答案】C 【解析】试题分析：根据旋转的性质知，∠EAC=∠BAD=65°，∠C=∠E=70°．如图，设AD ⊥BC 于点F ．则∠AFB=90°，∴在Rt △ABF 中，∠B=90°-∠BAD=25°，∴在△ABC 中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°，即∠BAC 的度数为85°．故选C ．考点: 旋转的性质.4．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x ．①0≤x≤1时，P 点在BC 边上，BP=3x ，则△BPQ 的面积=12BP•BQ ，解y=12•3x•x=232x ；故A 选项错误； ②1＜x≤2时，P 点在CD 边上，则△BPQ 的面积=12BQ•BC ，解y=12•x•3=32x ；故B 选项错误； ③2＜x≤3时，P 点在AD 边上，AP=9﹣3x ，则△BPQ 的面积=12AP•BQ ，解y=12•（9﹣3x ）•x=29322x x -；故D 选项错误．故选C ．考点：动点问题的函数图象． 5．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F.P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89πC ．8－49πD ．8－89π 【答案】B【解析】试题解析：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S 扇形AEF =280?283609ππ=， S △ABC =12AD•BC=12×2×4=4，∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形AEF =4-89π． 6．若反比例函数()110a y a x x-=><，图象上有两个点()()1122,,x y x y ，，设()1212()m x x y y =--，则 y mx m =-不经过第( )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】C【分析】利用反比例函数的性质判断出m 的正负，再根据一次函数的性质即可判断．【详解】解：∵()110a y a x x -=><，， ∴a-1＞0， ∴()110a y a x x-=><，图象在三象限，且y 随x 的增大而减小， ∵图象上有两个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），x 1与y 1同负，x 2与y 2同负，∴m=（x 1-x 2）（y 1-y 2）＜0，∴y=mx-m 的图象经过一，二、四象限，不经过三象限，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．下列说法正确的是( )A ．等弧所对的圆心角相等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．经过三点可以作一个圆D ．相等的圆心角所对的弧相等【答案】A【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．【详解】等弧所对的圆心角相等，A 正确；平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B 错误；经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C 错误；相等的圆心角所对的弧不一定相等，故选A.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系8．如图，矩形ABCD 中，连接AC ，延长BC 至点E ，使BE AC =，连接DE ，若40BAC ∠=︒，则∠E 的度数是（ ）A ．65°B ．60°C ．50°D ．40°【答案】A 【分析】连接BD ，与AC 相交于点O ，则BD=AC=BE ，得△BDE 是等腰三角形，由OB=OC ，得∠OBC=50°，即可求出∠E 的度数.【详解】解：如图，连接BD ，与AC 相交于点O ，∴BD=AC=BE ，OB=OC ，∴△BDE 是等腰三角形，∠OBC=∠OCB ，∵40BAC ∠=︒，∠ABC=90°，∴∠OBC=904050︒-︒=︒， ∴11(18050)1306522E ∠=⨯︒-︒=⨯︒=︒； 故选择：A.【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31A ∠=︒，将ABC ∆绕点C 按顺时针旋转后得到EDC ∆．此时点D 在AB 边上，则旋转角的大小为( )A ．62︒B ．61︒C ．60︒D ．59︒【答案】A 【分析】根据旋转的性质和三角形的内角和进行角的运算即可得出结果．【详解】解：∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，31A ∠=︒，∴∠B=59°，∵将ABC ∆绕点C 按顺时针旋转后得到EDC ∆，∴∠BCD 是旋转角，ABC ∆≅EDC ∆，∴BC=DC ，∴∠CDB=∠B=59°，∴∠BCD=180°−∠CDB−∠B=62°，故选A ．【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，解题的关键是找到旋转角并熟练运用旋转的性质求解． 10．如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a ＝2，则b 的值是（ ）A 5B 3C 5D 3【答案】C 【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a+b ，所以面积＝（a+b ）2，矩形的长和宽分别是2b+a ，b ，面积＝b （a+2b ），两图形面积相等，列出方程得＝（a+b ）2＝b （a+2b ），其中a ＝2，求b 的值，即可．【详解】解：根据图形和题意可得：（a+b ）2＝b （a+2b ），其中a ＝2，则方程是（2+b ）2＝b （2+2b ） 解得：51b =+，故选：C ．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b 的值．11．设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为13，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球．（游戏用球除颜色外均相同）（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】利用概率公式，根据白球个数和摸出1个球是白球的概率可求得盒子中应有的球的个数，再减去白球的个数即可求得结果．【详解】解：∵盒子中放入了2个白球，从盒子中任意摸出1个球是白球的概率为13， ∴盒子中球的总数=1263÷=， ∴其他颜色的球的个数为6−2=4，故选：A ．【点睛】本题考查了概率公式的应用，灵活运用概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．12．已知圆心O 到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径r=6，若d 是方程x 2–x –6=0的一个根，则直线l 与圆O 的位置关系为（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定 【答案】B【分析】先解方程求得d ，根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系即可解题．【详解】解方程：x 2–x –6=0，即：()()320x x -+=,解得3x ＝，或2x -＝(不合题意，舍去)， 当36d r ＝，＝时，d r ＜，则直线与圆的位置关系是相交；故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离d 和半径r 的大小关系．没有交点，则d r >；一个交点，则d r =；两个交点，则d r <．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，已知等边ABC ∆的边长为4，BD AB ⊥，且23BD =.连结AB ，CD 并延长交于点E ，则线段BE 的长度为__________.【答案】1【分析】作CF ⊥AB ，根据等边三角形的性质求出CF ，再由BD ⊥AB ，由CF ∥BD ，得到△BDE ∽△FCE ，设BE 为x ，再根据对应线段成比例即可求解.【详解】作CF ⊥AB ，垂足为F ，∵△ABC 为等边三角形，∴AF=12AB=2,∴CF=2223 AC AF-=又∵BD⊥AB，∴CF∥BD，∴△BDE∽△FCE，设BE为x，∴EF EBCF DB=,即2323=解得x=1故填：1.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.14．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．【答案】1【解析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【详解】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1314+⨯=，第2个图象中〇的个数为：1327+⨯=，第3个图象中〇的个数为：13310+⨯=，第4个图象中〇的个数为：13413+⨯=，……∴第2019个图形中共有：132019160576058+⨯=+=个〇，故答案为：1．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．15．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm ，则该莱洛三角形的周长为_____cm ．【答案】6π【分析】直接利用弧长公式计算即可. 【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长6063=6180⨯⨯=⨯ππ（cm ） 故答案为6π【点睛】 本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式180n r π是解题关键. 16．小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，若小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是_____米． 【答案】6.1【解析】解：设路灯离地面的高度为x 米，根据题意得：261.62x +=，解得：x=6.1．故答案为6.1．17．已知扇形的半径为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为_______.（结果保留π）【答案】π【分析】根据弧长公式是180n R l π=弧长，代入就可以求出弧长． 【详解】∵扇形的半径是30cm ，圆心角是60°，∴该扇形的弧长是：60π3180180n R l ππ⨯⨯===弧长． 故答案为：π． 【点睛】本题考查的是扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF ＝6cm ，BF ＝12cm ，∠FBM ＝∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动_____秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或1【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=12cm，∵AF=6cm，∴AD=18cm，∵点E是BC的中点，∴CE=12BC=12AD=9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，解得：t=3或t=1．故答案为3或1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交BC于点Q，求证：AP＝DP＋BQ.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据旋转的性质得出∠E=∠AQB ，∠EAD=∠QAB ，进而得出∠PAE=∠E ，即可得出AP=PE=DP+DE=DP+BQ ．试题解析：证明：将△ABQ 绕A 逆时针旋转90°得到△ADE ，由旋转的性质可得出∠E=∠AQB ，∠EAD=∠QAB ，又∵∠PAE=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠BAQ=∠DAQ=∠AQB=∠E ，在△PAE 中，得AP=PE=DP+DE=DP+BQ ．点睛：此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出PE=DP+DE 是解题关键．20．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =与反比例函数k y x=的图象的两个交点分别为点P (m ，1)和点Q ．（1）求k 的值和点Q 的坐标；（2）如果点A 为x 轴上的一点，且∠90PAQ ︒=直接写出点A 的坐标． 【答案】（1）k=1,Q （-1，-1）．（2）12(2,0),(2,0)A A - 【分析】（1）将点P 代入直线y x =中即可求出m 的值，再将P 点代入反比例函数k y x =中即可得出k 的值，通过直线与反比例函数联立即可求出Q 的坐标；（2）先求出PQ 之间的距离，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出点A 的坐标.【详解】解：（1）∵点P (m ，1)在直线y x =上，∴1m =．∵点P (1，1)在k y x =上， ∴1k =．∴ 1y x= ∵点Q 为直线y x =与1y x =的交点， ∴1y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =± ∴点Q 坐标为(1-，1-)．（2）由勾股定理得2222[1(1)][1(1)]2222PQ =--+--=+=∵∠90PAQ ︒= ∴1122222OA PQ ==⨯= ∴1A (2,0) , 2A (2-,0)．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,掌握待定系数法，勾股定理是解题的关键.21．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程2y ax bx c =++的两个根；（2）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（3）若抛物线与直线22y x =-相交于1,0A ，()2,2B 两点，写出抛物线在直线下方时x 的取值范围．【答案】（1）11x =，23x =；（2）2k <；（3）1x <或2x >【分析】（1）根据图象可知x ＝1和3是方程的两根；（2）若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，则k 必须小于y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的最大值，据此求出k 的取值范围；（3）根据题意作图，由图象即可得到抛物线在直线下方时x 的取值范围．【详解】（1）∵函数图象与x 轴的两个交点坐标为(1，0)(3，0)，∴方程的两个根为11x =，23x =；（2）∵二次函数的顶点坐标为(2，2)，∴若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为2k <．（3）∵抛物线与直线22y x =-相交于()0A 1，，()22B ，两点， 由图象可知，抛物线在直线下方时x 的取值范围为：1x <或2x >．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．22．某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元，第一个月每套销售定价为52元时，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价每增加1元，销售量将减少10套．（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表．时间第一个月第二个月每套销售定价（元）销售量（套）（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套多少；（3）求当4≤x≤6时第二个月销售利润的最大值．【答案】（1）52；52+x；180；180-10x；（2）1元；（3）2240元【分析】（1）本题先设第二个月的销售定价每套增加x元，再分别求出销售量即可；（2）本题先设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意找出等量关系列出方程，再把解得的x代入即可．（3）根据利润的表达式化为二次函数的顶点式，即可解答本题．【详解】解：（1）若设第二个月的销售定价每套增加x元，填写下表：时间第一个月第二个月销售定价（元）52 52+x销售量（套）180 180-10x故答案为：52；52+x；180；180-10x（2）若设第二个月的销售定价每套增加x元，根据题意得：（52-40）×180+（52+x-40）（180-10x）=411，解得：x1=-2（舍去），x2=8，当x=-2时，52+x=50（舍去），当x=8时，52+x=1．答：第二个月销售定价每套应为1元．（3）设第二个月利润为y 元．由题意得到：y=（52+x-40）（180-10x ）=-10x 2+1x+211=-10（x-3）2+2250∵-10＜0∴当4≤x≤6时，y 随x 的增大而减小，∴当x=4时，y 取最大值，此时y=2240，∴52+x=52+4=56，即要使第二个月利润达到最大，应定价为56元，此时第二个月的最大利润是2240元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． 23．先化简，再求值：21(1)x x x x -⎛⎫-÷-⎪⎝⎭，其中x ＝1． 【答案】1x x -，54． 【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：原式＝()()211x x x --÷ ＝()()211xx x --＝1x x -， 当x ＝1时，原式＝55514=-． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，比较简单，记住先化简再求值.24．如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60〫、45〫，如果无人机距地面高度CD =米，点A 、D 、B 在同水平直线上，求A 、B 两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A 、B 两点间的距离为100（3【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt △ACD 中利用正切定义可计算出AD=100，在Rt △BCD 中利用等腰直角三角形的性质得3，然后计算AD+BD 即可．【详解】∵无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，∴∠A =60°，∠B =45°，在Rt ACD 中，∵tanA =CD AD， ∴AD =10031003tan 603=100， 在Rt BCD 中，BD =CD =3，∴AB =AD+BD =3100(3．答：A 、B 两点间的距离为100(3)米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．25．某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1000万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1250万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于400万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？【答案】（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】（1）根据”2016年投入资金⨯212018+=（年增长率）年投入资金”列方程求解即可;（2）根据题意，享受奖励的搬迁户分为前1000户和1000户之后的部分，可以设搬迁户总数为a ，则有前1000户享受奖励总额+1000户之后享受奖励综合≥400万元，据此可解.【详解】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：1000（1+x）2＝1250+1000，解得：x＝0.5或x＝﹣2.5（舍），答：从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥4000000，解得：a≥1400，答：今年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励．【点睛】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，认真审题，找准数量关系列出方程是解答关键.26．如图，已知抛物线y＝﹣14x2+32x+4，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由．（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．【答案】（1）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是2；（2）M点的坐标为（1﹣77﹣1）、（2，6）、（6，1）或（77﹣1）．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，﹣14x2+32x+1），过点P作PD//y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣12x+1），PD＝﹣14x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（2）设点M的坐标为（m，﹣14m2+32m+1），则点N的坐标为（m，﹣12m+1），进而可得出MN＝|﹣14m2+2m|，结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝﹣14x2+32x+1＝1，∴点C 的坐标为（0，1）．设直线BC 的解析式为y ＝kx+b （k ≠0）．将B （8，0）、C （0，1）代入y ＝kx+b ，．804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣12x+1． 假设存在，设点P 的坐标为（x ，﹣14x 2+32x+1）（0＜x ＜8），过点P 作PD//y 轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为（x ，﹣12x+1），如图所示． ∴PD ＝﹣14x 2+32x+1﹣（﹣12x+1）＝﹣14x 2+2x ， ∴S △PBC ＝12PD •OB ＝12×8•（﹣14x 2+2x ）＝﹣x 2+8x ＝﹣（x ﹣1）2+2． ∵﹣1＜0，∴当x ＝1时，△PBC 的面积最大，最大面积是2．∵0＜x ＜8，∴存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是2．（2）设点M 的坐标为（m ，﹣14m 2+32m+1），则点N 的坐标为（m ，﹣12m+1）， ∴MN ＝|﹣14m 2+32m+1﹣（﹣12m+1）|＝|﹣14m 2+2m|． 又∵MN ＝3，∴|﹣14m 2+2m|＝3． 当0＜m ＜8时，有﹣14m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m 1＝2，m 2＝6，∴点M 的坐标为（2，6）或（6，1）；当m ＜0或m ＞8时，有﹣14m 2+2m+3＝0， 解得：m 3＝1﹣，m 1＝，∴点M 的坐标为（1﹣﹣1）或（﹣1）．综上所述：M 点的坐标为（1﹣﹣1）、（2，6）、（6，1）或（﹣1）．【点睛】本题考查了二次函数的应用，综合性比较强，结合图形掌握二次函数的性质是解题的关键．27．对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为()F n .例如123n =，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和213321132666++=，6661116÷=，所以()1236F =.（1）计算：()253F ，()417F ；（2）小明在计算()F n 时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的()F n 均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；（3）若s ，t 都是“相异数”，其中10045s x =+，150t y =+（19x ≤≤，19y ≤≤，x 、y 都是正整数），当()()20F s F t +=时，求()()F s F t 的最大值. 【答案】（1）10；12.（2）猜想正确.理由见解析；（3）32. 【分析】（1）根据“相异数”的定义即可求解；（2）设n 的三个数位数字分别为x ，y ，z ，根据“相异数”的定义列出()F n 即可求解；（3）根据s ，t 都是“相异数”，得到9F s x =+（），()6F t y =+，根据()()20F s F t +=求出x ，y 的值即可求解.【详解】（1）()()25323535252311110F =++÷=； ()()41747171414711112F =++÷=.（2）猜想正确.设n 的三个数位数字分别为x ，y ，z ，即10010n x y z =++，()(1001010010F n x z y z y =+++++)10010111x y x z x y z +++÷=++.因为x ，y ，z 均为正整数，所以任意()F n 为正整数.（3）∵s ，t 都是“相异数”，∴10054540405101119F s x x x x =+++++÷=+（）（）；()()10510100515101116F t y y y y =+++++÷=+.∵()()20F s F t +=，∴9620x y +++=，∴5x y +=，∵19x ≤≤，19y ≤≤，且x ，y 都是正整数，∴14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩， ∵s 是“相异数”，∴4x ≠；∵t 是“相异数”，∴1y ≠，∴满足条件的有14x y =⎧⎨=⎩，或23x y =⎧⎨=⎩，或32x y =⎧⎨=⎩， ∴ ()()1F s k F t ==或()()119F s k F t ==或()()12382F s k F t ===， ∴k 的最大值为32. 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．给出下列函数，其中y 随x 的增大而减小的函数是（ ）①y ＝2x ；②y ＝﹣2x+1；③y ＝2x （x ＜0）；④y ＝x 2（x ＜1）． A ．①③④B ．②③④C ．②④D ．②③ 【答案】D【解析】分别根据一次函数、二次函数及反比例函数的增减性进行解答即可【详解】解：①∵y=2x 中k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，故本小题错误；②∵y=-2x+1中k=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，故本小题正确；③∵y=2x（x ＜0）中k=2＞0，∴x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故本小题正确； ④∵y=x 2（x ＜1）中x ＜1，∴当0＜x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故本小题错误．故选D ．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解答此题的关键． 2．如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，20BCO ∠=，则A ∠的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】C 【分析】连接OB ，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】连接OB ，∵OC ＝OB ，∠BCO ＝20 ︒，∴∠OBC ＝20 ︒，∴∠BOC ＝180 ︒−20 ︒−20 ︒＝140 ︒，∴∠A ＝140 ︒×12＝70 ︒， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】A【解析】试题分析：连接OA，根据直线PA为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP－∠OAB=90°－60°=30°．考点：切线的性质4．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案有5个菱形纸片，第2个图案有个9菱形纸片，第3个图案有13个菱形纸片，按此规律，第7个图案中菱形纸片数量为（）A．17B．21C．25D．29【答案】D【解析】观察图形发现：每增加一个图形，菱形纸片增加4个，从而得到通项公式，代入n=7求解即可．【详解】观察图形发现：第1个图案中有5=4×1+1个菱形纸片；第2个图案中有9=4×2+1个菱形纸片；第3个图形中有13=4×3+1个菱形纸片，…第n个图形中有4n+1个菱形纸片，当n=7时，4×7+1=29个菱形纸片，故选:D.【点睛】属于规律型：图形的变化类，找出图中菱形纸片个数的变化规律是解题的关键.5．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0，c ＞0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＞0【答案】B【分析】利用抛物线开口方向确定a 的符号，利用对称轴方程可确定b 的符号，利用抛物线与y 轴的交点位置可确定c 的符号．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴x＝﹣2b a＞0， ∴b＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c＞0，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是22221.2, 1.1,0.6,0.9S S S S ====甲乙丁丙则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【分析】根据方差的意义，即可得到答案．【详解】∵丙的方差最小，∴射击成绩最稳定的是丙，故选C ．【点睛】本题主要考查方差的意义，掌握方差越小，一组数据越稳定，是解题的关键．7．半径为10的⊙O 和直线l 上一点A ，且OA=10，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交 【答案】D【分析】根据直线和圆的位置关系来判断.【详解】设圆心到直线l 的距离为d ，则d≤10，当d ＝10时，d ＝r ，直线与圆相切；当r ＜10时，d ＜r ，直线与圆相交，所以直线与圆相切或相交.故选D点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，①直线和圆相离时，d>r ；②直线和圆相交时，d<r ；③直线和圆相切时，d ＝r(d 为圆心到直线的距离)，反之也成立.8．在同一直角坐标系中，一次函数y kx k =-与反比例函数(0)k y k x=≠的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【分析】由于本题不确定k 的符号，所以应分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．【详解】（1）当k ＞0时，一次函数y=kx-k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k ＜0时，一次函数y=kx-k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．9．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2等于( )A．30°B．45°C．60°D．70°【答案】C【解析】试题分析：如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°（直径所对的圆周角是90°）；在Rt△ABC中，∠CAD=90°，∠1=30°，∴∠DAB=60°；又∵∠DAB=∠2（同弧所对的圆周角相等），∴∠2=60°考点：圆周角定理10．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．19,62⎛⎫⎪⎝⎭D．（10，6）【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13， ∴13BC OB EF EO ==， ∵BC ＝2，∴EF ＝BE ＝6，∵BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ，∴136BO BO =+， 解得：OB ＝3，∴EO ＝9，∴F 点坐标为：（9，6），故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB 的长是解题关键．11．若二次函数221y kx x =+-的图象与 x 轴仅有一个公共点，则常数k 的为（ ）A ．1B ．±1C ．-1D ．12- 【答案】C【分析】函数为二次函数与x 轴仅有一个公共点，所以根据△=0即可求出k 的值．【详解】解：当224(1)0k ∆=-⋅-=时，二次函数y=kx 2+2x-1的图象与x 轴仅有一个公共点， 解得k=-1．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点与一元二次方程ax 2+bx+c=0根之间的关系．△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．12．如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m ，桌面距离地面0.8m （桌面厚度忽略不计），若桌面的面积是1.2m²，则地面上的阴影面积是（ ）。

2019—2020学年济南市市中区初三第一学期期末试题初中数学期末数学试题〔总分值：120分 考试时刻：120分钟〕2007.1一、选择题〔本大题共10分，每题3分，共30分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〕1.以下方程是一元二次方程的是〔 〕A. 20x -=B. 2410x --= C. 223x x -- D. 10xy += 2.反比例函数(0)ky k x=≠的图像通过点〔2，5〕，那么k 等于〔 〕 A. 10 B. 5 C. 2 D. 1103.如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连接CD ，假设O 的半径32r =，2AC =，那么cos B 的值是〔 〕 A.32 B. 53 C. 52 D. 234.我们从不同的方向观看同一物体时，能够看到不同的平面图形，如图，从图的左面看那个几何体的左视图是 〔 〕5.如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，那么补充以下一个条件后， 仍无法判定ABE ≌ACD 的是 A. AD AE = B. AEB ADC ∠=∠ C. BE CD = D. AB AC =6.越来越多的商品房空置是目前比较突出的咨询题，据国家有关部门统计：2006年第一季度全国商品房空置面积达1.23亿平方米，比2005年第一季度增长23.8%，以下讲法： ① 2005年第一季度全国商品房空置面积为1.23123.8%+亿平方米。

② 2005年第一季度全国商品房空置面积为1.23123.8%-亿平方米。

③ 假设按相同的增值率运算，2007年第一季度全国商品房空置面积达到21.23(123.8%)⨯+亿平方米。

④ 假如2007年第一季度全国商品房面积比2006年第一季度减少23.8%，那么2007年第一季度全国商品房空置面积与2005年第一季度相同。

其中正确的选项是〔 〕A. ①④B.②④C.②③D. ①③7.如图，一个小球从A 点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H 点的概率是〔 〕 A.12 B. 14 C. 16 D. 188.函数与2y ax a =+与(0)ay a x=≠在同一直角坐标系中的图像可能是〔 〕9.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=3BC=1米〔点M ，N ，C 在同一直线上〕，那么窗户的高AB 为〔 〕 3 B. 3米 C. 2米 D.1.5米10.如图，抛物线的函数表达式是〔 〕 A. 22y x x =-+ B. 22y x x =--- C. 22y x x =++ D. 22y x x =-++二、填空题〔本大题共6小题，每题3分，共18分，请把正确答案填写在下面的横线上〕11.命题〝假如三角形有一个内角是钝角那么其余两个内角差不多上锐角〞的逆命题是 ，它是 〔填〝真〞或〝假〞〕命题。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（2﹣1）b+c＜0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知关于x的一元二次方程22cos0-+=有两个相等的实数根，则锐角α等于（）x xαA．15B．30C．45D．603．“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉……”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n 个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．124．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．105．在▱ABCD中，∠ACB=25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（）A．135°B．120°C．115°D．100°6．﹣2的绝对值是（）A．2 B．12C．12-D．2-7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（）A．BDCBB．CDCBC．ACABD．ADAC8．如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k>－14B．k>－14且0k≠C．k<－14D．k≥－14且0k≠9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y 与x的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知是111a b -=，则4a ab b a ab b--+-的值等于____________． 12．如图，ABC ∆的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______．13．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．14．如图，已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为______．15．如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 16．在函数y 4x -+（x ﹣5）﹣1中，自变量x 的取值范围是_____． 17．如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，将ABC ∆绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果2sin 3B =，6BC =，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是______.18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上kyx，则k值为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为10cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图1．（1）求车架档AD的长；（1）求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm．参考数据：sin75°="0.966," cos75°=0.159，tan75°=3.731)20．（6分）已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．21．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；(1)求证：△ABE∽△EGB；(2)若AB＝4，求CG的长.22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的顶点A C ，分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4,2），AC 的垂直平分线分别交BC OA ，于点D E ，，过点D 的反比例函数()0k y x x =>的图像交AB 于点F ． （1）求反比例函数k y x=的表示式； （2）判断DF 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）连接OD ，在反比例函数图像上存在点G ，使90ODG ∠=，直接写出点G 的坐标．23．（8分）某商场经销-种进价为每千克50元的水产品，据市场分析，每千克售价为60元时，月销售量为500kg ，销售单价每涨1元时，月销售量就减少10kg ，针对这种情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为65元时，计算销售量和月销售利润；（2）若想在月销售成本不超过12000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24．（8分）已知二次函数y ＝ax ²＋bx －4(a ，b 是常数.且a ≠0)的图象过点(3，－1).(1)试判断点(2，2－2a )是否也在该函数的图象上，并说明理由.(2)若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数表达式.(3)已知二次函数的图像过(1x ，1y )和(2x ，2y )两点，且当1x ＜2x ≤23时，始终都有1y ＞2y ，求a 的取值范围. 25．（10分）如图，在ABC 中，,120AC BC ACB =∠=︒， 点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △.()1如图1，若45,6CDB AB ∠=︒=求等边CDE △的边长;()2如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G .①求证:CF DF ；②如图3，将CFD △沿CF 翻折得'CFD ，连接'BD ，直接写出'BD AB 的最小值.26．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(31)30kx k x +++=(0)k ≠．（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数2(31)3y kx k x =+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 的值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 开口向上，对称轴是x ＝1，与y 轴的交点在负半轴，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，因此①正确；∵对称轴是x ＝1，即：2b a-＝1，也就是：b ＝﹣2a ，因此③正确； 由抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，可得与x 轴另一个交点坐标为（3，0），∴9a +3b +c ＝0，而b ≠0，因此②9a ﹣3b +c ＝0是不正确的；﹣1）b +c b ﹣b +c ，b ＝﹣2a ，﹣1）b +c ＝2a b +c ，把x y ＝ax 2+bx +c 得，y ＝2a b +c ，由函数的图象可得此时y ＜0，即：﹣1）b +c ＜0，因此④是正确的，故正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．2、D【分析】根据一元二次方程根的判别式等于零，求出cos α的值，进而即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程2cos 0x α+=有两个相等的实数根，∴∆=2(41cos 0α-⨯⨯=，解得：1cos 2α=， ∴α=60．故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，是解题的关键．3、B【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4、C【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.5、C【详解】解：根据图形的折叠可得：AE=EC，即∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，又∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=130°，∴∠FEC=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE+∠FEC=180°，∴∠DFE=115°，∴∠GFE=115°，故选C．考点：1.平行四边形的性质2.图形的折叠的性质.6、A【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．7、A【解析】根据垂直定义证出∠A=∠DCB，然后根据余弦定义可得答案．【详解】解：∵CD是斜边AB上的高，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠DCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB，∴cosA=AC CD AD AB CB AC==故选A．【点睛】考查了锐角函数定义，关键是掌握余弦=邻边：斜边．8、B【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．【详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞14-且k≠1．故选B．【点睛】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.9、B【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝12∠AOB＝12×100°＝50°．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.10、A【分析】连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．【详解】连接OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠OPC．∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC＝∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA＝OP＝1，∴AP＝y2＜x＜1)．故选A ．【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．二、填空题(每小题3分,共24分)11、23- 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a -b 与ab 的关系，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵111a b -=， ∴a b ab -=-则4a ab b a ab b --+-()()4a b ab a b ab --=-+4ab ab ab ab --=-+23ab ab-=23=-， 故对答案为：23-． 【点睛】此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12、10 10【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA 的定义求解即可．【详解】如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点D设网格中每一小格的长度为1则CD=1，AD=3∴在Rt △ACD 中，2210AD CD +=∴sinA=CD AC ==【点睛】本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD ．13、23【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°， 所以指针落在红色区域内的概率是360120360-=23， 故答案为23. 【点睛】 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．14、15π【分析】根据圆锥的底面半径为3，高为4可得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积S=rl π即可得答案.【详解】∵圆锥的底面半径为3，高为4，，∴该圆锥的侧面积为：π×3×5=15π，故答案为：15π【点睛】本题考查求圆锥的侧面积，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积S=rl π；熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题关键.15、223y x x =++【解析】试题解析：设平移后的抛物线解析式为y=x 2+2x-1+b ，把A （0，1）代入，得1=-1+b ，解得b=4，则该函数解析式为y=x 2+2x+1．考点：二次函数图象与几何变换.16、x ≥4且x ≠1【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x 的取值范围．【详解】解：由题可得，402050x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得425x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，∴x ≥4且x ≠1，故答案为：x ≥4且x ≠1．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．17、4【分析】设2AM a =，在Rt AMB ∆中，22sin 3AM a B AB AB ===，得3AB a =.由勾股定理3BM ==，再求AM,AB,证ABM ACM ∆∆≌，AMC ANC ∆∆≌.得ABC AMC ANC S S S ∆∆∆=+，1122BC AM AC MN ⋅=⋅，可得BC AM MN AC⋅=. 【详解】如图所示，AB AC =，M 是BC 的中点，6BC =，AM BC ∴⊥，3BM MC ==.设2AM a =，在Rt AMB ∆中，22sin 3AM a B AB AB ===， 3AB a ∴=.3BM ∴===，5a ∴=. AM ∴=，AB AC ==BM MC =，AB AC =，AM BC ⊥，可得ABM ACM ∆∆≌，同理可证AMC ANC ∆∆≌.ABC AMC ANC S S S ∆∆∆∴=+， 1122BC AM AC MN ∴⋅=⋅， BC AM MN AC⋅∴= 6563655495955⨯===.故答案为：4【点睛】考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形，利用三角形相关知识分析问题是关键.18、1【解析】作DH ⊥x 轴于H ，如图，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，而∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠DAH ，在△ABO 和△DAH 中AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，∴AH=OB=3，DH=OA=1，∴D 点坐标为（1，1），∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x上， ∴a=1×1=1．故答案是：1.三、解答题(共66分)19、（1）75cm （1）2cm【解析】解：（1）在Rt △ACD 中，AC=45，CD=60，∴AD=22456075+=，∴车架档AD 的长为75cm ．（1）过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，距离EF=AEsin75°=（45+10）sin75°≈61.7835≈2． ∴车座点E 到车架档AB 的距离是2cm ．（1）在Rt △ACD 中利用勾股定理求AD 即可．（1）过点E 作EF ⊥AB ，在Rt △EFA 中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．20、（1）见解析；（2）1＜a ≤52；（3）新图象G 公共点有2个． 【分析】（1）令抛物线的y 值等于0，证所得方程的△＞0即可；（2）将点A 坐标代入可求m 的值，即可求a 的取值范围；（3）分k ＞0和k ＜0两种情况讨论，结合图象可求解．【详解】解：（1）设y ＝0，则0＝x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ，∵△＝（1﹣2a ）2﹣4×1×（﹣2a ）＝（1+2a ）2≥0，∴x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ＝0有实数根，∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，∴m＝﹣1，m＝2a，∵2＜m≤5，∴2＜2a≤5，∴1＜a≤52；（3）∵1＜a≤52，且a为整数，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，如图，当k＞0时，若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝1，当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，如图，当k＜0时，若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝﹣14，当﹣14＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＜﹣14时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，【点睛】本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．21、(1)证明见解析；(2)CG=6.【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；(2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE2225AE AB+=由△ABE∽△EGB，得出AE BEEB GB=，求得BG＝10，即可得出结果.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE22222425AE AB+=+=由(1)知，△ABE∽△EGB，∴AE BE EB GB =，即：22525GB=， ∴BG ＝10，∴CG ＝BG ﹣BC ＝10﹣4＝6.【点睛】本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键22、（1）反比例函数表达式为5y x =；（2）DF AC ，证明见解析；（3）82558G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）求出D 点横坐标，也就是CD .由DE 垂直平分AC ，得到AD CD =,AD CD x ==, 4BD x =-,在Rt ABD ∆，222AD BD AB =+,求出CD ,从而求出k .（2）方法一:通过边长关系可证BD BF BC AB=,B 为公共角,从而BDF BCA ∆∆,BDF BCA ∠=∠,DF AC ; 方法二:求出直线DF 与直线AC 的解析式，系数k 相等,所以DF AC方法三: 延长DF 交x 轴于点N ,证明NA CD =,四边形CAND 是平行四边形, DFAC . （3）求出45OD y x =,根据90ODG ∠=,设54DG y x b =-+,代入D 点坐标，求得54148DG y x =-+,与5y x=联立,求出G 的坐标.【详解】（1）连接AD ，∵DE 垂直平分AC ，∴AD CD =．∵()4,2B ，∴24AB BC ==，．设AD CD x ==，则4BD x =-，∵四边形OABC 矩形，∴BC OA ，90B =∠．在Rt ABD ∆中，222AD BD AB =+．即 ()22242x x =-+．解得52x =．∴点522D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 将点522D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的坐标代入k y x =中，得5252k =⨯=． ∴所求反比例函数表达式为5y x =． （2）DF AC ．方法一：将4x =代入5y x =得，54y =，∴点54,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵()4,2B ，()4,0A ，()0,2C ，5,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2AB =，32BD =，4BC =，34BF =． ∴33248BD BC ==，33428BF AB ==． ∴BD BF BC AB=． ∵B B ∠=∠，∴BDF BCA ∆∆．∴BDF BCA ∠=∠．∴DF AC ．方法二：将4x =代入5y x =得，54y =，∴点54,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 由（1）知()4,0A ，()0,2C ，5,22D ⎛⎫⎪⎝⎭． 设直线AC 的函数表达式为2y kx =+，∵点A 在直线AC 上，∴042k =+，∴12k =-． ∴设直线AC 的函数表达式为122y x =-+． 设直线DF 的函数表达式为11y k x b =+，∵点D F ，在直线DF 上，∴111152,2{54.4k b k b =+=+ 解得111,2{13.4k b =-= ∴直线DF 的函数表达式为11324y x =-+． ∵直线122y x =-+与直线11324y x =-+的k 值为12-，∴直线DF 与直线AC 平行． ∴DF AC ．方法三：延长DF 交x 轴于点N ，设直线DF 的函数表达式为11y k x b =+，∵点D F ，在直线DF 上，∴111152,2{54.4k b k b =+=+ 解得111,2{13.4k b =-= ∴直线DF 的函数表达式为11324y x =-+． 将0y =代入11324y x =-+中，得132x =．∴点13,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴135422NA =-=，52CD =． ∴NA CD =．∵四边形OABC 矩形，∴CD AN ∥．∴四边形CAND 是平行四边形．∴DF AC ．（3）82558G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了反比例函数的求法,平行的性质以及两直线垂直的性质.23、（1）销售量：450kg ；月销售利润：6750元；（2）销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元【分析】（1）利用每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列出函数即可；（2）由函数值为8000，列出一元二次方程解决问题．【详解】解：（1）销售量：500(6560)10450()kg --⨯=，月销售利润：450(6550)6750⨯-=（元）；（2）因为月销售成本不超过12000元，∴月销售数量不超过1200050240()kg ÷=；设销售定价为x 元，由题意得：(50)50010(60)[]8000x x ---=，解得1290,70x x ==；当90x =时，月销售量为50010(9060)200240-⨯-=<，满足题意；当70x =时，月销售量为50010(7060)400240-⨯-=>，不合题意，应舍去．∴销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列函数解析式，用配方法求最大值以及函数与方程的关系．24、（1）不在；（2）214493y x x =-+-；244y x x =-+-；（3）35a ≥ 【解析】（1）将点(3,1)-代入函数解析式，求出a 和b 的等式，将函数解析式改写成只含有a 的形式，再将点(2,22)a -代入验证即可；（2）令0y =，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a 的值，从而可得函数表达式；（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.【详解】（1）二次函数图像过点(3,1)-∴代入得9341a b +-=-，933a b ∴+=13b a ∴=-，代入得2(13)4y ax a x =+--将(2,22)a -代入得42(13)422a a a +--=-，得22-=，不成立，所以点(2,22)a -不在该函数图像上； （2）由（1）知，2(13)4y ax a x =+--与x 轴只有一个交点2(13)40ax a x ∴+--=只有一个实数根2(13)160a a ∴∆=-+=，19a ∴=-或1a =- 当19a =-时，4133b a =-=，所以表达式为：214493y x x =-+- 当1a =-时，134b a =-=，所以表达式为：244y x x =-+-；（3）2(13)4y ax a x =+--∴对称轴为3131222a x a a -==- 当0a >时，函数图象如下：若要满足1223x x <≤时，1y 恒大于2y ，则1x 、2x 均在对称轴左侧 231322a ∴≤-，35a ∴≥ 当0a <时，函数图象如下：312223a ->，此时12x x <，1y 必小于2y综上，所求的a 的取值范围是：35a ≥. 【点睛】 本题考查了二次函数图象的性质（与x 的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.25、（1）6；（2）证明见解析；（3）最小值为36【分析】(1)过C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF 的长，再用正弦函数即可求解；(2) 如图（2）1：延长BC 到G 使CG=BC ，易得△CGE ≌△CAD ，可得CF ∥GE ，得∠CFA=90°，CF=12GE 再证DG=12AD ，得CF=DG ，可得四边形DGFC 是矩形即可； （3）如图（2）2：设ED 与AC 相交于G ，连接FG ,先证△EDF ≌△F D'B 得BD'=DE ，当DE 最大时BD AB'最小，然后求解即可；【详解】解：（1）如图：过C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，∵,120AC BC ACB =∠=︒，6AB =∴∠A=∠B=30°，BF=3∵tan ∠B=33CF CF BF == ∴3又∵sin ∠CDB= sin45°=32CF DC == ∴6∴等边CDE △6；()2①如图（2）1：延长BC 到G 使CG=BC∵∠ACB=120°∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°又∵∠ACB=60°∴∠GCE=∠ ACD又∵CE=CD∴△CGE≌△CAD（SAS）∴∠G=∠ A=30°，GE=AD又∵EF=FB∴GE∥FC, GE=12 FC,∴∠BCF=∠G=30°∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°∴CF∥DG∵∠ A=30°∴GD=12 AD,∴CF=DG∴四边形DGFC是平行四边形，又∵∠ACF=90°∴四边形DGFC是矩形，∴CF DF②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB 'FD FD =∴△EDF ≌△F D'B∴BD'=DE∴BD'=CD∴当BD'取最小值时，BD AB'有最小值 当CD ⊥AB 时，BD'min =12AC, 设CDmin=a ，则AC=BC=2a ，3 BD AB '3623a=； 【点睛】本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.26、 (1)、证明过程见解析；(2)、±1． 【分析】(1)、首先得出方程的根的判别式，然后利用配方法得出非负数，从而得出答案；(2)、根据公式法得出方程的解，然后根据解为整数得出k 的值.【详解】(1)、△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2 ∵（3k-1）2≥0 ∴△≥0， ∴无论k 取何值，方程总有两个实数根；(2)、kx 2+（3k+1）x+3=0（k≠0） 解得：x=(31)(31)2k k k -+±-， x 1=1k，x 2=3， 所以二次函数y=kx 2+（3k+1）x+3的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为1k和3， 根据题意得1k 为整数， 所以整数k 为±1． 考点：二次函数的性质。

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点,,A B C 在O 上，6,30BC BAC =∠=︒，则O 的半径为（ ）A ．3B ．6C ．63D ．12【答案】B 【分析】连接OB 、OC ，如图，根据圆周角定理可得60BOC ∠=︒，进一步即可判断△OCB 是等边三角形，进而可得答案.【详解】解：连接OB 、OC ，如图，则OB=OC ，∵30BAC ∠=︒，∴60BOC ∠=︒，∴△OCB 是等边三角形，∴OB=BC=6. 故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握上述性质是解题关键. 2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转n 度后得到EDC △，此时点D 在AB 边上，斜边DE 交AC 边于点F ，则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为（ ）A ．302，B ．602，C ．3602，D ．603， 【答案】C【解析】试题分析：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot ∠A=2×3=23，AB=2BC=4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC=CD=BD=12AB=2， ∵∠B=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD=12AB=2， ∴DF 是△ABC 的中位线， ∴DF=12BC=12×2=1，CF=12AC=12×23=3， ∴S 阴影=12DF×CF=12×3=3． 故选C ．考点：1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形．3．用min{a ，b}表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( ) A ． B ． C ．D ．【答案】C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）．故选C ．【点睛】考核知识点：二次函数的性质.4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，tan ∠BAC=2，A （0，a ），B （b ，0），点C 在第二象限，BC 与y 轴交于点D （0，c ），若y 轴平分∠BAC ，则点C 的坐标不能表示为（ ）A ．（b+2a ，2b ）B ．（﹣b ﹣2c ，2b ）C ．（﹣b ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）D ．（a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ）【答案】C 【分析】作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．由△CBH ∽△BAO ，推出2BH CH BC AO BO AB===，推出BH=﹣2a ，CH=2b ，推出C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，可得CH HF BO OD =,推出2b FH b c =，推出FH=2c ，可得C （﹣b ﹣2c ，2b ），因为2c+2b=﹣2a ，推出2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，可得C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），由此即可判断；【详解】解：作CH ⊥x 轴于H ，AC 交OH 于F ．∵tan ∠BAC=BC AB =2， ∵∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°， ∴∠CBH=∠BAO ，∵∠CHB=∠AOB=90°，∴△CBH ∽△BAO ，∴2BH CH BC AO BO AB===， ∴BH=﹣2a ，CH=2b ，∴C （b+2a ，2b ），由题意可证△CHF ∽△BOD ，∴CH HF BO OD=， ∴2b FH b c =， ∴FH=2c ，∴C （﹣b ﹣2c ，2b ），∵2c+2b=﹣2a ，∴2b=﹣2a ﹣2c ，b=﹣a ﹣c ，∴C （a ﹣c ，﹣2a ﹣2c ），故选C ．【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．5．用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件合格的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是直角逐一判断即可．【详解】解：A 、直角未在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故A 错误；B 、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故B 错误；C 、直角及直角边均落在工件上，故该工件是半圆，合格，故C 正确；D 、直角边未落在工件上，故该工件不是半圆，不合格，故D 错误，故答案为： C ．本题考查了直径所对的圆周角是直角的实际应用，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．6．下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（）A． B．C．D．【答案】C【详解】解：几何体的俯视图为，故选C【点睛】本题考查由三视图判断几何体，难度不大．7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③ADAC＝AEAB；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )A．1个B．2 C．3个D．4个【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③ADAC＝AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为AD DEAC BC，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E是CD的中点，∠CDB=30°，CD=63，则阴影部分面积为（）A．πB．3πC．6πD．12π【答案】D【解析】根据题意得出△COB是等边三角形，进而得出CD⊥AB，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO的长，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：连接BC，∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，又∵CO=BO，∴△COB是等边三角形，∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，∵3∴3∴sin60°×3解得：CO=6，故阴影部分的面积为：21206360π⨯=12π．故选：D．此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO的长是解题关键．9．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应面积的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：9【答案】D【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3，∴对应面积的比为（23）2＝49，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.10．已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OB OC OD===，则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是（）A．四边形ABCD是正方形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是矩形D．12ABCDS AC BD=⋅四边形【答案】C【分析】根据OA=OB=OC=OD，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC=BD，判定四边形ABCD 是矩形．【详解】OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是平行四边形且AC BD=，ABCD∴是矩形，题目没有条件说明对角线相互垂直，∴A、B、D都不正确；故选：C【点睛】本题是考查矩形的判定方法，常见的又3种：①一个角是直角的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．11．下图中，最能清楚地显示每组数据在总数中所占百分比的统计图是( )A．B．C．D．【答案】A【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．【详解】解：在进行数据描述时，要显示部分在总体中所占的百分比，应采用扇形统计图．故选：A．【点睛】本题考查统计图的选择，解决本题的关键是明确：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频率分布情况，易于显示各组之间频率的差别．12．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．833π-C．8233π-D．843π-【答案】C【解析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD2223OD OC+∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，一组等距的平行线，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 6、l 4上，AB 交l 3于点D ，AC 交l 3于点E ，BC 交于l 5点F ，若△DEF 的面积为1，则△ABC 的面积为_____．【答案】154 【分析】在三角形中由同底等高，同底倍高求出32ADC S=，根据平行线分线段成比例定理，求出94BDC S =，最后由三角形的面积的和差法求得154ABC S =． 【详解】连接DC ，设平行线间的距离为h ，AD=2a ，如图所示：∵122DEF S DE h DE h =⋅=⋅， 122ADE S DE h DE h =⋅=⋅， ∴S △DEF =S △DEA ，又∵S △DEF =1，∴S △DEA =1，同理可得：12DEC S =，又∵S △ADC =S △ADE +S △DEC ， ∴32ADC S =， 又∵平行线是一组等距的，AD=2a ， ∴23AD h BD h=， ∴BD=3a ， 设C 到AB 的距离为k ，∴12ADC S AD k =⋅=ak ， 1322BDC S BD k ak =⋅=， ∴339224BDC S =⨯=， 又∵S △ABC =S △ADC +S △BDC ， ∴9315424ABC S =+=． 故答案为：154． 【点睛】本题综合考查了平行线分线段成比例定理，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握平行线分线段成比例定理，难点是作辅助线求三角形的面积．14．如图，根据图示，求得x 和y 的值分别为____________.【答案】4.5，101【分析】证明ADC BDE ∆∆∽，然后根据相似三角形的性质可解.【详解】解：∵7.232.4AD BD ==， 4.831.6CD DE ==， ∴AD CD BD DE=， ∵ADC BDE ∠=，∴ADC BDE ∆∆∽，∴3AC BE=，ACD BED ∠=∠， ∴AC=4.5，y=101.故答案是：x=4.5，y=101.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，要熟悉相似三角形的各种判定方法，关键在找角相等以及边的比例关键.15．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．【答案】1【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．【详解】解：∵AD AB＝AE AC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.16．分解因式：x 2﹣2x ＝_____．【答案】x(x ﹣2)【分析】提取公因式x ，整理即可．【详解】解：x 2﹣2x ＝x(x ﹣2)．故答案为：x(x ﹣2)．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．17．将抛物线22y x =先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线的函数解析式是____．【答案】224y x x =-【分析】根据题意先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线22y x =的顶点坐标为（0，0）， 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的图象的顶点坐标为（1，-2），所以得到图象的解析式为222(1)224y x x x =--=-.故答案为：224y x x =-.【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．18．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为_____．【答案】33 【分析】根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．【详解】如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OG ⊥BC 于G ．∵此多边形是正六边形，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBG=60°，∴边心距OG=OB •sin ∠OBG=63⨯=33(cm)． 故答案为：33．【点睛】本题考查了正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的性质是解答本题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点D ，E 分别是不等边△ABC(即AB ，BC ，AC 互不相等)的边AB ，AC 的中点．点O 是△ABC 所在平面上的动点，连接OB ，OC ，点G ，F 分别是OB ，OC 的中点，顺次连接点D ，G ，F ，E.(1)如图，当点O 在△ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；(2)若四边形DGFE 是菱形，则OA 与BC 应满足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明理由)【答案】（1）见详解；（2）点O 的位置满足两个要求：AO ＝BC ，且点O 不在射线CD 、射线BE 上．理由见详解【分析】（1）根据三角形的中位线定理可证得DE∥GF，DE＝GF，即可证得结论；（2）根据三角形的中位线定理结合菱形的判定方法分析即可.【详解】（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点．∴DE∥BC，DE＝12BC．同理，GF∥BC，GF＝12 BC．∴DE∥GF，DE＝GF．∴四边形DEFG是平行四边形；（2）点O的位置满足两个要求：AO＝BC，且点O不在射线CD、射线BE上．连接AO，由（1）得四边形DEFG是平行四边形，∵点D，G，F分别是AB，OB，OC的中点，∴12GF BC=，12DF AO=，当AO＝BC时，GF=DF，∴四边形DGFE是菱形．【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形、菱形的判定，平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.20．如图，在等边△ABC中，把△ABC沿直线MN翻折，点A落在线段BC上的D点位置（D不与B、C重合），设∠AMN＝α．（1）用含α的代数式表示∠MDB和∠NDC，并确定的α取值范围；（2）若α＝45°，求BD：DC的值；（3）求证：AM•CN＝AN•BD．【答案】（1）∠MDB＝＝2α﹣60°，∠NDC＝180°﹣2α，（30°＜α＜90°）；（2；（3）见解析【分析】（1）利用翻折不变性，三角形内角和定理求解即可解决问题．（2）设BM＝x．解直角三角形用x表示BD，CD即可解决问题．（3）证明△BDM∽△CND，推出DMND＝BDCN，推出DM•CN＝DN•BD可得结论．【详解】（1）由翻折的性质可知∠AMN＝∠DMN＝α，∵∠AMB＝∠B+∠MDB，∠B＝60°，∴∠MDB＝2α﹣60°，∠NDC＝180°﹣∠MDB﹣∠MDN＝180°﹣（2α﹣60°）﹣60°＝180°﹣2α，（30°＜α＜90°）（2）设BM＝x．∵α＝45°，∴∠AMD＝90°，∴∠BMD＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BDM＝30°，∴BD＝2x，DN＝BD•cos30°，∴MA＝MD，∴BC＝AB＝x，∴CD＝BC﹣BD﹣x，∴BD：CD＝2x：﹣x．（3）∵∠BDN＝∠BDM+∠MDN＝∠C+∠DNC，∠MDN＝∠A＝∠C＝60°，∴∠BDM＝∠DNC，∵∠B＝∠C，∴△BDM∽△CND，∴DMND＝BDCN，∴DM•CN＝DN•BD，∵DM＝AM，ND＝AN，∴A M•CN＝AN•BD．【点睛】本题考查了翻折变换、解直角三角形以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 21．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？【答案】（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，得到MP APBD AB=再由它可以求出AB；（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP＝BQ，设AP＝BQ＝x m，∵MP∥BD，∴△APM∽△ABD，∴MP APBD AB=，∴1.69.6＝212xx+，解得x＝3，∴AB＝2x＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC下的影子长，设BF ＝y m ，∵BE ∥AC ，∴△FEB ∽△FCA ， ∴BE BF AC FA = ，即1.69.6＝18y y +， 解得y ＝3.6，当王华同学走到路灯BD 处时，他在路灯AC 下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例． 22．如图，点()5,2A ，()()5B m n m <,在反比例函数k y x=的图象上，作AC y ⊥轴于点C ．⑴求反比例函数的表达式；⑵若ABC ∆的面积为10，求点B 的坐标.【答案】（1）10y x =；（2）5,63⎛⎫ ⎪⎝⎭B 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式构建方程求出n ，再利用待定系数法求出m 的值即可；【详解】解：（1）∵点()5,2A 在反比例函数k y x=图象上， 10k ∴=，∴反比例函数的解析式为：10y x =． （2）由题意：15(2)102n ⨯⨯-=， 6n ∴=，5(,6)3B ∴. 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB 的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD ，某一时刻测得其影长DE＝1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF＝4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．【答案】旗杆AB的高为8m．【分析】证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠AFB＝∠CED，而∠ABF＝∠CDE＝90°，∴△ABF∽△CDE，∴ABCD＝BFDE，即4.82 1.2AB，∴AB＝8（m）．答：旗杆AB的高为8m．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．（1）按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．（1）求点C1在旋转过程中所经过的路径长．【答案】（1）①见解析；②见解析；（1）1π．【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A 1、B 1、C 1的对应点A 1、B 1、C 1即可；（1）根据弧长公式计算．【详解】（1）①如图，△A 1B 1C 1为所作；②如图，△A 1B 1C 1为所作；（1）点C 1在旋转过程中所经过的路径长＝9042180ππ⨯= 【点睛】 本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．25．（1）若正整数x 、y ，满足2224x y -=，求x 、y 的值；（2）已知如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 在边BC 上移动（不与点B ，点C 重合），将BDE 沿着直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上点F 处，当AEF 为一个含30内角的直角三角形时，试求BD 的长度．【答案】（1）75x y =⎧⎨=⎩或51x y =⎧⎨=⎩；（2）232BD =或623-． 【分析】（1）根据平方差公式因式分解，根据题意可得122x y x y +=⎧⎨-=⎩或64x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）根据翻折性质可证∠AEF=180°-∠BEF =90°，分两种情况：①如图a ，当∠EAF=30°时，设BD=x ，根据勾股定理222AE EF AF +=，即2222)(422)(22)x x x +=；②如图b ，当∠AFE=30°时，设BD=x ，根据勾股定理，222AE EF AF +=，222(2)(422)(8222)x x x +=；【详解】（1）解：∵22()()24x y x y x y -=+-=>0，且x ，y 均为正整数，∴x y +与x y -均为正整数，且x y +>x y -，x y +与x y -奇偶性相同．又∵24=124=212=38=46⨯⨯⨯⨯ ∴122x y x y +=⎧⎨-=⎩或64x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：75x y =⎧⎨=⎩或51x y =⎧⎨=⎩． （2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°又∵将△BDE 沿着直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上点F 处∴∠BDE=∠EDF=90°，且△BDE ≌△FDE∴∠BED=∠DEF=45°，∠BEF=90°，BE=EF∴∠AEF=180°-∠BEF =90°①如图a ，当∠EAF=30°时，设BD=x ，则：BD=DF=DE=x ，2BE EF x ==，422AE x =-，∵∠EAF=30°，∴AF=22x ，在Rt △AEF 中，222AE EF AF +=，∴222(2)(422)(22)x x x +-=，解得232x =-．∴232BD =-．②如图b ，当∠AFE=30°时，设BD=x ，则：同理①可得：2BE EF x ==，422AE x =∵∠AFE =30°，∴AF=在Rt △AEF 中，222AE EF AF +=，∴222)))+=，解得6x =-．∴BD =6-．综上所述，2BD =或6-．【点睛】考核知识点：因式分解运用，轴对称，勾股定理.分析翻折过程，分类讨论情况是关键；运用因式分解降次是要点.26．时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【答案】红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元【解析】设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克y 元，由题意列出方程组，解方程组即可．【详解】解：设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克y 元，由题意得：2803115x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2530x y =⎧⎨=⎩； 答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键． 27．解方程：22710x x -+=（公式法）【答案】12x x == 【分析】先确定a,b,c 的值和判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：这里2a =，7b =-，1c =，49841∆=-=，∴74x ±=.即127744x x +== 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是本题的关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.【详解】A.是最简二次根式；B. =不是最简二次根式；C.D. =，∴不是最简二次根式；故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.2．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2481x =B ．2213x y -=C ．2112x x +=，D ．20ax bx c ++= 【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】A 、是一元二次方程，故A 正确；B 、有两个未知数，不是一元二次方程，故B 错误；C 、是分式方程，不是一元二次方程，故C 正确；D 、a=0时不是一元二次方程，故D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．3．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =，则DE 的长为（ ）A ．2.2B ．2.5C ．2D ．1.8【答案】A 【分析】连接BD 、CD ，由勾股定理先求出BD 的长，再利用△ABD ∽△BED ，得出DE DB DB AD=，可解得DE 的长．【详解】连接BD 、CD ，如图所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴22226511BD AB AD -=-∵弦AD 平分∠BAC ，∴11，∴∠CBD=∠DAB ，在△ABD 和△BED 中， ∠BAD=∠EBD ，∠ADB=∠BDE ，∴△ABD ∽△BED ， ∴DE DB DB AD =，即22111155DB DE AD ===，解得DE=1.1．故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD ∽△BED ． 4．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：1 1.1 1.2 1.3 1.4-1 -0.49 0.04 0.59 1.16那么方程2350x x +-=的一个近似根是( )A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3 【答案】C【详解】解：观察表格得：方程x 2+3x ﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C考点：图象法求一元二次方程的近似根．5．若关于x 的一元二次方程方程（k ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥0B ．k ＞0且k≠1C ．k≤0且k≠﹣1D ．k ＞0【答案】B【解析】根据一元二次方程定义，首先要求20ax bx c ++=的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等的实数根,令根的判别式大于零即可.【详解】解:由题意得, 10k -≠解得, 1k ≠;且240b ac ∆=->,即()22410k +->, 解得0k >.综上所述, 0k >且1k ≠.【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键. 6．如图，△ABC 的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y ＝k x在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( )A ．1≤k≤4B ．2≤k≤8C ．2≤k≤16D ．8≤k≤16【答案】C【解析】试题解析：由于△ABC 是直角三角形，所以当反比例函数k y x =经过点A 时k 最小，进过点C 时k 最大，据此可得出结论．∵△ABC 是直角三角形，∴当反比例函数k y x=经过点A 时k 最小，经过点C 时k 最大， ∴k 最小=1×2=2，k 最大=4×4=1，∴2≤k≤1．故选C ．7．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒【答案】A 【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．8．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（ ）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C 【详解】如图，由题意得：AP=3，AB=6，90.BAP ∠=∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.9．若关于x 的方程kx 2﹣2x ﹣1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k ＜1且k≠0C ．k≥﹣1且k≠0D ．k≥﹣1【答案】C【分析】根据根的判别式（240b ac =-≥△ ）即可求出答案．【详解】由题意可知：440k +≥△＝∴1k ≥-∵0k ≠∴1k ≥- 且0k ≠ ，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k 的取值范围． 10．二次函数2()y x m n =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，则2(2)=+-+y x m n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（ ）A ．1和5B ．﹣3和1C ．﹣3和5D ．3和5 【答案】A【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．【详解】解：∵二次函数y ＝（x+m ）2+n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为﹣1和3，∴y ＝（x+m ﹣2）2+n 的图象与x 轴的交点的横坐标分别为：﹣1+2＝1和3+2＝5，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答． 11．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x+1）2+3C ．y ＝（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝（x+1）2﹣3【答案】C【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式．【详解】解：将二次函数y ＝x 2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的图象解析式为：y ＝（x ﹣1）2﹣1．故选：C ．【点睛】主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．12．把抛物线22y x =-向右平移l 个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A ．22(1)3y x =-+-B ．22(1)3y x =--+C ．22(1)3y x =-++D ．22(1)3y x =--- 【答案】D【分析】根据题意原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（1，-3），根据抛物线的顶点式求解析式．【详解】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（1，-3），∴平移后抛物线解析式为22(1)3y x =---．故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的平移与抛物线解析式的联系，关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，72ABD ∠=︒，则CAD ∠的度数为______．【分析】根据题意可知A 、B 、C 、D 四点共圆，由余角性质求出∠DBC 的度数,再由同弧所对的圆周角相等，即为所求 ．【详解】解：∵在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，∴A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上,∵∠ABC=90°，72ABD ∠=︒,∴∠CBD=18°,∴∠CAD=∠CBD=18°故答案为：18°【点睛】本题考查的是四点共圆、互为余角的概念和同圆中同弧所对的圆周角相等．14．周末小明到商场购物，付款时想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，则选择“微信”支付方式的概率为____________. 【答案】13 【分析】利用概率公式直接写出答案即可．【详解】∵共“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式，∴选择“微信”支付方式的概率为13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n． 15．如图，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ．则BD ＝_____．【答案】13【分析】由BC ⊥AC ，AB ＝10，BC ＝AD ＝6，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝6，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∴AC ＝22AB BC -＝8，∴OC ＝4，∴OB ＝22OC BC +＝213，∴BD ＝2OB ＝413故答案为：413．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 16．75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在圆的半径是_____cm ．【答案】1【分析】由弧长公式：180n R l π=计算． 【详解】解：由题意得：圆的半径()180 2.5756R cm ππ=⨯÷=．故本题答案为：1．【点睛】本题考查了弧长公式．17．二次函数y ＝x 2－2x ＋2图像的顶点坐标是______．【答案】（1，1）【解析】分析：把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．详解：∵22222(21)1(1) 1.y x x x x x =-+=-++=-+∴顶点坐标为(1,1).故答案为：(1,1).点睛：考查二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键.18．如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，若AB=8，DF=3FC ，则BC=__________.【答案】2+1．【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据△EFD ∽△GFC 得出比例式，DF=3FC 计算。

2019~2020学年度第一学期期中质量检测九年级数学试题（2019.10）本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共4页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷（选择题 共48分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 下列图形的主视图与左视图不相同的是( )A ．B ．C ．D ．2. 反比例函数xy 4-=（x ＞0）的图象位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3．已知反比例函数xy 3=，下列结论中不正确的是（ ） A ．其图象经过点（3，1） B ．其图象分别位于第一、第三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ．当x ＞1时，y ＞3第4题图 第5题图 第6题图4. 如图，小雅同学在利用标杆BE 测量建筑物的高度时，测得标杆BE 高1.2m ，又知AB :BC =1:8，则建筑物CD 的高是( )A ．9.6mB ．10.8mC ．12mD ．14m5. 如图，水库大坝截面的迎水坡AD 的坡比为4：3，背水坡BC 的坡比为1：2，大坝高 DE =20m ，坝顶宽CD =10m ，则下底AB 的长为（ ）A ．55mB ．60mC ．65mD ．70m6. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且34=EA OE ，则=BCFG （ ） A ．74 B ． 34 C ．43 D ．477. 已知反比例函数xy 2-=的图象上有三个点（11,y x ）、（22,y x ）、（33,y x ），若3210x x x >>>则下列关系是正确的是( )A . y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 1<y 3 C . y 3< y 2<y 1 D . y 2< y 3<y 18. 在同一平面直角坐标系中，函数m mx y -=（m ≠0）与xm y =（m ≠0）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．9. 如图所示，下列条件中能单独判断△ABC ∽△ACD 的个数是（ ）个．①∠ABC =∠ACD ； ②∠ADC =∠ACB ； ③BCAB CD AC =； ④AC 2=AD •AB A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第9题图 第10题图 第11题图 第12题图10. 有一块直角边AB =3cm ，BC =4cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）A ．76B ．3730C ．712D ．3760 11. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕，若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为（ ）A．31 B ．C ．D ．53 12. 如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连接BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论： ①BE =2AE ；②△DFP ∽△BPH ；③△PFD ∽△PDB ；④DP 2=PH •PC 其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共102分）注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等.不按以上要求做答，答案无效.二、填空题(本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上.)13． 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、C 都在格点上，则∠BAC 的正弦值为 ．14． 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ．他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝40cm ．EF ＝30cm ，测得边DF 离地面的高度AC ＝1.5m ，CD ＝10m ，求树高AB 是 m ．第13题图 第14题图 第15题图15． 如何求tan 75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt △ABC 中，AC =k ，∠ACB =90°，∠ABC =30°，延长CB 至点M ，在射线BM 上截取线段BD ，使BD =AB ，连接AD ，依据此图可求得tan75°的值为 ．16． 如图，在平面直角坐标系中，函数kx y =与xy 3=的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数x y 4-=的图象于点C ，连接BC ，则△ABC 的面积为 ．第16题图 第17题图 第18题图17． 如图，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 在第一象限，AB ＝1，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转60°得到线段OP ，连接AP ，反比例函数xk y =（k ≠0）的图象经过P ，B 两点，则k 的值为 ．18． 如图，△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （2，5），C （6，1）．若函数xk y =在第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是 ．三、解答题(本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)19．(本小题满分6分)计算：2sin 60°•tan 45°+cos 230°﹣tan 60°20．(本小题满分6分)如图，已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；（2）B 点的对应点B ′的坐标是 ；C 点的对应点C ′的坐标是 ．（3）在BC 上有一点P （x ，y ），按（1）的方式得到的对应点P ′的坐标是 ．第20题图21. (本小题满分6分)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝2AD ，AC ＝2AE ，BC ＝3，且∠BAD ＝∠CAE ．求DE的长．第21题图22．(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA ＝12厘米，OB ＝6厘米．点P 从点O 开始沿OA边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么，当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？第22题图23．(本小题满分8分)如图，一次函数b kx y +=与反比例函数xm y =的图象交于A （2，3），B （－3，n ）两点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式b kx +＞x m 的解集____； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △AB C ．第23题图24．(本小题满分10分)△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =2，CQ =9时BC 的长．第24题图25. (本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A （8，1），B （0，﹣3），反比例函数xk y =（x ＞0）的图象经过点A ，动直线x =t （0＜t ＜8）与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于点N ．（1）求k 的值；（2）当t =4时，求△BMA 面积；（3）若MA ⊥AB ，求t 的值．第25题图26. (本小题满分12分)在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在射线BC 上．（1）发现：如图1，点D 在BC 边上，CD ：BD ＝1：2，AD 与BE 相交于点P ，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，PD AP 的值为 ． （2）解决问题：如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ＝1：2．求PDAP 的值： （3）应用：如图2，若CD ＝2，AC ＝6，求BP 的长．第26题图27. (本小题满分12分) 已知：一次函数10+=mx y （m ＜0）的图象与反比例函数xk y =（k ＞0）的图象相交于A 、B 两点（A 在B 的右侧）．（1）当A （8，2）时，求这个一次函数和反比例函数的解析式，以及B 点的坐标；（2）在（1）的条件下，平面内存在点P ，使得以A 、B 、0、P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；（3）当2-=m 时，设A （a ，102+-a ），B （b ，102+-b ）时，直线OA 与此反比例函数图象的另一支交于另一点C ，连接BC 交y 轴于点D ．若25=BD BC ，求△ABC 的面积．第27题图。

山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案本试题分试卷和答题卡两部分．第I 卷满分为40分；第II 卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷（选择题共40分）注意事项：第I 卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共10个小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中3cm 6cm 9cm b c d ===，，，则线段a 的长度为（ ）A. 8cmB. 2cmC. 4cmD. 1cm 【答案】B【解析】【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序；【详解】解：由题意，得a cb d =∴632(cm)9c a bd =×=´=．故选：B【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键．2. 如图，点B ，C ，D 在O e 上，若30BCD Ð=°，则BOD Ð的度数是( )A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆周角定理；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【详解】解：30BCD Ð=°Q ，223060BOD BCD \Ð=Ð=´°=°．故选：D ．3.已知ABC DEF ∽△△，且3AB =，6DE =，若ABC V 的周长为20，则DEF V 的周长为（ ）A. 5B. 10C. 40D. 80【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：ABC DEF Q △∽△，∴ABC V 的周长:DEF △的周长:3:61:2AB DE ===，ABC Q V 周长为20，DEF \V 的周长为40．故选：C ．4.10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（ ）A. ()113802x x -= B. ()1380x x -=C. ()21380x x -= D. 2380x =【答案】B【解析】的【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有x 支，根据参加乒乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【详解】解：设参赛队伍有x 支，由题意可得：()1380x x -=，故选B ．5.如图，矩形ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，18AB =cm ，杯中水面与CD 的交点为E ，当水杯底面BC 与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（ ）cmA. 9B. 15C.D. 【答案】D【解析】【分析】过点B 作BF AE ^于点F ，如图，则BF 的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解】解：过点B 作BF AE ^于点F ，如图，则90AFB Ð=°，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC Ð=°，∵30CBH Ð=°，∴30ABF CBH Ð=Ð=°，∵18AB =cm ，∴192AF AB ==cm ，∴BF ==cm ，即杯中水的最大深度为cm ；故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键.6.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得12BD cm =，16AC cm =，直线EF AB ^交两对边于点E ，F ，则EF 的长为（ ）A. 8cmB. 10cmC. 48cm 5D. 96cm 5【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高EF ．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴AC BD ^()11168cm 22AO CO AC ===´=()11126cm 22BO DO BD ===´=∴在Rt ABO △中，()10cm AB ===∵12ABCD S AC BD =×菱形或ABCD S AB EF =×菱形∴12AC BD AB EF ×=×，即11612102EF ´´=∴48cm 5EF =故选：C【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．7.的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间的关系式为2h t bt =-+．已知足球被踢出9s 时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t 为（ ）A. 3sB. 3.5sC. 4sD. 4.5s【答案】D【解析】【分析】根据题意可得当9t =时，0h =，再代入，可得到该函数解析式为29h t t =-+，然后化为顶点式，即可求解．【详解】解：根据题意得：当9t =时，0h =，∴2099b =-+，解得：9b =，∴该函数解析式为29h t t =-+，∵()229 4.520.25h t t t =-+=--+，∴足球到达距离地面最大高度时的时间t 为4.5s ．故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．8.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD 中，,IJ KL EF GH ∥∥，1230Ð=Ð=°，3Ð的度数为（ ）．A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】【分析】由矩形的性质可得90D C Ð=Ð=°，进而可得60HGC IJD Ð=Ð=°；再根据三角形内角和定理可得60GMJ Ð=°；然后再证四边形NUMV 是平行四边形，由平行四边形的性质可得60VNU GMJ Ð=Ð=°，最后由对顶角相等即可解答．【详解】解：如图：∵矩形ABCD 中，∴90D C Ð=Ð=°∵1230Ð=Ð=°，∴60HGC IJD Ð=Ð=°,∴60GMJ Ð=°,∵,IJ KL EF GH ∥∥，∴四边形NUMV 是平行四边形，∴60VNU GMJ Ð=Ð=°,∴360VNU Ð=Ð=°．故选D ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设,计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点,A B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角a 为60°．若圆曲线的半径1.5km OA =，则这段圆曲线»AB 的长为（ ）．A. km 4pB. km 2pC. 3km 4pD.3km 8p 【答案】B【解析】【分析】由转角a 为60°可得120ACB Ð=°，由切线的性质可得90OAC OBC Ð=Ð=°，根据四边形的内角和定理可得36060AOB ACB OAC OBC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：∵60a Ð=°，∴120ACB Ð=°，∵过点,A B 的两条切线相交于点C ，∴90OAC OBC Ð=Ð=°,∴36060AOB ACB OAC OBC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°,∴602 1.5km 3602p p °´´´=°．故选B ．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得60AOB Ð=°是解答本题的关键．10.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A ，()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ）A. 45c -£<B. 43c -£<-C. 164c -£<D. 114c -£<【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，由题意得，三倍点所在的直线为3y x =，根据二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点，求0D ³，再根据3x =-和1x =时两个函数值大小即可求出答案．【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为3y x =，在31x -<<的范围内，二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，即在31x -<<的范围内，二次函数2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点，令23x x x c =--+，整理得，240x x c +-=，则241640b ac c D=-=+³，解得4c ³-，把3x =-代入2y x x c =--+得6y c =-+，代入3y x =得9y =-，96c \->-+，解得3c <-；把1x =代入2y x x c =--+得2y c =-+，代入3y x =得3y =，32c \>-+，解得：5c <，综上，c 的取值范围为：45c -£<．故选：A ．第II 卷（非选择题共110分）注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效．二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11.已知关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．【答案】4a >-##4a-<【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，∴()()22Δ44410b ac a =-=--´×->，∴4a >-，故答案为：4a >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，若240b ac D =->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac D =-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac D =-，则方程没有实数根．12. 如图，P 是反比例函数y = 3x图象上一点，PA⊥x轴于点A ，则PAO S =V _______________．【答案】32【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义即可求解．【详解】解：∵P是反比例函数y = 3x图象上一点PA⊥x轴于点A ，∴PAO S =V 32，故答案为：32.【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数k 的几何意义是解题的关键．13.如图，有一个直径为4cm 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的面积是__________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OA OB 、，则,60OA OB AOB =Ð=°，可得AOB V 是等边三角形，作OC AB ^于C ，利用等边三角形的性质求出OC ，进而求解．【详解】如图，连接OA OB 、，则,60OA OB AOB =Ð=°，∴AOB V 是等边三角形，作OC AB ^于C ，∵AOB V 是等边三角形，∴60OAB Ð=°，∴30AOC Ð=°，∵2OA =cm ，∴1AC =cm ，∴OC ==cm ，∴这个正六边形纸片的面积是21622´´=；故答案为：2．【点睛】本题考查了正多边形和圆，本题中，求出OC 是解题的关键．14.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =_________．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，根据中点和矩形的性质5BG =，利用勾股定理即可求得答案．【详解】解：∵10CE =，F 为CE 的中点，∴5CF FE ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC Ð=°，∴5BG FB FC ===，在Rt ABG V 中，3AG ===．故答案为：3．15.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A ，B ，C ，D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为7cm ，6cm AB =，8cm CD =．请你帮忙计算纸杯的直径为___________cm ．【答案】10【解析】【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到4CE =，3AF =，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】解：设圆心为O ，EF 为纸条宽，连接OC ，OA ，则EF CD ^，EF AB ^，∴118422CE CD ==´=，116322AF AB ==´=，设OE x =，则7OF x =-，又∵OC OA =，∴2222CE OE AF OF +=+，即()2222437x x +=+-，解得：3x =，∴半径5OC ==，即直径为10cm ，故答案为：10．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．16.京剧是中国一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G ．点A ，B ，C ，D 分别是图形G 与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为()0,3-，AB 为半圆的直径，且4AB =，半圆圆心M 的坐标为()1,0．关于图形G 给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）．①图形G 关于直线1x =对称；②线段CD的长为3+；③图形G 围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当42a -££时，直线y a =与图形G 有两个公共点；⑤图形G 的面积小于2π8+．【答案】①②【解析】【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景、曲线的对称性、整点问题、构造直角三角形、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由题意很明显可以得到图形G 的对称轴为，故①正确；构造直角三角形、利用勾股定理求得OC 的长，进而求得CD 的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；根据图形可得当4a =-、2a =，直线y a =与图形G 有一个公共点，即不能得出结论④，故④错误；如图：连接AE BE ，,可求得28ABE S S p +=+V 半圆，从而判定⑤错误．【详解】解：如图：由圆M 可知()()()1,0,3,0,1,0A B M -且点A ，B 在抛物线上，∴图形G 关于1x =对称，即①正确；如图：连接CM ，的在Rt MOC V 中，∵1OM =， 2CM =，OC \==又(03),D -Q ，3OD \=，3CD OC OD \=+=根据题意得，由图形G 围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误；由图形可得：当4a =-、2a =，直线y a =与图形G 有一个公共点，故④错误；如图：连接AE BE ，, 2114448,2222ABE S S p p æö=´´===ç÷èøV 半圆，∴82ABE G S S S p +=+<V 半圆，故⑤错误．故答案为①②．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 计算：2tan 452sin 30cos 45cos 60°+°-°+°．【答案】2【解析】【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值．利用特殊锐角的三角函数值计算即可．【详解】解：2tan 452sin 30cos 45cos 60°+°-°+°2111222=+´-+111122=+-+2=．18. 在ABC V 中，C Ð = 90°，A Ð = 30°且AB = 20cm ，求边AC 的长度．【答案】【解析】【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得10cm BC =，进而勾股定理即可求解．【详解】ABC Q V 中，90C Ð=°，30A Ð=°，20cm AB =，BC \=1210cm AB =，AC \===cm ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．19.如图，在ABC V 中，D 为AB 上一点，64ACD B AC AD Ð=Ð==，，．求AB 的长．【答案】AB 的长为9．【解析】【分析】根据已知条件证明ACD ABC △∽△，得到AD AC AC AB=求出即可．【详解】解：∵ACD B A A Ð=ÐÐ=Ð，，∴ACD ABC △∽△∴AD AC AC AB=∴23694AC AD AB ===．故AB 的长为9．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解．20.如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标为()1,2A -，()4,3B -，()3,1C -．（1）以点B 为位似中心，在点B 的下方画出11A BC V ，使11A BC V 与ABC V 位似，且位似比为2:1；（2）求四边形11CC A A 的面积．【答案】（1）作图详见解析（2）152【解析】【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法，（1）根据相似比的以及点,,A B C 的坐标即可求得11A BC V ；（2）根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形11CC A A 的面积．【小问1详解】解：如图所示，11A BC V 即为所求，【小问2详解】解：35231122=´---=△ABC S ，∵11A BC V 与ABC V 位似，且位似比为2:1；则1114ABC A BC S S =△△，∴1110A BC S =△．11115151022A BC ABC CC A A S S S =-=-=△△四边形．21. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱OM 高4尺且垂直于水平地面，碓杆AB 长16尺，3OB OA =．当点A 最低时，60AOM Ð=°，此时点B 位于最高点；当点A 位于最高点A ¢时，108.2A OM Т=°，此时点B 位于最低点B ¢．（1）求点A 位于最低点时与地面的垂直距离；（2）求最低点B ¢与地面的垂直距离．（参考数据：sin18.20.31°»，cos18.20.95°»，tan18.20.33°»）【答案】（1）点A 距离地面2尺（2）点B ¢到地面之间的垂直距离约为0.28尺【解析】【分析】（1）分别过点O 作直线EF OM ^，作AH OM ^，H 为垂足，分别过点B 、B ¢作BC EF ^、B D EF ¢^，垂足分别为C 、D ；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得122OH OA ==，2MH OM OH =-=，即可求得；（2）根据16AB =，3OB AO =，求得3124OB AB ==，根据三角函数的定义，可得sin18.2120.31 3.72DB OB =×°=´»¢¢，即可求得．【小问1详解】分别过点O 作直线EF OM ^，作AH OM ^，H 为垂足，分别过点B 、B ¢作BC EF ^、B D EF ¢^，垂足分别为C 、D ．∵90EOM Ð=°，60AOM Ð=°∵4OA =∴122OH OA ==，2MH OM OH =-= ∴点A 距离地面2尺；【小问2详解】∵16AB =，3OB AO=∴33161244OB AB ==´=∴sin18.2120.31 3.72DB OB =×°=´»¢¢∴4 3.720.28-=故点B ¢到地面之间的垂直距离约为0.28尺．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22.芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？【答案】（1）20% （2）4条【解析】【分析】（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x ，根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万个，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m ）万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m 的值．【小问1详解】解：设求前三季度生产量的平均增长率为x ，依题意得：2200(1)288x +=，解得：1x =02=20%，2x =-2.2（不合题意，舍去）．答：前三季度生产量的平均增长率20%；【小问2详解】解：设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m ）万个/季度，依题意得：（1+m ）（600-20m ）=2600，整理得：2291000m m -+=，解得：1m =4，2m =25，∵在增加产能同时又要节省投入，∴m=4．答：应该再增加4条生产线.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．23. 如图，AB 为O e 的直径，D E 、是O e 上两点，延长AB 至C ，连接CD ，BDC A Ð=Ð．（1）求证：CD 是O e 的切线；（2）若tan 34E =，8AC =，求O e 的半径．【答案】（1）证明见解析（2）O e 的半径为74【解析】【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；（1）连接OD ，由圆周角定理得出90ADB Ð=°，证出OD CD ^，由切线的判定可得出结论；（2）证明BDC DAC ∽△△，由相似三角形的性质得出34CD BC BD AC CD DA ===，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．【小问1详解】证明：连接OD ，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB Ð=°，∴90Ð+Ð=°A ABD ，∵OB OD =，∴ABD ODB Ð=Ð，∵BDC A Ð=Ð，∴90BDC ODB Ð+Ð=°，∴90ODC Ð=°，∴OD CD ^，∵OD 是O e 的半径，∴CD 是O e 切线；【小问2详解】解：∵90ADB Ð=°，tan 34E Ð=，∴3tan 4BD BAD AD Ð==，∵BDC A Ð=Ð，C C Ð=Ð，∴BDC DAC ∽△△，∴34CD BC BD AC CD AD ===，∵8AC =，∴384CD =，∴6CD =，∴364BC =，∴92BC =，∴97822AB AC AB =-=-=．∴O e 的半径为74．24. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L （灯丝的阻值L 2ΩR =）亮度的实验（如图），已知的串联电路中，电流与电阻L RR 、之间关系为L U I R R =+，通过实验得出如下数据：/ΩR …1a 346…/A I …43 2.42b …（1）=a _______，b =_______；（2）【探究】根据以上实验，构建出函数()1202y x x =³+，结合表格信息，探究函数()1202y x x =³+的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数()1202y x x =³+的图象；②随着自变量x 的不断增大，函数值y 的变化趋势是_________．（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当0x ³时，123622x x ³-++的解集为________．【答案】（1）2，1.5（2）①见解析；②函数值y 逐渐减小（3）2x ³或0x =【解析】【分析】（1）根据解析式求解即可；（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．【小问1详解】解：由题意，122I R =+，当3I =时，由1232a =+得2a =，当6R =时，12 1.562b ==+，故答案为：2，1.5；【小问2详解】解：①根据表格数据，描点、连线得到函数()1202y x x =³+的图象如图：②由图象可知，随着自变量x 的不断增大，函数值y 逐渐减小，故答案为：函数值y 逐渐减小；【小问3详解】解：当2x =时，32632y =-´+=，当0x =时，6y =，∴函数()1202y x x =³+与函数362y x =-+的图象交点坐标为()2,3，()0,6，在同一平面直角坐标系中画出函数362y x =-+的图象，如图，由图知，当2x ³或0x =时，123622x x ³-++，即当0x ³时，123622x x ³-++的解集为2x ³或0x =，故答案为：2x ³或0x =．【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．25. 如图1，已知二次函数图象与y 轴交点为(0,3)C ，其顶点为(1,2)D ．（1）求二次函数的表达式；（2）直线CD 与x 轴交于M ，现将线段CM 上下移动，若线段CM 与二次函数的图象有交点，求CM 向上和向下平移的最大距离；（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O 点顺时针旋转90°，得到抛物线G ，如图2所示，直线2y x =-+与G 交于A ，B 两点，P 为G 上位于直线AB 左侧一点，求ABP D 面积最大值，及此时点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =-+（2）CM 向下平移的最大距离为14，向上平移的最大距离为6． （3）11,42P æö-ç÷èø【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①设直线CD 向下平移最大距离为m ，由△140m =-=，即可求解；②设直线CD 向上平移最大距离为n ，同理可解；（3）由1()2ABP A B S PQ y y D =-，即可求解．【小问1详解】解：Q 顶点(1,2)D ，设二次函数的解析式为2(1)2y a x =-+，把(0,3)代入得：32a =+，1a \=，2(1)2y x \=-+，即223y x x =-+；【小问2详解】解：由点C 、D 的坐标得，直线CD 解析式为3y x =-+，(3,0)\M ，①设直线CD 向下平移最大距离为m ，\平移后的直线解析式为3y x m =-+-，此时直线与抛物线有一个交点，把3y x m =-+- 代入223y x x =-+，得2233x x x m -+=-+-，20x x m -+=，△140m =-=，即：14m =．②设直线CD 向上平移最大距离为n ，此时C ，M 对应点为C ¢，M ¢，则(3,)M m ¢，当M ¢恰在二次函数上时，23233m \-×+=，6m \=，\向上平移的最大距离为6．综上，CM 向下平移的最大距离为14，向上平移的最大距离为6；【小问3详解】解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为(0,0)，则函数的解析式为：2y x =，设2(,)F m m 为2y x = 上一点，F 绕O 顺时针旋转90° 后，对应点为F ¢，则FMO F M O ¢¢≌△△，则FM F M m ¢==，2FN OM OM m ¢===，2:()F m m ¢-，，若F 在y 轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，所以2:G x y =，把2y x =-+ 代入2x y =，22y y \=-+，解得：12y =-，21y =；则(1,1)A ，(4,2)B -，设：2()P m m ，，过点P 作PQ x ∥轴交AB 于点Q ，:2AB y x =-+Q ，(2,)Q m m \-，22PQ m m \=--，\1()2ABP A B S PQ y y D =-21(2)32m m =--×233322m m =--+，当12m =- 时，ABP S D 有最大值，278max S =，此时11,42P æö-ç÷èø．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大．26.在矩形ABCD 中，3AB =，AD =E 在射线BC 上，将射线AE 绕点A 逆时针旋转90°，交CD 延长线于点G ，以线段AE AG ，为邻边作矩形AEFG ．（1）如图1，若E 在线段BC 上，连接AC ，则tan ACB Ð=______，BE DG=______；（2）如图2，若E 在线段BC 延长线上，当点F B D 、、共线时，求线段BE 的长；（3）如图3，若E 在线段BC 上，当2EA EC =时，在平面内有一动点P ，满足2PE EF =，连接PA PC ，，请直接写出12+PC PA 的最小值．【答案】（1（2）BE =（3）【解析】【分析】（1）通过证明ABE ADG ∽△△，可得BE AB DG AD ==；（2）同理可证,ABE ADG ABE EMF V V V V ∽∽，可求EM 的长，由锐角三角函数可列出方程，即可求解；（3）由勾股定理可求,,BE AE EC 的长，由锐角三角函数可求60AEB Ð=°，通过证明AEP CEP ¢V V ∽，可得12P C AP ¢=，则当P 、C 、P ¢三点共线时，12PC AP +有最小值，最小值为PP ¢的长，由相似三角形的性质和勾股定理可求解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，3,AB DC BC AD \====tan AB ACB BC \Ð==∵将射线AE 绕点A 逆时针旋转90°，90,EAG BAD \Ð=Ð=°,BAE DAG \Ð=Ð又90,ADG ABC Ð=Ð=°∴ABE ADG ∽△△，BE AB DG AD \==【小问2详解】过F 作FM BE ^交BE 延长线于M ，由（1）可知：ABE ADG ∽△△，90,ABC M AHF Ð=Ð=Ð=°Q 90,AHB MHF AHB BAH \Ð+Ð=°=Ð+Ð∴,BAH MHF Ð=ÐABE EMF \V V ∽，则AB BE AE AE AB EM MF EF AG AD =====，3EM \=EM \=设3,BE x FM ==，∴在Rt BMF V 中，tan FM FBM BM Ð====解得x =，3BE x \==【小问3详解】设EC a =，2,AE EC =Q2,,AE a BE a \==-2223,AB AB BE AE =+=Q ，2223)(2),a a \+-=a \=2AE a BE EC \====tan BEA \Ð=60BEA \Ð=°120,AEC \Ð=°作120PEP ¢Ð=°，且12EP PE ¢=，连接,P C PP ¢¢，120,AEC PEP ¢\Ð=Ð=°,AEP CEP ¢\Ð=Ð又2,AE PE EC P E==¢Q ,AEP CEP ¢\V V ∽1,2P C AP ¢\=1,2P C AP ¢\=1,2PC AP PC P C ¢\+=+∴当P 、C 、P ¢三点共线时，12PC AP +有最小值，最小值为PP ¢的长，,ABE ADG QV V ∽AB AE AD AG \==又AE =Q 4,AG EF \==又28,PE EF ==Q 14,2P E PE ¢\==120,PEP ¢Ð=°Q 18060,HEP PEP ¢¢\Ð=°-Ð=°9030,HP E HEP ¢¢\Ð=°-Ð=°12,2HE HE PH \====10,PH HE PE \=+=在Rt HPP ¢V 中，PP ¢===【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．。