【新浙教版】2018年秋八年级数学上册-分层作业-第1章三角形的初步知识1.5三角形全等的判定二

EA FB DC 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）。

有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS ”）。

角平分线上的一点到角两边的距离相等。

1.6全等三角形问题中常见的辅助线的作法1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．【经典练习】 一、选择题1、下列命题中，为真命题的是（ ）A. 锐角大于它的余角B. 锐角大于它的补角C. 钝角大于它的补角D. 锐角和钝角的和等于平角 2、下列语句不是命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．作直线AB 垂直于直线CDC ．若|a|=|b|，则a 2=b 2D ．同角的补角相等3、 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠αB.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠αC.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β<∠αD.两个角互为邻补角 4、下列各数中，可以用来证明“奇数是质数”是假命题的反例是（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．35、如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使 △ABC ≌△DEF ，还需要添加的一个条件是（ ） A. BC ∥EF B. ∠BCA=∠F C. ∠B=∠E D. ∠A=∠EDF6、一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（ ）B ′C ′D ′O ′A ′ODCBA（第9题）A ．带其中的任意两块B ．带1，4或3，4就可以了C ．带1，4或2，4就可以了D ．带1，4或2，4或3，4均可7、在△ABC 中，AB =3，AC =4，延长BC 至D ，使CD =BC ，连接AD ，则AD 的长的取值范围为（ ） A ．1＜AD ＜7 B ．2＜AD ＜14 C ．2.5＜AD ＜5.5 D ．5＜AD ＜118、如图，在△ABC 中，∠C =90°，CA =CB ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6，则△DEB 的周长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．109、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS10、△ABC 与△A ´B ´C ´中，条件①AB = A ´B ´，②BC = B ´C ´，③AC =A ´C ´，④∠A=∠A ´，⑤∠B =∠B ´，⑥∠C =∠C ´，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A ´B ´C ´的是（ ）A. ①②③B. ①②⑤C. ①③⑤D. ②⑤⑥11、如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线，相交于点O ，S △BDO 面积=1，则S △ABC =（ ） A.1 B.3 C. 6 D. 无法计算12、如图,AC 与BD 相交于点O,已知AB=CD,AD=BC,则图中全等三角形的对数有( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)413、如图, ΔABC 的两条中线相交于点F,若ΔABC 的面积是45cm 2,则四边形DCEF 的面积是( )(A) 30cm 2 (B) 15 cm 2 (C)20 cm 2 (D)不能确定14、如图,在ΔABC 中,BC 边上的垂直平分线交AC 于点D, 已知AB=3,AC=7,BC=8,则ΔABD 的周长为( )(A)10 (B)11 (C)15 (D)1215、在△ABC 中，∠A=50°，那么以点B 、C 为顶点的外角的平分线的夹角为（ ） A 、65°或115° B 、65° C 、75° D 、75°或115°16、ΔABC 中的两条角平分线BD,CE 相交于点P,若∠A=α ,则∠BPC 的度数是( ) (A)2∠α (B)2900α-(C)2900α+(C)α21800-A B C DF EED AC B二、填空题1、如图在△ABC 中，AB=AC=10，AB 的垂直平分线交AC 于G ，BC=7，则△GBC 的周长是_________.2、如图,在ΔABC 中, ∠C=90O ,BD 平分∠ABC,交AC 于D, 若AB=5,CD=2,则ΔABD 的面积是 .3、如图，能用AAS 来判断△ACD ≌△ABE 需要添加的条件可以是4、如图所示，在△ABC 中，∠A=50°，内角平分线与外角平分线交于点P ，则∠P=5、△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，化简|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b|=6、已知AD 是△ABC 中BC 边上的高线，∠BAD=70°，∠CAD=20°，那么∠BAC=_______________7、把“同角的补角相等”写成“如果……那么……的形式：8、把“等角的补角相等”写成“如果……那么……的形式：9、把“对顶角相等”写成“如果……那么……的形式：三、解答题1、如图所示，在直角三角形ABC 中，AB=BC ，AD 为BC 边上的中线，过点B 作AD 的垂线与过点C 作BC 的垂线交于点E 。

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.3证明（一）-每日好题挑选【例1】如图，直线a，b被直线c所截，下列说法中错误的是（）A．当a∥b时，一定有∠1＝∠3B．当∠1＝∠3时，一定有a∥bC．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝180°D．当∠2＋∠3＝180°时，一定有a∥b【例2】如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥DE，CE平分∠ACB，则图中与∠FDB相等的角的个数为个。

【例3】如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠1＝25°，则∠AED＝°。

【例4】如图①是我们常用的折叠式小刀，图②中刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图②所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是°。

【例5】如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF。

求证：∠E＝∠F。

【例6】如图，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°。

求证：BF⊥AC。

【例7】如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，∠ABD的平分线交CD于点F，∠1＋∠2＝90°。

（1）求证：AB∥CD；（2）若∠2＝25°，求∠3的度数。

【例8】（1）如图①，已知∠ABC，射线ED∥AB，交BC于点O，过点E作∠DEF＝∠ABC，说明BC∥EF的理由；（2）如图②，已知∠ABC，射线ED∥AB，交BC于点O，∠ABC＋∠DEF＝180°，判断直线BC与直线EF的位置关系，并说明理由；（3）根据以上探究，你发现了一个什么结论？请你写出来；（4）如图③，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，H为BC上一点，HF⊥AB于点F。

若∠1＝48°，试求∠2的度数。

【例9】已知,如图,∠XOY=90∘，点A.B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化?如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B 移动发生变化，请求出变化范围。

新浙教版八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》知识点及典型例题本文介绍了八年级上册数学第一章《三角形的初步知识》的知识点及典型例题。

其中，三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边的关系可分为等腰三角形、等边三角形和普通三角形。

文章还介绍了三角形的内角和定理、角平分线、重要线段中线和高线的定义、命题和证明步骤。

此外，文章还讲解了全等三角形、尺规作图、线段垂直平分线和角平分线的性质，以及如何利用这些知识点计算角度和线段长度。

最后，文章列举了八个考点，包括判断三条线段能否组成三角形、求三角形的某一边长或周长的取值范围、证明三角形全等等。

例题部分也包括了两个问题的解答。

1、正确画出AC边上的高的是（C）。

2、工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（B）三角形具有稳定性。

3、不能唯一作出直角三角形的是（C）已知一锐角及其邻边。

4、已知AD、BE、CF是△ABC的三条中线，相交于点O，设△BDO面积为1，则S△ABC=（6）。

5、在图中，由于AB=CD。

AD=BC，所以△ABO≌△CDO，△ABO与△CDO的对应顶点分别为AO和CO，所以全等三角形的对数为1，选项A。

6、根据中线定理可知，DF=EF=BF=AF=1/2AC，所以四边形DCEF是平行四边形，面积为AC的一半，即22.5cm，选项B。

7、根据角平分线定理可知，BP/PC=AB/AC，所以BP/AB=PC/AC，由此可得△BPC与△ABC相似，所以∠BPC=2∠A，选项A。

8、由于BD是BC边上的垂直平分线，所以BD=DC=4，由勾股定理可得AD=3，所以AB=5，所以ΔABD的周长为12，选项D。

9、将三角形按照图中的方式编号，可以发现只有第3块的形状与原来的三角形相同，所以应该带第3块去。

10、以B为顶点的外角为∠ABC=180°-∠A=130°，以C为顶点的外角为∠ACB=180°-∠A=130°，由于外角和等于360°，所以两个外角的平分线的夹角为130°/2=65°，选项A。

第一章 三角形的初步知识复习总目1、掌握三角形的角平分线、中线和高线2、理解三角形的两边之和大于第三边的性质3、三角形全等的判定知识点概要1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2、 三角形的分类：(1)按角分类： (2)按边分类：3、 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 （2）三角形的角平分线（3）三角形的高 4、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 5、 三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ; (2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 6、三角形的稳定性：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性. 7、全等三角形（1）三角形全等的判定 （SAS ） （ASA ） （AAS ） （SSS ） （HL ）（2）全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：（1）平移变换 （2）对称变换（3）旋转变换中考规律盘点及预测三角形的两边之和大于第三边的性质历年来是经常考到的填空题的类型，三角形角度的计算也是考到的填空题的类型，三角形全等的判定是很重要的知识点，在考试中往往会考到。

典例分析三角形直角三象形 斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形例1、小华要从长度分别为5cm 、6cm 、11cm 、16cm 的四根小木棒中选出三根摆成 一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是_ 6 ．___11___.____16___. 例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ， △ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 例3 如图，在下列条件中，不能证明△ABD ≌△ACD 的是（ ） A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC ，BD=DC C.∠B=∠C ，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C ，BD=DC例4 如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，点A 、D 在直线BE 的 两侧，AB ∥DE ，BF =CE ，请添加一个适当的条件： ， 使得AC =DF .基础练习一、精心选一选(每小题3分，共30分)1、在下列各组图形中，是全等的图形是( )A 、B 、C 、D 、 2、下列各图中，正确画出AC 边上的高的是( )A 、B 、C 、D 、 3、如图1，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( ) A 、两点之间的线段最短； B 、三角形具有稳定性； C 、长方形是轴对称图形； D 、长方形的四个角都是直角；4、图2中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是( ) A 、一个锐角，一个钝角； B 、两个锐角；C 、一个锐角，一个直角；D 、一个直角，一个钝角； 5、以下不能构成三角形三边长的数组是( )A 、(1，3，2)B 、(3，4，5)C 、(23，24，25) D 、(3，4，5)6、一个三角形的两个内角分别为55°和65°，这个三角形的外角不可能是( )A A A AB B B BC C C C E E EE BA CD EF 图1图2A 、115°B 、120°C 、125°D 、130°7、小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图3所示的四块(图中所标1、2、3、4)，你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带( )去 A 、第1块； B 、第2块； C 、第3块； D 、第4块；8、如图4，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( )A 、150°B 、130°C 、120°D 、100°9、用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 10、如图5，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 边上的 点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为( ) A 、15° B 、20° C 、25° D 、30° 二、耐心填一填(每小题3分，共30分)11、在△ABC 中，若∠A －∠B=90°，则此三角形是________三角形；若C B A ∠=∠=∠3121，由此三角形是_______三角形；12、如图6，已知AC=BD ，要使△ABC ≌△DCB ， 只需增加的一个条件是________________； 13、设△ABC 的三边为a 、b 、c ，化简______________|b a c ||a c b ||c b a |=--+--+--14、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，第三边长是偶数，则这个三角形的周长为___________cm ； 15、如图7，在△ABC 中，已知AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=________16、如图8，把矩形ABCD 沿AM 折叠，使D 点落在N 点处，如果AD=35cm ，DM=5cm ，∠DAM=30°，则AN=_____cm ，NM=______cm ，∠BNA=_________度；17、如图9，△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BD 、CE 交于点O ，且AD=AE ，连结AO ，则图中共有_________对全等三角形；18、如图10，已知∠B=∠C ，AD=AE ，则AB=AC ，请说明理由(填空) 解：在△ABC 和△ACD 中， ∠B=∠______ (__________) ∠A=∠______ (________________)12 3 4图3ABCED 图5ABCDO图6D AB EC 图7 A B CD N M 图8 A B C DE O图9 ABD图10ABEAE=________ (__________) ∴△ABE ≌△ACD (______________)∴AB=AC (______________________________) 19、如图11所，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________； 20、用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是：____________________； 三、细心做一做(共60分)24、(8分)某产品的商标如图15所示，O 是线段AC 、DB 的交点，且AC=BD ，AB=DC ，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是： ∵AC=DB ，∠AOB=∠DOC ，AB=AC ， ∴△ABO ≌△DCO你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用 的是判别三角形全等的哪个条件，如果不正确， 写出你的思考过程。

1.3 证明（一）A组1．如图，下面的推理正确的是(D)A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠ABC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BCC．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4D．∵∠ABC＋∠DAB＝180°，∴AD∥BC,(第1题)) ,(第2题)) 2．如图，若a∥b，则∠1的度数为(C)A． 90° B． 80°C． 70° D． 60°(第3题)3．如图，下列条件中，能证明AD∥BC的是(D)A．∠A＝∠CB．∠B＝∠DC．∠B＝∠CD．∠C＋∠D＝180°4．字母a，b，c，d分别代表正方形、线段、正三角形、圆这四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为a⊕c．组合,,,连接,a⊕b,b⊕d,d⊕c(第5题)5．如图，∠1与∠D互余，∠C与∠D互余．求证：AB∥CD．【解】∵∠1与∠D互余，∠C与∠D互余(已知)，∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．(第6题)6．如图，直线a∥b，三角形纸板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b 于B，C两点．若∠1＝42°，求∠2的度数．【解】∵直线a∥b，∠1＝42°(已知)，∴∠ACB＝42°(两直线平行，内错角相等)．又∵∠BA C＝90°(已知)，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝48°(三角形的内角和为180°)，∴∠2＝∠ABC＝48°(对顶角相等)．(第7题)7．如图，∠1＝∠2，∠D＝50°，求∠B的度数．【解】∵∠1＝∠AGF(对顶角相等)，∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠AGF(等量代换)，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，∴∠B＝180°－∠D＝180°－50°＝130°．B组(第8题)8．如图，已知直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．【解】过点C作CE∥a．∵a∥b，∴CE∥a∥b，∴∠BCE＝∠α，∠ACE＝∠β＝55°．∵∠ACB＝90°，∴∠α＝∠BCE＝∠ACB－∠ACE＝35°．(第9题)9．如图，已知AB∥CD，EF 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，EP ⊥EF ，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ，且∠BEP＝50°，则∠EPF 的度数为__70°__．【解】 ∵EP⊥EF，∴∠PEF ＝90°． 又∵∠BEP＝50°，∴∠BEF ＝∠BEP＋∠PEF＝140°． ∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠EFD＝180°， ∴∠EFD ＝40°． ∵FP 平分∠EFD，∴∠EFP ＝12∠EFD＝20°．∵∠PEF ＋∠EFP＋∠EPF＝180°， ∴∠EPF ＝70°．10．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，BE 平分∠ABC，分别交AC ，CD 于点E ，F ．求证：∠CEF＝∠CFE．(第10题)【解】 ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE ＝∠CBE．∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠CEF ＋∠CBE＝90°，∠DFB ＋∠ABE＝90°， ∴∠CEF ＝∠DFB． 又∵∠CFE＝∠DFB， ∴∠CEF ＝∠CFE． 11．阅读：如图①，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B．这是一个有用的事实，请用这个事实，在图②中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D 的度数．(第11题)(第11题解)【解】 如解图，过点D 作DE∥AB 交BC 于点E ，则∠A＋∠ADE＝180°，∠B ＋∠BED ＝180°．由题意，得∠BED ＝∠C ＋∠CDE ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠CDA ＝(∠A ＋∠ADE )＋(∠CDE ＋∠C )＋∠B ＝180°＋∠BED ＋∠B ＝180°＋180°＝360°．数学乐园12．如图，∠EOF ＝90°，点A ，B 分别在射线OE ，OF 上移动，连结AB 并延长至点D ，∠DBO 的平分线与∠OAB 的平分线交于点C ，试问：∠AC B 的度数是否随点A ，B 的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A ，B 的移动而发生变化，请给出变化的范围．(第12题)【解】 ∠ACB 的度数不随点A ，B 的移动发生变化．理由如下： ∵BC ，AC 分别平分∠DBO，∠BAO ， ∴∠DBC ＝12∠DBO，∠BAC ＝12∠BAO．∵∠DBO ＋∠OBA＝180°，∠OBA ＋∠BAO＋∠AOB＝180°， ∴∠DBO ＝∠BAO＋∠AOB，∴∠DBO －∠BAO＝∠AOB＝90°．∵∠DBC ＋∠ABC＝180°，∠ABC ＋∠ACB＋∠BAC＝180°， ∴∠DBC ＝∠BAC＋∠ACB， ∴12∠DBO＝12∠BAO＋∠ACB， ∴∠ACB ＝12(∠DBO－∠BAO)＝12∠AOB＝45°．。

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.1认识三角形（二）-每日好题挑选【例1】已知P是△ABC内任意一点。

（1）如图1，求证：AB+AC>PB+PC；（2）如图2，连接PA，比较12（AB+AC+BC）与PA+PB+PC的大小关系。

【例2】利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【例3】如图，A,B是边长为1的小正方形组成的网格中的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的ΔABC的面积为的2点的个数为。

【例4】如图,在△ABC中（AB>BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长。

【例5】已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，（1）求∠BAC的度数；（2）△ABC是什么三角形。

【例6】（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数；（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由。

【例7】在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求:（1）△ABC的面积；（2）CD的长；（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，试求出DF的长。

【例8】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足为E，F，CG是AB边上的高线。

（1）试猜想线段DE，DF，CG之间存在着怎样的等量关系，并说明理由；（2）若点D在底边的延长线上，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由。

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.5三角形全等的判定（一）SSS-每日好题挑选【例1】如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A、三角形的稳定性B、两点之间线段最短C、两点确定一条直线D、垂线段最短【例2】如图，下列条件中，不能判定△ABD和△CBD全等的是（）A、AB＝BC，AD＝CDB、沿BD对折后，A，C两点重合C、AB＝DC，AD＝BCD、AB＝AD，BC＝DC【例3】如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝DB，根据“SSS”得到的全等三角形是。

【例4】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，分别在边OA，OB上取点M，N，使OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此做法得△MOC≌△NOC的依据是。

【例5】在如图所示的4×4正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝°．【例6】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是．【例7】已知AB=AC，AD 为∠BAC 的角平分线，D、E、F…为∠BAC 的角平分线上的若干点．如图1，连接BD、CD，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD、CD、BE、CE，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD、CD、CE、BF、CF，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形对.【例8】如图，六边形钢架ABCDEF 由6条钢管连接而成．为使这一钢架稳固，请你用3条钢管固定，使它不能活动。

你能设计两种不同的方案吗？【例9】已知：如图所示，AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF。

求证：∠B＝∠C。

证明：∵CE＝BF()，∴CE＋EF＝BF＋EF，即CF＝BE，在△ABE 和△DCF 中，∵（），＝DF（），∴△ABE≌△DCF()，∴∠B＝∠C()。

第1章三角形的初步知识1．1认识三角形第1课时三角形的有关概念及三边关系01基础题知识点1三角形及相关概念1．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD，△ACD，△BCD；(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是AD；在△ABD中，边AD所对的角是∠ABD．知识点2三角形内角和定理2．(温州校级期中)在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是( B )A．40°B．60°C．80°D．100°3．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )A．30°B．60°C．90°D．120°第3题图第4题图4．(南三县期末)一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为( A )A．75°B．60°C．65°D．55°知识点3三角形按角的大小分类5．(诸暨期末)在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝55°，则△ABC为( C )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．任意三角形6．如图，图中有6个三角形，其中，△ABC，△ACD是锐角三角形，△ACE，△ABE，△ADE是直角三角形，△ABD是钝角三角形．知识点4三角形的三边关系7．(萧山区四校联考)在下列长度的四根木棒中，能与4 cm、9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( C ) A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm8．(盐城中考)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为( A )A．5 B．6C．7 D．89．如图，从点A 到点D 有三条路线：A —B —D ，A —C —D ，A —D ，其中最短的路线是A －D ． 10．(1)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，那么BC 边的长度应满足什么条件？(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm ，7 cm ，第三边的长为x cm ，且x 是一个奇数，求三角形的周长； (3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm ，求它的最短边长．解：(1)1<BC<7.(2)三角形的周长为15 cm 或17 cm 或19 cm 或21 cm 或23 cm . (3)它的最短边长为7 cm .02 中档题11．若a ，b ，c 是三角形的三边长，则化简：|a －b －c|＋|a ＋c －b|－|c －a －b|＝( B )A ．3a －b －cB ．－a －b ＋3cC ．a ＋b ＋cD ．a －3b ＋c12．(盐城中考)一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为( B )A ．85°B ．75°C ．60°D ．45°13．(义乌模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( D )A ．6B ．7C ．8D ．9第13题图 第14题图14．(温州八中期中)如图，△ABC 中，∠DBC ＝13∠ABC ，∠DCB ＝13∠ACB ，∠A ＝45°，则∠BDC ＝135°．15．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A ，B ，C ，D 处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器安装在AC ，BD 的交点E 处，你知道为什么吗？解：另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE ′，CE ′，DE ′，在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．16．(杭州期中改编)若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8，8，2；8，7，3；8，6，4；8，5，5；7，7，4；7，6，5；6，6，6.03综合题17．观察并探求下列各问题：(1)如图1，在△ABC中，点P为边BC上一点，则BP＋PC<AB＋AC(填“>”“<”或“＝”)；(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图3，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．理由如下：延长BP交AC于点M.在△ABM中，BP＋PM<AB＋AM，在△PMC中，PC<PM＋MC，两式相加，得BP＋PC<AB＋AC，∴BP＋PC＋BC<AB＋AC＋BC，即△BPC的周长<△ABC的周长．(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长，理由如下：分别延长BP1，CP2交于点M.由(2)知，BM＋CM<AB＋AC.又∵P1P2<P1M＋P2M，∴BP1＋P1P2＋P2C<BM＋CM<AB＋AC.∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．第2课时三角形的重要线段01基础题知识点1三角形的角平分线1．在△ABC中，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝31°，则∠C的度数为( D ) A．62°B．60°C．92°D．58°2．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为( B )①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1 B．2 C．3 D．4第2题图第3题图3．(邵阳中考)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( C )A．45°B．54°C．40°D．50°知识点2三角形的中线4．如图所示，点D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( C )A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BD＝ECD．在△CDE中，∠C的对边是DE5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．(1)若BC＝6 cm，则CD＝3cm；(2)若CD＝a cm，则BC＝2a cm；(3)若S△ABD＝8 cm2，则S△ACD＝8cm2.第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，则△ABD和△ACD的周长差为2cm.知识点3三角形的高线7．(杭州上城区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( D )8．如图，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，图中线段可以作为△ABC的高的有( B )A．2条B．3条C．4条D．5条第8题图第9题图9．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE的度数为40°．10．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点H，若∠BHC＝110°，则∠A等于70°．02中档题11．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质( D )A．是∠BAB′的平分线B．是边BB′上的高C．是边BB′上的中线D．以上三种线重合第11题图第12题图12．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，则∠ADB的度数为( D ) A．40°B．60°C．80°D．100°13．(绵阳中考)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC ＝(C)A．118°B．119°C．120°D．121°第13题图第14题图14．(温州永嘉县岩头中学期中)如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，则阴影部分△AEF的面积为1cm2.15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD将△ABC的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边BC的长．解：①当AB ＋AD ＝15 cm 时， ∵D 是AC 的中点， ∴AD ＝12AC ＝12AB .∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝15，解得AB ＝10 cm.∴AC ＝10 cm.∴BC ＝15＋12－10×2＝7(cm)．此时能构成三角形，且底边长为7 cm ； ②当AB ＋AD ＝12 cm 时，∴AB ＋AD ＝AB ＋12AB ＝12，解得AB ＝8 cm.∴AC ＝8 cm.∴BC ＝15＋12－8×2＝11(cm)．此时能构成三角形，且底边长为11 cm. 综上，底边BC 的长为7 cm 或11 cm.16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 是BC 边上任意一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，BD 为△ABC 的高线，BD ＝8，求PF ＋PE 的值．解：连结PA.∵S △ABC ＝S △APB ＋S △APC ， ∴12AC·BD ＝12AB·PF ＋12AC·PE. ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝PF ＋PE. ∴PF ＋PE ＝8.03 综合题17．(嵊州校级期中)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC. (1)若∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，求∠DAE 的度数； (2)若∠B ＝80°，∠C ＝40°，求∠DAE 的度数；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．解：(1)∵∠BAC ＝80°，∠C ＝30°，∴∠B ＝70°. ∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝20°. ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠BAE ＝12∠BAC ＝40°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°. (2)∵∠B ＝80°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝10°. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)＝12×60°＝30°.∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－10°＝20°. (3)能求得∠DAE ＝12(∠B －∠C)＝20°.理由：∵AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝90°－∠B. ∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12(180°－∠B －∠C)．∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12(180°－∠B －∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B －∠C)＝20°.1.2定义与命题第1课时定义与命题01基础题知识点1定义1．下列语句中，属于定义的是( C )A．两点之间线段最短B．三人行，必有我师焉C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D．两条直线相交，只有一个交点2．下列语句中，属于定义的是( D )A．两点确定一条直线B．同角或等角的余角相等C．两直线平行，内错角相等D．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度3．下列语句中，属于定义的有( B )①含有未知数的等式称为方程；②三角形内角和等于180°；③等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方公式；④如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2.A．1个B．2个C．3个D．4个知识点2命题4．(杭州萧山区期中)下列语句是命题的是( C )A．作直线AB的垂线B．在线段AB上取点CC．同旁内角互补D．垂线段最短吗？5．下列语句中，不是命题的是( A )A．延长线段ABB．自然数也是整数C．两个锐角的和一定是直角D．同角的余角相等6．下列语句中，是命题的是( C )①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能要下雪；④同旁内角不互补，两直线不平行；⑤作∠ACB 的角平分线．A．①②③B．①②⑤C．①②③④D．①②④7．下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？(1)若a<b，则－b<－a；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗？(4)两点之间线段最短；(5)解方程x2－2x－3＝0；(6)1＋2≠3.解：(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题．知识点3命题的条件和结论8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D )A．垂直B．两条直线C．同一条直线D．两条直线垂直于同一条直线9．写出下列命题的条件和结论．(1)如果a2＝b2，那么a＝b；(2)同角或等角的补角相等；(3)同旁内角互补，两直线平行．解：(1)条件：a2＝b2；结论：a＝b.(2)条件：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等．(3)条件：同旁内角互补；结论：两直线平行．10．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；(2)绝对值相等的两个数一定相等；(3)每一个有理数都对应数轴上的一个点．解：(1)在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．(2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定也相等．(3)如果一个数是有理数，那么这个数一定对应着数轴上的一个点．02中档题11．下列语句中，是命题的是( A )①若∠1＝60°，∠2＝60°，则∠1＝∠2；②对顶角相等吗？③画线段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等．A．①④⑤B．①②④C．①②⑤D．②③④12．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel将按指定行的值和指定的‘升序’或‘降序’排列次序重新设定行．”这段话是对名称按行排列进行定义．13．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)对顶角相等；(2)同角的余角相等；(3)三角形的内角和等于180°；(4)角平分线上的点到角的两边距离相等．解：(1)条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．(2)条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．(3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”．(4)条件是“一个点在一个角的平分线上”，结论是“这个点到这个角的两边距离相等”．可以改写成“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．14．用语言叙述这个命题：如图，AB∥CD，EF交AB于点G，交CD于点H，GM平分∠BGH，HM平分∠GHD，则GM⊥HM.15．观察下列给出的方程，找出它们的共同特征，试给出名称，并作出定义．x3＋x2－3x＋4＝0；x3＋x－1＝0；x3－2x2＋3＝x；y3＋2y2－5y－1＝0.解：共同特征：都是整式方程，均含有一个未知数，未知数的最高次数均为3；名称：一元三次方程；定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程是一元三次方程．第2课时真假命题及定理01基础题知识点1真命题和假命题1．下列命题中的真命题是( C )A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角C．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角2．在同一平面内，下列命题中，属于假命题的是( A )A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cB．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a⊥c，b∥a，则b⊥c3．下面给出的四个命题中，假命题是( D )A．如果a＝3，那么|a|＝3B．如果x2＝4，那么x＝±2C．如果(a－1)(a＋2)＝0，那么a－1＝0或a＋2＝0D．如果(a－1)2＋(b＋2)2＝0，那么a＝1或b＝－24．已知四个命题：①若一个数的相反数等于它本身，则这个数是0；②若一个数的倒数等于它本身，则这个数是1；③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是1；④若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数．其中真命题有( A )A．1个B．2个C．3个D．4个5．请在横线上填上适当的词，使所得到的命题是假命题：相等的角是答案不唯一，如：对顶角(或直角或平角等)．知识点2举反例6．(嵊州期末)对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( C ) A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°7．(杭州萧山区戴村期中)已知命题A：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是( D )A．2k B．15C．24 D．428．(温州新城学校初中部月考)可以用来证明命题“如果a，b是有理数，那么|a＋b|＝|a|＋|b|”是假命题的反例可以是a＝－1，b＝3(答案不唯一)．知识点3基本事实和定理9．下列不是基本事实的是( C )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行10．下列说法中，正确的是( B )A．定理是假命题B．基本事实不需要证明C．定理不一定都要证明D．所有的命题都是定理11．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．解：A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．02中档题12．下列命题中，是假命题的是( C )A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B．对顶角相等C．互补的角是邻补角D．邻补角是互补的角13．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c，以其中的两个论断为条件，一个论断为结论，写出一个真命题．解：答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.14．(杭州萧山区四校联考期中)请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．(1)若a＞b，则a2＞b2；(2)两个无理数的和仍是无理数；(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．解：(1)是假命题，例如：0＞－1，但02＜(－1)2.(2)是假命题，例如：－2和2是无理数，但－2＋2＝0，和是有理数．(3)是假命题，例如：三条线段a＝3，b＝2，c＝1满足a＋b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．15．如图，已知∠ACE＝∠AEC，CE平分∠ACD，则AB∥CD，用推理的方法说明它是一个真命题．解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD.∵∠ACE＝∠AEC，∴∠ECD＝∠AEC.∴AB∥CD.∴它是一个真命题．16．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°.图1图2(1)图1中∠DEF＝45°，图2中∠DEF＝135°；(2)请观察图1、图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：图1中∠DEF＝∠ABC，图2中∠DEF＋∠ABC＝180°.命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．1.3证明第1课时证明的含义及表述格式01基础题知识点1证明的定义1．下列能作为证明依据的是( D )A．已知条件B．定义和基本事实C．定理和推论D．以上三项都可以2．通过观察你能肯定的是( C )A．图形中线段是否相等B．图形中线段是否平行C．图形中线段是否相交D．图形中线段是否垂直知识点2证明过程的书写3．如图，直线a∥b，直线c与a，b都相交，∠1＝55°，则∠2＝( A )A．55°B．35°C．125°D．65°第3题图第4题图4．如图，下面推理正确的是( B )A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CDB．∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CDC．∵∠3＝∠4，∴AB∥CDD．∵∠1＋∠4＝180°，∴AB∥CD5．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是( C ) A．80°B．70°C．60°D．50°第5题图第6题图6．(海宁新仓中学期中)如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO＝28°，则∠MFE＝56度．7．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝60°，则∠4＝120°．第7题图第8题图8．如图所示，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝54°．9．已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠BAD＝∠CAD，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出AD∥EF，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠BAD＝∠1(两直线平行，内错角相等)，∠CAD＝∠2(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC(角平分线的定义)．10．如图，已知AB∥CD，∠B＝40°，∠D＝40°，求证：BC∥DE.证明：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝40°.∵∠D＝40°，∴∠C＝∠D.∴BC∥DE.02中档题11．如图所示，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( A )A．100°B．60°C．40°D．20°第11题图第12题图12．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，那么AC∥DE；③如果∠2＝30°，那么BC∥AD；④如果∠2＝30°，那么∠4＝∠C.其中正确的有( B )A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④13．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，求证：∠BDC＋∠DGF＝180°.证明：∵∠1＝∠ACB(已知)，∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．∴∠2＝∠DCF(两直线平行，内错角相等)．∵∠2＝∠3(已知)，∴∠3＝∠DCF(等量代换)．∴CD ∥FG(同位角相等，两直线平行)．∴∠BDC ＋∠DGF ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．14．如图，已知BE ∥CF ，BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD.求证：AB ∥CD.证明：∵BE ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD(已知)， ∴∠1＝12∠ABC ，∠2＝12∠BCD(角平分线的定义)．∵BE ∥CF(已知)，∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)． ∴12∠ABC ＝12∠BCD ， 即∠ABC ＝∠BCD.∴AB ∥CD(内错角相等，两直线平行)．03 综合题15．阅读：如图1，∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠A ，∠2＝∠B.∴∠ACD ＝∠1＋∠2＝∠A ＋∠B.这是一个有用的事实，请用这个事实，在图2中的四边形ABCD 内引一条和边平行的直线，求出∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D 的度数．解：过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E. 则∠DEB ＝∠C ＋∠EDC. ∵DE ∥AB ，∴∠A ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠DEB ＝180°.∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠EDC ＋∠ADE ＝∠A ＋∠ADE ＋∠B ＋∠DEB ＝360°.第2课时 三角形内角和定理的推论01 基础题知识点1 几何命题的证明1．证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题．解：已知：如图，AB ∥CD ，EF ⊥AB 于M ，交CD 于点N. 求证：EF ⊥CD. 证明：∵AB ∥CD ， ∴∠AMN ＋∠CNM ＝180°. ∵EF ⊥AB ，∴∠AMN ＝90°. ∴∠CNM ＝90°. ∴EF ⊥CD.2．证明命题“两条平行线被第三条直线所截，得到的一组同旁内角的角平分线互相垂直”是真命题 .解：已知：如图，AB ∥CD ，EF 交AB 于点G ，交CD 于点H ，GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG . 求证：GM ⊥HM. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BGH ＋∠DHG ＝180°.∵GM 平分∠BGH ，HM 平分∠DHG ， ∴∠MGH ＝12∠BGH ，∠GHM ＝12∠DHG .∴∠MGH ＋∠GHM ＝12(∠BGH ＋∠DHG)＝12×180°＝90°.∴∠M ＝180°－∠MGH －∠GHM ＝180°－90°＝90°.∴GM ⊥HM.知识点2 三角形内角和定理的推论3．(甘孜中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝30°，延长BA 至点D ，则∠CAD 的大小为( C )A ．110°B ．80°C ．70°D ．60°第3题图 第4题图4．(金华六校联考)如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B ＝30°，∠DAE ＝65°，那么∠ACD 等于( B )A ．60°B ．80°C ．65°或80°D ．100°5．(嵊州校级期中)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD 的度数是( A )A ．15°B ．25°C．30°D．10°第5题图第6题图6．(嘉兴桐乡实验中学期中)如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B )A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠17．(丽水中考)如图，在△ABC中，∠A＝63°，直线MN∥BC，且分别与AB，AC相交于点D，E，若∠AEN＝133°，则∠B的度数为70°．8．(嵊州期末)如图，在△ABC中，E点是AB上的一点，DE⊥AB交AC的延长线于D点，已知∠B＝28°，∠D ＝46°，求∠BCD的度数．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.∵∠D＝46°，∴∠A＝44°.∴∠BCD＝∠A＋∠B＝44°＋28°＝72°.9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，∠BDC＝87°，求∠A的度数．解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠ABD.∵∠CBD＋∠C＋∠BDC＝180°，∠ABC＝∠C，∴3∠ABD＋87°＝180°.∴∠ABD＝31°.∵∠CDB＝∠A＋∠ABD，∴∠A＝87°－31°＝56°.02中档题10．(恩施中考)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的值为( B ) A．20°B．30°C．40°D．70°第10题图 第11题图11．如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC 的3个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝360°．12．如图所示，△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，BD 上的点，且∠A ＝65°，∠ABD ＝∠DCE ＝30°，则∠BEC 的度数是125°．第12题图 第13题图13．如图所示，已知∠BDC ＝142°，∠B ＝34°，∠C ＝28°，则∠A ＝80°．14．(温州校级期中)如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是2∠A ＝∠1＋∠2．15．如图，在△ABC 中，∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∠BAD ＝12∠DAC ，BE 平分∠ABC ，求∠BED 的度数．解：∵∠ADB ＝100°，∠C ＝80°，∴∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝100°－80°＝20°. ∵∠BAD ＝12∠DAC ，∴∠BAD ＝12×20°＝10°.在△ABD 中，∠ABC ＝180°－∠ADB －∠BAD ＝180°－100°－10°＝70°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12×70°＝35°.∴∠BED ＝∠BAD ＋∠ABE ＝10°＋35°＝45°.16．(温州新城学校初中部月考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BE 平分∠ABC ，AF 平分外角∠BAD ，BE 与FA 交于点E ，求∠E 的度数．解：设∠ABC ＝x °，∵∠BAD 是△ABC 的外角，∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠ABC ＋∠C ＝90°＋x °. ∵AF 平分外角∠BAD ，∴∠BAF ＝12∠BAD ＝12(90°＋x °)．∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝12∠ABC ＝12x °.∴∠E ＝∠BAF －∠ABE ＝12(90°＋x °)－12x°＝45°.03 综合题17．图中的两个图形是五角星和它的变形．(1)如图1是一个五角星，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝180°；(2)图1中的点A 向下移到BE 上时(如图2)，五个角的和(即∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E)有无变化？证明你的结论．解：(1)证明：∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ， ∠1＋∠2＋∠A ＝180°，∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠A ＝180°.(2)无变化．∵∠1＝∠C ＋∠E ，∠2＝∠B ＋∠D ，∠1＋∠3＋∠2＝180°， ∴∠C ＋∠E ＋∠B ＋∠D ＋∠CAD ＝180°.1.4全等三角形01基础题知识点1全等图形及全等三角形1．在下列各组图形中，是全等的图形是( C )2．如图，把△ACB沿着AB翻转，点C与点D重合，请用符号表示图中所有的全等三角形．解：△ACE≌△ADE；△BCE≌△BDE；△ABC≌△ABD.知识点2全等三角形的对应元素3．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是( B )A．△ABE≌△AFBB．△ABE≌△ABFC．△ABE≌△FBAD．△ABE≌△FAB4．已知：如图，△ABD与△CDB全等，∠ABD＝∠CDB，写出其余的对应角和各对对应边．解：∠A与∠C，∠ADB与∠CBD是对应角；BD与DB，AD与CB，AB与CD是对应边．知识点3全等三角形的性质5．如图所示，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( D )A．∠1＝∠2B．CA＝ACC．∠D＝∠BD．AB＝BC6．已知△ABC≌△A′B′C′，若∠A＝50°，∠B′＝80°，则∠C的度数是( C ) A．30°B．40°C．50°D．607．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝20．8．如图，已知△AOC≌△BOD.求证：AC∥BD.证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B.∴AC∥BD.9．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，BC＝4.5 cm，点A，B，C在一条直线上．(1)求DE的长；(2)判断AC与BD的位置关系，并说明理由．解：(1)∵△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，BD＝BC.∴DE＝BD－BE＝4.5－3＝1.5(cm)．(2)AC⊥BD.理由：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC.又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝90°.∴AC⊥BD.02中档题10．如图，△ABC≌△AED，那么图中相等的角有( C )A．3对B．4对C．5对D．6对第10题图第11题图11．如图，已知△ABC≌△DEF，DF∥BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在DE上，则∠BAD的度数为( B ) A．15°B．20°C．25°D．30°12．如图，已知△ACF≌△DBE，∠A＝∠D，∠E＝∠F，AD＝11 cm，BC＝7 cm，则AB的长为2cm.第12题图第13题图13．如图，在△ABC中，∠B＝25°，现将△ABC绕其顶点C顺时针旋转30°后，得△EDC，则∠BFD的度数为55°．14．如图，将长方形纸片ABCD(AD>AB)沿AM折叠，使点D落在BC上(与点N重合)，如果AD＝18.4 cm，∠DAM ＝40°，求AN的长和∠NAB的度数．解：∵沿AM折叠后，点D与点N重合，∴△ADM≌△ANM.∴AN＝AD＝18.4 cm，∠MAN＝∠MAD＝40°.∵四边形ABCD是长方形，∴∠DAB＝90°.∴∠NAB＝∠BAD－∠MAN－∠MAD＝10°.15．(温州新城学校初中部月考)如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝35°，∠B＝∠D＝20°，∠EAB＝105°，求∠BFD和∠BED的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB＝∠EAD.又∵∠CAD＝35°，∠EAB＝105°，∠EAD＋∠DAC＋∠CAB＝∠EAB＝105°，∴∠EAD＝∠DAC＝∠CAB＝35°.∴∠DFB＝∠DAB＋∠B＝70°＋20°＝90°，∠BED＝∠BFD－∠D＝90°－20°＝70°.03综合题16．已知，如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.(1)试说明BD＝DE＋CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE?解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE.∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE.∴BD＝CE＋DE.(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，理由如下：∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°－90°＝90°.又∵△BAD≌△ACE，∴∠CEA＝∠ADB＝90°.∴∠CEA＝∠BDE.∴BD∥CE.微课堂1．5 三角形全等的判定第1课时 三角形全等的判定(SSS )01 基础题 知识点1 利用“SSS ”证明三角形全等1．如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是 ( C )A ．①B ．②C ．③D ．④2．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CE ，则由“SSS ”可以判定 ( C )A ．△ABD ≌△ACDB ．△BDE ≌△CDEC ．△ABE ≌△ACED ．以上都不对第2题图 第3题图3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB ＝AD ，BC ＝DC.将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，则说明这两个三角形全等的依据是SSS ． 4．如图，点C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE.求证：△ACD ≌△CBE.证明：∵点C 是AB 的中点， ∴AC ＝CB.在△ACD 和△CBE 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，CD ＝BE ，AC ＝CB ，∴△ACD ≌△CBE(SSS )．知识点2 “SSS ”与全等三角形性质的综合运用5．如图所示，在△ABC 中，AD ＝ED ，AB ＝EB ，∠A ＝80°，则∠BED ＝80°． 6．(海宁新仓中学期中)如图，AF ＝DB ，BC ＝EF ，AC ＝ED ，求证：CB ∥EF.证明：∵AF ＝DB ， ∴AF ＋FB ＝DB ＋FB ， 即AB ＝DF.在△ACB 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，AC ＝DE ，BC ＝FE ，∴△ACB ≌△DEF(SSS )． ∴∠ABC ＝∠DFE. ∴CB ∥EF.知识点3 三角形的稳定性7．如图所示，不具有稳定性的是( B )8．下列生产和生活：①用人字架来建筑房屋；②用窗钩来固定窗扇；③在栅栏门上斜钉着一根木条；④商店的推拉活动防盗门等．其中，用到三角形的稳定性的有( C )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种知识点4 用尺规作已知角的平分线9．已知∠α(如图)，用直尺和圆规作∠α的平分线．解：如图所示．02 中档题10．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ，∠2＝110°，∠BAE ＝60°，下列结论错误的是( C )A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠ACE ＝30°D ．∠1＝70°第10题图 第11题图11．(临海期末)王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？( B )A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根 12．如图所示，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出( B )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 13．在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的(如图)：(1)分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上各取一点C ，D ，使得OC ＝OD ；(2)连结CD ，并量出CD 的长度，取CD 的中点E ；(3)过O ，E 两点作射线．则OE 就是∠AOB 的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．解：在△OCE 和△ODE 中，∵OC ＝OD ，CE ＝DE ，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△ODE(SSS )．∴∠COE ＝∠DOE(全等三角形的对应角相等)． ∴OE 就是∠AOB 的平分线． 故小燕子这样作是正确的．14．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠3＝∠1＋∠2.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS )．∴∠BAD ＝∠1，∠ABD ＝∠2. ∵∠3＝∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3＝∠1＋∠2.15．如图，C ，F 是线段BE 上的两点，△ABF ≌△DEC ，且AC ＝DF.(1)你在图中还能找到几对全等的三角形？并说明理由； (2)∠ACE ＝∠BFD 吗？试说明你的理由．解：(1)还能找到2对全等三角形，分别是△ACF≌△DFC，△ABC≌△DEF.理由如下：∵△ABF≌△DEC，∴AB＝DE，BF＝EC，AF＝DC(全等三角形的对应边相等)．∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.在△ACF和△DFC中，∵AC＝DF，AF＝DC，FC＝CF(公共边)，∴△ACF≌△DFC(SSS)．在△ABC和△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∠ACE＝∠BFD.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE(全等三角形的对应角相等)．∵∠ACB＋∠ACE＝180°，∠DFE＋∠BFD＝180°，∴∠ACE＝∠BFD(等角的补角相等)．03综合题16．如图，已知AD＝BC，AC＝BD.求证：∠DAO＝∠CBO.证明：连结AB，在△ABD和△BAC中，∵AD＝BC，BD＝AC，AB＝BA，∴△ABD≌△BAC(SSS)．∴∠ABD＝∠BAC，∠BAD＝∠ABC.∴∠BAD－∠BAC＝∠ABC－∠ABD，即∠DAO＝∠CBO.微课堂第2课时三角形全等的判定(SAS)01基础题知识点1利用“SAS”证明三角形全等1．下图中的两个三角形全等的是( C )A．③④B．②③C．①②D．①④2．(温州八中期中)如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是( D )A．∠A＝∠DB．∠E＝∠CC．∠A＝∠CD．∠1＝∠2知识点2“SAS”与全等三角形性质的综合运用3．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是( A )A．50°B．80°C．40°D．30°4．(嵊州期末)如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.证明：(1)∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在△ABC和△DEF中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS )． (2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B ＝∠DEF. ∴AB ∥DE.知识点3 线段垂直平分线的性质定理5．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA ＝5，则线段PB 的长度为 ( B )A ．6B ．5C ．4D ．3第5题图 第6题图6．如图，在△ABC 中，边AB ，AC 的垂直平分线相交于点P ，则PB 与PC 的关系是( B )A ．PB>PCB ．PB ＝PC C ．PB<PCD ．PB ≠PC知识点4 利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题7．(金华四中期末)如图，为了测量一池塘的宽AB ，在岸边找到一点C ，连结AC ，在AC 的延长线上找一点D ，使得DC ＝AC ，连结BC ，在BC 的延长线上找一点E ，使得EC ＝BC ，测出DE ＝60米，试问池塘的宽AB 为多少？请说明理由．解：AB ＝60米．理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE ＝60米．则池塘的宽AB 为60米．02 中档题8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，连结AC ，BD 交于点O ，则图中的全等三角形共有( C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对。

浙教版-8年级-上册-数学-第1章《三角形的初步知识》1.6尺规作图-每日好题挑选1、下列属于尺规作图的是（）A．用量角器画∠AOB的平分线OP B．利用一副三角尺画15°的角C．用直尺画线段AB＝10cm D．在射线OP上截取OA＝AB＝BC＝a2、下列关于尺规功能的说法不正确的是（）A．直尺的功能：在两点间连结一条线段，将线段向两方向延长B．直尺的功能：可作平角和直角C．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一个圆D．圆规的功能：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧3、已知三边的长，作一个三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作一条线段等于已知线段C．作一个角的平分线D．过一点作已知直线的垂线4、如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹弧线MN是（）A．以点B为圆心，OD长为半径的圆弧B．以点B为圆心，DC长为半径的圆弧C．以点E为圆心，OD长为半径的圆弧D．以点E为圆心，DC长为半径的圆弧5、如图，在△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC6、如图所示的尺规作图，能判定AD是△ABC的高线的是（）7、根据图形把下列画图语句补充完整．（1）如图①所示，在上截取＝a；（2）如图②所示，以点为圆心，以为半径作弧，交于点。

8、过点C画直线l的垂线的思想方法是把这个问题转化为画的方法来解决。

9、如图所示，△ABC是不等边三角形(三条边都不相等的三角形)，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以作出个。

10、某公园进行绿化改造，准备在公园内的一块四边形空地ABCD内栽一棵银杏树（如图），要求银杏树的位置点P到点A，D的距离相等，且到线段AD的距离等于线段a的长．请用尺规在所给图中作出栽种银杏树的位置点P（要求：不写已知、求作和作法，只需在原图上保留作图痕迹）。