高等数学下册试题集

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）.A.0B.1C.1-D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。

高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。

答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。

答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。

答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。

答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。

答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。

令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。

计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。

极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。

2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y 的通解为 。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（ ）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （ ）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（ ） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（ ）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为 （ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。

高等数学〔下〕试卷一一、填空题〔每空3分，共15分〕〔1〕函数11z x y x y =++-的定义域为〔2〕函数arctany z x =，那么zx ∂=∂〔3〕交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝〔4〕L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，那么()Lx y ds +=⎰〔5〕微分方程230y y y '''+-=，那么其通解为二、选择题〔每空3分，共15分〕 〔1〕设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，那么〔〕 A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交〔2〕设是由方程2222xyz x y z +++=确定，那么在点(1,0,1)-处的dz =〔〕A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - 〔3〕Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为〔〕 A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰〔4〕幂级数，那么其收敛半径〔〕A. 2B. 1C. 12 D.2〔5〕微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=〔〕A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题〔每题8分，共48分〕1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 22(,)z f xy x y =，求z x ∂∂，zy ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰，其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程xxy y xe '+=满足11x y ==的特解四.解答题〔共22分〕1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体外表的外侧(10)'2、〔1〕判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，假设收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；〔6'〕〔2〕在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数〔6'〕高等数学〔下〕试卷二一．填空题〔每空3分，共15分〕〔1〕函数24x y z -=的定义域为； 〔2〕函数xyz e =，那么在(2,1)处的全微分dz =；〔3〕交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；〔4〕L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，那么L yds =⎰；〔5〕微分方程20y y y '''-+=，那么其通解为.二．选择题〔每空3分，共15分〕〔1〕设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，那么L 与π的夹角为〔〕；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π〔2〕设是由方程333z xyz a -=确定，那么z x ∂=∂〔〕；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D.2xy z xy - 〔3〕微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=〔〕；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++〔4〕Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为〔〕； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰〔5〕幂级数1212nnn n x ∞=-∑，那么其收敛半径〔〕.A. 2B. 1C. 12 D.2三．计算题〔每题8分，共48分〕5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、(sin cos ,)x yz f x y e +=，求z x ∂∂，zy ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题〔共22分〕1、〔1〕〔6'〕判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，假设收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；〔2〕〔4'〕在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学〔下〕模拟试卷三一．填空题〔每空3分，共15分〕1、函数arcsin(3)y x =-的定义域为.2、22(2)lim 332n n n n →∞++-=.3、2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy =. 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题〔每空3分，共15分〕1、2x =是函数22132x y x x -=-+的连续点 〔A 〕可去 〔B 〕跳跃 〔C 〕无穷 〔D 〕振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是。

《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3 分10）1.点M1 2,3,1 到点M 2 2, 7,4 的距离M1M 2 （）.A.3B.4C.5D.62.向量a i 2 j k,b 2i j ，则有（）.A. a ∥bB. a ⊥bC. a,bD.3 a, b4x 1 y 5 z 83. 设有直线 1L : 和 2L1 2 1 :x y 62y z 3，则L 与L2 的夹角为（）1（A）；（B）；（C）；（D）.6 4 3 24.两个向量 a 与b 垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 03 35.函数z x y 3xy的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 16.设z x s in y ，则zy 1,4＝（） .A.22B.22C. 2D. 27. 级数n( 1) (1 cos ) ( 0)n n1是（）（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与有关.8.幂级数n 1nxn的收敛域为（）.A. 1,1 B 1,1 C. 1,1 D. 1,19.幂级数nx0 2n在收敛域内的和函数是（）.1 2 2 1A. B. C. D.1 x2 x 1 x 2 x 二.填空题（4 分5）10.一平面过点 A 0, 0,3 且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.11.函数z sin xy 的全微分是______________________________.3 y xy3 xy212.设z x 3 1，则2zx y_____________________________.13. 设L 为取正向的圆周： 2 2 1x y ，则曲线积分2? (2 xy 2 y)dx (x 4 x)dy ____________.L14. . 级数n 1n( x 2)n的收敛区间为____________.三.计算题（5 分6）z z1.设z e vu sin ，而u xy, v x y ，求, .x yz z2 y z x z2 22.已知隐函数z z x,y 由方程x 2 4 2 5 0确定，求, .x y2 23.计算sin x y d ，其中D2 42 2 2D : x y .4. ．计算1y sin x dy dxyx.试卷6参考答案一.选择题CBCAD ACCBD二.填空题1. 2x y 2z 6 0.2.cos xy ydx xdy .3.6x 9 1 .2 y y 24.n 0n1n 12nx .5. y2 xC C x e1 .2三.计算题z xy z xy1. e y sin x y cos x y ， e x sin x y cos x y .x y15.z x2 z x 1 ,z y2 z y 1. 16.2 02d sin d26.17.16 33 R .18.y 3xe 2x .e四.应用题 5.长、宽、高均为m3 2 时，用料最省 .126. yx . 3《高数》试卷 7（下）一.选择题（ 3 分 10） 6.点 M 1 4, 3,1，M 2 7,1, 2 的距离 M 1M 2（ ） .A.12B.13C.14 D.157.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0 ，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64 3 28.点 P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 5 0的距离为（）.A.3B.4C.5D.6 9.若几何级数nar 是收敛的，则（）.n 0A. r 1B. r 1C. r 1D. r 12.幂级数n n1x 的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,13.级数sinna4n n1是（ ）.A. 条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定19. ．考虑二元函数 f (x, y) 的下列四条性质：（1） f (x, y) 在点(x , y ) 连续；（2）f x( x, y), f y (x, y) 在点(x0 ,y0 ) 连续0 0（3） f (x, y) 在点(x , y ) 可微分；（4）f x (x0, y0), f y (x0 , y0 ) 存在.0 0若用“P Q ”表示有性质P 推出性质Q，则有（）（A）(2) (3) (1)；（B）(3) (2) (1)（C）(3) (4) (1)；（D）(3) (1) (4)二.填空题（4 分5）7. 级数n 1n(x 3)n的收敛区间为____________.8.函数xyz e 的全微分为___________________________.9.曲面 2 4 2z 2x y 在点2,1, 4处的切平面方程为_____________________________________.10. 1 12x的麦克劳林级数是______________________.三.计算题（5 分6）10.设a i 2j k,b 2j3k ，求a b.11.设z z 2z u ，而u x cos y,v x sin y ，求, .2v uvx yz z3 xyz12.已知隐函数z z x,y 由x 3 2确定，求, .x y13. 设是锥面 2 2 (0 1)z x y z 下侧，计算xdy d z 2 ydzdx 3(z 1)dxd y 四.应用题（10 分2）试用二重积分计算由y x,y 2 x 和x 4 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题CBABA CCDBA.二.填空题20.x 2 y 2 z 1121. xy. 2.eydx xdy11.8x 8y z 4 .12.1n 0nx .2n13.3y x .三.计算题 14.8i3j 2k .z2z 3 3 3 315.3x sin ycos y cosy sin y , 2x sin ycos y sin y cos y x sin y cos y .xy16.z xxy yz 2 , zz y xy xz 2 z. 17.32 3 2 a.32318.2 xxC ey C e21.四.应用题4. 16 3.125.0 0xgt v t x .2《高等数学》试卷 3（下）一、选择题（本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1、二阶行列式 2-3 的值为（ ）45 A 、10B 、20C 、24D 、222、设 a=i+2j-k,b=2j+3k ，则 a 与 b 的向量积为（）A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（）A 、2 B、3 C、4 D、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（）42 A 、,222,2B、,222C、2222D、2222,5、设x2+y2+z2=2Rx，则2+y2+z2=2Rx，则zxz, 分别为（）yA 、x Rzy x, B、zzR y, C、zx R y, D、z zxzR,yz6、设圆心在原点，半径为R，面密度为 2 y2x 的薄板的质量为（）（面积A=2 R ）1A 、R2A B、2R2A C、3R2A D、R A22nx n7、级数( 1)的收敛半径为（）n n 1A 、2 B、12C、1D、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、( 1)n 0 n(2nx2n)!B、( 1)n 1n2nx(2n)!C、n 0( 1) n2nx(2n)!D、n 0( 1)n(2nx2n11)!9、微分方程(y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）A 、一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0 的特征根为（）A 、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共20 分）x 1 y 31、直线L1：x=y=z 与直线L 2：z的夹角为2 1___________。

《高等数学》试卷 6（下）一 .选择题（ 3 分 10） 1.点 M 12,3,1 到点 M 22,7,4 的距离 M 1M 2（） .A.3B.4C.5D.62. 向量 a i 2 j k ,b 2ij ，则有（） .A. a ∥ bB. a ⊥ bC. a,bD. a, b34xz 8xy6，则3. 设有直线 L 1:1 y5和L 2:L 1 与 L 2 的夹角为（ ）1212yz3（A ） ；（B ） ；（ C ） ；（D ） .64324. 两个向量 a 与 b 垂直的充要条件是（）.A. a b 0B. ab 0C. a b 0D. a b 05. 函数 z x3y33xy 的极小值是（） .A.2B.2C.1D. 16. 设 z xsin y，则z＝（） .y 1, 4A.2B.22D.22C.27. 级数( 1)n(1 cos)(0)是（）n 1n（ A ）发散； （ B ）条件收敛； （ C ）绝对收敛； （ D ）敛散性与 有关 .8. 幂级数x n的收敛域为（） .n 1nA.1,1B1,1C.1,1D.1,1n9. 幂级数x） .在收敛域内的和函数是（n 021221A.B.C.D.1 x2 x1 x2 x二 .填空题（ 4 分 5）1. 一平面过点 A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1 ，则此平面方程为______________________.2. 函数z sin xy的全微分是______________________________.3. 设z x 3 y 23xy3xy 1，则 2 z_____________________________.x y4.设 L 为取正向的圆周：222y 1，则曲线积分?L(2 xy2 y)dx ( x____________. x4x)dy5.. 级数( x 2)n的收敛区间为____________.n1n三 .计算题（ 5 分6）1. 设z e u sin v，而 u xy, v x y ，求z ,z .x y2. 已知隐函数z z x, y 由方程 x2 2 y 2z24x 2z 5 0 确定，求z,z .x y3. 计算sin x 2y2 d，其中D:2x 2y2 4 2.D1y sin x4. ．计算dy dx0y x.试卷 6 参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD二 .填空题1. 2x y 2 z 6 0.2. cos xy ydx xdy.3. 6x 2y9 y 2 1.4.1 n x nn1. n 025.y C 1C2 x e 2 x.三 .计算题1.z e xy y sin x y cos x y，z e xy x sin x y cos x y.x y2. z2x , z2 y.xz 1yz 122d6 2 .3.d sin4.16R 3 .35. ye3 xe 2x.四 .应用题1. 长、宽、高均为32m 时，用料最省.2. y1 x2 .3《高数》试卷 7（下）一 .选择题（ 3 分10）1. 点 M 1 4,3,1 ，M 2 7,1,2的距离M 1M 2（） .A.12B.13C.14D.152. 设两平面方程分别为x 2y2z10 和xy 50 ，则两平面的夹角为（） .A.B. C.D.64323. 点 P 1, 2,1 到平面 x2 y2z50 的距离为（） .A.3B.4C.5D.64. 若几何级数ar n是收敛的，则（） .n 0A. r1B. r1C. r1D. r18. 幂级数n 1 x n的收敛域为（）.n 0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,19. 级数sin na 是（）.n 1n4A. 条件收敛B. 绝对收敛C.发散D.不能确定10.．考虑二元函数 f ( x, y) 的下列四条性质：（ 1）f ( x, y)在点( x0, y0 )连续；2 f x( x, y), f y (x, y)在点( x0 , y0 )连续（）（ 3）f ( x, y)在点( x0, y0)可微分；（4）f x(x0, y0), f y( x0, y0)存在.若用“P Q ”表示有性质P 推出性质Q ，则有（）（ A）(2)(3)(1) ；（B）(3)(2)(1)（ C）(3)(4)(1) ；（D）(3)(1)(4)二 .填空题（ 4 分5）( x 3) n1. 级数的收敛区间为____________.n 1n2. 函数z e xy的全微分为___________________________.3. 曲面z2x 2 4 y 2在点 2,1,4 处的切平面方程为_____________________________________.1 4.1 x的麦克劳林级数是______________________. 2三 .计算题（ 5 分6）1. 设a i 2 j k , b 2 j 3k，求a b.2. 设z u 2 v uv 2，而 u x cos y,v x sin y ，求 z ,z.x y3. 已知隐函数z z x, y 由 x33xyz 2 确定，求z,z .xy4. 设是锥面 z x 2 y 2 (0z 1) 下侧，计算xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy四 .应用题（ 10 分2）试用二重积分计算由yx , y 2 x 和 x4 所围图形的面积.试卷 7 参考答案一 .选择题 CBABA CCDBA.二 .填空题x 2y 2z11..1122. exyydx xdy .3. 8x8 y z4 .4.1 n x 2n .n 05. yx 3.三 .计算题1. 8i3 j2k .2. z 3x 2sin ycos y cosysin y ,z2 x 3sin ycosy sin y cosy x3 sin 3 y cos 3 y .xy3.zyz , zxz.xxy z 2y xyz24. 32 a32 .3235. yC 1 e2 xC 2 e x.四 .应用题161..32. x1 gt 2v 0tx 0 .2《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10 小题，每题 3 分，共30 分）1、二阶行列式2-3 的值为（）45B、 20C、 24D、 22A 、102、设 a=i+2j-k,b=2j+3k，则 a 与 b 的向量积为（）A 、i-j+2k B、 8i-j+2k C、 8i-3j+2k D、 8i-3i+k3、点 P （ -1 、 -2 、 1）到平面x+2y-2z-5=0 的距离为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、函数 z=xsiny 在点（ 1 ， ）处的两个偏导数分别为（ ）42222C 、2222A 、,,B 、,D 、,222222225、设 x 2+y2+z 2=2Rx ，则 z ,z分别为（）xyxR, yB 、x R,yx R ,yx RyA 、C 、D 、,zzzzzzzz6、设圆心在原点，半径为 R ，面密度为 x2y 2的薄板的质量为（）（面积 A= R 2）A 、R 2AB 、 2R 2AC 、 3R 2A12AD 、 R27、级数( 1) n xn的收敛半径为（）n1nA 、21C 、 1D 、 3B 、28、 cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、( 1)nx 2nB 、( 1)nx 2nC 、( 1)n x2 nD 、( 1)nx 2n1n 0( 2n)!n 1(2n)!n0(2n)!n 0( 2n 1)!9、微分方程 (y``) 4+(y`) 5+y`+2=0 的阶数是（）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10 、微分方程 y``+3y`+2y=0的特征根为（）A 、-2， -1B 、 2，1C 、-2 ， 1D 、 1，-2二、填空题（本题共 5 小题，每题 4 分，共20 分）1： x=y=z 与直线 L ：x1y3z 的夹角为、直线 L1221___________ 。

高数下试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2-3x+1答案：A2. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x+CB. e^x-CC. xe^x+CD. xe^x-C答案：A3. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是（）A. x=-1B. x=1C. x=0D. x=2答案：A4. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）A. x=-1B. x=1C. x=0D. x=2答案：C5. 函数f(x)=x^2+2x+1的二阶导数是（）A. 2x+2B. 2x+1C. 2D. 2x答案：C6. 函数f(x)=x^3-3x+1的泰勒级数展开式是（）A. x^3-3x+1+o(x^2)B. x^3-3x+1+o(x^3)C. x^3-3x+1+o(x^4)D. x^3-3x+1+o(x^5)答案：B7. 函数f(x)=e^x的泰勒级数展开式是（）A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^3)B. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^4)C. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^5)D. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+o(x^6)答案：A8. 函数f(x)=x^2+2x+1的不定积分是（）A. x^3/3+x^2+CB. x^3/3+x+CC. x^3/3+x^2+CD. x^3/3+x^2+C答案：C9. 函数f(x)=x^3-3x+1的不定积分是（）A. x^4/4-3x^2/2+x+CB. x^4/4-3x^2/2+x+CC. x^4/4-3x^2/2+x+CD. x^4/4-3x^2/2+x+C答案：A10. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）A. e^x+CB. e^x-CC. xe^x+CD. xe^x-C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的二阶导数是_________。

《高等数学（下）》习题答案一、单选题1、向量、垂直，则条件：向量、的数量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件C必要非充分条件D既非充分又非必要条件2、当x→0时，y=ln(1+x)与下列那个函数不是等价的（C）Ay=x By=sinx Cy=1-cosx Dy=e^x-13、如果在有界闭区域上连续，则在该域上（C）A只能取得一个最大值B只能取得一个最小值C至少存在一个最大值和最小值D至多存在一个最大值和一个最小值4、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件5、向量与向量平行，则条件：其向量积是（B）A充分非必要条件B充分且必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件6、当x→0时,下列变量中（D）为无穷小量Aln∣x∣ Bsin1/x Ccotx De^(-1/x^2)7、为正项级数，设，则当时，级数（C）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛8、设f(x)=2^x-1，则当x→0时,f(x)是x的（D）。

A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无穷9、已知向量，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分量（A）A27，51 B25，27 C25，51 D27，2510、函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的（A）A必要条件 B充分条件 C充要条件 D无关条件11、下面哪个是二次曲面中椭圆柱面的表达式（D）A B C D12、曲线y=x/(x+2)的渐进线为(D)Ax=-2 By=1 Cx=0 Dx=-2,y=113、向量、的夹角是，则向量、的数量积是（A）A BC D14、当x→0时,函数(x²-1)/(x-1)的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞15、平面上的一个方向向量，平面上的一个方向向量，若与垂直，则（C）A BC D16、设φ(x)=(1-x)/(1+x)，ψ(x)=1-³√x则当x→0时（D）Aφ与ψ为等价无穷小 Bφ是比ψ为较高阶的无穷小Cφ是比ψ为较低阶的无穷小 Dφ与ψ是同价无穷小17、在面上求一个垂直于向量，且与等长的向量（D）A B C D18、当x→0时，1/（ax²+bx+c）～1/(x+1)，则a,b,c一定为（B）Aa=b=c=1 Ba=0,b=1,c为任意常数 Ca=0,b,c为任意常数 Da,b,c为任意常数19、对于复合函数有，，则（B）A B C D20、y=1/(a^2+x^2)在区间[-a,a]上应用罗尔定理, 结论中的点ξ=(B).A0 B2 C3/2 D321、设是矩形：，则（A）A B C D22、对于函数的每一个驻点，令，，，若，，则函数（A）A有极大值 B有极小值 C没有极值 D不定23、若无穷级数收敛，且收敛，则称称无穷级数（D）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛24、交错级数，满足，且，则级数（B）A发散 B收敛 C不定 D绝对收敛25、若无穷级数收敛，而发散，则称称无穷级数（C）A发散B收敛 C条件收敛 D绝对收敛26、微分方程的通解是（B）A B C D27、改变常数项无穷级数中的有限项，级数的敛散性将会（B）A受到影响 B不受影响 C变为收敛 D变为发散28、设直线与平面平行，则等于（A）A2 B6 C8 D1029、曲线的方向角、与，则函数关于的方向导数（D）A BC D30、常数项级数收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛31、为正项级数，若存在正整数，当时，，而收敛，则（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛32、下面哪个是二次曲面中椭圆抛物面的表达式（A）A B C D33、已知向量垂直于向量和，且满足于，求（B）A B C D34、平面上的一个方向向量，直线上的一个方向向量，若与垂直，则（B）A B C D35、下面哪个是二次曲面中双曲柱面的表达式（C）A B C D36、若为无穷级数的次部分和，且存在，则称（B）A发散 B收敛 C条件收敛 D绝对收敛37、已知向量两两相互垂直，且求（C）A1 B2 C4 D838、曲线y=e^x-e^(-x)的凹区间是(B)A(-∞,0) B(0,+∞) C(-∞,1) D(-∞,+∞)39、下面哪个是二次曲面中双曲抛物面的表达式（B）A B C D40、向量与轴与轴构成等角，与轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是的方向（C）A BC D41、下面哪个是二次曲面中单叶双曲面的表达式（A）A BC D42、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D343、曲线y=lnx在点（A）处的切线平行于直线y=2x-3A(1/2,-1n2) B(1/2,-ln1/2) C(2,ln2) D(2,-ln2)44、若f(x)在x=x0处可导，则∣f(x)∣在x=x0处（C）A可导 B不可导 C连续但未必可导 D不连续45、y=√x-1 在区间[1, 4]上应用拉格朗日定理, 结论中的点ξ=(C).A0 B2 C44078 D346、arcsinx+arccos=(D)A∏ B2∏ C∏/4 D∏/247、函数y=ln(1+x^2)在区间[-1,2]上的最大值为（D）A4 B0 C1 Dln548、函数y=x+√x在区间[0,4]上的最小值为（B）A4 B0 C1 D349、当x→1时，函数(x²-1)/(x-1)*e^[(1/x-1)]的极限 (D)A等于2 B等于0 C为∞ D不存在但不为∞50、函数y=3x^2-x^3在区间[1,3]上的最大值为（A）A4 B0 C1 D3二、判断题1、由及所确定的立体的体积（对）2、y=∣x∣在x=0处不可导（对）3、设，，，且，则（错）4、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）5、二元函数的极小值点是（对）6、若函数f(x)在x0处极限存在，则f(x)在x0处连续（错）7、设是由轴、轴及直线所围城的区域，则的面积为（错）8、函数f(x)在[a,b]在内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数根（对）9、若积分区域是，则（对）10、下列平面中过点（1,1,1）的平面是ｘ＝1（对）11、设，其中，，则（对）12、若函数f(x)在x0的左、右极限都存在但不相等，则x0为f(x)的第一类间断点（对）13、函数的定义域是（对）14、对于函数f(x)，若f′(x0)=0，则x0是极值点（错）15、二元函数的两个驻点是，（对）16、y=ln(1-x)/(1+x)是奇函数（对）17、设表示域：，则（错）18、若函数f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处极限存在（对）19、设是曲线与所围成，则（对）20、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）21、设，则（错）22、函数在一点的导数就是在一点的微分（错）23、函数在间断（对）24、罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件（对）25、设不全为0的实数使，则三个向量共面（对）26、函数z=xsiny在点（1，∏/4）处的两个偏导数分别为1,1（错）27、微分方程的一个特解应具有的形式是（对）28、设圆心在原点，半径为R，面密度为a=x²+y²的薄板的质量为RA（面积A=∏R²）（错）29、函数的定义域是整个平面（对）30、1/(2+x)的麦克劳林级数是2（错）31、微分方程的通解为（错）32、等比数列的极限一定存在（错）33、设区域，则在极坐标系下（对）34、函数极限是数列极限的特殊情况（错）35、,,则（对）36、sin10^0的近似值为017365（对）37、二元函数的极大值点是（对）38、定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义（对）39、将在直角坐标下的三次积分化为在球坐标下的三次积分，则（对）40、微分是函数增量与自变量增量的比值的极限（错）41、方程x=cos在（0，∏/2）内至少有一实根（错）42、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为1,2（错）43、f〞(x)=0对应的点不一定是曲线的拐点（对）44、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的法平面方程为（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0（对）45、1/x的极限为0（错）46、y=e^(-x^2) 在区间(-∞,0)(1,∞)内分别是单调增加，单调增加（错）47、导数和微分没有任何联系，完全是两个不同的概念（错）48、有限个无穷小的和仍然是无穷小（对）49、求导数与求微分是一样的，所以两者可以相互转化（对）50、在空间直角坐标系中，方程x²+y²=2表示圆柱面（对）。

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。