3.第二章 行列式(下)

线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章行列式行列式是线性代数中的重要概念之一。

行列式的定义包括二三阶行列式和N阶行列式。

其中，N阶行列式是由行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和构成的。

行列式的计算需要用到奇偶排列、逆序数和对换等概念。

行列式还具有多种性质，如行列式行列互换其值不变，行列式中某两行（列）互换，行列式变号等。

通过这些性质，我们可以推论出行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零等结论。

行列式还有一些特殊的形式，如转置行列式、对称行列式、反对称行列式、三线性行列式和上（下）三角形行列式等。

行列式在解线性方程组中应用广泛，如克莱姆法则。

非齐次线性方程组的系数行列式不为零时，有唯一解；而齐次线性方程组的系数行列式为1时，只有零解。

第二章矩阵矩阵是线性代数中另一个重要概念。

矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中包括零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵和相等矩阵等。

矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。

其中，加法和数乘都满足交换律和结合律。

而矩阵的乘法需要满足行数等于列数的规则。

矩阵的乘法运算需要用到矩阵的元素之间的乘积和求和。

在矩阵的运算中，我们需要注意矩阵的类型和是否有意义。

一般情况下，矩阵乘法不满足消去律。

即使已知AB=0，也不能得到A=0或B=0.对于矩阵A，它的转置等于A乘以A加B。

即transpose(A)=A(A+B)。

对于标量k和矩阵A，有(kA)=kA和(AB)=BA（反序定理）。

对于方幂A^k，有(A^k)=(A^1+k/2)+(A^2+k/2)。

有几种特殊的矩阵，如对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵、上下三角形矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、阶梯型矩阵和分块矩阵。

对于分块矩阵，加法、数乘和乘法的规则类似，而转置需要对每个子块进行转置。

矩阵的逆矩阵指的是存在一个N阶矩阵B，使得AB=BA=I。

如果矩阵A是可逆的，则称它是非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵，其行列式为0.初等变换不会改变矩阵的可逆性，而初等矩阵都是可逆的。

第二章 行列式知识点考点精要一、排列1、基本概念 定义1：由1,2,,n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。

定义2：排列中，若一对数前后位置与大小顺序相反，则称为一个逆序，一个排列中逆序总数称为该排列的逆序数。

定义3：逆序数为偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列。

2、性质性质1 对换改变排列的奇偶性。

性质2 任一n 级排列与排列1,2,,n 都可经过一系列对换而互变，并且所作对换个数与该排列有相同奇偶性。

性质3 n 级排列共有!n 个，其中奇排列、偶排列的个数各有!2n 个。

二、n 级行列式1、定义1212121112121222()12()12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12()n j j j ∑是对所有的n 级排列12nj j j 求和。

要点：（1）n 级行列式是!n 项的代数和；（2）每一项是取自不同行、不同列的n 个元素的乘积；（3）在行下表按自然顺序排列的前提下，每项的符号由列指标排列的逆序数的奇偶性确定；（4）行列式的值是一个数。

2、行列式的性质性质1 行列式的行列互换，行列式的值不变； 性质2 数k 乘行列式某行（列）等于数k 乘此行列式；性质3 如果行列式中某行(列)是两组数的和，那么行列式等于两个行列式的和； 性质4 如果行列式中有两行（列）相同，行列式等于零；性质5 如果行列式中有两行（列）对应分量成比例，行列式等于零； 性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列是不变； 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

3、行列式按行（列）展开 设111212122212n n n n nna a a a a a d a a a =则下列公式成立：10nik jk k d i ja A i j ==⎧=⎨≠⎩∑当当； 10nsk sls d k la A k l ==⎧=⎨≠⎩∑当当。

第一章 行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、 行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。

练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。

练习：若行列式+++2、 代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。

练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。

练习：--- 3、 行列式计算1） 对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2） 利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3） 利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。

=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。

==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。

说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。

2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。

3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。

第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。

2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。

总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。

第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。

2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。

4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。

5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。

第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。

高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。

证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。

13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。

证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。

14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。

证必要性。

采用反证法。

若正惯性指数秩r，则。

即，22222 若令，y，则可得非零解使。

这与所给条件矛盾，故。

充分性。

由，知，222故有，即证二次型半正定。

．证明：是半正定的。

证（）可见：。

21）当不全相等时2）当时f。

2故原二次型是半正定的。

AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。

X1。

证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。

由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。

不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。

令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。

17．A是一个实矩阵，证明：。

证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。

事实上，即证与同解，故。

注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。

一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。

n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。