高中数学选修2-1_解析几何习题答案(二)

高二数学解析几何试题答案及解析1.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．【答案】y2＝4x.【解析】略2.（12分）已知圆C过点A（，0）、B（，0），半径为2,且圆心在X轴上方。

（1）求圆C的方程（2）求圆C关于直线对称的圆的方程。

【答案】（1）（2）【解析】（1）中求圆的方程可采用待定系数法，设出方程后将已知条件代入，解出参数得到方程；（2）中首先求圆心关于直线的对称圆心，进而得到对称圆的方程试题解析：（1）设圆的方程为，半径为,代入已知两点得，解方程组得，所以方程为（2）C（1，1）关于的对称点为（-2，2）所以圆C关于直线对称的圆的方程为【考点】1．圆的方程；2．点关于直线的对称点3.双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰好过它们的公共焦点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知点在双曲线上，故，在双曲线上，即【考点】双曲线的离心率4.如图，⊙O上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O的半径等于．【答案】5【解析】先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，．【考点】直角三角形中的射影定理5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为．【答案】【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为1，结合图形可知切线长的最小值为【考点】1．数形结合法；2．直线与圆相切的位置关系6.己知圆和直线，在轴上有一点，在圆上有不与重合的两动点，设直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，（l）若①求出点坐标；②交于，交于，求证：以为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若：判断直线是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1），定点为；（2）直线过定点．【解析】第一问根据两斜率乘积等于，从而得到为直径，从而确定出点的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1），又因为在圆上，所以为直径，故,法一：设，令得，，令得，且，故，，令，则，故．故定点坐标为：．法二：，，得，，，得，故圆方程为：由，令，则，故．则定点为．（2）法一：解：设与圆联立得：，由韦达定理：，由得：，，同理，再利用．，，直线过定点．法二：可以先猜后证，，所以同号．不妨设，则，与圆联立得，，则，与圆联立得，此时，同理由圆对称性，当时，，此时点坐标，，若直线过定点，则联立上述直线的方程，求出交点，下面验证是否为定点．设过且与圆有交点的直线斜率为，则直线方程为，代入圆方程得：两交点．由韦达定理：，故，过定点．【考点】曲线过定点问题．7.已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】两圆的圆心距为，圆半径为2，由勾股定理求得弦长为，故选B．【考点】两圆的位置关系．8.若圆M的方程为，则圆M的参数方程为．【答案】【解析】由圆的方程,可知圆心,半径为2.所以圆的参数方程为:.【考点】参数方程与普通方程间的互化.9.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（本小题满分10分）（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6且焦点在轴上（2）已知椭圆的中心在原点,且过点【答案】（1）（2）【解析】（1）由长轴长与短轴长的和为18得到的关系式，由焦距为6得到值，结合得到，从而求得椭圆方程；（2）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，代入两点坐标，从而解方程组求得系数，得到椭圆方程试题解析：（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，因为焦点在椭圆上，所以方程为（2）设椭圆方程为，所以方程为【考点】椭圆的方程及性质10.若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】由双曲线的定义可知,,,即．,．【考点】1双曲线的定义；2双曲线的离心率．11.设是椭圆的左右焦点，P为直线上一点，是底脚为的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设交x轴于点M，∵是底角为30°的等腰三角形∴，且，∵P为直线上一点，，故选C．【考点】椭圆的简单性质12.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】设在准线上的射影分别为，则，，，所以到轴距离为，故选C．【考点】抛物线的定义．【名师点晴】利用抛物线的定义可解决的常见问题：（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线; （2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．13.已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程，点到渐近线的距离，所以，即，所以答案应填：．【考点】1、双曲线几何性质；2、点到直线距离．【方法点晴】本题主要考查双曲线的渐近线和双曲线的离心率，涉及点到直线的距离公式，属于中档题．在解题时注意点在轴上，由对称性其到两渐近线的距离相等，故可任选一条，得到关系后，注意转化成的关系，从而得出离心率．14.已知椭圆（）上的点P到左、右两焦点的距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的方程；过右焦点的直线交椭圆于A、B两点．若y轴上一点满足，求直线斜率k的值；（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）或，．【解析】（1）先利用椭圆的定义，得到，再利用离心率公式和进行求解；（2）先设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和在线段的垂直平分线上进行求解；利用点到直线的距离公式和弦长公式求三角形的面积，再求其最值，但要注意斜率不存在的情况．试题解析：（1），∴，∵，∴，∴．椭圆的标准方程为．（2）已知，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，化简得：，∴，，，∴AB的中点坐标为G．（1）时，不满足条件；当时，∵，∴，整理得：，解得或．（2）当直线无斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程，此时，，当直线存在斜率时，，∵，，∴，∴，综上，当直线方程为时，．∴满足题意的直线存在，方程为．【考点】1．椭圆的定义；2．椭圆的标准方程；3．直线与椭圆的位置关系．【易错点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2） 中，当斜率不存在时的直线刚好满足条件，且也只有这一条直线符合题意．15.已知椭圆G：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3，2）．（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．【答案】（1）；（2）【解析】由椭圆G的离心率为，右焦点为（，0）得，由此能求出椭圆G的方程；（2）设l：y=x+b，代入椭圆方程得4x2＋6mx＋3m2－12＝0根据韦达定理，所以，由此能求出△PAB的面积试题解析：（1）解：由已知得，，．解得．又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．（2）解：设直线l的方程为y＝x＋m．由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中点为E（x，y），则，y0＝x＋m＝．因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．所以PE的斜率．解得m＝2．此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P（－3，2）到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．椭圆的标准方程16.直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心在直线上，则，点到直线的距离为，则．故本题答案选．【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离17.如果直线与椭圆相交于A、B两点，直线与该椭圆相交于C、D两点，且是平行四边形，则的方程是．【答案】．【解析】由题意可知，直线，所以的斜率为，又因为是平行四边形，过点，所以过点，所以直线的方程是，即，故应填．【考点】1、直线的方程；2、直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】本题主要考查直线的方程和直线与椭圆的位置关系，渗透着数形结合的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据平行四边形的基本性质可得直线，即可得出直线的斜率；然后由对称性可得出直线的方程过点，最后由点斜式方程即可得出直线的方程．其解题的关键是正确地运用椭圆的简单几何性质和平面图形的几何性质．18.已知的三个顶点的坐标为．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大1，求直线与两条坐标轴围成的三角形的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；（2）当两条直线的斜率都存在时，两条直线平行，则这两条直线的斜率相等，当两条直线垂直时，斜率之积为．试题解析：（1），∴边上的高所在直线的斜率为又∵直线过点∴直线的方程为：，即（2）设直线的方程为：，即解得：∴直线的方程为：∴直线过点三角形斜边长为∴直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【考点】1、直线方程；2、两条直线的位置关系．19.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【答案】（1）；（2）△的周长是定值．【解析】（1）这是一个焦点在x轴上的椭圆，给出焦点坐标即得c的值，由椭圆上的点H和焦点结合椭圆的定义易求a的值，再由椭圆中三个参数a，b，c的关系，可得b的值，从而求得椭圆方程；（2）中，△的周长=，其中F是定点，P、Q是直2线PQ与椭圆的两个交点，可先设出P、Q两点的坐标，用两点间距离公式表示出，用弦长公式表示出|PQ|,通过椭圆方程消除其中的纵坐标，得到横坐标之间的关系，把韦达定理代入整理，看周长是否是定值．试题解析：（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是在椭圆上，椭圆的方程是；（2）方法1：设，则，，∵，∴，在圆中，是切点，∴，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．方法2：设的方程为由得则与圆相切即∵，∵，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，函数与方程的思想方法．【方法点晴】（1）求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，有时可以利用椭圆的定义简化运算，提高解题速度；（2）在研究直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题，通常是把待证的量用直线与圆锥曲线的两个交点坐标表示出来，先选取合理的参数，联立并整理方程组用韦达定理把两点坐标的和、积表示出来，代入整理，直接得到定值或者构造关于参数的函数关系式，用函数的知识求得定值．20.在△ABC中，、、，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程：：：则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号、、填入）。

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题. 练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题. 逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题. 否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题. 逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题. 否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220a b c ab ac bc++---=.所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以，0b c-=.-=，0a b-=，0a c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=()()()0a b a c b c所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，假命题；+≠，真命题；（2）3不是方程290（31≠-，真命题.习题1.3 A组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；∈，真命题；（2）4{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23+=，真命题；≥，假命题；（4）8715（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题 B组（P18）（1）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∨为真命题；（2）真命题. 因为p为真命题，q为真命题，所以p q∧为真命题；（3）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∨为假命题；（4）假命题. 因为p为假命题，q为假命题，所以p q∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直. 习题 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=， 得422xy -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y ab+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF+=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==.（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=.3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P 的坐标是(1)2±±，共有4个7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……①当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆. 并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-； 直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率e =（2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题 B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……① 所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===.4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =± 因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-； （2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =； （3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =； （4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-. 2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p. 4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒= 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y =8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =.这时水面宽为 m.习题 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以 b ==用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=.2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线. （4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……①222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得k >，或k <因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =+，22)y p =-把12)y p =+代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =+，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 m =所以，直线l 的方程为2y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==-由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===.当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.由题意，得2b bac a=，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得 a c +=所以 (1c += c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 3练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=； （2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-； （3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==； （4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==； （5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==； （6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22- 习题 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅ ∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =.∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠ ∴ OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β；（3）2247u v u v⋅=-α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，21MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，21MN AD ⋅==1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3ACDB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-=所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos2θ===sin 3θ=点O 到平面ABC的距离sin 1OH OA θ=== 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，18DODA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，。

高中数学选修2-1测试卷2（简易逻辑、立体几何、解析几何）一、选择题（共10小题；共30分）1. 命题p:不等式ax2+2ax+1>0的解集为R，命题q:0<a<1，则p是q成立的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若直线x−y+1=0与圆x−a2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是 A. −3,−1B. −1,3C. −3,1D. −∞,−3∪1,+∞3. 若点P在椭圆x22+y2=1上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2为直角，则△F1PF2的面积为 A. 2B. 1C. 32D. 124. 已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是 A. a⊂α，若b∥a，则b∥αB. α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC. a⊥b，b⊥c，则a∥cD. 若a∩b=A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β5. 已知“x>2”是“x2>a a∈R”的充分不必要条件，则a的取值范围是 A. −∞,4B. 4,+∞C. 0,4D. −∞,46. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0的一条渐近线方程为y=3x，它的一个焦点坐标为2,0，求双曲线的方程为 A. x22−y26=1 B. x26−y22=1 C. x2−y23=1 D. y2−x23=17. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 103B. 203C. 25D. 458. 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，且m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=m，β∩γ=l，γ∩α=n，且n∥β，则l∥m．其中正确命题的个数是 A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知抛物线y2=2px p>0的焦点恰为双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F2，双曲线C的左焦点为F1，若以F2为圆心的圆过点F1及双曲线C与该抛物线的交点，则双曲线C的离心率为 A. 2B. 1+2C. 1+3D. 2+310. 椭圆4x2+9y2=144内有一点P3,2，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为 A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−32=0二、填空题（共5小题；共15分）11. 已知向量a=0,2,1，b=−1,1,−2，则a与b的夹角为．12. “x2<1”是“0<x<1”成立的条件．（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）13. 圆x+12+y2=1的圆心是抛物线y2=2px p<0的焦点，则p=．14. 已知命题p:x2+4x+3≥0，q:x∈Z，且" p且q "与" 非q "同时为假命题，则x=．15. 一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由和组成的，若它的体积是π+26，则a=．三、解答题（共5小题；共55分）16. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P1,2．（1）求抛物线C的方程；（2）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，∣PM∣=∣PN∣．求直线AB 的斜率．17. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，右顶点为3,0．（1）求该双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+2与双曲线C左支有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．18. 已知圆C:x2−6x+y2=0，直线l经过点A1,0和点B2,1．（1）求直线l的方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．19. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角C−EM−N的正弦值；（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为3721%,，求线段AH的长．20. 已知直线3x+y−3=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点和上顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点0,−2的直线l与椭圆C交于不同的A、B两点，若∠AOB为钝角，求直线l斜率k的取值范围；（3）过椭圆C上异于其顶点的任一点P作圆O：x2+y2=2的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：14m2+13n2为定值．答案第一部分 1. B2. C【解析】圆心到直线的距离小于等于半径即可．3. B 【解析】设∣PF 1∣=m ,∣PF 2∣=n ，根据题意，得 m 2+n 2= 2c 2,m +n =2a .结合c =1,a = 2，得 m 2+n 2=4,⋯⋯①m +n =2 2.⋯⋯②由②2−①，得mn =2， 所以△F 1PF 2的面积为12mn =1． 4. D5. D【解析】由题意知：由x >2能得到x 2>a ，而由x 2>a 得不出x >2，因为x >2，所以x 2>4，所以a ≤4，所以a 的取值范围是 −∞,4 ．6. C7. B 【解析】8. B 【解析】对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l 还可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误； 对④，结合线面平行的性质定理可判断其正确，综上，①④正确． 9. B【解析】提示：设双曲线C 与抛物线在第一象限的交点为A ，双曲线的半焦距为c ，则∣AF 2∣=∣F 1F 2∣=2c ，A c ,2c ，∣AF 1∣=2 2c ． 10. B【解析】经检验，当过点P 3,2 的直线的斜率不存在时，不满足条件，所以过点P 3,2 的直线的斜率存在，设斜率为k ，且设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，因为点A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程得 4x 12+9y 12=1444x 22+9y 22=144，则y 12−y 22x 12−x 22=y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=23⋅k =−49，k =−23．所以所求直线方程为2x +3y −12=0．第二部分 11. 90∘ 12. 必要不充分 13. −4【解析】因为圆心为 −1,0 ， 所以P4=−1， 所以p =−4．14. −2【解析】因为“ 非q "为假命题，所以q为真命题，因为p且q为假，所以p为假，所以x2+4x+3<0，解得−3<x<−1，因为x∈Z，所以x=−2．15. 一个三棱锥，半个圆锥，1【解析】由三视图知：几何体是一个三棱锥与半个圆锥组成，其中三棱锥的底面是底边长为2，高为1的等腰三角形，三棱锥的高为a，半个圆锥底面半径为1，高为a．所以几何体的体积V=13×12×2×1×a+12×13π×12×a=π+26，所以a=1．第三部分16. （1）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax a≠0．由抛物线C经过点P1,2，得a=4，所以抛物线C的方程为y2=4x．（2）因为∣PM∣=∣PN∣，所以∠PMN=∠PNM，所以∠1=∠2，所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y−2=k x−1k≠0，将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2−2k2−2k+2x+k2−4k+4=0．设A x1,y1，则1×x1=k2−4k+4k ，y1=k x1−1+2=4k−2，所以A k−22k ,4k−2．以−k替换点A坐标中的k，得B k+22k ,−4k−2．所以k AB=4k− −4kk−22k2−k+22k2=−1．所以直线AB的斜率为−1．17. （1）由题意设双曲线方程为x2a −y2b=1a>0,b>0．由已知得a=3，c=2，再由a2+b2=c2，得b2=1．故双曲线C的方程为x23−y2=1．（2）设A x A,y A，B x B,y B，将y=kx+代入x 23−y2=1，得1−3k2x2−62kx−9=0．由题意知1−3k 2≠0,Δ=36 1−k 2>0,x A +x B =6 2k 1−3k <0,x A x B =−91−3k 2>0,解得 33<k <1．所以k 的取值范围为 33<k <1． 18. （1）直线l 的斜率为1−02−1=1，则直线l 方程为y −0=1× x −1 ， 所以，直线l 的方程为x −y −1=0． （2）解法一：将圆方程化为标准方程 x −3 2+y 2=9，圆心的坐标是 3,0 ，半径r =3， 设圆心到直线l 的距离为d ，d =2 2= 2，直线l :x −y −1=0被圆C 所截得的弦长为2 r 2−d 2=2 32− 2 2=2 7． 解法二：设直线l 与圆C 交于E ，F 两点，E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，将直线与圆方程联立得到 x −y −1=0,x 2−6x +y 2=0, 消去y 得2x 2−8x +1=0，可知Δ>0，由根与系数的关系得x 1+x 2=4,x 1⋅x 2=12,将上式代入弦长公式∣EF∣= 1+k 2 x 1+x 2 2−4x 1x 2 ， 所以∣EF∣= 1+12 42−4×12 =2 7．19. （1）取AB 中点F ，连接MF ，NF ，因为M 为AD 中点， 所以MF ∥BD ，因为BD ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ， 所以MF ∥平面BDE ． 因为N 为BC 中点，所以NF∥AC，又D，E分别为AP，PC的中点，所以DE∥AC，则NF∥DE．因为DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，所以NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．所以平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）因为PA⊥底面ABC，∠BAC=90∘．所以以A为原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．因为PA=AC=4，AB=2，所以A0,0,0，B2,0,0，C0,4,0，M0,0,1，N1,2,0，E0,2,2,则MN=1,2,−1，ME=0,2,1,设平面MEN的一个法向量为m=x,y,z，由m⋅MN=0,m⋅ME=0,得x+2y−z=0,2y+z=0,取z=2，得m=4,−1,2．由图可得平面CME的一个法向量为n=1,0,0．所以cos m,n=m ⋅n∣m ∣∣n ∣=21×1=42121所以二面角C−EM−N的余弦值为42121，则正弦值为10521；（3）设AH=t，则H0,0,t，NH=−1,−2,t，BE=−2,2,2．因为直线NH与直线BE所成角的余弦值为3721，所以∣cos NH,BE∣=∣NH⋅BE∣∣NH∣∣BE∣=5+t2×23=3721．解得：t=4．所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为3721，此时线段AH的长为4．20. （1）依题椭圆的右焦点为1,0，上顶点为0,3，故c=1，b=3，a= b2+c2=2，所以可求出椭圆标准方程为x 24+y23=1．（2）设直线l方程为y=kx−2，设A x1,y1、B x2,y2由y=kx−2,x24+y23=1得：4k2+3x2−16kx+4=0，因为Δ=12k2−3>0，所以k2>14，又x1+x2=16k4k2+3，x1x2=44k2+3因为∠AOB为钝角，所以OA⋅OB<0，即x1x2+y1y2<0，所以x1x2+kx1−2kx2−2<0，所以1+k2x1x2−2k x1+x2+4>0，所以1+k2⋅44k+3−2k⋅16k4k+3+4>0，即−12k2+164k+3<0，所以k2>43，解得k<−233或k>233，所以所求直线斜率的取值范围是 −∞,−233∪233,+∞ ．（3）设点P x0,y0，则以OP为直径的圆的方程为x x−x0+y y−y0=0④，④式与圆O：x2+y2=2方程两式相减可得切点弦MN的方程为x0x+y0y=2，令y=0，得m=2x0，令x=0得n=2y0，所以x0=2m ，y0=2n，又点P x0,y0在椭圆C上，所以2 m 2+2n2=1,即14m +13n=14，所以14m+13n为定值．。

新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程 练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==.3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y . （1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-=由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==.由2t x =得2t x =，代入42ty -=，得422xy -=，即20x y +-=……①（2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0). 由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x ya b+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=. 2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别 作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c =. （1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM y k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AMBMk k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=.5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=，椭圆221610x y +=，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--.7、7.习题2.2 A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±.所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆. 8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -< 当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交. （2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3mx =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=.（第7题）10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y +=所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--= 配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+ ……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12= ……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得2213627x y += ……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，12 ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12， 所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =（第4题）所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，F 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩ 令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a =所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e （3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a -=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a-=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=. 习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2pa -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±. 因为22AB y ==⨯==， 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p . 设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32p x =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan60k =︒. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得3x = 则321y =±= 因为OB k =，OA k 所以15195OB OA k k -⋅===-- 所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-， 因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+ 即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称.（第8题）因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a+=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （第1题）（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为k >，或k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp -设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2py x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32py x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265m x x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得 222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(0)k -≠. ……①所以，122(12)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k = 当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BCy k x x =≠-由题意，得AC BC k k m =. 所以，(5)55y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-； 当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P 到直线3y x =+的距离d ===当2y =时，d此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y 轴 （向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程 为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =--解得 24p =-为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -（第12题）（第4题）直线OP 的斜率21b k ac=-. 直线AB 的斜率2b k a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =. 由已知及1F A a c =+，得a c +=所以(1c +=c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……② 12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥.因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠- 由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的 垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离； 对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.（第7题）。

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答欧阳引擎（2021.01.01）第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题. 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+--所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是； （2）是； （3）不是； （4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不 相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p，则q”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD是O的两条互相平分的相交弦，交点是E，若E和圆心O重合，则,AB CD是经过圆心O的弦，,AB CD是两条直径. 若E和圆心O不重合，连结,,AO BO CO和∆，COD∆的底边上中线，所以，DO，则OE是等腰AOB⊥，OE CD⊥. AB和CD都经过点E，且与OE垂直，这是不OE AB可能的. 所以，E和O必然重合. 即AB和CD是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，那么a b c ab ac bc2220++---=.a b c ab ac bc所以222a b a c b c-+-+-=()()()0所以，0b c-=，0-=.-=，0a ba c即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC==∆是等边三角形，那么a b c所以222-+-+-=a b a c b c()()()0所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225x-=的根，+≠，真命题；（2）3不是方程290假命题；（31≠-，真命题.习题1.3A组（P18）1、（1）4{2,3}∈且∈或2{2,3}∈，真命题；（2）4{2,3}∈，假命题；2{2,3}（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1）不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题；（4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题； （4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假； （4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真； （5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题； （3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==. 新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==--所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -. 由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=， 得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2) 此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程① 由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面.3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,33x y ==±所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形， 利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 作直线30x y -=和30x y +=F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =.因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=； （2）22116y x +=； （3）2213616x y +=，或2213616y x +=.3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c =. （1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-；（第1题）直线BM 的斜率 1BM yk x =-(1)x ≠； 由题意，得2AM BM k k =，所以211y yx x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-. 练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==，所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12，因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2A 组（P49）1、解：由点(,)M x y 满足的关系式10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分； （2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x =所以，点P的坐标是(1)±，共有4个.7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m=+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--（第7题）（1）由0∆>，得m -<.当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y =……①.因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y +=……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……①当P与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =-……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得12x =+……④将④两边分别平方，并整理，得22341080x y +-=……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得2213627x y +=……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 解法二：同解法一，得方程12=……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.因为 26c =，212a =，所以3c =，6a = 所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P Md ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y +=所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，. 4、解：如图，由已知，得(0,3)E - 因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 的四等分点，所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >>……① 把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=， 所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b -=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-； 焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-； 焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率5e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=.3、22135x y -=4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为c e a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a-=，或229251a a -=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =. 又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解. 所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线 练习（P67）1、（1）212y x =； （2）2y x =； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2p a -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±. 练习（P72） 1、（1）2165y x =； （2）220x y =； （3）216y x =-； （4）232x y =-.2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±因为22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22px p +=，解得32p x =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM 所在直线的斜率tan 60k =︒=.因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得13y =-，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=± 因为OB k =，OA k = 所以15195OB OA k k -⋅===-- 所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-因为拱桥离水面2 m ，水面宽所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =-……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.2B 组（P74）（第81、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =.由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线.2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan303y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠±第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>. 则 22a c OA OF F A -=-=6371=22a c OB OF F B +=+=6371=+解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R ra c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 因此卫星轨道的离心率21122cr r e aR r r -==++.3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在（第1y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-=……①令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k 的取值范围为2k >，或2k <- 6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2pp ，点C 的坐标为(,)2p p -设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --= 解方程，得12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)2p y x =-，得 27(2x p =-. 所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p ++，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =.8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x +=……① 由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-=……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y .并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……①所以，122(12)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k =当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解. 所以，直线l 的方程为47y x =-.10、解：设点C 的坐标为(,)x y .由已知，得 直线AC 的斜率 (5)5AC yk x x =≠-+ 直线BC 的斜率 (5)5BC yk x x =≠- 由题意，得AC BCk k m =. 所以，(5)55y ym x x x ⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x y x m-=≠± 当0m <时，点C 的轨迹是椭圆(1)m ≠-，或者圆(1)m =-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x =上的点P 的坐标为(,)x y ，则24y x =.点P到直线3y x =+的距离d ===当2y =时，d. 此时1x =，点P 的坐标是(1,2).12为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上 所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程 为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81） 1、12PF F S ∆=2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a-直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a=-.（第12题）（第4由题意，得2b bac a=，所以，b c =，2a c =.由已知及1F A a c =+，得 105a c +=所以 (12)105c += 5c =所以，10a =，5b =因此，椭圆的方程为221105x y +=.3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++=……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-=……②12y y p +=-，125y y p =-……③把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p =4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =. 对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥.因为抛物线的顶点横坐标是(1763)(1763775.5)987.5a --=--=-所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠- 由题意，得2AM BMk k +=，所以2(1)11y yx x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠±所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=.因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 31、B2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥. 所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=. 所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,3DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=；（4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A . 3、解：22()AC AB AD AA ''=++所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=；（2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=-11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒=11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=-11()22FG AC a ==；（第1（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅ 5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =. 9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-， 所以，点M的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N .1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N == 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22-习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=.∴OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.∵OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴BOC AOC ∠=∠ ∴OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴0EF EH ⋅= ∴EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足.求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵BD α⊥.∴BD i ⊥，BD j ⊥.（第3∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==.∴(0,0,)BD z =. ∴BD zk =.∴BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β； （3）2247u v u v⋅=-，α与β.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥.因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅∴MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O .∵11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-=∴DO BC '⊥习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，2122MN AD ⋅== 1cos 22θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥. 4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DEDE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++ 所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，3AE AO ⋅=1cos 3θ===，sin 3θ=点O 到平面ABC 的距离sin 133OH OA θ==⨯=.6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，2D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，(0,0,)2A .∴3((2224DO DA ⋅=-⋅-=，18DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴AD 与平面BCD 所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,022x y AB x y ⋅=⋅-=，(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=.解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos5θ==. 因此，二面角A BD C--的余弦cos cos()5απθ=-=.7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB ∥α，所以123412x y z-+==-. 因为226AB α==26=. 解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a hE -.（1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE--⋅-<>==+.（2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-=，222h a =9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA⋅=，10OM BD ⋅=， 所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，OM ==. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =. 由24BD ==，25CD == 解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =.所以，938tan 38PB OB θ===.12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1MP =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，QM PN ==，PQ =22cosPQ MNPQ MNθ⋅====⋅， 45θ=︒.习题3.2B 组（P113） 1、解：12222ABC S ∆=⨯⨯=，()224502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，202cos 10AD BE AD AD θ⋅==，20AD =，204BD ==.2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F ，,0,1)22M a a -，,0)22N a .222(0,,1)122MN a =-=+，MN =（2）2211(22a a -+=-+，当2a =时，MN 的长最小.（3）当2a =时，MN 的中点为111(,,)244G ，所求二面角的余弦值1cos 3GA GB GA GBθ⋅==-⋅. 3、证明：设AE BF b ==. 以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(0,,0)A a ，(,,0)B a a -，(,0,0)C a -，(0,0,)O a '，(0,,)A a a '，(,,)B a a a '-，(,0,)C a a '-，(,,0)E b a -，(,,0)F a a b --.（1）(,,)(,,)0A F C E a b a a b a a ''⋅=---⋅--=，A F C E ''⊥.（2）221111()[()]2242BEF S b a b a a b ∆=-=--，当2a b =时，BEF S ∆最大，三棱锥体积最大.此时，EF 的中点G 与点B 的连线BG =，tan BB BGθ'== 第三章 复习参考题A 组（P117） 1、B .2、（1）111222AP a b c =++； （2）1122AM a b c =++；（3）12AN a b c =++； （4）114555AQ a b c =++.3、证明：因为1116()()302AM BA AB BC CM BA AA AB BA CM AA ⋅=++⋅+=⋅+⋅=-+=。

（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线 [综合训练B 组]及答案一、选择题1．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．()+∞,0B ．()2,0C ．()+∞,1D ．()1,02．以椭圆1162522=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127922=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．12-B ．2C ．12+D ．22+4．21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（ ） A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92=6．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A ．2pB ．pC ．p 2D ．无法确定二、填空题1．椭圆22189x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________。

2．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

4．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

5．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 6．设AB 是椭圆22221x y a b+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ⋅=____________。

2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．(1)当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；(2)当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程，则梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.(√)3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－332∪⎝⎛⎭⎫332，＋∞ 解析 依题意得，k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？ 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－423∪⎝⎛⎭⎫423，＋∞解析 依题意得，19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆y 2n ＋x 2m ＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．答案 9解析 依题意得，1m ＋4n ＝1，而m ＋n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n＝1＋4m n ＋n m ＋4＝5＋4m n ＋n m≥5＋24m n ·nm＝9， (当且仅当n ＝2m 时等号成立) 故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ， 得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围． 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法 由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)． 将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.经检验，当k ＝－12时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即直线AB 的斜率k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )， 由于点M (2,1)为线段AB 的中点， 则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16.② ①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4， 得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)， 故AB ＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如P A ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时P A ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如P A 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________．答案 (－2，2)解析 由题意知a 24＋12<1，解得－2<a < 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________． 答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a >2)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，得4(a 2－3)y 2＋83·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝7，所以椭圆的长轴长为27. 4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，∴点(0，b )在椭圆x 29＋y 24＝1内部，∴－2<b <2.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝423，求直线l 的方程．解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0.由MN ＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0， 所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )， 则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________. 答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋y 210＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________． 答案 12解析 依题意得，12×b ×2a ×2＝2×12×b ×2c ×2，即a ＝2c ，故离心率e ＝c a ＝12.3．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．4．已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那么F 1A ＋F 1B 的值为________． 答案823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝x －1，联立得3x 2－4x ＝0， 可知A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13，又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝2＋523＝823.5．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值的点P 的坐标为________． 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2， 即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为________． 答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为22，得c a ＝22. 设交点的纵坐标为y 0， 由x 0＝b ，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2＝b 2c2a 2，∴y 0＝±bc a ，∴k ＝y 0x 0＝±c a ＝±22.7．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b 2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋1－k 消去y ， 得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以x 1＋x 22＝12×4k 2－4k 1＋2k 2＝1， 解得k ＝－12，所以所求直线方程为y ＝－12x ＋32， 即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，因为OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋1，y 0)所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值6.11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2， 化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB →|.解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1，消去y ， 整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0， 解得－3<b < 3.所以b 的取值范围是(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43.相应地，y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝432. 13．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1) 得c ＝a 2－(a 2－1)＝1，∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1， 代入x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)得 (2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝2a 2－a 42a 2－1. 又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1， ∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴2a 2－a 42a 2－1＝－1， 解得a 2＝2±3.又∵a 2>1，∴a 2＝2＋3，即a 2－1＝1＋ 3. 故所求椭圆的方程为x 22＋3＋y 21＋3＝1. 三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am 2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13. 15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点)． (1)求证：1a 2＋1b2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0，x ＋y －1＝0， 消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b2. ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即2a 2(1－b 2)a 2＋b 2－2a 2a 2＋b2＋1＝0. ∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即1a 2＋1b 2＝2. ∴1a 2＋1b2等于定值．(2)解 ∵e ＝c a，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2. 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2). ∵33≤e ≤22， ∴54≤a 2≤32，即52≤a ≤62， ∴5≤2a ≤6，即椭圆长轴长的取值范围是[5，6]．。

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b-=，则22243-+--a b a b所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a与b的和a b+是偶数，则,a b都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b不都是偶数，则a b+不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a与b的和a b+不是偶数，则,a b不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20+-=有实数根，则x x mm>. 这是假命题.否命题：若0m≤，则方程20+-=没有实数根.x x m这是假命题.逆否命题：若方程20+-=没有实数根，则0x x mm≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等.逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上. 这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p，则q”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD是O的两条互相平分的相交弦，交点是E，若E和圆心O重合，则AB CD是两条直径. 若E和圆,AB CD是经过圆心O的弦，,心O不重合，连结,,AO BO CO和DO，则OE是等腰⊥.⊥，OE CD∆的底边上中线，所以，OE ABAOB∆，CODAB和CD都经过点E，且与OE垂直，这是不可能的. 所以，E和O必然重合. 即AB和CD是圆的两条直径.原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p是q的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p是q的必要条件.2、（1）p是q的必要条件；（2）p是q的充分条件；（3）p是q的充要条件；（4）p是q的充要条件.习题1.2 A组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222+=.a b r习题1.2 B组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222++=++，a b c ab ac bc那么2220++---=.a b c ab ac bc所以222()()()0-+-+-=a b a c b c所以，0b c-=.a b-=，0a c-=，0即a b c∆是等边三角形.==，所以，ABC（2）必要性：如果ABC∆是等边三角形，那么==a b c所以222a b a c b c-+-+-=()()()0所以2220++---=a b c ab ac bc所以222++=++a b c ab ac bc1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225+≠，真命题；（2）3不是方程290x-=的根，假命题；（3≠-，真命题.1习题1.3A组（P18）1、（1）4{2,3}∈∈或2{2,3}∈，真命题；（2）4{2,3}且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1（2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题；（4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题； （2）假命题； （3）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题. 练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉； （2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形； （2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4A 组（P26）1、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题； （2）真命题； （3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤； （2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>； （4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章 复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假； （2）假； （3）假；（4）假.4、（1）真； （2）真； （3）假； （4）真；（5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>； （2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}.6、（1）32≠，真命题； （2）54≤，假命题；（3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章 复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧； （2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C==. 新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章 圆锥曲线与方程 2．1曲线与方程 练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==.3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y . （1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t-==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -. 由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t tx y -==. 由2t x =得2t x =，代入42ty -=，得422xy -=，即20x y +-=……①（2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程① 由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线. 习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面.3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-. 所以，13y yx x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠ 当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩， 得5,3x y ==所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=， 即2230x y x +-=. 其他同解法一. 习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x ya b+=. 因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341ab+=因此，430ab a b --=由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y .由于动圆截直线30x y -=和30x y +=为AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 作直线30x y -=和30x y +=E，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF=.连接MA ，MC ，因为MA MC =， 则有，2222AE ME CF MF +=+所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =.因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆 练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF =.2、（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c ==. （1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++.由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化. 这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM yk x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率 1BM y k x =-(1)x ≠； 由题意，得2AMBMk k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠（第1题）化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-. 练习（P48）1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA 为半径画圆，圆与x 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，222B F OA a ==， 所以，2OF c =. 同样有1OF c =. 2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.3、（1）2213632x y +=； （2）2212516y x +=.4、（1）22194x y +=（2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 因为132>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为3>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5； （2）(0,2)； （3）4870(,)3737--.7、7. 习题2.2A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y 满足的关系式10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.它的方程是2212516y x +=.2、（1）2213632x y +=； （2）221259y x +=； （3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤，101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略.4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=； （2）2219x y +=，或221819y x +=； （3）221259x y +=，或221259y x +=.6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =. 因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个.7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+.把32y x m=+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=.这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=-- （1）由0∆>，得m -<<.当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y .则 1223x x mx +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3mx =-联立，消去m ，得320x y +=.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上.9、222213.525 2.875x y +=.10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.2B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y =……①.因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y +=……②. 将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+= 当P与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……①当P与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =-……②①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12=……③ 化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得12x =+……④将④两边分别平方，并整理，得22341080x y +-=……⑤将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y +=……⑥由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，解法二：同解法一，得方程12=……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x 轴上，于是可求出它的标准方程.（第4因为 26c =，212a =，所以3c =，6a = 所以236927b =-=.于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=.3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P Md ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得12=将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.4、解：如图，由已知，得(0,E -(4,0)H -.因为,,R S T 是线段OF ,,R S T '''是线段CF 的四等分点，所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+.联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==.所以，点L 的坐标是3245(,)1717. 同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525. 由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n +=(0,0)m n >>……① 把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=.把点N的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=， 所以，点N 在221169x y +=上.因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上.2．3双曲线 练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=.（3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b -=(0,0)a b >> 将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-=又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩ 解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a =又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=； （2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±.5、（1）142(6,2),(,)33-； （2）25(,3)4习题2.3A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -=3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =； （2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=.设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得 222591a a -=，或229251a a -=. 解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=.5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =. 所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3B 组（P62）1、221169x y -=2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上. 使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB的中点重合，建立直角坐标系xOy .设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则34031020PA PB -=⨯=.即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k -=-，解得 2k =.当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 2．4抛物线 练习（P67） 1、（1）212y x=； （2）2y x=； （3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-； （2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-； （3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =； （4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =；3、（1）a ，2p a -. （2），(6,-提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±.练习（P72）1、（1）2165y x =； （2）220x y =；（3）216y x =-； （4）232x y =-.2、图形见右，x3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得 1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±.因为 22AB y ==⨯== 所以，3a = 因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-； （2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-.根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32px =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-； （2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM 所在直线的斜率tan 60k =︒=因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得13y =-，2y = 由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=， 化简得 2640x x -+=，解得3x =± 则321y =±=±因为OB k =，OA k =所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x =-因为拱桥离水面2 m ，水面宽所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =-……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.（第8习题2.2B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p 的抛物线. 2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =. 又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-= 因此，1212()(2)0x x x x p -++=因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan30y x =︒=. 因为2112y x p =，所以1y =，因此12AB y ==. 3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AMy k x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BMy k x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章 复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>. 则 22a c OA OF F A -=-=6371=22a c OB OF F B +=+=6371=+解得 7782.5a =，8755c =所以 b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩， 解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ （第1因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ； （2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆. （2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=.方程表示焦点在y 轴上的椭圆.（3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上. 而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线.5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--=即 22(1)250k x kx -+-=……①令 0∆<，解得k >，或k < 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k的取值范围为k >k < 6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2p p - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x . 因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )2p y x =- 与22y px =联立，消去x ，得220y p --= 解方程，得12)y p =，22)y p =-把12)y p =代入)32p y x =-，得17(2x p =+.把22)y p =-代入)32p y x =-，得27(2x p =-. 所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p ++，27((2))2A p p --. 根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p ---所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =.8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265m x x +=-，2123610m x x +=……① 由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-=……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A 的坐标为11(,)x y ，点B 的坐标为22(,)x y ，点M 的坐标为(,)x y . 并设经过点M 的直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即12y kx k =+-.把12y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=，得 222(2)2(12)(12)20k x k k x k ------=2(20)k -≠. ……① 所以，122(12)22x x k k x k+-==- 由题意，得2(12)22k k k -=-，解得4k = 当4k =时，方程①成为 21456510x x -+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.所以，直线l的方程为47y x=-.10、解：设点C的坐标为(,)x y.由已知，得直线AC的斜率(5)5ACyk xx=≠-+直线BC的斜率(5)5BCyk xx=≠-由题意，得AC BCk k m=. 所以，(5)55y ym xx x⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x yxm-=≠±当0m<时，点C的轨迹是椭圆(1)m≠-，或者圆(1)m=-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m>时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x=上的点P的坐标为(,)x y，则24y x=.点P到直线3y x=+的距离d===当2y=时，d. 此时1x=，点P 的坐标是(1,2).12顶为原点、拱高所在直线为y 轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py =-因为点(4,4)C -在抛物线上所以 242(4)p =--解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章 复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=. 2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a- 直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2b k a=-.（第4由题意，得2b b ac a=，所以，b c =，2a c =. 由已知及1F A a c =+，得 105a c +=所以 (12)105c += 5c =所以，10a =，5b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=.由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++=……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-=……②12y y p +=-，125y y p =-……③ 把③代入①，解得54p =当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系. 对于抛物线，有176352922922p =+=， 所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩ 解此方程组，得775.5a =，1304.5c =因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是 221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=-所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得 直线AM 的斜率 (1)1AMy k x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BMy k x x =≠- 由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆；②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C . 显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上. 又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.类似地，可以证明：（第7对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答 第三章 空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算 练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--.练习（P89）1、（1）AD ； （2）AG ； （3）MG .2、（1）1x =； （2）12x y ==； （3）12x y ==. 31、2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=.所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾. 2、共面 2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-； （2）(10,1,16)-； （3）(18,12,30)-； （4）2. 2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,153DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅.习题3.1 A 组（P97）（第11、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=；（4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==. 向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A . 3、解：22()AC AB AD AA ''=++所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=；（2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=-11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒=11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=-11()22FG AC a ==；（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅5、（1）60︒； （2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9； （2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB的中点为M，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-=10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N .1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =-所以2312CM ==，21312D N ==由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19.11、31(,,3)22-习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴OA BC ⋅=，OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=.∴OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅. ∴OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=.∴OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.∵OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴BOC AOC ∠=∠ ∴OB OC OA OC ⋅=⋅ ∴0EF EH ⋅= ∴EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD（第3证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵BD α⊥.∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==.∴(0,0,)BD z =. ∴BD zk =.∴BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点. ∴BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法 练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ； （2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ； （3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥； （2）2v u =-，α∥β； （3）2247u v u v⋅=-，α与β相交，交角的余弦等于.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥.因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥.因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++∴CD =练习（P111） 1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅∴MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以AA d '==.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O .∵11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-=∴DO BC '⊥习题3.2 A 组（P111） 1、解：设正方形的棱长为1 （1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，2122MNAD ⋅==1cos 2θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥.因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3θ=-.因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++所以，2DE = （2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cosθ===sin θ=点O到平面ABC的距离sin 133OH OA θ==⨯=. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，D ，1(0,,0)2B ，3(0,,0)2C ，A .∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，184DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴AD 与平面BCD 所成角等于45︒.（2）(0,1,0)(022BC DA ⋅=⋅-=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,02x y AB x y ⋅=⋅=，(,,1)(,,1)(022x y AD x y ⋅=⋅-=. 解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.。

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一 圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹 是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟 在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________． 答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二 圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什 么曲线？解 设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解 因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支． 引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解 动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟 紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解 因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三 圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟 利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了 圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析 由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹 是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆． 答案 ③解析 椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意 椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12， 故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线． 故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________． 答案 直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不 充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案 椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。