初一数学面授讲义13

第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。

初一数学（秋季）讲义第十三讲：整式的概念一、单项式1、概念：如22xy -，13mn ，-1，它们都是 与 的积，这样的式子叫单项式。

要点诠释：①单独的一个数或一个字母也是单项式，如-2、-a ，b 等；②单项式中不能含有 运算，但可以含有 运算，如22xy -+2，1+a ，a+b 都不是单项式； ③分母不能有字母，如5m ，2m 3+就不是单项式．2st 可以写成12st ，仍是单项式2、单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数．要点诠释：①单独一个字母也有系数，如a 的系数为1，-b 的系数为-1；②系数要写在字母前面，单项式的系数是带分数时，通常写成 ，如：2114x y 写成254x y ．3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的 叫做这个单项式的次数． 要点诠释：①没有写指数的字母，实际上其指数是 ，如a ，4abc ，-3a ²b ，计算时不能将其遗漏， ②不能将数字的指数一同计算，如2³bc二、多项式1、概念：几个 的和叫做多项式．2、多项式的项：每个单项式叫做多项式的 ，不含字母的项叫做 ，如2a-3中的-3要点诠释：多项式的每一项包括它前面的 ，如-3ab-5b ²-3的各项为3、 多项式的次数：多项式里次数 的次数，叫做这个多项式的次数， 如-3ab+6b ²-4ac² 的次数为要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的 ． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．4、整式： 与 统称为整式．要点诠释：分母中含有字母的式子一定不是整式．1．指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？22x y +，x -，3a b +，10，61xy +，1x ，217m n ，225x x --，22x x +，7a2. 下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x +--++π①②③④⑤⑥，其中是单项式的是______________，是多项式的是_______________．类型二、单项式1．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．234a b -， a -， 442x ， a mn ， 223a y π， a-3， 5-3， 82-310tm ⨯， 2x y2. 下列结论正确的是( )．A ．没有加减运算的代数式叫做单项式．B ．单项式237xy 的系数是3，次数是2．C ．单项式m 既没有系数，也没有次数．D ．单项式2xy z -的系数是-1，次数是4．类型三、多项式1.多项式24242153x y x y x-+-+，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数项是什么？这是几次几项式?2. 已知多项式32312246753mxxy x y y x y---+--．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．3. 多项式()34ba x x x b--+-是关于x的二次三项式，求a与b的差的相反数．类型四、整式的应用1 . 用整式填空：(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________2. 如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子（）A ．4 n 枚B ．(4n-4)枚C ．(4n+4)枚D ．n ²枚一.选择题1．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）A 、2)(y x -B 、22y x -C 、y x -2D 、2y x - 2．对单项式－ab 3c ，下列说法中正确的是( )．A ．系数是0，次数是3B ．系数是－1，次数是5C ．系数是－1，次数是4D ．系数是－1，次数是－53．下列说法正确的是( )A ．x 的指数是0B ．x 的系数是0C ．－10是一次单项式D ．－10是单项式4．下列代数式中，不是整式的是（ ） A 、23x - B 、745b a - C 、x a 523+ D 、－2005 5．在代数式y y y n x y x 1),12(31,8)1(7,4322++++中，多项式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在下列代数式：21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D.5个7．多项式－3x 2＋6x 3＋1－x 按字母x 的降幂排列的是( )．A ．1－x －3x 2＋6x 3B ．6x 3－x －3x 2＋1 C ．6x 3－3x 2－x ＋1 D ．6x 3＋3x 2＋x －1 8.下列多项式中，是二次多项式的是（ ）A 、132+xB 、23xC 、3xy －1D 、253-x 9．对于多项式x 2－2x ＋18，下列说法正确的是( )．A ．它是三次三项式B ．它的常数项是18C ．它的一次项系数是2D ．它的二次项系数是2 10．多项式－23m 2－n 2是（ ）A ．二次二项式B ．三次二项式C ．四次二项式D 五次二项式三、填空题11．当a ＝－1时，34a ＝ ；当x ＝－3时，多项式－x 3＋x 2－1的值等于____________12．b 的311倍的相反数是 ；5除以a 的商加上323的和为 m 与n 的平方和为 ；x 与y 的和的倒数为13．设某数为x ，10减去某数的2倍的差是14．当x ＝2，y ＝－1时，代数式||||x xy -的值是15．单项式7532c ab 的系数是_____，次数是____ ；3234y x -的系数是 ，次数是 16.单项式21xy 2z 是_____次单项式；220053xy 是 次单项式17．x+2xy +y 是 次多项式18.多项式：y y x xy x +-+3223534是 次 项式19.y x 342-的一次项系数是 ，常数项是 20.多项式a 2－21ab 2－b 2有_____项，其中－21ab 2的次数是 . 21．多项式x 3y 2－2xy 2－43xy －9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ， 二次项是 ，常数项是 ．22．多项式－6x 2＋8y ＋2的次数是__________，是__________次__________项式．23．多项式x 2y ＋xy －xy 2－53中的三次项是____________． 24.整式①21，②3x －y 2,③23x 2y ,④a ,⑤πx +21y ,⑥522a π,⑦x +1中， 单项式有 ，多项式有1．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。

七年级上第二章 有理数1．用正负数表示相反意义的量 2．正数和负数像+21，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。

像-5，-2.8，-43等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。

【注】0既不是正数也不是负数。

+15表示加15分，那么扣20分表示 。

则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。

1）收入—2000元，表示 。

（2）如果下降8米记为—8米，那么上升15米记为 。

3．有理数（1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。

分数：正分数和负分数统称为分数。

有理数：整数和分数统称为有理数。

（2）有理数分类1）按有理数的定义分类 2）按正负分类正整数 正整数 整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数负分数 负分数把%10,43,031.0,210,7,542,1312,9.6,0,3.6,5,21-----+-填在相应的括号内。

正有理数集合：{}⋅⋅⋅ 整数集合： {}⋅⋅⋅ 非负数集合： {}⋅⋅⋅ 负分数集合：{}⋅⋅⋅19,94,172,89,01.0,43.7,234,444.2---76%,，负数有 个，正数有 个，整例2：下列说法正确的是 。

（1）一个数，如果不是正数，必定就是负数（2）正有理数是正整数和正分数的统称。

（3）一个有理数不是分数就是正数。

（4）整数不是奇数就是偶数。

（5）0是最小的有理数。

练习：下列说法正确的是：（ ）A 3.1415926 不是分数B 正整数和负整数统称为整数。

C 奇数是正数D 有理数包括整数和分数作业：下列说法错误的是( ) A —B 0不是正数也不是负数。

C 0是自然数，不是整数。

D 没有最小的有理数。

例3：找规律填空（1）3，—3，3，—3，3，—3， ， ，……（2）,71,51,31,1-- ， ， ，…… 第199个数是 。

2017年上学期七年级数学下册辅导讲义第1讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】(1)顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 . ⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°A C D EF A BCD EF PQ RA BCEF O E D 1 402．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．4cmB ． 5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.A B O 2l 1 FB AOC DECD BA EOBACD O A BD【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ；⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.C F EB A D 1 4 2 3 6 5 A BDCH Ｇ E F7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙3 23 4 5 61 23 4甲1 A B C23 4567 ABCDO【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知）∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴ （ ）又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ）∴AB ∥DE （ ）03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF .【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.A BD E FA BC D E A B C D EF1 2 ABC DE F l 1l 2 l 3 l 4 l 5 l 6l 1 l 2 l 3l 4 l 5 l 6【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360° 这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a 1,a 2,…，a 2010,如果a 1⊥a 2,a 2∥a 3，a 3⊥a 4，a 4∥a 5……那么a 1与a 2010的位置关系是 .03．已知n （n ＞2）个点P 1，P 2，P 3…Pn .在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S 2＝1，S 3＝3，S 4＝6，∴S 5＝10…则Sn ＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（ ） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DAC C ．∠ACF 是α的余角 D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END 03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm A EBCF DA B C DFEMNα第1题图 第2题图A DC第4题图06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图12 3 4 5 6 7 8AC D E B AB C D E F1 2AB C D E F第13题图第02讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝，其中a 的平方根为x叫做a 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3.非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3∵24242a b a -++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ． 【变式题组】0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2017x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．【变式题组】01．已知m 、n 2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a 2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____．02a ，小数部分为b a ）·b ＝____．演练巩固 反馈提高 01．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．1＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a b a b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．11．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a <7 <b ，则a ＋b ＝____．12．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a *b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____． 13．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．14.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P ′，那么点P ′所表示的数是____．15．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．16．已知2a −1的平方根是±3，3a ＋b −1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．17．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．18．若b ＝315a - ＋153a - ＋31，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．19．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2与533x y --互为相反数，求22x y +的值．第03讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果mn＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞202．如果点P(3x－2，2－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－5)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点p到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．(2)通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规则的图形割补成规则图形，然后计算其面积．则Ｓ△ABC＝Ｓ△ABD－Ｓ△BCD＝12·3·5－12·3·1＝6．【变式题组】01．在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(―3，―1)，B(1，3)，C(2，－3)，求△ABC 的面积．02．如图，已知A(－4，0)，B(－2，2)，C,0，－1)，D(1，0)，求四边形ABDC的面积．03．已知：A(－3，0)，B(3，0)，C(－2，2)，若D点在y轴上，且点A、B、C、D四点所组成的四边形的面积为15，求D点的坐标．【例7】如图所示，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1、A2B2C2D2……每个正方形四条边上的整点的个数，推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有__________个．【变式题组】01．如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变成△OA3B3．已知：A(1，2)，A1(2，2)，A2(4，2)，A3(8，2)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是____________，B4的坐标是_____________；(2)若按(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到三角形△OA n B n，推测A n的坐标是_____________，B n的坐标是_____________．02．如图，已知A1(1，0)，A2(1，1)，A3(－1，1)，A4(－1，－1)，A5(2，－1)…则点A2010的坐标为_______________．演练巩固反馈提高01．若点A(－2，n)在x轴上，则点B(n－1，n＋1)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限02．若点M(a＋2，3－2a)在y轴上，则点M的坐标是( )A．(－2，7) B．(0，3) C．(0，7) D．(7，0)03．如果点A(a，b)在第三象限，则点B(－a＋1，3b－5)关于原点的对称点是( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限04．下列数据不能确定物体位置的是( )A．六楼6号B．北偏西400C．文昌大道10号D．北纬260，东经135005．在坐标平面内有一点P(a，b)，若ab＝0，则P点的位置是( )A．原点B．x轴上C．y轴上D．坐标轴上06．已知点P(a，b)到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且|a－b |＝b－a，则点P的坐标是_______________．07．已知平面直角坐标系内两点M(5，a)，N(b，－2)，①若直线MN∥x轴，则a______，b__________；②若直线MN∥y轴，则a___________，b_________．08．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2010次，点P依次落在点P1，P2，P3，…，P2010的位置，则P2010的横坐标x2010＝___________。

初一人教版必备数学精讲讲义一、整数与分数1. 整数的概念及表示整数是由自然数、零和负数组成的数集，表示为Z。

2. 整数的运算2.1 加法整数加法的运算规则：同号相加，异号相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。

2.2 减法整数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

2.3 乘法整数乘法的运算规则：同号相乘得正，异号相乘得负。

2.4 除法整数除法的运算规则：同号相除得正，异号相除得负。

3. 分数的概念及表示分数是表示整体中的一部分的数，由分子和分母组成，表示为a/b （b≠0）。

4. 分数的运算4.1 加法和减法分数的加法和减法运算规则：将分数转化为相同分母后，对分子进行加或减。

4.2 乘法分数的乘法运算规则：将两个分数的分子和分母分别相乘。

4.3 除法分数的除法运算规则：将除法转化为乘法，将除数的倒数作为乘法的因数。

二、代数式与方程1. 代数式的概念及表示代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，可以表示数或量。

2. 代数式的运算2.1 合并同类项合并同类项是将具有相同字母变量的项进行加减运算。

2.2 提取公因式提取公因式是将代数式中的公共因子提取出来。

2.3 展开式和因式展开式是将乘积式或幂式展开为加减式；因式是将加减式写成乘积式或幂式的形式。

3. 方程的概念及解法方程是含有未知数的等式，通过求解未知数的值来满足等式成立。

4. 一元一次方程一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x为未知数。

5. 一元一次方程的解法5.1 用逆运算法解方程根据一元一次方程的定义，通过逆运算法求解方程。

5.2 用等式变形法解方程利用等式的性质进行变形，将方程转化为更简单的形式以求解。

三、图形的认识与几何运算1. 点、线、面的概念及表示点是几何图形的基本要素，用大写字母表示；线是由无数个点组成的集合，用小写字母表示；面是由无数个连在一起的线组成的集合。

2. 直线、射线和线段直线是一定方向上无限延伸的线段；射线是起点固定，沿着一定方向无限延伸的线段；线段是由两个点确定的有限部分。

第十三讲相交线、平行线、相交线1、垂直的定义：两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.用符号“丄”表示，如图，直线AB、CD互相垂直，记作“ AB丄CD于点0” .注意：（1）垂直是两条直线相交的一种特殊情况，它反映的是两条直线的位置关系；（2）线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直垂直的判定：J/ BOC=90°,「. AB丄CD;垂直的性质：J AB丄CD,：/ AOC=90°2、垂线段的定义：过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、垂线的性质：（1）在同一平面内，经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短5、垂线的画法：用三角板（一靠二过三画）、量角器、尺规作图6、两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，简称“三线八角”如图：直线AB、CD被直线EF所截或直线EF截直线AB、CD于点M、N.直线EF就是第三条直线叫做截线，AB、CD叫做被截线.7、同位角、内错角、同旁内角同位角：在截线同侧，在被截线同方向；内错角：在截线两侧，在被截线的内部；同旁内角：在截线同侧，在被截线的内部注意：（1）同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中，没有公共顶点的两个角的位置关系；（2）判断同位角、内错角、同旁内角时，首先要判断截线和被截线：两个角都有一边在这条直线上，那么这条直线就是被截线（公共边）二、平行线1、两条直线的位置关系：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行.2、平行线：在同一平面内，不相交（没有公共点）的两条直线叫做平行线. A ______________ 如图：直线AB、CD互相平行，记作：AB// CD. ___________ 注意：（1）同一平面；（2）不相交是指没有交点；（3）线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行3、平行线的性质（1）平行公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（2）平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行4、平行线的识别（1）同位角相等，两直线平行.（J/仁/ 5，二AB / CD）（2）内错角相等，两直线平行.（J/ 4= / 5，二AB / CD）（3）同旁内角互补，两直线平行.（J/ 3+/5=180 °，: AB / CD）（4）垂直于同一直线的两直线平行.（J CD丄AB，EF丄AB，CD / EF）（5）平行线的定义.（6）平行公理推论.（J a / b，a / c，••• b/ c）5、平行线的性质：nA O BDCBD2 1F(1)两直线平行，同位角相等.(J AB / CD• / 2= /6)(2) 两直线平行，内错角相等.(J AB/ CD• / 3= /6)2、F(3)两直线平行，同旁内角互补 .(J AB // CD •••/ 4+Z 6=180 ° )注意：判断线段或射线的垂直或平行，就是判断它们所在直线垂直或平行※典例剖析【例5】如图，已知/ E = Z F ，/ E = Z BAD ，AD 是/ BAC 的平分线吗为什么※培优训练1、 如图一，Z 1=65°，Z C=65°，Z ADC=115°， 则图中的平行线有 _______________________________ .2、 女口图二，若Z 1 = ______________ ，贝U DE / AC ; 若Z 1= _____ ，贝U EF / BC,若Z FED+ ______ =180°，【例1】如图，图中有 _____ 对同位角，分别是 ___________________________ . 图中有 对内错角，分别是 _________________________________________________ . 图中有 对同旁内角，分别是 ________________________________________________ . 【例2】如图，/ 1和/ 2是直线 ________ 和 _____ 被直线 _____ 所截得的 _______ / 2和/ 3是直线 _______ 和 _____ 被直线 ______ 所截得的 _________ 角； / 4和/ A 是直线 ______ 和 _____ 被直线 _____ 所截得的 _________ 角. 【例3】如图，AB 丄CD,垂足为O , OE 是一条射线，OF 平分/ BOC, / AOE=35°，求/ EOF 的度数.【例 4】如图，AB / DE ，Z B=135°，Z D=145 求/ C 的度数.角; AADE贝U DE// AC;若/ 2+ _____ =180°,贝U AB// DF.3、如图三，若AB// CD,则根据 ________________________________________ ,可得/ 2= ______ ;若AD// BC,根据_____________________________________ ,可得/ DAB+ ______ =180 ° .4、如图，已知/ B=62 °，/ 3=30 °，/ 4=88 ° , AB与CD平行吗AD与BC平行吗说明理由5、如图，已知AC// DE, / D= 70 ° CD平分/ ACE,求/ E的度数.6、如图，已知：/ 1 = / 2,Z A=Z C,请猜想/E与/ F的关系，并说明你的理由※能力拓展题组一:1、占八、、A、题组如图，直线CD EF、GH交于一点P,直线M、N,则图中共有内错角（）.4对平面内有36条B、8 对C、10 对5条直线两两相交，其中仅有B、33 条C、24 条AB 交EF、GH 于D、12 对3条直线经过同一点，则它们彼此截得的线段共有（D、21条D2、F1、如图，已知 AB // CD, / B = Z C.求证：CE// BF2、如图，已知 AB // CD, AE 平分Z BAC , CE 平分Z ACD.求证：AE 丄CE.题组三： 1、如图，已知 AB // CD, 过点P 的直线交HF 于点 2、如图，已知 AB // CD, EF 交AB 、CD 于点G 、H ，点P 是为HD 上一动点,O. 求证：Z HOP=Z AGF-Z HPO. -EAB - ECD Z EAF=4 , Z ECF=4 .求证: 3_/ AFC=4AECC。

四海公考行政能力测试讲义系列数学运算学习讲义—花生十三Arithmatical lecture notes—Peanut13花生十三2014年9月内部讲义严禁外传目录1 引言 (4)2 数学运算之行程问题 (4)2.1 行程问题基础概念 (4)2.2 行程三量基础比例关系 (4)2.3 比例份数思想介绍 (5)2.4 初等行程问题题型解析： (5)2.4.1 初等行程问题介绍 (5)2.4.2 例题解析 (6)2.5 相遇问题题型解析 (7)2.5.1 相遇问题介绍 (7)2.5.2 例题解析 (7)2.6 追击问题题型解析 (9)2.6.1 追击问题介绍 (9)2.6.2 例题解析 (9)2.7 流水问题题型解析 (10)2.7.1 流水问题介绍 (10)2.7.2 例题解析 (11)2.8 本章小结 (12)3 数学运算之工程问题 (13)3.1 工程问题基础概念 (13)3.2 工程量基本比例关系 (13)3.3 单独完工问题题型解析 (14)3.4 合作完工问题题型解析 (14)3.4.1 根据各自工作时间求解问题 (14)3.4.2 根据不同工作情况求解问题 (15)3.4.3 同时开工同时完工问题 (16)3.5 本章小结 (17)4 数学运算之排列组合问题 (18)4.1 排列组合问题基础概念 (18)4.2 排列组合的几种特殊情形 (18)4.3 简单分类分步习题解析 (20)4.5 包含特殊要求习题解析 (20)4.6 特殊情形习题解析 (21)4.7 本章小结 (23)结论 (24)致谢 (24)1 引言2 数学运算之行程问题2.1 行程问题基础概念核心公式：S=VT路程=速度*时间路程差=时间*速度差速度差=路程差/时间单位换算X千米/小时=X/3.6米/秒【例一】（2012年北京市考）一辆汽车从A地开到B地需要一个小时，返回时速度为每小时75公里，比去时节约了20分钟，问AB两地相距多少公里：A.30B.50C.60D.75【例二】（2011年上海市考）一辆汽车从A地出发按某一速度行驶，可在预定的时间到达B地，但在距B地180公里处意外受阻30分钟，因此，继续行驶时，车速必须增加5公里，才能准时到达B地。

第十三讲归纳猜想——找规律13.1数字排列规律题【例1】一群整数朋友按照一定的规律排成一排，可排在□位置的数跑掉了，请帮它们把跑掉的朋友找回来．（1）5，8，11，14，□，20；（2）1，3，7，15，31，□；（3）1，1，2，3，5，8，□，21【答案】(1)17，(2)63，(3)13【练习1.1】下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 ______ _______ ；3 6 10 15 21 ______【答案】23，30；28．【例2】观察下列一组数的排列：1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、…，那么第2015个数是__________．【答案】3．【练习2.1】观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…聪明的你猜猜第210个数是_________．【答案】2．【练习2.2】有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个数是________．【答案】34．13.2几何图形变化规律题【例3】观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球__________个．【答案】602．【练习3.1】现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下：▲▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲……则黑色三角形有个，白色三角形有个．【答案】101，99．【练习3.2】观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是___________（填图形名称）．【答案】圆．【例4】如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，互不重叠的三角形共有10个，……，则在第6个图形中，互不重叠的三角形共有____________个．【答案】19【练习4.1】“◆”代表甲种植物，“★”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植. 按此规律第六个图案中应种植乙种植物_________ 株.【答案】49．【练习4.2】已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．（1）当n = 5时，共向外作出了个小等边三角形（2）当n = k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．……n=3n=4n=5【答案】9，3（k-2）．13.3数、式计算规律题【例5】观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第10个等式应为．【答案】9×9+10=91．【例5.1】已知下列等式：①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；④13＋23＋33＋43＝102；由此规律知，第⑤个等式是．【答案】13＋23＋33＋43＋53＝152．【例5.2】观察下面的几个算式：1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=__________.【答案】10000【例5.3】已知：22222233445422,33,44,55,338815152415+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯ =+⨯=+b a aba b 则符合前面式子的规律，，若 (21010)【答案】109.【例6】观察：11111()37437⨯=-11111()7114711⨯=- 11111()111541115⨯=- ……计算：1111111111++++37711111515171721⨯⨯⨯⨯⨯．【答案】114．【例6.1】观察：11111() 35235⨯=-，11111() 57257⨯=-11111() 79279⨯=-…………计算：11111111 2446681820⨯+⨯+⨯++⨯＝。

第1讲长方体模型一、解题技巧归纳总结1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P A B C 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等．．．．．．，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4二、典型例题例1.）A ．π83B ．π2C ．π4D ．π43例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为2cm ．例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为．例4.已知三棱锥P A B C -的顶点都在同一个球面上（球)O ，且2P A =，P B P C ==当三棱锥P A B C -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是．三、玩转练习1．张衡(78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 的最小值为31-，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为()A ．30B ．1010C ．1210D ．362．棱长为2的正方体的外接球的体积为()A ．8B ．8πC ．43πD ．823π3．已知正方体的外接球的体积为323π，则该正方体的表面积为()A ．433B ．163C ．643D ．324．已知正方体的外接球的体积是323π，则这个正方体的体积是()A ．6427B 6439C ．649D 643275．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为()A ．116πB ．106πC ．56πD ．53π6．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的外接球的表面积为()A ．8πB ．82πC ．16πD ．2π7．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，12AA =，则该长方体的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π8．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积12V =，2AB =，若四面体11A B CD -的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为()A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π9．若正方体的外接球的体积为43π，则此正方体的棱长为．10．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为．11．已知正方体的外接球的体积为43π，则该正方体的体积为．12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，则此正方体的外接球的体积为．13．将一个长宽分别a ，(0)b a b <<的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围为．14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，其中AB a =，AD b =，1AA c =外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214a b+的最小值为94，则A ，C 两点的球面距离为．15．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为．第2讲正四面体模型一、解题技巧归纳总结1．正四面体如图，设正四面体A B C D 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R =⋅=，即正四面体外接球半径为R =.二、典型例题例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）．A．22B．32C．2D．3例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为.三、玩转练习1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为()A．64B．34C．1D．332．棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是()A．9:1B．4:1C．27:1D．8:13．如图所示，在正四面体A BCD-中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+的最小值为7，则该正四面体的外接球的体积是()A6πB．6πC．3632D．3 2π4．表面积为83()A．43πB．12πC．8πD．46π5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为()A．6πB．8πC．6πD．11π6．2的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为22，则两圆的公共弦长是()A．34B．34C．1D．127．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+14，则该正四面体的外接球表面积是()A．12πB．32πC．8πD．24π8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是()A．24πB．18πC．12πD．6π9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是()A．4πB．6πC．12πD．24π10．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为BCD∆的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥M BCD-的外接球的表面积为()A．πB．32πC．64D6811．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点P、Q，若线段PQ长度463，则这个四面体的棱长为．12．已知正四面体ABCD的棱长为1，M为棱CD的中点，则二面角M AB D--的余弦值为；平面MAB 截此正四面体的外接球所得截面的面积为．13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是．14．一个正四面体的展开图是边长为22的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为．15．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP PE+14，则该正四面体的外接球的体积是．第3讲对棱相等模型一、解题技巧归纳总结1．对棱相等模型四面体A B C D 中，A B C D m ==，A C B D n ==，A D B C t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222b c m a c n a b t ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，三式相加可得222a b c ++=222,2m n t ++而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R +=+，所以2228m n t R ++=.二、典型例题例1．三棱锥A B C D -中，已知5A B C D ==，6A D B C ==7A C B D ==，那么该三棱锥外接球的表面积为()A ．6πB ．7πC ．9πD ．12π例2．如图所示三棱锥A B C D -，其中5A B C D ==，6A C B D ==，7A D B C ==，则该三棱锥外接球的表面积为．三、玩转练习1．四面体P ABC -的一组对棱分别相等，且长度依次为25，13，5，则该四面体的外接球的表面积为()A ．294πB ．28πC ．29296πD ．29π2．在四面体ABCD 中，三组对棱棱长分别相等且依次为34，41，5则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为()A ．52B ．5C ．522D ．43．如图，在三棱锥P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，5PC AB ==，则三棱锥P ABC -外接球的体积为()A 2πB 3πC ．6πD ．6π4．在三棱锥PABC 中，4PA BC ==，5PB AC ==，11PC AB ==，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为()A ．26πB ．12πC ．8πD ．24π5．在四面体ABCD 34,41,5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为．6．已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =．7．已知四面体A BCD -中三组对棱分别相等，且长分别为257A BCD -的外接球的半径为．8．已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，即1AB CD ==，AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -的外接球表面积是．9．在四面体ABCD 中，三组对棱两两相等，分别为，则该四面体外接球的表面积为．10．在四面体P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==，则该四面体外接球的体积为．11．三棱锥P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，则它的外接球的表面积为．12．在三棱锥P ABC -中，若5PA PB BC AC ====，PC AB ==，则其的外接球的表面积为．13．在三棱锥P ABC -中，4PA BC ==，5PB AC ==，PC AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．第4讲直棱柱模型一、解题技巧归纳总结1．直棱柱模型：如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是A B C ∆的外心，则1O O ⊥平面A B C ；第二步：算出小圆1O 的半径1A O r =，111122O O A A h ==（1A A h =也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211O A O A O O =+⇒222()2h R r =+⇒R =，解出R 二、典型例题例1.正三棱柱-111A B C A B C 内接于半径为2的球，若A ，B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．例2.直三棱柱-111A B C A B C 的各顶点都在同一球面上，若===12A B A C A A ，∠=︒120B A C ，则此球的表面积等于．例3.一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为.三、玩转练习1．一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120︒的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A ．20πB 2053C ．25πD ．255π2．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，6AB =，8BC =，若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为()A ．624B ．576C ．672D ．7203．在直三棱柱111ABC A B C -中．侧棱长为23，3AB BC CA ===()A ．1B 3C ．2D ．44．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13，此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为()A ．83πB ．163πC ．323πD ．643π5．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，3AB =120ACB ∠=︒，14AA =，则该三棱柱外接球的表面积为()A ．1623πB ．642πC ．32πD ．8π6．在直三棱柱111ABC A B C -中，2CA CB ==，90ACB ∠=︒，11CC =，则该三棱柱外接球的体积()A ．12πB ．4πC ．92πD ．8π7．直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC AA ===，则该三棱柱的外接球的表面积为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．323π8．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是()A ．πB ．2πC ．4πD ．6π9．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，二面角11A BD C --的大小为3π，则该正四棱柱外接球的表面积为()A ．12πB ．14πC ．16πD ．18π10．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为a ，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．24a πB ．25a πC ．28a πD ．210a π11．正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧面是正方形，若底面的边长为1，则该正六棱柱的外接球的表面积是()A ．4πB ．5πC ．8πD ．10π12．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为()A ．20πB ．25πC ．100πD ．200π13．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为()A ．13πB ．12πC ．11πD ．10π14．一个直六棱柱的底面是边长为4的正六边形，侧棱长为6，则它的外接球的体积为()A ．5003πB ．500πC ．40003πD ．4000π15．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是．16．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为13此三棱柱的高为23，则该三棱柱的外接球的体积为．17．在直三棱柱111ABC A B C -中，3BC =，120BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为．18．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AC CC ==，则AB =19．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为，在底面ABC ∆中，60,C AB =︒=，则此直三棱柱的外接球的表面积为．20．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB =，AC =，12BB =，则该三棱柱的外接球表面积为．21．在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒且3AB AC ==，14BB =，则此三棱柱外接球的表面积为．22．在直三棱柱111ABC A B C -中，4BC =，90BAC ∠=︒，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为．23．已知直三棱柱111ABC A B C -的高为，BC =，120BAC ∠=︒，则该三棱柱外接球的表面积为；24．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，侧面11BCC B 的面积为16，则直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径的最小值为．25．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，则正四棱柱的外接球的表面积为．26．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为．27．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB =12AA =，设四棱柱的外接球的球心为O ，动点P 在正方形ABCD 的边长，射线OP 交球O 的表面点M ，现点P 从点A 出发，沿着A B C D A →→→→运动一次，则点M 经过的路径长为．28．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD CD =，24AB BC ==，四边形ABCD 的外接圆的圆心在线段AC 上．若四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为．29．已知六棱柱A BCD 1EF A -111B C D 11E F 的底面是正六边形，侧棱与底面垂直，若该六棱柱的侧面积为48，底面积为，则该六棱柱外接球的表面积等于．30．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．31．正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则它的外接球的表面积为．32．已知矩形A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．33．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为．34．已知正六棱柱的高为8，侧面积为144，则它的外接球的表面积为．第5讲直棱锥模型一、解题技巧归纳总结1．直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面）如图，P A ⊥平面A B C ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将A B C ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径A D ，连接P D ，则P D 必过球心O ；第二步：1O 为A B C ∆的外心，所以1O O ⊥平面A B C ，算出小圆1O 的半径1O D r =(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2si n si n si n a b c r A B C ===)，112O O P A =；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)R P A r =+⇔2R =；②2221R r O O =+⇔221R r O O =+.二、典型例题例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M A B C D -为阳马，侧棱M A ⊥底面A B C D ，且2M A B C A B ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为．例2.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，⊥P A 平面A B C D ，四边形A B C D 是边长为23正方形．若=26P A ，则∆O A B 的面积为．例3.已知球O 面上的四点,,,,A B C D D A ⊥平面,,3A B C A B B C D A A B B C ⊥===，则球O 的体积等于.三、玩转练习1．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC ⊥平面PAB ，若1AB BC ==，2PA =，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．24πB ．8πC ．6πD ．83π2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥P ABCD -为阳马，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4AD =，二面角P BC A --为60︒，则四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为()A ．16πB ．20πC ．643πD ．32π3．在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA =，底面ABC ∆是边长为3的正三角形，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为()A ．19πB ．28πC ．43πD ．76π4．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2PA =，ABC ∆3表面积为()A ．43πB ．4πC ．8πD ．20π5．三棱锥P ABC -中，AB BC ==6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为()A ．253πB ．252πC ．833πD ．832π6．在三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥平面ABC ，SA BC ⊥，1SC =，2AC =，3BC =，则此三棱锥的外接球的表面积为()A ．14πB ．12πC ．10πD ．8π7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60,2BAC AB AC PA ∠=︒===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π8．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，1AC =，2BC =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为()A ．9πB ．36πC ．92πD ．94π9．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2AC =，1AB =，设D 为BC 中点，且直线PD与平面ABC ，则该三棱锥外接球的表面积为．10．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=︒，4PA =．若三棱锥P ABC -外接球的半径为PC 与平面ABC 所成角的正切值为．11．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π．记点M 的轨迹长度为α，则tan α=；当三棱锥P ABM-的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为．12．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA AB ==，6BC =，AC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为．13．已知四面体P ABC -中，4PA PB ==，2PC =，AC =PB ⊥平面PAC ，则四面体P ABC -外接球的表面积为．14．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，4PA =，1cos 3ACB ∠=，若三棱锥P ABC -外接球的表面积为52π，则三棱锥P ABC -体积的最大值为．15．已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB AC PA ===，且在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为．16．矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则四棱锥P EBCF -的外接球表面积为17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA =，3AB AC ==，又3cos 5BAC ∠=-，则该三棱锥外接球的表面积为．18．中国古代数学经典<<九章算术>>中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bi ēnào )．若三棱锥P ABC -为鳖臑，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为．19．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==1AB =，60ABC ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为．20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，PA ⊥平面ABCD ，4PA =，AB =，1AD =，则该“阳马”外接球的表面积为．。