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目录第一章命题逻辑 (2)第二章谓词逻辑 (9)第三章集合论习题答案 (13)第四章二元关系习题答案 (21)第五章函数习题答案 (42)第六章代数系统习题答案 (51)第七章群与环习题答案 (57)第八章格与布尔代数习题答案 (66)第九章图的基本概念及其矩阵表示 (71)第十章几种图的介绍 (82)第十一章树 (90)第一章命题逻辑1.（1）不是命题；（2）不是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）是命题；2.（1）并非大连的每条街都临海；（2）2不是一个偶数或者8不是一个奇数；（3）2不是偶数并且-3不是负数；3.（1）逆命题：如果我去公园，那么天不下雨。
否命题：如果天下雨，我将不去公园。
逆否命题：如果我不去公园，那么天下雨。
（2）逆命题：如果我逗留，那么你去。
否命题：如果你不去，那么我不逗留。
逆否命题：如果我不逗留，那么你不去。
（3）逆命题：如果方程无整数解，那么n是大于2的正整数。
否命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程有整数解。
逆否命题：如果方程有整数解，那么n不是大于2的正整数。
（4）逆命题：如果我不能完成这项任务，那么我不获得更多的帮助。
否命题：如果我获得更多的帮助，则我能完成这项任务。
逆否命题：如果我能完成这项任务，则我获得更多的帮助。
4.（1）T；（2）T；（3）T；（4）F；5.6.（1）P:他聪明；Q:他用功；命题：P∧Q。
（2）P:天气好；Q:我骑车上班；命题：Q→P。
（3）P:老李是球迷；Q:小李是球迷；命题：P∨Q。
（4）P:休息好；Q:身体好；命题：Q→P。
7.8.9.（1）（P∧Q）→R；（2）┓P；（3）（┓P∧┓Q）→┓R10.不依赖于命题变元的真值指派，而总取T（1）的命题公式，称为重言式（永真式）；不依赖于命题变元的真值指派，而总取F（0）的命题公式，称为永假式（矛盾式）；至少存在一组真值指派使得命题公式取值为T的命题公式称为可满足的。
本题可用真值表求解：（4）得真值表如下：1，故为重言式。
大连理工大学应用数学系数学分析2001——2005，2009（2005有答案）高等代数2000——2005、2007（2005有答案）物理系数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005普通物理2000——2005光学（几何光学与波动光学）2000晶体管原理2000半导体材料2004——2005半导体器件2004——2005半导体物理2001——2002，2004——2005神经科学基础2004——2005生物统计学2004——2005生物物理学2004——2005工程光学2005微电子技术2003——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005模拟电子技术2001——2005工程力学系材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）理论力学1995，1999——2001，2003——2005理论力学（土）2000土力学1999——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005杆系结构静力学1998，2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005机械工程学院机械设计2001——2005（2001——2005有答案）机械原理1999——2000，2003——2005画法几何及机械制图2003——2005控制工程基础2001，2003——2005微机原理及应用（8086）1999——2000微机原理及应用（机）2004——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000模拟电子技术2001——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005过程控制（含计算机控制）2000杆系结构静力学1998，2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002晶体管原理2000系统工程概论1999——2005管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）计算机组成原理（软）2005管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）自动控制原理(含现代20%) 1999——2005材料科学与工程学院材料科学基础2003——2005，2010（2010为回忆版）机械设计2001——2005（2001——2005有答案）模拟电子技术2001——2005微电子技术2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）胶凝材料学2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005杆系结构静力学1998，2000金属学2000金属热处理原理2000金属材料学2000钢筋混凝土结构1999——2000晶体管原理2000土木水利学院材料力学（土）2000，2003——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）土力学1999——2005结构力学2000——2001，2003——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005杆系结构静力学1998，2000理论力学（土）2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005系统工程概论1999——2005工程经济学2004——2005无机化学2003——2005传热学2002，2004——2005工程力学2004——2005工程项目管理2004——2005建筑材料2005工程热力学2001——2002，2004——2005热工基础（含工程热力学和传热学）2003化工学院无机化学2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）有机化学及实验2001，2003——2005高分子化学及物理2002——2005化工原理及化工原理实验2001——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）工程流体力学2001，2004——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005热力学基础2005天然药物化学2005药剂学2005生物化学及生物化学实验1999——2005船舶工程学院船舶动力装置2002——2005船舶设计原理2001——2005水声学原理2002——2005船舶静力学2001——2005杆系结构静力学1998，2000电子与信息工程学院模拟电子技术2001——2005信号与系统（含随机信号20%）1999——2005 自动控制原理(含现代20%) 1999——2005工程光学2005通信原理2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005 计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001高等代数2000——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000能源与动力学院汽车理论2000——2005机械原理1999——2000，2003——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005化工原理及化工原理实验2001——2005普通物理2000高等代数2000——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005运筹学基础及应用2004——2005计算机信息管理1999——2001，2004——2005 微电子技术2003——2005杆系结构静力学1998，2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000信息管理与信息系统2010（回忆版）管理学院计算机信息管理1999——2001，2004——2005 运筹学基础及应用2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）运筹学基础及应用2004——2005公共管理学2005社会保障学2004——2005管理学2010（回忆版）信息管理与信息系统2010（回忆版）人文社会科学学院经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）系统工程概论1999——2002现代科学技术基础知识1999——2000，2004——2005思想政治教育学2004——2005马克思主义哲学原理2004——2005马克思主义哲学2001——2002西方哲学史2005哲学概论2004——2005科学技术史（含命题作文）2004——2005科学史、技术史、命题作文2001——2003政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）传播学2004——2005新闻传播实务2004——2005民法学2004——2005法理学与商法总论2004——2005政治学2004——2005中外教育史2004——2005教育学2005中国近现代史2004——2005世界近现代史2004——2005电气工程及应用电子技术系电路理论2002——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2005晶体管原理2000外国语学院二外德语2002，2004二外俄语2002——2004二外法语2004——2005二外日语2002——2004专业基础英语2003英汉翻译2003，2005英汉翻译与写作2004英语水平测试2004——2005二外英语2002——2005日语水平测试2004——2005翻译与写作（日）2004——2005专业基础日语2002——2003外国语言学与应用语言学（日语）专业综合能力测试2002——2003体育教学部运动生物力学2005人体测量与评价2004——2005生物学基础2005体质学2004——2005建筑艺术学院建筑设计（8小时）2000，2004——2005建筑设计原理1999——2000，2003建筑设计理论综合2004——2005城市建设史2002——2003中国与外国建筑史2000建筑构造与建筑结构1999——2000城市规划历史与理论2004——2005城市规划原理2003城市设计2002规划设计(8小时)2004-2005素描(8小时)2005泥塑(8小时)2005色彩(4小时)2005软件学院离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001环境与生命学院物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）化工原理及化工原理实验2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005基因工程原理2004——2005微生物学2004——2005细胞生物学2005环境化学2004——2005环境工程原理2004——2005，2010（2010为回忆版）分子遗传学2004——2005环境微生物2002经济系经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）高科技研究院数学分析2001——2005，2009（2005有答案）高等代数2000——2005数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）硅酸盐物理化学2001——2002，2005微电子技术2003——2005。
离散数学代数系统总结离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构。
而代数系统是离散数学的一个重要分支，它研究的是一类具有特定性质的运算集合。
在这篇文章中，我们将从代数系统的基本概念、性质和应用几个方面对离散数学中的代数系统进行总结。
一、代数系统的基本概念代数系统是指一个非空集合A，以及在这个集合上定义的一个或多个运算。
根据运算的性质，代数系统可以分为不同的类型，包括群、环、域等。
其中，群是最基本的代数系统，它具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。
环则在群的基础上增加了乘法运算，并满足了分配律。
域是环的一种扩充，它除了满足环的性质外，还具有乘法逆元。
二、代数系统的性质1. 封闭性：代数系统中的运算结果仍属于该系统，即对于任意a、b∈A，a运算b的结果仍然属于A。
2. 结合律：对于代数系统中的任意元素a、b、c，(a运算b)运算c 与a运算(b运算c)的结果相同。
3. 单位元：代数系统中存在一个元素e，对于任意元素a，a运算e与e运算a的结果均为a。
4. 逆元：代数系统中的每个元素a都存在一个逆元，使得a运算它的逆元等于单位元。
5. 交换律：对于代数系统中的任意元素a、b，a运算b与b运算a 的结果相同。
这些性质是代数系统的基本特征，不同类型的代数系统在这些性质上有所区别，比如群具有结合律和单位元，但不一定满足交换律。
三、代数系统的应用代数系统在数学及其他学科中有着广泛的应用。
以下是几个代数系统应用的例子：1. 编码理论：代数系统的运算可以用于编码和解码信息，例如循环冗余校验码（CRC）就是通过代数系统中的运算实现数据校验。
2. 密码学：代数系统中的数学运算被广泛应用于密码学中，用于加密和解密信息，保护数据的安全。
3. 图论：代数系统的概念和性质在图论中有着重要的应用，例如邻接矩阵和关联矩阵可以用于描述和分析图的结构和特性。
4. 计算机科学：代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如布尔代数在逻辑电路设计和逻辑编程中的应用。
1. 代数系统的基本概念该部分有三个需要注意的知识点：1.1什么是代数系统？代数系统的表征形式是一个序偶,S <Ω>，其中S 是非空元素的集合，叫做该代数系统的定义域，Ω是运算的集合。
|S|称为代数系统的阶 。
要判断一个给定的系统是否是代数系统，需要验证： A ． 定义的运算满足映射的唯一性（符合函数的定义） B ． 所有运算都是封闭的 。
例：,N <÷>不是一个代数系统，因为自然数集合下的÷运算不满足封闭性；设S 是一个非空集合，那么(),,S ρ<> 是一个代数系统，其中()S ρ为S 的幂集 。
1.2子代数系统如果,S <Ω>是一代数系统，取S 的一个子集1S S ⊆，如果1S 在所有的运算上都满足封闭性，那么1,S <Ω>也是一个代数系统，称之为,S <Ω>的子代数系统 。
要判断1,S <Ω>是否是,S <Ω>的子代数系统，需要验证： A ． 1S S ⊆，并且两个代数系统运算集一样 。
B ． 所有运算都是封闭的 。
例：,,N <+⨯>是代数系统,,I <+⨯>的子代数系统。
其中N 表示自然数集合，I 表示整数集合 。
1.3代数系统的同类型设有两个代数系统1,1,{2,2}U S V S =<Ω>=Ω，如果可以在两者的运算集合1,2ΩΩ上构造一个双射12Ω→Ω，并且每个原像和对应的像点运算的元数相同，那么就说代数系统U 和V 同类型 。
同类型的概念是讨论同态和同构的基础。
2．代数系统中运算的性质设代数系统为,,*S <>2.1运算的定律结合率：()()()(,,()())x y z x y z S x y z x y z ∀∀∀∈→= 交换率：()()(,)x y x y S x y y x ∀∀∈→= 分配率：()()()(,,(*)()*())x y z x y z S x y z x y x z ∀∀∀∈→= （ 对*满足左分配率） ()()()(,,(*)()*())x y z x y z S y z x y x z x ∀∀∀∈→= （ 对*满足右分配率）吸收率：()()(,(*))x y x y S x x y x ∀∀∈→= （ 对*满足左吸收率） ()()(,(*))x y x y S x y x x ∀∀∈→= （ 对*满足右吸收率）等幂率：()()x x S x x x ∀∈→= 可约率：设0为零元()()()(,,0())x y z x y z S x x y x z y z ∀∀∀∈∧≠∧=→= （左可约率） ()()()(,,0())x y z x y z S x y x z x y z ∀∀∀∈∧≠∧=→= （右可约率）2.2运算中的特异元素 么元e ：()()l x x S e x x ∀∈→= （l e 为关于 的左么元） ()()r x x S x e x ∀∈→= （r e 为关于 的右么元）零元0：()(00)l l x x S x ∀∈→= （0l 为关于 的左零元）()(00)r r x x S x ∀∈→= （0r 为关于 的右零元）等幂元：()()x x S x x x ∈∧∃= （x 为关于 的等幂元） 逆元：（设,,x y S e ∈为关于 的么元）y x e = （y 为x 关于 的左逆元） x y e = （y 为x 关于 的右逆元）可约元：（设0x S x ∈∧≠）()()(,())y z y z S x y x z y z ∀∀∈∧=→= （x 是关于 的左可约元） ()()(,())y z y z S y x z x y z ∀∀∈∧=→= （x 是关于 的左可约元）注意：能寻找到常见代数系统中的特异元素2.3从运算表中判断运算性质的方法给定代数系统,S <>1． 封闭性：运算表中的每个元素都属于S 。
2． 交换律：运算表关于主对角线对称 。
3． 等幂律：运算表主对角线上的元素与对应行或者对应列的表头元素相同 。
4． 零元：x 是关于 的左零元，当且仅当运算表中x 所对应的行中每个元素都与x 相同；x 是关于 的右零元，当且仅当运算表中x 所对应的列中每个元素都与x 相同 。
5． 么元：x 是关于 的左么元，当且仅当运算表中x 所对应的行中每个元素都与对应的行表头元素相同；x 是关于 的右么元，当且仅当运算表中x 所对应的列中每个元素都与对应的列表头元素相同 。
6． 逆元：x 为关于 的左逆元，当且仅当x 所在行的元素中至少有一个么元，y 为关于的右逆元，当且仅当y 所在列的元素中至少有一个么元。
x 与y 互为逆元，当且仅当运算表中x 行y 列及y 行x 列中的元素都为么元 。
例：给定代数系统,S <⊗>，{,,,,}S a b c d e =，找出下列运算表的特异元素 。
么元：a ；没有零元；等幂元：a ，d ，e ； b 、c 互为逆元；d 是b 的左逆元 。
不满足交换律，不满足等幂律 。
3．代数系统的同态与同构代数系统的同态和同构是建立在同类型的基础上，在两个代数系统的定义域上构造一个映射，满足运算的像等于像的运算 。
3.1基本概念同态：给定代数系统11,V S =<⊕>，22,V S =<⊗>，如果这两个代数系统是同类型的，而且可以构造一个函数:12f S S →，满足()()(,1()()x y x y S f x y f x f y ∀∀∈→⊕=⊗，那么我们说V1和V2是同态的，而称f为从V1到V2的同态映射 。
如果用一个图比较直观的观察同态，可以表述如下：也就是()()()f x y f x f y ⊕=⊗如果运算是个一元运算，假设代数系统是11,'V S =<>，22,~V S =<>，f为其对应的同态映射，那么直观图如下：S2S1也就是(')~()f x f x由于f 的类型不同，可以产生不同的映射： 1． f 是满射，f 为两个代数系统之间的满同态映射； 2． f 是单射，f 为两个代数系统之间的单一同态映射；3． f 是内射，且两代数系统相同，则f 为两个代数系统之间的自同态映射； 4． f 是双射，f 为两个代数系统之间的同构映射；5．f 是双射，且两代数系统相同，f 为两个代数系统之间的自同构映射 。
3.2同态与同构的求解同态与同构部分要求解的问题一般分为两种：一是求解两个代数系统之间的同态、同构映射；二是证明某一个函数f 是否是两个代数系统之间的同态、同构映射 。
3.2.1求解两个代数系统之间的同态、同构映射 一．判定两个代数系统是否同态，并找出一个同态映射 做题步骤：（任何一步不满足，则不同态） 1． 看是否满足同态的前提：两个系统是同类型的； 2．找到一个映射，所有元素满足运算的像等于像的运算 。
如果遇到这类题目，一定非常简单，因为需要构造映射，这个映射一定是显而易见容易看出的 。
S2S1例：是否可以构造代数系统,N <+>到22,Z <+>的同态映射？解：首先，这两个代数系统都只有一个二元运算，因此是同类型的 。
构造函数1()0x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数任取两个元素,y z N ∈ （1）y 、z 都为奇数，()0f y z +=，()()1f y f z ==，22()()110()f y f z f y z +=+==+（2）y 、z 都为偶数，()0f y z +=，()()0f y f z ==，22()()000()f y f z f y z +=+==+（3）y 为奇数，z 为偶数，()1,()1,()0f y z f y f z +===22()()101()f y f z f y z +=+==+（4）y 为偶数，z 为奇数，()1,()0,()1f y z f y f z +===22()()011()f y f z f y z +=+==+可以看出，无论y 和z 如何取值，都满足2()()()f y f z f y z +=+，即运算的像等于像的运算 。
因此，可以构造代数系统,N <+>到22,Z <+>的同态映射f 为1()0x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数（完毕）从过程可以看出，完全是根据两步走的。
而且对应的映射也可以很容易的构造 。
二．判定两个代数系统是否同构，并找出一个同构映射 做题步骤：（任何一步不满足，则不同构） 1． 看是否满足同构的前提，即两个代数系统是否是同类型的； 2． 判断两个代数系统定义域的基数是否相等 。
3．查找两个代数系统的性质是否一样：是否都满足交换律、等幂律；是否有么元、零元；等幂元的个数是否相等；和自身互为逆元的元素个数是否相等。
如果有的性质只有一方有，另一方没有，则两个代数系统不同构。
若所有的都满足，继续 。
4．在两个代数系统间构造一个映射，使得所有元素的运算的像等于像的运算 。
第4步有快捷做法：在构造映射的时候，使得代数系统V1的么元对应像点为V2的么元，V1的零元对应像点为V2的零元，V1的等幂元像点为V2的等幂元；V1中与自身互为逆元的元素对应像点是V2中和自身互为逆元的元素。
构造完映射之后，在V1的运算表中，将所有的元素换成对应的像点，看生成的新表是否跟V2的运算表相同。
如果相同，该映射即为从V1到V2的同构映射 。
如果不相同，修改V1中非特异元素的映射像点，构造新的映射，再验证 。
如果遇到这类题目，一般情况下非特异元素会很少，映射也很好构造 。
例1：判断两代数系统1,V R =<+>，2,V R =<⨯>是否同构，若同构，构造其同构映射 。
解：首先，判断两个代数系统是否同类型，两个代数系统都只含有一个二元运算，因此满足同类型 。
第二，判断两个代数系统定义域的基数是否相同，也满足 。
第三，寻找特异元素。
V1中没有零元，V2中有零元0 。
因此，这两个代数系统不同构 。
例2：代数系统51{1,2,3,4},V =<> 和42{0,1,2,3},V =<+>是否同构，若同构，构造其同构映射 。
解：首先，判断两个代数系统是否同类型，两个代数系统都只含有一个二元运算，因此满足同类型 。
第二，判断两个代数系统定义域的基数是否相同，都是4，也满足 。
第三，寻找特异元，为了方便起见，画出其运算表 。
V1和V2都有么元，都没有零元，除么元外，都只有一个与自身互为逆元的元素；都没有等幂元；都满足交换律 。
第四，构造映射 。
