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华东师范大学2008至2009学年第2学期高等数学期末考试试题
华东师范大学期末试卷（A）
2008 — 2009 学年第 2 学期
课程名称：__ 高等数学（一）__
学生姓名：___________________ 学号：___________________专业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修
一二三四总分阅卷人签名一、填空题（每小题4分，共24分）
1． 1/2n(…)括号内化成积
分 .
2．= L’Hospital .
3．= 分母配方 .
4．= 变成cos然后化成两部分 .
5．曲线的水平渐近线方程为 x趋于无穷大得
y=1/5 .
6．曲线的拐点有求导个.
二、选择题（每小题4分，共16分。
每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内）
7．与相比，有关系式（ b ）.
（A）；（B）；。
华东师范大学期终试卷（B）答案及评分标准2006－2007学年第一学期学生姓名_______________ 学号_______________学生系别__________ 专业__________ 年级________ 班级__________课程名称汉译英课程性质专业必修一二总分阅卷人签名I.Translate the following passage into English. (60%)A Pickle PotMother came from our home village. She stayed with us for ten days. When she was about to leave, she wanted to buy us something as a present.“You’ve got everything,” she said, “but you seem to have got nothing. The TV set is yours, but the people who walk back and forth in it are all strangers, even murderers, corrupt officials and thieves come in and out of it from time to time. The radio cassette player is yours, but it’s all others who sing in it. The books on the shelf are yours, but they are all written by others. The fridge is yours, but all the year round it’s filled with frost that comes from God knows where. Though they make your life easy and comfortable, none of them belongs to you in the real sense of the word.”On the day she was to leave for home, she got up early in the morning and brough back a picle pot from the market.“Make some pickles in it,”she said, “and have something that suits your own palate.”Since then pickles of our own taste had been added to our diet. When we had guests, we often had pickles to go with wine. Slightly intoxicated everyone would comment, “ A country flavor, not bad. Not bad, a country flavor.”So we had something to our own taste. When we looked at the pot, it was standing quietly at the corner. Amid the hustle and bustle of our everyday life and in the apartment of reinforced concrete, the pot stood there by itself, brewing an dold and simple flavor.II. Translate the underlined part of the following passage into English. (40%) An American Writer Who Was Born in TianjinThe next day I was invited to the hotel where he stayed and we had a long talk in his room. He put his pocket recorder on the tea table, saying that he wanted to not e down what I was going to say as it was being interpreted. He asked how Tianjin had been affected by the Tangshan earthquake and then he said he would like to be furnished with some information about Tianjin writers because, during his previousvisits to Tianjin, it had never occurred to him that there was any writer in this city. When he learned that writers in China were paid regular salaries, apart from contribution fees for their writings, he was so amazed that he put it in his notebook as if he had discovered something unusual. Picking up the topic from where he left off I asked how he had managed to make a living by writing and he said he was concurrently employed as a journalist for a newspaper and a professor at a university. His employment in the two occupations not only ensured sufficient incomes for a living , but also provided him with materials for creative writing and widened the range of his learning. Some of his novels were developed on the reportage he had written as a journalist and others were conceived while he was teaching at university. This, I believed, with his luxuriant imagination growing out of the rich soild of social realities, was a rewarding practice that gave rise to the realistic approach in his creative writing. A Bell for Adano, the novel that brought him the reputation as a novelist, depicts the life of the farmeres in a Sicilian village under the U.S. forces. Hirashima, another book of his that surprised the world, is about how the survivors of the atom bomb desperately struggled to survive. The Wal l, his another novel, is about the ill-fated uprising of the Jews in Warsaw’s ghetto against the Nazis. All these great works were written along the road from a journalist to a writer.……When his visit to Tianjin was over and I got on board the train to say good-bye, he said, excitedly, that he was going to write, in the form of a series, about what he had seen and heard in Tianjin. Back to the States, he set about writing the series titled A Journey Home, as he had planned, in a special column. In fact he was planning to return to Tianjin for another visit but, falling victim to cancer, he was not able to do it and see the changes that had been taking place in his hometown since the reform and, consequently, unable to write more about it to follow up his series of A Journey Home.评分综合考虑以下几个因素：1．翻译中词汇选择恰当与否。
华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：数学分析一．（24分）计算题： （1）011lim();ln(1)x x x→-+（2）32cos sin ;1cos x xdx x⨯+⎰ （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=,所确定的可微隐函数，试求grad Z.二．（14分）二、设 n n ne )11(+=，*N n ∈；1)11(++=n n nE ，*N n ∈；证明： （1）}{n e 是严格递增的;（2）}{n E 是严格递减的; （3）用对数函数x ln 的严格递增性质证明：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，对一切n ∈N *成立. 三．（12分）设f 在[],a b 中任意两点之间都具有介值性，而且f在(),a b 内可导，'|()|f x K ≤（正常数）, (,).x a b ∈证明f 在点a 右连续（同理在点b 左连续）. 四．（14分）设12(1).nn I x dx =-⎰证明:（1）1221n n nI I n -=+,n=2,3…;（2）2,3n I n≥n=1,2,3….五（12分）设S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线{(),[,](()0)z y f x x a b f x ==∈≥饶x 轴旋转而成。
试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为'22()1()baA f x fx dx π=+⎰（提示：据空间解几知道S 的方程为222()y z f x +=）六（24分）级数问题：（1）设sin ,0()1,0xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,求()(0)k f。
（2）设1nn n a =∑收敛，lim 0n n na →∞=证明:111()nnn n n n n n a a a +==-=∑∑。
（3）设{()}n f x 为[],a b 上的连续函数序列，且()(),[,]n f x f x x a b ⇒∈证明：若()f x 在[],a b 上无零点。
第一章 函数、极限与连续作 业 题一、计算下列函数极限1.220()lim h x h x h →+-2. 231lim (2sin )x x x x x→∞-++3. 322232lim 6x x x x x x →-++-- 4. 1x →5 3tan sin lim x x xx →- 6 0x →7 21lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭8. 01lim 1cos x x →-9．()2sin 0lim 13xx x →+10.22x →11．()120lim e x xx x -→+ 12.()1lim 123nn nn →∞++13．21sinlim x x →+∞e 1lim e 1nn n →∞-+二、确定下列极限中含有的参数1.2212lim22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=三、解答题1.探讨函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.练 习 题一、单项选择题1.以下结论正确的是 .A. lim 0n n y A ε→∞=⇔∀>，在(,)A A εε-+之外只有{}n y 的有限项B. 设n a y b <<，且lim nn y A →∞=，则有a A b <<C. 收敛数列必有界D. 发散数列必无界 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在， 则 . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B. ()f x 在点0x 的函数值必存在,但不肯定等于该点极限值C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在D. 若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值 3.极限0limx xx→= . A. 1 B. 1- C. 0 D. 不存在 4.下列命题正确的是 .A. 无穷小量的倒数是无穷大量B. 无穷小量是肯定值很小很小的数C. 无穷小量是以零为极限的变量D. 无界变量肯定是无穷大量 5.下列变量在给定的改变过程中为无穷小量的是 .A. 1sin(0)x x→ B. 1e(0)xx →C. 2ln(1)(0)x x +→D. 21(1)1x x x -→-6.变量11sin xx.A. 是0x →时的无穷小B. 是0x →时的无穷大C. 有界但不是0x →时的无穷小D. 无界但不是0x →时的无穷大 7.0x =是1()sin f x x x=的 .A. 可去间断点B. 跳动间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点8.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.A. 在0,1x x ==处都间断B. 在0,1x x ==处都连续C. 在0x =处连续，1x =处间断D. 在0x =处间断，1x =处连续9.设函数2,0(),0x f x xk x ≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = . A. 4 B. 14 C. 2 D. 1210.方程sin 2x x +=有实根的区间为 .A. ,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭二 、填空题1.0sin lim x x x →= ；sin lim x x x→∞= .2.0sin limsin x x x x x →-=+ ；sin lim sin x x xx x→∞-=+ . 3.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭； 10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 4.当0x →时，sin3x 是2x 的 无穷小；2sin x x +是x 的 无穷小；1cos sin x x -+是2x 的 无穷小；23e1x x --是2arcsin x 的 无穷小；1(1)1nx +-是xn的 无穷小；32x x -是22x x -的 无穷小. 5.已知0x →时，()12311ax +-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a = .6.设2,0()sin ,0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续，则常数,a b 应满意的关系为 . 7.()sin xf x x=的可去间断点为 ；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为 .8．函数21()23f x x x =--的连续区间是 ．三、计算题1.220e 1lim x x x →-2.0ln(12)lim sin x x x→-3.0x +→4.x →.5.lim x →+∞6. n7.0x → 8.220tan lim e 1x x x x x -→+-9.20sin cos 1lim sin 3x x x x x→+-- 10.()21ln(1)0lim cos x x x +→11．探讨函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.12.证明方程e 2x x -=在区间(0,2)内至少有一实根.其次章 导数与微分作 业 题1.利用导数定义计算()ln()f x a x =+的导数(1)f '.2.探讨函数1arctan ,0()x x f x x⎧≠⎪=⎨在0x =处的连续性和可导性.求下列函数的导数（3-7小题） 3.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+-，求'y4.2sin(21)e x y x -=⋅ ，求'y5.sin 3cos xy x=-，求'y6.1,0xy x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，求'y7设()f x 可导，计算函数(e )x y f x =+的导数d d y x.求下列函数的二阶导数（8-10小题）8. (ln y x =，求''y9 2e cos x y x =⋅，求''y10.设2(sin )y f x =，其中()f x 二阶可导，求22d d yx.11.已知arctan y x =d d yx12.求曲线35230y y x x ++-=在0x =处的切线方程.13 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩，所确定的隐函数的二阶导数利用对数求导法求下列函数的导数d d yx.（14-15小题）14.sin x y x =，求'y 15.y ='y求下列函数的微分（16-19小题）16.2ln sin y x x x =+，求dy 17.21cot exy =，求dy18.42ln x y y =+，求dy 19.y x x y =，求dy练 习 题一、单项选择题 1.已知(3)2f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--= .A ．2 B.2- C.1- D.1 2.()|2|f x x =-在点2x =处的导数是 .A.1B.0C.1-D.不存在 3.设()(1)(2)...()f x x x x x n =+++，则(0)f '= .A.(1)!n -B.nC.!nD.04.()f x 在0x x =处左导数0()f x -'和右导数0()f x +'存在且相等是()f x 在0x x =处可导的 条件.A ．必要非充分 B.充分非必要 C ．充分必要 D. 既非充分又非必要 5.设函数()y y x =由方程3330x y axy +-=所确定，则d d yx= . A.22ay x y - B.22x y ay ax+- C.22ay x y ax -- D.22x ax y - 6.设22()f x y y +=，其中22()f x y +是可导函数，则d d yx= . A.22()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+C.222()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 7.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩的函数()y y x =的二阶导数22d d yx = .A.2csc bt a - B.32csc b t a -C.2csc b t a D.32csc b t a8.设()y y x =由参数方程2e 321sin 02x t t t y y π⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定，则0d d t yx == . A.0 B.12 C.1e sin 2x y D.23二、填空题1.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则(0)f '= .2.设(0)0f =，(0)f '存在，则0()limx f x x→= . 3.设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(0)f +'= ，(0)f -'= ，(0)f ' .4.设2111f x x x⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x '= . 5.设2()y f x =，且()f x 可导，则d d yx= . 6.设()sin cos 22xf x x =+，则(100)()f π= .7.设(ln )y f x =，其中()f x ''存在，则22d d yx= .8.设g 是f 的反函数，且2(4)5,(4)3f f '==，则(5)g '= . 9.d ＝x，d ＝1d x x .10.由方程e 0x y xy ++=所确定的函数()y y x =的微分d y = .三、计算题1.求曲线sin y x =在3x π=处的切线方程和法线方程.2.(ln e x y =+，求'y3.)11y⎫=-⎪⎭，求'y4.a a xa x a y x a a =++，求'y5.cos (sin )x y x =，求'y6.设2()1n f x x x x =++++，计算()(0)n f .7. y =dyarctaney x=，求dy9. .求参数方程e sin cos tx t y t t⎧=⎨=+⎩所确定的函数()y y x =的微分d y .10. .证明：当||x 1x n≈+.第三章 微分中值定理与导数的应用作 业 题一、证明题1. 证明：若()f x 在区间I 内可导，且()0f x '=，则()f x 在区间I 内是一个常数．2.证明方程510x x +-=只有一个正实根.3．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=.4.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>.二、求下列函数的极限.1.30sin lim ;x x x x →-2.1lim 1ln x x x x x x →--+3.21lim(cos)x x x → 4.1lim (1);xx x →+∞+5.arctan 2lim ;1x x xπ→+∞- 6.2cos lim;2x xx ππ→-三、解答题1. 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性．2. 证明：当1>x 时，xx 132->．3. 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．4. 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．5. 求曲线31x y =的拐点和凹凸区间．6. 求下列曲线的渐近线(1) 12+-=x x y ； (2) xx y )1ln(+=7. 作函数23)1(22--=x x y 的图形．练 习 题一、证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.2．证明：当0a b <<时，ln b a b b ab a a--<<.3. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(>'x f ，则)(x f 在],[b a 上严格单增．4. 设01 (21)0=++++n a a a n ，证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．二、求下列函数的极限.1.0e 1lim sin x x x x →-- 2.30sin cos lim sin x x x x x→-3.2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4.2201lim cot x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5.sin 0lim(cot )xx x → 6.210arcsin lim xx x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题1.确定下列函数的单调区间.（1）82y x x=+ （2）23(1)y x x =-2.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.4.求函数()(1)e x f x x -=+的极值.5.求函数32()21f x x x x =-+-在[0,2]上的极值，最大值与最小值.6. 设324x y x+=，求：⑴ 函数的增减区间与其极值； ⑵ 函数图象的凹凸区间与其拐点； ⑶ 渐近线； ⑷ 做出其图形.第四章 不定积分 作 业 题一、求下列不定积分： (1) ⎰-dx xx )1(2； (2) ⎰++dx x x 1124；(3) dx xx e e x xx⎰--) 2(3； (4) dx xx ⎰sin cos 122；二、用第一换元法求下列不定积分(1) ⎰xdx x 54cos sin ； (2) )0( 22>-⎰a xa dx ；(3) dx x x x )1(arctan ⎰+； (4) )0( 22≠+⎰a xa dx；三、用其次换元法求下列不定积分 (1) dx x x x ln ln 1⎰+； (2) dx xx x x ln 12⎰++；(3) ⎰-24xx dx ． (4) )0( 22>+⎰a xa dx ．四、用分部积分计算下列不定积分(1) ⎰xdx x ln ； (2) ⎰dx e x x 2；(3) ⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax (4) ⎰dx xe x ．五、求下列不定积分（三角函数、有理式、无理式）(1) ⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24； (2) ⎰+)1(24x x dx ；（3）dx xx ⎰ cos sin 32． (4)dx x x xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．(5) ⎰-+342)1()1(x x dx； (6) dx xx 14⎰+；练 习 题一、填空题1．设2()ln(1)d f x x x C =++⎰，则()f x = . 2.()d d f x ⎰= .3.设()F x 是()f x 的一个原函数，则()e e d x x f x --⎰＝ .二、单项选择题1．下列等式正确的是 .A ．()()d d f x x f x =⎰B ．()()d f x x f xC '=+⎰C ．()()d f x f x =⎰D ．()()dd d f x x f x C x =+⎰ 2. 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x ，且过点2(,3)e ，则该曲线方程为 .A ．ln y x =B ．ln 1y x =+C ．211y x=-+ D ．ln 3y x =+3. 设()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '=⎰ . A ．222e x x C --+ B ．222e xx --C ．22(21)e x x C ---+ D ．()()d xf x f x x +⎰三、求下列不定积分1. x2. ⎰xdx x 35sec tan3. dx x x x ⎰++)1(212224. x ⎰5. 23sin cos d x x x ⎰6. 3tan d x x ⎰7.x 8.9.2(1)d xx x -⎰10.d x ⎰11.x ⎰12. 2sin e d xx x ⎰13.x ⎰ 14.21(1)d x x x +⎰第五章 定积分 作业题一、求下列定积分1. 22sec (1tan )40d x x x π+⎰ 2.13-21(115)d x x +⎰3. 122(1)0d x x +⎰ 4.41x ⎰5.221x ⎰ 6.401cos 2d x x x π+⎰7.220sin d x x x π⎰ 8.1cos(ln )ed x x ⎰9.1ex ⎰ 10.2x ⎰二、解答题 1.把极限)221limn n n →∞++表示成定积分．2. 03(sin )lim(1)d e xxx t t tx →--⎰3. 设21,1()1,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，求20()d f x x ⎰与0()()d x x f x x ϕ=⎰.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且()(2)()0d xF x x t f t t =-⎰，证明：若()f x 单调不增，则()F x 单调不减．三、定积分的几何应用1.求抛物线243y x x =-+-与其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积.2. 设有曲线y =过原点作其切线，求由此曲线、切线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.3. 计算底面是半径R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积.练 习 题一、填空题1.依据定积分的几何意义，20d x x =⎰ ，1x -=⎰ ， sin d x x ππ-=⎰ ．2. 设0sin d t x u u =⎰，0cos d t y u u =⎰，则d d y x = . 3．31d d d x x ⎰= .4．设e x x -为()f x 的一个原函数，则10()d xf x x '=⎰ ．5. 设()f x 是连续函数，且2-1()0d x f t t x =⎰，则(7)f = .二、单项选择题1. 定积分()d b a f x x ⎰ ．A ．与()f x 无关B ．与区间[],a b 无关C ．与()d b a f t t ⎰相等D ．是变量x 的函数2．设()f x 在[],a b 上连续，()()d x a x f t t φ=⎰，则 ． A ．()x φ是()f x 在[],a b 上的一个原函数B ．()f x 是()x φ在[],a b 上的一个原函数C ．()x φ是()f x 在[],a b 上唯一的一个原函数D ．()f x 是()x φ在[],a b 上唯一的一个原函数 3.arctan b d d d a x x x=⎰______． A ．arctan x B ．211x + C ．arctan arctan b a - D ．0 4．下列反常积分收敛的是 ．A ．+0e d x x ∞⎰B ．1ln e d x x x +∞⎰C ．1sin 1-1d x x⎰ D ．32+1d x x -∞⎰ 5．211-1d x x=⎰ ．A ．0B ．2C ．－2D ．发散三、计算题1．ln 0x ⎰ 2．)211d x x -⎰3．x ⎰ 4．20sin cos sin cos d x x x x xπ-++⎰5．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求0()()d x F x f t t =⎰．四、求下列定积分与反常积分1．求1ln e e d x x x ⎰ 2．220cos x x x π⎰d3．1sin(ln )x x ⎰e d 4．244cos e d x x x ππ-⎰5.1x ⎰06．0d e ex x x +∞-+⎰7．322arctan (1)+0d x x x ∞+⎰ 8．+1x ∞⎰五、证明题1．设()f x 是连续函数，证明()()d d b ba a f x x f ab x x =+-⎰⎰六、计算题1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ，大块面积为B ，求A B的值.2．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．。
1997年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题3sin x x 2 cos_(1) lim xx 01 cos x In 1 x【答】2,4【详解】根据幂级数的性质，逐项求导后，得n 1咏1的收敛半径仍为3,故na x1n 1d 2n 2x 1na x 1nn n 1n 1的收敛区间为 x 1 3,即2, 4 . (3)对数螺线 e 在点处切线的直角坐标方程为 ______________. 【答】 x y e^ . 【项解1】由于 x cos , y sin ,螺线方程e 可化为x e cos , y e sin .dy . sin cos-由于—|| _1,且当 —时，x 0, y e 2 .dx 2 cos sin 22故所求切线方程为3［答］ .2213sin x x coslim- x【详解】 原式= x 0 2x3 0 3 .22(2)设幕级数a n x n的收敛半径为3,n 03lim sin x lim 2 x cosj2x 0 x x 0 2 x n 1则幕级数na n x 1 的收敛区间为n 1y e21x0,即x y _2【详解2】螺线方程e可化为隐函数方程：In x2 y2 arcta n丄,x利用隐函数求导法，得在点0, e 2处的导数为y°1,故所求切线方程为y 2 e 1 x 0 ,即x y _ .21 2 2(4)设A 4 t 3 ,B为三阶非零矩阵，且AB 0,则t=3 1 1【答-3.】【详解】由于B为三阶非零矩阵，且AB 0,，可见线性方程组Ax 0存在非零解，故1 2 2A 4 t 3 0 t 3.3 1 1(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是________________ .2【答】.5【详解】设A ｛第一个人取出的为黄球｝, B ｛第一个人取出的为白球｝，C ｛第二个人取出的为黄球｝.2 3 19 20则P A _,P B _, P C | A _, P C | B —.5 5 49 49由全概率公式知：P C P A PC | A P B P C | B2 93 20 19 25 49 5 49 49 5 .:■、选择题xy , x, y 0, 0x y ，在点0, 0处(1)二元函数- f x, y 2 20, x, y 0, 0(A )连续，偏导数存在 (C )不连续，偏导数存在 (B )连续，偏导数不存在 (D)不连续，偏导数不存在【答】【详解】应选(C ). 由偏导数的定义知 f ' 0,0 Xlim A X 0f 0 AX , 0 f 0,0 0,A X 而当y kx,有 limX kx..X limy X , y0,0x 22 yX 0X 2 k X当k 不同时， k不同， 故极限 1 k 2可见，应选( C ) (2)设在区间 a, b 上f X 0, fS 2 f b b a ,S 3 -f a 2(A ) S i S 2 S 3.(C) S s S i?2. limxy X , y 0,0 x 2不存在, 2y因而 f x, y 在点0, 0处不连续, X 0, f '' X【答】应选(B ). 0，令Sb f X dx,a(B) S> (D)S 2是有f x f b ,S 3S 3.f xf af bf a xb a从而bSf x dxf babbS f x dxf a1aa1fa fb2即s>S 3 ,故应选（B )•x 2.丄⑶设F xxsin t esin tdt,则 F（A ） 为正常数(C ) 恒为零•【答】应选（A ）•a , a x b.b a S 2, f b f ax a dxb ab a S .3x（B ）为负常数 （D ）不为常数【详解】 由于e sint sin t 是以2为周期的，因此x : F x2 sin te sintd2 tsir e"11sn tdtx2 0sinte d cos t0 2 2 + cos t esintdt 0.故应选（A ）a 1biC 1（4）设a ,b ,c ,则三条直线12 2232a sb sc sa xb y1 1c 0,a x1 2b y 2c20,a x b y c 0 (其中 ab 0,i1,2, 3 交于一333ii点的充要条件是（A ） 1, 2, 3线性相关•(B ) 1, 2, 3线性无关•(C )秩 r 1, 2, 3 =秩 r 1, 2(D )1, 2, 3线性相关，1, 2线性无关【】【答】 应选（D ）. 【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组0 2a 1xb 1yc 1 0 a x b y c 02 2 2a xb yc 033 3 有唯一解，其充要条件为秩秩 r 1, 2, 3 =秩 r 1, 2 = 2. （A ）、（C ）必要但非充分；（B ）既非充分又非必要；只有（D ）为充要条件，故应选（D ）. （5）设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量3X 2的方差是 (A )8.(B )16. (C ) 28. (D) 44. 【答】 应选（D ）.【详解】 D 3X 2Y32D X 22D Y 9 44 2 44.三、（1） 计算Ix 2 y 2 dV ,其中为平面曲线2绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z 8所围成的区域【详解】 利用柱面坐标, 积分区域可表示为,r, z4 rdr 082 r 2r dz2r8 — 2dr1024 3x 2计算曲线积分从z 轴正向往 z 轴负向看, 【详解1】 令 x cos ,y sin ,则 y dx z dy dz,其中C 是曲线C 的方向是顺时针的. cos sin 由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应 值分别为 2 , 0.° z y dxCx z dy y dz 2 sincos2cos21 d2 cos sin sin 2 2 .° z y dx x z dyCx y dz rotFdS2dxdy2dxdyDxy2 .） 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N ,在0时刻已掌握新技术的人数为 X 0,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为 x t，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例 常数k 0,求x t【详解2】 设是平面x y z 2以C 为边界的有限部分，其法向量与 Z 轴负向一致，D xy 为在xOy 面上的投影区域 x y k,2k.【详解】由题设,原方程可化为 积分，得 代入初始条件，得 四、（1）设直线 dxkxdt x odxkdt.NCe kNt1 Ce kNt,kNt0 Nx exkNtx 0eay在平面22上，而平面 与曲面z x y 相切于点（将 x t视为连续可微变量）1, 2, 5，求a、b 之值.【详解1】2 令F x, y, z x2y z，则F ' 2x,F -' 2 y,F ' 1.在点1, 2,5 处曲面得法向量为y zn 2, 4, 1，于是切平面方程为2 x 1 4 y 2 z 5 0, 即2x 4y z 5 0.x y b 0由1 :x ay z 3 0得x b, z x 3 a x b代入平面方程，得2x 4x 4b x 3 ax ab 5 0,有5 a 0, 4b ab 2 0.由此解得 a 5, b 2【详解2】由方法一知，平面方程为2 4 y z 5 0.x y b 0过直线1 : 的平面束为x ay z 3 0x y b x ay z 3 0, 即1x1 a y z b 3 0.其与平面重合，要求1 1 a b 32 4 1J 5解得1,a 5, b 22x Z (2)设函数f u具有二阶连续导数，而z f e sin y 满足方程——2x 【详解】2Z 2x2 e乙求yX1在X 0处的连续性u duxt dtu'X于是 xf X ° f u du0 X 02X由导数疋义，有'0 limX f u duf XA lim. X 02XX 02X2 而lim1X limXf XX 0f u duf X limX 0X 02XX 0XAA A 12 2XXXlim 0 f u duX 0可见，X在x 0处的连续性代入方程七X解此方程得f u五、设f Xz ' X • z f u e sin y, X y 2 z 2 f u e Xsin y f X z ' Xf u e sin yXf u e cos y,2x 亠：2 _ _u esin y,''2 X 2u e cos y,y — e 乙得 f u f u 0.C e u C e u （其中C , C 为任意常数）1 2 1 2连续,f xt dt ，且 limX 0A （ A 为常数），求 X 并讨论 X【详解】由题设limX 0A 知，f 00, f ' 0 A,且有 0 0.X1六、设 a i 2, a n in 1,2,…，证明:a n(1) lim n a n 存在;a n(2)级数 1收敛. a n 1【详解】 (1)因为 a nana~na n于是有a n a n 0,故数列 a n (2)方法一: 由(1 )知 a nan 1an 1由于级数 a n a n1ana n级数 n 1a n 方法二: 令b n a na n 11 a 2n2a ；1,单调递减且有下界，所以 的部分和数列S na n 1收敛，由比较判别法知, 利用递推公式，有 a k a k 1 a n a.1lim a n 存在.na 1 a n 1的极限lim 3存在，可见n1也收敛.b n 1 lim 工 n b n1 a n2 lim ___ 214 an 1 0 1,由比值判别法知 七(1)设B 是秩为 是齐次方程组 Bx a n 级数 一 n 1a n 1 2的5 4矩阵, 0的解向量，求 1也收敛. 1 1,12,3T , 2 1,14, 1T , 3 5, 1, 8,9 TBx 0的解空间的一个标准正交基 【详解】因秩r B 2,故解空间的维数为：4 r B 4 2 2, 又1, 2线性无关，可见 1, 2是解空间的基先将其正交化，令:2 再将其单位化，令：12 1 1 12 pC 111 尿 2，2 2 V39 53 3即为所求的一个标准正交基1 2 1 2 (2)已知 1是矩阵A5 a 3 的一个特征向量 1 1 b 2)试确定参数a, b 及特征向量 所对应的特征值; )问A 能否相似于对角阵？说明理由 •3 r E A 1个，故A 不可对角化八、设 A 是n 阶可逆方阵，将 A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵为 B. 1 1 1 1 2 1 1 3 4 - 2, 1 1 1 1 2 2 2 1 3 1 1 J 14 33210 【详解】(I ) 由题设，有 A 2 1 2 1 1 5 a 3 1 0 1 J 1 b2 1 1 2 1 2 o 也即 5 a3 o1 b 2解得 a 3,b 0, 1 . (II ) 由2 1 2 A 5a 3 ，知 E1 b2 可见 1为 A 的三重根，但秩0 ,即 23 r E A 2,从而 1对应的线性无关特征向量只有(1)证明B可逆;(2)求AB 1.【详解】(1)记E i, j是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则B E i, j A，于是有 | B |E i, j ||A A | 0.故B 可逆(2)AB 1 A E ij A 1 AA 1E 1 i, j E 1 i, j E i, j .九、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话2独立的，并且概率都是，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数5和数学期望•2【详解】X服从二项分布B 3,2，其分布律为5C k 2 k 1 2 3k , k 0,1,2, 3.3因此，X的分布函数为0, x 07,0 x12581 125,1—125X的数学期望为其中1是未知参数，x1 , x2，…,x n是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计值.【详解】总体X的数学期望为111xf x dx 1 x dx2十、设总体X的概率密度为f x1 x , 0 x 10,其他令一2 X，得参数的矩估计量为设X,, x2，…,x n是相应于样本X,, X 2，…,X n的一组观测值，则似然函数为n1 n X , 0 X 1 i 1,2, 3,…,nLiii 1其他.当0 X i 1 i 1,2, 3,…,n 时，L 0且In L n In n1i 1In x i令d In L n nIn x1 i 10, d得的极大似然估计值为A1nnIn xi 1从而的极大似然估计值为A n1 nIn xi 1。
1.Why did you choose East China Normal University?(你为什么选择报考华东师范大学?)2.Why did you choose XXX?(你为什么选择报考MBA专业?)3.What would you like to be doing 3 years after graduation?(what’s your plan if you are admitted to our school? (毕业5年后，你希望从事什么样的工作?)4.What has been your greatest accomplishment?(你曾取得的最大成就是什么?)5.Describe your greatest strengths and weaknesses. (请描述一下你最大的优点和缺点?)6.What have you learned from the jobs you have held?(你从以往所从事的工作中学到了哪些东西?)7.谈谈你在学期间最大的收获是什么8.“我们的问题都问完了，请问你对我们有没有什么问题要问准备英语面试最好先写一个自我陈述，就像中文的自我介绍一样，尽量写得详细些，包括自己生活、学习的方方面面，然后把它翻译成英文，流利地背下来，老师的很多提问都可以用其中的句子来回答。
一、面试程序不同的单位对面试过程的设计会有所不同，有的单位会非常正式，有的单位则相对比较随意，但一般来说，面试可以分为以下五个阶段：第一阶段：准备阶段。
准备阶段主要是以一般性的社交话题进行交谈，例如主考会问类似“从宿舍到这里远不远”、“今天天气很好，是吗？”这样的问题，目的是使应聘人员能比较自然地进入面试情景之中，以便消除毕业生紧张的心情，建立一种和谐、友善的面试气氛。
毕业生这时就不需要详细地对所问问题进行一一解答，可利用这个机会熟悉面试环境和考官。
第二阶段：引入阶段。
高等数学（B ）（1）作业答案高等数学（B ）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞b b x <<∞-。
7．)(∞+，a +∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、回答题 1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
2．解：⎩⎨⎧≤-≤-⎩⎨⎧≥-≥-⇒≥--⇒≥+-050105010)5)(1(0562x x x x x x x x 或 15≤≥⇒x x 或 )5[]1∞+∞-∴，，解集为（ 。
第一章函数• 函数的概念邻域；函数及其表示法• 具有某些特性的函数有界函数；单调函数；奇函数与偶函数；周期函数 .• 初等函数反函数；复合函数；初等函数第二章极限和连续• 数列及其极限• 自变量趋于无穷大时的函数极限自变量趋于无穷大时的函数极限；数列极限• 自变量趋于有限值时的函数极限函数极限的定义；左、右极限；函数极限和数列极限的关系。
• 极限的性质收敛数列的性质；函数极限的性质。
• 无穷小量，无穷大量和极限的运算法则无穷小量；无穷大量；无穷小量的四则运算；极限的四则运算法则；极限的复合运算法则。
• 极限存在条件和两个重要极限数列极限存在条件；函数极限存在条件；两个重要极限• 无穷大量和无穷小量的比较• 连续函数函数的连续性；间断点及其分类；连续函数的运算和初等函数的连续性。
• 闭区间上连续函数的性质最大、最小值定理与有界性定理；介值定理与根的存在性定理第三章导数与微分• 导数的定义导数的定义；导函数；导数的几何意义和物理意义；可导性与连续性的关系 .• 求导法则导数的四则运算法则；反函数的导数；复合函数的导数；基本求导法则与导数基本公式• 隐函数的导数；参变量函数的导数；平面曲线的切线和法线及其方程；导数的应用举例• 微分微分的概念；微分的基本公式及运算法则；一阶微分形式的不变性；微分在近似计算中的应用• 高阶导数高阶导数的概念；某些简单函数的n 阶导数第四章微分中值定理与导数的应用• 中值定理罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理• 不定式的极限• 函数的单调性和极值函数单调性的判别法；函数极值的判别法；函数的最大值和最小值及其简单应用• 函数图象的讨论曲线的凸性与拐点；曲线的渐近线；函数作图• 曲率曲率的概念；曲率半径• 方程的近似解（牛顿切线法）第五章不定积分• 不定积分的概念与基本积分公式原函数与不定积分；基本积分表；不定积分的线性性质• 换元积分法第一类换元积分法；第二类换元积分法• 分部积分法• 几类特殊函数的不定积分有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些简单无理函数的不定积分第六章定积分• 定积分的概念定积分的定义；定积分的几何意义• 牛顿- 莱布尼兹公式和定积分的性质牛顿- 莱布尼兹公式；定积分的性质；积分上限函数及其导数• 定积分的换元积分法与分部积分法• 定积分的近似计算矩形法；梯形法；抛物线法• 定积分的应用平面图形的面积；已知平行截面面积求立体体积和旋转体的体积；平面曲线的弧长；旋转曲面面积；定积分在物理学上的某些应用（变力作功，压力，引力，函数的平均值）.• 广义积分无限区间上的广义积分；无界函数的广义积分第七章无穷级数• 数项级数的收敛性及其性质无穷级数的概念；级数收敛的条件；收敛级数的性质• 正项级数正项级数的收敛准则；比较判别法；比值判别法和根式判别法• 任意项级数交错级数及莱布尼茨判别法；任意项级数的绝对收敛和条件收敛；绝对收敛级数的性质• 幂级数函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域；幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法• 幂级数的应用泰勒级数；泰勒中值定理；初等函数的幂级数展开；近似计算.第八章1、空间直角坐标系2、向量及其线性运算3、向量的数量积与向量积4、平面与空间直线5、曲面与空间曲线第九章1、多元函数2、多元函数的偏导数与全微分3、复合函数和隐函数的微分法4、方向导数与梯度多元函数微分学的几何应用5、多元函数的极值第十章1、重积分的概念与性质2、二重积分的计算3、三重积分的计算4、重积分的应用第十一章1、第一型曲线积分第二型曲线积分2、格林公式3、第二型曲线积分与路径无关的条件4、第一型曲面积分5、第二型曲面积分6、斯托克斯公式7 、高斯公式第十二章1、一阶微分方程2、二阶微分方程3、微分方程应用举例。
华东师范大学2004数学分析一、〔30分〕计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、假设)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧..二、〔30分〕判断题〔正确的证明，错误的举出反例〕1、假设},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、假设)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、假设)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、假设∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、假设在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 假设⎰⎰=>∀∀r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、〔15分〕函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。
