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专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
专题一：三角函数、解三角形、平面向量【例题讲解】要点1：三角函数的概念、同角诱导公式的简单应用例1：如图，以Ox 为始边作角α与β（παβ<<<0） ，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（53-，54） （1）求αααtan 112cos 2sin +++的值； （2）若OP ·0=OQ ，求)sin(βα+。
解：（1）由三角函数定义得53cos -=α，54sin =α∴原式αααααααααααα22cos 2cos cos sin )cos (sin cos 2cos sin 1cos 2cos sin 2=++=++=2=·（53-）2=2518 （2）OP ·0=OQ ，∴2πβα=-∴2παβ-=，∴53cos )2sin(sin =-=-=απαϖ54sin )2cos(cos ==-=απαβ ∴βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+25753)53(5454=⋅-+⋅=要点2：函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、图象性质问题例2：已知函数()sin 2f x x =，()cos(2)6g x x π=-，直线x t =（t R ∈）与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点．（1）当4t π=时，求||MN 的值； （2）求||MN 在[0,]2t π∈时的最大值．【解析】（1）)cos(2)|4|||si 26n(4MN πππ⨯-⨯+=． …… 2分23|1cos |32π=-=． ……5分 （2）332cos(2)||sin 2cos 2|62||2|sin t t t MN t π=-+=-． ……8分 3|sin(2)|6t π=-． ……11分 ∵[0,]2t π∈，26[,]66t ππππ∈---， ……13分 ∴||MN 的最大值为3． ……15分要点3：三角变换及求值例3：已知向量)2,1(),cos ,(sin -==n A A m ,且0=⋅n m(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域解析：（Ⅰ）由题意得m ·n=sinA-2cosA=0,因为cosA ≠0,所以tanA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-.当1sin 2x =时，f(x)有最大值32，当sinx=-1时，f(x)有最小值-3所以所求函数f(x)的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦要点4：正、余弦定理的应用例4：在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
2021年高考数学二轮专题复习专题验收评估二三角函数解三角形平面向量一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·杭州模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A.2425 B.725 C ．±2425 D ．±725解析：选B 因为sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，所以应选B.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝( ) A.70B ．4 5C ．3 5D ．25解析：选B 依题意得，m 2＝－21，故m ＝－4,2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a ＋3b |＝－42＋－82＝4 5.3．(xx·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6等于( )A ．－23B ．－12 C.23 D.12解析：选A 由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23.5．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选 D 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ＝－15舍去.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，解方程，得b ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－135舍去.6．(xx 届高三·江西百校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y轴右侧的第一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为( )A ．1B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C.7．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4解析：选C f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象在y 轴左侧的第一条对称轴方程为x ＝－3π8，将f (x )的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是3π8. 8．(xx 届高三·沈阳十校联考)在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，则t 的值为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→ ＋CB ―→，即2CP ―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→，故P 是AB 的一个三等分点．因为A ，M ，Q 三点共线，所以可设CM ―→＝xCQ ―→＋(1－x )·CA ―→，则CM ―→＝x 2CB ―→＋(x －1)AC ―→ (0<x <1)，又CB ―→＝AB ―→－AC ―→，所以CM ―→＝x 2AB ―→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1AC ―→.因为CP ―→＝CA ―→－PA ―→＝－AC ―→＋13AB ―→，且CM ―→＝t CP ―→ (0<t <1)，所以x 2AB ―→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1AC ―→＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－AC ―→＋13AB ―→，所以x 2＝t 3，x 2－1＝－t ，解得t ＝34，故选C.9．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π12，5π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6解析：选A 由题可设f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ.因为θ∈[0，π)，所以θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，5π4，所以cos θ＋sin θ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1∈(0，2＋1]，所以关于x 的一元二次函数的图象开口方向向上，要使x ∈[－1,0]，f (x )>0恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f0＝sin θ>0，f －1＝cos θ>0，所以θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，此时2cos θ＋2sin θ＋2>2sin θ＋1，则函数的对称轴x 0＝－2sin θ＋12cos θ＋2sin θ＋2>－1，且x 0<0，所以Δ＝(2sin θ＋1)2－4sin θ(cos θ＋sin θ＋1)<0，整理得sin 2θ>12，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，5π12，故选A.10．已知共面向量a ，b ，c 满足|a |＝3，b ＋c ＝2a ，且|b |＝|b －c |.若对每一个确定的向量b ，记|b －ta |(t ∈R)的最小值为d min ，则当b 变化时，d min 的最大值为( )A.43B ．2C ．4D ．6解析：选B 不妨设向量a ＝(3,0)，则由b ＋c ＝2a ，设|b －a |＝|c －a |＝r ，则向量b ，c 对应的点分别在以(3,0)为圆心，r 为半径的圆上的直径两端运动，其中OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，并设∠BAH ＝θ，如图，易得点B 的坐标B (r cos θ＋3，r sin θ)，因为|b |＝|b －c |，所以|OB―→|＝|CB ―→|，则(r cos θ＋3)2＋(r sin θ)2＝4r 2，整理为r 2－2r cos θ－3＝0，∴cos θ＝r 2－32r，而|b －ta |(t ∈R)表示向量b 对应的点到动点(3t,0)的距离，向量|b －ta |(t ∈R)的最小值为向量b 对应的点到x 轴的距离d min ，即d min ＝|BH ―→|＝r sin θ＝r 1－cos 2θ＝－r 4＋10r 2－94＝4－r 2－524≤2，所以d min 的最大值是2，故选B.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f (x )的最小正周期为________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：因为f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝tan π4＋tan π61－tan π4·ta nπ6＝1＋331－33＝2＋ 3.答案：π 2＋ 312．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值为________，这时|PA ―→|＝________.解析：依题意得，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝2PA ―→·PD ―→＝－2|PA ―→|·|PD ―→|≥－2⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA ―→|＋|PD ―→|22＝－|AD ―→|22＝－12，当且仅当|PA ―→|＝|PD ―→|＝12时取等号，因此PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是－12.答案：－12 1213．(xx·绍兴模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2A ＋3sin 2A ＝2，b ＝1，S △ABC ＝32，则A ＝________，b ＋c sin B ＋sin C＝________. 解析：因为2cos 2A ＋3sin 2A ＝2，所以cos 2A ＋3sin 2A ＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A∈(0，π)，所以2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3，所以S △ABC ＝12bc sin π3＝32，所以bc ＝2，又b ＝1，所以c ＝2.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝5－2＝3，所以a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形，C ＝π2，所以sin B ＝12，sin C ＝1，所以b ＋c sin B ＋sin C ＝312＋1＝2.答案：π3214．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则a ·b ＝____，向量a 在b 方向上的射影为________．解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，|b |＝2，所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝52. 答案：5 5215．(xx·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cosA ，则B ＝________.解析：法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sinC cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ＞0，因此cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.法二：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及余弦定理，得2b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ＞0，cos B ＝12.又0＜B ＜π，所以B＝π3. 答案：π316．(xx·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e 1－e 2·e 1＋λe 2|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2， 故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案：3317．(xx·宁波质检)已知平面向量α，β(α≠0)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．解析：如图，设AC ―→＝α，AB ―→＝β，则在△ABC 中，∠ACB ＝60°，根据正弦定理得|α|sin ∠ABC ＝|β|sin 60°，即|α|＝sin ∠ABC sin 60°＝233sin ∠ABC ，由于0°<∠ABC <120°，所以0<sin ∠ABC ≤1，故0<|α|≤233. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，233三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)(xx·衢州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2B ＋3cos B －1＝0，且a 2＋c 2＝ac ＋b ＋2.(1)求边b 的长；(2)求△ABC 周长的最大值．解：(1)∵cos 2B ＋3cos B －1＝0，∴2cos 2B ＋3cos B －2＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)，又B ∈(0，π)，则B ＝π3，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又 a 2＋c 2＝ac ＋b ＋2，∴b 2－b－2＝0，解得b ＝2(b ＝－1，舍去)．(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝bsin B＝2sinπ3＝433， 则a ＋b ＋c ＝433(sin A ＋sin C )＋2＝433⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋2＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋32cos A ＋2＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋2，∴当A ＝π3时，周长取得最大值6.19．(本小题满分15分)(xx·深圳调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3(0≤x ≤5)，点A ，B分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点．(1)求点A ，B 的坐标以及OA ―→·OB ―→的值；(2)设点A ，B 分别在角α，β的终边上，求tan(α－2β)的值． 解：(1)∵0≤x ≤5，∴π3≤πx 6＋π3≤7π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3≤1.当πx 6＋π3＝π2，即x ＝1时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3＝1，f (x )取得最大值2；当πx 6＋π3＝7π6，即x ＝5时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6＋π3＝－12，f (x )取得最小值－1.因此，点A ，B 的坐标分别是A (1,2)，B (5，－1)． ∴OA ―→·OB ―→＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A (1,2)，B (5，－1)分别在角α，β的终边上，∴tan α＝2，tan β＝－15，∴tan2β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－151－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－512，∴tan(α－2β)＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－512＝292.20．(本小题满分15分)(xx·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，即sin B ＝4(1－cos B )，故17cos 2B －32cosB ＋15＝0，解得cos B ＝1517，cos B ＝1(舍去)．(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.21．(本小题满分15分)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx,1)，其中ω＞0，x ∈R.若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA ―→·BC ―→的值．解：(1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1. (2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3.∵BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b＝3，由正弦定理得3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12.∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6，∴C ＝π6，c ＝3，∴BA ―→·BC ―→＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.22．(本小题满分15分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝(sin B －sin C ，sin C －sin A )，b ＝(sin B ＋sin C ，sin A )，且a ⊥b .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝c ·cos A ，△ABC 的外接圆的半径为1，求△ABC 的面积．解：(1)∵a ＝(sin B －sin C ，sin C －sin A )，b ＝(sin B ＋sin C ，sin A )，且a ⊥b ， ∴(sin B －sin C )·(sin B ＋sin C )＋(sin C －sin A )·sin A ＝0，∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，由余弦定理知，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴2cos B ＝1，∴B ＝π3.(2)∵b ＝c ·cos A ，∴△ABC 是直角三角形，而B ＝π3，故A ＝π6，由a sin A ＝bsin B＝2R ，得asinπ6＝bsinπ3＝2，解得a ＝1，b ＝3，故S △ABC ＝12×3×1＝32.。
高考数学二轮复习专题 2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量专题综合检测卷二理( 时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)31．已知α为第二象限角， sinα＋cosα＝3，则 cos 2 α＝ ( A)5555A．－3B．－9 C.9 D.3分析： sinα ＋cosα＝33，1＋ sin 212两边平方可得α＝3?sin 2 α＝－3，∵α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，2215所以 cosα －sinα＝－（ cosα－sinα）＝－1＋3＝－3 .∴ cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα ＋sinα)(cosα－sinα)＝－5.32．在△中，内角，，C 所对的边分别是，，，已知 8＝5c，＝2，则 cosCABC A B a b c b C B ＝( A)77724A.25 B．－25 C．±25 D.25分析：∵8＝ 5 ，由正弦定理得8sin＝ 5sin .b c B C 又∵ C＝2B，∴ 8sin B＝5sin 2B.所以 8sin＝ 10sin cos．易知 sin≠0，B B B B∴ cos4＝ cos 2＝2cos27＝， cos－1＝ . B5C B B25．函数＝2π－是y2cos x－1( A) 34A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数πC．最小正周期为 2 的奇函数πD．最小正周期为的偶函数2分析： 因为y ＝ 2cos 2x － π － ＝ cos 2x － π ＝ sin 2 x 为奇函数， ＝ 2π ＝π 应选4 1 2 T 2.A.4．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 a ＝3， b ＝ 2， B ＝45°，则 A ＝( D)A ． 30°B ． 30°或 105°C ． 60°D． 60°或 120°5. (2014 ·安徽卷 ) 若将函数 f ( x ) ＝sin 2 x ＋ cos 2 x 的图象向右平移 φ 个单位，所得图象对于 y 轴对称，则 φ 的最小正当是 ( C)π π 3π 3π A.8 B.4 C.8 D.4分析： 由题意 f ( x ) ＝ sin2x ＋ cos 2x ＝ 2sin 2 ＋π，将其图象向右平移φ 个单位，4x得 2sin 2（ x － φ）＋π ＝ 2sin 2x － 2φ ＋π ，要使图象对于 y 轴对称，则π － 2φ＝π44 42πk πφ取最小正当3π＋k π，解得 φ＝－ －，当 k ＝－ 1 时， .应选 C.828 6．(2015 ·新课标Ⅰ卷 ) 已知点 (0 ，1) ， (3 ，2) ，向量 →＝ ( － 4，－ 3) ，则向量 → ＝ABACBC( A)A ． ( －7，－ 4)B ．(7 ，4)C ． ( －1， 4)D．(1 ，4)→分析： 解法一：设C ( x ，y ) ，则 AC ＝ ( x ， y －1) ＝ ( － 4，－ 3) ，所以 x ＝－ 4，→－ 4，－ 2) － (3 ，2) ＝ ( － 7，－ 4) ．应选 A.y ＝－ 2， 进而 BC ＝ (→→ → → － (3 ，1)＝( －7，－解法二： AB ＝ (3 ，2) － (0 ，1) ＝ (3 ，1) ，BC ＝ AC － AB ＝ ( － 4，－ 3) 4) ．应选 A.7．在△ ABC 中， a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝ ( b － c ，c － a ) ，n ＝ ( b ， c ＋a ) ，若向量 m ⊥ n ，则角 A 的大小为 ( B)ππA. 6B. 3 π D.2πC.32分析： ∵ m ＝ ( b － c ， c － a ) ，n ＝ ( b ， c ＋ a ) 且 m ⊥ n ，∴ m ·n ＝ ( b － c ， c － a ) ·(b ， c ＋a ) ＝ b ( b －c ) ＋ c 2－a 2 ＝0，即 b 2＋ c 2－a 2＝ bc ，又∵ cos A ＝ b 2＋ 2－ a 2 1c ＝ bc ＝ ， 0＜ A ＜π，2bc 2bc 2∴ ＝π .A38．设 0≤ x ＜ 2π，且 1－ sin 2 x ＝ sin x － cos x ，则 x 的取值范围是 ( B) A ． 0≤x ≤π B.π5π≤ x ≤44π 7ππ3πC. 4 ≤ x ≤ 4D.2 ≤ x ≤29．(2015 ·新课标Ⅰ卷 ) 设 D 为△ ABC 所在平面内一点， →→BC ＝ 3CD ，则 ( A)→1→4→→1→4→A. AD ＝－ 3AB ＋ 3ACB. AD ＝ 3AB － 3AC→4→ 1→→ 4→1→C. AD ＝ 3AB ＋ 3ACD. AD ＝ 3AB － 3AC→→→→1→→ 分析： AD ＝ AC ＋ CD ＝ AC ＋ BC ＝AC ＋ 31 → → 4→ 1→1→ 4→ 应选 A.3 ( AC － AB ) ＝ AC － AB ＝－AB ＋ AC .3 33310．(2015 ·新课标Ⅰ卷 0) 是双曲线 x 2212) 已知 M ( x ，y C ： 2 － y ＝ 1 上的一点， F ，F 是 C→ →的两个焦点．若 MF 1·MF 2＜ 0，则 y 0 的取值范围是 ( A)3333A.－3，3B.－6，62 22 22 3 2 3C.－3，3D.－ 3 ， 3 分析： 由题意知＝ 2， ＝ 1， ＝ 3，ab c∴ F 1( － 3， 0)，F 2(3，0) ，∴→1＝( －3－x 0，－ y 0)，→2＝(3－ 0，－y 0)．MFMFx→→∵ MF 1· MF 2＜ 0，∴ ( － 3－ x 0)(23－ x 0) ＋y 0＜ 0，22即 x 0－ 3＋ y 0＜ 0.∵ 点 M ( x ， y ) 在双曲线上，2x 0222∴ 2 － y 0＝1，即 x 0 ＝ 2＋ 2y 0 ，∴2＋2223 3y 0－ 3＋ y 0＜ 0，∴ － ＜ y 0＜ . 应选 A.3 332π11．已知 tan α＝－ 5，则 cos4 ＋ α ＝ ( A)16 15 9 8A.B. C.D.1717 17 17112．若向量 a 、b 知足 | a | ＝ | b | ＝ 1，且 ( a ＋ b ) · b ＝ 2，向量 a 、b 的夹角为 ( B)π 2π π5π A. 3 B.3C. 6D. 6二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上)13．设△的内角， ， C 所对的边分别为， ， ，若( ＋ － )( ＋ ＋ ) ＝ ab ，ABCABa bca bc a bc则角 ＝ 2π ．C 3分析： 由 ( a ＋ b － c )( a ＋ b ＋ c ) ＝ ab ? a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，依据余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 212π2ab ＝－ 2? C ＝ 3.14．(2015 ·新课标Ⅱ卷 ) 设向量 a ，b 不平行， 向量 λa ＋ b 与 a ＋ 2b 平行，则实数 λ ＝1 2．分析： ∵ λa ＋b 与 a ＋ 2b 平行，∴λa ＋ b ＝ t ( a ＋ 2b ) ，λ＝ t ，1，即 λa ＋ b ＝ ta ＋ 2tb ，∴λ＝ 21＝2 ，解得1tt ＝ 2.5π15．当函数 y ＝sinx － 3cos x ( 0≤ x ＜ 2π ) 获得最大值时， x ＝ 6 ．分析： y ＝ sin x － 3cos x ＝ 2sin x －π ，3π π 5π0≤ x ＜2π ? －3 ≤ x － 3 ＜ 3 ，π可知－ 2≤2sin x － 3 ≤ 2.当且仅当 x －π π5π＝时，即 x ＝时获得最大值．32616．(2014 ·江苏卷 ) 若△的内角知足 sin ＋ 2sin ＝2sin ，则 cosC 的最小ABCABC值是 6－ 2．4a 2＋b 2－c 2分析：由已知 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C 及正弦定理可得 a ＋ 2b ＝ 2c ，cos C ＝2ab2 2a ＋ 2b2＝a ＋ b －2＝3a 2＋ 2b 2－ 2 2ab ≥ 2 6ab － 2 2ab ＝ 6－ 2，当且仅当 32＝2 2即2ab8ab8ab4aba2b＝3时等号建立．三、解答题 ( 本大题共6 小题，共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分)(2015 ·茂名一模 ) 设锐角三角形 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a ＝ 2b sin A .(1) 求角 B 的大小；(2) 若 a ＝ 3 3， c ＝ 5，求△ ABC 的面积及 b .分析： (1) ∵ a ＝2b sinA ，由正弦定理得 sin A ＝ 2sinB sin A ，因为 sinA ≠ 0，1 故有 sinB ＝ ，又∵ B 是锐角，2∴B ＝30°.(2) 依题意得：△ ABC＝11 1 15 3 2acsin 30 °＝ × 33×5× ＝4，S 22222∴由余弦定理 b ＝a ＋ c － 2ac cos B 可得＝ 27＋25－ 45＝7，∴＝ 7.b18． (12 分 ) 已知函数f（ sin x － cos x ） sin 2 x.( ) ＝xsin x(1) 求 f ( x ) 的定义域及最小正周期；(2) 求 f ( x ) 的单一递加区间．（ s in x － cos x ） sin 2 x分析： f ( x ) ＝ sin x＝（ sin x － cos x ） 2sin cos xx － cos x )cos x ＝ sin 2x － 1 － cos 2 x ＝ 2sin x＝ 2(sinπsin 2x － 4 － 1， { x | x ≠ k π， k ∈ Z}(1) 原函数的定义域为 { x | x ≠ k π， k ∈ Z} ，最小正周期为π .π3π(2) 原函数的单一递加区间为－ 8 ＋k π， k π ， k π，8 ＋ k π ( k ∈Z) ．19． (12 分 ) 函数 f ( x ) ＝6cos 2ωx3cos ω x － 3( ω ＞ 0) 在一个周期内的图象如图所2＋示， A 为图象的最高点， B ， C 为图象与 x 轴的交点，且△ ABC 为正三角形．(1) 求 ω 的值及函数 f ( x ) 的值域；) ＝ 8 30－ 10 ， 2 0的值．(2) 若 f ( x 5 ，且 x ∈3 3 ，求 f ( x ＋ 1)分析： (1) 由已知可得： f ( x ) ＝ 6cos 2ωx ＋ 3cos ωx － 3＝ 3cos ω x ＋3sin ωx ＝22 3sin ωx＋π3 ( ω＞ 0) ．又因为正三角形 ABC 的高为 2 3，则 BC ＝ 4，所以，函数f ( x ) 的周期T ＝4×2＝ 8，即2π ω ＝ 8，得 ω＝π 4 .所以，函数f ( x ) 的值域为 [ －2 3，23 ]．8 3(2) 因为 f ( x 0) ＝ 5 ，由 (1) 有π x 0＋ π8 3f ( x 0) ＝ 2 3sin＝ ， 4 3 5π x 0 π 4即 sin4 ＋ 3 ＝ 5.－ 10 2 π x 0 π－ π π 0 ， ，得 ＋ 3 ∈ ，2 ， 由 x ∈3 34 2πx 0 π4 23所以，即 cos 4 ＋ 3 ＝1－ 5 ＝ 5 .故 f ( x 0＋1) ＝ 2 3sin π x 0 π π＋ 4 ＋4 3＝ 2 3sinπ x 0 ππ＋＋ 443＝ 2 3 sin π x 0 π ππ x 0π π＋ cos ＋ cos＋3sin4 3 44 4423276＝ 2 35×2＋5×2 ＝ 5 .→ →→ →20． (12 分 ) 在△ ABC 中，已知 AB · AC ＝ 3BA · BC .(1) 求证： tan B ＝ 3tan A ；5(2) 若 cos C ＝ 5 ，求 A 的值．→ → → →分析： (1) ∵ AB · AC ＝ 3BA · BC ，∴ AB · AC ·cosA ＝ 3BA · BC · cosB ，即 AC · cos A ＝3BC · cos B .AC BC由正弦定理，得sin B ＝sin A ，∴ sin B · cos A ＝ 3sin A · cos B .又∵ 0＜ A ＋ B ＜π，∴ cos A ＞ 0，cos B ＞ 0.sin B sin A B ＝ 3tan A .∴cosB ＝3· cos A ，即 tan5(2) ∵ cos C ＝ ， 0＜ C ＜π，5∴ sin ＝1－5 22 5 . ＝ C5 5∴ tan C ＝ 2.∴ tan[ π－ ( A ＋B )] ＝ 2，即 tan( A ＋B ) ＝－ 2.tan A ＋ tan B＝－ 2.∴1－ tan · tan AB4tan AA ＝－ 2，由 (1) ，得 1－ 3tan 21解得 tan A ＝ 1 或 tanA ＝－ 3.π∵ cos A ＞ 0，∴ tan A ＝1.∴A ＝ 4.21． (12 分 ) 已知函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ a cos x 的图象经过点π .－ ， 0 3(1) 务实数 a 的值；(2) 求函数 f ( x ) 的最小正周期与单一递加区间．分析： (1) 因为函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ a cos x 的图象经过点－ π， 0 ，所以 f－π＝0.33即 sin －π ＋ a cos －π3＝ 0.33 a即－ 2 ＋ 2＝0.解得 a ＝ 3.(2) 由 (1) 得，f ( x ) ＝sin x ＋3cos x ＝ 2 1 ＋ 3x2sin x2 cosππ＝ 2 sinx cos 3 ＋ cos x sin 3π＝ 2sinx ＋ 3 .所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π.π π因为函数 y ＝ sin x 的单一递加区间为 [2 k π－ 2 ， 2k π＋ 2 ]( k ∈Z) ，π π π所以当 2k π－ 2 ≤ x ＋ 3 ≤2 k π＋ 2 ( k ∈Z) 时，函数 f ( x ) 单一递加，5ππ即 2k π－ 6 ≤x ≤ 2k π＋ 6 ( k ∈Z) 时，函数 f ( x ) 单一递加．5π π 所以函数 f ( x ) 的单一递加区间为 2k π－ 6 ， 2k π＋ 6( k ∈Z) ．22． (12 分 ) 已知向量＝ 2cosx，1 ， ＝ sin x， 1 ( ∈ R)，设函数 f ( ) ＝ －1.m2 n 2 x x m ·n(1) 求函数 f ( x ) 的值域；(2) 已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若53f ( A ) ＝ 13， f ( B ) ＝ 5，求f ( C )的值．分析： (1)f ( x ) ＝ m ·n － 1＝2cosx 2， 1·sinx2， 1－ 1＝ 2cosx 2sinx2＋1－ 1＝ sin x .∵ x ∈ R ，∴函数 f ( x ) 的值域为 [ －1， 1] ．53(2) ∵ f ( A ) ＝ 13， f ( B ) ＝5，53∴ sinA ＝ 13，sinB ＝ 5.212∵ A ，B 都为锐角，∴ cos A ＝ 1－ sin A ＝13，24cos B ＝1－sinB ＝ .5∴ f ( C ) ＝ sin C ＝ sin [ π－（ A ＋ B ） ] ＝ sin( A ＋B ) ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝ 135×45＋12 3 5613× 5＝ 65.56∴ f ( C ) 的值为 .65。
智才艺州攀枝花市创界学校三角函数、解三角形与平面向量本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】∵x2≤1⇔－1≤x≤1，∴∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】D2．(2021·高考)函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]【解析】由得，函数定义域为[0,1)．【答案】B3．(2021·高考)f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，那么“f(x)为[0,1]上的增函数〞是“f(x)为[3,4]上的减函数〞的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件【解析】①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数．又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数．由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数〞是“f(x)为[3,4]上的减函数〞的充要条件．【答案】D4．f(x)＝sin2，假设a＝f(lg5)，b＝f，那么()A．a＋b＝0 B．a－b＝0C．a＋b＝1 D．a－b＝1【解析】f(x)＝＝，∴a＝＋，b＝＋＝－.因此，a＋b＝1.【答案】C5．(2021·高考)“对任意x∈R，都有x2≥0”的否认为()A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x≥0D．存在x0∈R，使得x<0【解析】因为“∀x∈M，p(x)〞的否认是“∃x∈M，綈p(x)〞，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否认是“存在x0∈R，使得x<0”．【答案】D6．在△ABC中，假设sin2A＋sin2B＜sin2C，那么△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】由正弦定理，得a2＋b2<c2，∴cos C＝<0，那么C为钝角，故△ABC为钝角三角形．【答案】C7．(2021·高考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，假设f(x)，g(x)的图象都经过点P，那么φ的值可以是()A. B.C. D.【解析】∵P在f(x)的图象上，∴f(0)＝sinθ＝.∵θ∈，∴θ＝，∴f(x)＝sin，∴g(x)＝sin.∵g(0)＝，∴sin＝.验证，φ＝π时，sin＝sin＝sin＝成立．【答案】B8．(2021·高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.假设b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，那么角C＝()A.B.C.D.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.【答案】B9．假设非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，那么a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－b2，设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|，∴cosθ＝＝＝－，∴θ＝120°.【答案】C10．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，那么()A．f(x)在(0，)单调递减B．f(x)在(，)单调递减C．f(x)在(0，)单调递增D．f(x)在(，)单调递增【解析】∵f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ＋)，又∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ＋)．由f(x)＝f(－x)知f(x)是偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝cos2x.由0<2x<π知0<x<时，f(x)单调递减．应选A.【答案】A11．(2021·高考)设变量x，y满足约束条件那么目的函数z＝y－2x的最小值为()A．－7 B．－4C．1 D．2【解析】可行域如图阴影局部(含边界)令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z获得最小值．由得A(5,3)．∴z最小＝3－2×5＝－7.【答案】A12．(2021·课标全国卷Ⅱ)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下结论中错误的选项是()A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝0【解析】假设c＝0，那么有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，假设x0是f(x)的极小值点，那么极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0)单调递减是错误的，D正确．第二卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上)13．(2021·高考)设f(x)＝sin3x＋cos3x，假设对任意实数x都有|f(x)|≤a，那么实数a的取值范围是________．【解析】由于f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin，那么|f(x)|＝2≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，那么a≥2.【答案】[2，＋∞)14．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，假设a＝e1＋3e2，b＝2e1，那么向量a在b方向上的射影为________．【解析】由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以a在b方向上的射影为|a|·cos<a，b>＝＝.【答案】15．(2021·高考)点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．假设平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，那么D的面积为________．【解析】设P(x，y)，且＝(2,1)，＝(1,2)．∴＝＋＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴∴又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的间隔d＝.又|BN|＝.∴区域D的面积S＝×＝3.【答案】316．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．假设sin∠BAM＝，那么sin∠BAC＝________.【解析】因为sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．化简，得2sin∠BAC cos∠BAC－cos2∠BAC＝1.所以＝1，解得tan∠BAC＝.再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(本小题总分值是10分)函数f(x)＝A sin(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的间隔为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0，)，f()＝2，求α的值．【解】(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的间隔为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－)＋1.(2)∵f()＝2sin(α－)＋1＝2，∴sin(α－)＝.∵0<α<，∴－<α－<，∴α－＝，∴α＝.18．(本小题总分值是12分)(2021·高考)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，(1)求cos A的值；(2)求c的值．【解】(1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理得＝.所以＝.故cos A＝.(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2A－1＝.所以sin B＝＝.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.所以c＝＝5.19．(本小题总分值是12分)(2021·高考)函数f(x)＝cos，x∈R.(1)求f的值；(2)假设cosθ＝，θ∈，求f.【解】(1)因为f(x)＝cos，所以f＝cos＝cos＝cos＝×＝1.(2)因为θ∈，cosθ＝，所以sinθ＝－＝－＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝－.所以f＝cos＝cos＝×＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.20．(本小题总分值是12分)向量a＝(cos，sin)，b＝(－sin，－cos)，其中x∈[，π]．(1)假设|a＋b|＝，求x的值；(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，假设c>f(x)恒成立，务实数c的取值范围．【解】(1)∵a＋b＝(cos－sin，sin－cos)，∴|a＋b|＝＝，由|a＋b|＝，得＝，即sin2x＝－.∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.因此2x＝π＋或者2x＝2π－，即x＝或者x＝.(2)∵a·b＝－cossin－sincos＝－sin2x，∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin2x，∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin2x≤0，∴2≤f(x)＝2－3sin2x≤5，∴[f(x)]max＝5.又c>f(x)恒成立，因此c>[f(x)]max，那么c>5.∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．21．(本小题总分值是12分)(2021·高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，cos2A －3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)假设△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin B sin C的值．【解】(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0.解得cos A＝或者cos A＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.(2)由S＝bc sin A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理，得sin B sin C＝sin A·sin A＝·sin2A＝×＝.22．(本小题总分值是12分)函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．假设曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有一样的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)假设x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．【解】(1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，∴b＝d＝2.∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4.∵g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，那么F′(x)＝(k e x－1)(2x＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①假设1≤k＜e2，那么－2＜x1≤0，从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②假设k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)，故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③假设k＞e2，那么F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述k的取值范围为[1，e2]．。
平面向量、三角函数与解三角形(6)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2023·全国甲卷(理)]已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，|c |＝2，且a ＋b ＋c ＝0，则cos 〈a －c ，b －c 〉＝( )A ．－45B ．－25C ．25D ．452．已知平面向量a ＝(1－x ，3＋x )，b ＝(2，1＋x )，若a ·b ＝4，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π23．已知sin θ＋cos θ＝－15，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ＝( )A ．15B ．－15C ．75D ．－754．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋π6)－1(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为π2，则下列点的坐标为f (x )的对称中心的是( )A ．(π12，－1)B ．(π12，0)C ．(－π12，－1)D ．(－π12，0)5．若在△ABC 中，2a ·cos B ＝c ，则三角形的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 6．在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝6，BC ＝5，则AB →·BC →＝( ) A ．－153B ．－30C ．－15D ．15 7．函数y ＝x sin xe|x |的图象大致为( )8．[2023·全国甲卷(理)]函数y ＝f (x )的图象由函数y ＝cos (2x ＋π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y ＝f (x )的图象与直线y ＝12x －12的交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．已知偶函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)－3cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在(0，1)上恰有2个极大值点，则实数ω的取值范围为( )A ．(2π，4π] B．(3π，4π] C．(4π，6π] D．(3π，5π] 10．已知函数f (x )＝tan (2x ＋π4)，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的最小正周期为πB．f (x )的定义域为{x |x ≠π8＋k π2，k ∈Z } C ．f (x )的图象关于点(－π8，0)对称D ．f (x )在(0，π8)上单调递增11．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则下列说法错误的是( )A ．AB ＝4 2 B ．△ABC 的面积为1 C ．△ABC 外接圆直径是5 2D ．△ABC 内切圆半径是6－4 212．已知函数f (x )＝sin (2x ＋π3)，先将y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再将图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列选项错误的是( )A ．g (x )＝sin (12x ＋π6)B ．g (x )的图象关于x ＝－7π2对称C ．g (x )的最小正周期为4πD．g (x )在(－3π，－3π2)上单调递减[答题区]13．已知θ为第二象限角，若tan (θ＋π4)＝12，则sin θ＋cos θ的值为________．14．已知sin (x ＋π4)＝13，x ∈(0，π)，则sin x ＝________．15．已知a >0，b >0，向量m ＝(a ＋2b ，－9)，n ＝(8，ab )，若m ⊥n ，则2a ＋b 的最小值为________.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2c sin B ＝(2a ＋c )tan C ，b sin A sin C ＝3sin B ，则△ABC 面积的最小值是________．平面向量、三角函数与解三角形（6）1．D ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，等式两边同时平方得2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ，∴a ·b ＝0.方法一 又a －c ＝a －（－a －b ）＝2a ＋b ，b －c ＝b －（－a －b ）＝a ＋2b ，∴（a －c ）·（b －c ）＝（2a ＋b ）·（a ＋2b ）＝2a 2＋5a ·b ＋2b 2＝4，且|a －c |＝|2a ＋b |＝（2a ＋b ）2＝4＋1＝5，|b －c |＝|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝1＋4＝5，∴cos〈a －c ，b －c 〉＝（a －c ）·（b －c ）|a －c |·|b －c |＝45，故选D.方法二 如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝c ，∴CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，而|AB |＝2，|AC |＝|BC |＝5，在△ABC 中，由余弦定理得cos 〈a －c ，b －c 〉＝cos 〈CA →，CB →〉＝cos∠ACB ＝5＋5－225×5＝45，故选D. 方法三 如图（图同方法二），令向量a ，b 的起点均为O ，终点分别为A ，B ，以OA →，OB→分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则a ＝（1，0），b ＝（0，1），c ＝－a －b ＝（－1，－1），∴a －c ＝（2，1），b －c ＝（1，2），则cos 〈a －c ，b －c 〉＝（a －c ）·（b －c ）|a －c |·|b －c |＝2＋25×5＝45，故选D. 2．B 由a ·b ＝4可得2（1－x ）＋（3＋x ）（1＋x ）＝4，即x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，所以a ＝（2，2），b ＝（2，0），则cos 〈a ，b 〉＝422×2＝22.又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π4.故选B.3．C （sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，2sin θcos θ＝－2425<0，∵θ∈（0，π），∴θ∈（π2，π），sin θ>cos θ，（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝4925，所以sin θ－cos θ＝75.故选C.4．C ∵f （x ）两条相邻对称轴之间的距离为π2，∴f （x ）最小正周期T ＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x ＋π6）－1，令2x ＋π6＝k π（k ∈Z ），解得x ＝k π2－π12（k ∈Z ），此时f （x ）＝－1，∴f （x ）的对称中心为（k π2－π12，－1）（k ∈Z ），当k ＝0时，f （x ）的一个对称中心为（－π12，－1）.故选C.5．B 由2a ·cos B ＝c 以及余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ，化简得a ＝b ，所以三角形的形状一定是等腰三角形．故选B.6．C AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos （180°－60°）＝6×5×（－12）＝－15.故选C.7．D 令f （x ）＝x sin xe|x |，该函数的定义域为R ，f （－x ）＝－x sin （－x ）e |－x |＝x sin xe|x |＝f （x ），所以，函数y ＝x sin xe|x |为偶函数，排除AB 选项；当0<x <π时，sin x >0，则y ＝x sin xe|x |>0，排除C 选项．故选D.8．C 把函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位长度后得到函数f （x ）＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x 的图象．作出函数f （x ）的部分图象和直线y＝12x －12如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C.9．D f （x ）＝sin （ωx ＋φ）－3cos （ωx ＋φ）＝2sin （ωx ＋φ－π3），因为|φ|<π2，则－5π6<φ－π3<π6，故f （0）＝2sin （φ－π3），又函数f （x ）为偶函数，故φ－π3＝－π2，解得φ＝－π6，故f （x ）＝2sin （ωx －π2）＝－2cos ωx ，因为函数f （x ）在（0，1）上恰有2个极大值，故当x ＝1时，3π<ω×1≤5π，即3π<ω≤5π.故选D.10．A 由题意，函数f （x ）＝tan （2x ＋π4），可得f （x ）的最小正周期为T ＝π2，所以A 不正确；令2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，即函数f （x ）的定义域为{x |x ≠π8＋k π2，k ∈Z }，所以B 正确；令2x ＋π4＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝－π8＋k π4，k ∈Z ，当k ＝0时，可得x ＝－π8，所以函数f （x ）的图象关于点（－π8，0）对称，所以C 正确；由x ∈（0，π8），可得2x ＋π4∈（π4，π2），根据正切函数的性质，可得函数f （x ）在（0，π8）上单调递增，所以D 正确．故选A. 11．B cos C ＝2cos 2C 2－1＝－35，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝25＋1＋6＝32，故AB＝42，A 正确；sin C ＝1－cos 2C ＝45，故S △ABC ＝12BC ·AC ·sin C ＝2，B 错误；由正弦定理知，外接圆直径为AB sin C ＝4245＝52，C 正确；设内切圆半径为r ，则12r ·AB ＋12r ·AC ＋12r ·BC＝S △ABC ，则r ＝2×21＋5＋42＝6－42，D 正确．故选B.12．A 对于A 选项，将y ＝f （x ）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，可得到函数y ＝sin （12x ＋π3）的图象，再将所得图象向右平移π6个单位长度，可得到函数g （x ）＝sin [12（x －π6）＋π3]＝sin （12x ＋π4）的图象，A 错；对于B 选项，g （－7π2）＝sin （－7π4＋π4）＝sin （－3π2）＝1，B 对；对于C 选项，函数g （x ）的最小正周期为T ＝2π12＝4π，C 对；对于D 选项，当－3π<x <－3π2时，－5π4<12x ＋π4<－π2，所以，函数g （x ）在区间（－3π，－3π2）上单调递减，D 对．故选A.13．答案：－105解析：由tan （θ＋π4）＝tan θ＋11－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，即sin θcos θ＝－13，即3sin θ＋cos θ＝0，根据角θ在第二象限，由3sin θ＋cos θ＝0sin 2θ＋cos 2θ＝1解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105. 14．答案：2＋46解析：由x ∈（0，π），可得x ＋π4∈（π4，5π4），因为sin （x ＋π4）＝13<22＝sin π4，所以x ＋π4∈（π2，3π2），所以cos （x ＋π4）＝223，又由sin x ＝sin [（x ＋π4）－π4]＝22sin （x ＋π4）－22cos （x ＋π4）＝22×13－22×223＝2＋46.15．答案：8解析：根据题意，向量m ＝（a ＋2b ，－9），n ＝（8，ab ），若m ⊥n ，则m ·n ＝8（a ＋2b ）－9ab ＝0，即8（a ＋2b ）＝9ab ，变形可得1b ＋2a ＝98，则2a ＋b ＝89×98（2a ＋b ）＝89×（1b ＋2a ）（2a ＋b ）＝89×（5＋2a b ＋2b a ），又由a >0，b >0，则2a b ＋2b a ＝2（a b ＋ba ）≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，则2a ＋b ＝89×（5＋2a b ＋2b a ）≥89×（5＋4）＝8，则2a ＋b 的最小值为8.16．答案：3 3解析：由正弦定理得2sin C sin B ＝（2sin A ＋sin C ）tan C ，∴2sin C sin B ＝（2sin A ＋sin C ）sin Ccos C，∵sin C ≠0，∴2cos C sin B ＝2sin A ＋sin C ，∴2cos C sin B ＝2sin （B ＋C ）＋sin C ，∴2sin C cos B ＝－sin C ，∴cos B ＝－12，又∵0<B <π，∴B ＝2π3，由b sin A sin C ＝3sin B 可知，b sin A sin C ＝2×32sin B ，b sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得abc ＝2b 2，即2b ＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，即a 2＋c 2＝b 2－ac ，b 2－ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，则a 2c 24－ac ≥2ac ，即ac ≥12，当且仅当a ＝c ＝23时取等号，则S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≥3 3.。
三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与 θ终边同样 (α的终边在 θ终边所在的射线上 )? α＝ θ＋ 2k π(k ∈ Z )，注意： 相等的角的终边必定同样，终边同样的角不必定相等．随意角的三角函数的定义：设α是随意一个角， P(x ， y)是 α的终边上的随意一点 (异于原点 ) ，它与原点的距离是 r ＝ x 2＋y 2>0，那么 sin α＝ y ，cos α＝ x ，tan α＝ y(x ≠ 0)，三角函数值只与角r r x 的大小相关，而与终边上点P 的地点没关．[问题 1] 已知角 α的终边经过点 P(3，－ 4)，则 sin α＋ cos α的值为 ________．答案 －152．同角三角函数的基本关系式及引诱公式 (1) 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1.sin α (2) 商数关系： tan α＝.cos α(3) 引诱公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限－ απ－ απ＋ α2π－ απ－ α2sin －sin α sin α －sin α － sin α cos α cos cos α － cos α－ cos αcos αsin α9π 7π [问题 2] cos ＋ tan － ＋ sin 21 π的值为 ___________________________ ．46答案22－333．三角函数的图象与性质 (1) 五点法作图；π(2) 对称轴： y ＝sin x ， x ＝ k π＋ 2， k ∈Z ；y ＝ cos x ， x ＝ k π，k ∈ Z ；π k π 对称中心： y ＝ sin x ，( k π，0) ，k ∈ Z ；y ＝ cos x ， k π＋ ， 0 ，k ∈ Z ； y ＝tan x ，，0 ，k ∈ Z .22(3) 单一区间：y ＝ sin x 的增区间： π π－ ＋2k π， ＋ 2k π ( k ∈Z )，2 2 π 3π＋ 2k π，＋ 2k π(k ∈ Z )；减区间： 22y ＝ cos x 的增区间： [－ π＋ 2k π，2k π] (k ∈ Z )， 减区间： [2k π， π＋ 2k π] k(∈ Z )；π πy ＝ tan x 的增区间： － ＋ k π， ＋ k π (k ∈ Z )．22(4) 周期性与奇偶性：y ＝ sin x 的最小正周期为 2π，为奇函数； y ＝ cos x 的最小正周期为 2π，为偶函数； y ＝ tan x 的 最小正周期为 π，为奇函数．易错警告： 求 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的单一区间时，简单出现以下错误：(1) 不注意 ω的符号，把单一性弄反，或把区间左右的值弄反；(2) 忘记写＋ 2k π，或＋ k π等，忘记写 k ∈ Z ；π (3) 书写单一区间时，错把弧度和角度混在一同．如[0,90 ]°应写为0，2 .[问题 3]函数 y ＝ sin － 2x ＋ π的递减区间是 ________．3π 5 答案k π－ 12， k π＋ 12π(k ∈ Z )4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式令α＝βsin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β――→sin 2α＝2sin αcos α.令 α＝βcos(α±β)＝ cos αcos β?sin αsin β――→ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－2sin 2α.tan(α±β)＝ tan α±tan β1?tan .αtan β21＋ cos 2α21－ cos 2α2tan αcos α＝2， sin α＝， tan 2α＝2 .21－ tan α在三角的恒等变形中，注意常有的拆角、拼角技巧，如：α＝ (α＋ β)－β， 2α＝ (α＋ β)＋ (α－β)，1α＝ 2[( α＋ β)＋ (α－ β)] ．π π π πα＋ ＝ (α＋ β)－ β－ ， α＝ α＋ － .44443π3 π 12 π[问题 4] 已知 α，β∈ 4 ，π， sin( α＋ β)＝－ 5， sin β－ 4 ＝13，则 cos α＋4 ＝ ________.答案－ 56655．解三角形(1) 正弦定理： a ＝ b ＝ c＝ 2R( R 为三角形外接圆的半径 )．注意： ①正弦定理的一些变 sin A sinB sin C式： (ⅰ )a ∶ b ∶ c ＝ sin A ∶ sin B ∶sin C ；(ⅱ )sin A ＝ a ，sin B ＝ b ，sin C ＝ c；(ⅲ )a ＝ 2Rsin A ，2R 2R 2Rb ＝ 2Rsin B ，c ＝ 2Rsin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要联合详细状况进行弃取．在△ABC 中 A>B? sin A>sin B.222(2) 余弦定理： a 2＝ b 2＋c 2－2bccos A ，cos A ＝ b ＋ c － a 等，常采用余弦定理判定三角形的形状．2bc[问题 5]在△ ABC 中， a ＝ 3， b ＝ 2， A ＝ 60°，则 B ＝ ________.答案45°6．向量的平行与垂直设 a ＝ (x 1， y 1)， b ＝ (x 2， y 2)，且 b ≠0，则 a ∥ b ? b ＝ λa ? x 1y 2－x 2y 1＝ 0.a ⊥b (a ≠ 0)? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0.0 当作与随意愿量平行，特别在书写时要注意，不然有质的不一样．[问题 6]以下四个命题：①若 |a |＝0，则 a ＝ 0；②若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b 或 a ＝－ b ；③若 a ∥b ，则 |a |＝ |b |；④若 a ＝ 0，则－ a ＝ 0.此中正确命题是 ________．答案 ④7．向量的数目积 |a |2＝ a 2＝ a ·a ，a ·b ＝ |a||b |cos θ＝ x 1x 2＋ y 1 y 2，cos θ＝ a ·b ＝x 1x 2 ＋y 1 y 2 ，|a||b |x 12＋ y 12 x 22＋ y 22a ·b ＝ x 1x 2＋ y1y 2a 在b 上的投影＝ |a |cos 〈 a ， b 〉＝ |b|x 22＋ y 22 .注意 ：〈a ， b 〉为锐角 ? a ·b >0 且 a 、 b 不一样向；〈 a ， b 〉为直角 ? a ·b ＝ 0 且 a 、 b ≠0；〈 a ， b 〉为钝角 ? a ·b <0 且 a 、 b 不反向．易错警告： 投影不是 “影 ”，投影是一个实数，能够是正数、负数或零．[问题 7]已知 |a |＝ 3， |b |＝ 5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 ________．12答案58．当 a ·b ＝ 0 时，不必定获得 a ⊥ b ，当 a ⊥ b 时， a ·b ＝ 0；a ·b ＝ c ·b ，不可以获得 a ＝c ，消去律不建立； ( a ·b )c 与 a ( b ·c )不必定相等， (a ·b )c 与 c 平行，而 a ( b ·c )与 a 平行．[问题 8]以下各命题：①若 a ·b ＝ 0，则 a 、b 中起码有一个为＝ c ；③对随意愿量 a 、 b 、 c ，有 (a ·b ) c ≠a (b ·c )；④对任一直量0；②若 a ≠0， a ·b ＝a ·c ，则22a ，有 a ＝ |a | .此中正确命题是b________．答案④9．几个向量常用结论：→ → →① PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0? P 为 △ ABC 的重心；→→ → → →→② PA ·PB ＝PB ·PC ＝ PC ·PA? P 为 △ABC 的垂心；→→ABAC③向量 λ( → ＋ → ) ( λ≠ 0)所在直线过 △ ABC 的心里；|AB| |AC|→ → →④ |PA|＝ |PB|＝ |PC|? P 为 △ ABC 的外心．易错点 1 图象变换方向或变换量掌握禁止致误例 1 要获得 y ＝ sin(－ 3x)的图象， 需将 y ＝ 22(cos 3x －sin 3x)的图象向 ______平移 ______ 个单位 (写出此中的一种特例即可 )．错解 右π π或右1242π 找准失分点 y ＝ 2 (cos 3x － sin 3x)＝ sin 4－ 3x＝ sin － 3 x － π .12π题目要求是由 y ＝ sin － 3x ＋ 4 → y ＝ sin(－ 3x)．ππ右移 平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了．412正解y ＝2π－ 3x2 (cos 3x －sin 3x)＝sin 4π＝ sin － 3 x － 12 ，ππ 2要由 y ＝ sin － 3 x － 12 获得 y ＝ sin( －3x)只要对 x 加上 12即可，因此是对 y＝2 (cos 3x － sin 3x)π 向左平移 12个单位．答案左π12易错点 2忽略隐含条件的发掘致误例 2ππ已知 cos α＝ 1， sin(α＋ β)＝ 5 3， 0< α< ， 0<β<，求 cos β.71422错解由ππ0<α<， 0<β< ，得 0<α＋β<π，2 211则 cos(α＋β)＝ ± .141 π4 3由 cos α＝ 7，0< α<2，得 sin α＝ 7.71 1 故 cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]＝ cos(α＋β)cos α＋sin( α＋ β)·sin α＝或 .98 2找准失分点由 0<α＋ β<π，且 sin( α＋ β)＝ 5 33，14<2 π 2π 1 1∴ 0<α＋ β< 或<α＋ β<π，又 cos α＝ < ，337 2π π 2π 11∴ <α< ，即 α＋ β∈，π， ∴ cos(α＋ β)＝－14.323正解π 1 <cosπ 1，∵ 0< α< 且 cos α＝＝273 2π π π∴ <α< ，又 0<β< ，322π< 3，∴ <α＋ β<π，又 sin( α＋ β)＝5 3314 22π∴ 3 <α＋ β<π. ∴ cos(α＋ β)＝－1－ sin 2α＋ β ＝－1114，24 3sin α＝ 1－ cos α＝ 7 .∴ cos β＝ cos[(α＋ β)－ α]1＝ cos(α＋ β)cos α＋ sin( α＋ β)sin α＝2.易错点 3 忽略向量共线致误例 3已知 a ＝(2,1) ， b ＝ (λ， 1)， λ∈ R ，a 与 b 的夹角为 θ.若 θ为锐角，则 λ的取值范围是__________．错解∵ cos θ＝a ·b＝2λ＋ 1.2|a| |b ·| 5· λ＋ 1因 θ为锐角，有 cos θ>0 ，2λ＋ 1∴2 >0? 2λ＋ 1>0，5· λ＋ 1得 λ>－1， λ的取值范围是 －1，＋∞ .22找准失分点 θ为锐角，故 0<cos θ<1，错解中没有清除 cos θ＝ 1 即共线且同向的状况．正解由 θ为锐角，有 0<cos θ<1.又 ∵ cos θ＝ a ·b ＝ 2λ＋ 1 ，|a| |b ·| 25· λ＋ 1∴ 0<2λ＋ 12≠1，5· λ＋ 12λ＋1>0 ，λ>－ 1，∴2＋ 1 ，解得22λ＋ 1≠5· λλ≠ 2.∴ λ的取值范围是 λ|λ>－ 12且 λ≠2.1答案λ|λ>－ 且λ≠21． (2014 ·纲领全国 )已知角 α的终边经过点 (－ 4,3)，则 cos α＝ ()4 3 A. 5B. 534C ．－ 5D ．－5答案 D分析 由于角 α的终边经过点x 4 (－4,3)，所以 x ＝－ 4， y ＝ 3， r ＝ 5，所以 cos α＝＝－ .r52． (2014 ·纲领全国 )设 a ＝sin 33 ，°b ＝ cos 55 ，°c ＝ tan 35 ，°则 ( )A ．a>b>cB ． b>c>aC ． c>b>aD ． c>a>b答案 C分析∵ a ＝ sin 33 ，°b ＝ cos 55 °＝ sin 35 ，°c ＝ tan 35 °＝sin 35 °cos 35 ，°又 0<cos 35 °<1， ∴ c>b>a.4π3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 3 (0< θ< 4)，则 sin θ－ cos θ的值为 ()2 2 1 1A. 3B ．－ 3C.3 D ．－ 3答案B分析∵ sin θ＋ cos θ＝ 4， ∴ (sin θ＋ cos θ)2＝ 1＋ sin 2θ＝ 16， ∴ sin 2θ＝ 7，3 9 9π 又 0<θ< ， ∴ sin θ<cos θ.4∴ sin θ－ cos θ＝－θ－ cos θ 22＝－ 1－ sin 2θ＝－ 3 .4．已知 a ， b 是单位向量， a ·b ＝ 0，若向量 c 知足 |c － a － b |＝ 1，则 |c |的取值范围是( )A ．[ 2－1， 2＋1]B ．[ 2－1， 2＋2]C．[1，2＋ 1]D．[1，2＋2]答案A分析∵ a·b＝0，且a， b 是单位向量，∴ |a|＝ |b|＝ 1.又∵ |c－a－b|2＝c2－ 2c·(a＋b)＋ 2a·b＋a2＋b2＝1，∴2c·(a＋b)＝c2＋ 1.∵ |a|＝ |b|＝ 1 且a·b＝ 0，∴|a＋b|＝2，∴c2＋1＝2 2|c|cosθ(θ是 c 与 a＋ b 的夹角)．又－ 1≤cos θ≤1，∴ 0<c2＋ 1≤2 2|c|，∴c2－2 2|c|＋1≤0，∴2－ 1≤|c|≤ 2＋ 1.5.函数 f(x)＝ Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如下图，那么f(0) 等于 ()A ．－1B．－ 1 2C．－3D．－ 3 2答案B分析由题图可知，函数的最大值为2，所以 A＝ 2.又由于函数经过点ππ， 2 ，则 2sin2×＋φ＝ 2，33ππ即 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，32π得φ＝－＋2kπ，k∈ Z.6f(0) ＝ 2sin φ＝ 2sin π－＋ 2kπ＝－ 1. 66．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对边的长分别为a，b， c，若 a2＋ b2＝ 2c2，则 cos C 的最小值为 ()3211A. 2B. 2C.2D．－2答案Ca2＋ b2－ c2c2分析∵ cos C＝2ab＝2ab，又∵ a2＋ b2≥2ab，∴2ab≤2c2.11∴ cos C≥ .∴ cos C 的最小值为 .22→ →π7． (2014 ·山东 )在△ ABC 中，已知 AB·AC＝ tan A，当 A＝6时，△ ABC 的面积为 ________．1 答案6π分析已知 A ＝ 6，→ → π π 由题意得 |AB||AC|cos＝ tan，66→ →2|AB||AC|＝ 3，所以 △ABC 的面积1 → → π 12 1 1S ＝ |AB||AC |sin＝××＝.26 2 3 2 68． (2014 ·江苏 )已知函数 y ＝ cos x 与 y ＝ sin(2x ＋ φ)(0 ≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为点，则 φ的值是 ________．答案π6分析由题意，得π π sin 2×＋ φ ＝cos，33由于π0≤φ<π，所以 φ＝ .6π π9．已知函数 f(x)＝Asin( ω＋ φ)，x ∈ R (此中 A>0，ω>0，－ 2<φ<2)， 其部分图象如下图．若横坐标分别为－1,1,5 的三点 M ，N ， P 都在函数 f(x)的图象上，记∠ MNP ＝ θ，则 cos 2θ的值是 ________ ．π3的交答案 －725分析由图可知， A ＝ 1， f(x)的最小正周期 T ＝ 8，2ππ所以 T ＝ ω ＝ 8，即 ω＝ .4πππ又 f(1) ＝sin( ＋ φ)＝ 1，且－ <φ< ，4 2 2 π π 3π所以－ <φ＋ < ，4 4 4 π π π即 φ＋ ＝ ，所以 φ＝ .424π所以 f(x)＝sin(x ＋ 1)．4由于 f(－ 1)＝ 0， f(1) ＝ 1， f(5)＝－ 1，所以 M(－ 1,0)，N(1,1)， P(5，－ 1)．→ → → →所以 NM ＝ (－ 2，－ 1)，NP ＝ (4，－ 2)， NM ·NP ＝－ 6，→ →5，|NM |＝ 5， |NP|＝ 2→ →则 cos ∠ MNP ＝NM·NP＝－ 3， →→ 5|NM| ·|NP|3即 cos θ＝－ 5.于是 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 257.π23， x ∈ R . 10． (2014 天·津 )已知函数 f(x)＝ cos x ·sin(x ＋ 3)－ 3cos x ＋ 4 (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)在闭区间 [－ π π， 4 ]上的最大值和最小值．41sin x ＋3 23 解 (1)由已知，有 f(x)＝cos x ·(2cos x)－3cos x ＋421 3 23＝ sin x ·cos x －2cos x ＋421 3 (1＋ cos 2x)＋ 3＝ sin 2x －4441 3 cos 2x＝ sin 2x －441π＝ sin(2x － )．23所以 f(x)的最小正周期T ＝ 2π＝ π.2(2) 由于 f(x)在区间 [－ π π[－ π π，－ ] 上是减函数，在区间12 ， ] 上是增函数， 4 124 π 1 π 1 ， f( π 1 f(－ ) ＝－ ， f(－ 12)＝－ 2 )＝ ，4 4 4 4所以，函数 f(x)在闭区间 π π1 ，最小值为－ 1 [－ ， ] 上的最大值为 4.4 42。
