高一数学第一章知识点
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⾼⼀数学第⼀章知识点
进⼊到⾼⼀阶段，⼤家的学习压⼒都是呈直线上升的，因此平时的积累也显得尤为重要，⼩编⾼⼀频道为⼤家整理了《新⼈教版⾼⼀数学必修⼀第⼀章知识点》希望⼤家能谨记呦!!
⾼⼀数学第⼀章知识点
⼀.知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合(集).其中每⼀个对象叫元素
注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平⾯⼏何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，⼆者必居其⼀)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和⽆序性({a,b}与{b,a}表⽰同⼀个集合)。
③集合具有两⽅⾯的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表⽰⽅法：常⽤的有列举法、描述法和图⽂法
3)集合的分类：有限集，⽆限集，空集。
4)常⽤数集：N，Z，Q，R，N
2.⼦集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)⼦集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);
2)真⼦集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)
3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
5)补集：CUA={x|xA但x∈U}
注意：①?A，若A≠?，则?A;
②若，，则;
③若且，则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。4.有关⼦集的⼏个等价关系
①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;
④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;
③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;
6.有限⼦集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个⼦集，2n-1个⾮空⼦集，2n-2个⾮空真⼦集。
⼆.例题讲解：
【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满⾜关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM
分析⼀：从判断元素的共性与区别⼊⼿。
解答⼀：对于集合M：{x|x=,m∈Z};对于集合N：{x|x=,n∈Z}
对于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表⽰被3除余1的数，⽽6m+1表⽰被6除余1的数，所以
MN=P，故选B。
分析⼆：简单列举集合中的元素。
解答⼆：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。=∈N，∈N，∴MN，⼜=M，∴MN，
=P，∴NP⼜∈N，∴PN，故P=N，所以选B。
点评：由于思路⼆只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路⼀，但思路⼆易⼈⼿。
变式：设集合，，则(B)A.M=NB.MNC.NMD.
解：
当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
【例2】定义集合AB={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则AB的⼦集个数为A)1B)2C)3D)4
分析：确定集合AB⼦集的个数，⾸先要确定元素的个数，然后再利⽤公式：集合A={a1，a2，…，an}有⼦集2n个来求解。
解答：∵AB={x|x∈A且xB}，∴AB={1,7}，有两个元素，故AB的⼦集共有22个。选D。
变式1：已知⾮空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为A)5个B)6个C)7个D)8个
变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真⼦集的个数，所以共有个.
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A
∵A∩B={1}∴1∈A∴⽅程x2+px+q=0的两根为-2和1，
∴∴
变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.
解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴
⼜∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满⾜：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1
分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，⽽(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)
点评：在解有关不等式解集⼀类集合问题，应注意⽤数形结合的⽅法，作出数轴来解之。
变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满⾜条件的a的集合。
解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM
①当时，ax-1=0⽆解，∴a=0②
综①②得：所求集合为{-1，0，}
【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。
分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利⽤参数分离求解。
解答：(1)若，在内有有解
令当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式：若关于x的⽅程有实根,求实数a的取值范围。
解答：
点评：解决含参数问题的题⽬，⼀般要进⾏分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
【同步练习题】
⼀、选择题(每题4分，共40分)1、下列四组对象，能构成集合的是()
A某班所有⾼个⼦的学⽣B的艺术家
C⼀切很⼤的书D倒数等于它⾃⾝的实数
2、集合{a，b，c}的真⼦集共有个()
A7B8C9D10
3、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满⾜条件的集合A的个数是()
A.6B.7C.8D.9
4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU(M∪N)=()
A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4}
5、⽅程组的解集是()
A.{x=0,y=1}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1}
6、以下六个关系式：，，,,，是空集中，错误的个数是()
A4B3C2D1
7、点的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指()
A.第⼀象限内的点集B.第三象限内的点集
C.第⼀、第三象限内的点集D.不在第⼆、第四象限内的点集
8、设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是()
ABCD
9、满⾜条件M=的集合M的个数是()
A1B2C3D4
10、集合，，，且，则有()
AB
CD不属于P、Q、R中的任意⼀个
⼆、填空题(每题3分，共18分)11、若，，⽤列举法表⽰B
12、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若BA，则a=__________
13、设全集U=，A=，CA=，则=，=。
14、集合，，____________.
15、已知集合A={x|},若A∩R=，则实数m的取值范围是
16、50名学⽣做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40⼈，化学实验做得正确得有31
⼈，两种实验都做错得有4⼈，则这两种实验都做对的有⼈.
三、解答题(每题10分，共40分)17、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
18、已知⼆次函数()=,A=,试求的解析式
19、已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。
20、设，集合，，且A=B，求实数x，y的值
⾼⼀数学第⼀章知识点
本节主要包括函数的模型、函数的应⽤等知识点。主要是理解函数解应⽤题的⼀般步骤灵活利⽤函数解答实际应⽤题。1、常见的函数模型有⼀次函数模型、⼆次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。2、⽤函数解应⽤题的基本步骤是：(1)阅读并且理解题意.(关键是数据、字母的实际意义);(2)设量建模;(3)求解函数模型;(4)简要回答实际问题。
常见考法：
本节知识在段考和⾼考中考查的形式多样，频率较⾼，选择题、填空题和解答题都有。多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题，属于拔⾼题，难度较⼤。
误区提醒：1、求解应⽤性问题时，不仅要考虑函数本⾝的定义域，还要结合实际问题理解⾃变量的取值范围。
2、求解应⽤性问题时，⾸先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将⽂字语⾔转化成数学语⾔，建⽴相应的数学模型。
【典型例题】
例1：(1)某种储蓄的⽉利率是0.36%，今存⼊本⾦100元，求本⾦与利息的和(即本息和)y(元)与所存⽉数x之间的函数关系式，并计算5个⽉后的本息和(不计复利).(2)按复利计算利息的⼀种储蓄，本⾦为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存⼊本⾦1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少?解：(1)利息=本⾦×⽉利率×⽉数.y=100+100×0.36%·x=100+0.36x，当x=5时，y=101.8，∴5个⽉后的本息和为101.8元.
例2：
某民营企业⽣产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正⽐，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平⽅根成正⽐，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表⽰为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
(2)该企业已筹集到10万元资⾦，并全部投⼊A，B两种产品的⽣产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得利润，其利润约为多少万元。(精确到1万元)。
⾼⼀数学第⼀章知识点
定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为⾃变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为⼤于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能⼩于0，这时函数的定义域为⼤于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x⼤于0时，函数的值域总是⼤于0的实数。在x⼩于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为⾮零的实数。⽽只有a为正数，0才进⼊函数的值域
