期末复习12--平行与相交、观察物体的复习

《平行线与相交线》全章复习与巩固知识点一、相交线1.对顶角、邻补角图形顶点边的关系大小关系对顶角有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2 邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB ⊥CD，垂足为O.1 2∠1与∠2（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P 到直线AB的距离是垂线段PO的长.要点诠释：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB 与CD间的距离.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．探究：问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接P A、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系(1) 端点A、C同向：如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC－(∠A﹢∠C)＝_________度如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC﹢(∠A﹢∠C)＝_________度(2) 端点A、C反向：如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与(∠A－∠C)有怎样的等量关系？写出结论并证明如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC－(∠A－∠C)＝_________度【典型例题】类型一、相交线1. a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．都不对【变式】如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角,邻补角及对顶角.2.已知：如图，直线a、b、c两两相交，且∠1＝2∠3，∠2=86°，求∠4的度数.类型二、平行线的性质与判定3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=________度.如图，直线l∥m，将三角形△ABC（∠ABC＝45°）的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF＝70°，则∠GFD′＝_________类型三、命题及平移4.如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．【变式】下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，b∥c，则a∥c（2）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a⊥c（3）在同一平面内，a、b、c是直线，a∥b，a⊥c，则b⊥c（4）在同一平面内，a、b、c是直线，a⊥b，b⊥c，则a∥c．A．1 B． 2 C． 3 D． 45.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．【变式】下列说法错误的是（）A．平移不改变图形的形状和大小B．平移中图形上每个点移动的距离可以不同C．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等D．经过平移，图形对应点的连线段相等类型四、实际应用6.如图，107国道a上有一个出口M，想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积．。

初一数学平行线与相交线期末复习初一数学平行线与相交线期末复习1. 同一平面内，两直线不平行就相交。

2. 两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。

性质是对顶角相等。

3. 垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

4. 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足5. 垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

6. 垂线段最短;7. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

8. 两条直线被第三条直线所截a.同位角:在两条直线的同一方,在第三条直线的同一侧。

b.内错角：在两条直线的内侧，在第三条直线的两侧。

c.同旁内角：在两条直线的内侧，在第三条直线的—同侧。

9. 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

10. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c11. 平行线的判定。

结论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。

平行线的性质：a.两直线平行，同位角相等。

b.两直线平行，内错角相等。

c.两直线平行，同旁内角互补。

相交线与平行线中重要的考点考点一，相交线。

相交线指的是两条直线相交，其中特殊的情形为两条直线互相垂直。

在相交的过程当中会出现对顶角和邻补角这时对对顶角的定义和零补角的计算所用到的技巧是我们在看到这一内容时，要形成条件反射的重要结论，能够熟练地了解对顶角的概念，使用对顶角相等这一性质来求解角度。

这其中涉及到邻补角，对顶角或周角这些不同的角之间存在怎样的关系是我们求解角度时的隐藏条件，希望大家在做题时一定要快速的结合这些知识点，有助于解题思路的形成。

考点二，点到直线的距离。

精编版平行线与相交线知识点整理总复习平行线与相交线是几何学中重要的概念，它们在平面几何、解析几何以及立体几何中都有广泛的应用。

下面对平行线与相交线的相关知识点进行整理总复习。

一、平行线的定义与性质：1.定义：在平面上的两条直线，如果它们没有交点，就称为平行线。

2.平行线的判定方法：（1）同一条直线上的两条直线，如果与另一条直线平行，则它们互相平行。

（2）用直角板判定法：如果两直线上各取一点P和Q，再通过P、Q各画一条与给定直线垂直的直线，则这两条垂直线相交的点连同P、Q四点是否共线，如果共线，则给定直线与这两条垂直线平行；否则，不平行。

（3）用平行线定理判定：如果两直线上各取一点P和Q，并通过Q画一条与给定直线平行的线段，则通过P和平行线段的直线相交的点与P、Q、两直线上平行线段的两个端点是否共线，如果共线，则给定直线与平行线段平行；否则，不平行。

3.平行线性质：（1）平行线具有等斜率。

（2）平行线的判定是对称的，即如果直线l与直线m平行，那么直线m与直线l也平行。

（3）平行线的传递性。

（4）平行线的交线和倾斜度。

（5）两个平行线与同一直线的交线上的对应角相等。

（6）两个平行线分别与同一直线的两条截线上的对应角相等。

二、相交线与交角的定义与性质：1.定义：在平面上的两条直线如果有一个交点，就称为相交线。

2.存在且唯一：平面上任意两条不平行的直线都有一个且仅有一个交点。

如果两条直线有两个或多个交点，则它们必定重合。

3.交角的定义：两条相交线之间的夹角。

三、平行线与相交线的相关知识点：1.平行线的判定与构造：可以通过几何推理来判定两条直线是否平行，也可以通过构造垂直线段或平行线段等方法来构造平行线。

2.平行线于直线的夹角：直线与平行线的夹角为0度。

3.平行线与截线的夹角：一条直线与平行线的截线上的各个角的和等于180度。

4.形成平行线的条件：如果两个直线分别与一条第三条直线相交，在交点两侧所夹的内角或外角相等，则这两个直线平行。

平行线与相交线期末考试总复习考点1：余角、补角、对顶角一、考点讲解：1．余角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为余角．2．补角：如果两个角的和是，那么称这两个角互为补角．3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．4．互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°，则∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2= ∠3．5．互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180○．②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．6．对顶角的性质：对顶角相等．二、经典考题剖析：【考题1－1】如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（）A．∠2 =45○B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75○30′解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．三、针对性训练：1．_______的余角相等，_______的补角相等．2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=__3．下列说法中正确的是（）A．两个互补的角中必有一个是钝角B．一个角的补角一定比这个角大C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角D．相等的角一定互余4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32○，那么从A 处观测到C处的方向为（）A．南偏西32○B．东偏南32○C．南偏西58○D．东偏南58○5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=8．如图l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．0个B．l个C．2个D．3个9．如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是______10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等于周角的13，求∠A+∠B+∠C的度数．11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；（2）求∠AOB和∠DOC的度数；（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质一、考点讲解：1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．3．平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.二、经典考题剖析：【考题2－1】如图1―2―4，直线a ∥b，则∠A CB＝________解：78○点拨：过点C作CD平行于a，因为a∥b，所以CD∥b．则∠A C D＝2 8○，∠DCB=5 0○．所以∠ACB＝78○．【考题2－2】（2004、开福，6分）如图1―2―5，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0○求∠2的度数．解：65○点拨：由AB∥CD，得∠BEF＝180○－∠1=130○，∠BEG=∠2．又因为EG平分∠BEF，所以∠2=∠BEG=12∠BEF=65°（根据平行线的性质）三、针对性训练：1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．l个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的个数是（）（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；（4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行。

1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系大小关系对顶角∠1的两边与∠2的两边邻补角∠3与∠4有一条边公共，另一边注意点：⑴两直线相交形成的4个角的位置关系有：（2）∠α与∠β是对顶角，那么一定有 ；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有 ；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有 个，而对顶角只有 个。

(4) 两直线相交形成的四个角中，共有 组邻补角， 组对顶角。

2、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：如图所示：记作： 垂足为⑵垂线性质1：⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：3、垂线的画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：沿着这条直角边画线。

注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别⑴垂线与垂线段 区别： 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。

⑵两点间距离与点到直线的距离 区别： 联系：都是线段的长度；1 2 4 3 A B C DO⑶线段与距离 区别6、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a 与直线b 互相平行，记作a ∥b 。

7、两条直线的位置关系，两条直线的位置关系只有两种：8、平行公理――平行线的存在性与惟一性经过 一点， 一条直线与这条直线平行9、平行公理的推论：如果 那么这两条直线也互相平行如左图所示，∵b ∥a ，c ∥a ∴b ∥c注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。

平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。

平行线的特点是它们的斜率相等，且不相交。

若两条直线平行，则可表示为l，m。

平行线的性质：1.平行线具有等于90°的斜角。

2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。

这一性质被称为垂直平行线定理。

3.如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。

4.平行线的反身性质：如果l，m，则m，l。

二、平行线的判定方法1.高度差法：通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。

2.点斜式法：通过两点确定的直线斜率相等来判定。

3.斜率法：两直线斜率相等，则平行。

4.三角形内角和法：若两直线被一条直线所截，则截线两侧内角和相等，则平行。

三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上，会相交的两条或更多条直线。

相交线两两相交于一点，称之为交点。

相交线的性质：1.相交线之间的交角之和等于180°，即交角互补。

2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。

3.相交线的交点称为顶点，可以通过顶点来判断直线相交的情况，包括内角和外角。

四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理：当一条直线与两条平行线相交时，它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。

2.内错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的内错角相等。

3.同位角定理：同位角为同侧的内角，当两直线被另一直线切割时，同位角相等。

4.外错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的外错角互补。

五、应用举例1.在平行四边形中，对角线互相平分。

2.平行线截割三角形：当一条线段与两条平行线相交时，它将三角形切割成两个面积相等的三角形。

3.测量高度：通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。

4.道路设计：在公路设计中，平行线可以将车道分隔开，并引导交通流向。

在几何学中，平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。

2024年四年级数学上册期末复习计划范本7秋季学期期末考试即将到来了，作为四年级的学生，也具备了一定的期末复习能力，不过还是要为学生们制定一个复习计划，让大家能够在期末考试中获得成功。

一、复习目标1、通过整理复习，使学生对万级、亿级的数，十进制计数法，用“万”、“亿”作单位表示大数目以及近似数等知识有进一步的认识，建立有关整数概念的认知结构。

2、进一步巩固学生对除数是整十数的除法口算和三位数除以两位数的除法笔算，进一步提高用计算器进行大数目计算以及探索规律的操作技能，加深对计算器的认识。

3、使学生进一步掌握混合运算的运算顺序和加法、乘法的交换律和结合律，能正确进行含有两级运算或含有小括号的两步式题的运算，能灵活运用运算率使计算简便进一步掌握直线、射线、直线、角以及平行和相交等基础知识，在观察物体中加深对物体和相应视图的认识，进一步发展空间观念。

5、进一步掌握统计的基本知识和方法，进一步体验事件发生的可能性的大小和游戏规则的公平性。

二、复习重难点1.除法的计算准确性的提高和混合运算运算律的应用2.对角和平行相交的认识3.读数和写数四、复习措施教师方面：1、针对本班的学习情况，制定好复习计划，备好、上好每一节复习课。

2、采用各种手段激发学生的学习兴趣，提高教学效果，注意知识的整合性、连贯性和系统性，引导学生对已学过的知识进行归类整理。

3、在抓好基础知识的同时，全面培养学生的数学素养，培养学生总结与反思的态度和习惯，提高学生的学习能力复习作业的设计体现层次性、综合性、趣味性和开放性，及时批改，及时发现问题，查漏补缺，做到知识天天清。

5、注重提优补差工作，关注学生的学习情感和态度，与家长加强沟通。

学生方面：1、要求在态度上主动学习，重视复习，敢于提问，做到不懂就问。

2、要求上课专心听讲，积极思考、发言，学会倾听别人的发言。

3、要求课后按时、认真地完成作业，及时进行自我反思。

补差措施1、对各差生的不同原因，对症下药，从态度、习惯、知识、方法入手，制定不同的目标，目标要小、细、实。

小学平行与相交知识点总结一、平行线的定义与性质1. 定义：两条直线在同一平面上，如果它们不相交，且其间所夹角度相等，则这两条直线互相平行。

2. 性质：- 平行线之间的距离是相等的- 平行线所夹角度相等- 平行线上的角相加等于180°- 在同一平面上，直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行3. 判定方法：- 直线上的点到另一直线的距离相等- 两个角的对应角或同位角相等- 两个角的内角互补角相等4. 求解平行线的问题- 已知平行线上的角度，求解其它角度- 已知直线与平面平行，求解其它角度- 已知平面与平面平行，求解其它角度二、交线的定义与性质1. 定义：两条直线交于一点，这两条直线称为相交直线；两个平面交于一条直线，这两个平面称为相交平面。

2. 性质：- 相交直线上的点到另一直线的距离不等- 两个相交直线所夹角度相等- 相交直线的两组对应角相等- 两个相交平面的交线垂直于这两个平面3. 判定方法：- 两个角的对应角或同位角相等- 两个角的内角互补角相等- 直线与平面交角相等4. 求解相交线的问题- 已知相交直线上的角度，求解其它角度- 已知相交平面上的角度，求解其它角度- 已知直线与平面相交，求解其它角度三、平行线与相交线的应用1. 地图上的应用在地图上，我们经常会遇到平行的道路或者铁路，这时我们可以利用平行线的性质来计算地点之间的距离，或者利用平行线的性质来判断地点之间的相对位置。

2. 建筑中的应用在建筑设计中，我们也会经常使用平行线和相交线的性质。

比如在设计窗户、门窗的位置时，我们需要利用平行线的性质来确保它们在同一直线上，或者利用相交线的性质来确保它们之间的角度相等。

3. 几何问题的解决在数学题目中，我们也会经常遇到平行线与相交线的问题。

比如求解角度、距离等问题，都需要我们利用平行线与相交线的性质来进行计算。

总结：平行与相交是数学中的重要概念。

通过学习平行与相交的定义、性质、判定方法以及应用，可以帮助我们更好地理解几何结构，解决实际问题。

第一节 相交线一、知识要点：（一）当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。

（二）余角、补角、对顶角1、余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.2、补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角.3、对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.4、互为余角的有关性质：①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l 十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.5、互为补角的有关性质：①若∠A +∠B ＝180°，则∠A 、∠B 互补；反过来，若∠A 、∠B 互补，则∠A +∠B ＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A +∠C＝180°，∠A +∠B ＝180°，则∠B ＝∠C . 6、对顶角的性质：对顶角相等.（三）垂直：相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90︒。

1、经过直线外一点，作直线垂线，有且只有一条；2、点到直线上各点的距离中，垂线段最短。

（四）两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：1、同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；2、内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；3、同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD 之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角； 题型一：列方程求角 例1：一个角的余角比它的补角的21少20°.则这个角为 （ ）A 、30°B 、40°C 、60°D 、75°分析：若设这个角为x ，则这个角的余角是90°－x ，补角是180°－x ，于是构造出方程即可求解演练1、如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是（ ）A 、42138、 B 、都是10 C 、42138 、或4210 、 D 、以上都不对分析：两个条件可以确定两个角互补，列方程即可 2、如图1，∠1=21∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数. 题型二：三线八角判断例1：如图2，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AOE ∠的对顶角是 ，COF ∠的邻补角是若AOC ∠：AOE ∠=2：3，130=∠EOD ，则BOC ∠=图2 图3 图4例2：如图3，以下说法错误的是 （ ）Ａ、1∠与2∠是内错角 Ｂ、2∠与3∠是同位角Ｃ、1∠与3∠是内错角Ｄ、2∠与4∠是同旁内角例3：如图4，按各角的位置，下列判断错误的是 （ ）A 、∠1与∠2是同旁内角B 、∠3与∠4是内错角C 、∠5与∠6是同旁内角D 、∠5与∠8是同位角例4：直线AB 、CD 相交于点O ，过点O 作射线OE ，则图中的邻补角一共有 （ ）图1图1ab M P N 123 B EDACFA 、3对B 、4对C 、5对D 、6对 演练： 1、两条直线相交，有_____对对顶角，三条直线两两相交，有_____对对顶角. 2、下列所示的四个图形中，1∠和2∠是同位角．．．的是 （ ）A 、②③B 、 ①②③C 、①②④D 、 ①④3、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（ ）12121212A 、0B 、1C 、2D 、3 4、三条直线相交于一点，构成的对顶角共有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 题型三：做辅助线（平行线）求角例1：已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ）A 、60°B 、50°C 、40°D 、30°分析：要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°例2：如图6，若AB ∥CD ，则∠A 、∠E 、∠D 之间的关系是 ( ) A 、∠A +∠E +∠D =180° B 、∠A －∠E +∠D =180°C 、∠A +∠E －∠D =180° D 、∠A +∠E +∠D =270°例3：如图7，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.演练：图8 图91、如图8，a b ∥，M N ，分别在a b ，上，P 为两平行线间一点，那么123∠+∠+∠=（ ） A 、180 B 、270 C 、360D 、540 2、如图9，AB DE ∥，65E ∠=，则B C∠+∠=（ ）A 、135B 、115C 、36D 、65题型四：求点到直线的距离例1：如图8，能表示点到直线的距离的线段共有（ ）Ａ、2条Ｂ、3条Ｃ、4条Ｄ、5条例2：已知线段AB 的长为10cm ，点A 、B 到直线L 的距离分别为6cm 和4cm ，•则符合条件的直线L 的条数为（ ）F E ①2121②12③12④图6A、1B、2C、3D、4习题演练：1、平面内三条直线的交点个数可能有（）A、1个或3个B、2个或3个C、1个或2个或3个D、0个或1个或2个或3第二节平行线一、知识要点：（一）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.（二）平行公理 1、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（三）平行线的判定1、平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行 2、平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行3、平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行4、平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行5、平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行题型一：概念判断例1：下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线相截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（）A、①②是正确的命题B、②③是正确命题C、①③是正确命题D、以上结论皆对例2：下列语句错误的是（）A、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离；B、两条直线平行，同旁内角互补C、若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角D、平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等演练：1、在同一平面内，两条直线可能的位置关系是．2、在同一平面内，三条直线的交点个数可能是．3、下列说法正确的是（）A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行题型二：平行线判定定理例1：如图10，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°。

四年级平行与相交知识点总结平行线和相交线是几何学中的基本概念，对于理解图形和解决几何问题至关重要。

下面是关于平行与相交的知识点总结。

1.平行线的定义：-两条直线在同一平面内，如果它们不相交，那么它们被称为平行线。

-平行线的符号表示为"∥"。

2.平行线的性质：-平行线之间的距离始终保持相等。

-平行线与同一条横截线的交点与另一条平行线的交点连线是平行四边形的一条对角线。

-平行线之间不存在交角，即它们的夹角为零。

3.判定平行线的方法：-欧几里得公设：通过一个点可以画出一条直线，并且在同一平面上，通过一条直线外的点可以画出无数条直线，这些直线中只有一条与给定的直线平行。

-直线平行定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这两条平行线之间的夹角与相交直线所切割的其他两条直线之间的夹角相等。

4.相交线的定义：-两条直线在同一平面内，如果它们有一个公共点，那么它们被称为相交线。

-相交线的符号表示为"∩"。

5.相交线的性质：-相交线之间的夹角根据交点的不同形成不同类型的夹角，如锐角、直角和钝角。

-相交线之间的夹角可以用度数或弧度来度量。

6.判定相交线的方法：-垂直线判定：如果两条直线相交，且相交的四个角中有两个角是互相垂直的，那么这两条直线是相互垂直的。

-平分线判定：如果一条直线把另一条直线分成两个相等的部分，并且这两条直线相交，那么这两条直线是相互平分的。

7.平行线和相交线的应用：-平行线与相交线的概念广泛应用于解决几何问题，如证明图形的性质、计算角度和长度等。

-在建筑、工程和地理测量等领域中，平行线和相交线的概念也有重要的应用。

总结：平行线和相交线是几何学中基本的概念，它们的性质和判定方法对于理解图形的特征和解决几何问题至关重要。

通过掌握平行线和相交线的知识，我们可以更好地理解和分析几何图形，并应用于实际问题的求解。

复习角、平行和相交以及观察物体3、复习角、平行和相交以及观察物体教学内容：教科书第102页教学要求：通过复习，使学生再次体会射线、直线等数学概念的形成过程：进一步把握线段、直线和射线、锐角、直角、钝角、平角和周角之间的关系；进一步掌握测量和画图的方法，加深体验并发展空间观念；教具准备：量角器、刻度尺，5个大小相等的正方体。

教学过程一、揭示课题二、复习直线、射线、角、平行和相交1．复习线段、直线、射线(1)让学生依次画出一条直线、一条射线、一条线段。

(2)说说它们各自的特点及相互联系。

2．完成第111页第12题。

(1)按要求画一画。

(2)说说为什么要这么画?3．复习角。

(1)出示：提问：这是个什么图形?怎么表示角?(板书： )(2)让学生指一指角的各个部分，提问：什么是角?角是哪几部分组成的?(3)提问：要想知道这个角的度数，应怎样测量?(指名一学生用量角器测出这个角的度数o)(4)完成第111页第13题，同学们量一量角的度数。

根据要求，将角分一分类，并说说分类的理由。

(5)说明：根据角的度数大小，可以将角分为以下几类：小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，大于90度而小于180度的角是钝角，等于180度的角是平角，360度的角是周角。

4．画角。

(1)用量角器画出一个30度的角。

(2)画一个90度的角。

(引导同学用不同的工具画)(3)画一个135度的角。

5．复习平行和垂直。

(1)提问：两条直线根据位置的不同，有哪两种情况?(相交、不相交)相交的两条直线所成的夹角为90度，这两条直线什么关系?平行指什么?(2)画出下面已知直线过A点的垂线。

（小黑板出示）.A A. A .(3)画出下面已知直线并且过A点的平行线。

.A .A6．完成第111页第14题。

三、观察物体1．出示：(1)指名说说从正面、上面、侧面分别看到的什么形状。

(2)提问：如果再加1个／jqE方体，要使从上面看形状不变应怎样摆?2．出示：(1)完成第111页的连线。

一、平行与相交1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有平行和相交这两种。

2.在同一平面内,不相交的两条直线互相平行。

3.同一平面内,互相平行的两条直线互为平行线。

如上图,直线a 和直线b 互相平行,我们可以说直线a 是直线b 的平行线,也可以说直线b 是直线a 的平行线。

二、认识垂直两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。

如上图,直线a 和直线b 互相垂直,垂足是O ,a 叫做b 的垂线,b 叫做a 的垂线。

三、垂线的画法1.过直线上一点,画垂线的方法:(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合。

(2)沿着直线移动三角尺,使三角尺的直角顶点与已知点重合。

(3)从直角的顶点起,沿着另一条直角边画出的一条直线,就是已知直线的垂线。

判断两条直线是否平行,两个关键点:一是是否在同一平面内,二是是否相交。

易错点:因为直线是无限延长的,有些时候看着两条直线并未相交,并未垂直,但是它们的延长线可能相交或垂直。

判断两条直线是否互相垂直时,要注意两点:一是它们是否相交,二是所成的角是否是直角。

2.过直线外一点,画垂线的方法:(1)把三角尺的一条直角边从直线外一点到这条直线所画的与已知直线重合; 垂直线段最短。

(2)沿着直线平移三角尺, 点到直线的距离。

使三角尺的另一条直角边和直线外的已知点重合。

(3)沿着另一条直角边画出一条直线。

四、平行线的画法1.将三角尺的斜边与已知直线重合。

2.将直尺与三角尺的一条直角边重合,沿着直尺移动三角尺,直到三角尺的斜边与已知点重合。

3.沿着三角尺的斜边画一条直线。

意三角尺的一条直角边要始终与已知直线重合。

线段线垂线段最短。

段都相等。

第4课时平行与相交、观察物体
一、判断题（对的画“√”，错的画“×”）
1、两条平行线之间的距离处处相等。

（）
2、不相交的两条直线一定是平行线。

（）
3、长方形的两条对边互相平行，邻边互相垂直。

（）
4、在同一平面内，两条直线不是平行就是垂直。

（）
5、过直线外一点画已知直线的平行线，可以画无数条。

（）
6、从直线外一点到这条直线可以画无数条垂直线段。

（）
二、填空。

1．下列图形分别是从前面、上面、左面中哪面看到的形状？
2．下列图形分别是从前面、上面、左面、右面中哪面看到的形状？
3．
在上面的图中，看到的是，看到的是，看到的
是，看到的是。

那么，是从( )面看的，
是从( )面看的，是从( )面看的，是从( )面看的。

答案提示：
一、 1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.×
二、1.左前上 2.上前右左 3.上左前后。