2020版高考数学一轮复习课后限时集训41简单几何体的表面积与体积文含解析北师大版2

第一节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r＋r′）l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝错误!Sh台体（棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!）h球S＝4πR2V＝错误!πR3[小题体验］1．一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为________．解析:设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2。

所以体积为错误!πR3＝错误!。

答案:错误!π2．(2018·南京高三年级学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.解析:设正方形的边长为a cm,则πa2·a＝27π，得a＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π cm2.答案：18π3．（2018·海安高三质量测试)已知正三棱锥的体积为36 3 cm3，高为4 cm,则底面边长为________cm。

解析:设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为S＝错误!a2，由题意知错误!×错误!a2×4＝36错误!，解得a＝6错误!.答案：6错误!1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．易混侧面积与表面积的概念．［小题纠偏]1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________,球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶3 1∶12．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3错误! cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm2。

解析：正四棱柱的高为错误!＝6 cm,所以侧面积是4×3×6＝72 cm2。

专题八立体几何【真题典例】8.1空间几何体的表面积和体积挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读预测热度考题示例考向关联考点认识柱、锥、台、球及其简单组合体的1.空间几何体的结构特征结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的2018北京,52017北京,72014北京文,11空间几何体的结构特征三视图★★★结构2.空间几何体的表面积和体理解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要2016北京,62015北京,52015北京文,18空间几何体的表面积和体积空间直线与平面的位置关系以及平面与平面的位★★★积求记忆)置关系的判定分析解读 1.理解多面体、棱柱、棱锥、棱台的概念,牢记它们的几何特征.2.理解圆柱、圆锥、圆台、球等几何体的形成过程,理解轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.4.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.5.备考时关注以柱、锥与球的接、切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的试题.6.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点一空间几何体的结构特征1.下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案DC.棱锥的侧棱长与考点二空间几何体的表面积和体积2.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+B.4+C.2+2D.5答案C3.(2015安徽改编,19,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.求三棱锥P-ABC的体积.解析可得S 由AB=1,AC=2,∠BAC=60°, =·AB·AC·sin 60°=. △ABC由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1, 所以三棱锥P-ABC的体积V=·S ·PA=.△ABC方法1炼技法【方法集训】空间几何体表面积与体积的求解方法1.(2016课标Ⅱ文,4,5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB. πC.8πD.4π答案A2.(2016北京,6,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1答案A3.(2015课标Ⅰ,6,5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B4.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案5.(2014山东文,13,5分)一个六棱锥的体积为2 ,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.答案12方法2与球有关的切、接问题的求解方法6.(2015课标Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π答案C7.(2017课标Ⅱ,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.答案14π8.(2017天津,11,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案πA组过专题【五年高考】自主命题·北京卷题组1.(2018北京,5,5分)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4答案C2.(2017北京,7,5分)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3B.2C.2D.2答案B3.(2012北京,7,5分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )A.28+6B.30+6C.56+12D.60+12答案B4.(2011北京,7,5分)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( )A.8B.6C.10D.8答案C5.(2014北京文,11,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为.答案26.(2015北京文,18,14分)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M 分别为AB,VA的中点.(1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.解析(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB平面MOC,OM⊂平面MOC,所以VB∥平面MOC.(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC, 所以OC⊥平面VAB.因为OC⊂平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解法一:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC= ,所以AB=2,则OC=1.所以等边三角形VAB的面积S又因为OC⊥平面VAB,=AB·BVsin 60°=×2×2×= . △VAB所以三棱锥C-VAB的体积等于S ·OC=.△VAB又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.解法二:连接VO,与(2)同理,可证VO⊥平面ABC,在等边三角形VAB中,AB=2,所以VO= .所以三棱锥V-ABC的体积等于S ·VO=××××= .△ABC思路分析(1)在△ABV中,利用中位线定理得OM∥VB,由此证明VB∥平面MOC.(2)先证OC⊥AB,再由平面VAB⊥平面ABC证得OC⊥平面VAB,由此证明平面MOC⊥平面VAB.(3)解法一:通过三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,计算求解.解法二:直接求解V-ABC的体积.评析本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,以及几何体体积的求解,考查学生空间想象能力和逻辑推理能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2017课标Ⅲ,8,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.π答案BB. C. D.2.(2014课标Ⅱ,7,5分)正三棱柱ABC-A B C的底面边长为2,侧棱长为1 1 1,D为BC中点,则三棱锥A-B DC的体积为( )1 1A.3B.C.1D.答案C3.(2014大纲全国,8,5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π答案AC.9πD.4.(2014陕西,5,5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.答案D5.(2018课标Ⅱ,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为5 ,则该圆锥的侧面积为.答案40π6.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O O内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O O的体积为V,1 2 1 2 1球O的体积为,则的值是.V2答案7.(2015江苏,9,5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为.答案8.(2018课标Ⅰ,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕△将ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解析(1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3 .又BP=DQ=DA,所以BP=2 .作QE⊥AC,垂足为E,则QE DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为·S·QE=××3×2sin 45°×1=1.△ABP规律总结证明空间线面位置关系的一般步骤:(1)审清题意:分析条件,挖掘题目中平行与垂直的关系;(2)明确方向:确定问题的方向,选择证明平行或垂直的方法,必要时添加辅助线;(3)给出证明:利用平行、垂直关系的判定或性质给出问题的证明;(4)反思回顾:查看关键点、易漏点,检查使用定理时定理成立的条件是否遗漏,符号表达是否准确.解题关键(1)利用平行关系将∠ACM=90°转化为∠BAC=90°是求证第(1)问的关键;(2)利用翻折的性质将∠ACM=90°转化为∠ACD=90°,进而利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得出三棱锥Q-ABP的高是求解第(2)问的关键.9.(2017课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.解析本题考查线面平行的判定和体积的计算.(1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD,又BC平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.设BC=x,则CM=x,CD= x,PM= x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN= x.因为△PCD的面积为2 ,所以×x×x=2 ,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2 .所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4 .10.(2016课标Ⅱ文,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)证明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.解析(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得= ,故AC∥EF.(2分)由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得= =.(5分)由AB=5,AC=6得DO=BO=-=4.所以OH=1,D'H=DH=3.于是2+OH2=(2 )2+12=9=D'H2,OD'故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=×6×8-××3=.(10分)所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=××2= .(12分)C组教师专用题组1.(2015陕西,5,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案D2.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率= ( )原工件的体积A. B. C.- D.-答案A3.(2014湖北,8,5分)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A. B. C. D.答案B4.(2015四川,14,5分)在三棱柱ABC-A B C中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边1 1 1的长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,BC的中点,则三棱锥P-A MN的体积是1 1 1.答案5.(2013课标Ⅰ文,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为答案.新工件的体积26.(2013 江苏,8,5 分)如图,在三棱柱 A B C -ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V ,三棱1 1 1 1 1 柱 AB C -ABC 的体积为 V ,则 V ∶V =.1 1 12 1 2答案7.(2016 江苏,17,14 分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 P-A B C D ,下部的形状是正1 1 1 1 四棱柱 ABCD-A B C D (如图所示),并要求正四棱柱的高 O O 是正四棱锥的高 PO 的 4 倍.1 1 1 111(1)若 AB=6 m,PO =2 m,则仓库的容积是多少?1(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO 为多少时,仓库的容积最大?1解析(1)由 PO1=2 m 知 O O=4PO =8 m.11因为 AB =AB=6 m,1 1所以正四棱锥 P-A B C D 的体积1 1 1 1V = ·A1·PO = ×62×2=24(m 3);1正四棱柱 ABCD-AB C D 的体积1 1 1 1V =AB 2·O O=62×8=288(m 3).1所以仓库的容积 V=V +V =24+288=312(m 3).(2)设 A B =a(m),PO =h(m),则 0<h<6,O O=4h(m).如图,连接 O B .1 1 1 1 1 1因为在 Rt △P OB中,O 1 11+P =P ,所以+h 2=36,即 a 2=2(36-h 2). 于是仓库的容积V=V +V =a 2·4h+ a 2·h= a 2h= (36h-h 3),0<h<6,锥 柱锥 柱柱锥令V'=0,得h=2或h=-2 (舍).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2 <h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO=2 m时,仓库的容积最大.1评析本题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.8.(2015课标Ⅱ文,19,12分)如图,长方体ABCD-A B C D中,AB=16,BC=10,AA=8,点E,F分别在A B,D C上,A E=D F=4.过1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解析(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A E=4,EB=12,EM=AA=8.1 1 1因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.-所以=(A E+AH)×A A=(4+10)×8=56,梯形1 1=(HB+EB)×A A=(6+12)×8=72,梯形1 1又长方体被平面α分成两个等高的直棱柱,高为10,所以其体积的比值为梯形= =也正确.梯形【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018北京海淀一模,6)如图所示,一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动,用垂直于竖直墙面的水平光线照射,该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S,则S的值不可能是( )A.1B. C. D.答案 D2.(2019 届北京大兴 9 月统练,7)某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体体积的最大值为()A.2B.4C.6D.8答案 A二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.(2017 北京海淀零模,14)已知正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 2,长度为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 DD 上运动,另一1 1 1 1 1 个端点 N 在正方形 ABCD 内运动,则 MN 中点的轨迹与正方体 ABCD-AB C D 的表面所围成的较小的几何体的体积等1 1 1 1于.答案4.(2017 北京西城一模,14)如图,正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 2,点 P 在正方形 ABCD 的边界及其内部运动.平面区域 W1 1 1 1 由所有满足 A 1P ≤ 的点 P 组成,则 W 的面积是;三棱锥 P-A BC 的体积的最大值是1.答案;三、解答题(共 30 分)5.(2019 届北京通州期中文,19)如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA ⊥平面 ABC,E,F 分别为 PC,PB 的中点,∠ACB=90°. (1)求证:EF ∥平面 ABC; (2)求证:EF ⊥AE;(3)若 PA=AC=CB,AB=4,求几何体 EFABC 的体积.解析(1)证明:因为 E,F 分别为 PC,PB 的中点, 所以 EF ∥BC,又因为 EF 平面 ABC,BC ⊂ 平面 ABC, 所以 EF ∥平面 ABC.(2)证明:因为 PA ⊥平面 ABC,BC ⊂ 平面 ABC,所以 PA⊥BC, 又因为∠ACB=90°,所以 AC⊥BC,又 PA ∩AC=A, 所以 BC ⊥平面 PAC,又因为 AE ⊂ 平面 PAC, 所以 BC ⊥AE, 又因为 EF ∥BC, 所以 EF ⊥AE.(3)在 Rt△ABC 中,AC=BC,AB=4,所以 AC=BC=2 . 因为 PA ⊥平面 ABC,AC ⊂ 平面 ABC,所以 PA⊥AC,所以 S= PA ·AC= ×2 ×2 =4.△PAC因为 BC ⊥平面 PAC,所以三棱锥 P-ABC 的体积 V1=V = ·S ·BC= ×4×2 = B-PAC △PAC,因为 BC ⊥平面 PAE,EF ∥BC, 所以 EF ⊥平面 PAE,又 S= S =2,EF= BC= ,△PAE△PAC所以三棱锥 P-AEF 的体积 V2=V = ·S ·EF= ×2× = F-PAE △PAE,所以几何体 EFABC 的体积 V=V-V =2 .126.(2018 北京东城一模,18)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°,ED ⊥平面 ABCD,ED=AD=2EF=2,EF ∥AB,M 为 BC 的中点. (1)求证:FM ∥平面 BDE; (2)求证:AC ⊥BE;(3)若 G 为线段 BE 上的点,当三棱锥 G-BCD 的体积为时,求的值.解析(1)证明:设 AC ∩BD=O,连接 EO,MO. 因为 M,O 分别是 BC,BD 的中点.所以EF∥OM,且EF=OM.所以四边形EOMF为平行四边形.所以FM∥EO.又因为EO⊂平面BDE,FM平面BDE,所以FM∥平面BDE.(2)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为ED⊥平面ABCD,所以ED⊥AC.因为BD∩ED=D,所以AC⊥平面BDE.又因为BE⊂平面BDE,所以AC⊥BE.(3)过G作ED的平行线交BD于H.因为ED⊥平面ABCD,所以GH⊥平面ABCD.所以GH为三棱锥G-BCD的高.因为三棱锥G-BCD的体积为,所以三棱锥G-BCD的体积V=×·BD·BC·sin60°·GH=,又BC=BD=2,所以GH=.因为GH∥ED,所以△BGH∽△BED,所以= = =.。

第五节空间几何体的表面积和体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式1．辨明三个易误点(1)求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．(2)由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．(3)易混侧面积与表面积的概念． 2．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 3．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×2．(2018·大连双基测试)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163πB ．323πC ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则表面积是16π，即4πR 2＝16π，解得R ＝2. 所以体积为43πR 3＝32π3.3．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm解析：选B S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2 cm.4．(教材习题改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为( )A ．1∶8B ．1∶27C ．1∶47D ．47∶48解析：选C 设长方体的棱长分别为a ，b ，c .则截出的棱锥的体积为V 1＝13·12·12a ·12b ·12c＝148abc .剩下的几何体体积为V 2＝abc －V 1＝abc －148abc ＝4748abc .所以锥体的体积与剩下的几何体体积的比为1∶47.5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：选D 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.空间几何体的表面积 [明技法]空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积要注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． [提能力]【典例】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：(1)观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B ．(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.答案：(1)B (2)12 [刷好题]1．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：选A 由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A ．2．(2018·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.答案：26空间几何体的体积 [析考情]空间几何体的体积是高考中的高频考点，主要有以下两个方面：一是求简单几何体的体积，二是求组合体的体积，三是由三视图求相关几何体的体积. 各种题型均有可能考查，难度中低档，分值约5分．[提能力]命题点1：求简单几何体的体积【典例1】 (2018·潍坊模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A ．312 B ．34 C ．612D ．64解析：选A 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 命题点2：求组合体的体积【典例2】 (2018·唐山模拟)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A ．23B ．33C ．43D ．32解析：选A 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BCH ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A ．命题点3：与三视图有关的几何体的体积【典例3】 (2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：选B 方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ． [悟技法]空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[刷好题]1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．1解析：选A 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P －ABC ，通过侧视图得高h ＝1，通过俯视图得底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝16.2．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案：7与球体有关的切、接问题 [明技法]空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3解析：选B 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10，要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，则r ＝2. 此时2r ＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大． 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.[母题变式1] 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．解：将直三棱柱补形为长方体ABEC －A ′B ′E ′C ′， 则球O 是长方体ABEC －A ′B ′E ′C ′的外接球， ∴体对角线BC ′的长为球O 的直径．因此2R ＝32＋42＋122＝13，故S 球＝4πR 2＝169π.[母题变式2] 若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．解：如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×(94)3＝243π16.[刷好题](2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32.3 4π×1＝3π4.故选B．∴圆柱的体积为V＝πr2h＝。

课后限时集训(四十一)空间几何体的结构及其表面积、体积建议用时：25分钟一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 [答案] D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163πB ．323πC ．16πD ．24πB [设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝16π，解得R ＝2，则球的体积V ＝43πR 3＝323π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1＋ 2B ．1＋2 2C ．2＋2D ．2＋22C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×12×1×1＋2×12×2×1＝2＋2，故选C.]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A.32B.32πC.16πD.8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]5.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥B 1­BFE 的体积为( )A.13 B.14 C.112 D.16C [由等体积法可知VB 1­BFE ＝VE ­BFB 1＝13S △BB 1F ·AD ＝16×1×12×1＝112.故选C.]6．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知AC 1⊥平面α，则关于α截此正方体所得截面有以下4个判断，①截面形状可能为正三角形 ②截面形状可能为正方形③截面形状可能为正六边形 ④截面面积最大值为33其中判断正确的是( ) A ．①③ B ．①②③ C. ①②④D ．①③④D [如图，显然①③成立，下面说明D 成立，如图截得正六边形时，面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝62，所以S ＝2×12×(2＋22)×62＝33，故④成立，故选D.]7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A.3B.32C.1D.32 C [由等边三角形ABC 的面积为934，得34×AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝3.设球的半径为R ，则由球的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C.]8.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43D.32A [(分割法)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E ­ADG ＋V 三棱锥F ­BCH ＋V 三棱柱AGD ­BHC ＝2V 三棱锥E ­ADG ＋ V 三棱柱AGD ­BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.]二、填空题9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．2＋22[如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .图1 图2在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)×A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.] 10．圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积为________cm 2 (结果中保留π)．1 100π [如图所示，设圆台的上底周长为C ，因为扇环的圆心角是180°，所以C ＝π·SA .又C ＝2π×10＝20π，所以SA ＝20(cm)． 同理SB ＝40(cm)．所以AB ＝SB －SA ＝20(cm)．S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2.]11.根据不同的程序，3D 打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm 3的球挖去一个三棱锥P ­ABC 后得到的几何体，其中PA ⊥AB ，BC ⊥平面PAB ，BC ＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC ＝________cm.3 [设球的半径为R ，由球的体积4π3R 3＝17176π，解得R ＝172 cm. 因为BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB ，BC ⊥AB ，BC ⊥PA . 因为PA ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ，所以PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AC . 由BC ⊥AB 可知，AC 为截面圆的直径，故可设AC ＝x cm(1＜x ＜17)，取PC 的中点O ，连接OA ，OB (图略)，则PO ＝OC ＝OA ＝OB ，故O 为球心，所以PC ＝17cm.在Rt △PAC 中，PA ＝17－x 2 cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝x 2－1 cm ，所以V P ­ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13×12×x 2－1×1×17－x 2＝16x 2－117－x 2≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋17－x 222＝43(cm 3)，当且仅当x 2－1＝17－x 2，即x ＝3时，等号成立． 所以当用料最省时，AC ＝3 cm.]12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为_____．设线段AB 为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A 出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B 点后再沿侧面回到A 点，则该质点运动路径的最短长度为______．22π36 [该圆锥的高h ＝32－1＝22. 所以该圆锥的体积V ＝13×π×12×22＝223π.将圆锥侧面沿母线SA 展开，如图所示．因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA ′＝2π3.由题意知点B 是侧面展开后得到的扇形中弧AA ′的中点， 连接AB ，A ′B ，SB ，则∠ASB ＝π3，可得AB ＝A ′B ＝AS ＝3.所以该质点运动路径的最短长度为AB ＋A ′B ＝6.]1．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.22A [由于三棱锥S ­ABC 与三棱锥O ­ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S ­ABC 的高是三棱锥O ­ABC 高的2倍，所以三棱锥S ­ABC 的体积也是三棱 锥O ­ABC 体积的2倍．在三棱锥O ­ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34，高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S ­ABC ＝2V O ­ABC ＝2×13×34×63＝26.]2．(2020·福州质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A.3π4 B.2πC.3π2D.9π2C [正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A 1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C.]。

考点测试41 空间几何体的表面积和体积高考概览高考中本考点常见题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式一、基础小题1．若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的( ) A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍 答案 C解析 设原来球的半径为r ，则现在球的半径为2r ，则V 原＝43πr 3，V 现＝43π·(2r )3，故V 现＝8V 原．故选C ．2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，∴a ＝2．而此正方体的内切球直径为2，∴S 表＝4πr 2＝4π．3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32，一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A ．2 3B ．4 3C ．8D ．4 答案 D解析 由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为S ＝12×1×1×8＝4．4．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．32B ． 3C ．2D ．4 答案 B解析 由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为3，容易求得正三角形的边长为2，所以底面正三角形面积为12×2×3＝3．再由侧视图可知直三棱柱的高为1，所以此三棱柱的体积为3×1＝3．故选B ．5．已知圆锥的表面积为a ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( )A ．a 2B ．3πa 3πC ．23πa 3πD ．23a 3π答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意知，2πr ＝πl ，∴l ＝2r ，则圆锥的表面积S 表＝πr 2＋12π(2r )2＝a ，∴r 2＝a 3π，∴2r ＝23πa 3π．6．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3答案 B解析 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABC －A 1B 1C 1截去一个三棱锥B 1－ABC ，则该几何体的体积为V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×5＝20(cm 3)．故选B ．7．某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163 D ．6答案 B解析 依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，高是2，因此其体积等于13×(12＋22＋1×4)×2＝143．故选B ．8．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为( )A ．24＋(2－1)πB ．24＋(22－2)πC ．24＋(5－1)πD ．24＋(23－2)π 答案 B解析 如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得．由图中知圆锥的半径为1，母线为2，该几何体的表面积为S ＝6×22－2π×12＋2×12×2π×1×2＝24＋(22－2)π，故选B ．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A ．10＋πB ．2＋π2C ．2＋π12D ．2＋π4答案 D解析 根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体是一个底面长为2，宽为1，高为1的正棱柱与一个底面半径为1，高为1的14圆柱组合而成，其体积为V ＝2×1×1＋14×π×12×1＝2＋π4，故选D ．10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸) 答案 3解析 由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh (r 2中＋r 2下＋r中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为V142π＝588π196π＝3(寸)． 11．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案26解析 易知该几何体是正四棱锥．连接BD ，设正四棱锥P －ABCD ，由PD ＝PB ＝1，BD ＝2，则PD ⊥PB ．设底面中心O ，则四棱锥高PO ＝22，则其体积是V ＝13Sh ＝13×12×22＝26． 12．如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝5，以直线AB 为轴，将四边形ABCD 旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案 12π解析 由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图1所示：如图2，过点C 作CE ⊥AB ，连接BD ．在等腰直角三角形ABD 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝2． 在△BDC 中，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ， 所以25＝2＋25－102cos ∠DBC ，所以cos ∠DBC ＝210，所以sin ∠DBC ＝1－cos 2∠DBC＝7210． 因为∠CBE ＝180°－∠ABD －∠DBC ＝135°－∠DBC ，所以sin ∠CBE ＝sin(135°－∠DBC )＝22cos ∠DBC ＋22sin ∠DBC ＝45．在Rt △BCE 中，CE ＝BC sin ∠CBE ＝4，所以BE ＝BC 2－CE 2＝3，AE ＝4．所以圆台上、下底面圆的面积分别为S 上＝π，S 下＝16π，圆台体积V 1＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)·AE ＝28π，圆锥体积V 2＝13×16π×3＝16π，所以旋转体体积V ＝V 1－V 2＝12π．二、高考小题13．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π 答案 B解析 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V ＝12×32×π×14＝63π．故选B ．14．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为1 cm,2 cm ，高为2 cm ，直四棱柱的高为2 cm ．故直四棱柱的体积V ＝1＋22×2×2＝6 cm3．15．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122π B．12π C．82π D．10π答案 B解析根据题意，可得截面是边长为22的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为22，所以其表面积为S＝2π(2)2＋2π×2×22＝12π．故选B．16．(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3答案 C解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，因为AB＝2，ABBC1＝tan30°，所以BC1＝23，从而求得CC1＝BC21－BC2＝22，所以该长方体的体积为V＝2×2×22＝82．故选C．17．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3答案 B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4．∵S △ABC ＝34AB 2＝93， ∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心，∴BM ＝23BE ＝23，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2． ∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝183．故选B ．18．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°，若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．答案 8π解析 如图所示，∠SAO ＝30°，∠ASB ＝90°，又S △SAB ＝12SA ·SB ＝12SA 2＝8，解得SA ＝4，所以SO ＝12SA ＝2，AO ＝SA 2－SO 2＝23，所以该圆锥的体积为V ＝π3·OA 2·SO ＝8π． 19．(2018·天津高考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．答案112解析 由题意知四棱锥的底面EFGH 为正方形，其边长为22，即底面面积为12，由正方体的性质知，四棱锥的高为12．故四棱锥M －EFGH 的体积V ＝13×12×12＝112．20．(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．答案 43解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2，高为1，∴其体积为13×(2)2×1＝23，∴多面体的体积为43．三、模拟小题21．(2018·邯郸摸底)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n 个面是矩形，体积为V ，则( )A ．n ＝4，V ＝10B ．n ＝5，V ＝12C ．n ＝4，V ＝12D ．n ＝5，V ＝10答案 D解析 由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n ＝5，体积V ＝2×22＋12×2×1＝10．故选D ． 22．(2018·福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4πB ．16π3C ．32π3D ．16π答案 D解析 如图，可知球的半径R ＝OH 2＋AH 2＝12＋(3)2＝2，进而这个球的表面积为4πR 2＝16π．故选D ．23．(2018·合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6 答案 C解析 该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面积以及圆柱的纵切面面积组成．从而该几何体的表面积为4π×12＋π×12＋12×2π×3＋3×2＝8π＋6．故选C ．24．(2018·石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．83B ．3C ．8D ．53 答案 A解析 根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥P －ABCD 所示，则V P －ABCD ＝V P－AFGD＋(V AFB －DEC －V G －ECD )＝13×(1＋2)×22×1＋12×1×2×2－13×12×1×2×1＝83．故选A ．25．(2018·合肥质检三)我国古代的《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童”．如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该“刍童”的表面积为( )A ．12 5B ．40C ．16＋12 3D ．16＋12 5 答案 D解析 易得侧面梯形的高为22＋12＝5，所以一个侧面梯形的面积为12×(2＋4)×5＝35．故所求为4×35＋2×(2×4)＝125＋16．故选D ．26．(2018·福建质检)已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S －ABCD 内接于球O 1．若球O 2在球O 1内且与平面ABCD 相切，则球O 2的直径的最大值为________．答案 8解析 如图，正四棱锥S －ABCD 内接于球O 1，SO 1与平面ABCD 交于点O ．在正方形ABCD 中，AB ＝42，AO ＝4．在Rt △SAO 中，SO ＝SA 2－OA 2＝(25)2－42＝2．设球O 1的半径为R ，则在Rt △OAO 1中，(R －2)2＋42＝R 2，解得R ＝5，所以球O 1的直径为10．当球O 2与平面ABCD 相切于点O 且与球O 1相切时，球O 2的直径最大．又因为SO ＝2，所以球O 2的直径的最大值为10－2＝8．一、高考大题1．(2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2知，O 1O ＝4PO 1＝8． 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h ． 连接O 1B 1．因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21， 所以⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h＝263(36h －h 3)，0<h <6， 从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．2．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ．(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．解 (1)证明：由已知可得∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC ． 又AB ⊥DA ，且AC ∩DA ＝A ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ． (2)由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝AC ＝3，DA ＝32． 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝22．作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE 綊13DC ．由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1．因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V 三棱锥Q －ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin45°＝1．二、模拟大题3．(2018·武昌调研)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1． 故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．4．(2018·浙江杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积．解 如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又C ′B ′＝20 cm ，CB ＝30 cm ，所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′．S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333(cm)，又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13332－⎝⎛⎭⎪⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝ ⎛⎭⎪⎫3253＋34×20×30 ＝1900(cm 3)．故棱台的体积为1900 cm 3．。

立体几何复习（1）空间几何体的表面积与体积教学目标：1.掌握锥、台、柱、球体的表面积公式及表面积的求法；2.掌握锥、台、柱、球体的体积公式及体积的求法.教学重点：掌握锥体、台体、柱体、球体的表面积与体积的计算方法，能计算简单组合体的表面积与体积，以便从量的角度认识空间几何体.教学难点：锥体、台体、柱体、球体的表面积与体积公式的应用.【知识清单】 1.空间几何体的表面积球的表面积2=4S R π球，其中R 为球的半径.2.空间几何体的体积球的体积34=3V R π球，R 为球的半径. 【例题精讲】类型1：空间几何体的表面积与侧面积例1：1.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 .【解析】根据圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以母线长l，在根据圆锥的侧面积公式S rl π=.2.将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 cm 2. 【答案】18【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2327a a a πππ⨯==，3a =，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==.3.若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为， ，则12S S 的值是 .【解析】设球的直径为2R ，由题意可知，2211)S R R R πππ=+=，224S R π=，所以12S S =1S 2S )h 圆台备选题1：正三棱锥中，，D、E分别是棱SA、SB上的点，为边的中点，，则三角形CDE的面积为 .【解析】根据题意在正三棱锥中，为边的中点，故可得AB SCQ⊥平面，则AB SQ⊥，又由，故//DE AB，假设DE SQ F=，又在SCQ∆中，SC CQ SQ===CF=，故112CDES∆=⨯=.备选题2：圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为12L2，则圆锥底面半径与母线长的比rL的取值范围是 .【答案】【解析】由题意得轴截面的顶角θ不小于π2，因为sinθ2＝rL≥sinπ4＝22，所以22≤rL<1.【思想方法归纳】圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理.类型2：空间几何体的体积例2：1.已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为215cmπ，则此圆锥的体积为3cm.S ABC-2BC=SB=Q AB SQ CDE⊥平面S ABC-Q ABSQ CDE⊥平面【答案】12π【解析】已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为215cm π，所以圆锥的底面周长26cm π，底面半径是3cm ，圆锥的高是4cm ，此圆锥的体积为194123ππ⨯⨯=3cm .2.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1－A 1BD 的体积为 cm3.（例2-2）【答案】32【解析】∵在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3cm ，AA 1＝1 cm ，∴三棱锥11D A BD -的体积：1111113113313362D A BD B A D D A D D V V S AB cm --∆==⋅⋅=⨯⨯⨯=.3.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCDF ABDV V --= .（例2-3）【答案】32【解析】点,A C 到BD 的距离之比为3:2，所以23BCD ABD S S ∆=∆，又直四棱柱1111ABCD A B C D -中，134AE AA =，113CF CC =，所以94AE CF =， 于是1293313423BCD E BCDF ABDABD S AEV V S CF ∆--∆⋅==⨯=⋅.备选题1：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M ，N 分别为棱A 1B 1，A 1C 1的中点，则平面BMNC 将三棱柱分成的两部分的体积比为 . 【答案】7:5【解析】设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1高为h ，底面积为4S ，则11111B C BMNC C B MNC M B BC V V V ---=+11111111534322233A B BC B ABC h S V Sh V hS h S Sh --=⨯⨯+=+=+⨯⋅=， 所以两部分的体积比为55(4):7:533Sh Sh Sh -=.备选题2：已知一个组合体是由圆锥与圆柱组合而成，下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，则该几何体的体积为 3m . 【答案】203π【解析】由于该几何体是组合体，其中下半部分是底面半径为1，高为4的圆柱，上半部分是底面半径为2，高为2的圆锥，其体积为22120142233πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=（3m ）.备选题3：《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，若A 1A ＝AB ＝2，当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为 .备选题3【答案】2【解析】由阳马的定义知，VB －A 1ACC 1＝13×A 1A ×AC ×BC ＝23AC ×BC ≤13(AC 2＋BC 2)＝13AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝2时等号成立，所以当阳马B －A 1ACC 1体积最大时，则堑堵ABC －A 1B 1C 1的体积为12×2×2×2＝2.【思想方法归纳】(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、等体积转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握.(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.类型3：球内接几何体相关问题例3：1.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体AB 1CD 1的外接球的体积为 . 【答案】36π【解析】四面体AB 1CD 1的外接球即为正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的外接球，故正方体的外接球的直径为(23)2＋(23)2＋(23)2＝6，故V ＝43πR 3＝43π×(6÷2)3＝36π.2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为正方形且边长为2，平面PAB⊥平面ABCD ，四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 .(例3-2)【答案】283π 【解析】由题意球的半径满足R 2－1＋R 2－2＝3⇒R 2＝73，所以球的表面积是4πR 2＝28π3.3.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为23，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于 . 【解析】20π【解析】由题意知三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，∠ACB ＝90°，设D ，D 1分别是AB ，A 1B 1的中点，O 是DD 1中点，可证O 就是三棱柱外接球球心，S △ABC ＝12×2×1×sin 60°＝32，V ＝S △ABC ·h ＝32×DD 1＝23，即DD 1＝4，OA ＝AD 2＋DO 2＝12＋22＝5， 所以S ＝4π×OA 2＝4π×(5)2＝20π.备选题1：已知正三棱柱111A B C ABC -的所有棱长都为3，则该棱柱外接球的表面积为 . 【答案】21π【解析】如图，外接球的球心为上下底面中心连线1M M 的中点，连结1A O ，11A M ，所以三角形11A M O 为直角三角形， 132M O =，113A M =()()221213322AO =+ 所以该棱柱外接球的表面积为(2214π21π⨯=.备选题2：已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则三棱锥的体积为 . 934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ， 因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2，所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3， 所以a ＝32，所以三棱锥PABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×3934【思想方法归纳】解决球与其他几何体的内切、外接问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径.类型4：综合应用例4：如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的中点.（1）在侧棱上找一点，使∥平面，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下求三棱锥的体积.【解析】（1）F为VC的中点，取CD的中点为H，连结BH，HF，ABCD为正方形，E为AB 的中点，//,DH DHBE BE=∴，//H DB E∴，又//VDFH，∴平面//BHF平面VDE，//BF∴平面VDE.（2）F为VC的中点，14BDE ABCDS S∆=，18E BDF F BDE V ABCDV V V---∴==，V ABCD-为正四棱锥，V∴在平面ABCD的射影为AC的中点O.5VA=AO=∴VO=2123V ABCDV-∴=⋅E BDFV-∴=【点睛】（1）为的中点，取的中点为，由三角形中位线性质得线线平行，再由线线平行证得面面平行，即得线面平行（2）因为为正四棱锥，所以可求V到底面距离，即得F到底面距离，再根据等体积法得，最后代入锥体体积公式即可.备选题1：如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.V ABCD-ABCDE ABVC F BF VDEE BDF-F VC CD HV ABCD-E BDF F BDEV V--=（1）若弧BC 的中点为D ，求证：AC ∥平面POD ； （2）如果△PAB 的面积是9，求此圆锥的表面积.【解析】（1）证明：方法一 设BC ∩OD ＝E ，∵D 是弧BC 的中点，∴E 是BC 的中点. 又∵O 是AB 的中点，∴AC ∥OE .又∵AC ⊄平面POD ，OE ⊂平面POD ，∴AC ∥平面POD .方法二 ∵AB 是底面圆的直径，∴AC ⊥BC .∵弧BC 的中点为D ，∴OD ⊥BC . 又AC ，OD 共面，∴AC ∥OD .又AC ⊄平面POD ，OD ⊂平面POD ，∴AC ∥平面POD . （2）解：设圆锥底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，∴h ＝r ，l ＝2r .由S △PAB ＝12×2r ×h ＝r 2＝9，得r ＝3，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝πr ×2r ＋πr 2＝9(1＋2)π.备选题2：如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB ＝2，AD ＝AF ＝1，∠BAF ＝60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面△OBF 的重心.（1）求证：平面ADF ⊥平面CBF ； （2）求证：PM ∥平面AFC ； （3）求多面体CD －AFEB 的体积V .【解析】（1）证明：∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB ⊥AB ，∴CB ⊥平面ABEF ， 又AF ⊂平面ABEF ，所以CB ⊥AF ，又AB ＝2，AF ＝1，∠BAF ＝60°，由余弦定理知BF ＝3，∴AF 2＋BF 2＝AB 2，得AF ⊥BF ， 又BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CFB ，又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面CBF .（2）证明：连接OM 并延长交BF 于H ，则H 为BF 的中点，又P 为CB 的中点，∴PH ∥CF ，又∵CF ⊂平面AFC ，PH ⊄平面AFC ，∴PH ∥平面AFC ， 连接PO ，则PO ∥AC ，又∵AC ⊂平面AFC ，PO ⊄平面AFC ，∴PO ∥平面AFC ， 又∵PO ∩PH ＝P ，∴平面POH ∥平面AFC ， 又∵PM ⊂平面POH ，∴PM ∥平面AFC .（3）解：多面体CD －AFEB 的体积可分成三棱锥C －BEF 与四棱锥F －ABCD 的体积之和. 在等腰梯形ABEF 中，计算得EF ＝1，两底间的距离EE 1＝32. 所以V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312，V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×EE 1＝13×2×1×32＝33，所以V ＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312.【课堂归纳总结】1.空间几何体表面积和体积的求法几何体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积转换法、分割法、补形法等方法进行求解.2.多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解.【课后练习】1.已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 .【答案】【解析】由题知圆锥的底面圆周长为2323ππ⋅=，所以半径为1r=，由题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线3l=，所以圆锥的高为h.2.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)22rl h rππ⋅=2l h⇒=⇒母线与轴的夹角为3π.3.如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为.【答案】3 【解析】4.在ABC ∆中，2AB =， 1.5BC =，120ABC ∠=，若使ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 . 【答案】32π【解析】过A 作AD 垂直BC 于点D ，则，AD =1BD =， 2.5CD =，因此所形成的几何体的体积是213(2.51)32ππ⨯⋅⋅-=.5.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 . 【答案】6【解析】设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相同，得4π×6＝13πr2×3r ，解得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.6.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 .【解析】由体积相等得：22221145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒=.7.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知13AB AA ==，点P 在棱1CC 上，则三棱锥1P ABA -的体积为 .（第7题）【解析】三棱锥的底面积1193322ABA S ∆=⨯⨯=，点P 到底面的距离为ABC ∆的高h =，故三棱锥的体积13V Sh ==.8.如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正四边形的中心为.为圆上的点分别是以为底边的等腰三角形.沿线剪开后，别以为折痕折起，使得重合，得到四棱锥记该四棱锥的体积，表面积分别是，当，则 .（第8题）【解析】，则四棱锥的高，所以体积，所以9.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .O 4cm ABCD O ,,,E F G H O ,,,EAB FBC GCD HDA ∆∆∆∆,,,AB BC CD DA ,,,AB BC CD DA ,,,EAB FBC GCD HDA ∆∆∆∆,,,E F G H ,V S 2AB =VS=2AB =h =13V Sh ==44316S =+⨯=V S =【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为【点睛】：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是 . 【答案】2 2【解析】设AB ＝AC ＝AA 1＝x ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，则由余弦定理可得BC ＝3x . 由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， ∵球的表面积是40π，∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有221()102x x +=，解得x ＝22，即AA 1＝22，即此直三棱柱的高是2 2.11.如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°，点E 是BC 边 的中点，AC ，DE 交于点O ，PO ＝23，且PO ⊥平面ABCD . （1）求证：PD ⊥BC ；（2）在线段AP 上找一点F ，使得BF ∥平面PDE ， 并求此时四面体PDEF 的体积.【解析】（1）由题可得△BCD 为正三角形，E 为BC 中点，故DE ⊥BC . 又PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PO ⊥BC ，而DE ∩PO ＝O ，,DE PO ⊂平面PDE ，所以BC ⊥平面PDE .又PD ⊂平面PDE ，故PD ⊥BC . （2）取AP 中点为F ，再取PD 中点为G ，连结FG . 则FG 为△PAD 中位线，故FG ＝∥ 12AD ， 又BE ＝∥ 12AD ，所以FG ＝∥BE ，于是四边形BFGE 为平行四边形， 因此BF ∥EG .又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ，所以BF ∥平面PDE . 由（1）知，BC ⊥平面PDE .则有BC ⊥PE ，BC ⊥DE ，而BC ∥FG ，故FG ⊥PE ，FG ⊥DE ，且DE ∩PE ＝E ，所以FG ⊥平面PDE . 于是四面体PDEF 的体积为V=13S △PDE ·FG ＝13×12×23×3×1＝1.另解（等体积转化）：因为BF //面PDE ，则B ，F 两点到平面PDE 的距离相等， 所以四面体PDEF 的体积等于四面体PDEB ， 因为PO ⊥平面ABCD ，所以V P-BDE =13·PO ·S △BDE =1.12.如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求棱锥E －DFC 的体积；（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF ∥AB . 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF .∴AB ∥平面DEF .（2）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD .取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ，EM ＝1.V E －DFC ＝13×1()2BDC S ×EM ＝13×12×12×2×23×1＝33. （3）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE .证明如下：在线段BC 上取点P ，使BP ＝BC3，过P 作PQ ⊥CD 于Q .∵AD ⊥平面BCD ，PQ ⊂平面BCD ，∴AD ⊥PQ .又∵AD ∩CD ＝D ，∴PQ ⊥平面ACD ， ∴DQ ＝DC 3＝233，∴tan ∠DAQ ＝DQ AD ＝2332＝33，∴∠DAQ ＝30°，在等边△ADE 中，∠DAQ ＝30°，∴AQ ⊥DE ，∵PQ ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ，∴PQ ⊥DE ，AQ ∩PQ ＝Q ，∴DE ⊥平面APQ ，∴AP ⊥DE .此时BP ＝BC 3，∴BP BC ＝13.13.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度.【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而 3sin 4MAC =∠，记AM 与水面的焦点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ， Q 1为垂足，则 P 1Q 1⊥平面 ABCD ，故P 1Q 1=12，从而 AP 1=1116sin P MACQ =∠. ( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm) （2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1.记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1= 6214242-=，从而140GG ===.设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠. 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-. 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是，sin sin()sin()NEG αβαβ=π--=+∠42473sin cos cos sin ()53525255αβαβ=+=⨯+-⨯=.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答：（1）玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.（2）玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)【点睛】空间几何体的考察，主要集中体积、表面积的计算和空间距离的距离，其实这些计算最后都得归结为平面中基本图形中的长度的计算，因此解三角形就是必要的工具.14.如图，圆柱体木材的横截面半径为1 dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱1111A B C D ABCD -，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，DAB ∠=60°，1AA AD =，设DAO θ∠=. （1）求梯形ABCD 的面积；（2）当sin θ取何值时，四棱柱1111A B C D ABCD -的体积最大？并求出最大值. （注：木材的长度足够长）【解析】（1）由条件可得，2cos AD θ=， 所以梯形的高sin 603h AD θ==. 又2cos(60)AB θ=-，2cos(120)CD θ=-， 所以梯形ABCD 的面积为12cos(60)2cos(120)3cos 2S θθθ⎡⎤=-+-⨯⎣⎦ cos(60)cos(60)3cos θθθ⎡⎤=--+⨯⎣⎦(2sin 60sin )θθ=3sin 22θ=（2dm ）.（2）设四棱柱1111A B C D ABCD -的体积为V ，因为12cos AA AD θ==， 所以123sin 22cos 6sin (1sin )2A V S A θθθθ=⋅⨯==-.设sin t θ=，因为060θ︒<<，所以0t ⎛∈ ⎝，所以23()6(1)6()V t t t t t =-=-+，0t ⎛∈ ⎝.由2()6(31)18(V t t t t '=-+=-+-，令()0V t '=，得t ，()V t 与()V t '的变化情况列表如下：由上表知，()V t在t =时取得极大值，即为最大值，且最大值V =答：当sin θ=时，四棱柱1111A B C D ABCD -3dm .【备选提高题】1.各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m ，则m 的值为 . 【答案】12【解析】法一：正四棱柱的体积为8，底面积为4，故体积为3，所6，即6m =. 方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h .因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为121332h h ==.2.将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 . 【答案】1【解析】因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123lπ=和243l π=.1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =.13h ==， 2h ==.所以21112222114313r h v v r h πππ⋅===3.已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切.若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 . 【答案】6 3【解析】由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3.V ＝34(2 3)2×2＝6 3.4.在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ， 三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 【答案】14【解析】因为213C PAB PAB V V S h -∆==，121111323224E ABD DAB PAB h h V V S S V -∆∆==⋅=⨯⨯=，所以1214V V =.5.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =.设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = .【答案】23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23.因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23.6.在三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________. 【答案】7π3【解析】在三棱锥D －ABC 中，当且仅当AB ⊥平面BCD 时，三棱锥体积达到最大， 此时，设外接球的半径为R ，外接球的球心为O ，点F 为△BCD 的中心， 则有R 2＝OB 2＝OF 2＋BF 2＝221()2+＝712，所以表面积S ＝4πR 2＝7π3.7.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为 . 【答案】12π【解析】由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.8.已知正四面体P ABC -的棱长均为a ，O 为正四面体P ABC -的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P ABC -，得到三棱锥111P A B C -和三棱台111ABC A B C -，那么三棱锥111P A B C -的外接球的表面积为 . 【答案】22732a π 【解析】设底面ABC ∆的外接圆半径为r ，则2sin3a r π=，所以r .， 设正四面体的外接球半径为R，则222))R R =+-，∴R =.3:4=，所以三棱锥111P A B C -的外接球的表面积为2223274)()432a ππ⨯⨯=.。

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编：空间几何体的表面积和体积（含解析）一、【知识精讲】1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S＝2πrl S＝πrl S＝π(r＋r)l3.1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、【典例精练】考点一 空间几何体的表面积【例1】 (1) （2014山东）一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．(2)(2018·洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A.17π2B.9πC.19π2D.10π【答案】 (1)12 (2)B【解析】（1）由题意知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则216234h ⨯⨯⨯=1h =2=，该六棱锥的侧面积为1122122⨯⨯=．(2)由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一个球组合而成.圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×14＋12π×12＋12π×12＝9π.故选B.【解法小结】 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.。

第二节空间几何体的表面积与体积一、基础知识批注——理解深一点1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：2．空间几何体的表面积与体积公式名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3二、常用结论汇总——规律多一点几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)球的体积之比等于半径之比的平方．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (二)选一选1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π. 2．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32解析：选C 由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1，又AD ＝2·sin 60°＝3，所以V A -B 1DC 1＝13AD ·S △B 1DC 1＝13×3×12×2×3＝1，故选C. 3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.(三)填一填4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝3 3.答案：3 35．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：设六棱锥的高为h ，斜高为h ′，则由体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×sin 60°×6×h ＝23，得h ＝1，h ′＝(3)2＋h 2＝2.所以侧面积为12×2×h ′×6＝12.答案：12考点一 空间几何体的表面积[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D.83[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2 ＝12π.故选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且PA ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. [答案] (1)B (2)A[解题技法] 求解几何体表面积的类型及求法[题组训练]1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋2 5C ．20＋4 5D ．20＋2 5解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE -DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋⎝⎛⎭⎫12×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5.故选B.2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋2πB ．24＋(2－1)πC ．24＋(2－2)πD ．20＋(2＋1)π解析：选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S ＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B.考点二 空间几何体的体积求空间几何体的体积常用的方法有直接法、割补法、等体积法[典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．2π C.4π3D ．π(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为________．[解析] (1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.(2)法一：直接法连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1-BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22， 矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1， 故V A 1-BB 1D 1D ＝13×(1×2)×22＝13. 法二：割补法连接BD1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，所以V A 1-BB 1D 1D ＝V B -A 1DD 1＋V B -A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13. [答案] (1)B (2)13［解题技法］1．处理体积问题的思路2．求体积的常用方法[题组训练]1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612D.64解析：选A 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD -A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C.3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π.考点三 与球有关的切、接问题 考法(一) 球与柱体的切、接问题[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．[解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.[答案]32考法(二) 球与锥体的切、接问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．18 3C ．24 3D ．54 3[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.[答案] B[解题技法]1．“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体．解答时要找准切点，通过作截面来解决．(2)“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．2．巧用外接球组合体作图的方法口诀外接球，有难题，作图技巧要牢记； 大圆正视小圆平，对称图形抓对称； 内接图形坐小圆，力求顶点大圆圈； 小圆垂直连心线，位置关系细查看．[题组训练]1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163πC.323π D ．16π解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.2．三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝564，所以R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π. 答案：832π[课时跟踪检测]1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )A.932 B.916 C.38D.316解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22＝12＋r 2，所以r 2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×343π×23＝932，故选A.2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．20解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V ＝13×12×6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V＝14×13π×r 2×5＝π12×⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．35 cm 3B ．40 cm 3C ．70 cm 3D ．75 cm 3解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长为1 cm 的正方体，故该组合体的体积V ＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm 3)．故选A.5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥S -ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝13，故选C. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13，故选C.6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.83π3＋833B.43π3＋833C.43π3＋433D.83π3＋433解析：选B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为42－22＝23，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V ＝12×13π×22×23＋13×12×4×2×23＝43π3＋833，故选B. 7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )A ．16＋12πB ．32＋12πC ．24＋12πD ．32＋20π解析：选A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S ＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π2.答案：9π210．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝(1＋2)×12×1＝32.答案：3211．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为________．解析：设圆锥底面半径是r ，母线长为l ，所以πr 2＋πrl ＝π，即r 2＋rl ＝1，根据圆心角公式2π3＝2πr l ，即l ＝3r ，所以解得r ＝12，l ＝32，那么高h ＝l 2－r 2＝ 2.答案： 212．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点， ∵SA ＝AC ，SB ＝BC ， ∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴AO ⊥平面SCB ， 设球O 的半径为R ， 则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R . ∴V S -ABC ＝V A -SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 答案：36π13.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：(1)该几何体的体积； (2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝VA 1B 1C 1-A 2B 2C ＋VC -ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋(4－3)2＝5， BC ＝22＋(3－2)2＝5， AC ＝(22)2＋(4－2)2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×(5)2－(3)2＝ 6.14.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积63，求该三棱锥E -ACD 的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以BE ⊥AC .因为BD ∩BE ＝B ，BD ⊂平面BED ，BE ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V三棱锥E-ACD＝13·12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.。

课时作业42空间几何体的表面积与体积1．(2019·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D)A．45π＋96 B．(25＋6)π＋96C．(45＋4)π＋64 D．(45＋4)π＋96解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.2．(2019·福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为(C)A ．64－32π3 B ．64－8π C ．64－16π3D ．64－8π3解析：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去14个圆锥和14个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－14⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×4×4＋π×4×4＝64－16π3.故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( C )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：∵S △OAB 是定值，且V O -ABC ＝V C -OAB ，∴当OC ⊥平面OAB 时，V C -OAB 最大，即V O -ABC 最大． 设球O 的半径为R ，则(V O -ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π.4．(2019·河南濮阳一模)已知三棱锥A -BCD 中，△ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角，则三棱 锥A -BCD 的外接球的表面积为( D )A.10π3 B ．5π C ．6πD.20π3解析：如图，取BD 中点M ，连接AM ，CM ，取△ABD ，△CBD 的中心即AM ，CM 的三等分点P ，Q ，过P 作平面ABD 的垂线，过Q 作平面CBD 的垂线，两垂线相交于点O ，则点O 为外接球的球心，如图，其中OQ ＝33，CQ ＝233，连接OC ，则外接球的半径R ＝OC ＝153，表面积为4πR 2＝20π3，故选D.5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF -BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝( B )A.14B.13C.12D.15解析：由三视图可知多面体ADF -BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为a .∵M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，∴点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，距离为a ，∴V 1＝V E -FMC ＝V M -EFC ＝13·12a ·a ·a ＝a 36， 又V 2＝12a ·a ·a ＝a 32，故V 1V 2＝a 36a 32＝13.6．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( A )A.89π B.169π C.4(2－1)3πD.12(2－1)3π解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a ，长方体的高为h ，则0＜a ＜2，0＜h ＜2.于是h2＝1－22a 1，h ＝2－2a . 令f (a )＝V 长方体＝a 2h ＝2a 2－2a 3， ∴f ′(a )＝4a －32a 2， 当f ′(a )＝0时，a ＝223.易知f (a )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝1627. ∴材料利用率＝1627π3×12×2＝89π，故选A.7．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V ＝12×32×π×14＝63π，故选B.8．已知三棱锥O -ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O -ABC 的体积为( B )A.32B.233 C.23D.13解析：设球O 的半径为R ，因为S △AOC ＋S △BOC ＝12R 2(sin ∠AOC ＋sin ∠BOC )， 所以当∠AOC ＝∠BOC ＝90°时，S △AOC ＋S △BOC 取得最大值，此时OA ⊥OC ， OB ⊥OC ，又OB ∩OA ＝O ，OA ，OB ⊂平面AOB ， 所以OC ⊥平面AOB ， 所以V 三棱锥O -ABC ＝V 三棱锥C -OAB ＝13OC ·12OA ·OB sin ∠AOB ＝16R 3sin ∠AOB ＝233，故选B.9．某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为 34＋π3 .解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V ＝13×12×(2＋1)×32×1＋14×43π×13＝34＋π3.10．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为 8π .解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 因为母线SA 与底面所成的角为30°，所以l ＝233r . 由△SAB 的面积为8得12l 2＝8， 即12×43r 2＝8，所以r 2＝12，h ＝33r ＝2. 所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×12×2＝8π.11．(2019·江西南昌二中模拟)在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ＝3，SB ＝23，二面角S -AB -C 的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为 21π .解析：根据题意得SA 2＋AB 2＝SB 2， 即SA ⊥AB .取AB 的中点为D ，SB 的中点为M ，连接CD 、MD ，得∠CDM 为二面角S -AB -C 的平面角， ∴∠MDC ＝120°.如图，设三角形ABC 的外心为O 1，则O 1在CD 上，连接BO 1，则CO 1＝3＝BO 1，DO 1＝32. 设外接球半径为R ，易知球心为过M 垂直面ABS 的垂线与过O 1垂直面ABC 的垂线的交点O .在四边形MDO 1O 中，∵二面角S -AB -C 的平面角∠MDC ＝120°， 且MO ⊥MD ，O 1O ⊥DO 1，MD ＝O 1D ＝32， ∴∠ODO 1＝60°，OO 1＝O 1D tan60°＝32， 连接OB ，∴R 2＝OB2＝OO 21＋O 1B 2＝94＋3＝214，∴球的表面积S ＝4πR 2＝21π.12．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：在平面ABCD 内， 因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°， 所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 故BC ∥平面P AD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 取CD 的中点N ，连接PN ， 则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27， 解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3.所以四棱锥P-ABCD的体积V＝13×2×(2＋4)2×23＝4 3.13．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(A)A．5 000立方尺B．5 500立方尺C．6 000立方尺D．6 500立方尺解析：该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE -GHF 割补成高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺．14．(2019·深圳调研)如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( A )A.3π2 B ．3π C.2π3 D ．2π 解析：如图，取BD 的中点为E ，BC 的中点为O ，连接AE ，OD ，EO ，AO . 因为AB ＝AD ，所以AE ⊥BD . 由于平面ABD ⊥平面BCD ， 所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2， 所以AE ＝22，EO ＝12.所以OA ＝32.在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32， 所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32. 所以该球的体积V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2.15．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为 415 .解析：解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥， 设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2 cm 2，点O 到△ABC 三边的距离都为36acm ，△DBC 的高为⎝⎛⎭⎪⎫5－36a cm ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎪⎫5－36a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝25－533a cm ，∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2× 25－533a ＝312×25a 4－533a 5 cm 3. 令t ＝25a 4－533a 5， 则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43(满足0＜a ＜53)， 易知此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.解法二：由题意知折起以后所得三棱锥的直观图如图所示， 连接CO 并延长交AB 于H ，连接DO 、DH .则DO ⊥平面ABC . 令OH ＝x cm ，则OC ＝2x cm ，DH ＝(5－x ) cm ，得OD ＝(5－x )2－x 2＝25－10x cm ，AB ＝23x cm.则V D -ABC ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23x ·3x ·25－10x ＝3x 2·25－10x ＝15x 25－2x cm 3，令f (x )＝15x 25－2x ，则f ′(x )＝15⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 5－2x ＋x 2·－15－2x ＝15(10x －5x 2)5－2x，则当x ∈(0,2)时，f (x )单调递增，当x ∈(2,2.5)时，f (x )单调递减，所以当x ＝2时，体积取最大值，为15×4＝415 cm 3.16．(2019·贵阳质检)如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B -ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．解：(1)证明：∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，DC ，AC ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC . (2)∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC . 在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3. 在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，∴BC ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2，∴V (x )＝V 三棱锥E -ABC ＝36x ·4－x 2(0＜x ＜2)．∵x 2(4－x 2)≤⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋4－x 222＝4，当且仅当x 2＝4－x 2， 即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33.。

专题39空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.基础知识融会贯通1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台、球的表面积和体积【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.重点难点突破【题型一】求空间几何体的表面积【典型例题】在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（）A．B．6πC．D．【解答】解：△ABC绕直线BC旋转一周，所形成的几何体一个大圆锥去掉一个小圆锥，因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA，AB＝2所以所形成的几何体的表面积是故选：A．【再练一题】如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π．故所求几何体的表面积为68π由，所以，旋转体的体积为思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【题型二】求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积【典型例题】设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．【解答】解：该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为，表面积为．【再练一题】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．πB．C．D．【解答】解：由三视图可知几何体是有四分之一个球与一个半圆柱组成，圆柱的底面半径与球的半径相同为：1，圆柱的高为2，组合体的体积为：．故选：B．命题点2求简单几何体的体积【典型例题】正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（）A．1：4 B．3：8 C．1：2 D．2：3【解答】解：如图，棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积V＝正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3个正四棱锥P﹣ABCD的体积个正四棱锥P﹣ABCD的体积，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．故选：A．【再练一题】一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设球的半径为r；正三棱锥的底面面积，h＝2r，．所以故选：A．思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．【题型三】与球有关的切、接问题【典型例题】在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，AB＝AC＝1，BC，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．8πB．C．D．【解答】解：如图，由P A＝PB＝PC＝2，过P作PG⊥平面ABC，垂足为G，则G为三角形ABC的外心，在△ABC中，由AB＝AC＝1，BC，可得∠BAC＝120°，则由正弦定理可得：2AG，即AG＝1．∴PG．取P A中点H，作HO⊥P A交PG于O，则O为该三棱锥外接球的球心．由△PHO∽△PGA，可得，则PO．即该棱锥外接球半径为．∴该三棱锥外接球的表面积为，故选：B．【再练一题】在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B﹣AC﹣D的余弦值为，则所得三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为（）A．B．πC．D．【解答】解：如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND，则BD＝2．故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．故选：C．思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段P A，PB，PC两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．基础知识训练1．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（）A．43B．916C．34D．【答案】D 【解析】设圆柱的底面圆半径为r，则r=2126V=π⋅⨯=π.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比213216 369V Vππ==，故选D.2．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】四棱锥P ABCD-的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，2AB=，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A．3 B．2 C．1 D．1 2【答案】C 【解析】解：连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，可得OE ∥PA,OE ⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得12R PC == 解得PA=1,故选C.3．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知P ，，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A B ． C ． D ．16π【答案】A【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC == 四边形ADCE 为平行四边形 ，又12DC BC = 12DE BC ∴= AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足为F 四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = R ∴=球O 的体积：343V R π== 本题正确选项： 4．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD -的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π【答案】C【解析】根据题意，PC的长等于其外接球的直径，因为PC =32PA =，又PA ⊥平面ABCD ，所以， ∴3483274332P ππ==⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 5．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三】在正方体中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11AC 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积( )A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B【解析】因为V O －AEF ＝V E －OAF ，所以，考察△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以，点E 到平面AOE 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1，所以，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，即△AOF 的面积是定值，所以，四面体O AEF -的体积与,x y 都无关，选B 。

§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中x ′轴、y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S 表＝S 侧＋2S 底V ＝Sh 锥体S 表＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体S 表＝S 侧＋S 上＋S下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 表＝4πR 2V ＝43πR 3常用结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)(4)锥体的体积等于底面积与高之积．(×)教材改编题1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是()A．四棱台B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱答案C解析由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱．2．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．3．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为() A．1cm B．2cm C．3cm D.3cm2答案B解析设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm，依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，S＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).表题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)下列说法中不正确的是()A ．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的各侧棱延长后必交于一点答案ABC解析由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A 错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B 错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C 错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D 正确．命题点2直观图例2已知水平放置的四边形OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O ′A ′∥B ′C ′，∠O ′A ′B ′＝90°，O ′A ′＝1，B ′C ′＝2，则原四边形OABC 的面积为()A.322B ．32C ．42D ．52答案B 解析方法一由已知求得O ′C ′＝2，把直观图还原为原图形如图，可得原图形为直角梯形，OA ∥CB ，OA ⊥OC ，且OA ＝1，BC ＝2，OC ＝22，得原四边形OABC 的面积为12×(1＋2)×22＝3 2.方法二由题意知A ′B ′＝1，∴S 直观图＝12×(1＋2)×1＝32，∴S 原图形＝22S 直观图＝3 2.命题点3展开图例3如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()A．12cm B．13cmC.61cm D．15cm答案C解析如图，把侧面展开2周可得对角线最短，则AA1＝62＋52＝61(cm)．思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．跟踪训练1(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为()A．42＋4B．46＋4C．82D．8答案B解析根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA ＝22，OD ＝4，AB ＝CD ＝2，则AD ＝8＋16＝26，故原平面图形的周长为2＋2＋26＋26＝46＋4.(2)(多选)下列命题中不正确的是()A ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B ．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C ．不存在每个面都是直角三角形的四面体D ．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等答案ACD解析A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C 不正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形；D 不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的54倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为()A.4π5B.6π5C.8π5D.9π5答案C解析设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为πrl ，由题意得πrl πr 2＝54，解得l ＝5r 4，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr ，∴该扇形的圆心角为α＝2πr l ＝2πr 5r 4＝8π5.题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A ．8πB ．4πC ．8D ．4答案A解析以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r ＝2，高h ＝2，∴所得圆柱的侧面积S ＝2πrh ＝2π×2×2＝8π.(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为5，则这个三棱锥的表面积为()A ．4＋33＋15B ．4＋3＋215C ．4＋3＋15D ．4＋23＋15答案C解析结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB ＝AC ＝AD ＝2，CE ＝5，由题意得△ABC ，△ACD 是等腰直角三角形，则BC ＝CD ＝22，BE ＝BC 2－CE 2＝3，BD ＝23，AE ＝AB 2－BE 2＝1，则该三棱锥的表面积为S △ABC ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＋12×23×1＋12×23×5＝4＋3＋15.命题点2体积例5(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为()A ．20＋123B ．282C.563 D.2823答案D解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ＝22－ 22－2 2＝2，下底面面积S 1＝16，上底面面积S 2＝4，所以该棱台的体积V ＝13h (S 1＋S 2＋S 1S 2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为()A.43B.83C ．4D ．6答案B解析如图，三棱锥A －B 1CD 1是由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去四个小三棱锥A －A 1B 1D 1，C －B 1C 1D 1，B 1－ABC ，D 1－ACD 得到的，又1111ABCD A B C D V －＝23＝8，11111111A A B D C B C D B ABC D ACDV V V V －－－－＝＝＝＝13×12×23＝43，所以11A B CD V －＝8－4×43＝83.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm －25mm)，大雨(25mm －50mm)，暴雨(50mm －100mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨答案B解析由题意，一个半径为2002＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水厚度d ＝13π×502×150π×1002＝12.5(mm)，属于中雨．(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm ，底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为()A ．120cm 2B ．162.7cm 2C ．785.4cm 2D ．1570.8cm 2答案C解析根据正六棱柱的底面边长为7cm ，得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm 2)，所以至少需要绒布的面积为785.4cm 2.课时精练1．(2023·淄博模拟)若圆锥的母线长为23，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是()A.3πB ．3πC ．33πD ．9π答案B解析设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，因为母线长为23，所以侧面展开图的面积为πr ×23＝6π，解得r ＝3，所以h ＝ 23 2－ 3 2＝3，所以圆锥的体积V ＝13π×(3)2×3＝3π.2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB 的直观图(图中虚线分别与x ′轴、y ′轴平行)，则原图形△AOB 的面积是()A ．8B ．16C ．32D ．64答案C解析根据题意，如图，原图形△AOB 的底边OB 的长为4，高为16，所以其面积S ＝12×4×16＝32.3．(多选)下列说法不正确的是()A ．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B ．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D ．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析选项A ，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A 错误；选项B ，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B 错误；选项C ，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C 错误；选项D ，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D 正确．4．(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为()A.52B ．1 C.2D.3答案D解析设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面圆半径为r ，如图．πl ＝2πr ，πrl ＝2π，解得r 2＝1，l 2＝4，则圆锥的高h ＝l 2－r 2＝ 3.5.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则小虫爬行的最短路程为()A ．123B ．16C ．24D ．243答案A 解析如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ，则由题意可得2π×4＝12θ，则θ＝2π3，在△POP ′中，OP ＝OP ′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP ′＝122＋122－2×12×12×－12＝123.6．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(7≈2.65)()A ．1.0×109m 3B ．1.2×109m 3C ．1.4×109m 3D ．1.6×109m 3答案C 解析如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V ＝13×9×(140＋140×180＋180)×106＝60×(16＋37)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m 3)．故选C.7.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，则棱锥A －B 1CD 1与棱锥P －ABCD 的体积之比是()A ．1∶4B ．3∶8C ．1∶2D ．2∶3答案A 解析棱锥A －B 1CD 1的体积可以看成是正四棱锥P －ABCD 的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到的．因为B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，所以棱锥B 1－ABC 的体积和棱锥D 1－ACD 的体积都是正四棱锥P －ABCD 的体积的14，棱锥C －PB 1D 1的体积与棱锥A －PB 1D 1的体积之和是正四棱锥P －ABCD 的体积的14，则中间剩下的棱锥A －B 1CD 1的体积11A B CD V －＝V P －ABCD －3×14V P －ABCD ＝14V P －ABCD ，则11A B CD V －∶V P －ABCD ＝1∶4.8.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为21米，则()A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为243平方米D ．正四棱锥的侧面积为123平方米答案AC 解析如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，则SH ⊥AB ，设底面边长为2a 米．因为∠SHO ＝30°，所以OH ＝AH ＝a 米，OS ＝33a 米，SH ＝233a 米．在Rt △SAH 中，a 2＋233a ＝21，解得a ＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S ＝12×6×23×4＝243(平方米)．9.如图，在六面体ABC －FEDG 中，BG ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面FEDG ，AF ∥BG ，FE ∥GD ，∠FGD ＝90°，AB ＝BC ＝BG ＝2，GD ＝2BC ，四边形AEDC 是菱形，则六面体ABC －FEDG 的体积为________．答案8解析如图，连接AG ，AD ，则V 六面体ABC －FEDG ＝V 四棱锥A －FEDG ＋V 四棱锥A －BCDG ＝2V 四棱锥A －FEDG ，由题意得，EF ＝2，DG ＝4，FG ＝AF ＝2，∴S 梯形FEDG ＝12×(2＋4)×2＝6，∴V 四棱锥A －FEDG ＝13×S 梯形FEDG ×AF ＝4，∴V 六面体ABC －FEDG ＝8.10．(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B ，C 分别是上、下底面圆的圆心，且AC ＝3AB ＝3BD ，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________．答案22解析设AB ＝BD ＝m ，则AD ＝2m ，因为AC ＝3AB ＝3m ，所以BC ＝2m ，则圆柱的侧面积S 1＝2πr ·BC ＝4πm 2，圆锥的侧面积S 2＝πr ×AD ＝2πm 2，故S 1S 2＝4πm 22πm2＝2 2.11.如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，点M ，N 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则棱锥B －AMNC 的体积为________．答案13V 解析如图，连接AN ，对于三棱锥B －ACN ，B －AMN ，显然它们等底同高，故V B －ACN ＝V B －AMN ，而V B －ACN ＝V N －ABC ，注意到CN ＝C 1N ，于是三棱锥N －ABC 的高是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的一半，且它们都以△ABC 为底面，故V N －ABC ＝13×12V ＝16V ，故V B －AMNC ＝2×16V ＝13V .12.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm 3.答案8182解析公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8面．四棱锥底面是以32为边长的正方形，S ＝18，其中一个正四棱锥的高为322.∴V ＝13×18×322×2＝182(cm 3)．13．(2022·徐州模拟)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是()A ．15πB ．36πC ．45πD ．48π答案C 解析如图为圆柱的轴截面图，过M 作容器壁的垂线，垂足为F ，因为MN 平行于地面，故∠MNF ＝30°，因为椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18，故NF ＝18－12＝6，在Rt △MFN 中，MF ＝NF ×tan 30°＝23，即圆柱的底面半径为3，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为3，高为(12＋18)的圆柱体积的一半，即为12×π×(3)2×(12＋18)＝45π.14．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙＝2，则V 甲V 乙等于()A.5B ．22 C.10 D.5104答案C 解析方法一由甲、乙两个圆锥的母线长相等，结合S 甲S 乙＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l ＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr 1＝4π，2πr 2＝2π，得r 1＝2，r 2＝1.由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝5，h 2＝l 2－r 22＝22，所以V 甲V 乙＝13πr 21h 113πr 22h 2＝4522＝10.故选C.方法二设两圆锥的母线长为l ，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，侧面展开图的圆心角分别为n 1，n 2，则由S 甲S 乙＝πr 1l πr 2l ＝n 1πl 22πn 2πl 22π＝2，得r 1r 2＝n 1n 2＝2.由题意知n 1＋n 2＝2π，所以n 1＝4π3，n 2＝2π3，所以2πr 1＝4π3l ,2πr 2＝2π3l ，得r 1＝23l ，r 2＝13l .由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝53l ，h 2＝l 2－r 22＝223l ，所以V 甲V 乙＝13πr 21h 113πr 22h 2＝4522＝10.故选C.15．(多选)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，侧面AA1C 1C 的中心为O ，点E 是侧棱BB 1上的一个动点，下列判断正确的是()A ．直三棱柱的侧面积是4＋22B ．直三棱柱的体积是13C ．三棱锥E －AA 1O 的体积为定值D ．AE ＋EC 1的最小值为22答案ACD 解析因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，所以△ABC 和△A 1B 1C 1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋12＋12×2＝4＋22，故A 正确；直三棱柱的体积V ＝S △ABC ·AA 1＝12×1×1×2＝1，故B 不正确；如图所示，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱BB 1上的一个动点，所以三棱锥E －AA 1O 的高为定值22，1AA O S △＝14×2×2＝22，所以1E AA O V 锥－三棱＝13×22×22＝16，为定值，故C 正确；由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE ＋EC 1的最小值为AA 21＋ A 1B 1＋B 1C 1 2＝22＋ 1＋12＝22，故D 正确．16．(2023·榆林模拟)如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为163cm 2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm 3.答案2563π27解析设圆锥的底面半径为r cm ，圆柱形冰块的底面半径为x cm ，高为h cm ，由已知可得，12×32×(2r )2＝163，解得r ＝4，h ＝(r －x )·tan 60°＝3(4－x )，0＜x ＜4.设圆柱形冰块的体积为V ，则V ＝3πx 2(4－x )，0＜x ＜4.令f (x )＝3πx 2(4－x )，0＜x ＜4.则f ′(x )＝3πx (8－3x )，则当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，∴f (x )max ＝f ＝2563π27.∴酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为2563π27cm 3.。

课后限时集训(四十一)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．22π3 B.42π3C．22πD．42πB[依题意知，该几何体是以2为底面半径，2为高的两个同底圆锥组成的组合体，则其体积V＝13π×(2)2×22＝423π.]2．一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为()A．16＋4 3 B．16＋4 5C．20＋4 3 D．20＋4 5D[由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为S ＝5×22＋4×12×2×5＝20＋45，故选D.]3．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D ．8C [由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.故选C ．]4．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x 的值是( ) A ．2 B ．92 C ．32D ．3D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12×(1＋2)×2＝3， ∴V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3.]5．(2019·昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．36πB ．8πC ．92πD ．278πB [根据几何体的三视图，得该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥，如图所示，则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R ，∴2R ＝VB . ∵VB ＝VA 2＋AB 2＝22，∴R ＝2，∴该几何体的外接球的表面积是4πR 2＝8π.故选B.] 二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______．7 [设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.]7．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．12 [设正六棱锥的高为h ，棱锥的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23， ∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.]8．(2019·惠州模拟)已知三棱锥S -ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为________．100π [将三棱锥S -ABC 放在长方体中(图略)，易知三棱锥S -ABC 所在长方体的外接球，即为三棱锥S -ABC 的外接球，所以三棱锥S -ABC 的外接球的直径2R ＝AB 2＋SC 2＝10，即三棱锥S -ABC 的外接球的半径R ＝5，所以三棱锥S -ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝100π.]三、解答题9．如图，从正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的8个顶点中选出的4个点恰为一个正四面体的顶点．(1)若选出4个顶点包含点A ，请在图中画出这个正四面体； (2)求棱长为a 的正四面体外接球的半径．[解] (1)如图所示，选取的四个点分别为A ，D 1，B 1，C ．(2)棱长为a 的正四面体外接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长a ，所以正方体的边长为22a ，因此外接球的半径为32×22a ＝64a .10．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． [解] (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.B 组 能力提升1．(2019·青岛模拟)如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．12－π2 B ．12－π C ．12－2π3D ．12－π3A [由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2.]2．(2018·株洲模拟)已知正三棱锥P -ABC 的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为( )A ．16π3B ．64π3C ．100π3D ．12πB [如图，作PG ⊥CB 于点G ，连接AG ，设点P 在底面ABC 内的射影为D ，连接PD ，依题易得AB ＝23，PG ＝13，P A ＝4，AD ＝2，PD ＝23，PD ⊥平面ABC ．易知，正三棱锥P -ABC 外接球的球心在PD 上，不妨设球心为O ，半径为r ，连接OA ，则在Rt △AOD 中，r 2＝22＋(23－r )2⇒r 2＝163，S ＝4πr 2＝64π3.故选B.]3．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．8π [由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.]4．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.(1)试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．[解](1)不妨设球的半径为4；则球的表面积为64π，圆锥的底面积为12π，所以圆锥的底面半径为2 3.由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形．由此可以求得球心到圆锥底面的距离是42－(23)2＝2，所以圆锥体积较小者的高为4－2＝2，同理可得圆锥体积较大者的高为4＋2＝6.又由这两个圆锥的底面相同，所以较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即3∶1.(2)由(1)可得两个圆锥的体积和为13·π·(23)2·8＝32π，球的体积为43·π·43＝2563π，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为32π∶2563π＝3∶8.。