下载文档原格式
⼩升初数学专题复习抽屉原理抽屉（鸽巢）原理辅导教案学⽣学校年级六年级次数科⽬数学教师⽇期时段课题抽屉（鸽巢）原理教学重点理解抽屉原理教学难点会⽤抽屉原理解决简单的实际问题教学⽬标理解抽屉原理并掌握⽤抽屉原理解决简单的实际问题的⽅法教学步骤及教学内容温故知新内容讲解知识点⼀：抽屉原理1知识点⼆：抽屉原理2知识点三：⽤抽屉原理解决实际问题三、课堂⼩结四、课后作业管理⼈员签字：⽇期：年⽉⽇⼀、复习回顾错题订正⼀名短跑选⼿，顺风跑90⽶，⽤了10秒钟；在同样的风速下，逆风跑70⽶，也⽤了10秒，在⽆风的时候，他跑100⽶要⽤多少秒?两个码头相距352千⽶，⼀船顺流⽽下，⾏完全程需要11⼩时.逆流⽽上，⾏完全程需要16⼩时，求这条河⽔流速度。
6、⼀条轮船在两码头间航⾏,顺⽔航⾏需4⼩时,逆⽔航⾏需5⼩时,⽔速是2千⽶,求这轮船在静⽔中的速度.2．计算：（能简算的要简算）（18分）①②③④3．解⽅程：（6分）抽屉（鸽巢）原理⼆、内容讲解知识点⼀：抽屉原理（⼀）把多于n个且少于或等于2n个的物体任意放进n个空抽屉⾥(n为正整数)，那么⼀定有⼀个抽屉中⾄少放进了2个物体。
例1：将4只鸽⼦飞进3个鸽巢中，总有⼀个鸽巢⾥⾄少有2只鸽⼦，为什么？⽤枚举法说明（2）⽤数的分解法说明把4分解成3个⾃然数的和。
有如下四种情况：4=（）+（）+（）；4=（）+（）+（）；4=（）+（）+（）；4=（）+（）+（）。
每种情况的三个数中，⾄少有⼀个数不⼩于（）。
（3）⽤假设法说明先假设每个鸽巢⾥飞进1只鸽⼦，3个鸽巢就飞进了（）只鸽⼦，还剩下（）只鸽⼦，这只鸽⼦飞进任意⼀个鸽巢，那么这个鸽巢⾥就有（）只鸽⼦了。
例2：⾄少有多少⼈，才能确保有2⼈在同⼀个⽉出⽣？知识点⼆：抽屉原理（⼆）把多于kn个且少于或等于（k+1）n个物体任意放进n个空抽屉⾥（k，n是正整数，n≥2），那么⼀定有⼀个抽屉中⾄少放进了（k+1）个物体。
例1：把7本书放进3个抽屉中，总有⼀个抽屉⾥⾄少放进3本，为什么？把7本书平均分成3份，（）÷（）＝（）……（），即每个抽屉放进（）本，还剩（）本，把剩下的这（）本书放进任何1个抽屉，该抽屉⾥就有（）本书了。
小升初小学六年级数学复习总结·知识点专项练习题+答案（11）抽屉原理知识要点：1、把m个苹果放入n个抽屉（m大于n），结果有两种可能：（1）如果m÷n没有余数，那么就一定有抽屉至少放“m÷n”个苹果.（2）如果m÷n有余数，那么就一定有抽屉至少放“m÷n的商再加1”个苹果.2、寻找题目中的“抽屉”和苹果：重点在于找到“抽屉”和“苹果”的数量.3、最不利原则：考虑最坏的情况，这一原则不仅体现在抽屉原理中，还在解决很多与“至多”、“至少相关的问题时非常重要.习题精选：1. 好学花桥校区六年级实验（1）班有31人，至少有（）个学生的生日是同一月。
A.1B.2C.3D.42. 盒子中有12个红球，10个白球和6个绿球，它们的大小都相同。
如果闭上眼睛，一次最少要取出（）个才能保证其中必有3个颜色相同的球。
A.6B.7C.8D.93. 袋中有外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，每个小朋友只能从中摸出1个小球，至少有（）个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球颜色一样。
A.2B.3C.4D.54. 一个布袋里有大小相同颜色不同的一些木球，其中红色的有12个，白色的有10个，黄色的有9个，蓝色的有3个，绿色的有1个。
那么一次最少要取出（）个球，才能保证有4个颜色相同的球。
A.14B.13C.12D.165. 班上有50名小朋友，老师至少拿（）本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书。
A.25B.26C.50D.516. 一副扑克牌有54张，最少要抽取（）张牌，方能使其中至少有3张牌有相同的点数。
A.27B.29C.13D.157. 某旅游团一行100人，随意游览甲、乙、丙三地，规定每人至少去一处，最多去三处游览，那么至少有（）人游览的地方完全相同。
A.15B.14C.13D.128. 篮子里有苹果、梨、桃，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有）个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的。
抽屉原理初步复习要点一、抽屉原理（1）抽屉原理包括两项内容，用较通俗的语言表述如下：1.把5个苹果放入4个抽屉，能找到有一个抽屉中至少有2个苹果；2.把9个苹果放入4个抽屉，能找到有一个抽屉中至少有3个苹果。
这类问题，相当于问我们分割苹果的不同方式中，放苹果最多的那个抽屉最少放几个，那么最好的方式就是平均放。
所以我们用苹果数÷抽屉数。
有余数，商加一，无余数，即为商。
例：有25个人，请问他们中至少有几人属相同？分析：此时把25个人看作25个苹果，12种属相看作12个抽屉，25÷12=2（人）……1（人），2+1=3（人），所以至少有3个人属相相同。
（2）已知抽屉求苹果例：若干个苹果放入4个抽屉，要求保证能找到一个抽屉中至少有3个苹果，问至少需要多少个苹果？分析：要保证一个抽屉中至少有3个苹果，那么其他抽屉中必须放满2个，所以苹果数=抽屉数×（保证数-1）+1，即4×（3-1）+1=9（个）。
（3）已知苹果数求抽屉数例：有21个苹果放入若干个抽屉，要求保证能找到一个抽屉中至少有5个苹果，问至多需要多少个抽屉？分析：要保证一个抽屉中至少有5个苹果，那么其他抽屉中必须放满4个，从苹果数中拿出一个备用（用做平均后改4个为5个），则（苹果数-1）÷（保证数-1），所得商为抽屉数（无论是否有余数），即（21-1）÷（5-1）=5（个）抽屉。
二、最不利原则（“气死你大法”）这里要注意理解两个词的含义，保证：确定，肯定，万无一失！最不利:最倒霉，最繁琐，最糟糕！最不利原则要求我们从最极端的角度去考虑事件。
我们分两类去讨论：1.例：口袋里共有5个红球，4个黄球，3个绿球；问：（1）至少取几个球才能保证取到一个红球？（2）至少取几个球才能保证取到三种颜色的球各一个？分析：（1）要取到一个红球，从最倒霉的角度去思考，需要先取到4个黄球，3个绿球，再取一个红球，所以共计4+3+1=8（个）（2）要取到三种颜色的球各一个，从最倒霉的角度去思考，需先取到5个红球，4个黄球，再取一个绿球即可，所以共计5+4+1=10（个）（这里要注意下顺序，从最多数量的颜色开始取）2.例：有1根红筷子，5根绿筷子，7根黄筷子，8根蓝筷子；问：（1）至少取几根筷子才能保证取到颜色相同的一双筷子？（2）至少取几根筷子才能保证取到颜色相同的两双筷子？（3）至少取几根筷子才能保证取到颜色不同的两双筷子？分析：（1）要取到颜色相同的一双筷子，即是要取到两根颜色相同的筷子，从最倒霉的角度去思考，需要每种颜色各取一根，再任取1根即可。
第38讲 抽屉原理1、考察范围：①理解抽屉、苹果的区别于联系；②利用公式、最值原理解题。
2、考察重点：考虑最差的情况下（极端原理）最多的情况。
3、命题趋势：抽屉原理一般与计数组合相结合一起考，通常是选择或填空的最后一题。
1、抽屉原理（鸽巢原理）一般有三种表现形式①将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
公式： 物体数÷抽屉数＝商……余数 至少数＝商＋1②将多于n m ⨯件的物品任意放到n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中的物品不少于1+m 件。
③将无穷多个物体任意放到n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中有无穷个物体。
2.解题步骤①分析题意：分清什么是“苹果”，什么是“抽屉”，也就是什么可以做“苹果”，什么可以做“抽屉”。
②制造抽屉：这时关键的一步，这一步就是如何设计抽屉，根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的“苹果”其个数，为使用“抽屉”做好铺垫。
③运用原理：运用抽屉原理，观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则解决问题。
【例1】某校六年级有320位学生，其中至少有多少个人在同一个月过生日？【变式练习】1、把13支笔放入4个文具盒中，至少有一个文具盒内放 支笔。
考点解读知识梳理典例剖析2、某校有370名学生是1992年出生的。
其中至少有两个学生的生日是在同一天，为什么？【例2】十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼子里有2只或2只以上的小兔？【变式练习】1、把125本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？2、某次考试有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学来自同一所学校。
”如果他的说法是正确的，那么最多有多少所学校参加了这次考试？【例3】班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于2本书？【变式练习】1、班上有28名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于2本书？2、有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子。
第8讲抽屉原理一、基础知识1、抽屉原理:把多于N个的苹果放进N个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.2、抽屉原理的一般表达:把多于M×N个苹果随意放到N个抽屉里,至少有一个抽屉里有(M+1)个或(M+1)个以上的苹果.3、在有些问题中,”抽屉”和”苹果”不是很明显的,需要精心制造”抽屉”和”苹果”如何制造”抽屉”和”苹果”可能是很困难的,一方面需要认真分析题目中的条件和问题,另一方面需要多做一些题积累经验.4、利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”哪些是“元素”然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。
b、把元素放入（或取出）抽屉。
C、说明理由，得出结论。
二、典型例题例题1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天为什么例题2：某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）例题3：一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的多少只才能保证其中至少有2双不同袜子例题4：任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么例题5：能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同例6、一次数学竞赛，有75人参加，满分20分，参赛者得分都是整数，75人的总分是980分，问至少有几个人得分相同例7、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n－1，把这n种情况看作n个抽屉，把（n+1）个自然数反复如n个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被n整除，也就是n的倍数。
随堂练习：1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。
备战2019小升初数学抽屉原理知识点小升初数学是小升初综合素质评价考试的重头戏,在试卷中所占分值比重最大。
为了帮助学生们顺利备考,下面为大家分享小升初数学抽屉原理知识点，希望对大家有帮助！抽屉原理抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
2019-2020学年人教版小升初数学专题讲练：抽屉原理考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、解答题1．新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸出两个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿五色之分（摸时，看不到颜色），结果发现总有两人取的球相同，由此可知，参加取球的至少有多少人？2．一个袋子中有三种不同颜色的球共20个，其中红球7个，黄球5个，绿球8个。
现在阿奇闭着眼睛从中取球，要保证有一种颜色的球不少于4个，则至少要取出多少个球才能满足要求？如果还要保证另一种颜色的球不少于3个，则最少要取出多少个球？3．口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：（1）至少取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？（3）至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？4．有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？5．将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类。
（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例。
6．如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及对角线上8个数的和互不相同？并说明理由。
7．在100张卡片上不重复地编上1-100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？8．证明：任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数。
9．上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操。
第1讲抽屉原理一、抽屉原理的基本形式1．把不少于（n+1）个物口分成n类，则总有某一类中至少有2个物品。
2．一般地，把不少于（m×n+1）个物品分成n类，则总有某一类中到少有（m+1）个物品。
3.把a个物体放进n(n＜a）个抽屉，如果a÷n=b…c(c≠0)。
那么一定有一个抽屉中至少放进（b+1）个物体。
4.如果有n个抽屉，要保证在其中一个抽屉里取到k件相同物品，那么至少要取出[(k-1)×n+1]个物品。
抽屉原理1：把m个物体任意分放进n个空抽屉（m＞n,n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。
抽屉原理2：把多于kn个物体任意放进这n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
专题简析：如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。
b、把元素放入（或取出）抽屉。
C、说明理由，得出结论。
例题1：某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？解析：把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，共366个抽屉。
小升初数学综合素质训练(9第九讲:抽屉原理个抽屉原理的一般含义:如果每个抽屉代表一个集合,每个苹果就可以代表一个元素, 假如有 n+1或多于 n+1元素放到 n 个集合中去,其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
1、有 12个小朋友,阿姨至少要拿多少只苹果分给小朋友,方能保证至少有一个小朋友能得到两只或两只以上的苹果?2、一个班里有 59名同学,那么其中至少有两名同学在同一个星期里过生日。
3、在 1米长的线段上随意点上 5个点,那么至少有两个点的距离小于 25厘米。
4、有 5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋里随意摸出 3枚棋子。
证明这 5个人中至少有两个小朋友摸出棋子的颜色的配组是一样的。
5、从 1到 20这 20个自然数中,随意取 11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。
6、学校体育用品仓库里有许多足球,排球和篮球。
现有 66名同学来仓库拿球,要求每人至少拿一个球,至多拿 2个球。
问 :至少有多少同学所拿的球种类是完全一样的?7、从 1,3,5,7, ...47,49这 25个奇数之中任取 14个数其中一定有两个数之和是52.8、从自然数 1,2,3,4, .....199,200中任选 101个数,在这 101个数中,至少有两个数, 其中一个数是另一个数的倍数。
9、证明在 380人中至少有两个人的生日相同。
10、停车场上有 60辆客车, 各种客车座位数不同, 最少有 26个座, 最多的有 44座, 这些客车中至少有多少辆车的座位是相同的?11、篮子里有苹果、梨、桃和橘子四种水果,如果至少每个小朋友都从中任意拿 2个水果,那么至少有多少个小朋友,能保证至少有 2个小朋友拿的水果完全一样?12、体育组有足球、篮球和排球,上体育课前,老师让 11名同学往操场拿球,每人最多拿 2个。
第五章 抽屉原理和Ramsey 理论抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学中两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理。
其道理并无深奥之处，且正确性也很明显。
但若能灵活运用，便可能得到一些意料不到的结果。
抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要计算某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性。
1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey 将这个简单原理作了深刻推广，即Ramsey 定理，也被称为广义抽屉原理。
它是一个重要的组合定理，有许多应用。
5.1 抽屉原理（一）基本形式定理5.1.1 （基本形式）将n ＋1个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。
证 反证之。
将抽屉编号为：1,2, …,n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则 121+=+++n q q q n Λ但若定理结论不成立，即1≤i q ，即有n q q q +++Λ21≤n ，从而有n q q q n n ≤+++=+Λ211矛盾。
例 5.1.1 一年365天，今有366人，那么，其中至少有两人在同一天过生日。
注：与概率的区别：抽屉原理讲的是所给出的结论是必然成立的，即100%成立。
而概率反映的是不确定性现象发生的可能性问题，不讨论100%成立的确定性概率问题。
生日悖论：随机选出n 个人，则其中至少有二人同一天出生的概率为()A P n =n n P 3651365- 特例：()A P 23=50.73%，()A P 100=99.99997%例 5.1.2 箱子中放有10双手套，从中随意取出11只，则至少有两只是完整配对的。
（二）推广形式定理5.1.2 （推广形式）将121+-+++n q q q n Λ个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个。
（证）反证。
不然，设第i 个抽屉的物品数小于i q （i ＝1,2, …,n ）(即该抽屉最多有1-i q 个物品)，则有 11+-∑=n q n i i ＝物品总数≤()n q q ni i n i i -=-∑∑==111与假设矛盾。
2019年小升初数学复习资料-抽屉原理一．选择题（共17小题）1．（2018春•临颍县期末）把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放到一个篮子里，至少取出( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球．A．3个B．4个C．5个2．（2018•西安模拟）箱子中有4个红球，3个白球和6个蓝球，从中摸出()个球，才能保证每种颜色的球至少有一个．A．9B．10C．11D．12 3．（2018•西安模拟）在一个正方形的箱子里有形状大小完全相同的小球40个，其中红、黄、蓝、绿的各有10个，则一次至少要取出()个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同．A．3B．6C．9D．12 4．（2018•新罗区）在37个人中至少有()个人的生肖是相同的．A．4B．3C．5D．65．（2018春•新疆期末）在任意的37个人中，至少有()人的属相相同．A．2B．4C．6D．9 6．（2017•南通）我有黑、蓝两种颜色大小相同的袜子，其中，黑林子有a只，蓝袜子有b只>最少取()只袜子就一定能漆成一双．（同颜色的两只袜子为一双）a b()A．2B．3C．1a+D．1b+ 7．（2017•长沙）一只袋子里有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的袜子共20双，在黑暗的房子里至少取出()只，就一定能保证有10双袜子？A．20B．24C．25D．308．（2017春•宿迁期末）六年级13个同学中至少有()个同学是同一个月出生．A．2B．3C．4D．5 9．（2017•邛崃市模拟）箱子里有3个红球，6个白球，4个蓝球，要保证每种颜色的球从箱子中至少摸到一个，那么至少要从箱子中摸出()个球．A．4B．10C．8D．1110．（2016秋•祁阳县期末）把红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个放入一个箱子里，至少要取()个球，才能保证取到一个红色的球．A．5B．11C．1611．（2016秋•德江县期末）把11只鸡放进4个鸡笼里，至少有()只鸡要放进同一个鸡笼里．A．2B．3C．412．（2017•云南模拟）黑桃和红桃扑克牌各5张，要想抽出3张同类的牌，至少要抽出( )张．A．3B．5C．6D．8 13．（2017•长沙）木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出()个球．A．2B．3C．4D．7 14．（2017•平安县校级模拟）把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进()本书．A．2B．4C．5D．6 15．（2017•长沙）一个口袋装有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各10个，要摸出10个相同颜色的小球，至多要摸出()个．A．10B．21C．2816．（2016秋•昭阳区月考）盒子里有5个黑球，3个黄球，2个绿球，任意拿出6个，一定有一个()A．红球B．黑球C．绿球17．（2016•德江县模拟）把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放进一个盒子里，至少取( )个球可以保证取到两个颜色相同的球．A．4B．5C．6二．填空题（共25小题）18．（2019春•醴陵市期末）把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放到一个袋子里．至少要取个球，才可以保证取到两个颜色相同．．．．的球；至少要取个球，才能保证取到两个颜．色不同的球．19．（2019春•河东区期末）盒子里有同样大小、同样质量的红、黄、绿、蓝四种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个相同颜色的，至少要摸出个球．20．（2019•郴州模拟）有红黄蓝三种颜色的小球各5个放入同一个箱子内（小球除颜色外其余均相同），至少取个球，可以保证取到两个颜色相同的球．21．（2018•杭州模拟）口袋里有6个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．现在从中摸出1个球，摸出球的可能性大些．至少摸出个球才能保证有2个球的颜色是相同的．22．（2018•长沙模拟）把7颗糖分给3个小朋友，不管怎么分，总有一个小朋友至少分到颗糖．23．（2018春•青龙县期末）六（1）班有45名同学，这个班中至少有名同学是同一个月出生的．从中至少任意选出名同学才能保证一定有两名同一个月出生的同学．24．（2018•遵义模拟）盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸次一定会摸到红球．25．（2017秋•皇姑区期末）盒子里有3个红球和3个绿球，一次至少摸出个球，才能保证摸出的球中既有红球又有绿球．26．（2018•长沙）一个布袋中有大小相同颜色不同的一些小球，其中黑的有10个，白的有9个，蓝的有2个，闭上眼睛一次摸出球，才能保证有四个相同的颜色．27．（2018春•祁东县期中）盒子里有同样大小的红、白两种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出个球．28．（2018•绵阳）有100张数字卡片，上面分别写着1、2、3、 、100，至少取出张卡片，就定能找到有两张数字卡片相差为5．29．（2018•徐州）一只黑布袋中装有红、黄、蓝、黑、白五种颜色的袜子各5双，一次至少要从袋中取出只，才能保证其中有2双袜子（两只是同一种颜色的算一双）．30．（2018•徐州）校组织去游览玄武湖、中山陵、总统府，规定每个班最少去一处，最多去两处游览，那么至少有个班才能保证有两个班游览的地方完全相同．31．（2018•福州）8只鸽子飞回5个鸽舍，至少有只鸽子要飞进同一个鸽舍里．32．（2018•广州）飞镖比赛的环数有1至10共十种环数，小明投了5镖，成绩是41环，则他至少有一镖不低于环．33．（2018•西安模拟）从21~40这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于．34．（2018春•抚宁区期末）把22个苹果放在7个盘里，不管怎样放，总有一个盘子里至少放进个苹果．35．（2017秋•如东县期末）袋中有6个白球，4个黑球，那么摸到球的可能性大，至少摸出个球，才能保证有一个是白球．36．（2018•兴仁县）把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里，至少要取个球，才可以保证取到两个颜色相同的球．37．（2017春•寻乌县期末）袋子里有红、黄、绿、蓝、紫五种颜色的球各4个，除颜色不同外其它完全相同，至少要摸出个才能保证有两个球的颜色相同．38．（2017•华亭县）六年级（2）班有25名同学在同一年出生，这些同学中至少有人是在同一月出生的．39．（2017•松滋市校级模拟）六（1）班有49名同学，至少有名同学是同一个月出生．40．（2017春•青龙县期末）一个袋子里有红、白、蓝三种球个10个，至少摸出个才能保证有3个球的颜色是同色．41．（2017•江西）把红、白、黄、蓝四种颜色的球各5个放到一个袋子里，至少取个球，可以保证取到两个颜色相同的球．42．（2017•武平县）把红，黄，蓝三种颜色的球各10个放在一个袋子里，至少取个球，可以保证取到两个颜色相同的球．三．判断题（共6小题）43．（2019•宁波模拟）一个盒子里装有同样大小的黄、白乒乓球各3个，要想使取出的乒乓球中一定有两个黄乒乓球，则至少应取出5个球．（判断对错）44．（2018春•抚宁区期中）六（2）班有46人，至少有4人的生日在同一个月．（判断对错）45．（2018春•汕头期中）某地五月份天气有晴、阴、小雨三种天气，至少有11天是同一种天气．（判断对错）46．（2018春•三都县期末）6个人坐4个凳子，总有一个凳子至少坐2人．（判断对错）47．（2018•上海）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书．（判断对错）48．（2016秋•德江县期末）六（2）班有50名同学，他们班至少有6名同学是同一个月出生．．（判断对错）四．解答题（共2小题）49．（2018•仙桃）某校六年级有320人，他们的年龄分别为12岁、13岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？50．（2017•长沙）一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？2019年小升初数学复习资料-抽屉原理参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放到一个篮子里，至少取出()个球，可以保证取到两个颜色相同的球．A．3个B．4个C．5个【分析】根据题意，篮子里共有三种颜色的球，我们假设取出的颜色都不一样，则需要取3个，然后再取一个，一定和其中某一个的颜色一样，所以共取4个，可以保证取到两个颜色相同的球．【解答】解：我们假设每取1个，取出的颜色都不一样，篮子里共有三种颜色的球，则需要取3个，然后再取一个，一定和其中某一个的颜色一样，所以共取4个，可以保证取到两个颜色相同的球．故选：B．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．2．箱子中有4个红球，3个白球和6个蓝球，从中摸出()个球，才能保证每种颜色的球至少有一个．A．9B．10C．11D．12【分析】箱子中有4个红球，3个白球和6个蓝球，最差的情况是，取出10个球中，分别有4个红球和6个蓝球．此时箱子中只剩下3个一样白颜色的球，只要再任取一个，就能保证每种颜色的球至少有一个，即至少要取10111+=个．【解答】解：46111++=（个)答：从中摸出11个球，才能保证每种颜色的球至少有一个．故选：C．【点评】此题考查了抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要考虑最差情况．3．在一个正方形的箱子里有形状大小完全相同的小球40个，其中红、黄、蓝、绿的各有10个，则一次至少要取出()个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同．A．3B．6C．9D．12【分析】把红、黄、蓝、绿，这四种颜色看作4个抽屉，把40个相同的小球看作40个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要放2同色球，共需要248⨯=个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色，所以至少要取出：819+=（个)，据此解答．【解答】解：4219⨯+=（个)答：一次至少要取出9个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同．故选：C．【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数．4．在37个人中至少有()个人的生肖是相同的．A．4B．3C．5D．6【分析】把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即可解答．【解答】解：37123⋯（人)÷=（人)1314+=（人)答：至少有4人的属相相同．故选：A．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，本题关键是从最差情况考虑．5．在任意的37个人中，至少有()人的属相相同．A．2B．4C．6D．9【分析】把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即可解答．【解答】解：37123⋯（人)÷=（人)1+=（人)314答：至少有4人的属相相同．故选：B．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，本题关键是从最差情况考虑．6．我有黑、蓝两种颜色大小相同的袜子，其中，黑林子有a只，蓝袜子有b只()>最少a b取()只袜子就一定能漆成一双．（同颜色的两只袜子为一双）A．2B．3C．1b+a+D．1【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头2只袜子不能配成颜色相同的一双，那么第3只肯定能与头2只袜子中的一只配成颜色相同的一双，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，+=（只)213答：最少取3只袜子就一定能凑成一双．故选：B．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑；解题思路和方法：（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉；（3）说明理由，得出结论．7．一只袋子里有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的袜子共20双，在黑暗的房子里至少取出()只，就一定能保证有10双袜子？A．20B．24C．25D．30【分析】最不走运的情况是，前5次所摸袜子的颜色各不相同，但再摸1只的时候，肯定能够配成一双，去掉配成的一双，还有颜色各不相同4只袜子，继续不走运，再摸1只，形成5只袜子颜色各不相同的局面，再摸1只袜子一定能够再配成一双，同理，依次规律，每次增加2只，即可凑成1双，所以至少取出(101)2624-⨯+=只；就能保证有10双袜子．【解答】解：根据分析可得，-⨯+(101)26=+186=（只)24答：在黑暗的房子里至少取出24只，就一定能保证有10双袜子．故选：B．【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数．8．六年级13个同学中至少有()个同学是同一个月出生．A．2B．3C．4D．5【分析】把一年12个月看作12个抽屉，把13人看作13个元素，那么每个抽屉需要放÷=（个)元素，还剩余1个，因此，至少有2名同学同一个月出生，据此解答．13121【解答】解：13121⋯（个)÷=（个)1+=（个)112答：至少有2名同学同一个月出生．故选：A．【点评】本题考查了抽屉原理：把m个元素任意放入()…个集合，则一定有一个集合至n n m少要有k个元素．其中k m n=÷+（当n不能整除mk m n=÷（当n能整除m时）或1时）．9．箱子里有3个红球，6个白球，4个蓝球，要保证每种颜色的球从箱子中至少摸到一个，那么至少要从箱子中摸出()个球．A．4B．10C．8D．11【分析】最不理想的结果是先摸4个全部是蓝球，又摸出6个全部是白球，如果再摸一次，它一定是红球．【解答】解：46111++=（个)答：至少要从箱子中摸出11个球．故选：D．【点评】最理想的结果是摸出3个球就是三种颜色，这样只是巧合，不能保证，因此要摸的个数是最少的一种摸1个，其余颜色的全部摸到．10．把红、黄、蓝、绿4种颜色的球各5个放入一个箱子里，至少要取()个球，才能保证取到一个红色的球．A．5B．11C．16【分析】由题意可知，箱子里有红、黄、蓝、绿4种颜色的球，最坏的情况是，取出3种颜色的球，都是黄、蓝、绿3种颜色的球各5个，此时只要再任意拿出一个球，就能保证取到的球中有1个红色的球．即至少要取53116⨯+=个．【解答】解：根据分析可得，⨯+=（个)53116答：至少要取16个球，才能保证取到一个红色的球．故选：C．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．11．把11只鸡放进4个鸡笼里，至少有()只鸡要放进同一个鸡笼里．A．2B．3C．4【分析】从最不利的情况考虑，先把11只鸡平均放进4个鸡笼，每个笼子里放1142÷=（只⋯（只)，如果把剩下的3只，无论再放在哪个笼子里，总有一个鸡笼里有3只鸡．)3213+=（只)；答：至少有3只鸡要放进同一个鸡笼．故选：B．【点评】抽屉原理问题首先要建立抽屉和确定元素，公式是：元素的个数÷抽屉数=商⋯余数，至少数=商1+．12．黑桃和红桃扑克牌各5张，要想抽出3张同类的牌，至少要抽出()张．A．3B．5C．6D．8【分析】从最极端情况进行分析：抽出的4张，两种颜色各有2张，这时再任取一张，即可保证有抽出3张同类的牌．【解答】解：2215⨯+=（张)答：至少要抽出5张．故选：B．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．13．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出()个球．A．2B．3C．4D．7【分析】从最极端情况分析，假设前3个球都摸出的是红球、黄球、蓝球各一个，再摸1个只能是这三种颜色中的一个，即最少要取出4个球，能保证取出的球中有两个球的颜色相同；据此解答．【解答】解：314+=（个)；答：为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出4个球．故选：C．【点评】此题做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案．14．把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进()本书．A．2B．4C．5D．6【分析】有2个抽屉，把9本书看作9个元素，那么每个抽屉需要放924⋯（本÷=（本)1 )，所以每个抽屉需要放4本，剩下的1本再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：415+=（本)，所以，至少有一个放进5本，据此解答．415+=（本)，答：总有一个抽屉里至少放进5本书．故选：C．【点评】本题考查了抽屉原理即把m个元素任意放入()n n m…个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素．其中k m n=÷+（当n不能整除m=÷（当n能整除m时）或1k m n时）．15．一个口袋装有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各10个，要摸出10个相同颜色的小球，至多要摸出()个．A．10B．21C．28【分析】把三种颜色看做三个抽屉，从极端考虑：先摸出的是红色球、黄色球和蓝色球各9个，共27个球，则再摸第28个球则一定有一种球是同色的，因此至少要摸出28个球．【解答】解：93128⨯+=（个)；答：至少需要摸出28个小球．故选：C．【点评】解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”．16．盒子里有5个黑球，3个黄球，2个绿球，任意拿出6个，一定有一个() A．红球B．黑球C．绿球【分析】考虑最差的情况：（1）先摸出5个黑球，再摸出一个求可能是黄球，也可能是绿球，一定有黑球，但不能保证有没有黄球或绿球；（2）325+=，先摸出的5个球是3黄球和2绿球，黄球和绿球都拿出了，再摸一个球，一定是黑球；综上所述，一定至少有一个黑球．【解答】解：根据最坏原理分析：（1）先摸出5个黑球，再摸出一个求可能是黄球，也可能是绿球，一定有黑球，但不能保证有没有黄球或绿球；（2）325+=，先摸出的5个球是3黄球和2绿球，黄球和绿球都拿出了，再摸一个球，一定是黑球；综上所述，一定至少有一个黑球．故选：B．【点评】解决本题根据最坏原理分成2种情况进行讨论，从而综合考虑得出结论．17．把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放进一个盒子里，至少取()个球可以保证取到两个颜色相同的球．A．4B．5C．6【分析】由于袋子里共有红、黄、蓝三种颜色的球各5个，如果一次取三个，最差情况为红、黄、蓝三种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球．即+=个．314【解答】解：314+=（个)；答：至少取4个球，可以保证取到两个颜色相同的球．故选：A．【点评】解决抽屉原理问题的关键是根据最坏原理去对问题进行分析，此题至少数=颜色数1+．二．填空题（共25小题）18．把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放到一个袋子里．至少要取4个球，才可以保证取到两个颜色相同．．．．的球；至少要取个球，才能保证取到两个颜．色不同的球．【分析】（1）由于红、黄、蓝3种颜色的球各8个，如果一次取3个，最差情况为红、黄、蓝3种颜色各一个，所以只要再多取一个球，就能保证取到两个颜色相同的球，即取+=个；314（2）要保证取到两个球颜色不同，最差情况为把同一种颜色的8个球取完，只要再多取一个球即可，即取819+=个．【解答】解：（1）314+=（个)（2）819+=（个)答：至少要取4个球，才可以保证取到两个颜色相同的球．至少要取9个球才保证两个球颜色不同．故答案为：4，9．【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用．19．盒子里有同样大小、同样质量的红、黄、绿、蓝四种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个相同颜色的，至少要摸出5个球．【分析】盒子里有同样大小红、黄、绿、蓝四种颜色的球各6个，最坏的情况是，当摸出4个球的时候，每种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出415+=个．【解答】解：415+=（个)；答：要保证摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出5个球．故答案为：5．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．20．有红黄蓝三种颜色的小球各5个放入同一个箱子内（小球除颜色外其余均相同），至少取4个球，可以保证取到两个颜色相同的球．【分析】把红黄蓝三种颜色看做三个抽屉，要保证取到两个颜色相同的球，考虑最差情况：摸出3个小球，分别是红、黄、蓝不同的颜色，那么再任意摸出1个小球，一定可以保证有2个球颜色相同．由此即可解答．【解答】解：考虑最差情况：摸出3个小球，分别是红、黄、蓝不同的颜色，那么再任意摸出1个小球，一定可以保证有2个球颜色相同．+=（个)，314答：至少摸出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球．故答案为：4．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，注意考虑最差情况解决问题．21．口袋里有6个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．现在从中摸出1个球，摸出红球的可能性大些．至少摸出个球才能保证有2个球的颜色是相同的．【分析】（1）哪种球个数多，1次描出哪种球的可能性就大；（2）一共有两种颜色的球，假设2次摸出一个红球一个黄球，那么再摸一次无论是什么颜色的球都能保证有2个球的颜色是相同的．【解答】解：（1）63>，红球多，所以描出红球的可能性大些；（2）213+=（个)至少要描出3个球才能保证有2个球的颜色是相同的．答：现在从中摸出1个球，摸出红球的可能性大些．至少摸出3个球才能保证有2个球的颜色是相同的．故答案为：红；3．【点评】本题考查了可能性的大小和抽屉原理，关键是从最差情况考虑．22．把7颗糖分给3个小朋友，不管怎么分，总有一个小朋友至少分到3颗糖．【分析】把7颗糖分给3个小朋友，即将这3个小朋友当做3个抽屉，将这7颗糖放入这3个抽屉，由于732+=颗糖．÷=颗1⋯颗，根据抽屉原理可知，有一个小朋友至少能分得213【解答】解：732⋯（颗)，÷=（颗)1则有一个小朋友至少能分得213+=（颗)．答：总有一个小朋友至少分到3颗糖．故答案为：3．【点评】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商)；然后根据：至少数=商1+（在有余数的情况下）解答．23．六（1）班有45名同学，这个班中至少有4名同学是同一个月出生的．从中至少任意选出名同学才能保证一定有两名同一个月出生的同学．【分析】（1）把一年12个月看作12个抽屉，把45名同学看作45个元素，那么每个抽屉需要放45123⋯（个)，所以每个抽屉需要放3个，剩下的9个再不论怎么放，÷=（个)9总有一个抽屉里至少有：314+=（个)，据此解答．（2）同理，每个抽屉先放一个元素，再任取一个元素放入抽屉，就能保证一定有两名同一个月出生的同学．【解答】解：（1）45123⋯（个)÷=（个)9+=（名)314答：这个班至少有4名同学是同一个月出生的．（2）12113+=（名)答：从中至少任意选出13名同学才能保证一定有两名同一个月出生的同学．故答案为：4，13．【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素的总个数÷抽屉的个数1+（有余数的情况下）”解答．24．盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸9次一定会摸到红球．【分析】考虑最坏情况：摸出8次，都是摸出的黄球，则再摸出一个一定是红球，据此即可解答．【解答】解：819+=（次)，答：至少需要摸9次一定会摸到红球．故答案为：9．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．25．盒子里有3个红球和3个绿球，一次至少摸出4个球，才能保证摸出的球中既有红球又有绿球．【分析】从最不利情况考虑，假设同种颜色的3个球取尽，然后再取其它颜色，所以再取1个，就能保证有两种颜色不相同的球，因此至少要摸出：314+=（个)；据此解答．【解答】解：314+=（个)答：一次至少摸出4个球，才能保证摸出的球中既有红球又有绿球．故答案为：4．【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，本题的难点是理解要求“至少数”必须先取尽同色的一种3个．26．一个布袋中有大小相同颜色不同的一些小球，其中黑的有10个，白的有9个，蓝的有2个，闭上眼睛一次摸出9球，才能保证有四个相同的颜色．【分析】建立抽屉：把三种颜色看做是3个抽屉，要保证有4个球颜色相同，可以考虑最差情况：蓝色的2个全部摸出，再摸出了6个球，另外分别摸出了3个黑球、3个白球、再摸1个即可满足条件，由此利用抽屉原理即可解决．【解答】解：2619++=（个)答：闭上眼睛一次摸出9球，才能保证有四个相同的颜色．故答案为：9．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的方法的灵活应用，此题要考虑最差情况．27．盒子里有同样大小的红、白两种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个是同色的，至少要摸出3个球．【分析】盒子里有同样大小的红、白2种颜色的球，最坏的情况是，当摸出2个球的时候，红、白2种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出213+=个．【解答】解：213+=（个)；答：要保证摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出3个球．故答案为：3．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．28．有100张数字卡片，上面分别写着1、2、3、⋯、100，至少取出51张卡片，就定能找到有两张数字卡片相差为5．【分析】本题属于概率问题之中抽屉问题，根据题意，任意两个末位数是1、2、3、4、5（或。
