指数计算与指数函数

高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。

指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。

在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。

本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。

一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。

指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。

底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。

例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。

指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。

指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。

指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。

指数有一些基本的性质。

首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。

其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。

此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。

二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。

以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。

经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。

指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。

2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。

例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。

指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。

3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。

指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。

4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。

指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。

3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。

4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。

二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。

2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。

3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。

4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。

5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。

指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。

指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。

2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。

3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。

5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。

指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。

2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。

3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。

4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。

总结：。

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习10指数运算和指数函数【考点解读】 指数：B 级指数函数的图象与性质：B 级 【复习目标】1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；2．理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。

活动一：基础知识 1．指数幂的概念（1）根式：如果一个数的n 次方等于a （1,)n n N >∈*,那么这个数叫做a 的n 次方根，也就是，若nx a =，则x 叫做 ，其中1,n n N >∈*，式子n a 叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 。

（2）根式的性质：① 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示；② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示。

正负两个n 次方根可以合写为 （a >0）；③ ()nn a = ；④ 当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n na a == ； ⑤ 负数没有偶次方根； ⑥ 0的任何次方根都是0. （3）分数指数幂的意义：① n ma = (0.,,1)a m n N n *>∈> ② nm a-= (0.,,1)a m n N n *>∈>（4）有理数指数幂的运算性质：① r s a a •= (0,,a r Q s Q >∈∈); ② rsa a ÷= (0,,a r Q s Q >∈∈); ③ ()r Sa = (0,,a r Q s Q >∈∈); ④ ()rab = (0,0,a b r Q >>∈) 2．指数函数（1）指数函数的定义： （2）指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图像及性质如下表：图像性质 定义域为 值域为过定点单调性当x >0时，y >1,当x >0时，0<y <1,活动二：基础练习1．化简与计算：（1）(1a -（2； （3）10.50.25310.25()62527--+-；（4）44•；（5）1123()(3)a a a x y x •；（6；（7）22110.50.25332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷⨯÷。

指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。

在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。

2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。

注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。

2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。

当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。

此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。

3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。

模块一：指数的运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。

②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

知识内容指数运算与指数函数题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值：⑴⑵⑶⑷)a b <；⑸238； ⑺1225-； ⑻512-⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【巩固】求值：⑴238， ⑵12100-, ⑶ 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⑷ 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.【例2】 用分数指数幂表示下列各式：（1）32x（2）43)(b a +（a ＋b ＞0）（3）56q p ⋅（p ＞0）（4）mm 3【巩固1】用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）aa a（3典型例题【巩固2】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴⑵； ⑶54m ⋅．【例3】 求下列各式的值：(1)432981⨯ （2）（3）【例4】 计算下列各式：⑴ 111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-． （2） 211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-题型二 指数运算求值【例5】 a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【例6】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例7】 已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【巩固1】已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+ （2）3322.x x -+【巩固2】已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值.【巩固4】化简：)()(41412121y x y x -÷-【例8】 解方程0633232=-⨯-x x【巩固】解方程024254=-⨯-xx模块二：指数函数1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比题型一 指数函数的概念【例9】 判断下列函数是否为指数函数。