第2节 单摆

第2节 单 摆

[重点诠释]

1．单摆的特点

(1)单摆的理想化特点：

单摆是一个理想化模型。实际摆在满足以下条件时可看成是单摆。

①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，可把摆线看成是不可伸长且没有质量的。

②摆球的大小与摆线长度相比小得多，可把摆球看成是质点。

(2)单摆的运动特点：

①摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都受向心力。

②摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。

2．单摆的动力学特征

(1)任意位置：

如图所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin

θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力。

(2)平衡位置：

摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符。

(3)单摆做简谐运动的推证：

在θ很小时，sin θ≈tan θ＝xl，

G1＝Gsin θ＝mglx，

G1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力

F回＝G1＝－mglx＝－kx。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。(摆角一般不超过5°)

1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )

A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用

B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大

C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大

D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向

[重点诠释]

1．摆长l

(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l＝l′＋d2，l′为摆线长，d为摆球直径。

(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长。其周期T＝2πlsin αg，图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

2．重力加速度g

(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝GMR2，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。

(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

如图所示，此场景中的等效重力加速度g′＝gsin θ。

球静止在O时，FT＝mgsin θ，等效加速度g′＝FTm＝gsin θ。

2．两个单摆都做简谐运动，在同一地点甲摆振动20次时，乙摆振动了40次，则( )

A．甲、乙摆的振动周期之比为1∶2 B．甲、乙摆的振动周期之比为2∶1

C．甲、乙摆的摆长之比为1∶4

D．甲、乙摆的摆长之比为4∶1

[例1] 下列有关单摆运动过程中的受力说法，正确的是( )

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

[借题发挥]

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。

(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

1．对于单摆的运动，以下说法中正确的是( )

A．单摆运动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受加速度为零

[例2] 一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图示)，再将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期。

[借题发挥]

有关单摆周期问题的处理方法：

(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件。

(2)在运用T＝2πlg时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间。

(3)改变单摆振动周期的途径是：

①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。

2．用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是( )

A．不变 B．变大 C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值 [随堂基础巩固]

1．制做一个单摆，合理的做法是( )

A．摆线细而长 B．摆球小而不太重

C．摆球外表面光滑且密度大 D．端点固定且不松动

2．关于单摆，下列说法中正确的是( )

A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置

B．摆球受到的回复力是它的合力

C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零

D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比

3．如图所示，一摆长为l的单摆，在悬点的正下方的P处有一钉子，P与悬点相距l－l′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( )

A．2πlg B．2πl′g C．π(lg＋l′g) D．2πl＋l′2g

4.如图所示，光滑轨道的半径为2 m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6 cm与2 cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是( )

A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定

[课时跟踪训练]

(满分50分 时间30分钟)

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分。每小题至少有一个选项正确，全选对得4分，选不全得2分，错选不得分)

1．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是( )

A．增大摆球的质量 B．缩短摆长

C．减小摆动的角度 D．升高气温

2.如图所示是一个单摆(α<5°)，其周期为T，则下列说法正确的是( )

A．把摆球质量增加一倍，则周期变小

B．把偏角α变小时，周期也变小

C．摆球由O→B→O，运动的时间为T

D．摆球由O→B→O，运动的时间为T2

3．如图所示，置于地面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为T0，下列说法中正确的是( )

A．单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力

B．单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力

C．将该单摆置于高空中相对于地球静止的气球中，其摆动周期为T>T0

D．小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力

4．(2011·上海高考)两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速v1、v2(v1>v2)在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则( )

A．f1>f2，A1＝A2 B．f1A2 D．f1＝f2，A1

5．做简谐振动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的( )

A．频率、振幅都不变 B．频率、振幅都改变

C．频率不变，振幅改变 D．频率改变，振幅不变

6．如图所示，A、B分别为单摆做简谐运动时摆球的不同位置。其中，位置A为摆球摆动的最高位置，虚线为过悬点的竖直线，以摆球最低位置为重力势能零点，则摆球在摆动过程中( )

A．位于B处时动能最大

B．位于A处时势能最大

C．在位置A的势能大于在位置B的动能

D．在位置B的机械能大于在位置A的机械能

7.如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的M处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有( )

A．A球先到达C点 B．B球先到达C点

C．两球同时到达C点 D．无法确定哪一个球先到达C点

8.如图所示为半径很大的光滑圆弧轨道上的一小段，小球B静止在圆弧轨道的最低点O处，另有一小球A自圆弧轨道上C处由静止滚下，经t秒与B发生正碰。碰后两球分别在这段圆弧轨道上运动而未离开轨道。当两球第二次相碰时( )

A．相间隔的时间为4t B．相间隔的时间为2t

C．将仍在O处相碰 D．可能在O点以外的其他地方相碰

二、非选择题(本题共2小题，共18分)

9.(9分)一块涂有碳黑的玻璃板，质量为2 kg，在拉力F作用下，由静止开始沿竖直方向向上运动。一个装有水平指针的振动频率为5 Hz的固定电动音叉在玻璃板上画出了如图所示的曲线，图中OA＝1 cm，OB＝4 cm，OC＝9 cm，求外力F的大小。(g取10 m/s2)

解析：

10．(9分)若在某山峰峰顶利用单摆来确定山峰的高度，已知该单摆在海平面处的周期是T0。在峰顶时，测得该单摆周期为T。试求山峰峰顶离海平面的高度h。(地球可看做质量均匀分布的半径为R的球体；结果用T、T0、R表示)

解析：