(完整版)全等三角形证明

证明三角形全等的五种方法
方法一：边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。

三角形具有稳定性，三条边都确定了，整个三角形都可以固定下来了。

这样就具有了唯一性，而这样的两个三边都对应相等的三角形，自然就是全等的。

但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。

方法二：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是课本上直接给出的，同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。

方法三：角边角（ASA）——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式也是课本上直接给出的，一个角的边可以无限延长，两个角的夹边被确定以后，就无法延长了，另外两条边则肯定会有交点，这样肯定也能将三角形确定下来。

方法四：角角边（AAS）——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的，只要记住了方法三，这个方法就很好记了。

三角形的内角和是180，如果两个角都确定了的话，另外一个角度也可以确定下来，这样三个角都是固定的了，那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的，所以也就形成了“角边角”。

方法五：斜边直角边（HL）——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。

这个判定方式是利用了勾股定理，如果两条边都知道了，那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了，这样利用方法一边边边，或者是方法二边角边，都是可以得出两个三角形全等的。

但是前提必须是两个直角三角形。

全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ；（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ；（5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等；（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

①积极发现隐含条件：公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角:图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。

在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。

下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。

一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。

我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。

【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。

所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。

由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。

我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。

这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。

如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。

通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。

在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。

正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。

全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。

通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。

因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。

由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。

因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。

方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。

根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。

通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。

方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。

假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。

证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。

根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。

通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。

方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。

教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。

现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。

如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。

AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。

求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。

如图4。

∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。

所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。

E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。

求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。

故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。

EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。

M是AC边的中点。

AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。

求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。

如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CDAB B A CDF2 1 EAC D E F 21 A D BC A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB15. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BED C B A FE PD A CB16. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．F AEDCB P E D CB A DC B A23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．证明：25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

全等三角形的判定一、知识点复习：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）在△ABC和△DEF中②：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA)在△ABC和△DEF中③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS ）⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL ）在△ABC 和△DEF 中一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗？比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗？二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（）A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙4.如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD6.如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL第二部分：考点讲解考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题4.有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗?考点4：利用“ASA”判定两个三角形全等5.如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△AEC≌△ADE．6.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；考点6：利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题:7.如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC考点7：利用“SSS”证明两个三角形全等8.如图，A、D、B、E四点顺次在同一条直线上，AC=DF，BC=EF，AD=BE，求证：△ABC≌△EDF．考点8：利用全等三角形证明线段（或角）相等9.如图，AE=DF，AC=DB，CE=BF．求证：∠A=∠D．考点9：利用“AAS”证明两个三角形全等10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：△ABD≌△ACE.考点10：利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等11.（2017秋•娄星区期末）已知：如图所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．（1）求证：BM=AC；（2）求△ABC的面积．考点11：利用“HL”证明两三角形全等12.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF。

完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。

2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。

证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。

3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。

证明：BE=CD。

4.点O是线段AB和线段CD的中点。

证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。

5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。

证明：∠B=∠D。

6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。

证明：AE=BC。

7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。

证明：AF=DF。

8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

证明：AB∥DE。

9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

证明：AE=CE。

10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。

证明：DE=CF。

11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。

证明：AE=FB。

12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。

13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。

证明：AB=AC。

14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。

证明：∠B=∠E。

15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。

16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。

全等三角形经典题目精选1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CAD BCB ACDF21 ECD B A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

8.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C9.已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C10.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB11.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE12.已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCDC B A F E A B C DPD A CB13.如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．14．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA15．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．PED CB A16．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠BD C B A17．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，F A E DCBAF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．18．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：O E DC B A19．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．FEDC B A20、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.(答案）证明：连接DC ， 在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边∴△ACD ≌△BDC （SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.(答案）证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE ∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB ∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°. 类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°， 又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图2成立； 证明图2：过点D 作DM AC DN BC ⊥⊥，则90DME DNF MDN ∠=∠=∠=°在△AMD 和△DNB 中，AMD=DNB=90A B AD BD ∠∠︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMD ≌△DNB （AAS ）∴DM ＝DN∵∠MDE ＋∠EDN ＝∠NDF ＋∠EDN ＝90°，∴∠ MDE ＝∠NDF在△DME 与△DNF 中，90EMD FDN DM DN MDE NDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DME ≌△DNF （ASA ）∴DME DNF S S =△△∴DEF CEF DMCN DECF S =S =S S .+△△四边形四边形可知ABC DMCN 1S =S 2△四边形，∴12DEF CEF ABC S S S +=△△△类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ） （2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ） （3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）(答案）（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.(答案与解析）证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ） ∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BFDEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF ∴AB ∥DC. (点评）从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt△CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线， 过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. （1）求证：AE ＝CD ；（2）若AC ＝12cm ，求BD 的长.(答案与解析）（1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB ＋∠D ＝∠DCB ＋∠AEC ＝90°．∴∠D ＝∠AEC ．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ． （2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ） ∴BD ＝EC ＝12BC ＝12AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.(答案）证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90°在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DCDE DF =⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE ＝CF2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．(答案与解析）证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN =△，且PAC S =△PBD S △ ∴ 12AC PM 12BD PN =又∵AC ＝BD ∴PM ＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB ∴OP平分∠AOB(点评）观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.(答案）证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.(答案)证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，DAB EACAB ACB C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DAB≌△EAC （SAS）∴BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(答案)证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中AB AC AD AD=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(答案）证明：延长CE至F使EF＝CE，连接BF．∵EC为中线，∴AE＝BE．在△AEC与△BEF中，,,,AE BEAEC BEFCE EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC为△ADC的中线，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB与△DCB中，,,,BF BDFBC DBC BC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜6B.5 ＜x＜7C.2 ＜x＜12D.无法确定(答案)A ；提示：倍长中线构造全等三角形，7－5＜2x＜7＋5，所以选A选项.(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，H ，G 分别在AC ，AB 上，且HD ＝BD. (1)求证：∠B 与∠AHD 互补；(2)若∠B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段AG 与线段AH 、HD 之间满足的等量关系，并加以证明.(答案）证明：（1）在AB 上取一点M, 使得AM ＝AH, 连接DM.∵ ∠CAD ＝∠BAD, AD ＝AD, ∴ △AHD ≌△AMD. ∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠AMD. ∵ HD ＝DB, ∴ DB ＝ MD. ∴ ∠DMB ＝∠B.∵ ∠AMD ＋∠DMB ＝180︒,∴ ∠AHD ＋∠B ＝180︒. 即 ∠B 与∠AHD 互补. （2）由（1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180︒.∵ ∠B ＋2∠DGA ＝180︒,∴ ∠AHD ＝2∠DGA. ∴ ∠AMD ＝2∠DGM.∵ ∠AMD ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ 2∠DGM ＝∠DGM ＋∠GDM. ∴ ∠DGM ＝∠GDM. ∴ MD ＝MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋MG, ∴ AG ＝ AH ＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ＞AC,求证：AB －AC ＞BD －DC (答案）证明：在AB 上截取AE ＝AC,连结DE∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠CAD在△AED 与△ACD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD CAD BAD ACAE∴△AED ≌△ADC （SAS ）∴DE ＝DC 在△BED 中，BE ＞BD －DC即AB －AE ＞BD －DC ∴AB －AC ＞BD －DCM G HDCBAEDC BA2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．(答案与解析)证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，()()()AC AECAM EAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所作，角平分线的定义，公共边，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(点评)因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．(答案与解析）证明：作ME⊥AF于M，连接EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE为∠FAD的平分线，∴ME＝DE．在Rt△AME与Rt△ADE中，()()AE AEDE ME=⎧⎨=⎩公用边，已证，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形对应边相等)．又∵E为CD中点，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF与Rt△ECF中，()(ME CEEF EF=⎧⎨=⎩已证，公用边)，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形对应边相等)．由图可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代换)．(点评）与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD=，求证：BD是∠ABC的平分线．(答案与解析）证明：延长AE和BC，交于点F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．在Rt△ACF和Rt△BCD中．所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．则AF=BD（全等三角形对应边相等）．∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．在Rt△BEA和Rt△BEF中，则Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．所以∠ABE=∠FBE（全等三角形对应角相等），即BD是∠ABC的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.(答案）证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°∴∠DAF －∠DAC ＝∠BAC －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF（2）当点D 运动到线段BC 的延长线上时，仍有BD ＝CF此时∠DAF ＋∠DAC ＝∠BAC ＋∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAF在△ABD 和△ACF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACF （SAS ） ∴BD ＝CF2、如图(1)，△ABC 中，BC ＝AC ，△CDE 中，CE ＝CD ，现把两个三角形的C 点重合，且使∠BCA ＝∠ECD ，连接BE ，AD ．求证：BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗?为什么?(答案)证明：∵∠BCA ＝∠ECD ， ∴∠BCA －∠ECA ＝∠ECD －∠ECA ，即∠BCE ＝∠ACD在△ADC 与△BEC 中ACD=BCE AC BC CD CE =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△BEC(SAS) ∴BE ＝AD ．若将△DEC 绕点C 旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明△ADC ≌△BEC.。

全等三角形证明题全等三角形证明题第一篇：全等三角形证明题全等三角形证明题1在直角坐标系中,有两个点a△ab≌△aed；ob＝oe .e8.如图，在△ab和△db中，ab = d，a = db，a与db交于点m．（1）求证：△ab≌△db ；（2）过点作n∥bd，过点b作bn∥a，n与bn交于点n，试判断线段bn与n的数量关系，并证明你的结论．bn9.在⊿ab中，∠b＝60。

，∠ba和∠ba的平分线ad和f交于i 点。

试猜想：af、d、a三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。

10. 在?ab中，ab=a，de∥b.（1）试问?ade是否是等腰三角形，说明理由.（2）若m为de上的点，且bm平分?ab，m平分?ab，若?ade的周长20，b=8.求?ab的周长.amdeb11. 如图, 已知: 等腰rt△oab中,∠aob=900, 等腰rt△eof 中,∠eof=900, 连结ae、bf. 求证:ae=bf;ae⊥bf.1如图，△ab中，d是b的中点，过d点的直线gf交a于点f，交a的平行线bg于点g，de⊥gf交ab于点e，连接eg。

（1）求证：bg=f；（2）请你判断be+f与ef的大小关系，并证明。

13.如图:△ab和△ade是等边三角形.证明：bd=e.bg dabde14. 如图，一艘轮船从点a向正北方向航行，每小时航行15海里，小岛p在轮船的北偏西15°，3小时后轮船航行到点b，小岛p此时在轮船的北偏西30°方向，在小岛p的周围20海里范围内有暗礁，如果轮船不改变方向继续向前航行，是否会有触礁危险？请说明理由。

北b15.如图若直线ae绕a点旋转到图若直线ae绕a点旋转到图.a. 全等三角形周长相等b. 全等三角形能够完全重合. 形状相同的图形就是全等图形d.全等图形的形状和大小都相同9.如图，已知△ab ≌△def，且ab＝4，b＝5，a＝6，则de的长为.ａ.４ｂ.５ｃ.６ｄ.不能确定10．如图，若△oad≌△ob，且∠0=65°，∠=20°，则∠oad等于（）.ａ. 85°ｂ. 95°ｃ. 65°ｄ.105°11. 如图，已知∠1＝∠2，要使△ab≌△ade，还需条件（）.a. ab＝ad，b＝deb. b＝de，a＝ae. ∠b＝∠d，∠＝∠ed.a＝ae，ab＝adaeebdbfbd1如图，△ab≌△aef，ab＝ae，∠b＝∠e，则对于结论①a＝af；②∠fab＝∠eab；③ef＝b；④∠eab＝∠fa，其中正确结论的个数是（）.a. 1个b. 2个. 3个d. 4个13.如图，已知△ab中，ab＝a，它的周长为24，又ad⊥b于d，△abd的周长为20，则ad的长为（）.a. 6b.8. 10d. 12三、证明题1．已知：如图点是ab的中点，d∥be，且d=be.求证：∠d=∠e.adbe、f是ab上的两点，ae=bf，又a∥db，且a=db.求证：f=de。

三角形全等的证明证明：三角形全等的定义是两个三角形的三个对应边长相等，那么需要证明所有三个对应角度也相等。

（一）SAS 全等法通过已知两个三角形的两边长度和它们夹角的大小相等，可以证明这两个三角形是全等的。

证明过程如下：①已知两个三角形 ABC 和 DEF，它们有两个相等的边 AB=DE，BC=EF，以及它们夹角 ACB 和 DFE 相等。

②在三角形 ABC 和 DEF 的相等边上分别取两个点 M 和 N，使得AM=DN，BM=EN。

③由已知，两个三角形 ABC 和 DEF 的夹角 ACB 和 DFE 是相等的，而且三边长分别相等，所以根据余弦定理有：∠AMB=∠DNE∠CBA=∠FEDBM=EN根据 SSS 准则可以得到三角形 AMB 和 DNE 相等，即AM=DNBM=EN∠AMB=∠DNE因此，两个三角形 ABC 和 DEF 相等。

（二）ASA 全等法通过已知两个三角形的恰好一组对应角度和两边长度相等，可以证明这两个三角形是全等的。

证明过程如下：①已知两个三角形 ABC 和 DEF，它们有角 A 和角 D 相等，以及边AB=DE，AC=DF。

②再假设角 B 和角 E 相等，根据同位角定理，可以得到角 C 和角 F 相等。

③根据已知条件，可以继续得知 BC 和 EF 相等，又因为 AB=DE，所以根据 SSS 准则可以得到两个三角形 ABC 和 DEF 相等。

（三）SSS 全等法通过已知两个三角形的三边长度分别相等，可以证明它们是全等的。

证明过程如下：①已知两个三角形 ABC 和 DEF，它们的三个对应边 AB=DE，BC=EF，AC=DF。

②根据三角形的边长可以得到它们两个的周长相等，即AB+BC+AC=DE+EF+DF③将两个三角形平移重合，将此时 B 点与 E 点重合，AC 与 DF 重合，那么 A 点和 D 点也将重合。

④根据已知条件，可以将三角形 ABC 旋转到与三角形 DEF 相重叠，此时三角形 ABC 和 DEF 完全重合，因此它们是全等的。

全等三角形证明方法1.SSS判定（边边边判定）：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

证明步骤：设两个三角形为△ABC和△DEF，已知AB=DE、BC=EF、AC=DF。

1）通过R角平分线找到△ABC和△DEF的R角，并将它们延长成相交于点O的直线。

2）连接OA和OD，再连接OB和OE。

3）由已知AB=DE，可得△ABO≌△DEO（边边边全等）。

4）同理，通过OC和OF的延长线，可得△ACO≌△DFO。

5）根据全等三角形的性质，可以推得△ABC≌△DEF。

2.SAS判定（边角边判定）：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

证明步骤：设两个三角形为△ABC和△DEF，已知AB=DE、∠BAC=∠EDF、BC=EF。

1）由已知AB=DE，可得△ABD≌△EDC（边边边全等）。

2）由已知∠BAC=∠EDF，可得∠BAD=∠EDC（对应角相等）。

3）由已知BC=EF，可得∠BDC=∠EFD，且DC=FD（边边角全等）。

4）根据全等三角形的性质，可以推得△ABC≌△DEF。

3.ASA判定（角边角判定）：若两个三角形的两角和边分别相等，则这两个三角形全等。

证明步骤：设两个三角形为△ABC和△DEF，已知∠BAC=∠EDF、∠ABC=∠DEF、AC=DF。

1）由已知∠BAC=∠EDF，可得△ABC≌△ADF（角边角全等）。

2）由已知∠ABC=∠DEF，可得∠BAC=∠EFD，且BC=EF（角边角全等）。

3）根据全等三角形的性质，可以推得△ABC≌△DEF。

通过上述三种常用的全等三角形证明方法，我们可以得到两个三角形全等的结论。

在实际应用中，我们可以根据已知条件选择适合的证明方法，从而快速确定三角形的全等关系。

1.已知： AB=4 ， AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD解：延伸 AD 到 E,使 AD=DE ∵ D 是 BC 中点∴ BD=DC在△ ACD 和△ BDE 中 AD=DE ∠ BDE= ∠ ADCBD=DC ∴△ ACD ≌△ BDE∴AC=BE=2 ∵在△ ABE 中 AB-BE ＜ AE ＜AB+BE ∵ AB=4即4-2＜ 2AD ＜ 4+21＜ AD ＜ 3∴AD=22. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB2ADC B延伸 CD 与 P，使 D 为 CP 中点。

连结AP,BP∵DP=DC,DA=DB ∴ ACBP 为平行四边形又∠ ACB=90 ∴平行四边形 ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3.已知： BC=DE ，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D ，F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A12B EC F D证明：连结 BF 和 EF∵ BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF∴三角形 BCF 全等于三角形 EDF( 边角边 )∴BF=EF, ∠CBF= ∠ DEF 连结 BE 在三角形 BEF 中 ,BF=EF∴∠EBF= ∠ BEF 。

∵ ∠ ABC= ∠ AED 。

∴ ∠ABE= ∠ AEB 。

∴AB=AE 。

在三角形 ABF 和三角形 AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF= ∠ ABE+ ∠ EBF= ∠ AEB+ ∠ BEF= ∠AEF∴三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。

∴∠ BAF=∠ EAF (∠ 1=∠ 2) 4.已知：∠ 1=∠2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB过 C 作 CG∥ EF 交 AD 的延伸线于点G CG∥ EF，可得，∠ EFD＝ CGDDE＝ DC ∠ FDE＝∠ GDC（对顶角）∴ △ EFD≌ △ CGD EF＝ CG ∠ CGD＝∠ EFD 又， EF∥AB ∴，∠ EFD＝∠ 1 ∠ 1= ∠2 ∴∠ CGD＝∠ 2∴ △AGC 为等腰三角形，AC＝ CG 又 EF＝ CG∴ EF＝AC5.已知： AD 均分∠ BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ C A证明：延伸AB 取点 E，使 AE ＝ AC ，连结 DE∵AD 均分∠ BAC∴∠ EAD ＝∠ CAD∵AE ＝AC ， AD ＝ AD∴△ AED ≌△ ACD（SAS）∴∠ E＝∠ C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝ AB+BD∵AE ＝ AB+BE∴ BD ＝BE∴∠ BDE ＝∠ E∵∠ ABC ＝∠ E+ ∠ BDE∴∠ ABC ＝ 2∠E∴∠ ABC ＝ 2∠C6.已知： AC 均分∠ BAD ，CE⊥AB ，∠ B+ ∠ D=180 °，求证： AE=AD+BE证明：在AE 上取 F，使 EF＝EB ，连结 CF∵ CE⊥ AB∴∠ CEB ＝∠ CEF＝ 90°∵ EB＝ EF， CE＝ CE，∴△ CEB ≌△ CEF∴∠ B ＝∠ CFE∵∠ B ＋∠ D＝ 180°，∠ CFE＋∠ CFA ＝ 180°∴∠ D ＝∠ CFA∵AC 均分∠ BAD∴∠ DAC ＝∠ FAC∵AC ＝AC∴△ ADC ≌△ AFC （ SAS）∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋ FE＝AD ＋ BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，BE、CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E在AD 上。

1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数,求AD解：延长AD至【J E,使AD=DE• D是BC中点••• BD=DC在左ACD和左BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC••• A ACD^A BDE. .AC=BE=2•在△ ABE 中AB-BE < AE< AB+BE••AB=4即4-2<2AD <4+21<AD <3•••AD=21 2.已知：D是AB中点，Z ACB=90 ,求证：CD —AB延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP.BP ••DP=DC,DA=DB• •ACBP为平行四边形又/ ACB=90平行四边形ACBP为矩形•••AB=CP=1/2AB证明：连接BF和EF. • BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）••• BF=EF, Z CBF= / DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/ EBF= / BEF。

. • Z ABC= Z AED。

••• Z ABE= Z AEB。

AB=AE 。

在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= Z AEB+ Z BEF= Z AEF三角形ABF和三角形AEF全等。

Z BAF= Z EAF （ Z 1 = Z 2）。

EF=AC 4,已知：/ 1 = Z 2, CD=DE , EF//AB ,求证:过C作CG // EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE=Z GDC （对顶角）. EFD^A CGDZCGD=Z EFD又，EF// AB. Z EFD=Z 1/ 1= / 2•••Z CGD=Z 2AGC为等腰三角形,AC= CG又EF= CGEF= AC证明：延长AB取点E,使AE = AC,连接DE . • AD 平分Z BAC••• Z EAD = Z CAD. . AE = AC , AD = AD. AED^A ACD (SAS)Z E= Z C. . AC = AB+BDAE = AB+BD. . AE = AB+BE. .BD = BE•••Z BDE = / E. Z ABC = Z E+ Z BDE•••Z ABC = 2 / E•.•Z ABC = 2 Z C6. 已知：AC 平分Z BAD , CE± AB , Z B+ / D=180 °,求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF = EB,连接CF. • CE ± ABCEB = Z CEF = 90°. • EB = EF, CE = CE,. CEB^A CEF•••Z B=Z CFE. Z B+Z D= 180° , Z CFE + Z CFA = 180°•••Z D = Z CFA. • AC 平分Z BAD/ DAC = / FAC. . AC = AC. ADC^A AFC (SAS)AD = AFAE = AF + FE= AD + BE7, 已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DEZ BDE= Z ADCBD=DC. ACD^A BDE••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE. . AB=4即4-2 V 2AD V 4+21 v AD v 3AD=21—8. 已知：D是AB中点，/ACB=9,求证：CD-AB2 解：延长AD至ij E,使AD=DED是BC中点. . BD=DC在^ ACD和^ BDE中AD=DE/ BDE= / ADCBD=DC. ACD^A BDE ••• AC=BE=2•.•在△ ABE 中AB-BE V AE V AB+BE . . AB=4即4-2 V 2AD V 4+2 1 v AD v 3AD=2证明：连接BF和EF。