2015年高考数学文真题分类汇编：专题09 圆锥曲线

2015年全国高考理科数学分类汇编——9圆锥曲线1.【2015高考福建，理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．【考点定位】双曲线的标准方程和定义．【评注】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．2.【2015高考四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)3(B) (C)6 （D ）【答案】D 【解析】双曲线的右焦点为(2,0)F ，过F 与x 轴垂直的直线为2x =，渐近线方程为2203y x -=，将2x =代入2203y x -=得：212,||y y AB ==±∴=.选D. 【考点定位】双曲线.【评注】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.3.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ． 【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．【评注】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a ，c 值，再结合双曲线222b c a =-可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33） （B ）（-66）（C ）（3-，3） （D ）（） 【答案】A【解析】由题知12(F F ，220012x y -=，所以12MF MF •u u u u r u u u u r =0000(,),)x y x y -•- =2220003310x y y +-=-<，解得033y -<<，故选A.【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.【评注】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF •u u u u r u u u u r表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF •u u u u r u u u u r表示为0y 的函数是解本题的关键.5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D【解析】依题意，2221)(1ab a b a e +=+=，2222)(1)()(m a m b m a m b m a e +++=++++=， 因为)()()(m a a a b m m a a am ab bm ab m a m b a b +-=+--+=++-，由于0>m ，0>a ，0>b ，所以当b a >时，10<<a b ，10<++<m a m b ，m a m b a b ++<，22)()(ma mb a b ++<，所以12e e <； 当b a <时，1>a b ，1>++m a m b ，而m a m b a b ++>，所以22)()(ma mb a b ++>，所以12e e >. 所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.【评注】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）（A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D 【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减得121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以12121222y y y y x x +-⋅=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得000001,55y k ky x x -⋅=-=--，所以0025,3x x =-=，即点M 必在直线3x =上.将3x =代入24y x =得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆()()22250x y r r -+=>上，所以22222000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.【评注】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x =上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.7.【2015高考重庆，理10】设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC的距离小于a （ ） A 、(1,0)(0,1)-UB 、(,1)(1,)-∞-+∞UC 、(UD 、(,)-∞+∞U 【答案】A【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<+=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-U ，选A .【考点定位】双曲线的性质.【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于,,a b c 的不等式，根据已知条件和双曲线中,,a b c 的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于,a b 的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中,,a b c 关系的不同．8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的渐近线方程为by x a=±，由点(在渐近线上，所以2b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =准线方程x =c =2,a b ==，所以双曲线方程为22143x y -=，故选D.【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.【评注】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中,,a b c 的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C. 【考点定位】1.双曲线的渐近线.【评注】双曲线确定焦点位置的技巧：2x 前的系数是正，则焦点就在x 轴，反之，在y 轴；在双曲线22221x y a b -=的渐近线方程中,b aa b 容易混淆，只要根据双曲线22221x y a b -=的渐近线方程是22220x y a b-=，便可防止上述错误.10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++【答案】A. 【解析】11--===∆∆AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【评注】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．【评注】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．12.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>30x y +=，则a =．【答案】33【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a =±，303x y y x +=⇒=，0a >Q ,则133,3a a-==【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.【评注】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a 的值.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即1, 2.2pp == 【考点定位】抛物线定义【评注】标准方程中的参数p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p ＞0恰恰说明定义中的焦点F 不在准线l 上这一隐含条件；参数p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p 的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5. 【解析】试题分析：根据对称性，不妨设)0,(c F ，短轴端点为),0(b ，从而可知点)2,(b c -在双曲线上，∴5142222==⇒=-ace b b a c . 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【评注】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b ac +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.13.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 【答案】32，x y 22±=. 【解析】由题意得：2=a ，1=b ，31222=+=+=b a c ，∴焦距为322=c ，渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质【评注】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件中的双曲线的标准方程可以求得a ，b ，c ，进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆锥曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.14.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24x y -+=【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则222(4)2a a -=+，解得32a =，故圆的方程为22325()24x y -+=. 【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程【评注】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点（或右顶点），有圆的性质知，圆心在x 轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.15.【2015高考陕西，理14】若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = ．【答案】【解析】抛物线22y px =（0p >）的准线方程是2p x =-，双曲线221x y -=的一个焦点()1F ，因为抛物线22y px =（0p >）的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，所以2p-=，解得p = 【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线22y px =（0p >）的准线方程是2px =-，双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222c b a =+．【2015高考上海，理9】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为y x = 【考点定位】双曲线渐近线【评注】(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分b m a =或am b=讨论． (2)与双曲线22221x y a b-=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a bλλ-=≠；(4)相关点法求动点轨迹方程．16.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .【答案】32【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =,则OB 所在的直线方程为b y x a=-, 解方程组22b y xa x py⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得：2222pb x a pb y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为F 是ABC ∆ 的垂心，所以1OB AF k k ⋅=- , 所以，2222252124pb p b b a pb a a a ⎛⎫- ⎪-=-⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 所以，2222293142c b e e a a ==+=⇒= .【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.【评注】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.17.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

2015年高考数学真题分类汇编 专题09 圆锥曲线 文1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B【解析】∵抛物线2:8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0），∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22221(0)x y a b a b +=>>，c=2，∵12c e a ==，∴4a =，∴22212b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=，将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.2.【2015高考重庆，文9】设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12±(B) ± (C) 1±(D) 【答案】C【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,222>+=c b a c ，)0,(),0,(21a A a A -，),(),,(22ab c C a b c B -，从而),(),,(2221a b a c C A a b a c B A -=-+=，又因为12A B A C ⊥，所以021=∙C A B A ，即0)()()()(22=⋅-++⋅-a b a b a c a c ，化简得到1122±=⇒=a bab ，即双曲线的渐近线的斜率为1±，故选C.【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a 与b 的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.3.【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B (C )6 (D 【答案】D【解析】由题意，a ＝1，b ，故c ＝2，渐近线方程为y x将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±故|AB |＝，选D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.4.【2015高考陕西，文3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出p 的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.5.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.6.【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 【考点定位】椭圆的简单几何性质．【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点()1F ,0c -，右焦点()2F ,0c ，其中222a b c =+．7.【2015高考天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A) 221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D)2213y x -= 【答案】D【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()222y 3x -+=相切得=,由2c ==,解得1,a b ==,故选D.【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.【名师点睛】本题是圆与双曲线的交汇题,虽有一定的综合性,但方法容易想到,仍属于基础题.不过要注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.8.【2015高考湖南，文6】若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A B 、54 C 、43 D 、53【答案】D【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=． 故选D. 【考点定位】双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线22221x y a b-=共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(2)若渐近线方程为b y x a =±，则可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；(3) 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b ；(4) 22221(0.0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ==可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置. 9.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A . 【考点定位】本题主要考查双曲线的渐近线公式.【名师点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选用各自对应的公式，切不可混淆.10.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【解析】不妨设双曲线1C 的焦点在x 轴上，即其方程为：22221x y a b-=，则双曲线2C 的方程为：22221()()x y a m b m -=++，所以1e ==，2e ==，当a b >时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==>+++，所以b m b a m a +>+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e >；当a b <时，()()()0()()b m b b m a b a m a b m a m a a m a a m a ++-+--==<+++，所以b m ba m a+<+，所以22b m b a m a +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以21e e <；故应选D . 【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.11.【2015高考福建，文11】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】A【解析】设左焦点为F ，连接1AF ，1BF ．则四边形1BF AF 是平行四边形，故1AF BF =，所以142AF AF a +==，所以2a =，设(0,)M b ，则4455b ≥，故1b ≥，从而221ac -≥，203c <≤，0c <≤，所以椭圆E的离心率的取值范围是，故选A ． 【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将4AF BF +=转化为142AF AF a +==，进而确定a 的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题．求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量,,a b c 满足的不等量关系，以确定ca的取值范围． 12．【2015高考浙江，文15】椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线by xc=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．【解析】设()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点为(,)Q m n ，则有1222n bm c cn b m c⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⨯⎪⎩，解得3222222,c b bc bc m n a a --==，所以3222222(,)c b bc bcQ a a --在椭圆上，即有32222422(2)(2)1c b bc bc a a b --+=，解得222a c =，所以离心率c e a ==【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于,a c 的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。

2015年全国各省市高考文数——圆锥曲线1.2015新课标1文数（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）122.2015安徽文数6下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 3.2015北京文数（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（A ）22(1)(1)1x y -+-=（B ）22(1)(1)1x y +++=（C ）22(1)(1)2x y +++=（D ）22(1)(1)2x y -+-=4.2015重庆文数9.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为(A) 12±(B) ±(C) 1± (D) 5.2015福建文数7.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b ⊥c ，则实数k 的值等于A.23-B. 35-C.35D.23 6.2015天津文数6.如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE 的长为 (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 527.2015浙江文数7、如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60 ，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB = ，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支8.2015广东文数8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 9.2015湖北文数9. 将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10.2015湖南文数6若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为54 C.43 D.5311.2015湖南文数9. 已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.9 12.2015陕西文数3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)13.2015四川文数7、过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则|AB|＝14.2015四川文数10、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆222(5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)15.2015天津文数5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则双曲线的方程为(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C)2213x y -= (D) 2213y x -= 16.2015福建文数11. 已知椭圆E:12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若4=+BF AF ，点M 到直线l 的距离不小于54，则椭圆E 的离心率的取值范围是 A.⎥⎥⎦⎤⎝⎛230， B.⎥⎦⎤⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡123， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,43 17.2015重庆文数12.若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为___________.118.2015湖南文数13. 若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点，且120AOB ∠= （O 为坐标原点），则r =___________.19.2015山东文数（15）过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a 则C 的离心率为 .20.2015上海文数7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p ___________.21.2015上海文数12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.22.2015浙江文数15、椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点()F ,0c 关于直线b y x c =的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．23.2015北京文数（12）已知（2，0）是双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点，则b =________________24.2015新课标1文数（16）已知F 是双曲线C ：x 2-82y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.当△APF 周长最小是，该三角形的面积为25.2015年新课标II 文数15．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为__________。

第九章 圆锥曲线一．基础题组1.【2007四川，文5】如果双曲线22142x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y 轴的距离是( ) (A)364 (B)362 (C)62 (D)32【答案】()A2.【2009四川，文13】抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 . 【答案】23.【2010四川，文3】抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） (A )1 (B )2 (C )4 (D )8【命题意图】本题主要考查抛物线的方程及性质.4.【2012四川，文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A 、B 、C 、4D 、5.【2013四川，文5】抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ）（A ） （B ）2（C （D ）16.【2014四川，文11】双曲线2214x y -=的离心率等于____________..【考点定位】双曲线及其离心率.7. 【2015高考四川，文7】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A (B (C )6 (D【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力. 二．能力题组1.【2007四川，文10】已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于( )A.3B.4C.【答案】()C2.【2008四川，文11】已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96 【答案】：C【考点】：此题重点考察双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确画出图象，解法1利用数形结合，注意到三角形的特殊性；解法2利用待定系数法求P 点坐标，有较大的运算量；3.【2009四川，文8】已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( ) A . －12 B . －2 C . 0 D . 4 【答案】C4.【2010四川，文10】椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A ）（0] （B ）（0，12] （C ）1-，1） （D ）[12，1） 【答案】D【命题意图】本题主要考查椭圆的性质，焦半径问题.5.【2011四川，文11】在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（ ） （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)-（C ）(2,9)-（D ）(1,6)-【答案】A6.【2011四川，文14】双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____． 【答案】167.【2012四川，文15】椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ∆的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______.8.【2013四川，文9】从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C （D9.【2014四川，文10】已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A ．2B ．3CD 【答案】B【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式. 三．拔高题组1.【2007四川，文21】(本小题满分12分)求F 1、F 2分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，1254PF PF +=-，求点P 的坐标. （Ⅱ）设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎛⎝；（2）2k -<<2k <<.【考点】本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力.2.【2008四川，文22】（本小题满分14分）设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率e =，点2F 到右准线为l （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当MN 取最小值时，12220F F F M F N ++=【答案】：（Ⅰ）2a =，b =；（Ⅱ）证明略.【考点】：此题重点考察椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量与椭圆的综合应用；【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中应灵活应用。

2015年新课标1（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF＜0，则y 0的取值范围是（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（3-，3） （14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

（20）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y=ks+a(a>0)交与M,N 两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当K 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由。

2015新课标Ⅱ（11）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（A（B）2 （C（D20. 已知椭圆C：，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB 能否平行四边行？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.2015年北京卷10．已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）； （Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．2015年广东卷5.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是 A.20x y -=或20x y -= B. 20x y +=或20x y += C.250x y -+=或250x y --= D. 250x y ++=或250x y +-=7、已知双曲线C ：2222-1(00)x y a b a b=>>，的离心率为5e 4=，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线的方程为A 、22-143x y =B 、22-1169x y =C 、22-1916x y =D 、22-134x y =20、已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．2015年江苏卷12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。

河南教考资源信息网 版权所有・严禁转载1C.1第九章圆锥曲线1.【2015咼考福建，理3】若双曲线 2y 161的左、右焦点分别为 F I ,F 2，点P 在双曲线E 上，且 PR 3，则PF 2等于（） A . 11 C . 5【答案】B 【解析】由双曲线定义得 PF 1 PF 2 【考点定位】双曲线的标准方程和定义.2a 即 3 PF 2|| 6，解得PF 2 9，故选B .【名师指点】本题考查了双曲线的定义和标准方程, 利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运 算的准确性. 2.【2015高考四川，理5】过双曲线 1的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线 于A , B 两点，则 AB 4.3(A)4T (B) 2、、3 (C)6 (D) 43 【答案】D 【解析】 双曲线的右焦点为 F(2,0)，过 F 与x 轴垂直的直线为 渐近线方程为x 22汽，将 x 2代入2x 2 -0 得: 3 y 2 1_,y 2,3, | AB| 4.3 .选 D. 【考点定位】双曲线. x 2【名师指点】双曲线 _ a 2 y_ b 2 1的渐近线方程为2 y b 20，将直线x 2代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出|AB|的值. 3.【2015高考广东，理 7】已知双曲线C : 2 x2a y 2b 2 1的离心率-，且其右焦点F 2 5,0 ，则双曲线4C 的方程为 2x B.x 216 99162 x D.2y- 1【答案】B .c 5【解析】因为所求双曲线的右焦点为F 2 5,0且离心率为e,所以c 5 , a 4 , b 2 c 2 a 2 9a 4【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质.【名师指点】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心umu uujur焦点，若MF 1?MF 2 0，则(B ,【答案】A■=1【解析】由题知耳-辰皿人血切,辛-丁二人所以陌•晅■ (-7?>■)■-yr + i ； - ? = 3v : -1^ 0,解得一—< v. —,故选丄y* aL .» 之 L〜1J【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法 jjjj uujur【名师指点】本题考查利用向量数量积的坐标形式将MF/MF 2表示为关于点M 坐标的函数，禾U 用点 M 在jjjj ujuu双曲线上，消去x o ，根据题意化为关于 y 0的不等式，即可解出 y 0的范围，是基础题，将 MR7MF 2表示为y o 的函数是解本题的关键5. [ 2015高考湖北，理8 】将离心率为^的双曲线G 的实半轴长a 和虚半轴长b (ab)同时增加 m (m 0)个单位长度，得到离心率为 e 2的双曲线 C 2，则()A .对任意的a, b , e ◎B .当 当a b 时, e e 2 ；当 兰a b 时， e e 2C .对任意的a, b , e e.D .当当a b 时,U ea ；当当a b 时， e 1 e2【答案】D所以所求双曲线方程为1691，故选B •率和其右焦点易得a , c 值，再结合双曲线b 22 2c a 可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题.4.【2015高考新课标1，理5】已知M ( X g , y g )是双曲线C :2—y 2 1上的一点, 2F 1,F 2是C 上的两个y o 的取值范围是【考点定位】双曲线的性质，离心率 .【名师指点】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法•分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统 ，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.2 2 2 26.【2015高考四川，理10】设直线I 与抛物线y 4x 相交于A , B 两点，与圆x 5 y r r 0相切于点M ,且M 为线段AB 的中点•若这样的直线I 恰有4条，贝y r 的取值范围是（ ）（A ） 1,3 （B ） 1,4（C ） 2,3（ D ） 2,4【答案】D 【解析】显然当直线I 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线I 的斜率存在时，设斜率为 k .设【解析】依题意,eia 2b 21（a ）2 ， e 2(a m)2 (b m)21 V)2，a mb b m因为一a a mabbm ab am m(b a)a(a m)a(a m)，由于m所以当a b 时, 当a b 时，— a 所以当a b 时,a me> ；当 a b 时，e1，P ab m a m ' e 2.b m a m '所以(-)2a(―)2 (-_ )2，所以 e 1 e 2 ； a a m b m 2 ( )，所以e e . a m所以 dy 2 y 1 y22x 1 x 22 5 X 0,X 0M 在圆x 5于斜率不存在, 2 y1X 2，M(x 0，y °)，则 2y 2即ky 0 2.圆心为3，即点M r 2必在直线x 3上.将x2r 0上，所以(x 0 5)故 y 。

10.5圆锥曲线的综合问题1.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点(2,√2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)由题意有√a2-b2a =√22,4a2+2b2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x 28+y24=1.(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入x 28+y24=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=x1+x22=-2kb2k2+1,y M=k·x M+b=b2k2+1.于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =-12k,即k OM·k=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.2.(2015陕西,20,12分)如图,椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为√22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.解析(1)由题设知ca =√22,b=1,结合a 2=b 2+c 2,解得a=√2. 所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ 的方程为y=k(x-1)+1(k ≠2),代入x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知可知Δ>0. 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1x 2≠0,则x 1+x 2=4k(k -1)1+2k 2,x 1x 2=2k(k -2)1+2k 2.从而直线AP,AQ 的斜率之和 k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2十余年化学教案行程数千里化学教案历经艰难险阻化学教案一边宣传自己的政治主张化学教案一边=2k+(2-k)(1x 1+1x 2)=2k+(2-k)x 1+x2x 1x2反应放出或吸收的热量（=2k+(2-k)4k(k -1)2k(k -2)=2k-2(k-1)=2.考点二 参变量的取值范围与最值问题1.(2015山东,21,14分)平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,且点(√3,12)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E:x 24a 2+y 24b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q.(i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ 面积的最大值. 解析 (1)由题意知3a 2+14b 2=1,又√a 2-b 2a =√32,解得a 2=4,b 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1.(i)设P(x 0,y 0),|OQ||OP|=λ, 由题意知Q(-λx 0,-λy 0).因为x 024+y 02=1,又(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1,所以λ=2,即|OQ||OP|=2. (ii)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 将y=kx+m 代入椭圆E 的方程, 可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0, 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2.①则有x 1+x 2=-8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2-161+4k 2.所以|x 1-x 2|=4√16k 2+4-m 21+4k 2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2| =2√16k 2+4-m 2|m|1+4k 2 =2√(16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2√(4-m 21+4k 2)m 21+4k 2. 设m 21+4k 2=t.将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2.② 由①②可知0<t ≤1,因此S=2√(4-t)t =2√-t 2+4t . 故S ≤2√3,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2√3. 由(i)知,△ABQ 面积为3S, 所以△ABQ 面积的最大值为6√3.考点三 存在性问题1.(2015四川,20,13分)如图,椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是√22,点P(0,1)在短轴CD 上,且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1.(1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.解析 (1)由已知,点C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点P 的坐标为(0,1),且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,于是{1-b 2=-1,c a =√22,a 2-b 2=c 2.解得a=2,b=√2.所以椭圆E 方程为x 24+y 22=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立{x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k)2+8(2k 2+1)>0,所以,x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.从而,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1 =(-2λ-4)k 2+(-2λ-1)2k 2+1=-λ-12k 2+1-λ-2.所以,当λ=1时,-λ-12k 2+1-λ-2=-3. 此时,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ =-3为定值. 当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD.此时,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-1=-3.故存在常数λ=1,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值-3. 2.(2015湖北,22,14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处饺链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时,带动．．N 绕O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为C.以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.图1图2(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解析(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4.当M,N在x轴上时,等号成立;同理,|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为x 216+y24=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=12×4×4=8.(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m(k≠±12),由{y=kx+m,x2+4y2=16,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由{y =kx +m,x -2y =0,可得P (2m 1-2k ,m 1-2k );同理可得Q (-2m 1+2k ,m1+2k ).由原点O 到直线PQ 的距离为d=√1+k 2和|PQ|=√1+k 2·|x P -x Q |,可得S △OPQ =12|PQ|·d=12|m||x P -x Q |=12·|m||2m1-2k +2m1+2k |=|2m 21-4k 2|.②将①代入②得,S △OPQ =|2m 21-4k 2|=8|4k 2+1||4k 2-1|耳目开涤；又违膝下色养久化学教案得归省视化学教案颇忘其身之贱贫试卷试题独念二三友朋乖当k 2>14时,S △OPQ =8·4k 2+14k 2-1=8(1+24k 2-1)>8;当0≤k 2<14时,S △OPQ =8·4k 2+11-4k 2=8(-1+21-4k 2).因0≤k 2<14,则0<1-4k 2≤1,21-4k 2≥2, 所以S △OPQ =8(-1+21-4k 2)≥8, 当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.。

圆锥曲线与方程1.（15北京理科）已知双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为30x y +=，则a =． 【答案】33考点：双曲线的几何性质2.（15北京理科）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】试题分析：椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，点()01P ，在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数222,1ab ==，写出椭圆方程；由点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠求出tan OQM ∠和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出02y =±，则存在点Q （0，2）±使得OQM ONQ ∠=∠.试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()01P ，且离心率为2，2211,1,b b == 222c e a =22221112a b a a-==-=，22a =，椭圆C 的方程为2212x y +=.(0,1),(,)P A m n ,直线PA 的方程为：11n y x m -=+，令0,1m y x n==-，(,0)1mM n∴-；考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.3.（15北京文科）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3 【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以b =. 考点：双曲线的焦点.4.（15北京文科）已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【答案】（1（2）1；（3）直线BM 与直线DE 平行. 【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用ce a=计算离心率；第二问，由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；第三问，分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行. 试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c =.所以椭圆C 的离心率c e a ==. （Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--. 令3x =，得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--. 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=. 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.5.（15年广东理科）已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ． 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．6.（15年广东理科）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=， ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--， ∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，L当直线L与圆C相切时，由32=得34k=±，又5743DE DFk k⎛-⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,4477k⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L：()4y k x=-与曲线C只有一个交点．【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于中高档题．6.（15年广东文科）已知椭圆222125x ym+=（0m>）的左焦点为()1F4,0-，则m=（）A．9B．4C．3D．2【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m=-=，因为0m>，所以3m=，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．7.（15年安徽理科）设椭圆E的方程为()222210x ya ba b+=>>，点O为坐标原点，点A的坐标为()0a，，点B的坐标为()0b，，点M在线段AB上，满足2BM MA=，直线OM的斜率为10.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为()0b-，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.8.（15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 【答案】A 【解析】试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 考点：渐近线方程.9.（15年安徽文科）设椭圆E 的方程为22221(0),x y a b a b+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B 的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM 的5（1）求E 的离心率e;(2)设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB 。

2015全国各地高考真题 圆锥曲线1.【2015福建理3】若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．32.【2015四川理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =（ ）(A)433(B)23 (C)6 （D ）433.【2015高考广东，理7】已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 4.【2015高考新课标1，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）5.【2015高考湖北，理8】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >6.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13，（B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 7.【2015重庆理10】设双曲线22221x y a b -=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)- B 、(,1)(1,)-∞-+∞ C 、(2,0)(0,2)- D 、(,2)(2,)-∞-+∞8.【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=10.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B. 2211BF AF -- C.11BF AF ++ D. 2211BF AF ++ 11.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ） A ．5 B ．2 C ．3 D ．212.【2015高考北京，理10】已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．13.【2015高考上海，理5】抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．14.【2015高考湖南，理13】设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .15.【2015高考浙江，理9】双曲线2212x y -=的焦距是 ，渐近线方程是 ． 16.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=错误！未找到引用源。