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南宁三中2024~2025学年度上学期高一月考（一）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．如果，则正确的是（ ）A ．若a >b，则B ．若a >b ，则C ．若a >b ，c >d ，则a +c >b +dD ．若a >b ，c >d ，则ac >bd3．设命题甲：，命题乙：，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既充分又必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数x ，y 满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若不等式的解集是或x >2}，则a ，b 的值为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．在R 上定义运算：a ⊕b ＝(a ＋1)b .已知1≤x ≤2时，存在x 使不等式(m －x )⊕(m ＋x )<4成立，则实数m 的取值范围为（ ）{}22M x x =-<<{1,0,1,2}N =-M N = {1,0,1}-{0,1,2}{}12x x -<≤{}12x x -≤≤,,,R a b c d ∈11a b<22ac bc >{}3|0x x <<{|||}12x x <－14,23x y -<<<<z x y =-{|31}z z -<<{|42}z z -<<{|32}z z -<<{|43}z z -<<-20x ax b ++>{3x x <-1a =6b =1a =-6b =1a =6b =-1a =-6b =-2y ax bxc =++ay x=()y b c x =+A．{m|－2<m<2}B．{m|－1<m<2}C．{m|－3<m<2}D．{m|1<m<2}8．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+ii，其中i为虚数单位，则|z|=A. 12B. 22C. 2D. 22.已知向量a=(1,3)，b=(t,1)，若(a−b)//b，则实数t的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数f(x)=x3+e x−ax在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为πB. 函数y=f(x)g(x)的最大值为12C. 函数y=f(x)g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l:(m−2)x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法正确的是( )A. l 过定点(2,3)B. C 的半径为9C. l 与C 可能相切D. l 被C 截得的弦长最小值为2710.已知0<β<α<π4，且sin (α−β)=13，tan α=5tan β，则( )A. sin αcos β=56 B. sin βcos α=112C. sin 2αsin 2β=536D. α+β=π611.已知f(x)=2x 3−3x 2+(1−a)x +b ，则下列结论正确的是( )A. 当a =1时，若f(x)有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当a =1且x ∈(0,π)时，f(sin x)<f(sin 2x)C. 若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b =2D. 若f(x)存在极值点x 0，且f(x 0)=f(x 1)，其中x 0≠x 1，则2x 0+x 1=32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2022年广西南宁高一期末数学模拟卷一．单选题（每小题5分,8小题共40分）.1.命题“∀x≥0，x2−x≥0”的否定是( )A. ∃x<0，x2−x<0B. ∀x>0，x2−x<0C. ∃x≥0，x2−x≥0D. ∃x≥0，x2−x<02.已知集合A={x|0<log4x<2}，B={x|e x−3≤1}，则A∩(∁R B)=( )A. (3,16)B. (3,8)C. (1,3]D. (1,+∞)3.已知锐角α的终边上一点P(sin40∘,1+cos40∘)，则锐角α=( )A. 80∘B. 70∘C. 20∘D. 10∘4.已知正数x，y 满足1x +4y+1=3，则x+y的最小值为( )A. 53B. 2 C. 73D. 6我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).若小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin(θ−π2)−cos (θ+π6)=( )A. 5+4√310B. 5−4√310C. −5+4√310D. −5−4√3105.若0<a<b<1，x=a b，y=b a，z=log b a，则x，y，z大小关系正确的是( )A. x<y<zB. y<x<zC. z<x<yD. z<y<x6.定义域在R上的函数f(x)是奇函数且f(x)=f(x+π)，当x∈[π2,π]时，f(x)=sinx，则f(−20213π)的值为( )A.−√32B. √32C. −12D. 12二．多选题（每小题5分，部分对2分，选错0分，4小题，共20分）.7.若函数f(x)={a x,x≥1,(4−a2)x+2,x<1,且满足对任意的实数x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0成立，则实数a的取值范围是( )A. [4,8)B. (4,8)C. (1,8]D. (1,8)8.下列计算正确的是( )A. √(−3)412=√−33B. (a23b12)(−3a12b13)÷(13a16b56)=−9a(a>0,b>0)C. √√93=√33D. 已知x2+x−2=2，则x+x−1=29.在同一平面直角坐标系中，函数y=x2+ax+a−3与y=a x(a>0，且a≠1)的图象可能是( )A. B.C. D.10.已知函数f(x)=sin(2x+π4)，则( )A. 函数y=|f(x)|的最小正周期为πB. 直线x=5π8是y=f(x)图象的一条对称轴C. y=f(x)+f(2x−π8)的值域为[−98,2]D. 若ω>0，f(ωx)在区间[π2,π]上单调，则ω的取值范围是(0,18]11.设函数╔╔f(x)= \ begin{cases}|\log_{2}x|,02.\end{cases} ╗╗若实数a，b，c满足0<a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)，则下列结论恒成立的是( )ab=1 B. c−a=32C. b2−4ac<0 D. a+c<2b三．填空题（每小题5分，4小题共20分）.12. 函数f(x)=1√4−xlog 2(x −2)的定义域为 ． 13. 若函数f(x)=2sinωx +2cos(ωx +π4)(ω≠0)的一个周期是π2，则ω的取值可以是 .(写出一个即可)14. 已知函数f(x)={2−x,x ≥1,x 2,x <1,那么f(f(3))= ;若存在实数a ，使得f(a)=f(f(a))，则a 的个数是 .(第一空2分，第二空3分)15. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t <2)左侧的图形的面积为f(t)，现给出函数f(t)的四个性质，其中说法正确的是 ． ①f(12)=√34; ②f(t)在(0,2)上单调递增; ③当t =1时，f(t)取得最大值; ④对于任意的t ∈(0,2)，都有f(t)+f(2−t)=√3．四．解答题（第17题10分，18-22每小题12分，共70分）. 16. 已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|(x −m)(x −m −1)≥0.(1)当m =1时，求A ∪B;(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．17. 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，已知点P 的坐标为(−35,45).(1)求sin2α+cos2α+11+tanα的值; (2)若cosαcosβ+sinαsinβ=0，求sin(α+β)的值．18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． ①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数; ②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f(π4)=0; ③直线x =0与直线x =π2是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)=2． 问题：已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，若 ．(1)求ω，φ的值;(2)将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象，求g(x)在[0,π]上的最小值和最大值．19. 某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况，选择一段长度为240km 的平坦高速路段进行测试，经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位：L)与速度v(单位：km/ℎ)(0≤v ≤120)的一些数据如下表所示． v 0 406080 90 F203 6581020为了描述汽车每小时耗油量F 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择： F(v)=av 3+bv 2+cv ，F(v)=(12)v +s ，F(v)=klog m v +n(m >0，且m ≠1)． (1)请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式． (2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少⋅20. 定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x ，y 都满足f(x y )+2f(yx )=2x−yx． (1)求f(2)的值;(2)求f(x)的解析式;(3)设函数g(x)=xf(x)，求g(x)在区间[14,2m ]上的最大值ℎ(m)． 21. 已知函数g(x)=ax 2−2ax +1+b(a ≠0,b <1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=g(x)x． (1)求a ，b 的值;(2)若不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0在x ∈[−1,1]时恒成立，求实数k 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查全称量词命题的否定，是基础题 【解答】解：根据全称量词命题的否定的定义可知，命题“∀x ≥0，x 2−x ≥0”的否定是“∃x ≥0，x 2−x <0”.故选D ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查交并补混合运算，是基础题 【解答】解：因为集合A ={x|0<log 4x <2}={x|1<x <16}，B ={x|e x−3≤1}={x|x ≤3}，所以∁R B =(3,+∞)，A ∩(∁R B)=(3,16).故选A ．3.【答案】B【解析】 【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，是中档题利用任意角的三角函数的定义和同角三角函数基本关系求解即可 【解答】解：点P 到坐标原点的距离为√sin 240∘+(1+cos40∘)2=√2+2cos40∘= √2+2×(2cos 220∘−1)=2cos20∘， 由三角函数的定义可知cosα=sin40∘2cos20∘=2sin20∘cos20∘2cos20∘=sin20∘．∵点P 在第一象限，且α为锐角，∴α=70∘.故选B ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，是基础题【解答】解： 由题得x +y =x +(y +1)−1=13×[x +(y +1)]×3−1=13×[x +(y +1)]×(1x +4y+1)−1=13×(5+y+1x +4x y+1)−1≥13×(5+2√y+1x ·4xy+1)−1=2，当且仅当x =y =1时取等号，所以x +y 的最小值为2.故选B ．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查诱导公式和两角和与差的余弦公式，是基础题 【解答】解： 设直角三角形较短的直角边的长为x(x >0)， ∴x 2+(x +2)2=102，解得x =6． ∴sinθ=35，cosθ=45，∴sin(θ−π2)−cos(θ+π6)=−cosθ−(cosθcos π6−sinθsin π6)=12sinθ−(√32+1)cosθ=−4√3−510.故选D ． 6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查利用指数函数对数函数单调性比较大小，是基础题 【解答】解：∵0<a <b <1，∴a b <a a <b a <b 0=1，log b a >log b b =1， ∴x <y <z ，故选A ．7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数奇偶性和周期性求函数值，是中档题 【解答】解：因为f(x)=f(x +π)，所以函数的周期为π． 因为函数f(x)是奇函数，当x ∈[π2,π]时，f(x)=sinx ，所以f(−20213π)=−f(20213π)=−f(673π+2π3)=−f(2π3)=−sin 2π3=−√32，故选A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查已知分段函数和单调性求参数，是中档题 【解答】解：因为函数f(x)={a x ,x ≥1,(4−a 2)x +2,x <1满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，所以函数f(x)是R 上的增函数， 则{a >1,4−a 2>0,a ≥4−a2+2,解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4,8).故选A ．9.【答案】BC【解析】 【分析】本题考查指数幂的化简求值，是基础题 【解答】解：选项A ，√(−3)412=√3412=√33，故A 错误;选项B ，(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a 23+12−16⋅b 12+13−56=−9a ，故B 正确;选项C ，√√93=916=(32)16=313=√33，故C 正确;选项D ，因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故D 错误.故选BC ．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查函数图像的识别，是中档题 【解答】解：若a >1，则函数y =a x 是R 上的增函数，函数y =x 2+ax +a −3图象的对称轴方程为x =−a2且−a2<0，此时A 符合，B 不符合;若0<a <1，则函数y =a x 是R 上的减函数，且当x =0时，x 2+ax +a −3=a −3<0，所以函数y =x 2+ax +a −3的图象与y 轴的负半轴和交，此时C 符合，D 不符合.故选AC ．11.【答案】BC【解析】 【分析】本题考查正弦函数的性质，是中档题 【解答】解：对于A ，f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期T =2π2=π，由图形的变换知函数y =|f(x)|的最小正周期为π2，故A 不正确; 对于B ，当x =5π8时，f(x)=sin(2×5π8+π4)=sin 3π2=−1，故B 正确;对于C ，y = f(x)+f(2x −π8)=sin(2x +π4)+sin[2(2x −π8)+π4]=√22(sin2x +cos2x) +2sin2x ·cos2x ，设t =sin2x +cos2x ，则t =√2sin(2x +π4)∈[−√2,√2]，2sin2x ⋅cos2x =t 2−1，则y =√22(sin2x +cos2x)+2sin2x ⋅cos2x =√22t +t 2−1=(t +√24)2−98，t ∈[−√2,√2]，∴y min =−98，y max =√22×√2+(√2)2−1=2， ∴函数的值域为[−98,2]，故C 正确; 对于D ，当ω=14时，f(ωx)=sin(12x +π4)，∵x ∈[π2,π]，∴12x +π4∈[π2,3π4]∴f(ωx)=sin(12x +π4)在[π2,π]单调递减，14∉(0,18]，故D 不正确故选BC ．12.【答案】ABC【解析】 【分析】 【分析】本题考查函数与方程的综合应用，结合函数图象进行解答，属于较难题． 作出分段函数的图象，结合图形对选项逐一讨论即可． 【解答】解：作出函数f(x)的图象如图所示．因为实数a ，b ，c 满足0<a <b <c ，且f(a)=f(b)=f(c)，所以−log 2a =log 2b =log 12(c −32)，即a =1b =c −32，且12<a <1则ab =1和c −a =32恒成立，即A ，B 恒成立;又b 2−4ac=1a 2−4a(a+32)=3(12−a)a 2(a+32)<0，所以b 2−4ac<0，所以C 恒成立;a +c −2b =2a +32−2a∈(−32,32)，即当12<a <1时，a +c −2b 的符号不能确定，所以D 不恒成立.故选ABC ．13.【答案】(2,4)【解析】 【分析】本题考查函数的定义域，是基础题 【解答】解：对于函数f(x)=√4−x +log 2(x −2)，有{4−x >0,x −2>0,解得2<x <4． 因此，函数f(x)=√4−x+log 2(x −2)的定义域为(2,4)． 14.【答案】4(答案不唯一)【解析】 【分析】本题考查正弦函数周期性求参，是中档题【解答】解：f(x) =2sinωx +2cos(ωx +π4)=(2−√2)sinωx +√2cosωx =√8−4√2sin(ωx +φ)，其中tanφ=√22−√2=√2+1，则f(x)的最小正周期T =2π1ω．又f(x)的一个周期是π2，从而2π|ω|=π|2k|(k ∈Z ，且k ≠0)， 解得ω=4k(k ∈Z ，且k ≠0)．15.【答案】14【解析】 【分析】【分析】本题考查分段函数求值和分类讨论，属于中档题；由题意两次代值计算可得第一个空，令f(a)=t ，即满足f(t)=t ，分类讨论可得a 值． 【解答】解：f(f(3))=f(−1)=(−1)2=1.令f(a)=t ，即满足f(t)=t ． ①当t =1，即a =±1时，经检验，均满足题意． ②当t <1，即−1<a <1或a >1时，f(t)=t 2，由t =t 2，解得t =0或t =1(舍去);再由t =f(a)=0，解得a =0或a =2． ③当t >1，即a <−1时，f(t)=2−t ，由t =2−t ，解得t =1(舍去).综上所述，共有4个a ．16.【答案】 ② ④【解析】 【分析】结合图形，求出0<t ≤1时和1<t ≤2时满足条件的图形的面积，用分段函数表示f(t)的解析式； 本题考查分段函数的解析式的求法，考查求分段函数的单调性，最值，以及运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 【解答】解： 由题图可知，当0<t ⩽1时，满足条件的图形面积为f(t)=12t ⋅ t ⋅tan π3=√32t 2;当1<t <2时，满足条件的图形面积为f(t)=12×2×1×tan π3−12(2−t)×(2−t)×tan π3=−√32(t −2)2+√3．所以╔╔f (t )= \ begin {cases }\dfrac {\sqrt {3}}{2}t ,0 ①当t =12时，f(12)=√32×(12)2=√38，故 ①错误; ②易知，f(t)在(0,1]上单调递增，在(1,2)上单调递增，且√32×12=√32=−√32×12+√3，则f(t)在(0,2)上单调递增，故 ②正确; ③因为f(t)在(0,2)上单调递增，所以无最大值，故 ③错误; ④当0<t <1时，1<2−t <2，则f(t)+f(2−t)=√32t 2−√32[(2−t)−2]2+√3=√3，当1<t <2时，0<2−t <1，则f(2−t)+f(t)=√32(2−t)2−√32(t −2)2+√3=√3，当t =1时，2−t =1，则f(t)+f(2−t)=2f(1)=2×√32×12=√3，故 ④正确．故答案为 ② ④．17.【答案】解：(1)因为集合A =x|x −2x −3<0}={x|(x −3)(x +1)<0}={x|−1<x <3}，当m =1时，B ={x|(x −1)(x −2)≥0}={x|x ≤1或x ≥2}，所以A ∪B =R ． (2)由题可知集合A ={x|−1<x <3}，B ={x|x ≤m 或x ≥m +1}． 因为x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集， 所以m +1≤−1或m ≥3，解得m ≤−2或m ≥3， 即实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[3,+∞).【解析】本题考查充分不必要条件的应用，同时考查了一元二次不等式的解法，集合的运算． (1)分别求出A ，B ，再根据集合的并集运算，求出A 与B 的并集即可；(2)由于x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，再由判断充分不必要的方法，我们可知A ⫋B ，再根据集合关系求出m 的范围即可．18.【答案】解：(1)由三角函数定义得cosα=−35，sinα=45，∴原式=2sinαcosα+2cos 2α1+sinαcosα=2cos α(sin α+cos α)sin α+cos αcosα=2cos 2α=2×(−35)2=1825．(2)∵cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α−β)=0，且0<β<α<π， ∴α−β=π2，∴β=α−π2， ∴sinβ=sin(α−π2)=−cosα=35， cosβ=cos(α−π2)=sinα=45．∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×45+(−35)×35=725．【解析】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由点P 的坐标为(−35,45)，可得sinα=45，cosα=−35，sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos 2α−1，代入sin 2α+cos 2α+11+tan α即可得出．(2)由cosαcosβ+sinαsinβ=0可得β=α−π2，从而得出sinβ,cosβ的值，再利用两角和差公式即可得出所求 19.【答案】解：(1)选条件 ①:∵f(x)的最小正周期为π，∴T =2πω=π，∴ω=2．又f(x)是偶函数，∴sin(2x +φ)=sin(−2x +φ)对x ∈R 恒成立， 得sin2xcosφ=0对x ∈R 恒成立， ∴cosφ=0，∴φ=kπ+π2(k ∈Z)， 又0<φ<π，∴φ=π2．选条件 ②:∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，∴T =2πω=π， ω=2．又f(π4)=0，∴2sin(2×π4+φ)=0，即cosφ=0， ∴φ=kπ+π2(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ=π2．选条件 ③:∵直线x =0与直线x =π2是f(x)图象上相邻的两条对称轴， ∴T2=π2，即T =2πω=π，∴ω=2．又f(0)=2sinφ=2，∴sinφ=1，∴φ=2kπ+π2(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ=π2．(2)由(1)知无论选择 ① ② ③均有ω=2，φ=π2，即f(x)=2sin(2x +π2)=2cos2x ． 将y =f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y = 2cos[2(x −π6)]=2cos(2x −π3)的图象，将y =2cos(2x −π3)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)=2cos(x 2−π3)的图象，如图．∵0≤x ≤π，∴−π3≤x2−π3≤π6，∴g(x)在[0,2π3]上单调递增;在[2π3,π]上单调递减． 又∵g(0)=2cos(−π3)=1，g(2π3)=2cos0=2，g(π)=2cos π6=√3，∴g(x)在[0,π]的最小值为1，最大值为2． 【解析】(1)条件①：由T =2πω，可得ω=2，再由f(x)是偶函数，知φ=π2+kπ，k ∈Z ，从而求得φ的值；条件②：易知T =2πω=π，可得ω=2，再由f(π4)=0，结合余弦函数的图象，求得φ的值；条件③：由T2=π2，可得ω=2，再由f(0)=2，结合正弦函数的图象，可得φ的值；(2)根据函数图象的变换法则，可得g(x)=2cos(x 2−π3)，再根据余弦函数的单调性，得解．本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知，符合本题的函数模型必须满足定义域为[0,120]，且在[0,120]上单调递增．函数F(v)=(12)v +s 在[0,120]上单调递减，所以不符合题意; 函数F(v)=(12)v +s 在[0,120]上单调递减，所以不符合题意；函数F(v)=klog m v n(m >0，且m ≠1)中的v ≠0，即定义域不可能为[0,120]，也不符合题意 所以选择函数模型F(v)=av 3+bv 2+cv ． 由已知数据得{ 40×(402+40b +c)=203,60×(602a +60b +c)=658,80×(802+80b +c)=10,解得{a =138400b =−1020c =7424所以F(v)=138400v 3−1240v 2724v(0≤v ≤120)．(2)设这辆车在该测试路段的总耗油量为y ，行驶时间为t ．由题意得y =F ⋅t =(138400v 3−1240v 2724v)⋅240v =1160v 2−v +70=1160(v −80)2+30， 因为0≤v ≤120，所以当v =80时，y 有最小值30．所以这辆车在该测试路段上以80km/ℎ的速度行驶才能使总耗油量最少，最少为30L ．【解析】本题考查函数模型的应用，属于中档题．(1)根据题意可知，代入数据列得关于a ，b ，c 的方程组，解方程组即可，故可得解析式．(2)设这辆汽车在该测试路段的总耗油量为y(单位：L)，行驶时间为t(单位：ℎ)，由题意得y =F ·t ，根据二次函数的性质求出最值．21.【答案】解：(1)令x =2，y =1，得f(2)+2f(12)=2×2−12=32，令x =1，y =2，得f(12)+2f(2)=2×1−2=0．由{f(2)+2f(12)=32,f(12)+2f(2)=0,解得f(2)=−12． (2)令xy =t(t ≠0)，则f(t)+2f(1t )=2−1t ，所以f(1t )+2f(t)=2−t ． 由以上两式，解得3f(t)=2−2t 1t，即f(t)=23−23t +13t，所以f(x)=23−23x +13x(x ≠0)．(3)g(x)=−23x 2+23x +13=−23(x −12)2+12．当14<2m <12，即−2<m <−1时，ℎ(m)=g(2m )=−23(4m −2m −12); 当2m ≥12，即m ≥−1时，ℎ(m)=g(12)=12． 综上，╔╔h (m )= \ begin {cases }-\dfrac {2}{3}(4^{m }-2^{m }-\dfrac {1}{2}),-2 【解析】(1)令x =2，y =1和令x =1，y =2联立方程组即可求出f(2)；(2)令xy =t(t ≠0)，则f(t)+2f(1t )=2−1t ，所以f(1t )+2f(t)=2−t ，从而求出f(t)即可得到f(x)；(3)由(2)可得g(x)=xf(x)=−23x 2+23x +13=−23(x −12)2+12，从而分类讨论14<2m <12与2m ≥12两种情况即可得出ℎ(m)．本题考查函数解析式的求解，函数的最值问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．22.【答案】解：(1)g(x)=a(x −1)2+1+b −a ，当a >0时，g(x)在[2,3]上单调递增，故{g(2)=1,g(3)=4, 即{4a −4a +1+b =1,9a −6a +1+b =4,解得{a =1,b =0.当a <0时，g(x)在[2,3]上单调递减，故{g(2)=4,g(3)=1, 即{4a −4a +1+b =4,9a −6a +1+b =1,解得{a =−1,b =3. ∵b <1，∴a =1，b =0．(2)由(1)知，g(x)=x 2−2x +1，f(x)=x +1x −2． 不等式f(2x )−k ⋅2x ≥0可化为2x +12x−2≥k ⋅2x ，1+(12x )2−22x≥k.令12x =m ，则k ≤m 2−2m +1．∵x ∈[−1,1]，∴m ∈[12,2]． 记ℎ(m)=m 2−2m +1， 则ℎ(m)min =0，∴k ≤0. ∴实数k 的取值范围是(−∞,0]．【解析】本题考查了函数的最值问题及不等式的恒成立问题的求解，是中档题(1)由g(x)=a(x −1)2+1−b −a ，对a 分类讨论，得到g(x)在[2,3]上的单调性，结合题意列出方程组，即可求得a,b 的值；(2)化简不等式，分离参数得k ⩽(12x )2−2(12x )+1在x ∈[−1,1]时恒成立，只需k ≤[(12x )2−2(12x )+1]min，换元即可求解k 的取值范围．。
2024级“贵百河—武鸣高中”10月高一年级新高考月考测试数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）A . B.C .D .2.已知命题，则是（ ）A .B .C .D .3.已知集合，则“”是“集合M 仅有1个真子集”的（ ）A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（）A .3B .0C .1D .25.给出下列结论：①两个实数a ，b 之间，有且只有a ﹥b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种；②若，则a ﹥b ；③若，；④已知，则.其中正确结论的个数为（ ）A .1B .2C .3D .4x123230{32}A x x =-<<{05}B x x =<<{35}x x -<<{02}x x <<{30}x x -<≤{3025}x x x -<≤≤<或2:1,1p x x ∀<->p ⌝21,1x x ∃≤-≤21,1x x ∃<-≤21,1x x ∀<->21,1x x ∀≥->{}()210R M x ax x a =-+=∈14a =)(x f y ＝)(x g y ＝()1f g ⎡⎤⎣⎦1>ab0a b >>0a bc d d c >>⇒>0ab >11a b a b>⇔<()f x6.已知函数的定义域是，则的定义域为（）A .B .C .D .7．已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A .B .C .D .8.已知正实数a ，b ，记，则M 的最小值为（）AB .2C .1D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广西壮族自治区南宁市第十九中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的位置关系是（）A．内切 B．外离C．内含D．相交参考答案：A2. 设U=R，A={x|x>0},B={x|x>1},则=( )BA．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x<0} D．{x|x>1} 参考答案：B3. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2﹣2sinx B．﹣x2+2sinx C．x2+2sinx D．x2﹣2sinx参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f （x）=x2﹣2sinx，当x＜0时，﹣x＞0，带入化简可得x＜0时f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，当x＜0时，则﹣x＞0，可得f（﹣x）=x2+2sinx=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣2sinx，4. 设，且满足，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D略5. 下列函数中，在上是增函数的是（）A. B. C． D. 参考答案：C略6. 为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点（）A. 横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B. 横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度C. 横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D. 横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度参考答案：B【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；再向上平行移动1个单位长度，可得函数的图象，【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题．7. 已知分别是的边上的中线，且，则（A）（B）（C）（D）参考答案：B略8. 已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（2）=6，则f（﹣2）=( )A．﹣14 B．14 C．﹣6 D．10参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（x）+f（﹣x）=﹣8，从而根据f（2）=6，可求f（﹣2）的值．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣4∴f（x）+f（﹣x）=ax3+bx﹣4+a（﹣x）3+b×（﹣x）﹣4=﹣8∴f（x）+f（﹣x）=﹣8∵f（2）=6∴f（﹣2）=﹣14故选A．【点评】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性，解题的关键是判断f（x）+f（﹣x）=﹣8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广．9. 设集合P={m|﹣1＜m≤0}，Q={m|mx2+4mx﹣4＜0对任意x恒成立}，则P与Q的关系是（）A．P?Q B．Q?P C．P=Q D．P∩Q=?参考答案：C【考点】集合的表示法．【分析】首先化简集合Q，mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，则分两种情况：①m=0时，易知结论是否成立②m＜0时mx2+4mx﹣4=0无根，则由△＜0求得m的范围．【解答】解：Q={m∈R|mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立}，对m分类：①m=0时，﹣4＜0恒成立；②m＜0时，需△=（4m）2﹣4×m×（﹣4）＜0，解得﹣1＜m＜0．综合①②知m≤0，所以Q={m∈R|﹣1＜m≤0}．因为P={m|﹣1＜m≤0}，所以P=Q．故选：C．10. 200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（ ****** ）A． B．C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 二次函数y=x2-4x+3在区间[1，4]上的值域参考答案：[-1,3]12. 函数y=的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是_____________参考答案：k13. 若，则= _________ ．参考答案：14. 函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点参考答案：（0，3）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），可得函数y=a x+2图象一定过点（0，3），由此得到答案．【解答】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3）．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．15. 若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是．参考答案：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】计算题；待定系数法．【分析】设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）的值．【解答】解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，∴9α=，∴α=﹣，故 f（x）=，∴f（25）==，故答案为：．【点评】本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法．16. 已知函数，则f（x）的最大值为．参考答案：2【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值．【解答】解：∵函数=2sin（x+），∴f（x）的最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题．17. 若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（﹣3）= ．参考答案：8【考点】指数函数的图象与性质．【专题】对应思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】设出指数函数y=f（x）的解析式，利用待定系数法求出f（x）的解析式，再计算f（﹣3）的值．【解答】解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），其图象过点（﹣2，4），∴a﹣2=4，解得a=；∴f（x）=，f（﹣3）==8．故答案为：8．【点评】本题考查了用待定系数法求指数函数解析式的应用问题，是基础题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
