【金版学案】高中数学人教A版选修1-2练习：2.1.2演绎推理(含答案解析)

人教版A版高中数学选修1-2课后习题解答高中数学选修1-2课后题答案第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用回归分析是一种统计分析方法，用于探究自变量与因变量之间的关系。

它的基本思想是通过建立数学模型，利用已知数据进行拟合，从而预测或解释未知数据。

回归分析的初步应用包括简单线性回归和多元线性回归。

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验是一种用于检验两个变量之间是否存在关联的方法。

其基本思想是通过观察两个变量之间的频数或频率分布，来判断它们是否相互独立。

独立性检验的初步应用包括卡方检验和Fisher精确检验。

第二章推理证明2.1 合情推理与演绎推理合情推理是指根据已知事实和常识，推断出可能的结论。

演绎推理是指根据已知的前提和逻辑规则，推导出必然的结论。

两种推理方法都有其适用的场合，需要根据具体情况进行选择。

2.2 直接证明与间接证明直接证明是指通过逻辑推理，直接证明所要证明的命题成立。

间接证明是指采用反证法或归谬法，证明所要证明的命题的否定不成立，从而推出所要证明的命题成立。

第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充是指在实数系的基础上引入新的数，使得一些原来不可解的方程可以得到解。

复数是指由实部和虚部组成的数，可以表示在平面直角坐标系中的点。

复数的引入扩充了数系，使得一些原本无解的方程可以得到解。

3.2 复数的代数形式的四则运算复数的代数形式是指将复数表示为实部和虚部的和的形式。

复数的四则运算包括加减乘除四种运算，可以通过对实部和虚部分别进行运算来得到结果。

第四章框图4.1 流程图流程图是一种用图形表示算法或过程的方法。

它由各种基本符号和连线构成，用于描述算法或过程的各个步骤及其执行顺序。

流程图可以帮助人们更好地理解算法或过程，从而提高效率。

4.2 结构图结构图是一种用于描述程序结构的图形表示方法。

它包括顺序结构、选择结构和循环结构三种基本结构，可以用来表示程序的控制流程。

选修1-2 第二章 .2一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确[答案] C[解析] 函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C ．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．①②D ．③ [答案] D[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致[答案] A[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．4．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误[答案] A[解析] 大前提错误，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，故选A ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 [答案] A[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C ，D 都是归纳推理．6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误[答案] B[解析] 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分．二、填空题7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3、4、5，所以△ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________.[答案] 一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形．8．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提______________________________________________________________．小前提_______________________________________________________________．结论________________________________________________________________．[答案] 所有一次函数的图象都是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线9．以下推理中，错误的序号为________.①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ；②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.[答案] ①[解析] 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立．三、解答题10．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因．(1)无限小数是无理数，23＝…是无限小数，23是无理数； (2)对于函数f (x )，如果对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数，f (x )＝sin x (－π2<x ≤π2)满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[解析] (1)大前提错，无限不循环小数是无理数． (2)小前提错，f (x )的定义域不关于原点对称，f (π2)有意义，f (－π2)无意义．一、选择题1．“在四边形ABCD 中，∵AB 綊CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形”．上述推理过程( )A ．省略了大前提B ．省略了小前提C ．是完整的三段论D ．推理形式错误[答案] A[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a d >b cB ．a d <b cC ．a c >b dD ．a c <b d [答案] B[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，又∵a >b >0，∴a d <b c.选B ． 3．“∵四边形是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 结合所给的已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形的有关性质，结合选项可知选B ．4．“(1)一个错误的推理是因为前提不成立，或者推理形式不正确，(2)这个错误的推理不是前提不成立，(3)所以这个错误的推理是推理形式不正确”．上述三段论是( )A ．大前提错B ．小前提错C ．结论错误D ．正确的 [答案] D[解析] 结合三段论本身的说法和逻辑关系，可知这个三段论是正确的．二、填空题5．三段论“平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M 到两定点F 1(－2，0)、F 2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是________.[答案] 大前提[解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密．而因为F 1(－2,0)、F 2(2,0)间距离为|F 1F 2|＝4，所以平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)、F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆．6.(2015·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ； ②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1、x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立． 其中所有正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号)[答案] ②③[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确； 对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )f (x －y )，但x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错． 三、解答题7．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解：由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝(1＋x )－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．试用三段论加以分析．[解析] 判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．8.(2015·北京文)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V －ABC 的体积．[解析] (1)证明：∵M ，O 分别是VA ，AB 的中点，∴MO ∥VB又∵V B ⃘面MOC ．MO 面MOC∴VB ∥面MOC ．(2)∵AC ＝BC ，AO ＝OB∴OC⊥AB，又∵面VAB⊥面ABC且面VAB∩面ABC＝AB，OC面ABC∴OC⊥面VAB．又∵OC面MOC∴面MOC⊥面VAB．(3)由(2)知OC⊥面VAB．∴V－ABC的体积＝C－VAB的体积，即OC为高．又∵AC⊥BC，AC＝BC＝2，∴OC＝1，AB＝2，∴S△VAB＝34×22＝ 3∴三棱锥V－ABC的体积为13×3×1＝3 3.。

课题：2.1.2演绎推理课标转述：1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

2、结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用他们进行一些简单推理。

3、通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异学习目标：1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，认识演绎推理的重要性；2、掌握演绎推理的基本方法；3、能运用演绎推理的基本方法进行一些简单的推理。

.学习重点：演绎推理的含义；利用“三段论”进行简单的推理.学习过程：一、复习准备：1. 练习：①对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？②在平面内，若,a b. 类比到空间，你会得到什么结论？a cb c⊥⊥，则//2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？3. 新课导入：（自学P30——P31思考上方的内容）①所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；②太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；③奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？）二、学习新课：1.根据实例讨论演绎推理的概念：（小组讨论）与课本对比小组讨论成果：（课本上的概念）概念要点：问题1：演绎推理与合情推理有什么区别？（小组讨论）问题2：观察教材P 30引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？（个人完成）举例：举出一些用“三段论”推理的例子. （个人完成）2. 例题解析：例6、在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.例7、证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.思考：因为指数函数x y a =是增函数，1()2x y =是指数函数，则结论是什么？ （指出：大前提、小前提 ；讨论：结论是否正确，为什么？）讨论：演绎推理怎样才结论正确？（个人完成）3、巩固练习：1.、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。

2.1.2 演绎推理[学习目标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式，并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.知识点一演绎推理及其一般模式——“三段论”1.演绎推理2.思考(1)(2)如何分清大前提、小前提和结论？知识点二演绎推理与合情推理的区别与联系题型一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数.反思与感悟 三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的. 跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)0.332是有理数；(2)y ＝cos x (x ∈R )是周期函数； (3)Rt △ABC 的内角和为180°.题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用例2 在锐角三角形中，求证sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .反思与感悟 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提. 跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)求证：函数f (x )＝2x －12x ＋1是定义域上的增函数.题型三 合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥ABCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影.(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.反思与感悟 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪训练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.三段论中因忽视大(小)前提致误例4 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ，b ，c 不全相等，试比较a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab与a ＋b ＋c 的大小.错解 因为a ，b ，c ∈R ＋，依基本不等式有⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.由三式相加得a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.①又a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 4c 2＝2ab 2c ， 同理b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，三式相加得a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2.②由①②得a 4＋b 4＋c 4≥a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，又a ，b ，c ∈R ＋， 所以a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab≥a ＋b ＋c .错因分析 以上过程忽视了小前提“a ，b ，c 不全相等”，因此①②两式中均为“＞”. 正解 ∵a ，b ，c ∈R ＋，有⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2.又a ，b ，c 不全相等，故三式相加，得 a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.③ 又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ，且a ，b ，c 不全相等，三式相加得 a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2，④ 由③④得a 4＋b 4＋c 4＞a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2， ∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab＞a ＋b ＋c . 防范措施 利用三段论推理时，正确使用大(小)前提，尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.1.下列推理中是演绎推理的是( )A.全等三角形的对应角相等，如果△ABC ≌△A ′B ′C ′，则∠A ＝∠A ′B.某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三各班的人数均超过50人C.由平面内三角形的性质，推测空间中四面体的性质D.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此猜想出{a n }的通项公式2.指数函数都是增函数，大前提 函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x是指数函数，小前提 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是增函数.结论 上述推理错误的原因是( ) A.大前提不正确 B.小前提不正确 C.推理形式不正确 D.大、小前提都不正确3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的周期是________.4.设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足1817＜S 2n S n ＜87的所有n 的和为________.5.设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3.数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的，三段论是由三个判断组成的，其中的两个为前提，另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断，叫做大前提，通常是已知的公理、定理、定义等，第二个判断是和大前提有联系的特殊判断，叫做小前提，从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中，一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成，而大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省去，而采取某种简明的推理格式.[答案]精析知识梳理知识点一1．某个特殊情况下一般到特殊2．已知的一般原理所研究的特殊情况思考(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．(2)在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．题型探究例1解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论跟踪训练1解(1)有限小数是有理数(大前提)，0.332是有限小数(小前提)，0.332是有理数(结论)．(2)三角函数是周期函数(大前提)，函数y＝cos x(x∈R)是三角函数(小前提)，函数y＝cos x(x∈R)是周期函数(结论)．(3)三角形内角和是180°(大前提)，Rt△ABC是三角形(小前提)，Rt△ABC的内角和为180°(结论)．例2 证明 ∵在锐角三角形中，A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∴0＜π2－B ＜A ＜π2.又∵在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦函数是单调递增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 即sin A ＞cos B ，① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A ．③以上①②③两端分别相加，有： sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 跟踪训练2 证明 (1)∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8. (2)函数定义域为R . 任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x 2＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 1－2x 2(2x 2＋1)·(2x 1＋1).∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，∴2x 1－2x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )为R 上的增函数．例3 (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S 2△BCD .证明如下：连接DO 并延长交BC 于E ，连接AE ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD .∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .跟踪训练3 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．证明如下：高中数学选修1-211 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d 2(n －1)， 所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列． 当堂检测1．A [B 项是归纳推理，C 项是类比推理，D 项是归纳推理．故选A.]2．A [大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在a ＞1时是增函数，而在0＜a ＜1时为减函数．故选A.]3．8[解析] f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f (2－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f [4＋(4＋x )]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )．∴T ＝8是它的周期．4．7[解析] 由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34， 易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ，S 2n ＝3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122n ，代入1817＜S 2n S n ＜87，可得117＜⎝⎛⎭⎫12n ＜17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 5．证明 因为a ，b ，c 为正实数，由基本不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc ·abc ＝23，当且仅当3abc＝abc ，即a ＝b ＝c ＝63时取等号． 所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥23，当且仅当a ＝b ＝c ＝63时取等号．。

高二数学人教选修1-2课后练习第2章推理与证明2.1.2 演绎推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )A.①B.②C.①②D.③【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.2.(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于( )A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.3.(2016·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )A.小前提错误B.结论错误C.正确D.大前提错误【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.4.(2016·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数( ) A. B.C. D.(2π,3π)【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π<x<2π.5.(2016·三明高二检测)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为∅,则实数a的取值范围为________.【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为∅.②a≠0时,需有即解得0<a≤2.综合上述,a的取值范围为.答案:7.有一段演绎推理:大前提:整数是自然数;小前提:-3是整数;结论:-3是自然数.这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.答案:大前提8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.即a-=0,得a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除.(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提22015+1是奇数,…………………………………………………………………小前提22015+1不能被2整除.…………………………………………………………结论(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52, …………………………………………………………………小前提△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论10.(2016·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. 【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. ……………………………………………………………………………………结论一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.2.(2016·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是( )A.直角梯形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.由(-)·=0即·=0可知BD⊥AC.故四边形ABCD是菱形.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则f+f+…+f+f=________.【解析】因为f(x)===2+.f(1-x)=2+=2-,所以f(x) +f(1-x)=4,所以f+f=4,…,f+f=4,所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.答案:40284.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.所以AB∥CD且AB=CD.又点E,F分别是AB,CD的中点.所以CF∥AE且CF=AE.所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥CE,又AF⊄平面PEC,CE⊂平面PEC.所以AF∥平面PEC.答案:平行三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.因为AC=BC=,AB=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC且平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.所以DE⊥CE,由已知得DE=AB=,CE=1.所以在Rt△CDE中,CD==2.(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下:当D在平面ABC内时因为BC=AC,AD=BD,所以C,D都在AB的垂直平分线上.所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,又CD⊂平面CDE.所以AB⊥CD.综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1.(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,所以g(-1)≤g(x)≤g(1).又g(1)=a+b=f(1)-c,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,所以-2≤g(x)≤2.当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.综上所述,-2≤g(x)≤2.(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·福州高二检测)有一段演绎推理是这样的“任何实数的平方都大于0，因为a∈R，所以a2>0”，结论显然是错误的，是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0.大前提：任何实数的平方大于0是不正确的.2.在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )A.三角形的中位线平行于第三边B.三角形的中位线等于第三边长的一半C.E，F为AB，AC的中点D.EF∥BC【解析】选A.本题的推理形式是三段论，其大前提是一个一般的结论，即三角形中位线定理.【补偿训练】已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形”.若将其恢复成完整的“三段论”，则大前提是.【解析】根据已知的推理，可知32+42=52，满足直角三角形的三条边的性质，故大前提是一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形.答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形【拓展延伸】用三段论写推理过程的关注点(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般原理与特殊情况的内在联系.(2)有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.3.(2015·登封高二检测)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立.因为f(x)=x3在(-1，1)内可导且单调递增，所以在(-1，1)内，f′(x)=3x2>0恒成立.以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误【解析】选A.因为对于可导函数f(x)，f(x)在区间(a，b)上是增函数，f′(x)>0对x∈(a，b)恒成立，应该是f′(x)≥0对x∈(a，b)恒成立，所以大前提错误.4.(2015·厦门高二检测)已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确.5.“1<a<2”是“对任意的正数x，都有2x+≥1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先将不等式分离参数，然后转化为最值问题求解.【解析】选A.当“对任意的正数x，都有2x+≥1”成立时，a≥x-2x2对x∈R+恒成立，而x-2x2=-2+≤，所以a≥.因为(1，2)∈，所以1<a<2是“对任意的正数x，都有2x+≥1”的充分不必要条件.二、填空题(每小题5分，共15分)6.以下推理过程省略的大前提为：.因为a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab.【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2+b2，故大前提为：若a≥b，则a+c≥b+c.答案：若a≥b，则a+c≥b+c【补偿训练】“π是无限不循环小数，所以π是无理数”以上推理的大前提是( )A.实数分为有理数和无理数B.π不是有理数C.无理数都是无限不循环小数D.有理数都是有限循环小数【解析】选C.用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数，故大前提是无理数都是无限不循环小数.7.(2015·长春高二检测)已知sinα=，cosα=，其中α为第二象限角，则m的值为.【解题指南】利用sin2α+cos2α=1结合α为第二象限角解决.【解析】由sin2α+cos2α=+==1得m(m-8)=0，所以m=0或m=8.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.所以m=8(m=0舍去).答案：8【补偿训练】已知函数f(x)=a-，若f(x)为奇函数，则a= .【解析】因为奇函数f(x)在x=0处有定义且f(0)=0(大前提)，而奇函数f(x)=a-的定义域为R(小前提)，所以f(0)=a-=0(结论).解得a=.答案：8.不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是.【解题指南】应用演绎推理结合一元二次不等式知识解决.【解析】不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切x∈R恒成立，即(a+2)x2+4x+a-1>0对一切x∈R恒成立.(1)若a+2=0，显然不成立.(2)若a+2≠0，则所以a>2.答案：(2，+∞)【补偿训练】(2015·郑州高二检测)在R上定义运算⊗：x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x都成立，则( )A.-1<a<1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y)，所以(x-a)⊗(x+a)=(x-a)(1-x-a)，即原不等式等价于(x-a)(1-x-a)<1即x2-x-(a2-a-1)>0.所以Δ=1+4(a2-a-1)<0即4a2-4a-3<0.解得-<a<.三、解答题(每小题10分，共20分)9.因为中国的大学分布在全国各地，…大前提北京大学是中国的大学，…小前提所以北京大学分布在全国各地.…结论(1)上面的推理形式正确吗？为什么？(2)推理的结论正确吗？为什么？【解析】(1)推理形式错误.大前提中的M是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误.(2)由于推理形式错误，故推理的结论错误.10.已知函数f(x)=a x+(a>1)，证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数.【证明】任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，f(x2)-f(x1)=+--=-+-=(-1)+=(-1)+.因为x2-x1>0，且a>1，所以>1.而-1<x1<x2，所以x1+1>0，x2+1>0，所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x)在(-1，+∞)上为增函数.【一题多解】f(x)=a x+=a x+1-.所以f′(x)=a x lna+.因为x>-1，所以(x+1)2>0，所以>0.又因为a>1，所以lna>0，a x>0，所以a x lna>0，所以f′(x)>0，于是f(x)=a x+在(-1，+∞)上是增函数.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确【解题指南】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论.【解析】选A.因为大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x<x0时的导数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，所以大前提错误.【补偿训练】“三角函数是周期函数，y=tanx，x∈是三角函数，所以y=tanx，x ∈是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )A.推理完全正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.推理形式不正确【解析】选C.y=tanx，x∈只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.2.函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数( )A. B.(π， 2π)C. D.(2π，3π)【解析】选B.令y′=x′cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0，由选项知x>0，所以sinx<0，选项B符合条件.【延伸探究】本题条件不变，求函数y=xcosx-sinx在上的最值.【解析】由原题解法可知，函数y=xcosx-sinx在上单调递增，故当x=π时取得最小值，当x=2π时取得最大值.所以y min=πcosπ-sinπ=-π，y max=2πcos2π-sin2π=2π.二、填空题(每小题5分，共10分)3.关于函数f(x)=lg(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg2；④当-1<x<0，或x>1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值.其中正确结论的序号是.【解析】易知f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确.当x>0时，f(x)=lg=lg(x+).因为g(x)=x+在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg2，故③正确，④也正确，⑤不正确.答案：①③④4.如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为.【解析】如图，作AN⊥BC于点N交GF于点M，设AN=h，BC=a，因为四边形GDEF是正方形，所以GF=GD=MN，GF∥BC，所以△AGF∽△ABC，所以=.设正方形的边长为x.所以=，解得x=.由于三角形的面积为4，所以ah=8，所以x==≤=，当且仅当a=h时取等号.所以△ABC的内接正方形面积的最大值为()2=2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知y=f(x)在(0，+∞)上有意义、单调递增且满足f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证：f(x2)=2f(x).(2)求f(1)的值.(3)若f(x)+f(x+3)≤2，求x的取值范围.【解析】(1)证明：因为f(xy)=f(x)+f(y)，(大前提)所以f(x2)=f(x·x)=f(x)+f(x)=2f(x).(结论)(2)因为f(1)=f(12)=2f(1)，(小前提)所以f(1)=0.(结论)(3)因为f(x)+f(x+3)=f(x(x+3))≤2=2f(2)=f(4)，(小前提)且函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，(大前提)所以解得0<x≤1.(结论)6.(2015·南京高二检测)设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3-2S n(n∈N*).(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想a n的表达式.(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{a n}是等比数列.【解析】(1)因为a n=3-2S n，所以a1=3-2S1=3-2a1，解得a1=1，同理a2=，a3=，a4=，…猜想a n=.(2)大前提：数列{a n}，若=q，q是非零常数，则数列{a n}是等比数列.小前提：由a n=，又=，结论：数列{a n}是等比数列.【拓展延伸】演绎推理的实质及分类(1)实质：“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.(2)一个数学问题使用演绎推理时，表现的三种情况.①显性三段论：在证明过程中，可以较清楚地看出“大前提”“小前提”“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的，也是演绎推理最为简单的应用.②隐性三段论：三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论.③复式三段论：一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论.可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论.一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )A.①B.②C.①②D.③【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.2.(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于( )A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.3.(2016·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )A.小前提错误B.结论错误C.正确D.大前提错误【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.4.(2016·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数( )A. B.C. D.(2π,3π)【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π<x<2π.5.(2016·三明高二检测)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为∅,则实数a的取值范围为________.【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为∅.②a≠0时,需有即解得0<a≤2.综合上述,a的取值范围为.答案:7.有一段演绎推理:大前提:整数是自然数;小前提:-3是整数;结论:-3是自然数.这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.答案:大前提8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.即a-=0,得a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除.(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提22015+1是奇数,…………………………………………………………………小前提22015+1不能被2整除.…………………………………………………………结论(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52, …………………………………………………………………小前提△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论10.(2016·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. 【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. ……………………………………………………………………………………结论一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.2.(2016·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是( )A.直角梯形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.由(-)·=0即·=0可知BD⊥AC.故四边形ABCD是菱形.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则f+f+…+f+f=________.【解析】因为f(x)===2+.f(1-x)=2+=2-,所以f(x)+f(1-x)=4,所以f+f=4,…,f+f=4,所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.答案:40284.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.所以AB∥CD且AB=CD.又点E,F分别是AB,CD的中点.所以CF∥AE且CF=AE.所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥CE,又AF⊄平面PEC,CE⊂平面PEC.所以AF∥平面PEC.答案:平行三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.因为AC=BC=,AB=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC且平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.所以DE⊥CE,由已知得DE=AB=,CE=1.所以在Rt△CDE中,CD==2.(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下:当D在平面ABC内时因为BC=AC,AD=BD,所以C,D都在AB的垂直平分线上.所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,又CD⊂平面CDE.所以AB⊥CD.综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1.(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,所以g(-1)≤g(x)≤g(1).又g(1)=a+b=f (1)-c,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,所以-2≤g(x)≤2.当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2. 当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.综上所述,-2≤g(x)≤2.。

2.1.2 演绎推理
一、基础过关
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
2．下列说法不正确的是( ) A．在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论必定正确
B．赋值法是演绎推理
C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断
D．归纳推理的结论都不可靠
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( ) A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( ) A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
1
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
5．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是( ) A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
1。

2。

1。

2演绎推理Q错误!错误!从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米,用卖米的钱买来尽可能多的小鸡,这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了,我就有钱买一块地了,有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成,我就可以买更多的地,再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子!”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．X错误!错误!1．演绎推理从__一般性的原理__出发,推出__某个特殊__情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由__一般到特殊__的推理．2．三段论“三段论"是演绎推理的一般模式，包括:（1)大前提——已知的__一般原理__；（2）小前提—-所研究的__特殊情况__;（3)结论—-根据一般原理，对特殊情况做出的__判断__.其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结论：__S是P__.利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__S 中所有元素也都具有性质P__.3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的，推理的形式是正确的,那么__结论__必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__不一定__正确．Y错误!错误!1．演绎推理是（ C ）A．部分到整体,个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理[解析] 演绎推理是由一般到特殊的推理．2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理( C ）A．小前提错B．结论错C．正确D．大前提错［解析］9＝3×3,所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．3．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证:a<b。

2.1.2 演绎推理一、选择题1．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④ C．②④⑤D．①③⑤2．下列说法不正确的是( )A．演绎推理是由一般到特殊的推理 B．赋值法是演绎推理C．若三段论的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D．归纳推理的结论都不可靠3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理( )A．结论正确B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形5．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论)那么这个推理是( )A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误6．下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．预测股票走势图二、填空题7．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是__________ . 8.设c b a ,,成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+yc x a . 三、解答题9．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．10．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .2.1.2 1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6.A 7．a>0，b>c⇒ab>ac 8.29．证明大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．10．证明如图，作AE⊥SB于E.∵平面SAB⊥平面SBC，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.∵SA∩AE＝A，SA⊂平面SAB，AE⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.∵AB⊂平面SAB.∴AB⊥BC.。

第二章 2.1 2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④都正确．答案： C2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错解析：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就必然正确，故选C.答案： C3．推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD 的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等解析：由三段论的一般模式知应选B.答案： B4．命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析：使用了“三段论”，大前提“有理数是无限循环小数”是错误的．答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．给出下列推理过程：因为2和3都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以2＋3也是无理数，这个推理过程________．(填“正确”或“不正确”)解析：结论虽然正确，但证明是错误的，这里使用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．答案：不正确6．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________.解析：因为a∥b，所以(x＋1)×(－2)＝2×4，解得x＝－5.答案：－5三、解答题(每小题10分，共20分)7．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A，B，C为空间三点(小前提)，所以过A，B，C三点只能确定一个平面(结论)．”(3)“因为金属铜、铁、铝能够导电(大前提)，而金是金属(小前提)，所以金能导电(结论)．”解析：(1)错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．(2)不正确．小前提错误．因为若三点共线，则可确定无数平面，只有不共线的三点才能确定一个平面．(3)不正确．推理形式错误．因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理．8．已知如图在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.证明：∵等腰三角形两底角相等，大前提如图，△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论 ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提 ∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3结论 ∵等于同一个角的两个角相等， 大前提 ∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提 ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .结论同理可证DB 平分∠CBA .9.已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R)，(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明． 解析： (1)∀x ∈R 有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，并且x 1>x 2， f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝x 1－x 2＋－x 2－x 1＋x 1＋x 2＋＝x 1－2x 2x 1＋x 2＋.∵x 1>x 2，∴2x 1>2x 2>0， ∴2x 1－2x 2>0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0.∴x 1－2x 2x 1＋x 2＋>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．。