不确定NCS的动态输出反馈鲁棒保性能容错控制

不确定模糊系统的H∞鲁棒动态输出反馈控制赵云【摘要】研究不确定T-S模糊系统的H∞鲁棒控制问题,选取全局动态输出反馈控制器,得到系统稳定的充分条件.在此基础上,为方便运用计算机进行求解,对矩阵进行非奇异分解,将条件转化为求解线性矩阵不等式的问题,并进一步通过变量之间的关系求得动态输出反馈控制器的待确定矩阵.选取了全局动态输出反馈控制器来研究不确定模糊系统的稳定性,并考虑了加入外界干扰后,系统满足H∞鲁棒控制性能.最后的数值算例说明方法的可行性与有效性.【期刊名称】《中国民航大学学报》【年(卷),期】2014(032)001【总页数】7页(P51-56,69)【关键词】不确定系统;动态输出反馈控制器;线性矩阵不等式;H∞性能指标【作者】赵云【作者单位】中国民航大学设备处,天津300300【正文语种】中文【中图分类】TP13在工业建模过程中，非线性、不确定性是普遍存在的现象。

T-S作为一种有效解决非线性问题稳定性的有效方法，自其提出以来，便取得了众多学者的关注。

在非线性系统稳定性方面的研究取得了巨大的成就。

对于模糊系统的稳定性研究主要为状态反馈和输出反馈的研究，然而，系统的状态反馈控制律的应用要求系统的状态可测，所以对于状态不可测的系统不适合运用状态反馈研究系统的稳定性。

如果用系统的输出反馈可以达到闭环系统的稳定性，则更适合运用输出反馈的控制方式。

目前的研究多为静态输出反馈控制，文献[1-3]均为系统的输出反馈控制。

动态输出反馈能够动态地把握系统的稳定性，增加系统稳定性的鲁棒性。

所以动态输出反馈控制的研究更具有实际意义。

文献[4]研究了一类不确定离散模糊的H∞鲁棒动态输出反馈控制；文献[5]则研究了分布时滞系统的输出动态反馈镇定问题，运用Lyapunov-Krasovskii泛函的构造和解析技巧，建立了与时滞相关的控制器存在性判据；文献[6]研究了不确定脉冲系统动态输出反馈H∞控制问题。

文献[5-6]均不是模糊系统，文献[4]是模糊离散系统且动态输出反馈控制器的设计有所局限。

不确定线性系统的输出反馈鲁棒H∞控制仿真【摘要】针对一类具有积分二次型约束结构不确定性的系统的设计问题，提出了一种新的鲁棒H∞控制方案。

从具有指定干扰抑制能力的不确定性系统的绝对稳定控制着手，通过加入额外的不确定性，构成一个新的不确定系统，然后对这个新系统设计绝对稳定的H∞控制器。

【关键词】鲁棒；控制；绝对稳定A Control Simulation For Uncertain linear system of robust h-infinity output feedbackZHANG Da-lei LI Yuan-yuan LIU Qian（1.Qinhuangdao Insititute of Technology Ｈebei Qinhuangdao 066100；2.Ziehl-Abegg Mechanical and Electrical Equipment Limited Company Ｚhongguo Ｓhanghai 201605)【Abstract】For a class of quadratic constraint integral structural uncertain system design, this paper proposes a new robust h-infinity control scheme. Mainly from has designated interference suppression ability the uncertainty of the absolute stability control system to, by adding extra uncertainty, constitutes a new uncertain systems, and then on this new system design which isunconditionally stable h-infinity controller.【Key words】Robust h-infinity；Control；Isunconditionally stable工程上所建立的系统数学模型和控制系统中，在不同程度上都存在着某种不确定的因素，诸如模型参数、输入、测量误差等是未知的或不能精确地确定的等。

机械系统的鲁棒性与容错性研究机械系统的鲁棒性与容错性是现代工程中一个重要而复杂的问题。

鲁棒性是指系统对于外部干扰、不确定性和参数变化的适应能力，而容错性则是指系统在发生故障或错误时保持正常运行的能力。

这两个概念在工程领域中日益受到关注，因为它们直接关系到机械系统的可靠性和性能。

在机械系统中，鲁棒性与容错性的研究对系统的设计和工作至关重要。

鲁棒性的概念源于控制理论，它涉及系统的稳定性、性能和可靠性。

在一个复杂的机械系统中，由于外界环境的变化，如温度、湿度、压力等，以及制造偏差和装配误差等因素的存在，系统的性能会发生变化。

因此，设计一个具有良好鲁棒性的机械系统是至关重要的。

容错性的研究则更侧重于系统的可恢复性和可维修性。

在机械系统中，故障和错误是不可避免的。

一个容错性强的系统能够在出现故障或错误时及时发现并采取措施进行修复，以保证系统的正常运行。

容错性的研究不仅包括故障检测和故障诊断的技术，还包括故障定位和故障隔离的方法。

通过这些技术手段，可以最大限度地减少系统的停机时间和维修成本。

为了提高机械系统的鲁棒性和容错性，需要在系统设计和运行阶段采取一系列的措施。

首先，合理选择材料和零部件，确保它们具有良好的耐久性和稳定性。

其次，优化系统的结构和布局，减少不必要的传导路径和能量损失。

在系统的设计中考虑到可调节参数、容错机制和自适应控制等技术手段，以提高系统的可靠性和性能。

此外，应用现代技术手段对机械系统进行监测和检测也是提高鲁棒性和容错性的重要途径。

例如使用传感器网络对机械系统进行实时监测，通过数据分析和故障诊断算法来实现故障预警和预防。

同时，引入自适应控制和智能优化算法，对系统进行实时调整和优化，以适应环境变化和参数波动。

综上所述，鲁棒性与容错性的研究对机械系统的可靠性和性能具有重要意义。

通过合理的设计和运行措施，可以提高机械系统的鲁棒性和容错性，从而降低故障和错误的发生概率，提高系统的稳定性和可靠性。

第28卷第12期V ol.28No.12控制与决策Control andDecision2013年12月Dec.2013执行器饱和不确定NCS 非脆弱鲁棒容错控制文章编号:1001-0920(2013)12-1874-10曹慧超,李炜(兰州理工大学电气工程与信息工程学院，兰州730050)摘要:针对存在时变时延和丢包的不确定网络化控制系统(NCS),同时考虑执行器饱和、控制器参数摄动以及非线性扰动等约束,研究执行器发生结构性失效故障时系统的鲁棒容错多约束控制问题.基于时滞依赖Lyapunov 方法和容错吸引域定义,采用状态反馈控制策略推证出了闭环故障不确定网络化控制系统稳定的少保守性不变集充分条件,并给出了非脆弱鲁棒容错控制器的设计方法以及最大容错吸引域的估计.仿真算例验证了所述方法的可行性和有效性.关键词:网络化控制系统；鲁棒完整性；非脆弱控制；执行器饱和；综合时变时延中图分类号:TP302.8文献标志码:ANon-fragile robust fault-tolerant control for uncertain NCS with actuator saturationCAO Hui-chao,LI Wei(College of Electrical and Information Engineering ，Lanzhou University of Technology ，Lanzhou 730050，China.Correspondent ：LI Wei ，E-mail ：liwei@)Abstract ：For a class of uncertain networked control system(NCS)with time-varying delay and data packet dropout,the problem of multi-constraints robust fault-tolerant control for NCS with actuator structural failures is discussed by using state feedback control strategy.The effect of actuator saturation,nonlinear perturbation and controller parameter perturbation are considered simultaneously.Based on a class of delay-dependent Lyapunov method and a definition of the domain of fault-tolerant attraction,the set of invariance conditions of the closed-loop uncertain NCS against actuator structural failures is derived,and the design method of non-fragile robust fault-tolerant controller is given.The domain of fault-tolerant attraction of the closed-loop system is estimated.A simulation example shows the effectiveness and the feasibility of the proposed approach.Key words ：networked control system ；robust integrality ；non-fragile control ；actuator saturation ；comprehensive time-varying delay0引言现今,网络化控制系统(NCS)以其诸多优势在各领域都得到了广泛应用.然而,由于反馈回路中有通讯网络的介入,衍生出了网络诱导时延、数据丢包等问题[1-2],同时,由于NCS 规模更加庞大、结构更加分布、复杂程度更高,使得不确定性和各种故障诱发因素俱增,因此对NCS 进行容错设计,提高其安全可靠性已成为现代控制系统的本征要求[3].文献[4-9]针对存在时变时延和丢包的NCS,采用状态反馈控制策略分别研究了系统的鲁棒完整性、鲁棒H ∞、鲁棒保性能及鲁棒H ∞保性能容错等问题.考虑在实际工程应用中,被控对象状态信息检测受环境或经济条件的制约,文献[10-11]基于动态输出反馈控制,讨论了NCS 具有鲁棒完整性及具有一定性能约束的鲁棒容错判别准则,但在现有的研究结果中尚未涉及执行器饱和、控制器参数摄动等约束.在实际控制系统中,工业仪表、控制元件本身都存在物理特性的限制,作为控制系统核心部件的执行器往往受非线性饱和特性的约束[12],同时,NCS 作为典型的数字系统,控制器参数也存在一定的误差或变化[13].无论是执行器饱和现象还是控制器实现时的参数摄动都可能导致闭环系统性能劣化或稳定性遭到破坏,因此收稿日期:2012-08-31；修回日期:2013-01-30.基金项目:国家自然科学基金项目(61364011)；甘肃省自然科学基金项目(1212RJZA002).作者简介:曹慧超(1986−),女,博士生,从事故障诊断与容错控制的研究；李炜(1963−),女,教授,博士生导师,从事动态系统的故障诊断与容错控制、工业过程先进控制等研究.网络出版时间：2013-11-29 10:27网络出版地址：/kcms/detail/21.1124.TP.20131129.1027.019.html第12期曹慧超等:执行器饱和不确定NCS非脆弱鲁棒容错控制1875设计一种同时考虑这两种因素的非脆弱鲁棒控制器便显得尤为重要.文献[14-15]基于不同控制策略,分别研究了NCS考虑执行器饱和约束时的稳定性及鲁棒H∞优化控制问题;文献[16-19]采用不同方法,分别给出了NCS具有非脆弱H∞抗干扰性能、非脆弱保性能、非脆弱H∞保性能的充分条件.但上述研究仅限于无故障的正常系统.当实际系统发生故障时,控制量通常远大于正常情形,而执行器受自身饱和物理属性的限制,只能达到一定的输出值,控制器实现时也无法避免误差.因此,同时考虑上述约束,对执行器饱和NCS进行非脆弱鲁棒容错控制研究,更具实际意义和挑战性.基于此,本文针对具有网络诱导时延和数据丢包的不确定NCS,在执行器发生结构性失效故障的情形下,同时考虑执行器饱和、控制器参数摄动及非线性扰动等约束,基于时滞依赖的Lyapunov方法和容错吸引域定义,推证出不确定闭环故障NCS具有鲁棒完整性的少保守性充分条件,同时给出非脆弱鲁棒容错控制器的设计方法,并通过优化处理得到最大容错吸引域的估计.最后以一个仿真算例验证了文中所述方法的可行性和有效性.1问题描述考虑具有执行器饱和及非线性扰动约束的不确定NCS被控对象模型˙x(t)=(A+ΔA)x(t)+(B+ΔB)sat(u(t))+f(t,x), x(t)=ϕ(t),t∈[−ℎM,0].(1)其中:x(t)∈R n,u(t)∈R m分别为系统的状态、控制输入向量;ϕ(t)为给定的初始向量值连续函数; sat(⋅):R n→R m为标准饱和函数,即sat(u)=[sat(u1)sat(u2)⋅⋅⋅sat(u m)]T,sat(u i)Δ=sign(u i)min{1,∣u i∣};f(t,x)为不确定非线性项,满足Lipschitz条件∣∣f(t, x1)−f(t,x2)∣∣⩽∣∣G(x1−x2)∣∣,G为已知的实常矩阵; A∈R n×n,B∈R n×m为适当维数的常数矩阵;ΔA,ΔB为范数有界的时变参数不确定性矩阵,满足[ΔA,ΔB]=H1F1(t)[E1,E2],(2) H1、E1、E2为已知的适当维数实常数矩阵;F1(t)为未知时变实值连续矩阵函数,其元素Lebesgue可测,且满足F T1(t)F1(t)⩽I,I为单位矩阵.对网络作如下假设:假设1传感器为时钟驱动,控制器、执行器及零阶保持器为事件驱动,数据采用单包传输,系统所有状态均可测量,采样周期为常数T.假设2从传感器到控制器、控制器到执行器均存在网络诱导时延和数据丢包.依据文献[8,20]对NCS时延和丢包的描述以及控制器的推导,同时考虑时变时延和丢包的状态反馈非脆弱鲁棒控制器为u(t)=(K+ΔK)x(t−ℎ(t)),t∈[t k,t k+1),k=1,2,⋅⋅⋅,∞.(3)其中:K∈R m×n为控制增益阵;ΔK∈R m×n为控制增益摄动阵,本文采用加法式控制增益摄动,即ΔK=H2F2(t)E3,(4) H2、E3为已知的适当维数实常数矩阵,F2(t)定义同F1(t);ℎ(t)为包含时延和丢包的综合区间时变时延,满足0<ℎm⩽ℎ(t)⩽ℎM,(5)˙ℎ(t)⩽μ,(6)ℎm、ℎM分别为时变时延的下界和上界,且ℎm=τ,ℎM=¯τ+(¯d+1)T,¯τ和τ分别为时延上、下界,¯d为最大丢包数,μ为常数.令ℓ(K)={x0∈R n:∣k j x∣⩽1,i=1,2,⋅⋅⋅,m},矩阵K∈R m×n,k j是K的第j行,称ℓ(K)为反馈控制的非饱和域,或饱和反馈控制的线性域,即对于任意的x∈ℓ(K),sat(F x)=F x.考虑控制系统可能发生执行器结构性失效故障,其模型为u f(t)=Mu(t).(7)其中:M=diag{m1,m2,⋅⋅⋅,m n}为执行器故障矩阵, M∈Ω表示所有可能执行器失效故障模式的集合.当m i=0时,表示第i个执行器完全失效;当m i=1时,表示第i个执行器正常工作;当m i∈(0,1)时,表示第i 个执行器部分失效.为便于分析,引入如下矩阵:M u=diag{m u1,m u2,⋅⋅⋅,m un};M l=diag{m l1,m l2,⋅⋅⋅,m ln};M0=diag{m01,m02,⋅⋅⋅,m0n},m0i=(m ui+m li)/2;J=diag{j1,j2,⋅⋅⋅,j n},j i=m ui−m lim ui+m li;L=diag{l1,l2,⋅⋅⋅,l n},l i=m i−m0im0i;i=1,2,⋅⋅⋅,n.则有M=M0(I+L),(8)其中∣L∣⩽J⩽I且M l⩽M⩽M u.结合式(1)、(3)和(7),得执行器饱和不确定网络化闭环故障系统(NCFS)模型为1876控制与决策第28卷˙x (t )=¯Ax(t )+¯BM sat(¯Kx (t −ℎ(t )))+f (t,x ),t ∈[t k ,t k +1),k =1,2,⋅⋅⋅,∞.(9)其中¯A=A +ΔA,¯B =B +ΔB,(10)¯K=K +ΔK.(11)为得到本文结果,首先给出以下3个定义和5个引理.对于x (0)=x 0∈R n ,假设系统(9)执行器无故障时,相应的状态轨迹为ψ(t,x 0).定义1[21]原点的吸引域记为℘a ,定义℘a ={x 0∈R n :lim t →∞ψ(t,x 0)=0}.定义2[21]收缩不变集记为℘,定义x 0∈℘⇒x (t )∈℘,∀t ⩾0,lim t →∞ψ(t,x 0)=0对所有的初始条件x 0∈℘∖{0}均成立.注1如果集合℘是收缩不变集,则其应在吸引域内部.一般而言,一个系统的吸引域很难精确获得,因此,吸引域的求取通常可采用不变集进行估计.令P ∈R n ×n 是一个正定矩阵,对一个正数ρ,定义椭球体ε(P,ρ)={x ∈R n,x TP x ⩽ρ},则椭球体ε(P,ρ)可被用来估计吸引域.为了符号的简单,记ε(P )表示ε(P,1).注2前述定义仅给出了NCS 执行器无故障时原点吸引域,并未考虑执行器发生故障的情形.下面给出容错吸引域的定义.定义3系统在状态转移过程中,执行器无论发生M ∈Ω的何种故障,从℘b 出发的任何初始状态均能收敛于平衡点,即℘b ={x 0∈R n:lim t →∞ψ(t,x 0)=0,∀M ∈Ω}.此时称℘b 为容错吸引域.引理1[21]给定矩阵K,F ∈Rm ×n,对于x ∈R n,如果x ∈ℓ(F ),则有sat(Kx )∈co {Υi Kx +Υ−i F x :i =1,2,⋅⋅⋅,2m ]}.(12)其中:co {⋅}表示Υi Kx +Υ−i F x (Υi ∈Υ,i =1,2,⋅⋅⋅,2m )组成的凸包;Υ表示一个m ×m 对角矩阵的集合,且其对角线上的元素是1或者0.显然Υ含有2m 个元素,例如,若m =2时,则Υ={[1001],[1000],[0001],[0000]}.假设Υ的每个元素被标记为Υi ,i =1,2,⋅⋅⋅,2m ,即Υ={Υi :i ∈[1,2m]}.定义Υ−i =I −Υi ,则Υ−i ∈Υ.引理2[22]对于任意矩阵N ∈R n ×n ,N =N T ⩾0,标量γ>0及向量值函数˙x :[−γ,0]→R n ,以下积分不等式成立:−γ t t −γ˙x T (s )N ˙x (s )d s ⩽[x (t )x (t −γ)]T [−N N N−N][x (t )x (t −γ)].(13)引理3[23]对于任意标量W 1⩾0,W 2⩾0,τ(t )是一个连续函数且满足式(5),则有W 1τ(t )−τm +W 2τM −τ(t )⩾min {3W 1+W 2τM −τm ,W 1+3W 2τM −τm}.(14)引理4[24]对于具有适当维数的矩阵Y,M 和E ,其中Y =Y T ,有Y +MF (t )E +E T F T (t )M T <0(15)对于所有满足F T (t )F (t )⩽I 的矩阵F (t )成立,当且仅当存在一个常数ε>0,使得如下不等式成立:Y +εMM T +ε−1E T E <0.(16)引理5[25]对于具有适当维数的矩阵Y 1,G,H和I ,其中Y 1=Y T 1,有Y 1+GHI T +IH T G T <0(17)对于所有满足H =diag(H 1,H 2,⋅⋅⋅,H r ),H T i H i ⩽I(i =1,2,⋅⋅⋅,r )的矩阵H 成立,当且仅当存在一个对角矩阵U >0,使得Y 1+GUG T +IU −1I T <0.(18)2主要结果针对具有执行器饱和约束及非线性扰动的不确定NCS,在执行器发生结构性失效故障情形下,非脆弱鲁棒容错控制的设计目标为:寻求状态反馈增益阵K ,使得同时受控制器参数摄动和执行器饱和约束的不确定网络化闭环故障系统具有鲁棒完整性,即系统(9)具有不变收缩集.2.1不变集条件定理1考虑系统(9),给定常数μ>0,εi >0(i=1,2,3,4),如果存在对称正定矩阵X,˜Si ,˜R i ,˜Q j (i =1,2,3,j =1,2,⋅⋅⋅,6),对角矩阵W 1及适当维数的矩阵˜K,˜F ,使得对于任意可能的执行器结构性失效故障模式M 和可接受的系统参数不确定性与控制器参数摄动,满足下列矩阵不等式:⎡⎢⎣Σ1Σ2Σ3∗Σ4Σ5∗∗Σ6⎤⎥⎦<0,(19a)⎡⎢⎣˜Σ1Σ2Σ3∗Σ4Σ5∗∗Σ6⎤⎥⎦<0,(19b)第12期曹慧超等:执行器饱和不确定NCS非脆弱鲁棒容错控制1877ε(P)⊂ℓ(F),即∀x∈R n:∣f j x∣⩽1,i=1,2,⋅⋅⋅,m,其中f j为F的第j行.则∀x0∈ε(P),不确定NCFS(9)渐近稳定,系统状态轨迹仍能保持在不变集ε(P)内,即式(3)是一使得系统(9)具有鲁棒完整性的非脆弱鲁棒容错控制器,控制器参数可由K=˜KX−1求得.式(19)中:∗表示由矩阵对称性得到的矩阵块;而Σ1=(Σ1ij)7×7,δ=ℎM−ℎm,Σ111=AX+XA T+˜S1+˜S2+˜S3−˜R1−˜R2+˜Q1+˜Q4+ε1+ε2H1H T1,Σ112=BM0Υi˜K+BM0Υ−1i˜F,Σ113=−˜R1+˜Q2,Σ115=˜R2+˜Q5,Σ117=XE T1,Σ122=−(1−μ)˜S1−4˜R3,Σ124=3˜R3,Σ126=˜R3,Σ127=˜K TΥT i M T0E T2+˜F TΥ−i T M T0E T2,Σ133=−˜R1+˜Q3−˜Q1,Σ134=−˜Q2,Σ156=−˜Q5,Σ144=−˜S2−˜Q3−3˜R2,Σ155=−˜R2+˜Q6−˜Q4,Σ166=−˜S3−˜Q6−˜R3,Σ177=−ε2I,Σ123=Σ125=Σ135=Σ136=Σ137=0,Σ145=Σ146=Σ147=Σ157=Σ167=0,˜Σ1=(˜Σ1ij)7×7,˜Σ124=˜R3,˜Σ126=3˜R3,˜Σ144=−˜S2−˜Q3−˜R2,˜Σ166=−˜S3−˜Q6−3˜R3,˜Σ1中其余项同Σ1;Σ2=(Σ2ij)7×4,Σ211=Σ212=Σ213=XA T,Σ214=XE T1,Σ221=Σ222=Σ223=˜K TΥTiM T0B T+˜F TΥ−i T M T0B T,Σ224=˜K TΥT i M T0E T2+˜F TΥ−i T M T0E T2,Σ231=⋅⋅⋅=Σ234=Σ241=⋅⋅⋅=Σ244=0,Σ271=Σ272=Σ273=I,Σ251=⋅⋅⋅=Σ254=Σ261=⋅⋅⋅=Σ264=Σ274=0;Σ3=(Σ3ij)7×5,Σ311=Σ314=0,Σ312=BM0Υi H2,Σ313=BM0J,Σ315=XG T,Σ321=XE T3,Σ372=E2M0Υi H2,Σ324=˜K TΥT i W T1+˜F TΥ−i T W T1,Σ373=E2M0J,Σ322=Σ332=⋅⋅⋅=Σ362=0,Σ323=Σ333=⋅⋅⋅=Σ363=0,Σ334=Σ344=⋅⋅⋅=Σ374=0,Σ325=Σ335=⋅⋅⋅=Σ375=0,Σ331=Σ341=⋅⋅⋅=Σ371=0;Σ4=diag{−4ℎ2m(2X−˜R1)+ε3H1H T1,−4ℎ2M(2X−˜R2)+ε3H1H T1,−1δ2(2X−˜R3)+ε3H1H T1,−ε3I};Σ5=(Σ5ij)4×5,Σ512=Σ522=Σ532=BM0Υi H2,Σ342=E2M0Υi H2,Σ513=Σ523=Σ533=BM0J,Σ543=E2M0J,Σ511=⋅⋅⋅=Σ541=Σ314=⋅⋅⋅=Σ344=Σ515=⋅⋅⋅=Σ345=0;Σ6=(Σ6ij)5×5,Σ611=−ε−14I,Σ622=−ε4I,Σ633=Σ644=−W1,Σ624=H T2ΥT i W T1,Σ655=−ε1I,Σ612=⋅⋅⋅=Σ615=Σ623=Σ625=Σ634=Σ635=Σ645=0.证明构造Lyapunov-Krasovskii泛函V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t)),(20) V1(x(t))=x T(t)P x(t)+tt−ℎ(t)x T(s)S1x(s)d s+tt−ℎmx T(s)S2x(s)d s+tt−ℎMx T(s)S3x(s)d s,(21) V2(x(t))=ℎm2−ℎm/2tt+s˙x T(θ)R1˙x(θ)dθd s+ℎM2−ℎM/2tt+s˙x T(θ)R2˙x(θ)dθd s+δ−ℎm−ℎMtt+s˙x T(θ)R3˙x(θ)dθd s,(22) V3(x(t))=tt−ℎm2⎡⎣x(s)x(s−ℎm2)⎤⎦T[Q1Q2∗Q3]⎡⎣x(s)x(s−ℎm2)⎤⎦d s+ tt−ℎM2⎡⎣x(s)x(s−ℎM2)⎤⎦T[Q4Q5∗Q6]⎡⎣x(s)x(s−ℎM2)⎤⎦d s.(23)其中:P T=P>0,S T i=S i>0,R T i=R i>0,i=1, 2,3;Q T j=Q j>0,j=1,2,⋅⋅⋅,6;δ=ℎM−ℎm.沿系统(9)对V(x(t))求导,得˙V1(x(t))=2x T(t)P˙x(t)+x T(t)S1x(t)−(1−μ)x T(t−ℎ(t))S1x(t−ℎ(t))+1878控制与决策第28卷x T (t )S 2x (t )−x T (t −ℎm )S 2x (t −ℎm )+x T (t )S 3x (t )−x T (t −ℎM )S 3x (t −ℎM ).(24)由引理1、引理4和式(21),得2x T (t )P ˙x (t )⩽max i ∈[1,2m]2x T (t )P [¯Ax (t )+¯BM (Υi ¯K +Υ−i F )x (t −ℎ(t ))]+2x T (t )P f (t,x )⩽max i ∈[1,2m]2x T (t )P [¯Ax (t )+¯BM (Υi ¯K +Υ−i F )x (t −ℎ(t ))]+ε−11x T (t )P TP x (t )+ε1x T (t )G TGx (t ),(25)˙V2(x (t ))=ℎ2m 4˙x T (t )R 1˙x (t )−ℎm 2 t t −ℎm 2˙x T (s )R 1˙x (s )d s +ℎ2M 4˙x T(t )R 2˙x (t )−ℎM 2 t t −ℎM 2˙x T (s )R 2˙x (s )d s +δ2˙x T (t )R 3˙x (t )−δ t −ℎmt −ℎM˙x T (s )R 3˙x (s )d s.(26)由引理2,得−ℎm 2 t t −ℎm 2˙xT (s )R 1˙x (s )d s ⩽⎡⎣x (t )x (t −ℎm 2)⎤⎦T [−R 1R 1R 1−R 1]⎡⎣x (t )x (t −ℎm 2)⎤⎦,(27)−ℎM 2 tt −ℎM 2˙xT (s )R 2˙x (s )d s ⩽⎡⎣x (t )x (t −ℎM 2)⎤⎦T [−R 2R 2R 2−R 2]⎡⎣x (t )x (t −ℎM 2)⎤⎦.(28)由引理2和引理3,得−δt −ℎmt −ℎM ˙x T (s )R 3˙x (s )d s =−δ t −ℎmt −ℎ(t )˙x T (s )R 3˙x (s )d s −δ t −ℎ(t )t −ℎM˙x T (s )R 3˙x (s )d s ⩽−max {3W 1+W 2ℎM −ℎm ,W 1+3W 2ℎM −ℎm},(29)W 1=( t −ℎm t −ℎ(t )˙x (s )d s )TδR 3( t −ℎm t −ℎ(t )˙x (s )d s ),(30)W 2=( t −ℎ(t )t −ℎM˙x (s )d s )TδR 3( t −ℎ(t )t −ℎM˙x (s )d s ),(31)˙V3(x (t ))=⎡⎣x (t )x (t −ℎm 2)⎤⎦T [Q 1Q 2∗Q 3]⎡⎣x (t )x (t −ℎm 2)⎤⎦−⎡⎣x (t −ℎm 2)x (t −ℎm )⎤⎦T [Q 1Q 2∗Q 3]⎡⎣x (t −ℎm 2)x (t −ℎm )⎤⎦+⎡⎣x (t )x (t −ℎM2)⎤⎦T [Q 4Q 5∗Q 6]⎡⎣x (t )x (t −ℎM 2)⎤⎦−⎡⎣x (t −ℎM2)x (t −ℎM )⎤⎦T [Q 4Q 5∗Q 6]⎡⎣x (t −ℎM 2)x (t −ℎM )⎤⎦.(32)由式(24)∼(32),有˙V(x (t ))=˙V1(x (t ))+˙V 2(x (t ))+˙V 3(x (t ))⩽max i ∈[1,2m ]ζT (t )Ξ1ζ(t )or max i ∈[1,2m]ζT (t )˜Ξ1ζ(t ).(33)其中ζT (t )=[x T (t ),x T (t −ℎ(t )),x T(t −ℎm 2),x T (t −ℎm ),x T (t −ℎM 2),x T (t −ℎM ),f T (t,x )],Ξ1=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ξ(1)11Ξ(1)12Ξ(1)130Ξ(1)150Ξ(1)17∗Ξ(1)2203R 30R 3Ξ(1)27∗∗Ξ(1)33−Q 2000∗∗∗Ξ(1)44000∗∗∗∗Ξ(1)55−Q 50∗∗∗∗∗Ξ(1)660∗∗∗∗∗∗Ξ(1)77⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,˜Ξ1=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ξ(1)11Ξ(1)12Ξ(1)130Ξ(1)150Ξ(1)17∗Ξ(1)220R 303R 3Ξ(1)27∗∗Ξ(1)33−Q 2000∗∗∗˜Ξ(1)44000∗∗∗∗Ξ(1)55−Q 50∗∗∗∗∗˜Ξ(1)660∗∗∗∗∗∗Ξ(1)77⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,Ξ(1)11=P ¯A +¯A T P +ε1P T P +ε−11G T G +S 1+S 2+S 3−R 1−R 2+Q 1+Q 4+¯A T (ℎ2m R 1/4+ℎ2M R 2/4+δ2R 3)¯A,Ξ(1)12=P ¯BM (Υi ¯K +Υ−1iF )+¯A T (ℎ2m R 1/4+ℎ2M R 2/4+δ2R 3)¯BM (Υi ¯K +Υ−1i F ),Ξ(1)13=−R 1+Q 2,Ξ(1)15=R 2+Q 5,Ξ(1)17=¯A T (ℎ2m R 1/4+ℎ2M R 2/4+δ2R 3),Ξ(1)22=−(1−μ)S 1−4R 3+[¯BM(Υi ¯K +Υ−1i F )]T (ℎ2m R 1/4+ℎ2M R 2/4+第12期曹慧超等:执行器饱和不确定NCS 非脆弱鲁棒容错控制1879δ2R 3)[¯BM (Υi ¯K +Υ−1iF )],Ξ(1)24=3R 3,Ξ(1)26=R 3,Ξ(1)27=[¯BM (Υi ¯K +Υ−1iF )]T (ℎ2m R 1/4+ℎ2M R 2/4+δ2R 3),Ξ(1)33=−R 1+Q 3−Q 1,Ξ(1)34=−Q 2,Ξ(1)44=−S 2−Q 3−3R 2,Ξ(1)55=−R 2+Q 6−Q 4,Ξ(1)56=−Q 5,Ξ(1)66=−S 3−Q 6−R 3,Ξ(1)77=ℎ2m R 1/4+ℎ2M R 2/4+δ2R 3,˜Ξ(1)44=−S 2−Q 3−R 2,˜Ξ(1)66=−S 3−Q 6−3R 3.如果Ξ1<0or ˜Ξ1<0,(34)则˙V(x (t ))<0,从而可知椭球体ε(P )为不变集,即非脆弱鲁棒控制器(3)使得执行器饱和闭环故障系统(9)在吸引域ε(P )内稳定.由于式(34)为矩阵不等式,为方便控制器求解,需对其进行如下变换.首先对Ξ1<0进行变换:应用Schur 补引理及引理4,式Ξ1<0等价于Ξ2<0.(35)其中Ξ2=(Ξ(2)ij )10×10<0,Ξ(2)11=P A +A T P +S 1+S 2+S 3−R 1−R 2+Q 1+Q 4+ε1P T P +ε−11G T G +ε2P H 1H T1P,Ξ(2)12=P BM (Υi ¯K +Υ−1i F ),Ξ(2)13=−R 1+Q 2,Ξ(2)15=R 2+Q 5,Ξ(2)17=E T1,Ξ(2)18=Ξ(2)19=Ξ(2)110=¯AT ,Ξ(2)22=−(1−μ)S 1−4R 3,Ξ(2)24=3R 3,Ξ(2)26=R 3,Ξ(2)27=(Υi ¯K +Υ−i F )T M T E T 2,Ξ(2)28=Ξ(2)29=Ξ(2)210=(Υi ¯K+Υ−i F )T M T ¯BT ,Ξ(2)33=−R 1+Q 3−Q 1,Ξ(2)34=−Q 2,Ξ(2)56=−Q 5,Ξ(2)44=−S 2−Q 3−3R 2,Ξ(2)55=−R 2+Q 6−Q 4,Ξ(2)66=−S 3−Q 6−R 3,Ξ(2)77=−ε2I,Ξ(2)78=Ξ(2)79=Ξ(2)710=I,Ξ(2)1010=−(δ2R 3)−1,Ξ(2)88=−(ℎ2m4R 1)−1,Ξ(2)99=−(ℎ2M4R 2)−1,Ξ(2)23=Ξ(2)25=0,Ξ(2)35=Ξ(2)36=⋅⋅⋅=Ξ(2)310=0,Ξ(2)45=Ξ(2)46=⋅⋅⋅=Ξ(2)410=0,Ξ(2)57=Ξ(2)58=⋅⋅⋅=Ξ(2)510=0,Ξ(2)67=Ξ(2)68=⋅⋅⋅=Ξ(2)610=0,Ξ(2)89=Ξ(2)810=Ξ(2)910=0.将式(10)、(11)代入(35),应用引理4,得Ξ3<0.(36)其中Ξ3=(Ξ(3)ij )13×13<0,Ξ(3)11=Ξ(2)11,Ξ(3)12=P BM (Υi K +Υ−1i F ),Ξ(3)13=Ξ(2)13,Ξ(3)15=Ξ(2)15,Ξ(3)17=Ξ(3)111=Ξ(2)17=E T1,Ξ(3)18=Ξ(3)19=Ξ(3)110=A T ,Ξ(3)113=P BM Υi H 2,Ξ(3)22=Ξ(2)22,Ξ(3)24=Ξ(2)24,Ξ(3)26=Ξ(2)26,Ξ(3)27=Ξ(3)211=(Υi K +Υ−i F )T M T E T2,Ξ(3)28=Ξ(3)29=Ξ(3)210=(Υi K +Υ−i F )T M T B T ,Ξ(3)212=E T3,Ξ(3)33=Ξ(2)33,Ξ(3)34=Ξ(2)34,Ξ(3)44=Ξ(2)44,Ξ(3)55=Ξ(2)55,Ξ(3)56=Ξ(2)56,Ξ(3)66=Ξ(2)66,Ξ(3)77=Ξ(2)77,Ξ(3)78=Ξ(3)79=Ξ(3)710=I,Ξ(3)713=Ξ(3)1113=E 2M Υi H 2,Ξ(3)88=−(ℎ2m 4R 1)−1+ε3H 1H T1,Ξ(3)99=−(ℎ2M4R 2)−1+ε3H 1H T 1,Ξ(3)1010=−(δ2R 3)−1+ε3H 1H T1,Ξ(3)813=Ξ(3)913=Ξ(3)1013=BM Υi H 2,Ξ(3)1111=−ε3I,Ξ(3)1212=−ε−14I,Ξ(3)1313=−ε4I.将式(8)代入(36),展开得Ξ4+Φ1L ΦT 2+Φ2L T ΦT1<0.(37)其中Ξ4=(Ξ(4)ij )13×13,Ξ(4)12=P BM 0(Υi ¯K +Υ−1iF ),Ξ(4)113=P BM 0Υi H 2,Ξ(4)27=Ξ(4)211=(Υi K +Υ−i F )T M T 0E T2,Ξ(4)28=Ξ(4)29=Ξ(4)210=(Υi K +Υ−i F )T M T 0¯B T ,Ξ4上三角形表达式中其余项同Ξ3,ΦT 1=[(P BM 0)T ,0,⋅⋅⋅,05,(E 2M 0)T ,(BM 0)T ,(BM 0)T ,(BM 0)T ,(E 2M 0)T ,0,0],Φ2=[0,Υi K +Υ−i F,0,⋅⋅⋅,010,Υi H 2].1880控制与决策第28卷由于∣L ∣⩽J ⩽I ,可将L 写成L =JH ,其中H 为满足H T H ⩽I 的对角矩阵,式(37)转换为Ξ4+Φ1JH ΦT 2+Φ2H T J T ΦT1<0.(38)应用引理5,式(38)等价为存在一个对角矩阵W 1>0,使得Ξ4+Φ1JW −11(Φ1J )T +Φ2W 1ΦT 2<0.(39)当R −1i >0,i =1,2,3,可得(R −1i −P −1)R i (R −1i−P −1)⩾0,从而−R −1i ⩽P −1R i P −1−2P −1.(40)将式(40)代入(39),应用Schur 补引理,并对变换后的结果进行合同变换,即两端同时乘以对角矩阵diag {P −1,P −1,P −1,P −1,P −1,P −1,I,I,I,I,I,I,I,I,I },并令P −1=X,KX =˜K,F X =˜F ,XS i X =˜S i ,XR i X =˜Ri ,i =1,2,3,XQ j X =˜Q j ,j =1,2,⋅⋅⋅,6,则可得到式(19a),对˜Ξ1<0进行类似变换,可得到式(19b),即满足式(19a)、(19b)和ε(P )⊂ℓ(F ),状态反馈非脆弱鲁棒控制律(3)使得执行器饱和不确定NCFS (9)状态轨迹保持在不变集ε(P )内,控制器参数可由K =˜KX−1求得. 注3定理1中包含了系统的各种时延信息,所得结果是时滞/时滞变化率依赖的.同时,在定理推证中,对−δ t −ℎmt −ℎM˙x T (s )R 3˙x (s )d s 的处理未将τ(t )−τm 和τM −τ(t )两项直接扩大为τM −τm [26],而是应用了引理3,这均减少了结论的保守性.另外,定理的推证中未引入Lyapunov-Krasovskii 泛函之外的其他自由权矩阵,减少了决策变量的个数,简化了计算.注4定理1给出了ℎ(t )可微时执行器饱和不确定NCFS (9)具有鲁棒完整性的充分条件.然而,在实际应用中,受网络带宽限制和随机信息流量的影响,考虑传输时延的时变性和丢包的随机性,综合区间时延的变化率往往难以确定,甚至不可微.在此情况下,选择S 1=0,可得到使系统(9)具有鲁棒容错性能的一类时滞依赖/时滞变化率不依赖的充分条件.2.2吸引域的估计在执行器饱和系统的控制中,吸引域是一个密切相关的概念,系统总是期望有尽可能大的吸引域,因此如何扩大系统的吸引域,得到保守性更小的结论显得至关重要.本节给出从所有满足定理1的集合(系统的稳定区域)中选取最大的集合作为系统吸引域的估计,此时的吸引域对容错控制器的设计应具有较少保守性.集合的大小可采用参考集测量,这里用一个包含原点的凸集X R ⊂R n 作为测量集合大小的参考集.对于一个包含原点的集合χ⊂R n ,定义αR (χ):=sup {α>0:αX R ⊂χ},(41)如果αR (χ)⩾1,则X R ⊂χ.两种比较常用的参考集X R 如下[21]:椭圆X R ={x ∈R n ,x T T x ⩽1,T >0};(42)具有l 个顶点的多面体X R =co {x 1,x 2,⋅⋅⋅,x l },(43)其中x 1,x 2,⋅⋅⋅,x l 是R n 中给定的向量.利用上面定义的参考集,从所有满足定理1的集合ε(P )中选出最大的一个αR (ε(P ))作为系统少保守性的最大吸引域估计.此问题可描述为如下具有约束的优化问题:max P >0,Fα.(44a)s .t .αX R ⊂ε(P );(44b)式(19a)或(19b),∀i ∈[1,2m ];(44c)ε(P )⊂ℓ(F ).(44d)为方便求解,转换上述约束条件为LMI 形式,如果X R 是一个多面体,则约束条件(44b)等价为α2x T k P x k ⩽1⇔[1/α2x T k∗P −1]⩾0,k ∈[1,l ].(45)如果X R 是一个椭圆,则约束条件(44b)等价为Rα2⩾P ⇔[R/α2I ∗P −1]⩾0;(46)约束条件(44d)等价为∣f j x ∣⩽1,∀x ∈ε(P ),j ∈[1,m ]⇔f j P −1f T j ⩽1⇔[1f j P−1∗P−1]⩾0,j ∈[1,m ].(47)令β=1/α2,X =P −1,˜F =F P −1,则˜f j 为˜F 的第j 行.如果X R 是一个多面体,则式(44a)中的优化问题等价为min X,Fβ.(48a)s .t .[βx T k∗X]⩾0,k ∈[1,l ];(48b)式(19a)或(19b),∀i ∈[1,2m ];(48c)[1˜f j∗X]⩾0,j ∈[1,m ].(48d)如果X R 是一个椭圆,则式(44a)中的优化问题等价为min X,Fβ.(49a)s .t .[βR I ∗X]⩾0,k ∈[1,l ];(49b)第12期曹慧超等:执行器饱和不确定NCS 非脆弱鲁棒容错控制1881式(19a)或(19b),∀i ∈[1,2m ];(49c)[1˜f j∗X]⩾0,j ∈[1,m ].(49d)3仿真研究考虑闭环系统(9),采用文献[7]中的模型数据,其中A =[−1.52−4−3],B =[2041],∣∣A ∣∣=0.01,∣∣B ∣∣=0.01,H 1=[0.1000.1],E 1=E 2=[0.1000.1],H 2=[10.50.51],E 3=[2−0.50.51.5],F 1(t )=F 2(t )=[sin t 00cos t],f (t )=[0.03sin x 1(t )0.01sin x 2(t )],G =[0.1000.1].3.1结论有效性验证假设采样周期为T =0.1s,从传感器到控制器和从控制器到执行器的最大丢包数目为2,若取时延τk =0.05+0.35∣sin t ∣,则相应区间时变时延ℎ(t )=T ⋅Random(0∼2)+0.05+0.35∣sin t ∣,ℎM =0.6,ℎm =0.05,δ=0.55,μ=0.35.系统初始状态为x (0)=[1−1]T ,执行器失效故障按如下3种情形进行讨论:M =M u =M l =下界;一般情形M ∈(M l ,M u );M =M u =M l =正常.参数如表1所示.表1执行器参数M lM u下界[0.10;00.1][0.10;00.1]一般情形[0.10;00.1][0.80;00.9]正常情形[10;01][10;01]采用X R ={[sin θcos θ]},θ∈[0,2π]形式的凸多面体作为参考集,其中θ=0.4π.通过式(48a)对上述执行器情形分别进行优化,所得参数如表2所示.表2执行器各种情形下NCS 控制器参数α∗P ∗K ∗下界0.0163[0.4894−0.0251−0.02510.4168][0.0083−0.0304−0.03530.0018]一般情形0.0170[0.3401−0.0391−0.03920.2731][−0.0344−0.1247−0.16290.0188]正常情形0.0171[0.2997−0.0338−0.03380.2403][−0.0522−0.1424−0.18790.0212]分别画出闭环故障NCS (9)在执行器3种情形下的最大吸引域,即最大收缩不变椭球ε(P ∗,1),如图1所示.420-2x 2-2-1123x 1m m i li=m m m li i ui <<m i =1图1闭环故障NCS 最大容错吸引域的估计从图1的仿真曲线可以看出,闭环系统在执行器发生结构性失效故障情况下,故障最严重时所得吸引域最小,但仍能保证执行器故障下闭环系统具有鲁棒完整性.闭环故障系统状态分量x 1,x 2的响应曲线分别如图2和图3所示,相应执行器饱和信号曲线分别如图4和图5所示.4812t /s-1-21x 1m m i li=m m m li i ui <<m i =1图2闭环系统状态x 1的响应曲线4812t /sm m i li=m m m li i ui <<m i =110-12x 2图3闭环系统状态x 2的响应曲线4812t /sm m i li=m m m li i ui <<m i =1-0.5-11s a t (())u t 10.5图4闭环系统饱和执行器sat(u 1)输出曲线1882控制与决策第28卷1s a t (())u t 20.540812t /sm m i li=m m m li i ui <<m i =1-0.5-1图5闭环系统饱和执行器sat(u 2)输出曲线从图4和图5的仿真曲线可以看出,执行器的饱和现象出现在控制初始阶段,即sat(u 1(t ))在0.8∼3.5s,sat(u 2(t ))在2∼3s.从图2和图3的仿真曲线可以看出,即使在此情形下,控制器参数同时发生摄动,不确定NCS 在执行器发生结构性失效故障时仍是稳定的,说明采用文中所述方法设计的非脆弱鲁棒容错控制器,对于具有执行器饱和、控制器参数摄动及非线性扰动约束的不确定NCS,在执行器发生结构性失效故障时仍能使系统具有鲁棒完整性.3.2结论保守性分析当不考虑执行器饱和、控制器参数摄动及非线性扰动时,本文针对系统(9)的研究退化为不确定NCS 的鲁棒完整性问题.取μ=0.3,与已有少保守性结论[9]比较,其最大允许时延如表3所示.表3最大允许时延上界ℎmax M方法ℎm =0.1文献[9]1.0154定理11.2839从表3结果可以看出,使闭环故障系统具有鲁棒完整性时,本文方法得到的最大允许时延上界大于文献[9],说明本文结论具有更少的保守性,这对多约束下增加控制器可行解的空间和提高容错满意度是很有价值的.4结论本文以NCS 为被控对象,考虑系统网络诱导时延和数据丢包、模型参数不确定性、非线性扰动、执行器饱和以及控制器参数摄动等多种约束,研究了执行器发生结构性失效故障时系统的鲁棒容错控制问题.文中采用非脆弱鲁棒状态反馈控制律,基于时滞依赖的Lyapunov 方法,结合输入饱和函数的凸组合表示,推证出了闭环不确定NCS 在执行器发生结构性失效故障时稳定的不变集条件;充分应用各种时延信息,在尽可能少放大的基础上保留了有用项,未引入Lyapunov-Krasovskii 泛函之外的其他自由权矩阵,减少了决策变量的个数,给出了可行性高、保守性少的非脆弱鲁棒容错控制器;结合给出的容错吸引域定义,采用椭圆逼近法,通过优化处理得到了最大容错吸引域的估计.最后以一个仿真算例验证了文中所述方法的可行性和有效性.参考文献(References )[1]Hespanha J P,Naghshtabrizi P,Xu Y .A survey of recent results in networked control systems[J].Proc IEEE,2007,95(1):138-162.[2]Gao Huijun,Chen Tongwen,James Lam.A new delay system approach to network-based control[J].Automatica,2008,44(1):39-52.[3]Patton R J,Kambhampati C,Casavola A,et al.Fault-tolerance as a key requirement for the control of modern systems[J].The Int Federation of Automatic Control,2006,6(1):26-36.[4]郑英,方华京.不确定网络化控制系统的鲁棒容错控制[J].西安交通大学学报,2004,38(8):804-807.(Zheng Y ,Fang H J.Robust fault tolerant control of networked control system with time-varying delays[J].J of Xi’an Jiaotong University,2004,38(8):804-807.)[5]Huo Zhihong,Fang Huajing.Research on robust fault-tolerant control for networked control system with packet dropout[J].J of Systems Engineering and Electronics,2007,18(1):76-82.[6]黄鹤,韩笑冬,谢德晓,等.网络控制系统的鲁棒H 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不确定机器人系统轨迹跟踪鲁棒控制随着机器人技术的迅速进步和应用的广泛推广，人们对机器人系统的性能要求也越来越高。

在机器人系统中，轨迹跟踪是一项重要的功能，它能够实现机器人在规定的轨迹下运动，并达到精确的控制。

然而，由于机器人系统的不确定性以及外部环境的复杂性，机器人实现轨迹跟踪鲁棒控制依旧面临诸多挑战。

不确定机器人系统中的不确定性主要有两个方面，一是机器人自身的建模误差，二是外部环境的变化。

机器人的建模误差包括传感器误差、执行器误差等，这些误差会导致机器人在运动过程中出现偏差；外部环境的变化包括摩擦力、风力等干扰因素，这些因素也会对机器人的轨迹跟踪造成干扰。

因此，如何在这种不确定性下实现鲁棒的轨迹控制成为了一个关键问题。

在解决不确定机器人系统的鲁棒控制问题时，可以接受多种方法。

一种常用的方法是基于PID控制器的设计。

PID控制器具有简易易实现、稳定性好的特点，可以通过调整比例、积分、微分三个参数来实现鲁棒控制。

然而，由于不确定机器人系统存在的不确定性，传统的PID控制器往往无法满足要求。

因此，探究人员提出了一系列改进的PID控制方法来应对不确定机器人系统的挑战。

一种改进的PID控制方法是模糊PID控制。

模糊PID控制通过引入模糊逻辑来处理不确定性，依据实时的系统状态和误差信息来调整控制器的输出。

模糊PID控制器可以依据系统的运动误差、误差变化量和误差积重量来进行鲁棒控制，从而提高机器人的轨迹跟踪性能。

另一种改进的PID控制方法是自适应PID控制。

自适应PID控制通过引入自适应机制来处理不确定性。

自适应PID控制器可以依据实时的系统状态和误差信息来自主地调整控制器的参数，从而实现对不确定性的自适应控制。

自适应PID控制器可以依据系统的运动误差、误差变化量和误差积重量来进行鲁棒控制，提高机器人的轨迹跟踪精度和鲁棒性。

此外，还有一些其他的改进方法，如模型猜测控制、鲁棒自适应控制等，这些方法都可以在一定程度上提高机器人系统的轨迹跟踪鲁棒性能。