直线与圆位置关系解题探索

直线和圆的位置关系教学设计教学目标：1．经历探索直线和圆位置关系的过程．2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．3．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．4．通过数形结合、分类、类比、化归等数学思想，培养学生思维的严谨性和深刻性．教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定．教学难点：（1）利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系．（2）运用切线的性质定理解决问题．教学过程：回顾旧知；1、复习：我们已经学过了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有哪几种？（1）,rd=点在圆上（3）,rd<点在圆内．d>点在圆外（2）,r利用类比的方法学习本节课的内容，板书：直线和圆的位置关系2、动手操作动手画一个圆与一条直线，观察他们的公共点的个数。

3、观察三幅太阳日出的动画,地平线与太阳的位置关系是怎样的?这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?从直线与圆交点个数这一角度，如何对对直线与圆的位置关系进行分类？ （1）直线和圆有两个交点（2）直线和圆有一个交点（3）直线和圆没有交点．当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.尝试练习：●O ●O●O如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？有没有其他的办法来判断“直线与圆的位置关系”呢？“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？（学生合作探究，讨论生成）2.数量关系d表示圆心O到直线L的距离，r表示⊙O的半径当d>r时，直线L与⊙O相离当d=r时，直线L与⊙O相切当d<r时，直线L与⊙O相交对应练习：归纳概括：如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 d<r；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 d>r．应用：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r 为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，∵，∴AB·CD=AC·BC，∴（cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．拓展练习：思考: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。

圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。

本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。

一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。

直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。

2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。

在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。

例如，图中的直线AB位于圆O的内部。

3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。

直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。

例如，图中的直线AB切圆O于点C。

4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。

在这种情况下，直线与圆没有交点。

例如，图中的直线AB位于圆O的外部。

二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。

直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。

如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。

2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。

设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。

将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。

通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。

3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。

直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。

当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。

4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。

教法章建跃博士提出，有效改进课堂教学要基于理解数学、理解学生、理解教学.在进行市级公开课“直线与圆的位置关系”的教学设计中，笔直更加体会到了这三个理解的重要性.下面就以“直线与圆的位置关系”教学设计谈谈自己的体会.一、教材分析本节课使用教材为《普通高中课程标准试验教科书·数学（必修2）》（苏教版）.本课时是第2章第2节《圆的方程》中第2小节部分.在此之前，学生在初中已经学习了直线与圆的三种位置关系，并能利用公共点的个数或者圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系.在高中已经学习了直线方程、点到直线的距离及圆的方程等基础知识.因此本节课的教学任务是让学生在上述知识的基础上，归纳、总结出判断直线与圆位置关系的两种方法：几何法和代数法.其中几何法是让学生在初中学习的基础上，结合高中所学点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后，比较距离d与半径r的大小从而作出判断.而代数法可以通过类比直线与抛物线交点个数的判断方法引入联合方程组转化为二次方程判别根的“纯代数法”.简单的弦长问题、切线问题作为进一步的拓展提高，也适度地引入课堂教学中，以深化“判断直线与圆的位置关系”为目的.在整个教学过程中让学生深刻理解几何问题代数化的重要性，感受数与形之间的和谐与统一，体会数形结合思想、方程思想等.另外本节的学习为学生后续学习“圆锥曲线与方程”提供了方法和基础.二、教学目标（1）通过知识回顾，构建知识网络.借助学生填表，唤醒直线与圆的位置关系的两种判定方法.（2）通过典例，师生互动，丰富“代数法”与“几何法”在求解“直线与圆的位置关系问题”的情感体验，感悟“函数与方程”和“数形结合”思想在解题中的应用.（3）通过对圆的切线形态的探究，学会类比联想，尝试类比迁移，丰富探究活动.三、教学重点与难点重点：（1）直线与圆的位置关系的判定及其应用；（2）圆的切线方程的拓展与延伸（类比迁移）及其应用.难点：圆的切线方程的拓展与延伸（类比迁移）.四、教学过程设计（一）创设题境，复习引入回顾初中知识如何判断直线与圆的位置关系，并完成下面表格.位置关系定义图形判定方法相交有两个公共点d＜r 相切有且只有一个公共点d=r 相离没有公共点d＞r设计意图：数学可以看成是来自生活世界的数学抽象，也可以看成是数学自身逻辑的产物.通过唤起学生的记忆，构建基本的知识框架，初步体会数形结合，丰富“生”动机会.教师提出问题，以问题为驱动器和抓手，引导学生回顾，留给学生一定的回忆时间，低起点，增强动口问题驱动、合作探究、深化思维———“直线与圆的位置关系”教学设计筅江苏省苏州工业园区星海实验中学黄志诚4高中版面与参与面，关系由学生说，方法由学生说，填表由学生完成，增强学生动手实践能力.笔者本想采用人教版中船是否触礁来作为引入，其用意是让学生认识“数学来源于生活”，它是具体的，就在我们身边，很符合新课程理念.但有时实际情境的引入，可能对学生学习新知识会带来负迁移.船是否触礁问题是应用题，学生本身对应用题就比较怕，学生对如何把实际问题转化为数学问题有较大的难度.同时该题目首先要建立直角坐标系，建系的选择又给解决该题增加了其他的不确定因素.所以按教材来教，反而会增加学生学习新知识的负担.所以教师应该充分考虑学生已有的知识经验，寻找新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，恰当地设计教学.（二）提出问题，自主探究1.直线与圆的位置关系的判断探究问题1：已知直线l：4x+3y=40和圆心为C的圆x2+y2= 100，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标.设计意图：刚刚引入已复习了初中判断直线与圆的位置的判断方法———比较d与半径r的大小.圆心到直线的距离d，自然而然地想到高中刚刚学习的距离公式求出d.该判断方法应该是学生最容易想到的.教师要理解学生，也就是说不仅要了解学生要学习什么，还要了解学生已经学习了哪些知识和将要学习什么知识，进而如何建立起它们之间的联系.只有弄清楚了这些关系，才能准确地进行教学预设，才知道该教什么，该教到什么程度，该怎么教.正因为如此，先讲几何法，再讲代数法（课本恰好相反）来判断直线与圆的位置关系更适合学生的最近发展区.师生活动：引导学生如何求出d，并解答如下：圆C的方程为x2+y2=100，圆心的坐标C（0，0），半径r= 10，设点C到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式有d=|4×0+3×0-40|32+42摇姨=8<10.所以直线l与圆相交，有两个公共点.教师设问：还有其他方法判断吗？（教师可以提示，初中直线和抛物线交点个数是如何判断的）通过类比初中判断直线和抛物线交点个数的方法，引导学生用方程思想来判断直线和圆的交点个数，并求出交点坐标.问题2：由问题1的解答，同学们能总结出判断直线与圆的位置关系的方法和步骤吗？师生活动：归纳、总结如下：几何方法代数方法确定圆的圆心坐标和半径r计算圆心到直线的距离d判断d与圆半径r的大小关系把直线方程代入圆的方程得到一元二次方程求出Δ的值Δ＞0，直线与圆相交Δ=0，直线与圆相切Δ＜0，直线与圆相离d＞r，直线与圆相离d=r，直线与圆相切d＜r，直线与圆相交设计意图：以渐进式的问题为载体，从学生知识结构的“最近发展区”入手，引导学生展示思维活动过程，设置解题悬念，搭建让学生充分展示自己的舞台，让学生主动参与合作学习，鼓励团队协作，教师适时点拔，鼓励学生积极探究，教师的设计能很好地体现知识的发生发展过程，既培养了学生的发散思维能力，又有利于学生优化选择意识的形成.让学生自己建构出判断直线与圆的位置关系的两种方法———几何法、代数法，并对比这两种方法的优缺点.问题解决后的反思旨在引导学生欣赏这个几何问题及感悟问题解决过程中蕴含的解析几何思想和用坐标法解决几何问题的优缺点，以实现思维“内化”与“优化”.2.直线与圆的位置关系的拓展探究变式：直线l过点A（2，0），圆C：x2+y2-2y-4=0.（1）过点A的直线与圆C有几种位置关系？（2）若直线l与圆相交所截得弦长|AB|为10摇姨，求直线l的方程.思考：能不能从图形上解释为什么有两条直线？（3）若直线l与圆相切，求直线l的方程.设计意图：把课本例2和例3整合到问题1的变式中，并通过变式中第一问巩固判断直线与圆的位置关系的方法.并通过图形，找出由半弦长12|AB|、弦心距d及半径r所组成的直角三角形，从而列出弦长的表达式d2=r2-|AB|2姨姨2，让学生发现图形的几何性质在解决弦长问题中带来的简便，感悟数形结合思想在解决解析几何中的巨大作用.“思考”的设计主要是从“形”上解释为什么直线l的斜率有两个.若有学生提出用联合方程，利用设而不求、根与系数的关系求解也可以，教师借此渗透弦长公式，为以后研究圆锥曲线的弦长问题做铺垫.第三问的设计主要让学生掌握直线与圆相切的问题.5高中版教法（三）学以致用，深化理解师：你能解决下面问题吗？问题1：切线x0x+y0y=r2的拓展与延伸.（1）当点P（x0，y0）在圆O：x2+y2=r2上时表示过该点的圆的切线.试问：点在圆内、圆外时这条直线与圆的位置关系是什么？（2）当点P（x0，y0）在圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2上、内或外时，猜想这条直线与圆的位置关系.问题2：（1）已知集合U={（x，y）|x，y∈R}，P={（x，y）| x cosθ+y sinθ=4，θ∈R}，求C P U的面积.（2）已知集合U={（x，y）|x，y∈R}，P=（x，y）|x cosθ+y sinθ=14，θ∈∈∈R，求C P U的面积.问题3：我们能否对这个结论推广到圆锥曲线？（1）对于椭圆：x2a2+y2b2=1（a>b>0）与直线x0xa2+y0yb2=1.（2）对于双曲线：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）与直线x0xa2-y0yb2=1.设计意图：教师不满足于“就题论题”，也不是采用简单的“练习巩固”，而是通过课本、补充题的练习巩固直线与圆的判断方法及弦长问题的求法.先特殊再一般，探寻结论到尝试证明，归纳出一般性结论，有特殊问题，学生探究获得结构，留够充足时间.通过组织学生进行有意义的探究活动，充分挖掘典型例题的教学资源，围绕“用代数方法所解决几何问题”这一主线，变“知识巩固”为“知识发现”，引导学生在“愤”、“悱”状态下作进一步思考和发现，极大提高了课堂教学的效率和生机.（四）归纳总结，提升认识学生总结直线与圆的位置关系，教师及时补充.设计意图：课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在了解研究内容和研究方法，以及进一步感受研究的意义.尽管高中学生有一定的反思与总结的能力，但采用“问题清单”引导下的学生独立回顾与思考基础上的交互反馈，以及交互反馈基础上的教师总结性讲解的方式可能更有效，如果组织得好，能起跨越性的作用.小结、反思是领悟与内化数学思想方法的重要一环，本节课中当问题得以解决后，教师不失时机地引导学生进行解题的总结和反思.这对于强化数学思想，帮助学生从解题实践上升到理性思考，提高思维层次，扩大思维空间，无疑是十分有益的.五、教学反思1.抓住《标准》，渗透思想解析几何本质是用代数的方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要思想.《普通高中数学课程标准（试验）》指出：“在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法.”在初中已经从“数”（d与r的大小判断圆，只是没有学点到直线的距离公式）和“形”两方面介绍过直线和圆的三种位置关系.高中深化“数”、“形”两方面的研究，即用几何法、代数法进一部揭示直线与圆的位置关系.2.吃透教材，深化思维教材是承载着教师、学生的教学与学习的主要媒介.教材是实现课程目标、实施教学的重要资源和主要依据，它以概括、规范、结论、静止的形式为我们提供了教学内容、学习素材，以及蕴含于其中的丰富的数学思想.教材给教师的教学留下了很多“空间”，教师在备课中遵从教科书的意图，好好利用这些“空间”进行恰当的设计教学，把抽象、概括的学术形态转化为学生容易接受的教育形态.教师在备课时，首先要正确理解教材编写者的意图和教学目标、要求.掌握教材的编排体系和知识结构，以及教材内部联系和规律等.再根据学生实际情况灵活处理教材，设计合理的教学预案.笔者在设计本课时，以教材为蓝本对引入例题进行了恰当的改变、有机整合和适度拓展，从而使教学过程自然，环环相扣，变式合理，层层深入，产生良好效果.3.基于学情，源于理解奥苏伯尔说过，“影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学”.因此教师在教学设计前必须站在学生的角度理解学生的学习心理、理解学生的数学认知特点、理解学生的已有知识基础等.针对这些情况，教学设计时教师必须对每个教学环节都进行认真思考、仔细推敲，看是否符合学生的认知水平，是否从学生已有知识基础出发衔接新知识，新知识学生能否接受，怎么接受，可以接6高中版高中版受到何种程度.例如本节课，笔者根据学生的认知水平采用复习引入，比较符合本校学生的学情，也适合课堂教学.接着在复习的基础上，引导学生利用点到直线的距离公式求出d ，根据几何法判断出直线与圆的位置关系.再引导学生通过类比初中判断直线与抛物线的公共点个数的方法探究出解决直线与圆位置关系的代数法.教学设计建立在学生已有知识基础上，符合学生的认知水平，学生的思维变得顺畅，问题的解决过程也水到渠成，使学生觉得大部分内容都是自己想出来的，悟出来的，而不是教师强加硬给的，使学生对新知识的领悟也更加深刻.只有让学生自己去建构知识才能让学生获得“沉浸体验”.理解教学就是在教学中，教师要根据实际的教学环境、学生的认知水平、学生的已有知识基础等灵活选择教学活动组织方式进行传授数学知识.在教学中，教师是数学活动的设计者、组织者，是学生活动的合作者，是学生思维活动的调控者，是学生动力的激励者.教师在课堂教学中应根据预设组织学生积极参与到问题的探究中去，在思维的碰壁中与学生一起经受挫折与失败的痛苦，在失败中及时发现学生的“亮点”并进行适度调控，找到问题解决的办法，从而一起分享胜利与成功的欢乐，最终达到教书（掌握基本知识、基本技能和基本思想）育人（培养思维能力，发展理性精神）的目的.本节课，教师通过组织学生对初中直线与圆的位置的回顾作为新课引入，在借助所设计的问题1、问题2及变式，引导学生从“数”和“形”两方面去思考、解决直线与圆的位置关系，挖掘问题中蕴含的背景与思想方法，培养学生“主动探索、敢于实践、勇于发现、交流合作的精神”，充分体会几何问题代数化的重要性，符合新课程标准的指导思想，体现新课改的精神，从而收到较好的教学效果.总之，数学教学是数学活动的教学，数学活动应体现在数学思维的活动中，教师应鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，鼓励学生通过自主探索与合作交流，去发现数学的规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.基于这一基本理念，笔者在设计本课时，积极倡导让学生主动参与教学全过程，引导学生展示思维的过程，促进学生思维最大限度的发展.通过创设问题情景、提出问题、解决问题、归纳提炼、巩固应用等过程，帮助学生掌握解决实际问题的具体步骤和用坐标法解决几何问题的程序，对于学生不易想到的解法，不是简单地包办代替，而是“授人以渔”，鼓励学生积极尝试，增强解决问题的欲望，培养学生的能力.同时，让学生通过对教师精心设计的一系列问题的探讨，不断获得成功的体验，感受数学思想方法的无穷魅力，使他们在获得知识、技能、方法的同时，在情感、态度和价值观上也有良好的发展.参考文献：1.中华人民共和国教育部.普通高中课程标准（实验）［M ］.北京：人民教育出版社，2004.2.单墫，主编.普通高中课程标准试验教科书《数学》（必修2）（苏教版）［M ］.南京：江苏凤凰教育出版社，2012.3.章建跃.理解数学理解学生理解教学［J ］.中国数学教育（高中版），2010（12）.7。

专题12直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一判断直线和圆的位置关系】 (1)【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 (3)【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 (5)【考点四判断或补全使直线为切线的条件】 (7)【考点五证明某直线是圆的切线】 (9)【考点六切线的性质定理】 (13)【考点七切线的性质与判定的综合应用】 (15)【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 (22)【过关检测】 (26)【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】A．相离B．相交【答案】C⊥于点C，根据直角三角形的性质，可得【分析】过点P作PC OB∵30O ∠=︒，6OP =，∴132PC OP ==，∵以点P 为圆心的圆的半径为3，∴以点P 为圆心，半径为3的圆与OB 的位置关系是相切．【变式训练】2．（2022秋·九年级单元测试）已知O 的半径是3，点P 在O 上，如果点P 到直线l 的距离是6，那么O 与直线l 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系解答．【详解】如图，当点P 与1P 重合时，O 与直线l 相切；当点P 与1P 不重合时，O 与直线l 相离，∴O 与直线l 的位置关系是相切或相离．故选：D ．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】【变式训练】【答案】15r ≤≤【分析】过M 作MH AC ⊥于H ，根据直角三角形的性质得到关系即可得到结论．∵2CM =，30ACB ∠=︒，∴112HM CM ==，∵5AM =，M 与线段AC 有交点，【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【变式训练】【答案】1544PC <≤或3PC =【分析】根据题意可得PC 的最小值为圆Q ，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．∴PM AD ⊥，在直角梯形ABCD 中，∵AD BC ∥，∴90ABC A ∠=∠=︒，∴四边形ABPM 是矩形，∴3PM AB PC ===，【考点四判断或补全使直线为切线的条件】【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中【变式训练】【答案】1【考点五证明某直线是圆的切线】(1)求证：CD 是O (2)若60BCD ∠=︒，直径【答案】(1)见解析(2)53【分析】（1）连接OD (SAS ODC OBC ≌∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∵AD OC ∥，【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，O 的半径为2，点A 是O 的直径BD 延长线上的一点，C 为O 上的一点，AD CD =，30A ∠=︒．(1)求证：直线AC 是O 的切线；∵AD CD =，30A ∠=︒∴30ACD ∠=︒∴60CDB ∠=︒∵OD OC=作CH BD ⊥于点H ，则DH =(1)求证：AF是圆O的切线；==，连接(2)点G在CE上，且BC CD CG【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据四边形ABCD内接于圆∵BC CD =，∴ BCCD =∴BOC COD ∠=∠，又OB OD=∴BN DN=【考点六切线的性质定理】【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，再根据30︒所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，∴PB 633=-=．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．【变式训练】【答案】30【分析】根据切线的性质得到【详解】解：BC AB BC ∴⊥，【答案】26︒/26度【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：AB 是O 的直径，OA PA ∴⊥，【考点七切线的性质与判定的综合应用】例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点O 在边AC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的圆交边AC 于点D ，交边AB 于点E ，且BC BE =．(1)求证：AB 是O 的切线．(2)若24AE =，15BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为10．【分析】（1）连接OE ，连接BO ，通过证明()SSS BOE BOC △≌△即可进行求证；在OBC △和OBE △中，OE OC BE BC BO BO =⎧⎪=⎨⎪，∵15BE =，24AE =，∴15BC BE ==，AB BE =+∴22239AC AB BC =-=-∴O 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【变式训练】(1)求证：点E 是BF (2)若EC OC =，O 【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）连接BC 等量代换可得EF =（2）解：若EC OC =∴ABF △是等腰直角三角形．O 半径为3，6AB ∴=，∴26AF AB == BC AF⊥(1)求证：AC 是半O 的切线；(2)若CO AO =，4BC =，求半【答案】(1)见解析AD CD，⊥∴∠= ，90D∴∠+∠= ．CAD ACO90∠ ，AOD ∠=∠AOD CAD∴∠=∠，BOC CAD的切线；(1)求证：PC为O(2)若22=，12PC BOPB=，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析(2)3OC∠，平分ABEBC∴∠=∠，ABC CBDQ，OC OB=∴∠=∠，ABC OCB，PCA CBD∠=∠∴∠=∠，PCA OCB是直径，AB∴∠=︒，ACB90ACO OCB∴∠+∠=︒，90∴∠+∠=︒，PCA ACO90∴∠=︒，PCO90OC PC，∴⊥是半径，OC∴是OO的切线；PC（2）解：连接OC，如图，==，设OB OC r，=PC OB22∴=，22PC r【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，O 与90A ∠=︒的Rt ABC △的三边AB BC AC 、、分别相切于点D 、E 、F ，若103BE CF ==，，则O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【分析】连接OD OF ，，首先根据切线长定理得到10BD BE ==，3CE CF ==，然后证明出四边形ADOF 是正方形，然后设AD AF x ==，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接OD OF ，，∵AC AB CB 、、与O 相切，∴10BD BE ==，3CE CF ==，AD AF =，OD AB ⊥，OF AC ⊥，∴90ADO AFO ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴四边形ADOF 是矩形，∴矩形ADOF 是正方形，∴AD OD =，设AD AF x ==，Rt ABC △中，10AB BD AD x =+=+，3AC CF AF x =+==，13BC BE CE =+=，由勾股定理得，222AB AC BC +=，∴()()22210313x x +++=，∴12215x x ==-，（舍去），∴2OD =，故选：D ．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练】【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形,,AF AE BF BD CD CE ===，设OD 的方程，即可求解．【详解】解：∵圆是ABC 的内切圆，的半径．(1)求O△的外心，连接(2)若Q是Rt ABC【答案】(1)1(2)5OQ=2∵O 是ABC 的内切圆，分别切边∴OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC ∴225AB BC AC =+=．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，3为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相切C ．与x 轴相离，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离【答案】B【分析】由已知点()3,4-可求该点到x 轴，y 轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径，则有若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【详解】解：点()3,4-到x 轴的距离为4，大于半径3，点()3,4-到y 轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x 轴相离，与y 轴相切，故选：B ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（）A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步【答案】C【分析】设三角形ABC ，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r ，由1()2ABC S AB BC CA r =++⋅ 可求得半径，则可求得直径．【详解】解：设三角形为ABC ，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，A ．40︒B ．50【答案】A 【分析】连接OC ，由CE 为圆的度数，即可求出E ∠的度数．∵CE 为圆O 的切线，∴OC CE ⊥，∴90OCE ∠=︒，∵25CDB ∠=︒，A．27︒B．18【答案】A【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知答．【详解】解：连接OC，【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在恰好与以OB为半径作圆，O是（）A．23B【答案】D【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠平分线的定义得到OBDAB x=，根据直角三角形的性质即可得到结论．3的半径，AC是OOD∴⊥，OD AC，OD OB=∴=，OBD ODB∠，BDQ平分ABC二、填空题【答案】30︒/30度【分析】连接OB ，根据圆周角定理得到906030D ︒︒∠=-=︒．∵30BCE ∠=︒，∴260BOD C ∠=∠=︒，∵BD 是O 的切线，【答案】15°/15度【分析】如图，连接OA ，OC 明50D B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角和的性质可得答案．∴65DAE AEC D ∠=∠-∠=︒-故答案为：15︒．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，【答案】15d <</51d >>【分析】分两种情况讨论： 求解，即可得到答案．【详解】解：P 的圆心P 的坐标为【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知P 到O 的切线长为8cm ，那么【答案】1【分析】先根据勾股定理求出3AB=，由切线长定理得∵O 为Rt ABC △的内切圆，∴OD AB OF AC OD OF ⊥⊥=，，，∴90ODA A OFA ∠︒=∠=∠=，∴四边形ADOF 是正方形，三、解答题11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的直径，点E 在弦AC 的延长线上，过点E 作ED AE ⊥交O 于点D ，若AD 平分BAC ∠．(1)求证：ED 是O 的切线；(2)若6AC =，10AB =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）如图所示，连接OD ，根据等边等角和角平分线的定义证明EAD ODA ∠=∠，进而证明AE OD ∥，由ED AE ⊥，得到ED OD ⊥，据此即可证明结论；（2）连接BC 交OD 于G ，根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，根据垂径定理可得BG CG =，根据勾股定理求出BC 的长，进而求出OB BG 、，再求出OG 的长，根据矩形的判定与性质求出CE 的长，即可求出AE 的长．【详解】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴EAD DAO∠=∠∴EAD ODA ∠=∠，∴AE OD ∥，∵ED AE ⊥，∴ED OD⊥∴OD BC ⊥，∴G 为BC 的中点，即BG 又∵610AC AB ==，，∴根据勾股定理得：BC 1(1)求证：AF 是O 的切线；(2)若6BC =，10AB =，求O 【答案】(1)见解析(2)390ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，∴12CD AD AB ==，∴CAD ACD ∠=∠，2BDC CAD ACD CAD ∠=∠+∠=∠1FAC BDC ∠=∠(1)若PF PB =，求证：PB (2)如果106AB BC ==，，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得的切线；(1)求证：直线DE是O(2)求证：AB AM=；(3)若2ME=，30∠=︒，求BF的长．F【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．∵OD OA =，∴ODA OAD ∠=∠，∵AD 平分CAB ∠，∴∠OAD =∠DAC ，∴ODA DAC ∠=∠，∴OD AC ∥，∵DE AC ⊥，∴DE OD ^，∵OD 是O 的半径，∴直线DE 是O 的切线；（2）∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，∵OD AC∥∴ODB M ∠=∠，∴OBD M ∠=∠，∴AB AM=（3）∵DE AC ⊥，∴90AEF MED ∠=∠=︒∵30F ∠=︒，∴90903060EAF F ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AM AB =，∴ABM 是等边三角形，∴60M ∠=︒，∴180180609030MDE M MED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，的切线；(1)求证：PC为O(2)求证：2=；BD PA(3)若83PC=，求AE的长．【答案】(1)见详解(2)见详解60BAC ∠=︒ ，且OA OC =，60OCA OAC ∴∠=∠=︒．AP AC = ，且P PCA BAC ∠+∠=∠30P PCA ∴∠=∠=︒．90PCO PCA ACO ∴∠=∠+∠=︒．CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒45ACD BCD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=．在Rt ADB 中，222AD BD AB +=2AD BD AB ∴==，。

直线和圆的位置关系作业单
重点、难点分析
重点：直线和圆的位置关系的性质和判定．因为它是本单元的基础（如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的），也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础。

难点：在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点；另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同（这一点到直线和曲线相切时很重要），学生较难理解。

教学方法
（1）教师通过电脑演示，组织学生自主观察、分析，并引导学生理解“直线和圆的位置关系”。

培养学生运用迁移、联想、类比、化归、数形结合等数学思想方法发现问题解决问题的能力和创新能力；
（2）在教学中，以“形”归纳“数”，以“数”判断“形”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，互动式教学。

由日落的三张照片（太阳与地平线相离、相切、相交）引入，学生比较感兴趣，充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，体验到数学来源于实践。

对生活中的数学问题发生好
奇，这是学生最容易接受的学习数学的好方法。

新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系，从生活中“找”数学，“想”数学，让学生真正感受到生活之中处处有数学。

燕平春蕾学校侯秀华。

《直线与圆的位置关系》教案一、教学目标知识与技能：1. 让学生掌握直线与圆的位置关系，理解直线与圆相交、相切、相离的概念。

2. 学会运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

过程与方法：1. 通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆的位置关系。

2. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点重点：1. 直线与圆的位置关系的判定。

2. 直线与圆相交、相切、相离的性质。

难点：1. 直线与圆的位置关系的推理论证。

2. 运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

三、教学准备教具：1. 直尺、圆规、铅笔。

2. 直线与圆的位置关系的图片或模型。

学具：1. 直尺、圆规、铅笔。

2. 直线与圆的位置关系的练习题。

四、教学过程1. 导入：1.1 教师出示一些直线与圆的位置关系的图片或模型，让学生观察。

1.2 学生分享观察到的直线与圆的位置关系。

2. 探究：2.1 教师引导学生通过画图、观察、分析、推理等方法，探索直线与圆的位置关系。

3. 讲解：3.1 教师根据学生的探究结果，讲解直线与圆的位置关系的判定方法和性质。

3.2 教师通过例题，讲解如何运用直线与圆的位置关系解决实际问题。

4. 练习：4.1 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4.2 教师选取部分学生的练习题进行点评，解答学生的疑问。

五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对直线与圆的位置关系的理解和运用能力。

关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。

六、教学拓展1. 教师引导学生思考：直线与圆的位置关系在实际生活中有哪些应用？2. 学生举例说明直线与圆的位置关系在实际生活中的应用，如自行车轮子与地面的关系、篮球筐与投篮线的关系等。

七、课堂小结八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固直线与圆的位置关系的知识。

直线与圆的位置关系教案（2篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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