高等数学应用与提高2版(李逢高,郑列主编)思维导图

高中数学知识点全总结文科思维导图高中数学知识点全总结文科思维导图数学是一门让很多学生感到头疼的学科，但是只要掌握了基础知识和思维方式，就可以轻松应对各种数学题目。

今天，笔者为大家总结一份关于高中数学知识点的文科思维导图，希望能够给大家带来帮助。

1. 函数部分函数是高中数学中的基础部分，主要包括函数概念、函数类型、函数图像、函数性质等方面。

- 函数定义：一个数集与另一个数集之间的对应关系；- 函数类型：初等函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角、双曲函数、参数方程；- 函数图像：要求熟记各种函数类型的典型图像；- 函数性质：奇、偶性、周期性、单调性、分段函数。

2. 解析几何部分解析几何也是高中数学考试中的重要部分，主要包括向量以及坐标系、平面和直线、圆锥曲线等内容。

- 坐标系：笛卡尔坐标系、极坐标系、空间直角坐标系；- 平面和直线：一般式、点斜式、截距式、两点式、法线式、对称式等；- 向量：向量基本概念、向量的共线、平行、垂直、向量加、减、数乘、模、夹角等；- 圆锥曲线：圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、特征、性质、方程。

3. 三角函数部分三角函数是高中数学中的重点内容，主要包括三角函数的定义，三角函数的图像与性质，三角函数基本公式和利用三角函数解题。

- 三角函数的定义：正弦、余弦、正切、余切、割、余割；- 三角函数的图像与性质：周期、对称轴、奇偶性、单调性等；- 三角函数基本公式：和角公式、差角公式、倍角公式、半角公式等；- 利用三角函数解题：用三角函数解“勾股”的问题、用三角函数解“平面向量”的问题。

4. 导数部分导数也是高中数学考试的重点内容，主要包括导函数的定义、导数法则、应用问题及高阶导数。

- 导函数的定义：极限、导数与函数的切线、导数与函数的单调性；- 导数法则：四则运算法则、复合函数的导数法则等；- 应用问题：函数的极值问题、最值问题、斜率问题等；- 高阶导数：高阶导数的定义，计算和应用。

高等数学基础提高二讲义1考研高等数学（中等题+理论）讲义演讲者：王成义欢迎使用新东方在线电子教材第一章函数、极限和连续性§1.1函数（a）要点一、功能概念1.定义Yf（x），x？我x为自变量，y为因变量或称为函数值f:x?y为对应关系当自变量在定义字段中取值时，所有函数值都称为值字段。

口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。

2.分段函数（考研中用得很多）,x?1?x2f(x)?例1：?,x?13x?1?x、 x？0例2:x？？x,x0-1-x2,x0例3：max(x,x2,x3)??x,0?x?13，x？1.十、口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。

3．反函数例子：y？x2的反函数x？？因为它不是一个单一的值，所以它应该被视为x？Yy和x??2y，它们的图像与y?x一致。

如果你改变符号，写y？X和y？？x，那么它们的图像要变。

4.隐函数f(x,y)?0确定y与x的函数关系一些隐式函数可以转换为显式函数，例如：x？Y1，y？此外，一些隐式函数不能转化为显式函数。

前任？y221？X和y？？1.x22sin(3x2y)50二、基本初等函数的概念、性质和图象（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性）例1：考察limx(x)(x??)arctanxYarctaxn的图像-2-例2：limex？0 1x2因为lim(?x?01x2)指数函数y？前图像1x2因此limex?0?0三、复合函数与初等函数1.复合函数（i）给定f（x），G（x），求f[G（x）]（II）已知f[G（x）]，G（x），求f（x）2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说，分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数（1）y?limfn?x?N（2）是吗？林夫？t、 x？t?x2．用变上、下限积分表示的函数-3-（1）y?f(x)?（2）y?g(x)?则dydx？xaf？TDT f在哪里？T那就继续吧dydx?f?x?1.2.十、十、FTDT在哪里？1.十、2.十、可微的，f？T不断的xf1?x?1xf2?x?2简明公式（3）：变极限积分是一个函数；在它出现之后取导数。

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。

函数图象
及其变换
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
| Ax0＋By0＋C |
点到线的距离：d＝
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
两圆的位置关系
| C1－C2 |
，平行线间距离：d＝
A2＋B2
阿波罗尼斯圆：满足|| = ||( ≠ 1)的点的轨迹
圆的一般方程
圆的方程
A2＋B2
相离
＜0，或 d＞r
相切
＝0，或 d＝r
相交
＞0，或 d＜r
垂线，它们围成的矩形
面积=|z|
1 : = 1 + 1 .
2 : = 2 + 2 .
A1A2＋B1B2＝0
平行：1 = 2 ，1 ≠ 2
垂直：1 ∙ 2 = −1
斜截式：y＝kx＋b
y－y1 x－x1
＝
y2－y1 x2－x1
直线方程的形式
两点式：
2 −1
1 : 1 + 1 + 1 = 0.
→
投影
|a|
→
→
a·b
设→
a 与→
b 夹角，则 cos＝——
→ →
夹角公式
| a |·| b |
共线（平行）
→
a ∥→
b →
b ＝→
a x1y2－x2y1=0
垂直
→
a ⊥→
b →
a ·→
b ＝0 x1x2＋y1y2=0

思维导图在高职《高等数学》课程教学中的应用作者：于荣娟高吉来源：《科技资讯》2015年第11期摘要：在高等数学教学中引入思维导图，能够激发学生的学习兴趣，有利于学生掌握基础知识，锻炼学生的逻辑思维，提高学生的分析问题、解决问题能力，以达到提高教学质量和学生学习效率的效果。

关键词：思维导图高等数学教学质量学习效率中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）04（b）-0209-01《高等数学》是一门逻辑思维很强的学科，同时也是培养学生掌握科学思维能力、数学知识和数学技术的重要基础课程。

该课程所论及的科学思想和方法论，在自然科学、工程技术、经济和社会科学等领域中具有广泛的应用。

思维导图最初只是一种记笔记的方法，现在已经发展成为一种非常高效的思维工具，在很多领域广泛应用。

该文对思维导图在《高等数学》课程教学中的应用进行探讨，以寻求解决高职《高等数学》教学活动中存在的问题。

文章从备课、教学、复习三个方面研究思维导图的应用方法和技巧，以促进学生创新性思维能力的提升，提高学生学习效率。

1 思维导图20世纪70年代初，英国心理学家托尼·巴赞提出的思维导图（Mind Mapping）是一种综合运用文字、符号、图片、色彩等的图形思维工具，它基于对人脑的模拟，将放射性思考具体化，能以直观形象的方式表征知识，有效呈现知识的关联，体现思维过程。

思维导图是一个简单、有效的引导思维和表达思维工具，是一种可以将思维可视化的一种方法，可以帮助我们进行发散性思考、结构化思考，通过文字、图画、线条、颜色，图文并茂地展示思考内容，帮助分析、记忆，增强学生的分析问题的能力，以锻炼学生的逻辑思维。

思维导图的制作除了可以利用作图软件-imindmap软件，也可以手绘制作，形式多种多样。

2 思维导图的应用2.1 思维导图在备课中的应用将思维导图应用在备课中，可使教师在课前看教案时一目了然。

利用作图软件制作而成的思维导图，可以使教师的思路变动更加清晰，课前浏览就可以胸有成竹的讲课，从而达到预期的教学效果。

我这里花了两周把两本辅导讲义重新刷了一遍，边复习知识点边刷例题
飞升阶段（10月初—考试）
到这里我相信你肯定没啥问题了，题目也都见过，知识点也都记得
近年真题套卷
近年真题是任何模拟题都无法替代的，必做
习题
各种模拟卷
查漏补缺
你做真题肯定会有不会的、遗忘的，遇到就回头翻辅导讲义（切记做套卷的时候 不要翻任何书！！！）
万恶的期末考试
这段时间很有可能忙于准备复习期末考试，我当时复习期末半个多月，但是这段 时间也要做题，每天一两道保持手感
暑期阶段（7月—9月） 时长2-3个月，十分纯粹的时间
暑假这个阶段很重要，没人会来打扰你，只有安安心数学辅导讲义》
课本
《线性代数辅导讲义》
习题
错题别忘了回顾
《数学历年真题全精解析·基础篇》
早年真题难度比现在要低，可以通过早年真题感受真题的难度和套路
《数学基础过关660》
这个和武钟祥、李永乐的课很契合，但是很多题目不到强化不好做的，个人觉得 这本数也可以放到下一阶段
网课
高数
武钟祥老师的基础班
线性代数
李永乐老师的基础班
李永乐老师的课其实并不那么基础，得花功夫的
一直可以陪你到考试
严选题
高数
李林880
错题别忘了回顾
习题
线代
李林880
网课
高数
武钟祥高数强化课
线性代数
李永乐强化
可以开始强化 多做题多复习，适当开始强化
复盘阶段（9—10月初） 时长1个月左右 （看个人复习情况，好的话直接下个阶段）
开学了，可能事情变得多了起来 也有可能你前面没跟上，漏了很多题没做，好多知识点忘了 这个月用来缓冲也可以，记住一定不能断掉做题 到这里，距离考研还有不到90天

高等数学（上）复习一基本概念（定义）1 初等函数---基本初等函数，复合函数，反函数，分段函数、积分上限函数、隐函数、参数式2 单调，有界，周期，奇偶，上凸，下凸----3 连续，可导，可微，可积-----------（联系）4 极值、极值点、最值、最值点--------5 驻点、零点、间断点、切点、拐点、----（判断方法）6 渐近线、切线、法线-------（判断方法）7 极限，无穷小，无穷大-------------8 等价无穷小，同阶无穷小，高阶无穷小二基本运算1 求极限------先判断类型、后化简凑型、再进行运算记住：基本初等函数的极限、重要极限1）四则运算、有界函数乘无穷小还是无穷小2）等价无穷小代换------（基本等价式）3）洛必达法则-----（判断类型）4）泰勒公式---------（确定阶数）5）夹逼定理----------（用已知求未知）6）单调有界必有极限---（数列--）7）定积分法-----（积分和类型）应用：1）判断函数的连续性、可导性、可微性分段函数在分段点处的连续性、可导性、可微性2）求曲线的渐近线重要极限⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+1sin lim )11lim(x x e x x ---扩展形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+11lim 1)1ln(lim x e x x x 2 求导数、求微分-----先化简、后求导，由外而内、逐层操作.导数公式、四则运算法则、复合函数求导的连锁法则、微分形式不变性基本类型复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、积分上限函数求导、高阶导数、分段函数求导应用：1） 求函数近似值及一阶线性近似2） 求相关变化率3） 求极值、最值4） 求曲线的切线斜率、切线方程、法线方程3 求积分----判断类型、凑型不定积分、定积分换元法、分部积分法应用：1）求平面图形的面积、求平面曲线弧长2）求旋转体的体积、截面已知的立体体积3）求质量、水压力、引力、功、三 基本定理1 闭区间上连续函数的性质23极限与无穷小的关系定理4 函数极限与数列极限的关系定理（海涅定理）应用：证明等式、不等式思路：从结论出发、观察特点，通过变形找到适合函数，借助定理进行证明。

高中各科学习具有知识量大、理论性强、系统性强、综合性强以及能力要求高五个方面的特点。

然而，知识点是零乱的，不利于记忆和掌握。

只有把它们串起来，形成一个体系，才有助于快速高效掌握知识。

我们需要做的，就是找到并运用一定的方法（尤其是思维方法）用“红线”把知识“串”起来。

今天，老师为大家汇集整理了高中数学知识框架图，方便同学们整体把握知识之间的联系。

如果都掌握了，你的学习成绩一定会更上一层楼！！
集合、映射、函数、导数及微积分
三角函数与平面向量
数列与不等式
解析几何
立体几何
统计与概率
其他部分内容
延伸阅读
新高考的人才选拔机制
痛彻心扉：教师的十大痛苦，个个戳中老师们的“痛点”！
【小学】人教版PEP三至六年级英语电子课本
【初中】中考学霸：现代文阅读拿满分，靠的就是这18个套路
【高中】数学21种解题方法与技巧全汇总，太实用！
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高一数学知识点思维导图大全思维导图是一种图形化的表示方式，可以帮助我们更好地理解和记忆知识点。

在高一数学学习中，掌握并熟悉各个知识点的关系和内在联系对于建立数学思维非常重要。

本文将为大家提供一份高一数学知识点思维导图大全，旨在帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

一、函数与方程函数和方程是高一数学的重要基础，掌握好这一部分的知识对于后续的学习非常重要。

1.函数基本概念- 函数的定义- 自变量与因变量- 定义域与值域2.函数的表示与性质- 函数的图像与表达式- 奇偶函数与周期函数- 单调性与极值- 函数的运算与复合3.一次函数与二次函数- 一次函数的图像与性质- 一次函数与斜率- 二次函数的图像与性质- 二次函数与根的关系4.指数函数与对数函数- 指数函数的图像与性质- 指数函数的运算与等式- 对数函数的图像与性质- 对数函数的运算与等式二、平面几何平面几何是数学中的重要分支，它描述了平面中点、直线和图形的性质与关系，是解决空间问题的基础。

1.点、线、面- 点的定义与性质- 直线的定义与性质- 面的定义与性质2.角与三角形- 角的概念与性质- 三角形的分类与性质- 三角形的画法与运算3.四边形与多边形- 正方形、长方形、菱形与平行四边形- 多边形的分类与性质- 多边形的内角和外角4.相似与全等- 相似与全等的定义- 相似与全等的判定条件- 相似与全等的性质与应用三、解析几何解析几何是运用坐标表示和计算几何问题的学科，它通过数学方程与图形之间的关系解决几何问题。

1.平面直角坐标系- 平面直角坐标系的构建- 坐标与距离公式- 斜率与角度2.直线与曲线- 一次函数与二次函数的图像与方程- 圆的方程与性质- 椭圆、双曲线和抛物线的方程与性质3.向量与坐标变换- 向量的定义与运算- 平移、旋转、对称的向量表示- 坐标变换与几何变换四、数列与数学归纳法数列是由一组有序的数所组成的序列，通过研究数列的规律以及数学归纳法，可以解决很多数学问题。

高中数学知识点关联图谱与思维导图数学作为一门抽象的学科，往往给学生带来许多困惑和挑战。

为了更好地掌握高中数学知识，提高数学学习的效果，数学知识点关联图谱与思维导图成为了学生们经常使用的工具。

本文将介绍这两种工具的定义、特点以及如何使用它们来提升数学学习的效果。

一、数学知识点关联图谱的定义和特点数学知识点关联图谱是将数学知识点之间的联系呈现在图形上的一种工具。

它可以清晰地展示数学知识点之间的逻辑关系、先后顺序以及各个知识点的核心概念。

数学知识点关联图谱的特点如下：1.整体性：数学知识点关联图谱能够将数学知识点的内容整合起来，呈现出一个整体的结构。

通过观察整体结构，学生可以快速了解数学知识的脉络和重点。

2.层次性：数学知识点关联图谱通常采用层级结构，将知识点按照一定的层次进行分类和归纳。

这样做可以帮助学生理清各个知识点之间的关系，避免知识之间的孤立和零散。

3.多样性：数学知识点关联图谱可以根据学生的需要和不同的主题进行定制。

学生可以根据自己的情况，绘制出适合自己的图谱，有助于更好地理解和记忆数学知识。

二、思维导图的定义和特点思维导图是一种以中心思考点为核心，通过分支展开的方式呈现思维的工具。

它可以帮助学生将零散的知识点整合成一个有机的结构，拓展学生的思维广度和深度。

思维导图的特点如下：1.自由性：思维导图的分支展开方式非常自由，学生可以根据自己的理解和记忆方式进行创造性的构建。

这种自由性可以激发学生的创造力和思维能力。

2.关联性：思维导图通过分支的方式将各个知识点进行关联，有助于学生理清知识之间的内在联系。

通过思维导图，学生可以更好地理解数学知识的逻辑和内涵。

3.可视性：思维导图以图形化的方式展示，具有很强的可视性。

学生通过观察思维导图，可以直观地捕捉到各个知识点的关系，提高学习的效果。

三、如何使用关联图谱和思维导图提升数学学习效果1.构建关联图谱：学生可以根据教材或者课堂笔记，将相关的数学知识点整合成一个关联图谱。

• 有助于学生发现新的解题方法和技巧
• 有助于学生在实际应用中运用所学知
• 有助于学生在团队中共同解决问题
识
02
高三数学思维导图的基本制作方法
选择合适的思维导图软件或工具
选择适合学生的思维导图软件
选择适合教师的思维导图工具
• 如XMind、MindMaster等
• 如MindMeister、MindNode等
• 节省学习时间，提高学习效率
• 有助于学生更好地应对高考
培养学生的逻辑思维能力
• 帮助学生理清数学概念和公式的逻辑关
系
• 提高学生的逻辑思维能力和推理能力
• 有助于学生更好地理解和掌握数学知识
提高学生的解题能力
• 帮助学生快速找到解题思路和方法
• 提高学生的解题速度和准确率
• 有助于学生在高考中取得优异成绩
• 包括平面图形、立体图形、图形变换等
• 梳理几何知识点之间的内在联系
• 梳理图形知识点之间的内在联系
• 形成完整的几何知识框架
• 形成完整的图形知识框架
概率与统计的思维导图梳理
01
02
概率部分
统计部分
• 包括概率计算、概率分布、概率
• 包括数据统计、数据分析、统计
应用等
推断等
• 梳理概率知识点之间的内在联系
• 帮助学生更好地应对高考
分析学生在解决数学问题时运用思维导图的案例
• 了解思维导图在解决问题过程中的作用
• 提高学生的思维导图运用能力和解题能力
运用创新思维解决数学难题的案例分析
分析学生在解决数学难题时运用创新思维的案例
探讨创新思维在解决数学难题中的优势
和局限性
• 了解创新思维在解决问题过程中的作

高中数学知识点【思维导图打印版】整数实数比与比例数轴与绝对值整式分式函数代数方程不等式数列平面几何立体几何平面解析几何计数原理与古典概型概率数据分析概述应用题中不定方程与不等式价格问题平均问题不等式与线性规划应用题集合计数函数图形应用+分段函数至少至多问题整数实数比与比例数轴与绝对值整式分式函数代数方程不等式数列数列定义按一定的次序排列的有规律的一列数通项a(n)=f(n)前n项和s(n)a(n)与s(n)的关系a(n)=s1 n=1sn=s(n-1) n>=2思路化归到等差等比数列穷举找规律总结转化为等差等比穷举找规律经验区分等差等比数列区分求an注意项数总结等差等比化归思想穷举找规律思路特值法常数数列高中数学知识点【思维导图打印版】等差数列核心元素a1、d定义a(n+1)-an=d常数列为特殊等差数列通项an=a1+(n-1)d关于n的一次函数三项数列a、b、c成等差数列b=(a+c)/2角标如果m+n=s+t am+an=as+at求和sn=(n(a1+an))/2sn=na1+(n(n-1))/2*d性质sn，s(2n)-sn，s(3n)-s(2n),#####仍成等差数列等比数列核心元素a1、q定义a(n+1)/an=q非0常数列为特殊等比数列通项an=a1*q^(n-1)关于n的指数函数三项数列a、b、c成等比数列b^2=ac角标如果m+n=s+t am*an=as*at求和sn(a1(1-q^n))/(1-q) q不为1na1 q=1若|q|<1，则该数列的所有项和a1/(1-q)性质sn，s(2n)-sn，s(3n)-s(2n),#####仍成等比数列等差等比数列通项问题设a1，d或a1，q等差数列an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)an=am+(n-m)d等比数列an=a1q^(n-1)an=amq^(n-m)等差、等比脚注性质与中项公式等差数列求和问题等差数列sn图像、最值、变号问题高中数学知识点【思维导图打印版】等差数列等比数列等差等比数列通项问题等差、等比脚注性质与中项公式角标性质角标和相等且对应项数也相等三项问题经验数列a，b，c成等差且等比a=b=c注意等比数列项的正负性总结等差数列已知和三项a-d，a，a+d四项a-3d，a-d，a+d，a+3d等比数列已和积三项a/q，a，aq四项a/(q^3)，a/q，aq，aq^3等差数列求和问题公式1sn=(n(a1+an))/2平均数*项数角标性质*对数公式2sn=na1+(n(n-1))/2*d注意等差{an}，{bn}的前n项和分别为sn与tn，则ak/bk=s(2k-1)/t(2k-1)等差数列sn图像、最值、变号问题图像snsn=na1+(n(n-1))/2*d=d/2*n^2+(a1-d/2)n关于n的一个二次函数，且常数项为0d>0有最小值d<0有最大值sn最值问题方法1从通项an角度a1<0，d>0sn有最小值an<=0，a(n+1)>0求出n方法2从sn二次函数角度sn=na1+(n(n-1))/2*d=d/2*n^2+(a1-d/2)n对称轴n对=-b/(2a)=-(a1-d/2)/(2*d/2)=1/2-a1/d 特别注意把sn图形理解成二次函数分析等差sn变号问题sn=((a1+an)n)+角标性质分析等比数列求和sn(a1(1-q^n))/(1-q)=（a1-anq）/(1-q) q不为1na1 q=1注意sna1/(1-q)-(a1/(1-q))*q^n=k-kq^n平面几何三角形面积计算三角形的四心特殊三角形两个三角形全等或相似四边形圆平面几何专题总结立体几何长方体、正方体圆柱体球体立体几何专题平面解析几何用代数方式处理平面几何问题基本知识位置关系解析几何与平面几何综合问题对称问题动点问题平面几何三角形面积计算1/2*底*高边之比=面积之比三角函数利用全等或相似三角形的四心内心角平分线三角形内切圆的圆心外心三边垂直平分线三角形外接圆的圆心重心三边中线垂心三边高特殊三角形直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形两个三角形全等或相似全等旋转、折叠找全等相似平行直接找相似直角三角形射影定理CD^2=AD*DBAC^2=AD*ABCB^2=BD*AB四边形圆添半径组合图形直角三角形的内切圆与外接圆内切圆r=(a+b-c)/2外接圆R=c/2圆套圆与方套方圆套圆圆方圆面积之比=2*3.14：4：3.14方套方方圆方面积之比=4：3.14：2平面几何专题不规则圆形阴影面积问题用割补发把不规则图形转化为规则图形注意熟悉与圆有关的一些图形图形的重叠、对称、平移总结平面几何应试技巧量，有图有真相量答案加条件添三角形加高四边形加高或平行线圆加半径中点中外线转图形再看特殊化立体几何平面解析几何平面几何立体几何长方体、正方体体积V=abc表面积S=2(ab+ac+bc)体对角线L=(a^2+b^2+c^2)的平方根公式经验结论FIRST(ab)(ac)(bc)=(abc)^2三个不同面的面积之积=（体积）^2(a+b+c)^2=((a^2+b^2+c^2)d的平方根)^2+2(ab+ac+bc)(1/4棱长之和)=（L）^2+表面积((a^2+b^2)的平方根)^2+((a^2+c^2)的平方根)^2+((c^2+c^2)的平方根)^2=2((a^2+b^2+c^2)的平方根)^2 三个面对角线的平方和=2（L）^2SECOND涂色一个表面涂红色正方体切成N^3三面涂色的有8块8个顶点二面涂色的有12（N—2）块一面涂色的有6（N-2）^2块无涂色的（N-2^3）最短路a<b<cl最短=（（a+b）^2+c^2）的平方根物体位于体对角线两侧展开图拼接切多2面接少2面圆柱体基本公式V=3.14*r^2*hS侧=2*3.14*r*hS全=2*3.14*r*h+2*3.14*r^2球体V=4/3*3.14*r^3V表=4*3.14*r^2立体几何专题内切圆与外接圆长方体没有内切圆L=2R外正方体2r内=aR外=3的平方根/2*a等边圆柱r=r内L=2R外关键直径=边长直径=体对角线平面解析几何平面几何立体几何平面解析几何用代数方式处理平面几何问题特点公式多，计算烦，两解多一般方法待定系数法实用技巧反向验证画草图定性判断巧解特殊三角形特殊对称基本知识四大公式中点（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）距离((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)的平方根点到直线距离d=|Ax0+By0+C|/((A^2+B^2)的平方根)斜率定义式k=夹角的正切k=(y2-y1)/(x2-x1)注意x=a 夹角为90度，k不存在大小比较|k|越大，直线越贴近y轴取值范围直线方程五种表达式y=kx+by-y1=k(x-x1)(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)x/a+y/b=1Ax+By+C=0求直线方程设k，可能会漏解x=a在两坐标轴上截距相等x/a+y/a=1y=kxx/a+y/b=1与坐标轴所围三角形的面积S=1/2|ab|圆一般式x^2+y^2+Dx+Ey+F=0表示圆<====>D^2+E^2-4F>0x^2与y^2的系数相等圆心为（-D/2,-E/2）半径为(（D^2+E^2-4F）/4)的平方根标准式(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2圆心（x0，y0）半径为r位置关系解析几何与平面几何综合问题对称问题动点问题最值问题轨迹中点条件：传点利用平面几何知识平面几何立体几何平面解析几何用代数方式处理平面几何问题基本知识位置关系点与直线的关系两直线的关系设两直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2相交k1不等于k2平行k1=k2且b1不等于b2重合k1=k2且b1=b2垂直k1*k2=-1A1A2*B1B2=0两直线间的距离d=|C1-C2|/（(A^2+B^2)的平方根）直线系（过定点）方程(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)z=0必过定点A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0直线与圆的关系直线l:Ax+By+C=0，圆（x-a）^2+（y-b）^2=r^2那么圆心M（a,b）到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|/((A^2+B^2)的平方根)直线与圆相离d>r最短距离=d-r最远距离=d+r直线与圆相切d=r求圆的切线x^2+y^2=a^2切点在圆上xx0+yy0=r^2点在圆外必有两条（会漏掉x=a的直线）直线与圆相交d<r弦长AB=2（（r^2-d^2）平方根）弦长问题弦长AB=2（（r^2-d^2）平方根）点与圆的关系点（X0,y0），圆（x-a）^2+（y-b）^2=r^2在圆上圆（x0-a）^2+（y0-b）^2=r^2在圆外圆（x0-a）^2+（y0-b）^2>r^2在圆内圆（x0-a）^2+（y0-b）^2<r^2两圆的关系圆C1:（x-a1）^2+（y-b1）^2=r1^2,圆C2:（x-a2）^2+（y-b2）^2=r2^2两圆的圆心距d=|C1C2|相交|r1-r2|<d<r1+r2相交弦长方程：C1-C2相切外切d=r1+r2内切d=|r1-r2|外离d>r1+r2圆C1内含在圆C2内0<=d<r2-r1解析几何与平面几何综合问题对称问题动点问题平面几何立体几何平面解析几何用代数方式处理平面几何问题基本知识位置关系解析几何与平面几何综合问题用解析几何语言给出图形求平面几何问题巧解特殊三角形对称问题五种特殊对称方式点P（x，y）曲线F（x，y）=0Ax+By+C=0关于原点（-x，-y）F（-x，-y）=0A(-x)+B(-y)+C=0关于x轴（x，-y）F（x，-y）=0Ax+B(-y)+C=0关于y轴（-x，y）F（-x，y）=0A(-x)+By+C=0关于y=x（y，x）F（y，x）=0Ay+Bx+C=0关于y=-x（-y，-x）F（-y，-x）=0A(-y)+B(-x)+C=0点P（x0，y0）关于直线x+y+m=0的对称点P'（-y0-m，-x0-m）点P（x0，y0）关于直线x-y+m=0的对称点P'（y0-m，x0+m）画图记忆点关于直线对称L0将P1P2连线垂直平分k(L)*k(P1P2)=-1P1与P2之中点在L0上两相交直线对称三线共点夹角相等平移移动一个特殊点验证左加右减，上加下减动点问题最值问题轨迹中点条件：传点利用平面几何知识计数原理与古典概型图文并茂，动静结合五大方法计数摸球问题取样问题分房问题几何问题排队问题分组分派问题组数问题不对应、配对问题涂色问题相同指标不同对象分配问题——隔板处理概率事件间的关系+概率性质和计算独立性的判定利用独立性计算概率n重伯努利概型数据分析统计量——平均数与方差统计图表计数原理与古典概型图文并茂，动静结合五大方法有限少量穷举归纳用字典序，避免重漏区分排列还是组合排列有序，组合无序准确分类合理分步分类方法，分步顺序正难则反除法消序减法除法，去不满足特殊条件优先解决元素位置，位置优先计数情况不多直接穷举情况个数不多排列与组合用不上其他数学知识点综合的问题情况多排列组合摸球问题摸球的方式一次性取（无序）组合每次取1个（有序）不放回样本减少放回样本不变独立的“一次性取k个球”与“逐次无放回取k个球”对应结果相同，概率相同经验结论抽签中奖与次序无关袋中有a个中奖的球，b个不中奖的球逐次无放回抽，则第k次抽到中奖球的概率a/(a+b)与k无关前面的k-1不明确特例：a=1，第k次抽到中奖球的概率为1/（a+b）取样问题注意：含与不含；或与且；最大与最小对象均不同分房问题背景人——每人只能选一间房子房——房间内可容纳0——N人经验n人可进N个房（n<=N）共N^n种（房间数^人数）n人分别进N个房（n<=N）共{N*(N-1)*(N-2)……}每房间一人注意“恰”要选；“指定”不用选房间中的人数：0，1，2，3……n区分“人”与“房”几何问题排队问题分组分派问题组数问题不对应、配对问题涂色问题相同指标不同对象分配问题——隔板处理概率数据分析计数原理与古典概型图文并茂，动静结合五大方法计数摸球问题取样问题分房问题几何问题与几何有关的计数/概率平面、解析、空间——古典概率几何概型样本点无限个等可能的排队问题排队直排特殊要求位置优先相邻等间隔，小团体打包处理——注意包内的顺序不相邻问题——抽空处理注意两头的空定序要求除法消序特殊优先两排问题——直排处理三元素以上不相邻只能用抽空环排n个人环排有（n-1）!种排法无首无尾，方向无差别分组分派问题背景分组元素不同的，分派的对象相同只分组不同要分派注意先分组再分派分组：平均/非平均分分派：定向/非定向n个组的个数一样，总数/n!组数问题背景三位数，四位数要求0不能首位个位：奇数/偶数，整除定序不对应、配对问题二、三、四元素不对应分别是1，2，9种涂色问题乘法原理某一步如果不确定===>分类加法原理按使用颜色个数来分类相同指标不同对象分配问题——隔板处理概率数据分析计数原理与古典概型概率事件间的关系+概率性质和计算关系AB、A并B、A-B=A（-B）公式0<=P（A）<=1对立公式P(-A)=1-P(A)P(A)=1-P(-A)减法P(A-B)=P(A(-B))=P(A)-P(AB)特别地B属于A===>P(B)<=P(A)0<=P(A-B)=P(A)-P(B)加法两事件P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地A与B互不相容时，P(A+B)=P(A)+P(B)三事件P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)解题思路第一步事件的表示利用概率公式或文氏图求概率独立性的判定两事件A、B关系A、B互不相容A、B对立A、B独立定义AB=空集AB=空集且A并B=U P(AB)=P(A)*P(B)概率意义A、B不能同时发生A、B不能同时发生；A、B必有一个发生A事件发生对B事件发生的概率无影响三事件A、B、C两两对立相互对立P(AB)=P(A)P(B)A、B、C相互独立P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)三三独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)经验若A、B、C相互独立则A-B与C独立则A-B与BC不一定独立利用独立性计算概率P(AB)=P(A)P(B)关键：复杂事情的分析n重伯努利概型要点每次实验只有2个结果各种实验中P(A)=p，P（-A）=1-pn次实验是相互独立的四种计算n次实验中A恰好发生k次的概率pp=(组合n、k)*p^k(1-p)^(n-k)k=0,1,2,……nn次实验中A至少发生1次的概率p p=1-(1-p)^nn次实验中A至多发生1次的概率pp=1-(1-p)^n+((组合n、1)p^1(1-p)^(n-1)0次、1次直到第n次实验A才发生了k次的概率pp={（(组合（n-1）、（k-1））}p^(k-1)（1-p）^(n-k)*p={（(组合（n-1）、（k-1））}p^k（1-p）^(n-k)数据分析计数原理与古典概型概率数据分析统计量——平均数与方差定义与意义平均数算术平均数（x1+x2+……xn）/n中心位置（对称性）几何平均数(x1*x2*x3……xn)的n次方根方差S^2=1/n((x1-x平)^2+(x2-x平)^2+(x3-x平)^2……(xn-x平)^2)分散程度标准差（S^2）的二次方根=S注意：两组数据比较平均数计算扣定义加权平均数巧用对称性方差线性变换后数据的均值与方差、标准差平均数y平=ax平+b方差S(y)^2=a^2S^2标准差（a^2S^2）的平方根=|aS|=|a|S连续5个整数的方差必为2多组数据的比较：异同，统计意义统计图表饼图可量角计算频率分布直方图小距形面积=各组的频率各小矩形面积之和=1概述一般方法应试方法条件处理应用题中不定方程与不等式未知量个数大于方程个数注意价格问题利润率=利润/进价*100%=（售价-进价）/进价*100%经验平均问题平均数=总分/总人数不等式与线性规划应用题不等式问题线性规划应用题经验结论总结集合计数标数用公式两集合三集合函数图形应用+分段函数函数图形截距，距离分段函数注意：落入那一段，分段计算至少至多问题方法1方法2方法3最值应用题二次函数均值不等式概述一般方法列方程、不等式应用题应试方法小学生方法条件处理声东击西、多个条件反向验证、条件可以特殊化、比较列表格应用题中不定方程与不等式未知量个数大于方程个数注意整数解的不定方程，用下列方法可以减少穷举的次数从系数绝对值大的入手利用整除性，奇偶性实际问题表量有范围价格问题利润率=利润/进价*100%=（售价-进价）/进价*100%售价=进价*（1-利润率）经验甲、乙以相同的售价卖出，一件赚了P%,一件亏了P%，则最终一定是亏了平均问题平均数=总分/总人数不等式与线性规划应用题不等式问题线性规划应用题实数解线性规划问题整数解线性规划问题（穷举法）直线形式目标函数约束条件经验结论最值一般在边界斜率的比较总结线性规划解题思路一般方法由斜率比较大小找最优解实用技巧最值一般在约束条件边界点附件找到集合计数函数图形应用+分段函数至少至多问题最值应用题概述应用题中不定方程与不等式价格问题平均问题不等式与线性规划应用题集合计数标数用公式两集合n(A并B)=n(A)+n(B)-n(AB)三集合n(A并B并C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AB)-n(AC)-n(BC)+n(ABC)函数图形应用+分段函数函数图形截距，距离分段函数注意：落入那一段，分段计算至少至多问题方法1>=/<=不等式/最值方法2总量一定对立面的最值X Y Z=总量一定YZ最大，则X求至少=最小方法3整数解平均与极端思想抽屉原则至少有一个盒子中不少于2个球a只球b只盒子，至少有1个盒子不少于a/b的商加1最不利原理极端最值应用题二次函数均值不等式。