云南省201x年中考数学总复习 提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题练习

题型专项(六) 网格作图题网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考察平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，复习时注意练习即可．1．(·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)．(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2.解：(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示．2．(·昆明二模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称．(1)请在图中画出对称中心O；(2)在图中画出将△A1B1C1沿直线DE平移5格得到的△A2B2C2；(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转90度．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．3．(·昆明西山区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，1)，C(－1，3)．(1)请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2；(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标(2，1)．解：(1)①如图：△A1B1C1即为所求．②如图：△A2B2C2即为所求．4．(·昆明模拟)在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A，C两点的坐标；(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC 关于原点对称的图形△A 2B 2C 2，并标出B 2，C 2两点的坐标．解：(1)△AB 1C 1如图所示．(2)如图所示，A(0，1)，C(－3，1)．(3)△A 2B 2C 2如图所示，B 2(3，－5)，C 2(3，－1)．5．(·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)、(－2，1)，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是(1，2)，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2.(1)画出△A 1B 1C 1；(2)画出△A 2B 2C 2；(3)求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达点A 2的路径总长．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．(3)OA 1＝42＋42＝42，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长为52＋12＋90·π·42180＝26＋22π. 6．(·昆明模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，请在图中画出△A 2BC 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2BC 2即为所示，线段BC 旋转过程中所扫过的面积S ＝90×13π360＝13π4. 7．(·昆明盘龙区二模)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB并直接写出点P的坐标．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)如图，△PAB即为所求，P(2，0)．8．(·云南模拟)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．(1)以点O为位似中心，在方格图中画出将△ABC放大为原来的2倍得到的△A′B′C′；(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)如图，△A″B′C″即为所求．S＝90360π(22＋42)＝14π·20＝5π.。

第十九讲矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE 沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．6．（2021•嘉峪关）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，F是AD边的中点，EF＝4cm，则BE＝cm．【答案】6【解答】解：∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4cm，∴AD＝2EF＝8cm，∵∠EAD＝30°，∴AE＝AD•cos30°＝8×＝4cm，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠BEA＝∠EAD＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AE•cos∠BEA＝4×cos30°＝4×＝6（cm），故答案为：6．7．（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．【答案】【解答】解：过O点作OE⊥CD，OF⊥AD，垂足分别为E，F，由题意知∠FOD＝2∠DOE，∵∠FOD+∠DOE＝90°，∴∠DOE＝30°，∠FOD＝60°，在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30cm，∴OE∥BC，∴∠DBC＝∠DOE＝30°，∴BC＝CD＝cm，故答案为．8．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD 于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．9．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB ＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）【答案】①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①③④．故答案为：①③④．10．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．11．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4 （2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．命题点2 菱形的相关证明与计算12．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A．四条边相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．是轴对称图形【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边相等，正确，不符合题意，B．菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，C．菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，D．菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，故选：B．13．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（）A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）【答案】D【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∵B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝，AB＝2，∴A（0，），∴BC＝AD＝2，∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，∴C（1，0），D（2，），故选：D．14．（2021•陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．15．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD 方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，当AP⊥BC时，此时△ABP为直角三角形；当点P到达点C处时，此时△ABP为等边三角形；当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；当点P与点D重合时，此时△ABP为等腰三角形，故选：C．16．（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+B．2+2C．2+D．1+2【答案】A【解答】解：如图，连接BD，AC．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠BAO＝∠DAO＝60°，BD⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝AB＝1，OB＝OA＝，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，在△BEO和△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（AAS），∴OE＝OF，BE＝BF，∵∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝×＝，同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，∴EF＝GH＝，EH＝FG＝，∴四边形EFGH的周长＝3+，故选：A．17．（2021•朝阳）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF ＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴，∵G、H分别是AC的三等分点，∴，，∴，∴EG∥BC∴，同理可得HF∥AD，，∴，故选：A．18．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3，则AD的长为（）A．B．2C．+1D．2﹣1【答案】C【解答】解：如图，连结BD，作DH⊥AB，垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°，∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠FDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°，∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3，∴DE＝，设AH＝x，则HE＝2﹣x，∵AD＝BD，DH⊥AB，∴∠ADH＝∠ADB＝30°，∴AD＝2x，DH＝x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²，∴（x）²+（2﹣x）²＝（）²，解得：x＝（负值舍去），∴AD＝2x＝1+，故选：C．19．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．【答案】AE＝AF【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE＝AF，∴四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF．20．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为．【答案】【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，∵OE∥AB，∴BE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴，在Rt△ABO中，由勾股定理得：，∴OE＝21．（2021•盐城）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）加上条件后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．【答案】（1）略（2）②【解答】解：（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，∴DE∥AC，且DE＝＝AF．即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）证明：选②AE平分∠BAC，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠F AE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠F AE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC，∵EF∥AB且EF＝，DE∥AC且DE＝，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形．22．（2021•云南）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点．若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F重合．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若ED＝2AE，AB•AD＝3，求EF•BD的值．【答案】（1）略（2）4【解答】解：（1）证明：将△BED沿BD折叠，使E，F重合，∴OE＝OF，EF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，在△OBF和△ODE中，，∴△OBF≌△ODE（AAS），∴OB＝OD，∵OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．（2）如图，∵AB•AD＝3，∴S△ABD＝AB•AD＝，∵ED＝2AE，∴ED＝AD，∴S△BDE：S△ABD＝2：3，∴S△BDE＝，∴菱形BEDF的面积＝EF•BD＝2S△BDE＝2，∴EF•BD＝4．命题点3 正方形的相关证明与计算23．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等b．一组对边平行且相等c．一组邻边相等d．一个角是直角顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是（）A．仅①B．仅③C．①②D．②③【答案】C【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；故选：C．24．（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3C．D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．25．（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．26．（2021•湖北）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴四边形EFBG为矩形．∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°．在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴BE＝DE．∴DE＝FG．∴①正确；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．由①知：OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE．∴∠OFB＝∠ADE．∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°．∴∠OFB+∠AHD＝90°．即：∠FMH＝90°，∴DE⊥FG．∴②正确；③由②知：∠OFB＝∠ADE．即：∠BFG＝∠ADE．∴③正确；④∵点E为AC上一动点，∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小．∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝．∴DE＝AC＝2．由①知：FG＝DE，∴FG的最小值为2，∴④错误．综上，正确的结论为：①②③．故选：C．27．（2021•黔东南州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：分别延长AD和BE交于点F，由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF•sin60°＝4×＝2，∠F＝90°﹣∠ABF ＝30°，∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，∴EF＝DF•cos∠F＝（2）×＝3﹣，由题知，△ABB'是等边三角形，∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，故选：A．28．（2021•常德）如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF 交于P．则下列结论成立的是（）A．BE＝AE B．PC＝PDC．∠EAF+∠AFD＝90°D．PE＝EC【答案】C【解答】解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，∴AF＝BE，在△AFD和△BEA中，，∴△AFD≌△BEA（SAS），∴∠FDA＝∠EAB，又∵∠FDA+∠AFD＝90°，∴∠EAB+∠AFD＝90°，即∠EAF+∠AFD＝90°，故C正确，A、B、D无法证明其成立，故选：C．29．（2021春•新吴区月考）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，5）C．（5，﹣2）D．（﹣1，5）【答案】D【解答】解：如图，过点E作ED⊥x轴于点D，过点G和点F分别作y轴和x轴的平行线，交y轴和x轴于点B和A，两线相交于点C，得矩形ACBO，∴AC＝OB，AO＝CB，∵点E的坐标为（2，3），∴ED＝3，OD＝2，∵四边形OEFG是正方形，∴∠EOG＝∠FGO＝90°，∴∠EOD+∠GOB＝90°，∵∠GOB+∠OGB＝90°，∴∠EOD＝∠OGB，在△EOD和△OGB中，，∴△EOD≌△OGB（AAS），∴ED＝OB＝3，OD＝BG＝2，同理可证：△EOD≌△FGC（AAS），∴ED＝CG＝3，OD＝CF＝2，∴AO＝CB＝BG+CG＝3+2＝5，AF＝AC﹣CF＝OB﹣CF＝3﹣2＝1，∴F（﹣1，5）．故选：D．30．（2020•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为．【答案】4【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH 于T，∵四边形ABCD是矩形，∴AH＝HC，又∵Q是AB中点，∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，∴PO∥AD∥BC∥EF∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，∵OT⊥QH，∴四边形POTQ是矩形，∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，∴TH＝2，∴OH＝＝＝2，∴MN＝2OH＝4，故答案为：4．31．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．【答案】﹣1【解答】解：∵地毯面积被平均分成了3份，∴每一份的边长为＝，∴CD＝3×＝，在Rt△ACD中，根据勾股定理可得AD＝＝，又根据剪裁可知BD＝CK＝1，∴AB＝AD﹣BD＝﹣1．故答案为：﹣1．32．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．【答案】【解答】解：设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF＝5，∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13，∵cos∠ADE＝，∴，∴DO＝＝GO，∴EG＝13﹣2×＝，故答案为：．33．（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为．【答案】【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．34．（2021•邵阳）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．【答案】（1）略（2）8【解答】（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）解：∵AB＝AD＝，∴BD＝＝＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF＝4﹣2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝＝＝2．∴4DE＝，故四边形BEDF的周长为8．。

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。

2021中考临考专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 下列说法，正确的个数有 ()①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个2. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2B.2C.4D.23. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()5. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4∶1 B．5∶1 C．6∶1 D．7∶16. （2020·广州）如图5，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）C DFE OBA图5 A ．485 B ．325 C ．245 D ．1257. （2020·泰安）如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，过点B 作BF ⊥AC 交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作DE ∥BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接FN ，EM ．则下列结论：① DN ﹦BM ；②EM ∥FN ；③AE ﹦FC ；④当AO ﹦AD 时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个AB CDEFOMN 8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点A 在OB 上，四边形ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点E ，连接OE 交AD 于点F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB=30°，AB=4，则OC= .10. 如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为BC ，OC 的中点.若DCA B F EOMN=4，则AC的长为.11. 如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sin A=，则这个菱形的面积= cm2.12. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．13. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．14. （2020·四川甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为__________cm．15. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论：①∠EBG ＝45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG . 其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题17. 如图，将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F . (1)求证:△BCF ≌△BA 1D ;(2)当∠C=α时，判断四边形A 1BCE 的形状，并说明理由.18. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，得到折痕MN ，将纸片展平;再一次折叠，使点D 落到MN 上的点F 处，折痕AP 交MN 于E ;延长PF 交AB 于G .求证: (1)△AFG ≌△AFP ; (2)△APG 为等边三角形.19. 如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，AD ∥BC ，AD=2BC ，∠ABD=90°，E 为AD 的中点，连接BE. (1)求证:四边形BCDE 为菱形;(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长.20. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.21. 如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．22. 如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．23. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设ADAE＝n.(1)求证：AE＝GE；(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示ADAB的值；(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．24. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，sin∠ABD＝55，点P是射线BC上一点，连接AP交菱形对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：△ABE≌△CBE；(2)如图①，当点P在线段BC上时，且BP＝2，求△PEC的面积；(3)如图②，当点P在线段BC的延长线上时，若CE⊥EP，求线段BP的长．2021中考临考专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】C3. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．4. 【答案】C 【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．5. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sin α=2142，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得AC=10，再由矩形的对角线相等且互相平分的性质可得，OA=OD=5. △ABD 的面积为24，OA 为△ABD 的中线，由中线等分面积可得，△AOD 的面积为12.再由等面积法即可得OE+EF 的值．过程如下：∵AOE EOD AOD S S S ∴111222OA OE OD EF 即11551222OE EF ，∴OE+EF=245，因此本题选C ．7. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD 是矩形，所以AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，所以∠DAN=∠BCM.因为BF ⊥AC ，DE ∥BF ，所以DE ⊥AC ，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN ≌△CBM ，所以DN=BM ，∠AND=∠CBM ，则△ADE ≌△CBF ，所以AE=CF 、DE=BF ，所以NE=MF ，即①②③都是正确的，由AE=CF 、AB=CD ，所以BE=DF ，所以四边形AEBF 是平行四边形. 因为四边形ABCD 是矩形，所以AO=DO ，因为当AO ﹦AD 时，AO=DO=AO ，所以△ADO 是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE ，所以四边形DEBF 是菱形，则④也是正确的，因此本题选D ． 8. 【答案】A【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD ，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE 和△OBE 中，BO=DO ，BE=DE ，OE=OE ，所以△ODE ≌△OBE ，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t △AOD 中，∠BOD=45°，∴OA=AD ，在R t △ABD 中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA 和△FOA 中，∠BDA=∠FOA ，OA=AD ，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA ≌△FOA ，所以OF=BD ，故②正确；如答图，过点F 作FQ ⊥OD 于点Q ，由角平分线的性质得AF=FQ ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ 是等腰直角三角形即DF=AF ，故③正确；如答图，AG=OG=OF ，所以OG=DE ，由题意可得△OAG ≌△DAE ，所以∠OAG=∠DAE ，AG=AE ，又由∠OAG ＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE 是等腰直角三角形，故④正确．二、填空题9. 【答案】4 [解析]由题意可知，四边形ABCD 为矩形，则AC=BD ，OC=AC.已知∠ADB=30°，故在Rt △ABD 中，BD=2AB=8，∴AC=BD=8，OC=AC=4.10. 【答案】1611. 【答案】60[解析]菱形的面积可以用边长×高，即AB ×DE 计算，在Rt △ADE中，∵AD=10，sin A=，∴DE=6，∴菱形的面积为60 cm 2.12. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.13. 【答案】16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.14. 【答案】5【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD ，AB ＝8，BC ＝10，∴AB '＝8，AD ＝10，B 'C '＝10．在R t △ADB '中，由勾股定理，得DB '＝6．∴DC '＝4． 设DE ＝x ，则CE ＝C 'E ＝8－x ．在R t △C 'DE 中，由勾股定理，得DE 2＝EC '2＋DC '2GQD C AB F E O即x 2＝(8－x )2＋42．∴x ＝5．即线段DE 的长为5cm ．461088-x x 108C'B'D A BCE15. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图16. 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴EDFD ＝43≠AB AG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S △FGH ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵△ABC 是等腰三角形，B 是顶点， ∴AB=BC ，∠A=∠C ，∵将等腰三角形ABC 绕顶点B 按逆时针方向旋转α到△A 1BC 1的位置， ∴A 1B=AB=BC ，∠A 1=∠A=∠C ，∠A 1BD=∠CBC 1.在△BCF 与△BA 1D 中，∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形.理由如下:∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转α到△A1BC1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=α，∵∠AED=∠C=α，∴A1E∥BC.∵∠AED=∠A1=α，∴A1B∥CE.∴四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形.18. 【答案】证明:(1)∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，得到折痕MN，∴MN∥AB，M，N分别为AD，BC中点，由平行线的性质可知PF=GF.由折叠的性质得∠PF A=∠GF A=90°，∴△AFG≌△AFP(SAS).(2)∵△AFG≌△AFP，∴AP=AG，∠2=∠3.又∵∠2=∠1，∴∠1=∠2=∠3.又∵∠1+∠2+∠3=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∠P AG=2∠2=60°，∴△APG 为等边三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵E为AD的中点，AD=2BC，∴BC=ED，∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD=90°，AE=DE，∴BE=ED，∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，∴BA=BC=1，∵AD=2BC=2，∴sin∠ADB=，∴∠ADB=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∠ADC=2∠ADB=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中，AD=2，CD=1，∴AC=.20. 【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.21. 【答案】(1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，(1分)∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎨⎧AD ＝ AE∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC，∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(3分)(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，(5分)又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，(6分)又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.(8分)22. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ，∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .23. 【答案】(1)证明：由折叠性质得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EF A ，∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EF A ＋∠EFG ＝90°，∴∠FGA ＝∠EFG ，∴EG ＝EF ，∴AE ＝GE ；(2)解：如解图①，当点F 落在AC 上时，设AE ＝a ，则AD ＝na ，解图①由对称性得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC ，又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ， ∴AB DA ＝AE DC ，∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2，∵AB ＞0，∴AB ＝na ，∴AD AB ＝na na＝n ； (3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n 4a ， 如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .解图②此时n 4a ＝a ，∴n ＝4，∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得AD AB ＝n ，即4AB AB ＝n ，∴n ＝16；②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，解图③∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE .∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC ，∴AB DG ＝AE DC ，∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ，∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即(n 4a )2＝(n －2)a ·a ，解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．24. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，∴AO ＝OC ＝5，∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45， ∵12AC ·BD ＝BC ·AH ，即12×25×45＝5AH ，∴AH ＝4，∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP， ∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ，即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ，又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ，∴EF AH ＝PE AP ，∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127；(3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP＝535，∴BP＝15.。

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2018·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.[2017·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T6-3|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2017·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.图T6-45.已知:如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.图T6-5|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图T6-67.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.图T6-78.[2018·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图T6-8参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下: ∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD, ∵DG=BG,∴EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ADF=∠ABE=90°.在△ADF与△ABE中,∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,∴△ADF≌△ABE.(2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,∴AE=,ED==5,∵S△AED=AD×BA=ED×AH,∴AH===1.8.∴在Rt△AHE中,EH==2.6,∴tan∠AED===.8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE+∠ABH=90°,∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF===.11。

提分专练(一)实数混合运算与代数式的化简求值|类型1| 实数的混合运算1.[2017·盐城]计算:+-1-20170.2.[2017·益阳]计算:|-4|-2cos60°+(-)0-(-3)2.3.[2017·长沙]计算:|-3|+(π-2017)0-2sin30°+-1.4.[2017·东营]计算:6cos45°+-1+(-1.73)0+|5-3|+42017×(-0.25)2017.|类型2| 整式的化简求值5.已知x-2y=-3,求(x+2)2-6x+4y(y-x+1)的值.6.[2018·邵阳]先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=.|类型3| 分式的化简求值7.[2017·泰安]先化简,再求值:2-÷,其中x=3,y=-4.8.[2018·巴中]先化简1-·,再在1,2,3中选取一个适当的数代入求值.9.[2018·烟台]先化简,再求值:1+÷,其中x满足x2-2x-5=0.|类型4| 与二次根式有关的化简求值10.[2017·湖州]计算:2×(1-)+.11.[2017·邵阳]先化简·+,再在-3,-1,0,,2中选择一个合适的x值代入求值.12.[2017·西宁]先化简,再求值:-m-n÷,其中m-n=.13.[2017·凉山州]先化简,再求值:1-÷,其中a,b满足(a-)2+=0.参考答案1.[解析] 分别化简,-1,20170,然后再计算.解:原式=2+2-1=3.2.解:原式=4-2×+1-9=-5.3.解:原式=3+1-1+3=6.4.解:原式=6×+3+1+5-3+(-1)2017=3+3+1+5-3-1=8.5.解:(x+2)2-6x+4y(y-x+1)=x2+4x+4-6x+4y2-4xy+4y=x2+4y2-2x+4-4xy+4y=x2-4xy+4y2-(2x-4y)+4=(x-2y)2-2(x-2y)+4,当x-2y=-3时,原式=(-3)2-2×(-3)+4=19.6.解:原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab.当a=-2,b=时,原式=4ab=4×(-2)×=-4.7.解:2-÷=2-·=2-=.当x=3,y=-4时,原式===3.8.解:原式=·=,选x=2代入得原式==-2.9.解:1+÷=÷=·=x(x-2)=x2-2x.∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,∴原式=5.10.[解析] 实数的混合运算,先乘除后加减,然后进行二次根式的化简,最后合并同类二次根式.解:原式=2-2+2=2.11.解:原式=·+=+=x,当x=-1时,原式=-1.(或当x=时,原式=)12.解:原式=÷m2=-÷m2=×==-.当m-n=时,原式=-=-.13.解:1-÷=1-·=1-==-.∵a,b满足(a-)2+=0,∴a-=0,b+1=0,∴a=,b=-1,当a=,b=-1时,原式=-=.提分专练(二)解方程(组)与解不等式(组)|类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:2.已知关于x,y的方程组的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程3.[2018·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.4.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.5.当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.|类型3| 解分式方程6.[2018·柳州]解方程:=.7.[2018·南宁]解分式方程:-1=.8.[2017·泰州]解分式方程:+=1.|类型4| 解一元一次不等式(组)9.[2018·桂林]解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.10.[2018·天津]解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得.(2)解不等式②,得.(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.图T2-1(4)原不等式组的解集为.11.[2017·北京]解不等式组:12.[2018·黄冈]求满足不等式组的所有整数解.参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为2.解:①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18,解得y=-2a+4,∴原方程组的解是∵x>0,y>0,∴由⑤得a>-,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-<a<2.3.解:解法一:移项,得3x2-2x=2,配方,得3x-2=,解得x1=,x2=.解法二:因为a=3,b=-2,c=-2,所以Δ=(-2)2-4×3×(-2)=4+24=28.所以x=,所以x1=,x2=.4.解:原式=(x-1)÷=(x-1)·=-x-1.由x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.当x=-2时,原式=1.5.解:由解得2<x<4.解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.∵2<<3,∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.∴x=1+.6.解:去分母,得2(x-2)=x,去括号、移项、合并同类项,得:x=4.检验:当x=4时,x(x-2)=4×2=8≠0,故x=4是原分式方程的根.7.解:方程两边同乘3(x-1),得3x-3(x-1)=2x,解得x=1.5.检验:当x=1.5时,3(x-1)≠0,∴原分式方程的解为x=1.5.8.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.9.解:去分母,得5x-1<3(x+1),去括号,得5x-1<3x+3,解得x<2,它的解集在数轴上表示如下图:10.解:(1)x≥-2(2)x≤1(3)如图所示.(4)-2≤x≤111.解:由①得:x<3,由②得:x<2,∴不等式组的解集为x<2.12.解:解x-3(x-2)≤8,得x≥-1;解x-1<3-x,得x<2.所以不等式组的解集为-1≤x<2,其中所有的整数解为-1,0,1.提分专练(三)一次函数与反比例函数综合1.[2018·济宁]如图T3-1,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是.图T3-12.[2018·安顺]如图T3-2,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>的解集是x<-2或0<x<1,其中正确结论的序号是.图T3-23.[2018·广州]一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是()图T3-34.如图T3-4,已知反比例函数y=的图象与直线y=-x+b都经过点A(1,4),且该直线与x轴的交点为B.(1)求反比例函数和直线的解析式;(2)求△AOB的面积.图T3-45.[2018·遂宁]如图T3-5所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A,B两点,过点A作AD⊥x轴于D,AD=4,sin∠AOD=,且点B的坐标为(n,-2).(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)E是y轴上一点,且△AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点坐标.图T3-56.[2017·内江]如图T3-6,已知A(-4,2),B(n,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象上的两个交点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出不等式kx+b->0的解集.图T3-67.[2018·菏泽]如图T3-7,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC∶OA=2∶5.(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;(2)直接写出关于x的不等式>kx+b的解集.图T3-78.[2017·黄冈]已知:如图T3-8,一次函数y=-2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A(-1,m)和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,-2),连接DE.(1)求k的值;(2)求四边形AEDB的面积.图T3-8参考答案1.2-2[解析] 根据直线y=kx+b与两坐标轴分别交于B,C两点,则点B的坐标为-,0,点C的坐标为(0,b),而△BOC的面积为4,则··b=4,即k=,则直线的表达式为y=x+b.设点A的坐标为m,,则·m+b=,即b2m2+8bm=32,解得bm=4-4(负值舍去),∵S△COD= CO·DO=bm=2-2,因此本题答案为2-2.2.②③④[解析] 由图象知,k1<0,k2<0,∴k1k2>0,故①错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=中得k2=-2m=n,∴m+n=0,故②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b中得解得∵-2m=n,∴y=-mx-m.∵直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m).∴OP=1,OQ=m.∴S△AOP=m,S△BOQ=m,即S△AOP=S△BOQ,故③正确;由图象知,不等式k1x+b>的解集是x<-2或0<x<1,故④正确.故②③④正确.3.A[解析] 由选项A,B中直线的位置,可知a>0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b<0,从而a-b>0,反比例函数图象应该在第一、三象限,故选项B错误;由选项C,D中直线的位置,可知a<0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b>0,从而a-b<0,反比例函数图象应该在第二、四象限,故选项C,D错误.故答案为A.4.解:(1)把(1,4)代入y=,得k=1×4=4,所以反比例函数的解析式为y=.把(1,4)代入y=-x+b,得-1+b=4,解得b=5,所以直线的解析式为y=-x+5.(2)当y=0时,-x+5=0,解得x=5,则B(5,0),所以△AOB的面积为×5×4=10.5.解:(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A,B两点,且AD⊥x轴于D,∴∠ADO=90°,在Rt△ADO中,AD=4,sin∠AOD=,∴=,∴AO=5,由勾股定理得:DO===3,∴A(-3,4),把A(-3,4)代入y=中得m=-12,∴反比例函数的解析式为y=-.又∵B点在反比例函数y=-的图象上,∴n×(-2)=-12,∴n=6,∴B(6,-2),把A(-3,4),B(6,-2)代入y=kx+b中得解得∴一次函数的解析式为y=-x+2.(2)E点坐标分别为E1(0,8),E2(0,5),E3(0,-5),E40,.6.解:(1)把A(-4,2)代入y=,得m=2×(-4)=-8.所以反比例函数的解析式为y=-.把B(n,-4)代入y=-,得-4n=-8,解得n=2.把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,得解得所以一次函数的解析式为y=-x-2.(2)在y=-x-2中,令y=0,则x=-2,即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0),∴OC=2.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6.(3)由图可得,不等式kx+b->0的解集为x<-4或0<x<2.7.解:(1)∵A(5,0),∴OA=5.∵OC∶OA=2∶5,∴OC=2,∴C(0,-2).∵B(0,3),BD=OC,∴D(-2,3).∵D(-2,3)在反比例函数y=的图象上,∴3=,∴a=-6,∴反比例函数的表达式为y=-.由A(5,0),C(0,-2)在直线y=kx+b上,得解得∴一次函数的表达式为y=x-2.(2)x<0.理由:两函数表达式组成方程组,得整理得x2-5x+15=0,∵Δ=(-5)2-4×15=25-60=-35<0,∴一元二次方程x2-5x+15=0无实数根,即反比例函数y=-与一次函数y=x-2的图象无交点.∴当x<0时,反比例函数y=-的图象在一次函数y=x-2的图象的上方;当x>0时,反比例函数y=-的图象在一次函数y=x-2的图象的下方;∴不等式>kx+b的解集是x<0.8.解:(1)将点A(-1,m)代入一次函数y=-2x+1得,-2×(-1)+1=m,∴m=3.∴A点的坐标为(-1,3).将A(-1,3)代入y=得,k=(-1)×3=-3.(2)如图,设直线AB与y轴相交于点M,则点M(0,1).∵点D(0,-2),∴MD=3.又∵A(-1,3),AE∥y轴,∴E(-1,0),AE=3.∴AE∥MD,AE=MD.∴四边形AEDM为平行四边形.∵BD∥x轴,且D(0,-2),∴把y=-2代入y=-2x+1,得x=,∴B,-2.∴S四边形AEDB=S△MDB+S平行四边形AEDM=××3+3×1=.提分专练(四)二次函数小综合|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?|类型2| 二次函数与直线的综合2.[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.|类型3| 二次函数与三角形的综合3.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.4.[2017·齐齐哈尔]如图T4-1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C和点D的坐标;(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-,.图T4-1|类型4| 二次函数与平行四边形的综合5.如图T4-2,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.图T4-2|类型5| 二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的△BCD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图T4-3参考答案1.解:(1)证明:证法一:∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.∴不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.证法二:∵a=1>0,∴该函数的图象开口向上.又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,∴该函数的图象在x轴的上方.∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.2.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.3.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y 轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|x A|+·OC·|x B|=·OC·|x A-x B|=×1×2=.4.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3).∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,∴点D的坐标为(1,4).(3)设点P(x,y),其中x>0,y>0,∵S△COE=×3×1=,S△ABP=×4y=2y,S△ABP=4S△COE,∴2y=4×,∴y=3.∴-x2+2x+3=3,解得x=2(x=0舍去).∴点P的坐标为(2,3).5.解:(1)B(4,0),C(0,3).抛物线的解析式为y=-x2+x+3.顶点D的坐标为1,.(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,∴DE=-=.∵点P为第一象限内抛物线上一点,∴可设点P的坐标为m,-m2+m+3,则点F的坐标为m,-m+3.若四边形DEFP为平行四边形,则PF=DE,∴-m2+m+3--m+3=,解得m1=3,m2=1(不合题意,舍去).∴当点P的坐标为3,时,四边形DEFP为平行四边形.6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化得到△BCD,∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.∴C(1,1).设经过A,B,C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有解得:a=-,b=,c=2.∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,∴=或=3,过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.∴△BEF∽△BAO,∴==.∴当=时,==,∴EF=,BF=,∴E-,.设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+, ∴-x2+x+2=-x+,∴x1=-,x2=1(舍去),∴P1-,.当=3时,同理可得P2-,.提分专练(五)与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE ⊥AB,AE=CE.求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.图T5-12.[2017·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.图T5-23.[2017·呼和浩特]如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图T5-34.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-4|类型2| 全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件,使△AEH≌△CEB.图T5-56.如图T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.图T5-6|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-78.如图T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-8参考答案1.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,∴∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中,∴△AEF≌△CEB(ASA).(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD.∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC,∴AF=2CD.2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.3.解:(1)证明:∵AB,AC为等腰三角形的两腰,∴AB=AC.∵BD,CE分别是两腰上的中线,∴AE=AD.在△AEC与△ADB中,∴△AEC≌△ADB,∴BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.5.AE=EC(答案不唯一)[解析] 根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,又∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠BCE.所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;根据ASA可添加AE=CE.故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.6.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=2.7.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.8.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.在△ABF和△ACD中,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF. (2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD, ∴∠FAB=∠DAC.∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,∴∠EAF=∠BAD.在△AEF和△ABD中,∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2018·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.[2017·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T6-3|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2017·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.图T6-45.已知:如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.图T6-5|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图T6-67.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.图T6-78.[2018·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图T6-8参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下: ∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD, ∵DG=BG,∴EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ADF=∠ABE=90°.在△ADF与△ABE中,∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,∴△ADF≌△ABE.(2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,∴AE=,ED==5,∵S△AED=AD×BA=ED×AH,∴AH===1.8.∴在Rt△AHE中,EH==2.6,∴tan∠AED===.8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE+∠ABH=90°,∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF===.提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题|类型1| 圆与切线有关的问题1.[2017·南充]如图T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E 为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CF=2,DF=4,求☉O直径的长.图T7-12.[2018·沈阳]如图T7-2,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图T7-2|类型2| 圆与平行四边形结合的问题3.如图T7-3,AB是半圆O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为半圆O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-34.如图T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM 于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;②连接OD,OE,当∠A的度数为时,四边形ODME是菱形.图T7-4|类型3| 圆与三角函数结合的问题5.[2017·咸宁]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AE=4,cos A=,求DF的长.图T7-56.[2018·金华、丽水]如图T7-6,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tan B=,求☉O的半径.图T7-6|类型4| 圆与相似三角形结合的问题7.[2017·天门]如图T7-7,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE,CB,AC.。

提分专练(一)实数混合运算与代数式的化简求值|类型1| 实数的混合运算1.[2017·盐城]计算:+-1-20170.2.[2017·益阳]计算:|-4|-2cos60°+(-)0-(-3)2.3.[2017·长沙]计算:|-3|+(π-2017)0-2sin30°+-1.4.[2017·东营]计算:6cos45°+-1+(-1.73)0+|5-3|+42017×(-0.25)2017.|类型2| 整式的化简求值5.已知x-2y=-3,求(x+2)2-6x+4y(y-x+1)的值.6.[2018·邵阳]先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=.|类型3| 分式的化简求值7.[2017·泰安]先化简,再求值:2-÷,其中x=3,y=-4.8.[2018·巴中]先化简1-·,再在1,2,3中选取一个适当的数代入求值.9.[2018·烟台]先化简,再求值:1+÷,其中x满足x2-2x-5=0.|类型4| 与二次根式有关的化简求值10.[2017·湖州]计算:2×(1-)+.11.[2017·邵阳]先化简·+,再在-3,-1,0,,2中选择一个合适的x值代入求值.12.[2017·西宁]先化简,再求值:-m-n÷,其中m-n=.13.[2017·凉山州]先化简,再求值:1-÷,其中a,b满足(a-)2+=0.参考答案1.[解析] 分别化简,-1,20170,然后再计算.解:原式=2+2-1=3.2.解:原式=4-2×+1-9=-5.3.解:原式=3+1-1+3=6.4.解:原式=6×+3+1+5-3+(-1)2017=3+3+1+5-3-1=8.5.解:(x+2)2-6x+4y(y-x+1)=x2+4x+4-6x+4y2-4xy+4y=x2+4y2-2x+4-4xy+4y=x2-4xy+4y2-(2x-4y)+4=(x-2y)2-2(x-2y)+4,当x-2y=-3时,原式=(-3)2-2×(-3)+4=19.6.解:原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab.当a=-2,b=时,原式=4ab=4×(-2)×=-4.7.解:2-÷=2-·=2-=.当x=3,y=-4时,原式===3.8.解:原式=·=,选x=2代入得原式==-2.9.解:1+÷=÷=·=x(x-2)=x2-2x.∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,∴原式=5.10.[解析] 实数的混合运算,先乘除后加减,然后进行二次根式的化简,最后合并同类二次根式.解:原式=2-2+2=2.11.解:原式=·+=+=x,当x=-1时,原式=-1.(或当x=时,原式=)12.解:原式=÷m2=-÷m2=×==-.当m-n=时,原式=-=-.13.解:1-÷=1-·=1-==-.∵a,b满足(a-)2+=0,∴a-=0,b+1=0,∴a=,b=-1,当a=,b=-1时,原式=-=.提分专练(二)解方程(组)与解不等式(组)|类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:2.已知关于x,y的方程组的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程3.[2018·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.4.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.5.当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.|类型3| 解分式方程6.[2018·柳州]解方程:=.7.[2018·南宁]解分式方程:-1=.8.[2017·泰州]解分式方程:+=1.|类型4| 解一元一次不等式(组)9.[2018·桂林]解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.10.[2018·天津]解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得.(2)解不等式②,得.(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.图T2-1(4)原不等式组的解集为.11.[2017·北京]解不等式组:12.[2018·黄冈]求满足不等式组的所有整数解.参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为2.解:①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18,解得y=-2a+4,∴原方程组的解是∵x>0,y>0,∴由⑤得a>-,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-<a<2.3.解:解法一:移项,得3x2-2x=2,配方,得3x-2=,解得x1=,x2=.解法二:因为a=3,b=-2,c=-2,所以Δ=(-2)2-4×3×(-2)=4+24=28.所以x=,所以x1=,x2=.4.解:原式=(x-1)÷=(x-1)·=-x-1.由x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.当x=-2时,原式=1.5.解:由解得2<x<4.解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.∵2<<3,∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.∴x=1+.6.解:去分母,得2(x-2)=x,去括号、移项、合并同类项,得:x=4.检验:当x=4时,x(x-2)=4×2=8≠0,故x=4是原分式方程的根.7.解:方程两边同乘3(x-1),得3x-3(x-1)=2x,解得x=1.5.检验:当x=1.5时,3(x-1)≠0,∴原分式方程的解为x=1.5.8.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.9.解:去分母,得5x-1<3(x+1),去括号,得5x-1<3x+3,解得x<2,它的解集在数轴上表示如下图:10.解:(1)x≥-2(2)x≤1(3)如图所示.(4)-2≤x≤111.解:由①得:x<3,由②得:x<2,∴不等式组的解集为x<2.12.解:解x-3(x-2)≤8,得x≥-1;解x-1<3-x,得x<2.所以不等式组的解集为-1≤x<2,其中所有的整数解为-1,0,1.提分专练(三)一次函数与反比例函数综合1.[2018·济宁]如图T3-1,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是.图T3-12.[2018·安顺]如图T3-2,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>的解集是x<-2或0<x<1,其中正确结论的序号是.图T3-23.[2018·广州]一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是()图T3-34.如图T3-4,已知反比例函数y=的图象与直线y=-x+b都经过点A(1,4),且该直线与x轴的交点为B.(1)求反比例函数和直线的解析式;(2)求△AOB的面积.图T3-45.[2018·遂宁]如图T3-5所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A,B两点,过点A作AD⊥x轴于D,AD=4,sin∠AOD=,且点B的坐标为(n,-2).(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)E是y轴上一点,且△AOE是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的E点坐标.图T3-56.[2017·内江]如图T3-6,已知A(-4,2),B(n,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象上的两个交点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出不等式kx+b->0的解集.图T3-67.[2018·菏泽]如图T3-7,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC∶OA=2∶5.(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;(2)直接写出关于x的不等式>kx+b的解集.图T3-78.[2017·黄冈]已知:如图T3-8,一次函数y=-2x+1与反比例函数y=的图象有两个交点A(-1,m)和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,-2),连接DE.(1)求k的值;(2)求四边形AEDB的面积.图T3-8参考答案1.2-2[解析] 根据直线y=kx+b与两坐标轴分别交于B,C两点,则点B的坐标为-,0,点C的坐标为(0,b),而△BOC的面积为4,则··b=4,即k=,则直线的表达式为y=x+b.设点A的坐标为m,,则·m+b=,即b2m2+8bm=32,解得bm=4-4(负值舍去),∵S△COD= CO·DO=bm=2-2,因此本题答案为2-2.2.②③④[解析] 由图象知,k1<0,k2<0,∴k1k2>0,故①错误;把A(-2,m),B(1,n)代入y=中得k2=-2m=n,∴m+n=0,故②正确;把A(-2,m),B(1,n)代入y=k1x+b中得解得∵-2m=n,∴y=-mx-m.∵直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,∴P(-1,0),Q(0,-m).∴OP=1,OQ=m.∴S△AOP=m,S△BOQ=m,即S△AOP=S△BOQ,故③正确;由图象知,不等式k1x+b>的解集是x<-2或0<x<1,故④正确.故②③④正确.3.A[解析] 由选项A,B中直线的位置,可知a>0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b<0,从而a-b>0,反比例函数图象应该在第一、三象限,故选项B错误;由选项C,D中直线的位置,可知a<0,b>0,而当x=-1时,y=-a+b>0,从而a-b<0,反比例函数图象应该在第二、四象限,故选项C,D错误.故答案为A.4.解:(1)把(1,4)代入y=,得k=1×4=4,所以反比例函数的解析式为y=.把(1,4)代入y=-x+b,得-1+b=4,解得b=5,所以直线的解析式为y=-x+5.(2)当y=0时,-x+5=0,解得x=5,则B(5,0),所以△AOB的面积为×5×4=10.5.解:(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A,B两点,且AD⊥x轴于D,∴∠ADO=90°,在Rt△ADO中,AD=4,sin∠AOD=,∴=,∴AO=5,由勾股定理得:DO===3,∴A(-3,4),把A(-3,4)代入y=中得m=-12,∴反比例函数的解析式为y=-.又∵B点在反比例函数y=-的图象上,∴n×(-2)=-12,∴n=6,∴B(6,-2),把A(-3,4),B(6,-2)代入y=kx+b中得解得∴一次函数的解析式为y=-x+2.(2)E点坐标分别为E1(0,8),E2(0,5),E3(0,-5),E40,.6.解:(1)把A(-4,2)代入y=,得m=2×(-4)=-8.所以反比例函数的解析式为y=-.把B(n,-4)代入y=-,得-4n=-8,解得n=2.把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b,得解得所以一次函数的解析式为y=-x-2.(2)在y=-x-2中,令y=0,则x=-2,即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0),∴OC=2.∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6.(3)由图可得,不等式kx+b->0的解集为x<-4或0<x<2.7.解:(1)∵A(5,0),∴OA=5.∵OC∶OA=2∶5,∴OC=2,∴C(0,-2).∵B(0,3),BD=OC,∴D(-2,3).∵D(-2,3)在反比例函数y=的图象上,∴3=,∴a=-6,∴反比例函数的表达式为y=-.由A(5,0),C(0,-2)在直线y=kx+b上,得解得∴一次函数的表达式为y=x-2.(2)x<0.理由:两函数表达式组成方程组,得整理得x2-5x+15=0,∵Δ=(-5)2-4×15=25-60=-35<0,∴一元二次方程x2-5x+15=0无实数根,即反比例函数y=-与一次函数y=x-2的图象无交点.∴当x<0时,反比例函数y=-的图象在一次函数y=x-2的图象的上方;当x>0时,反比例函数y=-的图象在一次函数y=x-2的图象的下方;∴不等式>kx+b的解集是x<0.8.解:(1)将点A(-1,m)代入一次函数y=-2x+1得,-2×(-1)+1=m,∴m=3.∴A点的坐标为(-1,3).将A(-1,3)代入y=得,k=(-1)×3=-3.(2)如图,设直线AB与y轴相交于点M,则点M(0,1).∵点D(0,-2),∴MD=3.又∵A(-1,3),AE∥y轴,∴E(-1,0),AE=3.∴AE∥MD,AE=MD.∴四边形AEDM为平行四边形.∵BD∥x轴,且D(0,-2),∴把y=-2代入y=-2x+1,得x=,∴B,-2.∴S四边形AEDB=S△MDB+S平行四边形AEDM=××3+3×1=.提分专练(四)二次函数小综合|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?|类型2| 二次函数与直线的综合2.[2018·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.|类型3| 二次函数与三角形的综合3.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.4.[2017·齐齐哈尔]如图T4-1,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C,连接BC交抛物线的对称轴于点E,D是抛物线的顶点.(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点C和点D的坐标;(3)若点P在第一象限内的抛物线上,且S△ABP=4S△COE,求P点坐标.注:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为-,.图T4-1|类型4| 二次函数与平行四边形的综合5.如图T4-2,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标.图T4-2|类型5| 二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系xOy中,A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化后得到如图T4-3所示的△BCD.(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)连接AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,求此时点P的坐标.图T4-3参考答案1.解:(1)证明:证法一:∵(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,∴方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.∴不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.证法二:∵a=1>0,∴该函数的图象开口向上.又∵y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,∴该函数的图象在x轴的上方.∴不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此这个函数的图象与x轴只有一个公共点.∴把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.2.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥或a<-或a=-1.3.解:(1)证明:联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中Δ=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO,BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-,x2=1+.设直线l与y 轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以S△ABO=S△AOC+S△BOC=·OC·|x A|+·OC·|x B|=·OC·|x A-x B|=×1×2=.4.解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵x=0时,y=3,∴点C的坐标为(0,3).∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,∴点D的坐标为(1,4).(3)设点P(x,y),其中x>0,y>0,∵S△COE=×3×1=,S△ABP=×4y=2y,S△ABP=4S△COE,∴2y=4×,∴y=3.∴-x2+2x+3=3,解得x=2(x=0舍去).∴点P的坐标为(2,3).5.解:(1)B(4,0),C(0,3).抛物线的解析式为y=-x2+x+3.顶点D的坐标为1,.(2)把x=1代入y=-x+3,得y=,∴DE=-=.∵点P为第一象限内抛物线上一点,∴可设点P的坐标为m,-m2+m+3,则点F的坐标为m,-m+3.若四边形DEFP为平行四边形,则PF=DE,∴-m2+m+3--m+3=,解得m1=3,m2=1(不合题意,舍去).∴当点P的坐标为3,时,四边形DEFP为平行四边形.6.解:(1)∵A(0,2),B(-1,0),将△ABO经过旋转、平移等变化得到△BCD,∴BD=OA=2,CD=OB=1,∠BDC=∠AOB=90°.∴C(1,1).设经过A,B,C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则有解得:a=-,b=,c=2.∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.(2)如图所示,设直线PC与AB交于点E.∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分,∴=或=3,过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.∴△BEF∽△BAO,∴==.∴当=时,==,∴EF=,BF=,∴E-,.设直线PC的解析式为y=mx+n,则可求得其解析式为y=-x+, ∴-x2+x+2=-x+,∴x1=-,x2=1(舍去),∴P1-,.当=3时,同理可得P2-,.提分专练(五)与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE ⊥AB,AE=CE.求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.图T5-12.[2017·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.图T5-23.[2017·呼和浩特]如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图T5-34.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-4|类型2| 全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件,使△AEH≌△CEB.图T5-56.如图T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.图T5-6|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-78.如图T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-8参考答案1.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,∴∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中,∴△AEF≌△CEB(ASA).(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD.∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC,∴AF=2CD.2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.3.解:(1)证明:∵AB,AC为等腰三角形的两腰,∴AB=AC.∵BD,CE分别是两腰上的中线,∴AE=AD.在△AEC与△ADB中,∴△AEC≌△ADB,∴BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.5.AE=EC(答案不唯一)[解析] 根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,又∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠BCE.所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;根据ASA可添加AE=CE.故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.6.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=2.7.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形, ∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.8.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.在△ABF和△ACD中,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF. (2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD, ∴∠FAB=∠DAC.∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,∴∠EAF=∠BAD.在△AEF和△ABD中,∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2018·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.[2017·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T6-3|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2017·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.图T6-45.已知:如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.图T6-5|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图T6-67.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.图T6-78.[2018·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图T6-8参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下: ∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD, ∵DG=BG,∴EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ADF=∠ABE=90°.在△ADF与△ABE中,∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,∴△ADF≌△ABE.(2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,∴AE=,ED==5,∵S△AED=AD×BA=ED×AH,∴AH===1.8.∴在Rt△AHE中,EH==2.6,∴tan∠AED===.8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE+∠ABH=90°,∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF===.提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题|类型1| 圆与切线有关的问题1.[2017·南充]如图T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E 为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CF=2,DF=4,求☉O直径的长.图T7-12.[2018·沈阳]如图T7-2,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图T7-2|类型2| 圆与平行四边形结合的问题3.如图T7-3,AB是半圆O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为半圆O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-34.如图T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM 于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;②连接OD,OE,当∠A的度数为时,四边形ODME是菱形.图T7-4|类型3| 圆与三角函数结合的问题5.[2017·咸宁]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AE=4,cos A=,求DF的长.图T7-56.[2018·金华、丽水]如图T7-6,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tan B=,求☉O的半径.图T7-6|类型4| 圆与相似三角形结合的问题7.[2017·天门]如图T7-7,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE,CB,AC.。

超级资源(共8套69页)云南省2019中考数学总复习提分专练汇总提分专练(一)实数混合运算与代数式的化简求值|类型1| 实数的混合运算1.[2017·盐城]计算:+-1-20170.2.[2017·益阳]计算:|-4|-2cos60°+(-)0-(-3)2.3.[2017·长沙]计算:|-3|+(π-2017)0-2sin30°+-1.4.[2017·东营]计算:6cos45°+-1+(-1.73)0+|5-3|+42017×(-0.25)2017.|类型2| 整式的化简求值5.已知x-2y=-3,求(x+2)2-6x+4y(y-x+1)的值.6.[2018·邵阳]先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=.|类型3| 分式的化简求值7.[2017·泰安]先化简,再求值:2-÷,其中x=3,y=-4.8.[2018·巴中]先化简1-·,再在1,2,3中选取一个适当的数代入求值.9.[2018·烟台]先化简,再求值:1+÷,其中x满足x2-2x-5=0.|类型4| 与二次根式有关的化简求值10.[2017·湖州]计算:2×(1-)+.11.[2017·邵阳]先化简·+,再在-3,-1,0,,2中选择一个合适的x值代入求值.12.[2017·西宁]先化简,再求值:-m-n÷,其中m-n=.13.[2017·凉山州]先化简,再求值:1-÷,其中a,b满足(a-)2+=0.参考答案1.[解析] 分别化简,-1,20170,然后再计算.解:原式=2+2-1=3.2.解:原式=4-2×+1-9=-5.3.解:原式=3+1-1+3=6.4.解:原式=6×+3+1+5-3+(-1)2017=3+3+1+5-3-1=8.5.解:(x+2)2-6x+4y(y-x+1)=x2+4x+4-6x+4y2-4xy+4y=x2+4y2-2x+4-4xy+4y=x2-4xy+4y2-(2x-4y)+4=(x-2y)2-2(x-2y)+4,当x-2y=-3时,原式=(-3)2-2×(-3)+4=19.6.解:原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab.当a=-2,b=时,原式=4ab=4×(-2)×=-4.7.解:2-÷=2-·=2-=.当x=3,y=-4时,原式===3.8.解:原式=·=,选x=2代入得原式==-2.9.解:1+÷=÷=·=x(x-2)=x2-2x.∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,∴原式=5.10.[解析] 实数的混合运算,先乘除后加减,然后进行二次根式的化简,最后合并同类二次根式.解:原式=2-2+2=2.11.解:原式=·+=+=x,当x=-1时,原式=-1.(或当x=时,原式=) 12.解:原式=÷m2=-÷m2=×==-.当m-n=时,原式=-=-.13.解:1-÷=1-·=1-==-.∵a,b满足(a-)2+=0,∴a-=0,b+1=0,∴a=,b=-1,当a=,b=-1时,原式=-=.提分专练(二)解方程(组)与解不等式(组)|类型1| 解二元一次方程组1.解方程组:2.已知关于x,y的方程组的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.|类型2| 解一元二次方程3.[2018·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.4.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.5.当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.|类型3| 解分式方程6.[2018·柳州]解方程:=.7.[2018·南宁]解分式方程:-1=.8.[2017·泰州]解分式方程:+=1.|类型4| 解一元一次不等式(组)9.[2018·桂林]解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.10.[2018·天津]解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得.(2)解不等式②,得.(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.图T2-1(4)原不等式组的解集为.11.[2017·北京]解不等式组:12.[2018·黄冈]求满足不等式组的所有整数解.参考答案1.解:①+②得4x=4,∴x=1.将x=1代入①,得y=2.∴原方程组的解为2.解:①×3,得15x+6y=33a+54,③②×2,得4x-6y=24a-16,④③+④,得19x=57a+38,解得x=3a+2.把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18,解得y=-2a+4,∴原方程组的解是∵x>0,y>0,∴由⑤得a>-,由⑥得a<2,∴a的取值范围是-<a<2.3.解:解法一:移项,得3x2-2x=2,配方,得3x-2=,解得x1=,x2=.解法二:因为a=3,b=-2,c=-2,所以Δ=(-2)2-4×3×(-2)=4+24=28.所以x=,所以x1=,x2=.4.解:原式=(x-1)÷=(x-1)·=-x-1.由x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2.当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.当x=-2时,原式=1.5.解:由解得2<x<4.解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.∵2<<3,∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.∴x=1+.6.解:去分母,得2(x-2)=x,去括号、移项、合并同类项,得:x=4.检验:当x=4时,x(x-2)=4×2=8≠0,故x=4是原分式方程的根.7.解:方程两边同乘3(x-1),得3x-3(x-1)=2x,解得x=1.5.检验:当x=1.5时,3(x-1)≠0,∴原分式方程的解为x=1.5.8.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,移项、合并同类项,得2x=2,系数化为1,得x=1.经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.9.解:去分母,得5x-1<3(x+1),去括号,得5x-1<3x+3,解得x<2,它的解集在数轴上表示如下图:10.解:(1)x≥-2(2)x≤1(3)如图所示.(4)-2≤x≤111.解:由①得:x<3,由②得:x<2,∴不等式组的解集为x<2.12.解:解x-3(x-2)≤8,得x≥-1;解x-1<3-x,得x<2.所以不等式组的解集为-1≤x<2,其中所有的整数解为-1,0,1.提分专练(五)与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE ⊥AB,AE=CE.求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.图T5-12.[2017·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.图T5-23.[2017·呼和浩特]如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图T5-34.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-4|类型2| 全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件,使△AEH≌△CEB.图T5-56.如图T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.图T5-6|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-78.如图T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-8参考答案1.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,∴∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中,∴△AEF≌△CEB(ASA).(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD.∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC,∴AF=2CD.2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.3.解:(1)证明:∵AB,AC为等腰三角形的两腰,∴AB=AC.∵BD,CE分别是两腰上的中线,∴AE=AD.在△AEC与△ADB中,∴△AEC≌△ADB,∴BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.5.AE=EC(答案不唯一)[解析] 根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,又∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠BCE.所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;根据ASA可添加AE=CE.故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.6.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=2.7.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.8.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.在△ABF和△ACD中,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC.∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,∴∠EAF=∠BAD.在△AEF和△ABD中,∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型1| 以矩形为背景的问题1.[2018·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.图T6-12.[2017·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△DCA≌△EAC;(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.图T6-23.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.(1)求证:△ABD≌△CAE.(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.图T6-3|类型2| 以菱形为背景的问题4.[2017·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.图T6-45.已知:如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.图T6-5|类型3| 以正方形为背景的问题6.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图T6-67.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.图T6-78.[2018·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.图T6-8参考答案1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.(2)BC=2CD.理由:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45°,∵∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.2.解:(1)证明:在△DCA和△EAC中,∴△DCA≌△EAC(SSS).(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下: ∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵CE⊥AE,∴∠E=90°,由(1)得:△DCA≌△EAC,∴∠D=∠E=90°,∴四边形ABCD为矩形.3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD.∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中,∴Rt△ABD≌Rt△CAE.(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,又AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB.4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,∴BC=ED,∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1,∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∵AE=CF,∴DE=BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD, ∵DG=BG,∴EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)四边形AECF是菱形.理由:连接AC交BD于点O,图略.则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.又∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形.7.解:(1)证明:正方形ABCD中,AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠ADF=∠ABE=90°.在△ADF与△ABE中,∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,∴△ADF≌△ABE.(2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,∴AE=,ED==5,∵S△AED=AD×BA=ED×AH,∴AH===1.8.∴在Rt△AHE中,EH==2.6,∴tan∠AED===.8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∵BH⊥AE,垂足为点H,∴∠BAE+∠ABH=90°,∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE和△BCF中,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)∵△ABE≌△BCF,∴CF=BE=2,∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD-CF=5-2=3.在Rt△ADF中,AF===.提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题|类型1| 圆与切线有关的问题1.[2017·南充]如图T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E 为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CF=2,DF=4,求☉O直径的长.图T7-12.[2018·沈阳]如图T7-2,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图T7-2|类型2| 圆与平行四边形结合的问题3.如图T7-3,AB是半圆O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为半圆O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-34.如图T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM 于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;②连接OD,OE,当∠A的度数为时,四边形ODME是菱形.图T7-4|类型3| 圆与三角函数结合的问题5.[2017·咸宁]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E 两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AE=4,cos A=,求DF的长.图T7-56.[2018·金华、丽水]如图T7-6,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tan B=,求☉O的半径.图T7-6|类型4| 圆与相似三角形结合的问题7.[2017·天门]如图T7-7,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE,CB,AC.(1)求证:CE=CB;(2)若AC=2,CE=,求AE的长.图T7-78.如图T7-8,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm.(1)求证:BO⊥CO;(2)求BE和CG的长.图T7-8参考答案1.[解析] (1)连接OD,欲证DE是☉O的切线,需证OD⊥DE,即需证∠ODE=90°,而∠ACB=90°,连接CD,根据“等边对等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,进而得出∠ODE=90°,从而得证.(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解:(1)证明:连接OD,CD.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.∴∠BDC=90°.又E为BC的中点,∴DE=BC=CE.∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴∠ODE=90°.∴DE是☉O的切线.(2)设☉O的半径为x.在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,即x2+42=(x+2)2,解得x=3.∴☉O的直径为6.2.解:(1)如图,连接OA,∵AC为☉O的切线,OA是☉O半径,∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°,∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,3∠C=90°,∠C=30°.∴OA=OC.设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r=(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.3.解:(1)证明:如图,连接OD,∵点C,D为半圆O的三等分点,∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形,∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为半圆O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:∵OD=OC,∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形,∴CD=CO.同理:AD=AO.∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,∴四边形AOCD为菱形.4.解:(1)证明:在Rt△ABC中,∵点M是AC的中点,∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形,又∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可证:∠MED=∠A,∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.(2)①2[解析] 由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB,∴=,又AD=2DM,∴=,∴=,∴DE=2.②60°[解析] 当∠A=60°时,△AOD是等边三角形,这时易证∠DOE=60°,△ODE和△MDE都是等边三角形,且全等,∴四边形ODME是菱形.5.解:(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.又∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∴∠ODF=∠DFC=90°,∴DF是☉O的切线.(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G.∴AG=AE=2.∵cos A=,∴OA==5,∴OG==.∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,∴四边形OGFD是矩形,∴DF=OG=.6.解:(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△ABC中,AC=BC·tan B=8×=4,∴AB===4.∴OA=4-r.在Rt△ACD中,tan∠1=tan B=,∴CD=AC·tan∠1=4×=2,∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,∴(4-r)2=r2+20.解得r=.故☉O的半径是.7.解:(1)证明:连接OC,∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3.又∵OA=OC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴CE=CB.(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AC=2,CB=CE=,∴AB===5.∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2,∴△ADC∽△ACB.∴==,即==,∴AD=4,DC=2.在Rt△DCE中,DE===1,∴AE=AD-ED=4-1=3.8.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.(2)如图,连接OF,则OF⊥BC.∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴=.∵在Rt△BOC中,BO=6 cm,CO=8 cm,∴BC==10(cm),∴=,∴BF=3.6 cm.∵AB,BC,CD分别与☉O相切,∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF.∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),∴CG=CF=6.4 cm.提分专练(八)统计与概率|类型1| 统计图与概率的相关计算1.[2018·达州]为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况,随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车,E:其他”五个选项中选择最常用的一项,将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合统计图回答下列问题.(1)本次调查中,一共调查了名市民,扇形统计图中,B项对应的扇形圆心角是度,补全条形统计图;(2)若甲、乙两人上班时从A,B,C,D四种交通工具中随机选择一种,请用列表法或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.图T8-12.[2018·泸州]为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取n名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图T8-2所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:(1)求n的值;(2)若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.图T8-2|类型2| 统计表与概率的相关计算3.[2018·枣庄]现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况,将数据进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):图T8-3根据以上信息,解答下列问题:(1)写出a,b,c,d的值,并补全频数分布直方图.(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步)的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步以上(包含20000步)的概率.4.[2017·苏州]初一(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目),并根据调查结果列出统计表,绘制成扇形统计图.男、女生所选项目人数统计表图T8-4根据以上信息解决下列问题:(1)m= ,n= ;(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为°;(3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.参考答案1.解:(1)2000;54,补全条形统计图如图:(2)列表法:画树状图的方法:从上面的表格(或树状图)可以看出,所有可能的结果共有16种,且每种结果出现的可能性相同,其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的有4种,即(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),∴P(甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班)==.2.解:(1)n=5÷10%=50(人).(2)喜爱看电视的百分比:(50-15-20-5)÷50×100%=20%,该校喜爱看电视的人数为1200×20%=240(人).(3)设三名男生为男A,男B,男C,从这4名学生中任意抽取2名学生,所有可能的情况如下表:由表可知,总共有12种可能的结果,每种结果的可能性都相同,其中,抽到两名男生的结果有6种,所以P(抽到两名男生)==.3.解:(1)a=0.16,b=0.24,c=10,d=2.补全频数分布直方图如下图:(2)×100%=30%,37800×30%=11340(人),即估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有11340名.(3)设16000≤x<20000的三名教师分别为A,B,C,20000≤x<24000的两名教师分别为X,Y,列表如下:从表中可知,选取日行走步数超过16000步(包括16000步)的两名教师与大家分享心得,共有20种情况,其中被选取的两名教师恰好都在20000步以上(包含20000步)的有2种情况,所以=,即被选取的两名教师恰好都在20000步以上(包含20000步)的概率是.4.解:(1)m=8,n=3;(2)144;(3)将选航模项目的2名男生编上号码1,2,将2名女生编上号码3,4.用表格列出所有可能出现的结果:由表格可知,共有12种可能出现的结果,并且它们都是等可能的,其中“1名男生、1名女生”有8种可能的结果.∴P(所选取2名学生中恰有1名男生、1名女生)==.提分专练(三)一次函数与反比例函数综合1.[2018·济宁]如图T3-1,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是.图T3-12.[2018·安顺]如图T3-2,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>的解集是x<-2或0<x<1,其中正确结论的序号是.图T3-23.[2018·广州]一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是。