高三数学第二轮考点探究复习课件11

2019-2020年高三数学 黄金考点汇编11 定积分的概念与微积分基本定理 理（含解析）【考点分类】热点1 定积分的基本计算1．【xx 江西高考理第8题】若则 （ ） A ． B ． C ． D ．12．【xx 陕西高考理第3题】定积分的值为 （ ）3．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】若 ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为 （ ） A ． s 1＜s 2＜s 3B ． s 2＜s 1＜s 3C ． s 2＜s 3＜s 1D ． s 3＜s 2＜s 14．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若 ． 【答案】3．【解析】∵⎠⎛0T x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪T0＝T 33＝9，∴T ＝3．5．【xx 福建理15】当时，有如下表达式： 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式： 23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0122311111111()()...()_____2223212n n n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【方法规律】计算简单定积分的步骤：（1）把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； （2）利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； （3）分别用求导公式求出F(x)，使得F ′(x)＝f(x)； （4）利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算所求定积分的值． 【解题技巧】 求定积分的常用技巧：（1）求被积函数，要先化简，再求积分；（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分；（4）若f (x )是偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝0热点2 定积分几何意义的应用1．【xx 山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ） A. B ． C ． D ．4 【答案】【解析】由已知得，，故选． 考点：定积分的应用．2．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理】直线l 过抛物线C ： x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ） A ． B ．2 C ． D ．【方法规律】1．定积分的几何意义：定积分表示在区间上的曲线与直线、以及轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即．（在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号）． 2．求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的下、下限； （2）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置； （3）写出平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 【易错点睛】 概念理解错误例．【xx 北京西城】求曲线f (x )＝sin x ，x ∈[0，54π]与x 轴围成的图形的面积．热点3 定积分物理意义的应用1．【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理7】一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）B．C． D．【答案】C．【解析】令，则，汽车刹车的距离是，故选C．【方法规律】利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．①变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．②变力作功：物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功．【易错点睛】如xx湖北卷理7试题可能出现以下错误：（1）未形成应用定积分解题的意识，造成思维受阻．（2）不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间，从而不能正确确定积分区间．（3）求错被积函数的原函数致误．防范措施：（1）学习数学，要知道知识方法形成的背景以及应用的方面，不能孤立地看待一个知识方法，要用联系的观点去认识；（2）分析刹车的过程，可以发现，由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间．由此可见，分析过程可以发现规律．【考点剖析】1．最新考试说明：（1）考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．（2）利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．2．命题方向预测：从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与几何概型概率的计算相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下．预测xx 年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向，一般以客观题形式出现． 3．课本结论总结：（1）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b ]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑n i ＝1f (ξi )·b －an；④取极值：⎠⎛ab f (x )d x ＝limn →∞∑n i ＝1f (ξi )·b －a n．（2）定积分的性质 性质1：；性质2：（为常数）（定积分的线性性质）； 性质3：1212b b b aaaf x f x dx f x dxf x dx （定积分的线性性质）； 推广：1212b b b b m m aaaaf x f xf x dx f x dx f x dxf x dx性质4：（其中）（定积分对积分区间的可加性） 推广：121kb c c b aac c f x dxf x dxf x dxf x dx说明：定积分的定义中，限定下限小于上限，即a ＜b ，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：,0b a a abaf x dxf x dx f x dx ．（3）微积分基本定理一般地，如果f (x )在区间[a ，b ]上连续，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式． （4）常用定积分公式： ①（为常数）；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩．4．名师二级结论： 一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 三条性质（1）常数可提到积分号外；（2）和差的积分等于积分的和差；（3）积分可分段进行． 四种求定积分的方法①利用定义求定积分；②利用微积分基本定理求定积分；③利用定积分的几何意义求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4；④利用积分的性质．两类典型的计算曲边梯形面积的方法 （1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））； ③由一条曲线，当时，；当时，与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积： （如图（3））；④由两条曲线（与直线所围成的曲边梯形的面积：[]()()()().bb baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰（如图（4）） （2）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，然后利用求出（如图（5））； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（6））； ③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（7））；5．课本经典习题：（1）【人教新课标A 版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值．【经典理由】典型的应用定义计算定积分（2）【人教新课标A 版2-2第56页，例1】计算由曲线所围成图形的面积． 【变式】由曲线所围成图形的面积为____________．分，∴2211,143443x dx s πππ-=∴=-+=-⎰．6．考点交汇展示：（1） 定积分计算与几何概型交汇例1【广东省梅州市xx 届高三3月质检】．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域．，E 是函数的图像与x 轴及围成的阴影区域，项D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 ( )A ．B ．C ．D ．（2） 定积分的计算与函数的性质交汇例2【xx 年高考原创预测卷（浙江理科）】．若，则等于 ． 【答案】【解析】，2ln 12ln )0()0504()2016(0+=+==+=∴e f f f ． （3） 定积分的计算与二项式定理的应用交汇例3【xx 届安徽六校教育研究会高三2月联考数学理】．已知则二项式的展开式中的系数为 ．xyO【考点特训】1．【河南省安阳一中xx 届高三第一次月考8】如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】Ｂ2．【河北省“五个一名校联盟” xx 届高三教学质量监测（一）13】直线与抛物线所围图形的面积等于_____________ 【答案】 【解析】3．【xx 届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰，则下列关系式成立的是 （ ） A ． B ． C ． D ．4．【高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为________．5．【广州市珠海区xx年高三8月摸底考试12】图中阴影部分的面积等于．【答案】1．【解析】由定积分的几何意义得：．考点：定积分的几何意义．6．【xx年哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】( )A．0 B．C．D．7．【唐山一中xx下学期调研考试试卷】直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．8．【稳派xx年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2 B．e C．2e D．9．【xx黑龙江哈尔滨】下列值等于的定积分是（）10．【xx 辽宁】如图，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3C ．323D ．353【答案】C ．【解析】直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2，解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2），抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）．设阴影部分面积为s ，则==，所以阴影部分的面积为 ，故答案选：C ．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．11．【xx 山西山大附中高三5月月考理科】 ( ) A ． B ． C ．D ．12．【xx 湖南雅礼中学模拟】曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是 （ ）A ．1B ．12C ．22 D ．1313．【xx 江西师大附中高三三模理科】已知等差数列的前n 项和为，又知，且，，则为 （ ） A ．33B ．46C ．48D ．5014．【xx 南京调研】给出如下命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a ＜b )；②；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，15．【xx 浙江五校联考】已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则( )A ．2B ．1C ．3D ．416．【xx 广州综合测试】函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1，5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【答案】B ．17．【xx 福建莆田高三质检】如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于 ( ) A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C ．e 2－e2D ．e 2－2e ＋1 【答案】B【解析】面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e ．18．【xx 山东淄博模拟】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．3019．【xx 湖北孝感高中高三5月摸底理科】若在R 上可导，，则____________．20．【xx 中山一模】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f [f （1）]＝1，则a ＝________．【答案】1．【解析】∵f （1）＝lg 1＝0，∴f [f （1）]＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3| a 0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1．21．【xx 上海模拟】已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B (12，5)、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．22．【xx 湖北孝感高中高三5月摸底理科】如图， 甲、乙、丙中的四边形ABCD 都是边长为2的正方形， 其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB 的中点、B 点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D 点)下方的部分， 丙图中阴影部分是以C 为圆心、半径为2的圆弧下方的部分． 三只麻雀分别落在这三块正方形木板上休息， 且它们落在所在木板的任何地方是等可能的， 若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是， 则的大小关系是 ．23．【海淀区高三年纪第二学期其中练习理】函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_______．24．【河北省邯郸市xx届高三上学期第二次模拟考试】= _______．25．【xx年辽宁省大连市高三双基考试】_______．26．【xx江西鹰潭】设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则．【知识点】定积分在求面积中的应用．【答案解析】解析：解：如图，27．【xx吉林一中】设，则二项式展开式中的项的系数为【考点预测】1．【热点1预测】若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】．2．【热点2预测】曲线与直线y=围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．3．【热点3预测】一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+4，（t）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是______km。

1 / 31高考数学复习考点知识与题型专题讲解专题11导数-恒成立问题1．高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．恒成立问题的解法（1）若()f x 在区间D 上有最值，则恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）若能分离常数，即将问题转化为()a f x >（或()a f x <），则 恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.1．已知函数()sin ,[0,],0x f x ae x x x a π=++∈<． （1）证明：当1a =-时，函数()f x 有唯一的极大值； （2）当()21f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围．【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考试卷（全国Ⅰ卷） 【答案】（1）证明见解析；（2）1a <-．【分析】（1）对函数求导，讨论函数的单调区间，进而可证明结果．（2）构造函数()e sin 10=+-+<x h x a x x ，只需函数最大值小于0即可得出结果．【解析】（1）证明：()e cos 1x f x a x '=++， 因为[]0,x π∈，所以1cos 0x +≥， 当1a =-时，()cos 1x f x e x '=-++， 令()e cos 1,()e sin 0x x g x x g x x '=-++=--<，()g x 在区间[]0,π上单调递减；(0)121,()e 0g g ππ=-+==-<， 存在()00,π∈x ，使得()00f x '=，所以函数()f x 递增区间是[]00,x ，递减区间是[]0,x π． 所以函数()f x 存在唯一的极大值()0f x ． （2）由()21f x x <-，即令()e sin 10,0,()e cos 10'=+-+<<∴=+-<x x h x a x x a h x a x ，()h x ∴在区间[]0,π上单调减函数，()(0)1≤=+h x h a ，只要10a +<即可，即1a <-．2．已知函数()()2112f x x alnx a x =-+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()22a f x >恒成立，求正实数a 的取值范围、【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（2）01a <<． 【分析】（1）求出导函数()()()1x x a f x x+-'=，讨论0a ≤或0a >，利用函数的单调性与导数之间的关系即可求解．（2）令()()2 2a g x f x =-，结合（1）不等式等价于()0g a >，只需10lna a +-<，令()1h x lnx x =+-，根据函数为增函数即可求解．3 / 31【解析】()1定义域为()0,-∞， ()()()()2111x a x a x x a af x x a x x x+--+-'=-+-==当0a ≤时，在(0,)+∞上()0,f x '≥所以()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()'0f x >有,x a >令()'0f x <有0,x a << 所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．()2令()()2 2a g x f x =-，由()1及a 为正数知，()()22ag x f x =-在x a =处取最小值，所以()22a f x >恒成立等价于()0g a >，即()10alna a a -+->，整理得10lna a +-<，令()1h x lnx x =+-， 易知()h x 为增函数，且()10,h =所以10lna a +-<的a 的取值范围是01a <<.3．已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈．（1）讨论函数()f x 在区间[1,2]上的最小值；（2）当1a =时，求证：对任意(0,)x ∈+∞，恒有cos ()x e xf x x+<成立．【试题来源】河北省张家口市2021届高三一模 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）函数1()ln =+f x a x x的定义域是(0,)+∞， 2211()a ax f x x x x-'=-=．当0a 时，2110,0ax ax x --<<，则()0f x '<，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，即函数()f x 在区间[1,2]上单调递减， 故函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为1(2)ln 22f a =+． 当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<；令()0f x '>，得1x a>；故函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当11a，即1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增， 故函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =； 当12a，即102a <时，函数()f x 在区间[1,2]上单调递减，故函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为1(2)ln 22f a =+； 当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 此时函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．综上，当12a时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为1(2)ln 22f a =+；当112a <<时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当1a 时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． （2）当1a =时，1()ln f x x x=+， 要证cos ()x e x f x x +<，即证1cos ln x e xx x x++<，因为0x >，所以两边同时乘x ，得ln 1cos x x x e x +<+， 即证ln cos 1x x x e x <+-．当01x <时，ln 0x x ，而cos 11cos11cos10x e x +->+-=>，所以ln cos 1xx x e x <+-成立，即cos ()x e xf x x+<成立．当1x >时，令()cos ln 1(1)x h x e x x x x =+-->， 则()sin ln 1x h x e x x '=---．5 / 31设()sin ln 1(1)xg x e x x x =--->，，则因为1()cos x g x e x x'=--．因为1x >，所以1()cos 110xg x e x e x'=-->-->，所以当1x >时，()g x 单调递增，所以()sin110g x e >-->，即()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()cos110h x e >+->，即cos ()x e xf x x +<成立．综上，对任意(0,)x ∈+∞，恒有cos ()x e xf x x+<成立．【名师点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，第2问解题的关键是把cos ()x e x f x x+<等价转化为ln cos 1x x x e x <+-，然后构造函数，利用导数证明即可，属于中档题 4．已知函数f (x )＝ax －ln x －1． （1）若f (x )≥0恒成立，求a 的最小值；（2）求证：xe x-＋x ＋ln x －1≥0；（3）已知k (x e -＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，求k 的取值范围． 【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）[1，＋∞)．【解析】（1）f (x )≥0等价于a ≥ln 1x x+． 令g (x )＝ln 1x x+ (x ＞0)，则g ′(x )＝2ln xx -，所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，则g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g （1）＝1，则a ≥1， 所以a 的最小值为1．（2）证明：当a ＝1时，由（1）得x ≥ln x ＋1，即t ≥ln t ＋1(t ＞0)．令x e x -＝t ，则－x －ln x ＝ln t ，所以x e x -≥－x －ln x ＋1，即x e x -＋x ＋ln x －1≥0．（3）因为k (xe -＋x 2)≥x －x ln x 恒成立，即k x e x x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1－ln x 恒成立， 所以k ≥1ln xx e x x--+＝－ln 1xx e x x x e x x--++-+＋1，由（2）知x e x-＋x ＋ln x －1≥0恒成立，所以－+ln 1x x ex x x ex x--+-+＋1≤1，所以k ≥1．故k 的取值范围为[1，＋∞)．【名师点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明． 5．已知函数()()1ln 2f x x mx m R =-∈，()()0ag x x a x=->． （1）求函数()f x 的单调区间． （2）若212m e=，对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都有()()12g x f x ≥成立，求实数a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习讲练测 【答案】（1）答案见解析；（2）(]0,3．【分析】（1）函数的定义域为()0,∞+，求导得()1'2f x m x=-，再分0m ≤和0m >两种情况讨论求解即可；（2）根据题意，问题转化为对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都满足()()min max g x f x ≥，再根据导数研究函数的最值即可． 【解析】（1）()()1ln ,02f x x mx m R x =-∈>，所以()1'2f x m x=-， 当0m ≤时，()0f x >′，()f x 在()0,∞+上单调递增．7 / 31当0m >时，由()0f x '=得12x m=； 由()'00f x x ⎧>⎨>⎩得102x m <<；由()'00f x x ⎧<⎨>⎩得12x m >．综上所述，当0m ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当0m >时，()f x 的单调递增区间为10,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）若212m e =，则()211ln 22f x x x e =-． 对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都有()()12g x f x ≥成立，等价于对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都()()min max g x f x ≥，由（1）知在22,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，在22,2e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以()f x 的最大值为()212f e =， ()()2'100a g x a x=+>>，22,2x e ⎡⎤∈⎣⎦， 函数()g x 在22,2e ⎡⎤⎣⎦上是增函数，()()222mina g x g -==， 所以1222a -≥，解得3a ≤，又0a >，所以(]0,3a ∈．所以实数a 的取值范围是(]0,3．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，回归转化思想，分类讨论思想，是中档题．本题第二问解题的关键在于根据已知将问题转化为对2122,2,x x e ⎡⎤∀∈⎣⎦都满足()()min max g x f x ≥，再研究函数的最值求解．6．已知函数()axf x e x =-．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线的斜率为1，求()f x 的单调区间；（2）若不等式()2ln ax f x e x ax ≥-对(]0,x e ∈恒成立，求a 的取值范围．【试题来源】云南西南名校2021届高三下学期联考【答案】（1）单调递减区间为ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）由题设()1axf x ae '=-，根据导数的几何意义有()01f '=，可求a ，即()221x f x e '=-，进而可求()f x 的单调区间；（2）由题意，函数不等式恒成立可转化为(]0,x e ∈上ln 1ln 1ax ax xe e x --≥恒成立，构造函数()ln 1x g x x -=，应用导数研究其单调性可得ln x a x ≥在(]0,x e ∈上恒成立，即在(]0,x e ∈上max ln ()xa x≥即可求a 的取值范围． 【解析】（1）()1axf x ae '=-，则()011f a '=-=，即2a =． 所以()221xf x e '=-，令0fx ，得ln 22x =-． 当ln 22x <-时，0f x ；当ln 22x >-时，0f x ．故()f x 的单调递减区间为ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）由()2ln ax f x e x ax ≥-，即()2ln 1ax ax x e x -≥-，有1ln 1ax a x e x x --≥，故仅需ln 1ln 1ax axxe e x --≥即可． 设函数()ln 1x g x x -=，则ln 1ln 1ax axxe e x --≥等价于()()axg e g x ≥． 因为()22ln x g x x -'=， 所以当(]0,x e ∈时，0g x ，则()g x 在(]0,e 上单调递增，所以当(]0,x e ∈时，()()axg e g x ≥等价于当(]0,x e ∈时，()()ax g e g x ≥，ax e x ≥，即ln xa x≥恒成立． 设函数()ln x h x x =，(]0,x e ∈，则()21ln 0xh x x -'=≥， 即()h x 在(]0,x e ∈递增，所以()()max 1h x h e e==，则1a e ≥即可，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【名师点睛】（1）应用导数的几何意义求参数值，进而讨论对应函数的单调性确定单调9 / 31区间；（2）构造函数()ln 1x g x x-=，将不等式恒成立问题转化为利用函数()g x 单调性得ax e x ≥，应用参变分离判断(]0,x e ∈上max ln ()xa x≥，确定参数范围． 7．设函数()1()x xa a f x e -=+>． （1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中,m n Z ∈，求n m -的最小值．【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试 【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）由题意得()ln x xf x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln xxae a ae a==． 因为1a >，所以1ln 0a>，所以1log ln ae x a =．当1log ln aex a >时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1log ln ae x a<时，()()0,f x f x '<单调递减．因此，当1log ln ae x a=时函数()f x 有极值．（2）由（1）知，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点）唯一， 因为ln (1)af e a'-=-．令()ln a g a a =，则()21ln 0a a g a '-==，得a e =． 当a e >时，()()0,g a g a '<单调递减；当0a e <<时，()()0,g a g a '>单调递增， 所以()()1g a g e e ≤=，所以()ln 10af ae '-=-<． 而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>．又()1ln 1a ef a '=-．因为a 为正整数且2a ≥时，所以ln 2ln 121a a e≥>>． 当2a ≥时，()10f '>．即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立， 且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-． 所以n m -的最小值为2．【名师点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是利用导数结合零点存在性定理得出()10f '-<，()10f '>，得出,m n 的可能值． 8．已知函数2()2ln 43()f x x ax ax a a =+-+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∈+∞，都有()0f x >成立，求实数a 的取值范围． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模 【答案】（1）答案见解析；（2）01a ．【分析】（1）求出函数的导数，令2()21(0)g x ax ax x =-+>，分段讨论a 的值，判断()g x 的正负情况可得出单调性；（2）可得当01a 时，()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=成立；当0a <时，可得存在x ，使得()(1)0f x f <=，即可得出结论．【解析】（1）()22212()24(0)ax ax f x ax a x x x'-+=+-=>，令2()21(0)g x ax ax x =-+>， ①当0a =时，()10g x =>，在(0,)+∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增．②当0a <时，2444(1)0a a a a ∆=-=->，令()0g x =，得12x x ==，且120x x >>，11 / 31所以当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 单调递增； 当()1,x x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 单调递减． ③当0a >时，4(1)a a ∆=-， 当01a <时，4(1)0a a ∆=-，在(0,)+∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增． 当1a >时，2444(1)0a a a a ∆=-=->，令()0g x =，得12a a x x a a==，且120x x <<， 所以当()10,x x ∈或()2,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 单调递减．综上可得当0a <时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减； 当01a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减．（2）因为(1)0f =，根据（1）的讨论可知，当01a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=成立． 当0a <时，()f x 在()1,x +∞上单调递减，x →+∞时，()f x →-∞， 所以存在()1,x x ∈+∞使得()0f x <，故此时不成立．当1a >时，()f x 在()()120,,,x x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减，而121x x =<<=，所以当()21,x x ∈时，()f x 单调递减，此时()(1)0f x f <=，不合题意．综上可得01a ．【名师点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性问题，解题的关键是根据导数情况观察参数，对参数进行分段讨论，便于得出导数正负． 9．已知函数()e ln ax f x x x =-，其中e 是自然对数的底数，0a >．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为21e -，求a 的值； （2）对于给定的常数a ，若()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，求证：b a ≤． 【试题来源】江苏省苏州市2021届高三下学期期初 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【分析】（1）求出()'f x ，根据导数的几何意义可得(1)21k f e '==-建立方程，求解方程即可得到答案．（2）不等式()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立，先证明1t e t ≥+恒成立，由此结论可得ln ln 1ln 1ax ax x xe x e x a x x+----=≥，从而可证明．【解析】（1）因为1()(1)axf x ax e x'=+-，所以切线斜率为(1)(1)121a k f a e e '==+-=-，即(1)20a a e e +-=．设()(1)2x h x x e e =+-， 由于()(2)0xh x x e '=+>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，由(1)()02a a e h a e +-==可得1a =． （2）设()1t u t e t =--，则()1t u t e '=-， 当0t >时，()0u t '>，当0t <时，()0u t '<，所以()u t 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 所以min()(0)0u t u ==，即()0u t ≥，所以1(*)t e t ≥+．若()1f x bx ≥+对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ax xe x bx --≥对(0,)x ∈+∞恒成立，即ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立．13 / 31设ln 1()ax xe x g x x--=，由（*）可知ln ln 1ln 1ln 1ln 1()ax ax x xe x e x ax x x g x a x x x+----++--==≥=，当且仅当()ln 0x ax x ϕ=+=时等号成立． 由()1()00x a x xϕ'=+>>，所以()ϕx 在()0+∞，上单调递增， 又()()1aaa eaea a e ϕ---=-=-，由0a >，所以10a e --<，即()0a e ϕ-<()10a ϕ=>，则存在唯一()0,1a x e -∈使得0()=0x ϕ即方程()ln 0x ax x ϕ=+=有唯一解()0,1ax e -∈，即()g x a ≥(对于给定的常数a ，当0x x =，()0,1ax e -∈时取等号)由ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立， 所以b a ≤．【名师点睛】本题考查根据切线的斜率求参数和利用导数证明不等式，解答本题的关键是先证明辅助不等式1te t ≥+，然后将问题转化为由ln 1ln 1ax axx xe x b e x x x--≤--=对(0,)x ∈+∞恒成立，由辅助不等式可得ln ln 1ln 1ln 1ln 1ax ax x xe x e x ax x x a x x x+----++--=≥=，从而使得问题得证，属于难题．10．已知函数3()2x f x e x mx =+++．（1）若x 轴为曲线()y f x =的切线，试求实数m 的值；（2）已知()()xg x f x e =-，若对任意实数x ，均有()1e ()x g g x +，求m 的取值范围．【试题来源】福建省名校联盟优质校2021届高三大联考 【答案】（1）e 3m =--；（2）[1,)m ∈-+∞ 【解析】（1）由2()e 3x f x x m '=++，设曲线()y f x =与x 轴相切于()0,0P x ，则()00f x =，()00f x '=．所以0030020e 20e 30x x x mx x m ⎧+++=⎪⎨++=⎪⎩，代入整理得()()020001e 210x x x x ⎡⎤-+++=⎣⎦， 由0e 0x >，22000131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以01x =，此时e 3m =--．经检验，当e 3m =--时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由3()()e 2x g x f x x mx =-=++，记1()e x h x x +=-，1()e 1x h x +'=-(,1)x ∈-∞-时，()0h x '<；(1,)x ∈-+∞时，()0h x '>，故()y h x =在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． 所以()(1)2h x h ≥-=，不妨设1e x x t +-=(2t ≥)，则()1e ()()()x g g x g x t g x +-=+-()33()()22x t m x t x mx ⎡⎤=++++-++⎣⎦221324t t x t m ⎡⎤⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为[2,)t ∈+∞时，要满足()()g x t g x +≥恒成立，则2222121331212424t x t ⎛⎫⎛⎫++≥⨯-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2t =时，1x =-，能同时取等号)．即10m +≥即可，解得[1,)m ∈-+∞． 综上，[1,)m ∈-+∞时符合题意．【名师点睛】本题考查根据曲线的切线方程求参数值及根据不等式恒成立求参数的取值范围问题，难度较大，解答的主要思路如下：（1）当已知曲线的切线方程时，可先设切点的坐标为()00,x y ，然后格据导数的几何意义使()0f x '与所给切线的斜率相等，使点()00,x y 在所给切线上，列出方程组求解即可；（2）当已知不等式恒成立求解参数的取值范围时，可直接构造函数，利用导数分析函数的最值，使其最值符合条件即可；也可以15 / 31采用参数分离法，将问题转化为讨论不含参函数的最值问题求解． 11．已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-． （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）当12a >时，若对任意的[1,)x ∈-+∞，均有()2()12a f x x ≥+，求a 的取值范围． 【试题来源】广西桂林、崇左市2021届高三联合调研考试（二模） 【答案】（1）极小值(0)1f =，无极大值；（2）122a <≤． 【分析】（1）由1a =，求导()1x f x e =-'，再利用极值的定义求解； （2）将()2()12a f x x ≥+，转化为2(1)2axa e x ≥+，易知0x =，1x =-时，a 的范围，当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，转化为2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立，令()2ln(1)ln 2aF x x ax =+-+，用导数法由()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立求解即可．【解析】（1）当1a =时，由()10x f x e '=-=，解得0x =． 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减．∴函数()f x 在0x =取得极小值(0)1f =，无极大值． （2）由()2()12a f x x ≥+，则有2(1)2axa e x ≥+． 令0x =，得11,222a a ≥<≤．当1x =-时，不等式2(1)2ax a e x ≥+显然成立，当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，即2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln2a F x x ax =+-+， 即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立．由22(1)()011a x F x a x x '-+=-==++，得211x a =->-．故当21,1x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0,()F x F x '>单调递增；当21,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()F x F x '<单调递减．因此22()12ln 2ln 2ln 22a a F x F a a a a ⎛⎫≤-=-++=-- ⎪⎝⎭．令函数()2ln 2ag a a =--，其中122a <≤， 则11()10a g a a a='-=-=，得1a =， 故当1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()g a g a '<单调递减；当(1,2]a ∈时，()0,()g a g a '>单调递增．又13ln 40,(2)022g g ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭，故当122a <≤时，()0g a ≤恒成立，因此()0F x ≤恒成立， 即当122a <≤时，对任意的[1,)x ∈-+∞，均有()2()12a f x x ≥+成立． 12．已知函数()2()2ln 1f x x x =--，()()21g x k x =-．（1）当1k =时，求函数()()()F x f x g x =-的极值；（2）若存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第六次复习检测 【答案】（1）()0F x =极大值，()F x 无极小值；（2）(),1-∞． 【分析】（1）2()2ln 1F x x x =-+，求导得22(1)(1)()2x x F x x x x-+-'=-=，显然()0,1x ∈时，()F x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()F x 为减函数，所以()F x 在1x =处取得极大值，无极小值，然后计算()1F 即可；（2）()()f x g x >恒成立即()()0f x g x ->恒成立，也即()0F x >恒成立，结合（1）的结论对k 分类讨论，当1k 时，不存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立；当1k <时，22(1)1()x k x F x x⎡⎤-+--⎣⎦'=，令()0F x '=，得211(1)40k k x ---+=<，17 /3121x =>，可证得函数()F x 在()21,x 上是增函数，所以存在021x x <≤，使得当()01,x x ∈时，()()10F x F >=．【解析】（1）当1k =时，22()2ln (1)2(1)2ln 1F x x x x x x =----=-+，()F x 的定义域为()0,∞+，22(1)(1)()2x x F x x x x-+-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0F x '>，()F x 为增函数， 当()1,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x 为减函数， 所以()()10F x F ==极大值，()F x 无极小值；（2）由（1）可知，若1k =，则当1x >时，()()10F x F <=，即()()f x g x <， 所以不存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立，若1k >，则当1x >时，22()2ln (1)2(1)2ln (1)2(1)0F x x x k x x x x =----<----<， 即不存在01x >，使得当()01,x x ∈时，()()f x g x >恒成立； 若1k <，2()2ln (1)2(1)F x x x k x =----，22(1)12()222x k x F x x k x x⎡⎤-+--⎣⎦'=-+-=， 令()0F x '=，得10x =<，21x =>，所以当()20,x x ∈时，()0F x '>，()F x 为增函数， 即函数()F x 在()21,x 上是增函数，所以存在021x x <≤，使得当()01,x x ∈时，()()10F x F >=， 即()()f x g x >成立，综上，所以实数k 的取值范围是(),1-∞．13．已知函数()ln a ef x x x-=+，其中e 是自然对数的底数． （1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值；（2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围． 【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（山东高考专用）【答案】（1）0a =；（2）1m e≥-．【分析】（1）设切点坐标为()()00,x f x ，根据题意只需满足()02f x e'=，()00002ln 2a e f x x x x e-=+=-，然后求解方程组得出a 的值及0x 的值； （2）记()()ln a eg x f x ma x ma x-=+=++，求导讨论函数()g x 的单调性，确定最值，使()min 0g x ≥成立，得到关于参数m 的不等式，然后利用参数分离法求解参数m 的取值范围．【解析】（1）设切点为()()00,x f x ，其中01x >， 有()020012a e f x x x e -'=-=，且()00002ln 2a e f x x x x e-=+=- 得0021x a e x e -=-，所以004ln 30x x e+-=，易解得0x e =，则0a =； （2）记()()ln a e g x f x ma x ma x -=+=++，有()2x a eg x x -+'=， 当a e ≤，()20x a eg x x -+'=>恒成立，则函数()g x 在()0,∞+上递增，无最小值，不符合题意；当a e >时，当(),x a e ∈-+∞时，()0g x '>，当()0,x a e ∈-时，()0g x '<，所以函数()g x 在()0,a e -上递减，在(),a e -+∞上递增，所以()g x 在x a e =-处取得最小值，()()()min ln 10g x g a e a e ma =-=-++≥， 则有()1ln a e m a +--≤，记()()()1ln a e h a a e a+-=>，19 / 31有()()2ln ea e a e h a a ---'=， 易知()h a 在(),2e e 单调递增，在()2,e +∞单调递减，则()()max 12h a h e e ==，所以1m e-≤，得1m e ≥-．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，求解的一般方法如下：（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；（2）采用参数分离法，然后构造函数，直接将问题转化为函数最值的求解即可．14．已知函数()()2ln 21f x x mx m x =+++，其中0m <．（1）若()f x 在区间()2,+∞上单调递减，求m 的取值范围； （2）若不等式()f x n ≤对0x >恒成立，证明：30n m ->．【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）【答案】（1）14m ≤-；（2）证明见解析．【分析】（1）对函数求导，求出单调减区间，列不等式，即可的出结果．（2）求出函数求导，求出单调减区间，求出函数的最大值，列不等式12f n m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，211111ln 222222⎛⎫⎛⎫⇒-≥--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m m m m ，记102t m=->，构造函数()21ln 2g t t t t t =+-， 求出()g t 最小值()200012=--g t t t ，()0 2n g t m -≥，()()0312g t g >=-，即可得出结果． 【解析】（1）函数()()2ln 21f x x mx m x =+++，其中0m <，0x >，()()()211122?1mx x f x mx m x x++'=+++=． 令()0f x '<得12x m>-．令122m -≤，解得14m ≤-． （2）函数()()2ln 21f x x mx m x =+++，其中0m <，0x >，()()()121x mx f x x++'=．令()0f x '=得12x m=-， 当102x m<<-时，()0f x '>，()f x 是增函数： 当12x m>-时，()0f x '<，()f x 是减函数，． 所以当12x m=-时，()f x 既是极大值也是最大值，11121ln 2242m f m m m m +⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11ln 124m m⎛⎫=--- ⎪⎝⎭． 令12f n m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以211111ln 222222n m m m m m⎛⎫⎛⎫-≥--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． 记102t m=->，()21ln 2g t t t t t =+-，()ln g t t t '=+，当0t >时，()g t '是增函数，1110g e e ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，()110g '=>，所以存在()00,1t ∈使000()ln 0g t t t '=+=． 当00t t <<时，()0g t '<，()g t 是减函数： 当0t t >时，()0g t '>，()g t 是增函数，所以当t t =0时，()g t 既是极小值也是最小值，()000001ln 2g t t t t t =+-． 又00ln t t =-，所以()200012=--g t t t ，则()0 2ng t m-≥成立， 当001t <<时，()0g t 是减函数， 所以()()0312g t g >=-，则322n m ->-，所以30n m ->． 【名师点睛】12f n m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111ln 222222⎛⎫⎛⎫⇒-≥--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m m m m ，记102t m=->，构造函数()21ln 2g t t t t t =+-是解题的关键．本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题．15．已知函数()()()2(ln ,)xf x x kx k Rg x x e =-∈=-．（1）若()f x 有唯一零点，求k 的取值范围；21 / 31（2）若()()1g x f x -≥恒成立，求k 的取值范围． 【试题来源】山东省菏泽市2021届高三下学期3月一模【答案】（1）1k e=或0k ≤；（2）1k ．【分析】（1）转化为ln x k x =有唯一实根，构造函数()ln x h x x=，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果；（2）转化为1ln 2xx k e x+≥-+恒成立，构造函数()1ln 2x xx e xϕ+=-+，利用导数求出其最大值，利用最大值可得解． 【解析】（1）由()ln f x x kx =-有唯一零点，可得方程ln 0x kx -=，即ln xk x=有唯一实根， 令()ln x h x x =，则()21ln ,xh x x -'=由()0h x '>，得0,x e <<由()0h x '<，得,x e >()h x ∴在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．()()1h x h e e∴≤=， 又()10,h =所以当01x <<时，()0h x <； 又当x e >时，()ln 0,xh x x=>由()ln x h x x =得图象可知，1k e=或0k ≤． （2）()2ln 1()xx e x kx ---≥恒成立，且0x >，1ln 2xx k e x+∴≥-+恒成立， 令()1ln 2xx x e xϕ+=-+，则()22221(l l n n 1)x x x x e x x x e x x ϕ--'⋅==-+-，令()2ln x x x x e μ=--，则211()(2)(2)0x x xx xe x e xe x x xμ'=--+=--+<(0)x >，()x μ∴在(0,)+∞单调递减，又()12110,10e e e e μμ-⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知，存在唯一零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0,o x μ=即0200ln xx x e -=，两边取对数可得()000ln ln 2ln ,x x x -=+即()()0000ln ln ln ln ,x x x x -+-=+ 由函数ln y x x =+为单调增函数，可得00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0x μ>，()0x ϕ'>，当0x x >时，()0x μ<，()0x ϕ'<， 所以()x ϕ在()00,x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，()()00000001ln 11221x x x x x e x x x ϕϕ+-∴≤=-+=-+=， 所以()1,o k x ϕ≥=即k 的取值范围为1k ．16．已知函数f (x )=2e x +a ln(x +1)-2．（1）当a =-2时，讨论f (x )的单调性；（2）当x ∈[0，π]时，f (x )≥sin x 恒成立，求a 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增；（2）[)1,-+∞． 【分析】（1）将2a =-代入，求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解．（2）令()()()[]sin 2ln 12sin ,0,xg x f x x e a x x x π=-=++--∈，等价于()()00g x g ≥=恒成立，求出()g x '，讨论0a ≥或0a <，判断函数的单调性，其中0a <时，可得()0211g a a '=+-=+，讨论10a +≥或10+<a ，证明函数的单调性即可证明．【解析】（1）当2a =-时()(),22ln 12,1x f x e x x =-+->-．23 / 31()()22,1x f x e f x x '+'=-在()1,-+∞单调递增，且()00.f '= 当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时(),0f x '>． 所以函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增．（2）令()()()[]sin 2ln 12sin ,0,xg x f x x e a x x x π=-=++--∈当[]0,x π∈时，()sin f x x ≥恒成立等价于()()00g x g ≥=恒成立．由于()()[]cos 2cos ,0,1xag x f x x e x x x π=-=+-∈+''， 所以（1）当0a ≥时，()210,xg x e '≥->函数()y g x =在[]0,π单调递增，所以()()00g x g ≥=，在区间[]0,π恒成立，符合题意．（2）当0a <时，()2cos 1xag x e x x =+-+'在[]0,π单调递增，()0211g a a '=+-=+． ①当10a +即10a -≤<时，()()010,g x g a ≥=+≥''函数()y g x =在[]0,π单调递增，所以()()00g x g =在[]0,π恒成立，符合题意．②当10+<a 即1a <-时()(),010,211ag a g e πππ=+<=++'+'， 若()0g π'≤，即()()121a e ππ≤-++时(),g x '在()0,π恒小于0则()g x 在()0,π单调递减，()()00g x g <=，不符合题意．若()0,g π'>即()()1211e a ππ-++<<-时，存在()00,x π∈使得()00.g x '=所以当()00,x x ∈时，()0,g x '<则()g x 在()00,x 单调递减，()()00,g x g <=不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是[)1,.∞-+【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是构造函数()()[]2ln 12sin ,0,xg x e a x x x π=++--∈，不等式等价转化为()()00g x g ≥=恒成立，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想． 17．设()()ln a f x ax x =+，()11ln xg x b e x x-=⋅+，其中,a b ∈R ，且0a ≠．（1）试讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，()()ln f x xg x x -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【试题来源】广西玉林市2021届高三下学期第一次适应性测试 【答案】（1）答案见解析；（2）(],e -∞．【分析】（1）分别在0a <和0a >两种情况下，结合定义域，根据导函数的正负可确定原函数的单调性；（2）将不等式化为11ln xbxex x-≤-，利用导数和复合函数单调性可确定min 11ln 1x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而转化为x e b x≤，利用导数可求得()x em x x =的最小值，由()min b m x ≤可得结果．【解析】（1）()221a x af x x x x'-=-=， ①当0a <时，由0ax >得0x <，即()f x 定义域为(),0-∞；∴当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),0x a ∈时，()0f x '>；()f x ∴在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增； ②当0a >时，由0ax >得0x >，即()f x 定义域为()0,∞+；∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增；综上所述：当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（2）由()()ln f x xg x x -≥得11ln ln ln x x bxe x x x -+--≥，即11ln x bxe x x -≤-， 设()ln h t t t =-，则()111t h t t t-'=-=，∴当()0,1t ∈时，()0h t '>；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<；()h t ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；25 / 31又1t x=在()0,∞+上单调递减， 11ln y x x ∴=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，min 11ln 1ln11xx ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭；1xbxe -∴≤在()0,∞+上恒成立，xe b x ∴≤；设()xe m x x =，则()()21x e x m x x-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0m x '<；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>；()m x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()min 1m x m e ∴==，b e ∴≤， 即实数b 的取值范围为(],e -∞．【名师点睛】本题考查恒成立问题的求解，解题关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求解函数最值得到结果．18．已知函数()()1ln x af x x e x -=--．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）证明：当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立．【试题来源】湖北省武汉市2021届高三下学期3月质量检测 【答案】（1）0；（2）证明见解析． 【分析】（1）1a =时，1()(1)ln x f x x ex -=--，求导1)1(x xe xf x -'=-，利用导函数研究函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）要证当01a <≤时，()ln f x a ≥恒成立，即证(1)ln ln 0x a x e x a ----≥，构造函数()(1)ln ln x a h a x e x a -=---，即证()0h a ≥恒成立，研究该函数在(0,)+∞上单调区间，求函数()0h a ≥．【解析】（1）1a =时，1()(1)ln x f x x e x -=--，定义域为(0,)+∞，求导1)1(x xe x f x -'=-，设()()g x f x '=， 121(1)0()x g x x e x-+=+'>，()f x '∴在(0,)+∞单调递增．又()10f '=，故当01x <<时，()0f x '<，()f x ∴单调递减； 当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =处取得最小值()10f =． （2）设()(1)ln ln x a h a x e x a -=---，求导()(1)11(1)x a xaa x e e x e e a e h a a '⎡⎤-=-=--⎢⎥⎣⎦． 设()()1xs x x e =-，()xe t x x=，()0x s x xe '=-<，所以0x >时，()s x 单调递减，()()01s x s <=．21()xx t x e x-'=，令()0t x '=，得1x =， 当01x <<时，()0t x '<，()t x 单调递减；当1x >时，()0t x '>，()t x 单调递增，()()1t x t e ∴≥=，故0a >，0x >时，()11axe x e e a-<<≤．即()0h a '<，()h a ∴在(0,)+∞上单调递减， 则01a <≤时，()()()111ln x h a h x e x -≥=--．由（1）知，()11ln 0x x e x ---≥，故01a <≤时，()0h a ≥．即()1ln ln x ax ex a ---≥恒成立．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的最小值及利用导数证明不等式，利用导数证明不等式的方法：证明()()),,(f x g x x a b <∈，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <．19．已知函数()()22x f x xe ax ax a =--∈R ．27 / 31（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()()f x f x ≥--在(),-∞+∞上恒成立，求实数a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】（1）答案见解析；（2）(],1-∞【分析】（1）先求出()f x '，令()0f x '=，比较两根大小，结合二次函数图象，即可判断()f x 的单调性；（2）将()f x 代入化简得到()220x x x e e ax ---≥，对x 进行分类讨论，易知0x =，a R ∈，0x ≠，令x e t =，根据()()0,1g t t ≥≠恒成立，对a 进行分类讨论即可求解． 【解析】（1）()()22x f x xe ax ax a =--∈R ，()()()2212x x x f x e xe ax a x e a '∴=+--=+-，x ∈R ，当0a >时，令()0f x '=，解得ln 2x a =或1x =-， 当ln 21a <-，即102a e<<， 则当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()ln 2,1x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当ln 21a =-，即12a e=， 则()0f x '≥，等号不恒成立，()f x 在R 上单调递增； 当ln 21a >-，即12a e>， 则当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,ln 2x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增． 综上所述：当102a e<<时，()f x 在(),ln2a -∞上单调递增，在()ln 2,1a -上单调递减，在()1,-+∞上单调递增；当12a e=时，()f x 在R 上单调递增； 当12a e>时，()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,ln 2a -上单调递减，在()ln2,a +∞上单调递增；（2）()()f x f x ≥--，即()2222x x xe ax ax xe a x ax -⎡⎤--≥----+⎣⎦， 即()220x x x e e ax ---≥，即()22x x x e e ax --≥①， 当0x =时，①式恒成立，a ∈R ； 当0x >时，x x e e ->，()0x x x e e -->， 当0x <时，x x e e -<，()0x x x e e -->， 故当0a ≤时，①式恒成立，；以下求当0x ≠时，不等式20x x e e ax ---≥恒成立时正数a 的取值范围， 令x e t =，则()()0,11,t ∈+∞，()12ln g t t a t t=--， 则()22212211a t at g t t t t -+'=+-=，令()221h t t at =-+，则244a ∆=-，当01a <≤时，0∆≤，()2210h t t at =-+≥，()0g t '≥，等号不恒成立，故()g t 在()0,∞+上单调递增，又()10g =，故1t >，()()10g t g >=，01t <<时，()()10g t g <=， 即当01a <≤时，①式恒成立；当1a >时，0∆>，()010h =>，()1220h a =-<， 故()h t 的两个零点，即()g t '的两个零点()10,1t ∈和()21,t ∈+∞，在区间()12,t t 上，()0h t <，()0g t '<，()g t 是减函数，。

第11题 考点二 椭圆1、椭圆 2212516x y += 的左、右焦点分别为 12,F F ，弦AB 过点1F ，若2ABF ∆的内切圆周长为 π，,A B 两点的坐标分别为 ()11,x y 和 ()22,x y ，则 21y y -∣∣ 的值是 （ ）B.103C. 203D.532、过椭圆2241x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 3、已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的两个焦点分别为1F ,2F , P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=o ,则12F PF △的面积等于（ ）A. B.C.6D.34、已知椭圆22142y x +=的两个焦点是12F F ，，点P 在该椭圆上，若122PF PF －＝，则12PF F △的面积是( )B.2C. 5、已知椭圆：2221(02)4x y b b +=<<左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B两点，若22BF AF +u u u u r u u u u r的最大值为5，则b 的值是（ ）A.1B.C.326、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两顶点为()(),0,0A a B b ，，且左焦点为F ，是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )7、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A.B.C.12D.138、已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的右焦点为F,过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12BCD 9、直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=的位置关系为( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定10、已知直线2y x m =+与椭圆22:15x C y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点.当AOB △的面积取得最大值时，AB =( )11、直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上存在点P 使得PAB △的面积等于4，这样的点P 共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12、斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则AB 的最大值为（ ）A.2 13、已知椭圆的标准方程为2221(1)x y a a+=>,上顶点为A ,左顶点为B ,设点P 为椭圆上一点,PAB △1,若已知点(M N ,点Q 为椭圆上任意一点,则14||||QN QM +的最小值( )A.2B.94C.3D.3+14、椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为( )A.916B.932C.964D.932- 15、已知椭圆()2222:=10y x C a b a b+>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,M N ，过2F 的直线l 交C 于,A B 两点（异于,M N ），1AF B △的周长为，且直线AM 与AN 的斜率之积为23-，则C 的方程为( )A.22=1128y x +B.22=1124y x +C.22=132y x + D.22=13x y +答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：椭圆：，a=5，b=4，∴c=3，左、右焦点()13,0F -、()23,0F ，△2ABF 的内切圆面积为π，则内切圆的半径为12r =， 而△2ABF 的面积12 A F F =△的面积12BF F +△的面积1122121212211113222y F F y F F y y F F y y =⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯=-（）（A 、B 在x 轴的上下两侧） 又△2ABF 的面积()221112|25222r AB BF F A a a a =⨯++=⨯+==（． 所以 2135y y -=， 2153y y -=．故选A ．2答案及解析： 答案：B解析：根据题意画出图形（如图所示），∵12||2AF AF +=，12||2BF BF +=， ∴1212||44AF AF BF BF a +++==. 即22|4|AF AB BF ++=. 故选B.3答案及解析： 答案：B解析：如图所示,椭圆2210259()x y a b +=>>,可得225,3,4a b c a b ===-=.设12,||||PF m PF n ==， 则210m n a +==，在12F PF △中,由余弦定理可得：22222(c )os60c m n mn =+-︒,可得2(34)6m n mn +-=,即210364mn -=，解得12mn =.∴12F PF △的面积113sin 60123322S mn =︒=⨯⨯=.故选：B.4答案及解析： 答案：A解析：由椭圆方程可知2,2a c ==，且1224PF PF a +==，又122PF PF -=，所以123,1PF PF ==，又12222F F c ==2221212PF PF F F =+，即12PF F △为直角三角形，所以1212211221222PF F S F F PF ==⨯△ A5答案及解析： 答案：D解析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +u u u u r u u u u r 有最大值.当AB 垂直于x 轴时，222min ||222b b AB b a =⨯=⨯=，所以22BF AF +u u u u r u u u u r 的最大值为285b -=，所以23b =，即3b = D.6答案及解析： 答案：B解析：由题意得，有()2222b a a c a ++=+，化简得210e e +-=，解得51e -=. 故本题正确答案为B.7答案及解析： 答案：B解析：由题意得,知2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭,又1260F PF ∠=︒,有232b a a =,从而可得3c e a ==,故选B.8答案及解析： 答案：D 解析：如图，2b c =，则222b c =， 即2222(a c c -)=,则2223a c =，∴2223c a =，即e 63c a ==． 故选：D ．9答案及解析： 答案：B解析：直线1y kx k =-+可变形为1(1)y k x -=-，故直线恒过定点(1,1)，而该店在椭圆22194x y +=的内部，所以直线1y kx k =-+与椭圆22194x y +=相交，故选B10答案及解析： 答案：A解析：由22215y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222120550x mx m ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122055,2121m m x x x x -+=-=， 22221212520(21)102112()4m m AB x x x x --=++-==. 又O 到直线AB 的距离5m d =，则AOB △的面积22222155(21)1522212m m m m S d AB +-⨯-=⋅=≤=， 当且仅当2221m m =-，即2212m =时，AOB △的面积取得最大值.此时，2102154221m AB -==. 故选A11答案及解析： 答案：B解析：如图，5AB =，142AB h ⋅=，85h =.设点P 的坐标为()4cos 3sin ϕϕ，，2π[0)ϕ∈，，代入34120x y +-=中，12(sin cos )12855ϕϕ+-=π22143ϕ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭π22143ϕ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭时，π52sin 146ϕ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭π22143ϕ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭时，π2sin 46ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，此时有两解.∴符合条件的点P 共有2个.12答案及解析：答案：C解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244x y y x t ⎧+=⎨=+⎩消去y ，得22584(0)1x tx t +-+=.则1285x x t +=-，2124(1)5t x x -=.∴12AB x -==故当0t =时，max AB =.13答案及解析： 答案：B解析：易得直线AB 的斜率1AB k a =,直线AB 的方程为11y x a=+,当PAB △的面积最大时,过点P 的直线与椭圆相切且与AB 平行,设该直线的方程为1y x m a =+,联立22211x y a y x ma ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得2222220x amx a m a ++-=.由0∆=,得2222248()0a m a m a --=,解得22m =,分析知当PAB△的面积最大时,m =此时切线方程为1y x a=则点P 到直线AB的距离d ==又||AB =所以PAB△的面积1||12S AB d =⋅,所以2a =,所以(M N 分别为椭圆的左、右焦点,所以||||24QM QN a +==,则141411||||9(||||)1||||||||444||||4QM QN QM QN QN QM QN QMQN QM ⎛⎫+=+⋅+=+++≥ ⎪⎝⎭,当且仅当||2||QM QN =时取等号.故选B.14答案及解析： 答案：D解析：设弦的两端点为1122(,),(,)A x y B x y ， 代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得12121212()()()()0169x x x x y y y y +-+-+=，即12121212()()()()169x x x x y y y y +-+-=， 即121212129()16()x x y y y y x x +--=+-， 即121292164y y x x -⨯-=⨯-， 即1212932y y x x -=--， ∴弦所在的直线的斜率为932-. 故选D.15答案及解析： 答案：C解析：由1AF B △的周长为1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==.解得a())0,0M N.设点()00,A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为23-23y y =-.即()2200233y x =--.① 又2200213x y b +=，所以2220013x y b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，② 由①②解得：22b =.所以椭圆C 的方程为22132y x +=.故选C.。