高考复习数学(江苏版)第4章 第16课 导数的概念及运算

高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。

2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。

3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。

二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。

2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。

3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。

第四章 导数及其应用 第16课 导数的概念及运算课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________．3(x 2－a 2) [∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．] 2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________．－1 [由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.]3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．2x －y ＋1＝0 [y ′＝cos x ＋e x，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.]4．(2017·苏州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．2 [因为y ＝x 24－3ln x ，所以y ′＝x 2－3x .再由导数的几何意义，有x 2－3x ＝－12，解得x＝2或x ＝－3(舍去)．]5．已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．254[∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.]6．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________．2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【导学号：62172091】12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图16­1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t >0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是________．图16­123 [当x ＝t 时，y ＝3t ， ∴S (t )＝12t ×3t ＝32t 2.∴S ′(t )＝3t ，∴S ′(2)＝2 3.]9．如图16­2，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图16­20 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]10．(2017·扬州期中)若x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，则k ＝________. 【导学号：62172092】e 2[由题意可知f ′(x )＝1x －k ＝0有解，即x ＝1k.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＝ln 1k－1＋3＝0，即k ＝e 2.]11．(2017·苏州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋1e x ，若直线：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，则k ＝________.1－e [设切点坐标为(x 0，y 0)，则由题意可知f ′(x 0)＝k .又f ′(x )＝1－1e x ，故1－1e x 0＝k .又y 0＝x 0－1＋1e x 0＝kx 0－1，∴x 0－1＋1－k ＝kx 0－1，∴(k －1)(x 0＋1)＝0，∴k ＝1或x 0＝－1， 当k ＝1时，由k ＝1－1e x 0，可得1e x 0＝0(舍去)，当x 0＝－1时，由k ＝1－1e x 0，可得k ＝1－e.] 12．(2017·南通三模)已知两曲线f (x )＝cos x ，g (x )＝3sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，则线段BC 的长为________. 【导学号：62172093】433 [由f (x )＝g (x )可知tan x ＝33，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32.又f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－12，∴在点A 处的切线l 1：y －32＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令y ＝0，得x ＝3＋π6，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋π6，0. 又g ′(x )＝3cos x ，∴g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32.∴在点A 处的切线l 2：y －32＝32⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令y ＝0，得x ＝π6－33，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33，0，∴BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33＝433.] B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·无锡期末)过曲线y ＝x －1x(x >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.5 [∵y ′＝1＋1x 2，∴y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，∴AB ：y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x20(x －x 0)．又y 0＝x 0－1x 0，∴y －x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)令x ＝0得y ＝－2x 0；令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20，∴S △OAB ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x ＝5(负值舍去)．] 2．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值是________．43[由y ＝x 2得y ′＝2x ，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，切线方程为y －x 32＝3x 22(x －x 2)，即y ＝3x 22x －2x 32，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，得x 1x 2＝43.] 3．(2016·山东高考改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是________．(填序号)①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x；④y ＝x 3.① [若y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于②：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于③：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2； 对于④：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.] 4．(2017·启东中学高三第一次月考)若曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝12ex 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则ts＝________.e 2e [对曲线y ＝a ln x 求导可得y ′＝a x ，对曲线y ＝12e x 2求导可得y ′＝xe，因为它们在公共点P (s ，t )处具有公共切线，所以a s ＝s e ，即s 2＝e a ，又t ＝a ln s ＝12es 2，即2e a ln s＝s 2，将s 2＝e a 代入，所以a ＝1，所以t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e 2e.]5．若函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <2且a ≠2－1e [∵f ′(x )＝1x ＋a (x >0)，故由题意可知方程1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解．∴a ＝2－1x<2.又y ＝2x 与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切， 设切点为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝2，y 0＝2x 0，y 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，a ＝2－1e.综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <2且a ≠2－1e .] 6．(2017·盐城期中)设函数f (x )＝|e x－e 2a|，若f (x )在区间(－1,3－a )内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [当x ≥2a 时，f (x )＝e x －e 2a ，此时f (x )是增函数；当x <2a 时，f (x )＝－e x＋e 2a，此时f (x )是减函数； 设两个切点分别为M (x 1，f (x 1))，N (x 2，f (x 2))， 其中x 1<x 2.由图象可知，若存在的两条切线互相垂直， 必有x 1<2a <x 2，∴－1<2a <3－a ， 解得－12<a <1.∵f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1·(－e x 2)＝－e x 1＋x 2＝－1. 则e x 1＋x 2＝1， 即x 1＋x 2＝0.∴－1<x 1<0,0<x 2<1，且x 2>2a . ∴2a <1，解得a <12，综上可知，－12<a <12.]。

3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。

③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。

【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

第一节导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)； (3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)． [小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e 0x ＝－1， 所以ex ＝a ，又－1a ·e 0x ＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________. 解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x －ln x .解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义 (题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x 的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R .若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)， f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎫b ＋1x 0(x －x 0)， 将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x ，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m 2，则切线l 过点⎝⎛⎭⎫1，m 2. ∵y ′＝－m(x ＋1)2，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝(m ＋4)2m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m ，即m ＝4时取“＝”， 故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x ＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x ，所以y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23， 当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′| x ＝－1＝2， 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x (x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x 2，切点P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0， 所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0)． 令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝⎛⎭⎫2x 0x 20＋1，0；令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝⎛⎭⎫0，－2x 0. 所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0， 解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q (x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(x 1)f ′(x 2)的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q (－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝3x 213x 22＝14. 答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233. 答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g (1)＋g (2)2×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝⎛⎭⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －xx 2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝⎛⎭⎫1x ＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(－sin x －1)x 2－(cos x －x )·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x . 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， 所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14， 所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x ，所以⎩⎨⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e 34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线l ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线l 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，解得a ＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l 恒过定点(0,9)，若直线l 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

第四章导数及其应用第16课导数的概念及运算[最新考纲]内容要求A B C导数的运算√1．导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，假设Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，那么称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．(2)假设f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，那么f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．2．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．根本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝x n(n∈Q＋)f′(x)＝n·x n－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法那么(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义一样．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)假设f (a )＝a 3＋2ax －x 2，那么f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，那么该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为________．134 [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．(2021·天津高考)函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，那么f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．(2021 ·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，那么a ＝________.1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]导数的计算求以下函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2； (4)y ＝cos x e x .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.[规律方法] 1.熟记根本初等函数的导数公式及运算法那么是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进展化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少过失．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，假设f ′(x 0)＝2 018，那么x 0等于________.【导学号：62172089】(2)(2021 ·天津高考)函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．假设f ′(1)＝3，那么a 的值为________．(1)1 (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x ＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，那么ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]导数的几何意义☞角度1 求切线方程曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[思路点拨] (1)点P (2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P (2,4)不一定是切点，先设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，由此求出切线方程，再把点P (2,4)代入切线方程求x 0.[解] (1)根据得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 那么切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. ☞角度2 求切点坐标假设曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，那么点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －yP (m ，n )，那么1＋lnm ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，那么b 的值为________. 【导学号：62172090】(2)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，那么a ＝________.(1)－1 (2)－2 [(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝－12＋1x ，那么y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. (2)由y ′＝－2(x －1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y＋1＝0垂直，那么a ＝－2.][规律方法]f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线那么点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.[思想与方法]1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的根本原那么．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线〞与“过点P(x0，y0)的切线〞的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．课时分层训练(十六)A组根底达标(建议用时：30分钟)1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．3(x2－a2)[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，那么f′(1)等于________．－1[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，那么f′(1)＝－1.]3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]4．(2021·苏州模拟)曲线y＝x24－3ln x的一条切线的斜率为－12，那么切点的横坐标为________．2[因为y＝x24－3ln x，所以y′＝x2－3x.再由导数的几何意义，有x2－3x＝－12，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]5．f(x)＝x3－2x2＋x＋6，那么f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．254[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－54，∴所求面积S＝12×54×10＝254.]6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[由题意得f′(x)＝3x2－1，那么f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，那么切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x －y＋1＝0.]7．假设曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，那么a＝________.【导学号：62172091】1 2[因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝12.]8．如图16-1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，那么S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．图16-123[当x＝t时，y＝3t，∴S(t)＝12t×3t＝32t2.∴S′(t)＝3t，∴S′(2)＝2 3.]9．如图16-2，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，那么g′(3)＝________.图16-20[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，即f′(3)＝－13.又因为g(x)＝xf(x)，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]10．(2021·扬州期中)假设x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，那么k ＝________. 【导学号：62172092】e 2 [由题意可知f ′(x )＝1x －k ＝0有解，即x ＝1k . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝ln 1k －1＋3＝0，即k ＝e 2.] 11．(2021·苏州模拟)函数f (x )＝x －1＋1e x ，假设直线：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，那么k ＝________.1－e [设切点坐标为(x 0，y 0)，那么由题意可知 f ′(x 0)＝k .又f ′(x )＝1－1e x ，故1－1e x 0＝k .又y 0＝x 0－1＋1e x 0＝kx 0－1，∴x 0－1＋1－k ＝kx 0－1，∴(k －1)(x 0＋1)＝0，∴k ＝1或x 0＝－1， 当k ＝1时，由k ＝1－1e x 0，可得1e x 0＝0(舍去)，当x 0＝－1时，由k ＝1－1e x 0，可得k ＝1－e.]12．(2021·南通三模)两曲线f (x )＝cos x ，g (x )＝3sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点A .假设两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，那么线段BC 的长为________. 【导学号：62172093】433 [由f (x )＝g (x )可知tan x ＝33，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. 又f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－12， ∴在点A 处的切线l 1：y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 令y ＝0，得x ＝3＋π6，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋π6，0. 又g ′(x )＝3cos x ，∴g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32. ∴在点A 处的切线l 2：y －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 令y ＝0，得x ＝π6－33，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33，0， ∴BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33＝433.] B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2021·无锡期末)过曲线y ＝x －1x (x >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，假设△OAB 的面积为13，那么x 0＝________.5 [∵y ′＝1＋1x 2，∴y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20， ∴AB ：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)． 又y 0＝x 0－1x 0，∴y －x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0) 令x ＝0得y ＝－2x 0； 令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20， ∴S △OAB ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x ＝5(负值舍去)．] 2．(2021·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，那么x 1x 2的值是________． 43[由y ＝x 2得y ′＝2x ，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，切线方程为y －x 32＝3x 22(x －x 2)，即y ＝3x 22x －2x 32，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，得x 1x 2＝43.] 3．(2021·山东高考改编)假设函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称y ＝f (x )具有T 性质，以下函数中具有T 性质的是________．(填序号)①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.① [假设y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，那么f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，假设有cos x 1·cos x 2＝－1，那么当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于②：y ′＝1x ，假设有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于③：y ′＝e x ，假设有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2x 1，x 2；对于④：y ′＝3x 2，假设有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.]4．(2021·启东中学高三第一次月考)假设曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，那么t s ＝________.e 2e [对曲线y ＝a ln x 求导可得y ′＝a x ，对曲线y ＝12e x 2求导可得y ′＝xe ，因为它们在公共点P (s ，t )处具有公共切线，所以a s ＝s e ，即s 2＝e a ，又t ＝a ln s ＝12es 2，即2e a ln s ＝s 2，将s 2＝e a 代入，所以a ＝1，所以t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e 2e .] 5．假设函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，那么实数a 的取值范围是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <2且a ≠2－1e [∵f ′(x )＝1x ＋a (x >0)，故由题意可知方程1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解．∴a ＝2－1x <2.又y ＝2x 与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切，设切点为(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 0＋a ＝2，y 0＝2x 0，y 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，a ＝2－1e .综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <2且a ≠2－1e .] 6．(2021·盐城期中)设函数f (x )＝|e x －e 2a |，假设f (x )在区间(－1,3－a )内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，那么实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [当x ≥2a 时，f (x )＝e x －e 2a ，此时f (x )是增函数； 当x <2a 时，f (x )＝－e x ＋e 2a ，此时f (x )是减函数；设两个切点分别为M (x 1，f (x 1))，N (x 2，f (x 2))，其中x 1<x 2.由图象可知，假设存在的两条切线互相垂直，必有x1<2a<x2，∴－1<2a<3－a，解得－12<a<1.∵f′(x1)·f′(x2)＝e x1·(－e x2)＝－e x1＋x2＝－1. 那么e x1＋x2＝1，即x1＋x2＝0.∴－1<x1<0,0<x2<1，且x2>2a.∴2a<1，解得a<12，综上可知，－12<a<1 2.]。

苏教版数学导数知识点总结一、导数的定义导数的定义是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化率。

苏教版数学中，导数的定义如下：若函数y = f(x)在点x_0处可导，则函数在该点的导数为：f'(x_0) = lim_(Δx→0) [f(x_0 + Δx) - f(x_0)]/Δx其中Δx表示自变量x的增量，即x的变化量。

上式表示当Δx趋近于0时，函数在点x_0处的变化率。

二、导数的性质1. 导数存在的条件苏教版数学规定，函数在某一点可导的条件是函数在该点处存在左、右导数且左、右导数相等。

也就是说，函数在某一点可导的条件是函数在该点处存在唯一的切线。

2. 导数的唯一性苏教版数学中，规定函数在某一点处的导数是唯一的，即使函数有多个表达式或定义域，其在该点的导数仍然相同。

3. 导数与函数的关系苏教版数学中，规定函数在某一点可导，那么函数在该点具有连续性。

也就是说，导数与函数的连续性是相关的，导数在某一点存在则函数在该点连续。

三、导数的运算在苏教版数学中，导数的运算主要包括如下内容：1. 基本函数的导数：- 常数函数：常数函数y = C 的导数为0。

- 幂函数：幂函数y = x^n 的导数为n*x^(n-1)。

- 指数函数：指数函数y = a^x 的导数为a^x*ln(a)。

- 对数函数：对数函数y = ln(x) 的导数为1/x。

- 三角函数：三角函数的导数规则为：- sin(x) 的导数为cos(x)。

- cos(x) 的导数为-sin(x)。

- tan(x) 的导数为sec^2(x)。

- 反三角函数：反三角函数的导数规则为：- arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)。

- arccos(x) 的导数为-1/√(1-x^2)。

- arctan(x) 的导数为1/(1+x^2)。

2. 复合函数的导数：苏教版数学中复合函数的导数使用链式法则，即若函数y = g(u) 可导且函数u = f(x) 可导，则复合函数y = g(f(x)) 的导数为：(g(f(x)))' = g'(f(x)) * f'(x)3. 参数方程的导数：苏教版数学中，设参数方程x = φ(t)，y = ψ(t) 的参数方程曲线存在导数，则曲线的切线斜率为y/x 的导数：(dy/dt)/(dx/dt)四、导数在几何与物理问题中的应用在苏教版数学教材中，导数在几何和物理问题中的应用是微积分的重要部分，主要包括下述内容：1. 切线与法线问题：导数可以用来求解曲线的切线、法线方程以及切点坐标等几何问题。

江苏高三导数知识点总结导数是高等数学中的重要概念之一，它是微积分的基础，也是解决数学和物理问题的有力工具。

江苏高三学生在学习导数时，需要掌握以下知识点：一、导数的定义及其计算方法1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，表示函数在该点处的变化率。

用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。

2. 导数的计算方法：可以利用导数的定义计算导函数，也可以运用基本导数公式计算导数。

二、导数的基本性质1. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在点x处可导，则f(x)在该点处连续。

2. 导数的四则运算：导数具有线性性质，即导数的和与差等于函数的和与差，导数的常数倍等于函数的常数倍。

3. 乘法法则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数。

4. 除法法则：函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。

三、常见函数的导数1. 幂函数的导数：导数公式为f'(x)=n*x^(n-1)，其中n为常数。

2. 指数函数和对数函数的导数：指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln(a)*a^x；对数函数f(x)=loga(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(a))。

3. 三角函数和反三角函数的导数：sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)；反三角函数的导数可以通过公式推导得到。

四、高级函数的导数1. 复合函数的导数：对复合函数进行求导需要运用链式法则，即将复合函数分解为多个简单函数，然后求导并进行组合。

2. 反函数的导数：如果函数f(x)与其反函数f^(-1)(x)在某一点x处可导，则f^(-1)(x)在该点处的导数为1/f'(f^(-1)(x))。

五、导数在函数图像上的应用1. 导数的几何意义：导数可以表示函数曲线在某一点处的切线斜率。

江苏高三导数知识点导数是高中数学中的一项重要内容，尤其在高三阶段，对于江苏高中生而言尤为关键。

本文将围绕江苏高三阶段的导数知识点展开讨论，以帮助学生更好地掌握导数的概念和应用。

一、导数的定义导数是描述函数在某一点上的斜率或变化率的概念。

在数学中，我们用f'(x)表示函数f(x)的导数。

导数的定义公式如下：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx 〗二、导数的计算法则江苏高三导数知识点中，掌握导数的计算法则至关重要。

以下是导数计算的常用法则：1. 常数法则：f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。

2. 幂函数法则：f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = n*x^(n-1)。

3. 和差法则：f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u′(x) ± v′(x)。

4. 积法则：f(x) = u(x) * v(x)，则f'(x) = u′(x) * v(x) + u(x) * v′(x)。

5. 商法则：f(x) = u(x) / v(x)，则f'(x) = [u′(x) * v(x) - u(x) * v′(x)] / v^2(x)。

三、导数的应用导数的应用广泛存在于江苏高三数学中，以下是导数应用的常见知识点：1. 导数与函数图像：通过导数可以分析函数图像的变化趋势、判定函数的极值点以及区间的单调性。

2. 极值与最优化：通过求导可以求得函数的驻点，根据导数的正负性可以判断函数的极值点，进而解决最优化问题。

3. 高阶导数：可以通过求解高阶导数，进一步研究函数的变化情况，例如判断拐点等。

4. 泰勒公式：泰勒公式是将函数展开成无穷项的多项式，通过导数可以求得函数在某一点的泰勒展开式。

四、导数的注意事项在学习导数的过程中，我们也需要注意以下几点：1. 定义域：导数的定义要求函数在某一点上是可导的，因此需要注意函数的定义域。