2013年北京市西城区高三理科数学二模试题与答案

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A ）sin 1=ρθ （B ）sin 3=ρθ （C ）cos 1=ρθ（D ）cos 3=ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）25（B ）26 （C ）27 （D ）428．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k =_____．10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知3sin 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100]元件A 8 12 40 32 8元件B7 1840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12．2； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为3sin 21cos 2B B =-，所以 223sin cos 2sin B B B =． ………………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >，从而 tan 3B =， ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得 3sin 2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=， 即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<， 所以 5266B ππ+=． ………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ………………7分所以 sin 6sin BC BAC A⋅==． (8)分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 562sin sin sin()12464C πππ+==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积133sin 22S AC BC C +=⋅=． (13)分解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ………………7分所以 sin 6sin BC BAC A⋅==． (8)分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， (9)y zOE PCBADx 分化简为 2220AB AB --=，解得 13AB =+． (11)分所以 △ABC 的面积133sin 22S AB BC B +=⋅=． ………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．yzNMOEP C BADx 设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． (11)分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 ||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． (11)分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以||311|cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． (1)分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． (2)分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:X 90 45 30 15- P3532015120 (8)分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=．………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． (3)分令()0f x '=，得1x b =，2x b =-．()f x 和()f x '的情况如下：x(,)b -∞-b -(,)b b -b(,)b +∞()f x ' -+-()f x↘↗↘故()f x 的单调减区间为(,)b -∞-，(,)b +∞；单调增区间为(,)b b -． (5)分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|}D x x b =∈≠±-R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,)b -∞--，(,)b b ---，(,)b -+∞；无单调增区间． (7)分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤． 所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分从而128y y =-． (5)分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1- 1- 1- 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ (10)分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=． (13)分。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =U （ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞U （D ）(,1)(0,)-∞-+∞U2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =，① 处可以填入（ ）（A ）2k < （B ）3k < （C ）4k <（D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ） （A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ． 若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． 17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分） 已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ． （Ⅰ）求12y y 的值；明：12k k 为定（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =L 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合． 对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j cA为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．………………3分因为0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =， (5)分所以 π3B =． ………………6分 解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． ………………3分 因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分 所以 π3B =． ………………6分 （Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ……………7分所以 sinsin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()1246C πππ==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积1sin 2S AC BC C =⋅=． ………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB = ………………11分所以 △ABC 的面积1sin 2S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分 易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ．因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分 易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分 3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分 令()0f x '=，得1x =，2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(． ………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分 设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ..................7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 分 整理得 2440y ny --=． (9)10分所以 134y y =-． ………………同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ，L ，9()r A ，1()c A ，2()c A ，L ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅L 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅L 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分 （Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅L ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅L ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ． ③ ………………10分 注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ，L ，()n r A ，1()c A ，2()c A ，L ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =L ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤L ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====-L ，12()()()1k c A c A c A ====-L ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=L ．……………13分 2020-2-8。

2013北京西城区高三二模数学理科一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题给出的四个选项中，选出符合要求的一项 1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则C U ()AB 等于A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,4,5} √C ．{1,2,5}D ．{3}2. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件 √B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 假设0b a <<，则以下不等式中正确的选项是A ．11a b> B ．a b >C ．2b aa b+> √ D ．a b ab +>4. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正〔主〕视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧〔左〕视图的面积为AB． √ C． D ．45. 数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-〔1,2,n =〕，则3a 等于A ．15 √B ．10C ．9D ．56. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图〔如下列图〕，则图中判断框〔1〕处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥ √D ．11i ≥正〔主〕视图ABCA 1B 1C 17. 设集合{129}S =，，，，集合123{,,}A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为A ． 78B ．76C ．84D ．83 √8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB AD =. 设DAB θ∠=，(0,)2πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则A ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值 √C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分. 9. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如下列图的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.10. 在261()x x+的展开式中，常数项是______.〔结果用数值表示〕11. 如图，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .假设60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC ∠=________,PA=________.12. 圆1,:2x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔θ为参数〕的半径为______, 假设圆C 与直线0x y m -+=相切，则m =______.13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为_____.B14. 已知函数()e ln xf x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出以下命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．〔写出所有正确命题的序号〕②、④三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.〔本小题总分值13分〕如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===，60A =. 〔Ⅰ〕求sin ABD ∠的值； 〔Ⅱ〕求BCD ∆的面积.16.〔本小题总分值13分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.〔Ⅰ〕假设从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；〔Ⅱ〕假设从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.17.〔本小题总分值13分〕如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =.〔Ⅰ〕求证：1//C D 平面11ABB A ；〔Ⅱ〕求直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值； 〔Ⅲ〕求二面角11D AC A --的余弦值.ADD 1A 1B 1C 1A BCD18.〔本小题总分值13分〕已知0a ≥，函数2()f x x ax =+．设1(,)2a x ∈-∞-，记曲线()y f x =在点11(,())M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是2(,0)N x ，O 为坐标原点．〔Ⅰ〕证明：21212x x x a=+；〔Ⅱ〕假设对于任意的1(,)2a x ∈-∞-，都有916aOM ON ⋅>成立，求a 的取值范围．19.〔本小题总分值14分〕如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.〔Ⅰ〕假设CE FD =，求直线l 的方程；〔Ⅱ〕设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，假设12:2:1k k =，求k 的值.20.〔本小题总分值14分〕在数列{}n a 和{}n b 中，n n a a =，(1)n b a n b =++，1,2,3,n =，其中2a ≥且a ∈*N ，b ∈R .〔Ⅰ〕假设11a b =，22a b <，求数列{}n b 的前n 项和；〔Ⅱ〕证明：当2,a b =={}n b 中的任意三项都不能构成等比数列；〔Ⅲ〕设123{,,,}A a a a =，123{,,,}B b b b =，试问在区间[1,]a 上是否存在实数b 使得C A B =≠∅.假设存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；假设不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷〔理科〕2010.5一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A C B A C D B二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9.4010.1511.60，312.，3或1-13.114. ②④注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：〔本大题共6小题，共80分.假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.〕15、解：〔Ⅰ〕已知60A =，由余弦定理得2222cos7BD AB AD AB AD A=+-⋅=，解得BD=…………………3分由正弦定理，sin sinAD BDABD A=∠，所以sin sinADABD ABD∠=. …………………5分7==. …………………7分〔Ⅱ〕在BCD∆中，2222cosBD BC CD BC CD C=+-⋅，所以744222cos C=+-⨯⨯，1cos8C=，…………………9分因为(0,)C∈π，所以sin C=…………………11分所以，BCD∆的面积1sin2S BC CD C=⋅⋅=…………………13分16、解：〔Ⅰ〕设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，A BCD由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， …………………2分 则2232336()()55125P A C =⨯=. …………………5分 〔Ⅱ〕依题意，X 的可能取值为1,2,3,4. …………………6分2(1)5P X ==， …………………7分 323(2)5410P X ⨯===⨯， …………………9分3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………10分3211(4)54310P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………11分所以X 的分布列为X 1 2 3 4P25 310 15 110 …………………12分2311()12342510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………13分17、〔Ⅰ〕证明：四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，又1CC ⊄面11ABB A ，所以1//CC 平面11ABB A ， …………………2分ABCD 是正方形，所以//CD AB ，又CD ⊄面11ABB A ，所以//CD 平面11ABB A ， …………………3分 所以平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . …………………4分 〔Ⅱ〕解：ABCD 是正方形，AD CD ⊥，因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D AD ⊥，1A D CD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，. …………………5分在1ADA ∆中，由已知可得1A D ，所以11(0,0,0),(1,0,0),(1,1D A A C -，11(0,1,3),(1(1,1,0)B D B -， 1(2,1BD =--， ………6分因为1A D ⊥平面ABCD ， 所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D A C ⊥，所以11B D ⊥平面11AC D ，…………………7分所以平面11AC D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………8分设1BD 与n 所成的角为β， 则113cos 42BD BD β⋅-===-n n ， …………………9分所以直线1BD 与平面11AC D 所成角的正弦值为34. …………………10分 〔Ⅲ〕解：设平面11A C A 的法向量为(,,)a b c m=，则1110,0AC A A ⋅=⋅=m m , 所以0ab -+=，0a -=，令c =m =， …………………12分 设二面角11D AC A --的大小为α， 则cosα⋅===m n m n 所以二面角11D AC A --. …………………13分 18、解：〔Ⅰ〕对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +， …………………2分由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-． …………………4分令0y =，得22111211122x ax x x x x a x a+=-+=++. …………………5分1〔Ⅱ〕由2211111(,),(,0)2x M x x ax N x a ++，得3112x OM ON x a⋅=+. …………6分 所以0a =符合题意， ………………7分当0a >时，记3111()2x g x x a=+，1(,)2a x ∈-∞-．对1()g x 求导数，得211121(43)()(2)x x a g x x a +'=+, …………………8分 令1()0g x '=，得13(,)42a a x =-∈-∞-. 当1(,)ax ∈-∞-时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在(,)4-∞-上单调递减，在(,)42--上单调递增，……10分 从而函数1()g x 的最小值为2327()432a g a -=. …………………11分依题意22793216a a >， …………………12分 解得23a >，即a 的取值范围是2(,)3+∞. …………………13分综上，a 的取值范围是2(,)3+∞或0a =.19、解：〔Ⅰ〕设1122(,),(,)C x y D x y ，由2244,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得22(4)230k x kx ++-=， 222412(4)1648k k k ∆=++=+，12224k x x k -+=+，12234x x k -=+， …………………2分 由已知1(,0),(0,1)E F k -，又CE FD =，所以11221(,)(,1)x y x y k---=- …………………4分 所以121x x k --=，即211x x k+=-， …………………5分所以2214k k k-=-+，解得2k =±， …………………6分 符合题意，所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=. …………………7分 〔Ⅱ〕2121y k x =+，1211y k x =-，12:2:1k k =， 所以2112(1)2(1)1y x y x -=+， …………………8分平方得22212212(1)4(1)y x y x -=+， …………………9分又221114y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22224(1)y x =-，代入上式， 计算得2112(1)(1)4(1)(1)x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=，…………………12分所以231030k k -+=，解得3k =或13k =， …………………13分 因为2112(1)2(1)1y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，所以3k =. …………………14分20、解：〔Ⅰ〕因为11a b =，所以1a a b =++，1b =-， …………………1分由22a b <，得2210a a --<，所以11a <<+ …………………3分 因为2a ≥且a ∈*N ，所以2a =， …………………4分 所以 31n b n =-，{}n b 是等差数列， 所以数列{}n b 的前n 项和2131()222n n n S b b n n =+=+. …………………5分〔Ⅱ〕由已知3n b n =3m +3n，3t 成等比数列，其中,,m n t ∈*N ，且彼此不等，则2(3(3n m t +=+， …………………6分所以29292n mt ++=+++，所以233(2n mt m t n -=+-，假设20m t n +-=，则2330n mt -=，可得m t =，与m t ≠矛盾； ………7分假设20m t n +-≠，则2m t n +-为非零整数，(2m t n +- 所以233n mt -为无理数，与233n mt -是整数矛盾. …………………9分 所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. 〔Ⅲ〕设存在实数[1,]b a ∈，使C AB =≠∅，设0m C ∈，则0m A ∈，且0m B ∈，设0()t m a t =∈*N ，0(1)()m a s b s =++∈*N ，则(1)ta a sb =++，所以1t a bs a -=+，因为,,a t s ∈*N ，且2a ≥，所以ta b -能被1a +整除. …………………10分 〔1〕当1t =时，因为[1,]b a ∈， [0,1]a b a -∈-，所以1a bs a -=∉+*N ； …………………11分 〔2〕当2()t n n =∈*N 时，22212[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b -=+--=++-++-，由于[1,]b a ∈，所以1[0,1]b a -∈-，011b a ≤-<+，所以，当且仅当1b =时，ta b -能被1a +整除. …………………12分 〔3〕当21()t n n =+∈*N 时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++--，由于[1,]b a ∈，所以1[2,1]b a +∈+，所以，当且仅当11b a +=+，即b a =时，ta b -能被1a +整除. ……13分 综上，在区间[1,]a 上存在实数b ，使C AB =≠∅成立，且当1b =时，2{,}n C y y a n ==∈*N ；当b a =时，21{,}n C y y a n +==∈*N . …………14分。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线24yx =焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,则AB 的中点到y 轴的距离等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D抛物线24y x =的焦点（1，0），准线为l ：1x =-，设AB 的中点为 E ，过 A 、E 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C 、F 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：则由EF 为直角梯形的中位线知522AC BD ABEF +===，所以1514EH EF =-=-=,即则B 的中点到y轴的距离等于4．选D.2．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3)【答案】A双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22bx x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80ba∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。

所以此双曲线的离心率的取值范围是[3,)+∞，选A.3 ．（2013北京海淀二模数学理科）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．1C ．1D ．2+【答案】B抛物线的焦点为(1,0)，即2(1,0)F ,所以双曲线中1c =。

双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，（不妨设在第一象限）若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}Ax x R ，{|(21)(1)0}B x x x R ，则A B（）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)（C ）1(,1)(,)2（D ）(,1)(0,)2．在复平面内，复数5i 2i的对应点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P ，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（）（A ）sin 1（B ）sin 3（C ）cos 1（D ）cos 34．执行如图所示的程序框图．若输出15S ，则框图中①处可以填入（）（A ）2k （B ）3k （C ）4k （D ）5k5．已知函数()cos f x x b x ，其中b 为常数．那么“0b ”是“()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b ．那么22ab 的取值范围是（）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16)（D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）（A ）25（B ）26（C ）27（D ）428．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）（A ）221（B ）463（C ）121（D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)a ，(2,1)b ，(3,2)c .若向量c 与向量k a b 共线，则实数k_____10．如图，Rt △ABC 中，90ACB，3AC，4BC ．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD；CD______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a ，34a ，63k S ，则k______．12．已知椭圆22142xy的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF ，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x，其中π[,]6x a ．当3a 时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若常数0c ，对x R ，有()()f x c f x c ，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x ；②()sin f x x ；③3()f x xx ．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知3sin 21cos2B B ．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC，4A，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P 中，底面ABCD 为正方形，PD PA ，PA平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD 平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角B ACE的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件A 81240328元件B71840296（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x xb，其中b R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b ．若13[,]44x ，使()1f x ，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24yx 的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n 个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i jn 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ija .记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)AS n n ，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nni j i j l A r A c A ．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ，使得()0l A ；（Ⅱ）是否存在(9,9)AS ，使得()0l A ？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)AS n n ，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1； 10．165，125；11．6；12．2； 13．1[,1]2，[,]62； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一：因为3sin 21cos2BB ，所以223sin cos 2sin B BB ．………………3分因为0B，所以sin 0B ，从而tan 3B ，………………5分所以π3B．………………6分解法二：依题意得3sin 2cos 21B B ，所以2sin(2)16B，即1sin(2)62B ．………………3分因为0B，所以132666B，所以5266B．………………5分所以π3B．………………6分（Ⅱ）解法一：因为4A ，π3B，根据正弦定理得sin sin AC BC BA，……………7分所以sin 6sin BC B AC A ．………………8分因为512CAB ，………………9分所以562sin sin sin()12464C ，………………11分所以△ABC 的面积133sin 22SAC BC C ．………………13分解法二：因为4A，π3B，根据正弦定理得sin sin AC BC BA，……………7分所以sin 6sin BC B ACA ．………………8分根据余弦定理得2222cos AC ABBCAB BC B ，………………9分化简为2220ABAB，解得13AB．………………11分yzOE PCBADx所以△ABC 的面积133sin 22SAB BC B．………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为E 为棱PD 中点．所以EO PB//．………………3分因为PB平面EAC ，EO平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ．………………4分（Ⅱ）证明：因为PA平面PDC ，所以CD PA．………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD，所以CD 平面PAD ．………………7分所以平面PAD 平面ABCD ．………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线DzAD ．因为平面PAD 平面ABCD ，所以Dz 平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D．…………9分设4AB ，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以)1,0,3(EA，)0,4,4(AC．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA ACn n 所以．044,03y x z x取1x ，得(1,1,3)n．………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)v．………………12分所以||311|cos ,|||||11〈〉n v n v n v ．………………13分由图可知二面角B ACE 的平面角是钝角，所以二面角B ACE 的余弦值为11113．………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ．因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．yzNMOEP C BADx由（Ⅱ）可得MN平面PAD ．因为PD PA ，所以PMAD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M ．………………9分设4AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ．所以)1,0,3(EA，)0,4,4(AC．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA ACn n 所以．044,03y x z x 取1x，得n)3,1,1(．………………11分易知平面ABCD 的法向量为v)1,0,0(．………………12分所以||311|cos ,|||||11〈〉n v n v n v ．………………13分由图可知二面角B ACE 的平面角是钝角，所以二面角B ACE 的余弦值为11113．………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005．………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004．………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15．………………3分433(90)545P X ；133(45)5420P X ；411(30)545P X；111(15)5420P X．………………7分所以，随机变量X 的分布列为: X 90453015P3532015120………………8分3311904530(15)66520520EX．………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n 件.依题意，得5010(5)140n n ，解得196n．所以4n ，或5n ．………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则445531381()C ()()444128P A ．………………13分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：①当0b 时，1()f x x．故()f x 的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间．………………1分②当0b 时，222()()b xf x xb ．………………3分令()0f x ，得1x b ，2x b ．()f x 和()f x 的情况如下：x (,)b b(,)b b b(,)b ()f x 0()f x ↘↗↘故()f x 的单调减区间为(,)b ，(,)b ；单调增区间为(,)b b ．………………5分③当0b 时，()f x 的定义域为{|}Dx x b R ．因为222()0()b xf x xb 在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,)b ，(,)b b ，(,)b ；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b ，13[,]44x，所以()1f x 等价于2b x x ，其中13[,]44x ．………………9分设2()g x x x ，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g ．………………11分则“13[,]44x ，使得2bxx ”等价于14b．所以，b 的取值范围是1(0,]4．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2xmy ．………………1分将其代入24y x ，消去x ，整理得2480ymy ．………………4分从而128y y ．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444yy y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ．………………7分设直线AM 的方程为1xny ，将其代入24yx ，消去x ，整理得2440yny ．………………9分所以134y y ．………………10分同理可得244y y ．………………11分故112121223412444k y y y y y y k y y y y ．………………13分由（Ⅰ）得122k k ，为定值．………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．1111111111111111………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)AS ，使得()0l A ．………………4分证明如下：假设存在(9,9)A S ，使得()0l A ．因为(){1,1}i r A ，(){1,1}j c A (19,19)ij ，所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1，从而9(1)1M．①另一方面，129()()()r A r A r A 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A 也表示m ，从而21Mm．②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ，使得()0l A ．………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A ；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n pc A c A c A ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ．③………………10分注意到(){1,1}i r A ，(){1,1}j c A (1,1)i n j n ．下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1的个数：由③知，上述2n 个实数中，1的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k kn ；则1的个数为22n k ，所以()(1)21(22)2(2)l A k nk nk ．………………12分对数表0A ：1ija (,1,2,3,,)i jn ，显然0()2l A n ．将数表0A 中的11a 由1变为1，得到数表1A ，显然1()24l A n ．将数表1A 中的22a 由1变为1，得到数表2A ，显然2()28l A n．依此类推，将数表1k A 中的kk a 由1变为1，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kka a a kn ，其余1ij a ．所以12()()()1k r A r A r A ，12()()()1k c A c A c A ．所以()2[(1)()]24k l A kn k nk ．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k kn ．……………13分。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。

4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。

北京西城二模试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于北京西城的描述，不正确的是：A. 北京西城是北京市的一个区B. 北京西城是北京市的中心区域C. 北京西城是北京市的郊区D. 北京西城拥有丰富的历史文化资源答案：C2. 北京西城二模试题的发布时间是：A. 2024年1月B. 2024年2月C. 2024年3月D. 2024年4月答案：B3. 北京西城二模试题的总分是：A. 100分B. 150分C. 200分D. 300分答案：C4. 在北京西城二模试题中，选择题的分值是：A. 每题1分B. 每题2分C. 每题3分D. 每题4分答案：C5. 下列哪项不是北京西城二模试题的题型：A. 选择题B. 填空题C. 判断题D. 论述题答案：D6. 北京西城二模试题的考试时间是：A. 90分钟B. 120分钟C. 150分钟D. 180分钟答案：B7. 北京西城二模试题的考试地点通常是：A. 北京市西城区的中学B. 北京市东城区的中学C. 北京市朝阳区的中学D. 北京市海淀区的中学答案：A8. 参加北京西城二模试题考试的学生需要携带：A. 身份证B. 学生证C. 准考证D. 以上都是答案：D9. 北京西城二模试题的考试目的主要是：A. 选拔优秀学生B. 检验学生的学习成果C. 作为毕业考试D. 作为升学考试答案：B10. 北京西城二模试题的考试形式是：A. 闭卷B. 开卷C. 半开卷D. 口试答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 北京西城二模试题的考试时间是每年的_________。

答案：2月2. 北京西城二模试题的题型包括选择题、填空题、_________。

答案：判断题3. 北京西城二模试题的考试地点一般设在_________。

答案：西城区的中学4. 参加北京西城二模试题考试的学生需要提前_________分钟到达考场。

答案：305. 北京西城二模试题的考试形式是_________。

2013年北京西城高考二模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1. 复数 ______A. B. C. D.2. 已知向量，．若与共线，则实数 ______A. B. C. D.3. 给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是______A. ①B. ②C. ③D. ④4. 若双曲线的离心率是，则实数 ______A. B. C. D.5. 如图所示的程序框图表示求算式“ ”之值，则判断框内可以填入______A. B. C. D.6. 对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是______A. ，B. ，C. ，，D. ，，7. 已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是______A. B. C. D.8. 已知集合的非空子集具有性质：当时，必有，则具有性质的集合的个数是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知直线，．若，则实数 ______．10. 如图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为甲和乙，则甲______乙．（填入：" "，" "，或" "）11. 在中，，，，则 ______，的面积是______．12. 设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．13. 已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______．14. 在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知等比数列的各项均为正数，，．（1）求数列的通项公式；（2）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16. 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记，．（1）若，求；（2）分别过，作轴的垂线，垂足依次为，．记的面积为，的面积为．若，求角的值．17. 如图，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）求四面体的体积；（2）证明： 平面；（3）证明：平面平面．18. 已知函数，其中．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值和最小值．19. 如图，椭圆（）的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20. 已知集合是正整数的一个排列（），函数对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列．（1）当时，写出排列的生成列；（2）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．答案第一部分1. A2. A3. D4. B5. C6. C7. B8. B第二部分9.10.11. ；12.13.14. ；第三部分15. （1）设等比数列的公比为，依题意．因为，，两式相除得，解得，舍去．所以．所以数列的通项公式为．（2）由（1）得．因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以．16. （1）由三角函数定义，得，．因为，，所以．所以．（2）依题意得，．所以，．依题意得，整理得．因为，所以，所以，即．17. （1）由左视图可得为的中点，所以的面积为．因为平面，所以四面体的体积为．（2）取中点，连接，．为的中点，所以，．又因为，，所以，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以直线 平面．（3）因为平面，所以．因为面为正方形，所以．所以平面．因为平面，所以．因为，为中点，所以．所以平面因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．18. （1）的定义域为，且．当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）方程的判别式为．（1）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．（2）当时，令，得或．和的情况如下：故的单调增区间为；单调减间为．①当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．因为，所以，当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．③当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是．19. （1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为．由点在椭圆上，所以，解得．（2）设，则，显然不是右顶点，故因为是线段的中点，所以．因为，所以由消去，整理得，，所以当且仅当时，上式等号成立．所以的取值范围是．20. （1）当时，排列的生成列为．（2）设的生成列是；的生成列是．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，．显然，，，，下面证明：．由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而．同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．因为与是个不同数的两个不同排列，且，所以，从而．所以排列和的生成列也不同．（3）设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以．依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为，所以所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 【答案】D【KS5U 解析】1{|(21)(1)0}{1}2B x x x x x x =-+>=><-或，所以{01}A B x xx =><-或，即(,1)(0,)-∞-+∞，选D.2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【KS5U 解析】55(2)5(2)122(2)(2)5i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθC ）cos 1=ρθ（D ）cos ρθ 【答案】A【KS5U 解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)6P π 转化为点cos 2cossin 2sin166x y ππρθρθ======，即)，过点且平行于x 轴的直线为1y =，在化为极坐标 为sin 1=ρθ，选A.4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ （A ）2k <（B ）3k <（C ）4k <（D ）5k < 【答案】C【KS5U 解析】第一次循环，满足条件，112,2S k =+==;第二次循环，满足条件，2226,3S k =+==;第三次循环，满足条件，26315,4S k =+==;第四次循环，不满足条件，输出15S =，此时4k =，所以条件应为4k <，选C.5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【KS5U 解析】若0b =，则()c o s f x x b x x =+=为奇函数。

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，R t △A B C 中，90ACB ︒∠=，3A C =，4B C =．以A C 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；C D =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______． 12．已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12P F F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2B C =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线A F ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线M N 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nniji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．……………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．…………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A C B C BA=， ………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sin sin()12464C πππ+==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=．………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin A C B C B A=， ………………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+………………11分所以 △ABC 的面积1sin 22S AB BC B =⋅=………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． …………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD ． ……7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线D z AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以D z ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4A B =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=；411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =．………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． (1)分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈．……9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ．……………13分。