2009-2017全国高中数学联赛分类汇编 第8讲解析几何

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解读几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cos AF P AF θ⋅+=∴同理1cos PAF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =．∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ21616sin 2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x y C a b-，（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为_______．【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴AP =，OP =∴tan AP OP θ==又∵tan b aθ=b a =，解得223a b =∴e ==3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，31P ⎛- ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解读】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0b x a y +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解读】试卷分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解读式可得准线方程为2x =-，则2,4A N F F '==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解读几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足= (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m n m ---==，，，.由1=⋅得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解读】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解读】∵双曲线的一条渐近线方程为y，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解读】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a ==又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A ．3B．D ．2【答案】A【解读】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．()A O Dxy BP gCE12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C．∵P在C上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而00(,)AP x y=，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=∴112xμθ==+，1yλθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sinϕcosϕ=)当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B 两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.解：（1）设()()11222A x,y,B x,y,l:x my=+由222x myy x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my,y y--==-又()22212121212==故=224y yy yx,x,x x=4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解读】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为|||M N MN y y =- （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8【解读】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0A x ，2pD ⎛- ⎝，点(0A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线两点，求四边形MPNQ【解读】：⑴圆A 整理为(x BE AC Q ∥，则C =∠EBD D ∴=∠∠，则EB ⑵221:143x yC +=；设:l x 联立1l C 与椭圆：24x x =⎧⎪⎨⎪⎩圆心A 到PQ 距离d ==F所以||PQ==，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A（B）32（C（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解读】试卷分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试卷解读：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为. 将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解读几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解读；（Ⅱ）21y x =-．试卷解读：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分（Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ......5分（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解读几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．21.(2015课标全国Ⅰ，理5)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（A)((B)( (C)((D)( 答案：A解读：由条件知F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，－3＜0.①又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜22.(2015课标全国Ⅰ，理14)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的规范方程为答案：+y2＝解读：由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)(a＞0)，所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的规范方程是+y2＝23.(2015课标全国Ⅰ，理20)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。

专题八 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式． 【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x －3｜＝1； (2)|x －3｜≤4； (3)1＜|x －3｜≤4．例2 已知矩形ABCD 及同一平面上一点P ，求证：P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( ) A ．－4 B ．4 C ．－12 D ．12 2．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量AB 的数量的最小值为( ) A ．21B ．0C ．41 D ．413．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( ) A ．(1，－2，－3) B ．(1，2，3) C ．(－1，－2，3) D ．(－1，2，3) 4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x －3y ＋2＝0 C ．x ＋3y ＋2＝0 D ．x －3y －2＝0 二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______． 6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______． 7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______．图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD 满足AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝AC 2＋BD 2．10．求证：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A (1，3)，B (4，5)，点P 在x 轴上，求|P A |＋｜PB ｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．． 2．直线的倾斜角和斜率x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°． 我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率⋅--=1212x x yy k 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)； 斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：);,(2121121121y y x x x x xx y y y y =/=/--=--一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则 (1)l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或)0(222121=/=/B A B B A A (2)l 1与l 2平行⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C CB B A AC A C A B C C B B A B A 或或而(3)l 1与l 2重合⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212121222111C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2； l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，b 1＝b 2． 5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1．6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式⋅+++=2211||BA C By Ax d【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，【例题分析】例1(1)直线082=-+y x 的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围．例6 如图，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) A ． B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______． 6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______． 7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______． 8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)． (1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程．11．已知点P 到两个定点M (－1，0)、N (1，0)距离的比为，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程． 5343-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+2§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域图8－3－1例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值； (2)z 2＝x －y 的最大值； (3)z 3＝x 2＋y 2的最小值； (4)的取值范围(x ≠1)．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4． (1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围． ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x 14-=x yz ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＜0或a ＞2 B ．a ＝0或a ＝2 C ．0＜a ＜2 D ．0≤a ≤2 2．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7A ．B ．C ．D ．二、填空题5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______．7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤α⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 0059．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％()，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围． ⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=%100⨯§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径．(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则 ＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切； ＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切；R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程：(1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上；(3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2． )2,2(E D --21.422F E D -+⇔⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点．(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；(2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．3).1,62(练习8－4 一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) A ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5 二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______．6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______． 7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个．8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．62251=+bya x 11122≤+ba 11122≥+ba )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解；(2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．例2 已知P 为抛物线y ＝x 2＋1上一动点，A (2，3)，P 关于A 的对称点为点P ′，求动点P ′的轨迹方程．例3 已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2＋y 2＝1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ ｜的比等于常数2．求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．例4 已知曲线C ：｜xy |＝1．(1)画出曲线C 的图象，并研究其对称性； (2)讨论圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与C 的交点情况．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y xF练习8－5 一、选择题1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．｜x |－y ＝0 D ．｜x ｜－|y |＝0 2．下列方程的曲线关于x ＝0对称的是( ) A ．x 2－x ＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．x －y ＝1 D ．x 2y ＋xy 2＝13．已知等腰△ABC 的底边两端点的坐标分别为B (4，0)，C (0，－4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x (x ≠2) C ．y ＝－x D ．y ＝－x (x ≠2) 4．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |(k ∈R ，k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题5．曲线x ＋y －7＝0与xy ＝10的交点坐标是______．6．曲线(x －2)2＋x (y －2)＝0关于点A (1，1)的对称曲线方程是______． 7．与直线和直线y ＝4距离相等的点的轨迹方程为______．8．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是______． 三、解答题9．已知两圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝9，C 2：x 2＋y 2＝16．圆C 过圆C 1，C 2的两个交点，且过点(7，7)，求圆C 的方程．10．已知曲线C ：y 2＝x ＋1，定点A (3，1)，B 为曲线C 上任一点，点P 在线段AB 上且有｜BP ｜∶｜P A ｜＝1∶2，当B 在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程．11．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点．以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，求动点Q的轨迹方程．013=+-y x§8－6 椭 圆【知识要点】1．椭圆定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离之和等于定长(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F 1F 2｜叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)：3．对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点：(1)在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0； (2)椭圆的焦点总在长轴上；(3)在方程Ax 2＋By 2＝C 中，只要A 、B 、C 同号，且A ≠B 就是椭圆方程；(4)在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式． 【复习要求】掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆性质的初步应用 【例题分析】例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点；(2)长轴与短轴长之和为20，焦距为；(3)以边长为4的正△ABC 的顶点B 、C 为焦点，经过顶点A ．54例2 已知椭圆C 的方程为(1)求实数m 的取值范围； (2)若椭圆C 的离心率为，求实数m 的值．例3在平面直角坐标系xOy 中，A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足，设动点P 的轨迹为C ． (1)求轨迹C 的方程；(2)若C 上有一点M 满足∠AMB ＝30°，求△MAB 的面积．例4 如图8－6－1，已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线为l ，垂足B ，l 交MA 于点P ．则 (1)点B 曲轨迹方程是______； (2)点P 的轨迹方程是______．图8－6－1例5 已知直线l ：y ＝x ＋1与椭圆相交于A 、B 两点． (1)求AB 的中点坐标； (2)求｜AB ｜．例6 已知椭圆过点M (0，1)的直线l 与椭圆C 相交于两点A 、B ． (1)若l 与x 轴相交于点P ，且P 为AM 的中点，求直线l 的方程；(2)设点，求的最大值． ,12822=-+m y x 21=e ,10||||=+12:22=+y x C 14:22=+y x C )21,0(N ||NB NA +练习8－6一、选择题1．已知F (c ，0)是椭圆的右焦点，设b ＝c ，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．22．如果方程x 2＋my 2＝2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)3．已知椭圆的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是|PF 1｜与｜PF 2｜的等差中项，则该椭圆的方程为( )A ．B ．C ．D ． 4．设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆C 上任一点，记△PF 1F 2的内切圆为⊙M ，则点P 到⊙M 的切线长为( ) A ．B ．2C ．4D ．二、填空题5．长轴长为4，短轴长为2，且焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为______． 6．在平面α 内，有一条线段｜AB ｜＝4，P 为α 内一个动点，满足｜P A ｜＋｜PB ｜＝6．设M 为AB 的中点，则｜PM ｜的最大值为______，最小值为______．7．椭圆的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，则当时，点P 的横坐标的取值范围是______．8．设F 为椭圆的右焦点，A (4，4)，点P 为椭圆C 上任意一点，则｜PF ｜－｜P A ｜的最大值为______． 三、解答题9．已知△ABC 的两个顶点为B (－2，0)，C (2，0)，周长为12． (1)求顶点A 的轨迹方程； (2)若直线与点A 的轨迹交于M ，N 两点，求△BMN 的面积．10．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的－点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，求的值．11．已知点P 为椭圆x 2＋2y 2＝98上一点，A (0，5)，求｜P A ｜的最值．)0(1:2222>>=+b a by a x C 22221191622=+y x 1121622=+y x 13422=+y x 14322=+y x 11216:22=+y x C 32314922=+y x 021<⋅PF 1925:22=+y x C x y 21=14922=+y x ||||21PF PF§8－7 双曲线【知识要点】1．双曲线定义：平面内与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2｜)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F 1F 2｜叫做双曲线的焦距．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用． 【例题分析】例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为； (2)顶点间的距离为6，渐近线方程为45.23x y ±=例2 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且则的||值等于______．例3 如图8－7－1，从双曲线的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于P 点．设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|TF 1|＝_______；｜MO |－｜MT |_______．图8－7－1例4 已知点和，动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2．记点C 的轨迹为W ． (1)求轨迹W 的方程；(2)设W 与直线y ＝x －2交于两点D ，E ，求线段DE 的长度．例5 如图8－7－2，△AOB 的顶点A 在射线l ：上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足｜AM |·｜MB ｜＝3．当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W ．图8－7－2(1)求轨迹W 的方程；(2)设P (m ，0)为x 轴正半轴上一点，求｜PM |的最小值f (m )．1422=-y x ,021=⋅PF PF 21PF PF ⋅125922=-y x )0,3(-A )0,3(B )0(3>=x x y练习8－7一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A ．B ．C ．D ． 2．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．C ．D ．3．已知双曲线，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A ．aB ．bC ．D ．4．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且，则等于( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题5．设F 1、F 2为双曲线的两个焦点，若其实轴的两个顶点将线段F 1F 2三等分，则此双曲线的渐近线方程为______．6．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的方程______． 7．设双曲线x 2＋my 2＝1的离心率e ＞2，则实数m 的取值范围是______．8．设P 为双曲线上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若｜PF 1｜：｜PF 2｜＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为______．三、解答题9．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°．求双曲线的渐近线方程．112422=-y x 141222=-y x 161022=-y x 110622=-y x )2(12222>=-a y a x 3π3362332)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ab 22b a +1922=-y x 021=⋅PF ||21PF +10510252)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 191622=-y x )3,32(-A 11222=-y x )0,0(12222>>=-b a by a x10．如图8－7－3，已知双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C 的一个顶点A ′与点A 关于直线y ＝x 对称．设直线l 过点A ，斜率为k ．图8－7－3(1)求双曲线C 的方程；(2)当k ＝1时，在双曲线C 的上支上求点B ，使其与直线l的距离为11．设A 、B 是双曲线上的两点，点N (1，2)是线段AB 的中点． (1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么? )0,2(A .21222=-y x§8－8 抛物线【知识要点】1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质(见下页表所示)：3．几点注意(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．(2)标准方程的左边是二次项，右边是一次项，且二次项的系数为1．通过x，y的范围可以判定抛物线的开口方向．(3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质，且应用广泛．【复习要求】了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．【例题分析】例1 (1)求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点A(2，－4)的抛物线的方程；(2)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．例2已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(m，n)在抛物线上．(1)求｜PF｜的值(用m，p表示)；(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在抛物线上，且2m＝x1＋x2，求证：2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F|；(3)设过F的直线l与C相交于两点A，B，判断以AB为直径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．例3 设F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距离等于点P到直线l：x＝－1的距离．(1)求抛物线C的方程；(2)设过点P的直线l1与抛物线C的另一交点为Q点，且线段PQ的中点坐标为(3，2)，求｜PQ｜．例4已知抛物线C：y2＝4x，设B(3，0)，对C上的动点M，求｜BM｜的最小值．练习8－8 一、选择题1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2 D ．y ＝－42．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为( ) A ．(a ，0)B ．(0，a )C ．D ．随a 的符号而定3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A ．B ．C ．D ．34．过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0 二、填空题5．抛物线x 2＝－4y 的焦点坐标是______，准线方程是______． 6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得线段的中点坐标是______．7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则的最小值是______． 8．以抛物线y 2＝8x 上一点A 为圆心，经过坐标原点O ，且与直线x ＋2＝0相切的圆的方程是______． 三、解答题9．给定直线l ：y ＝2x －16，抛物线C ：y 2＝ax (a ＞0)．(1)当抛物线C 的焦点在直线l 上时，确定抛物线C 的方程； (2)若△ABC 的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C 上，且点A 的纵坐标为8，直线BC 的方程为4x ＋y －40＝0，求△ABC 的重心的坐标．10．给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 与C 相交A 、B 两点，求以AB 为直径的圆的方程．11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直y 轴于点B ，设OB 的中点为M ． (1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． )161,0(a3457582221y y§8－9 圆锥曲线综合问题【知识要点】1．在圆锥曲线的综合问题中，要关注数学思想与方法的渗透．(1)数形结合思想不是简单的画图，而应该要分析图形中隐含的量及位置间的关系． (2)直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部，它只是方程思想的一个重要形式． 2．直线与圆锥曲线．设直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆锥曲线f (x ，y )＝0相交于点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．将直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆锥曲线f (x ，y )＝0联立，得方程组，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，记为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1)应用判别式，则有①＞0有两个实数解(有两个交点)； ②＝0有一个实数解(有一个交点)； ③＜0没有实数解(没有交点)．对于双曲线和抛物线在考虑交点个数时，还应注意到形的问题． (2)应用韦达定理，可得 在研究中点、弦长等问题时，利用韦达定理常可以使问题得到解决．3．会求简单的轨迹方程问题．4．关注解析几何与数列、向量等知识的综合，注意把握它们的内在联系． 【例题分析】例1 (1)平面内的直线l 与双曲线最多有______个交点；(2)若平面内与y 不平行的直线l 与双曲线不相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 ⎩⎨⎧==++0),(0y x f C By Ax ∆⇔∆⇔∆⇔⋅=-=+⋅ac x x a b x x B A B A ,)0,0(12222>>=-b a by a x 191622=-y x例2 已知两定点M (－1，0)、N (1，0)，直线l ：y ＝－2x ＋3，在l 上满足｜PM ｜＋｜PN |＝4的点P 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个例3 已知椭圆的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线x＋y ＝0上，求直线AB 的方程．例4 已知双曲线C ：3x 2－y 2＝1，过点M (0，－1)的直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点．(1)若，求直线l 的方程；(2)若点A 、B 在y 轴的同一侧，求直线l 的斜率的取值范围．例5 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F (2，0)，且离心率(1)求椭圆的方程(用λ 表示)；(2)若存在过点A (1，0)的直线l ，使点F 关于直线l 的对称点在椭圆上，求λ 的取值范围． 1222=+y x 10||=AB ).0(2>=λλe。

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第08讲：解析几何
1、（2009一试2）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为．
【答案】[]36，
【解析】设()9A a a -，
，则圆心M 到直线AC 的距离sin45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得
d ．解得36a ≤≤．
2、（2009一试5）椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为． 【答案】22
222a b a b
+ 【解析】设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，． 由P ，Q 在椭圆上，有
222221
cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ②
①+②得222211
11a b OP OQ +=+．于是当OP OQ =OP OQ 达到最小值22
222a b a b +．
3、（2010一试3）双曲线12
2=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是.
【答案】9800
4、（2011一试7）直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，。

1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。

4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

-高考数学全国卷分类汇编(解析几何）————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:20１0－2017新课标全国卷分类汇编（解析几何)1.（２0１7课标全国Ⅰ，理10）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点,过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点,AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14 Ｃ．12ﻩＤ．10【答案】A 【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴ﻫ易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性）ﻫcos AF P AF θ⋅+=∴ 同理1cos P AF θ=-,1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =.ﻫ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θﻫ21616sin 2θ=≥,当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ,理15)已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为＿___＿__．【答案】233【解析】如图，OA a =，AN AM b ==ﻫ∵60MAN ∠=︒，∴32AP b =，222234OP OA PA a b =-=-∴2232tan 34b AP OP a b θ==-又∵tan b aθ=，∴223234bb a a b =-,解得223a b = ∴221231133b e a =+=+=3.(2017课标全国Ⅰ,理20）（１２分)已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，,()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上. (１)求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点,若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-,证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性,必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点ﻫ将()2330112P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =,21b =ﻫ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．ﻫ(2)①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =,此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点,故不满足． ②当斜率存在时,设()1l y kx b b =+≠∶,()()1122A x y B x y ，，，ﻫ联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-=ﻫ122814kb x x k -+=+,21224414b x x k -⋅=+,ﻫ则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+ﻫ()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-,存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时,1y =-，所以l 过定点()21-，.4．(２017课标全国Ⅱ，理９)若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为 Ａ．2 Ｂ．3 C.2Ｄ.332【答案】A【解析】由几何关系可得,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-=，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+， 即2224()3c a c -=,整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a ===.故选A. 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率（或离心率的取值范围)，常见有两种方法:①求出a ,c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ，c 的齐次式，结合ｂ2=c 2－a ２转化为a ，c 的齐次式,然后等式(不等式）两边分别除以ａ或ａ2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式）即可得e (e 的取值范围）.5.(2017课标全国Ⅱ，理１6)已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点,M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点,则=FN ．【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F',作MB l ⊥与点B ,NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-,则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==,由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=.【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.6．(20１7课标全国Ⅱ,理2０)（１2分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆12:22=+y x C 上,过M作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NM NP 2=.（１）求点P 的轨迹方程;（2）设点Q 在直线3-=x 上,且1=⋅PQ OP ． 证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解:(1)设)(y x P ，，则)22(y x M ，,将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x ．（2)由题可知)01(，-F ,设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m PF t OQ ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，．由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ,由(1)有222=+n m ,则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m PF OQ ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7.（201７课标全国Ⅲ，理１)已知集合Ａ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ＝{}(,)x y y x =│,则A ⋂B 中元素的个数为A.3B.2 Ｃ．1 D ．０【答案】Ｂ【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合,B 表示直线y x =上所有点的集合，故AB 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2,即A B 元素的个数为2，故选B.8．(2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a >0，ｂ>0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则Ｃ的方程为A. 221810x y -= Ｂ. 22145x y -= Ｃ. 22154x y -= D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =,则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =,则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==,则双曲线C 的方程为22145x y -=,故选B. ９．（20１7课标全国Ⅲ,理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，(ａ>b >0)的左、右顶点分别为A 1，Ａ2，且以线段Ａ1Ａ２为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 Ａ．63 B.33 Ｃ．23Ｄ.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b==+又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b = ∵222b ac =-，可得()2223a a c=-，即2223c a =∴63c e a ==，故选A10．(201７课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中,1AB =,2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为（） A ．３ﻩﻩB.22ﻩC.5ﻩ ﻩD ．２【答案】Ａ【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ,连接CE .以A 为原点，AD 为x 轴正半轴,AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =. ∴22125BD =+=. ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD .∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上.∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=. 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下:00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =,(0,1)AB =，(2,0)AD =. ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+,0215sin 5y λθ==+． 两式相加得:222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤ (其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3.１１.（2017课标全国Ⅲ，理2０)(１2分)已知抛物线C ：ｙ2=２x ，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点,圆Ｍ是以线段ＡＢ为直径的圆．()A O DxyB PCE(1）证明：坐标原点Ｏ在圆M 上;(２)设圆M 过点P （４，-2）,求直线l 与圆Ｍ的方程． 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥O Ｂ故坐标原点Ｏ在圆M 上.(2)由（1)可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ,圆Ｍ的半径()2222r m m =++由于圆Ｍ过点P （4,-2）,因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由(１）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时,直线l 的方程为x-y-2=0,圆心M 的坐标为(3,1)，圆Ｍ的半径为10,圆Ｍ的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时,直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为854，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.(2016课标全国Ⅰ,理5)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是(A ）)3,1(-ﻩﻩ（B ）)3,1(-(C ）)3,0( ﻩ(D))3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->,∴223m n m -<<由双曲线性质知:()()222234c m n m n m =++-=,其中c 是半焦距,∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选Ａ.13.（２０16课标全国Ⅰ，理１0）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点,已知24=AB ，52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 ﻩ(B ）4 ﻩ(Ｃ）６ﻩﻩ （Ｄ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设()0,22A x ，,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭,点()0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点,52pD ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆222x y r +=上,∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②;点()0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③;联立①②③解得:4p =， 焦点到准线的距离为4p =.故选Ｂ.14.(2０1６课标全国Ⅰ,理２0)（本小题满分1２分)设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程; ﻩ(Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ,直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】：⑴圆A 整理为()22116x y ++=,A 坐标()1,0-，如图,BE AC ∥，则C EBD =∠∠,由,AC AD D C ==则∠∠， EBD D ∴=∠∠，则EB ED=，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==>根据椭圆定义为一个椭圆,方程为22143x y +=，(0y ≠);F4 32112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++⑵221:143x yC+=ﻩ；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--,联立1l C与椭圆:221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++,())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2０1６课标全国Ⅱ,理4)圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-(C）3(D）２16.(２01６课标全国Ⅱ,理１１）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左,右焦点,点M在E上,1MF与x轴垂直,211sin3MF F∠=,则E的离心率为( )(A）2（B）32(C）3(Ｄ)２１７.（20１６课标全国Ⅱ，理20）(本小题满分１2分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点,点N 在E 上，MA NA ⊥．(Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时,求AMN ∆的面积;(Ⅱ)当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ).【解析】试题分析:（Ⅰ)先求直线的方程，再求点的纵坐标,最后求的面积;(Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组,消去，用表示，从而表示,同理用表示，再由求.试题解析：(I)设，则由题意知，当时,的方程为,.由已知及椭圆的对称性知,直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积．(ＩI)由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设,直线的方程为,故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于,即.由此得，或，解得.因此的取值范围是．考点：椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.18.(2016课标全国Ⅲ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为（ )（A ）13 ﻩﻩ（B ）12 ﻩ（C ）23 ﻩ（D)34【答案】A考点:椭圆方程与几何性质.【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法:（1)直接求得,a c 的值，进而求得e 的值;(２)建立,,a b c 的齐次等式,求得ba 或转化为关于e 的等式求解；（3)通过特殊值或特殊位置，求出e .1９.(２０１6课标全国Ⅲ，理1６)已知直线l :330mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点,若23AB =,则||CD =_＿＿_＿_＿____＿____＿_.【答案】4考点:直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面,要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化),把它转化为代数问题；另一方面,由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密,因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.２0.(20１6课标全国Ⅲ，理20)(本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点,交C 的准线于P Q ，两点．（Ｉ)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（ＩI ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ)21y x =-.试题解析:由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ,则222111k b a ab a ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ . ．.．.．.5分（Ⅱ)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去)，11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE ABk k =可得)1(12≠-=+x x yb a .而y ba =+2,所以)1(12≠-=x x y .当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ...．１2分 考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法.【方法归纳】(１)解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明;（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法(相关点法）,利用代入法求解时必须找准主动点与从动点.2１.(2015课标全国Ⅰ,理5) 已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点,12,F F 是C 的两个焦点,若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是（Ａ)33(,)33-(B) 33(,)66- (C) 2222(,)33- （D)2323(,)33-答案：A解析：由条件知F１(－，０),Ｆ2（，0),＝（－-x0,－y０)，＝（-x0,－y０)，－3<０．ﻩ①又＝1，＝2＋2.代入①得，∴-<y0<２2.(2015课标全国Ⅰ,理１4)一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为答案:+y2＝解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为（4,0),（0，2),(0，－2),设圆心为(ａ，0)（ａ>0)，所以=４－a，解得a=，故圆心为,此时半径ｒ＝4－,因此该圆的标准方程是+ｙ2=23.(2015课标全国Ⅰ,理20）在直角坐标系xOy中,曲线2:4xC y=与直线:(0)l y kx a a=+>交于,M N两点。

2009全国高中数学联赛另解一、如图，,M N 分别为锐角三角形ABC（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 ,BC AC 的中点，过点C 作//PC MN 交圆Γ于P 点，I 为ABC 的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．（I ）求证：MP MT NP NT ⋅=⋅； （II ）在弧 AB （不含点C ）上任取一点Q （,,Q A T B ≠），记,AQC QCB 的内心分别为12,I I ，求证：12,,,Q I I T 四点共圆．（I ）解法一（焦恩伟）：由,M N 为 ,BC AC 中点知,,;,,B I N C I M 分别共线．由//CP MN 知四边形CPMN 为等腰梯形，得,NP MC MP CN ==．故NCA ABN NBC NAC ∠=∠=∠=∠，于是NC NA =． 于是NA MP =，得MI NP =．①又NTA NBA NBC NMC MNP MTI ∠=∠=∠=∠=∠=∠，且ANT AMT ∠=∠，有ANT ∽IMT ，则AN MINT MT=． 又由①知MP NPNT MT=，即NP NT MT MP ⋅=⋅．解法二（白佳伟）：设NM 与PT 交于H ．连接,NI MI ．由于//CP MN ，四边形CPMN 为等腰梯形，得,NP MC MP CN ==．由MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，得MI MC NP ==．同理PM NI =，四边形PMIN 为平行四边形，故NH MH =．由于PMN PTN ∠=∠，TPN NMT ∠=∠，有PHM ∽NHT ，故NP PHMT MH= 同理MP PH NT HN =．因此MP NPNT MT =，即NP NT MT MP ⋅=⋅．解法三（刘晓艺）：由正弦定理，sin sin sin sin MI PI PC NCMPI PMI PNI NPC===∠∠∠∠．由于//PC MN ，1sin sin sin sin 21sin sin()sin sin 2BACNP NMP MPC MAC MP PNM NPC NBC ABCπ∠∠∠∠====∠-∠∠∠ sin sin sin sin sin sin sin sin IMPNT NT NPT NPI PNI IN PI IN MT TPM IPM PMI IMPMI PI∠⋅∠∠∠====⋅∠∠∠∠⋅ 故,,,P M T N 共圆，PNI PMI π∠+∠=．因此1sin sin sin sin 21sin sin sin sin 2ABCNT IN IMN AMN ABN MT IM INM BNM BAM BAC ∠∠∠∠=====∠∠∠∠ 所以NT MP MT NP =，即MP MT NP NT ⋅=⋅．（II ）类似标准解答．二、求证不等式：2111()ln ,1,2, (1)2nk k n n k =-<-≤=+∑解法一（李博杰）：首先用数学归纳法证明21ln nk n k =≤∑ ①当2n =时，1ln 2ln 412<⇔>成立．②假设命题对n m =成立．设11()(1)x f x x +=+，则11'()()(ln(1))f x f x x x=⋅-++．令'()11()ln(1)()f x g x f x x x==-++，则221111'()01x g x x x x x +=+-=>+，故()g x 单调递增，()lim ()0x g x g x →∞<=，又()0f x >，有'()()()0f x f x g x =⋅<，故()f x 单调递减．又11lim(1)n n e n +→∞=+，11(1)n e n ++>，所以11ln 1m m m+<+．由归纳假设，11ln mk m k=<∑，两式相加得1211ln ln ln(1)m k m m m k m +=+<+=+∑ 即命题对1n m =+也成立．③由①②可知命题对,2n N n +∈≥成立．故21ln 1nk kn k =-+∑ 221ln 21n k k n k ==+-+∑221ln 2n k k n k =≤+-∑ 2111ln 22n k n k =≤+-≤∑，等号当且仅当1n =时成立．下面用数学归纳法证明111ln 0n k n k-=->∑①当2n =时，1ln 2>，命题成立． ②当n m =时，由均值不等式易得11111111(1)1(1)1(1)...(1)(1)11n n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫+=⋅+<+++++=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 故数列1(1)n n +单调递增，由于1lim(1)n n e n →∞+=，有1(1)m e m+<．所以1ln(1)1m m +<，11ln m m m +>．由归纳假设，111ln m k m k -=>∑，两式相加得11ln(1)mk m k=>+∑，故命题对1n m =+也成立．③由①②可知，命题对,2n N n +∈≥都成立．因此21ln 1nk kn k =-+∑21ln n k k n k k =>-+∑11ln 1nk n k ==-+∑ 1111ln 1n k n k -=>-+->-∑，命题得证．解法二（刘晓艺）：由导数定义知，00ln(1)ln(1)ln1lim lim0x x x x x x →→++-=-为ln(1)x +在0x =处的导数，而ln(1)x +的导数为11x +，故0ln(1)lim1x x x→+=，即0lim(ln(1))0x x x →-+=．记()ln(1)g x x x =-+，则1'()1011x g x x x=-=>++，故()g x 单增． 则0()lim(ln(1))0x g x x x →>-+=，111()0,()0ln k g x g k k k +>>⇒>．因此211111n nk k k k k ==>++∑∑12ln1nk k k =+>+∑ 12ln 1nk k k =+=+∏ 2ln ln(2)ln 22n n +==+-ln ln ln 1n e n >-=-．再记21()ln 1nk kf n n k ==-+∑，()ln(1)(0)1x h x x x x =+->+，则2211'()01(1)(1)xh x x x x =-=>+++，0()lim(ln(1))1x x h x x x →>+-+． 又000(1)ln(1)ln(1)lim lim(1)lim 1x x x x x x x x x →→→+++=+⋅=，有lim(ln(1))01x x x x→∞+-=+，故111()0,()0ln 1k h x h k k k +>>⇒>+． 因此22211n nk k k k k ==<+∑∑2ln1nk k k =<-∑ 2ln ln 1nk kn k ===-∏所以22()(1)ln 01nk kf n f n k =-=-<+∑，即1()(1)2f n f ≤=．证毕．解法三（姚博文）：先证明引理：当()0,x ∈+∞时，ln 1x x ≤-．事实上，令()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞，则()11'1xf x x x-=-=．由下表可知，()()1f x f ≤，即．回到原题：当1n =时21111ln 122nk k n k =-<-=≤+∑成立；以下2,3,n = ． 令()12,3,k x k k -== ，得111ln1k k k k k --≤-=-，即()1ln ln 1k k k--≥， 所以()()221ln ln ln 1n nk k n k k k ===--≥∑∑，又 22121111n n nk k k k k k k k====<++∑∑∑， ∴ 212111ln 1122n n k k k n k k k===+<+++∑∑，即211ln 12nk k n k =-<+∑ 令1k x k =-，得1ln 1111k k k k k ≤-=---，即()1ln ln 11k k k --≤-，累加，得()()122111ln ln ln 11n n n k k k n k k k k -====--≤=-∑∑∑，∴11211111111111ln 1111n n n n n k k k k k k n k k k k k k +-======≥=->-≥-+++∑∑∑∑∑，即21ln 11nk kn k =->-+∑． 综上所述，得2111ln ,1,2,12nk k n n k =-<-≤=+∑ ．解法四（杨蓉）：由图像知，1211ln n n k dx n k x =<=∑⎰，11111ln n n k dx n kx -=>=∑⎰，即121ln 1n k n k -=>-∑．以下类似解法一，用数学归纳法证明．三、设,k l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得km C 与l 互素．解法一（李博杰）：令,a m k n l n N =+⋅∈，其中a 为充分大的正整数． 考虑l 的任意一个素因子p ，由组合数定义，()(1) (1)(1) (1)aa a a k kmk n l k n l k n l n l C C k k +⋅+⋅-+⋅+⋅==-对1,2,...,i k =，设α是满足|p i α且1|p i α+的正整数．由于a 为充分大的正整数，且|p l ，有1|a p l α+，故|a p i l n α+⋅，1|a p i l n α++⋅，故i 与a i l n +⋅中所含素因子p 的幂次相同．故()(1)...(1)a a a k n l k n l n l +⋅-+⋅+⋅与!k 中所含素因子p 的幂次相同．因此k mC 的分子分母中的p 在约分时上下消去，有|k m p C ．对任意|p l ，都有(,)1k m p C =，故(,)1km l C =，而这样的n 有无穷多个，命题得证．解法二：令a m k l =+，其中a 为充分大的正整数．下同解法一．由于充分大的正整数a 有无穷多个，命题得证．解法三（焦恩伟）：设1212...rrp p p p ααα=，其中12,,...,r p p p 为素数，12,,...,r N ααα+∈．设k 在p 进制下有i a 位（1,2,...,i r =）． 取(1,2,...,)i i n a i r ≥=，由孙子定理，满足11(mod )i i n n m p p -+≡的m 有无穷多个． 记()p S m 为p 进制下m 的各位数字之和，类似地定义()p S m k -．令112(1)(...1)i i i n n n m a p p p p +--=⋅+-+++，于是121(...(1)...(1))i n p n m s s s p p -=--个．此时由于不发生进位，()()()p p p S m S m k S k =-+． 由p 进制的性质知，!,()!,!m m k k -中含有p 的幂次分别为()()(),,111p p p m S m k S k m k S m k p p p --------．又因为()m m k k =-+，得()()()111p p p m S m k S k m k S m k p p p -----=+---，故!()!!km m C m k k =-中不含素因子p ．由于这样的a 有无穷多个，命题得证．解法四（姚博文）：当1l =，或1m =时，结论明显成立．以下设2k l ≥、，并作l 的素因数分解式1212s s l p p p ααα= ，并令1212s e e e s k A p p p =⋅ ，其中12s e e e N ∈ 、、、，*A N ∈，并且(),1A l =．任取*n N ∈且n A >，定义12121s e k e k e ks m n p p p +++=⋅- ，则m k ≥；以下称满足p n α的最大非负整数α为“正整数n 素数p 的次数”．记i 中j p 的次数为α，则j p i α，且j p i α≤．11je kk j j p m p m ++⇒+，01221j k i p C C C C αααααααα≥≥≥=++++≥+ ，∴ 11jp m α++． 又 ()()1111!k k mi m m m k m iC k i =--++-==∏ ，∴ kmC 的分母和分子中素因数j p 的次数相等，从而 ()(),11,2,,k jmp C j s == ．又 素数12,,,s p p p 互不相同，∴ (),1km l C =，故上述无穷多个正整数m 均满足条件．解法五（刘晓艺）：反证法．假设只有有限多个m 满足题意．由于m k =时，1k m C =显然成立，因此这样的m 存在．设m 为满足(,)1km l C =的最大者．设l 的素因子为12,,...,r p p p ．令a m >，a n m l =+．对,1,...,1t m m m k =--+，设||i p t α，由于a m α>≥，有1|a i p l α+，故t 与at l +中所含素因子i p 的幂次相同．而由于(1)...(1)|(1) (1)ki m m m m k p C k k --+=-，且t 中素因子i p 的幂次不少于t m k -+中素因子i p 的幂次，故t 与t m k -+中所含素因子i p 的幂次相同．因此t m k -+与a t l +中所含素因子i p 的幂次相同．因此()(1) (1)(1) (1)a a a knm l m l m k l C k k +-+-++=-中分子分母所含素因子i p 的幂次相同，有|kn p C ，而a n m l m =+>，与m 的最大性矛盾．因此存在无穷多个m 满足题意．解法六（马晓鹏）：Lucas 定理：设,m n 为正整数，p 是素数，且1110...k k k k m m p m p m p m --=++++，1110...k k k k n n p n p n p n --=++++．则0(mod )iikn n mm i C C p =≡∏． 也就是说，|nm p C 当且仅当n 的p 进制表示中至少有一位大于m 的p 进制表示中对应的一位．证明：()(1)(1)mmkr r c rp rc m C x x ===+=+∑∏0(1)(mod )m mkp r m x p =≡+∏（由于(1)1(mod )mmp p x x p +≡+）00(mod )m m m m m m r ks s p r s m C x p ==⎛⎫≡ ⎪⎝⎭∑∏ 00(mod )m m k rs cr c m C x p ==⎛⎫≡∑ ⎪⎝⎭∑∏ 其中∑表示取遍所有满足00,km m m m m s c p s p c =≤≤<=∑的集合01(,,...,)k s s s ．如果对每个m ，都有m m c r ≤，则由于c 的p 进制表示是唯一的，至多存在一组01(,,...,)k s s s 使得m m s c =．若对某个m ，m m c r >，则内层∑=0．在上述两种情况中，对0,1,...,c r =，计算c x 的系数即可证明Lucas 定理． 回到原题．对于给定的k ，设其p 进制表示中的最高位为r ．令(mod )r m k p ≡，则,n m 的p 进制表示中第0,1,...,r 位均相同，由Lucas 定理，|k m p C ．设l 的全部素因子为12,,...,t p p p ，则对每个i p ，均需满足(mod )i r i m k p ≡．由中国剩余定理，只需1212(mod ...)t r r r t m k p p p ≡，这样的m 有无穷多个，证毕．解法七（yunxiu ）：当1l =时，结论显然成立．下设1l >．设l 的全部素因子为12,,...,t p p p ，则对任意i p ，都存在唯一的非负整数i α使得1|!,|!i i i i p k p k αα+．对任意正整数12max{,,,...,}t a k ααα>，令1a m l =-，显然m k >．由于(1)(2)...()!a a a k ml l l k C k ---=，有!(1)!ka k m k C l x k =+-，其中x 为整数．整理得!((1))kk a m k C l x --=．对任意1i t ≤≤，由于|a a i p l ，i a α>，有|(1)k k i m p C --，故(,)1ki m p C =．因此(,)1k m l C =．这样的正整数a 有无穷多个，命题得证．解法八（Napoleon ）：设1212...s s l p p p ααα=，其中(1,2,...,)i p i s =为素数． 而!m 中i p 的次数由勒让德函数有0(!)i p i m L m p αα≥⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑而()!m k -与!m 中i p 的次数同理写出：00(()!),(!)i i p p i i m k k L m k L k p p αααα≥≥⎡⎤⎡⎤--==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑由上述三式，若证(!)(()!)(!)i i i p p p L m L m k L k ≤-+，只需证0000i i i m k m k p p p αααααα≥≥≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤---≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ①又当(mod )i m k p α≡时，设,i i m cp d k ep d αα=+=+，其中,,c d e 为整数且01i d p α≤≤-．又m k ≥，故c e ≥．故0(())0c e c e α≥---=∑，①成立，亦即(,)1km C p =．由中国剩余定理，存在无穷多个(mod )i m k p α≡，此时(,)1km C l =．解法九（sufangzai ）：当1k =或1l =时，命题显然成立． 构造!1m n k l =⋅⋅-，其中n 为正整数．则1(1)...(1)!km C m m m k k =--+1!!!(!1)2(1)3(1)...(1)!23n k l n k l n k l n k l k k k⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅-⋅-⋅-⋅⋅- !!(!1)(1)...(1)2n k l n k ln k l k ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅---显然!n k l ⋅⋅，!2n k l ⋅⋅，…，!n k lk⋅⋅为整数，且为l 的倍数，故!1n k l ⋅⋅-，!12n k l ⋅⋅-，…，!1n k l k ⋅⋅-分别与l 互质，因此kmC 与l 互质．四、在非负数构成的3×9数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数均不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，273718381929,,,,,x x x x x x 均大于1．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质（O ）：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(1,2,...,9)k =均存在某个{1,2,3}i ∈使得123min{,,}ik i i i i x u x x x ≤=．求证：（i ）最小值123min{,,},1,2,3i i i i u x x x i ==一定取自数表S 的不同列．（ii ）存在数表P 中唯一的一列1*2*3*,*1,2,3k k k x x k x ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭使得3×3数表11121*21222*31323*'k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质（O ）．另解（李博杰）：（i ）假设最小值123,,u u u 不是来自S 的不同列，则必有两个i u 属于同一列，不妨设12,u u 属于第1列．则不论3u 属于1、2、3中的哪一列，第2、3列中总有一列不包含任何i u ，不妨设为第3列．由于同行元素互不相同，113223333,,u x u x u x <<<．而对于3k =，不存在123min{,,}ik i i i i x u x x x ≤=，与性质（O ）矛盾．（ii ）首先证明存在性．假设不存在这样的*k 使得'S 满足性质（O ）． 不妨设111222,u x u x ==，由（i ）知33*k u x =．由假设，对任意*4,5,6,7,8,9k = 都存在一列ik x ，使得对每个{1,2,3}i ∈，都有ik i x u >．取*k 为4,5,6,7,8,9中使得3*k x 最大者，则由于37381,1x x >>，有3*1k x >，而333*max{}1k k x u x >=>．若1,2,3,4,5,6k =，则这一列之和大于1，与每列和为1矛盾； 若7,8,9k =，则33*k k x x >，与3*k x 的最大性矛盾．其次证明唯一性．假设存在两列,a b 同时满足性质（O ）．首先考虑a 列形成的数表S ． 仍然不妨设111222333,,u x u x u x ===，且3231x x <．因为32312221,x x x x <<，11112111'min{,,}a u x x x x ==．由（i ）， 3313233'min{,,}a a u x x x x ==①或3212222'min{,,}a a u x x x x ==②若为情形①，由各列之和为1，有11122223','u x u x x ==<，3333'a u x x =≥．同理，由于选出b 列也满足性质（O ），有333a x x ≥．故333a x x =，3k =，矛盾．若为情形②，有11122332',','a u x u x u x ===．1111'b x x u >=，3323'b x x u >=，由各列之和为1，22b a x x ≤．同理，考虑选出b 列，可得22a b x x ≤．故22a b x x =，由于同行元素互不相同，有a b =，矛盾．综上，存在唯一的*k 使得'S 满足性质（O ）．。

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第01讲：不等式1、（2009一试3）在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t =．【答案】212t t -++ 【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++2、（2009一试4）使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为． 【答案】20093、（2011一试3）设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 【答案】-1 【解析】由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+， 即ab b a 22≥+①于是ab b a 22=+②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a 故1log -=b a ．4、（2012一试3）设,,[0,1]x y z ∈，则||||||M x y y z z x =-+-+-的最大值是. 【答案】21+【解析】不妨设01,x y z ≤≤≤≤则.M y x z y z x ---2[()()]2().y x z y y x z y z x --≤-+-=-F E DC BA Oyx所以2()(21)2 1.M z x z x z x ≤-+-=+-≤- 当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 2 1.M =+ 5、(2014一试2)设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=_________. 【答案】523-6、（2015一试6）在平面直角坐标系xOy 中点{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤ 所对应的平面区域的面积为. 【答案】24【解析】设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤，先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有x+3y ≤6， 故这些点对应于图中的△OCD 及其内部.由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的 菱形ABCD 及其内部.同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部.由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被12,K K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题要 求的即为图中阴影区域的面积S.学科*网由于直线CD 的方程为x+3y=6,直线GH 的方程为3x+y=6,故它们的交点P 的坐标为33(,)22， 由对称性知，1388424.22CPG S S ∆==⨯⨯⨯= 7、（2016一试1）设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 .【答案】)310,332(--∈a 【解析】由||a a <可得0<a ，原不等式可变形为1||11913-=>->aa a a a 即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a .又0<a ，故)310,332(--∈a . 8、（2009一试11）求函数2713y x x x +-的最大和最小值． 又由柯西不等式得(222713y x x x=+-()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤．由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．9、（2009二试2）求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1xx x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x'=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得 ⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 因此1112n n x x x -<<<=． 又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n =-+>-．10、（2012二试3）设012,,,,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d >求证：01020()(1)!3n dP P P P P P n ⋅⋅>+以(0,1,2,,)i P i k =为圆心,2d 为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;以0P 圆心，02k dP P +为半径画圆，这个圆覆盖上述1k +个圆 所以2200()(1)()(11)222k k d d dP P k P P k ππ+>+⇒>+ 由9k ≥易知11123k k ++> 所以013k dP P k >+对9k ≥时也成立.综上,对任意正整数k 都有013k dP P k >+. 因而01020()(1)!3n n dP P P P P P n ⋅⋅>+证法二: 不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤故22003()(1)()1(1,2,,)223k k d dP P k P P k k n ππ>+⇒>+=所以01020()(1)!3nnd P P P P P P n ⋅⋅>+ 11、（2013一试12）（本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.【解析】已知条件可转化为：对任意实数,x y ，有()()()()()22222ax yb a x y b ax b ay b ++++≥++.○1 先寻找,a b 所满足的必要条件.在○1式中令0y =，得()()22b ax b ax b b ++≥+⋅，即对任意实数x ，有 ()()2120b ax b b -+-≥.由于0a >，故2ax 可取到任意大的正值，因此必有10b -≥，即01b <≤. 在○1式中再令y x =-，得()()242ax b b ax b ++≥+，即对任意实数x ，有 ()()2422220a a xabx b b --+-≥.○2 将○2的左边记为()g x ，显然20a a -=（否则，由0a >可知1a =，此时()()2222g x bx b b =-+-，其中0b >，故()g x 可取到负值，矛盾），于是对一切实数x 成立，从而必有20a a ->，即01a <<.进一步，考虑到此时01ba >-，再根据()22011b b g a b a a =--≥--，可得22a b +≤. 至此，求得,a b 满足的必要条件如下： 01b <≤，01a <<，22a b +≤.○3 下面证明，对满足○3的任意实数对(),a b 以及任意实数,x y ，总有○1成立，即 对任意,x y 取非负值.综上所述，所求的正实数对(),a b 全体为(){},|01,01,22a b b a a b <≤<<+≤.12、（2014二试1）（本题满分40分）设R c b a ∈,,，满足1=++c b a ，0>abc ，求证：412+<++abc ab ca bc 【证明】1,.4≤若ab+bc+ac 则命题已成立 13、（2015一试9）（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424abcabc+=+=,求c 的最小值.322235,log (2)log 3.43z c =-由于c=log 故的最小值为学科*网14、（2015二试1）（本题满分40分）设12,,,(2)n a a a n ≥是实数,证明:可以连取12,,,{1,1}n εεε∈-使得222111()()(1)()nn ni i i i i i i a a n a ε===+≤+∑∑∑【证明】我们证明：15、（2016二试1）（本题满分40分）设实数122016,,,a a a ⋅⋅⋅满足21911(1,2,,2015)i i a a i +>=⋅⋅⋅. 求22221225201520162016()()()()i a a a a a a a a --⋅⋅⋅--的最大值. 以下考虑220160i a a ->的情况，约定20171a a =,由平均不等式得201621(1)1111()201620162201644i i i a a =+-≤=⋅⋅=∑, 所以201614P ≤.当12201612a a a ==⋅⋅⋅==时，上述不等式等号成立，且有21911(1,2,,2015)i i a a i +>=⋅⋅⋅，此时201614P =. 综上所述，所求最大值为201614.16、（2017一试9）（本题满分16分）设,k m 为实数，不等式2||1x kx m --≤对所有[,]x a b ∈成立，证明：22b a -≤证明：令2(),[,],()[1,1].f x x kx m x a b f x =--∈∈-则于是17、（2017一试10）（本题满分20分）设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求321231(35)()35x x x x x x ++++的最小值和最大值. 解：由柯西不等式。