【最新】九年级数学-2.4 用因式分解法求解一元二次方程2--精选练习

2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=12．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．1二、填空题1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．三、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0（5）4x2=11x （6）（x-2）2=2x-42．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3.我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0。

2.4用因式分解法求解一元二次方程基础题知识点1用因式分解法解一元二次方程1．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－22．(重庆中考)一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝23．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2－2x＝0或3x－4＝0B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝04．用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( ) A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝05．已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3和－5，则x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)6．方程x(x－5)＝3(x－5)的根为________________．7．解方程：(1)x(x－2)＝x；(2)(自贡中考)3x(x－2)＝2(2－x)；(3)(x＋1)2＝(2x－1)2.知识点2用适当的方法解一元二次方程8．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较简便的方法是( )A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法9．(云南中考)一元二次方程x2－x－2＝0的解是( )A．x1＝1，x2＝2B．x1＝1，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝－2D．x1＝－1，x2＝210．解方程：(2)(漳州中考)x2－4x＋1＝0；(3)2(t－1)2＋t＝1；(4)(3x－1)2－4(2x＋3)2＝0.中档题11．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是( )A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法12．(济宁中考)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为( ) A．13 B．15C．18 D．13或1813．若(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1＝0，则2m＋n的值是________．14．(襄阳中考)若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．15．读题后回答问题：解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.请回答：(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．16．用适当的方法解方程：(1)y 2＋3y ＋1＝0；(2)x 2－8x ＝84；(3)3(x －2)＝5x(x －2)；(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13.17．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a>b ），ab －b 2（a<b ），例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，求x 1*x 2的值．综合题18．阅读理解：例如：因为x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3，所以x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)．所以方程x 2＋5x ＋6＝0用因式分解法解得x 1＝－2，x 2＝－3.又如：x 2－5x ＋6＝x 2＋[(－2)＋(－3)]x ＋(－2)×(－3)．所以x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)． 所以方程x 2－5x ＋6＝0用因式分解法解得x 1＝2，x 2＝3.一般地，x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．所以x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝0，即(x ＋a)(x ＋b)＝0的解为x 1＝－a ，x 2＝－b. 请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋8x ＋7＝0；(2)x 2－11x ＋28＝0.参考答案基础题1．D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.x 1＝3，x 2＝57.(1)∵x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.(2)(3x ＋2)(x －2)＝0，x 1＝－23，x 2＝2. (3)(x ＋1)2－(2x －1)2＝0，(x ＋1＋2x －1)(x ＋1－2x ＋1)＝0，∴3x ＝0或－x ＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.8.B 9.D10.(1)(x ＋1)2＝4，x ＋1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－3.(2)∵Δ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝4±122，即x ＝2±3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. (3)2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0，∴t 1＝1，t 2＝12. (4)(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7. 中档题11．D 12.A 13.－1 14.515.(1)不正确．因为当x ＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x ＋5＝0时，方程两边仍相等．(2)原方程可化为x(x ＋5)－3(x ＋5)＝0，(x －3)(x ＋5)＝0，∴x 1＝3，x 2＝－5.16.(1)y 1＝－3－52，y 2＝－3＋52. (2)x 1＝14，x 2＝－6.(3)x 1＝2，x 2＝35. (4)原方程可化为x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.17.x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4，当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4.综合题18．(1)∵x 2＋(7＋1)x ＋7×1＝0，(x ＋7)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－7，x 2＝－1.(2)∵x 2＋[(－4)＋(－7)]x ＋(－4)×(－7)＝0，(x －4)(x －7)＝0，∴x 1＝4，x 2＝7.。

第二章 一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程精选练习一、单选题1．（2022·河南驻马店·九年级期末）关于x 的方程x （x ﹣5）＝3（x ﹣5）的根是( )A ．x ＝5B ．x ＝﹣5C ．x 1＝﹣5；x 2＝3D ．x 1＝5；x 2＝3【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：∵x （x ﹣5）﹣3（x ﹣5）＝0，∴（x ﹣5）（x ﹣3）＝0，则x ﹣5＝0或x ﹣3＝0，解得x ＝5或x ＝3，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2021·河南洛阳·九年级期末）方程220x x -=的根为( )A ．0x =B ．2x =C ．2x =-D ．0x =或2x =【答案】D【解析】【分析】由提公因式法进行因式分解，既而可解一元二次方程．【详解】解：220x x -=120,2x x \==故选：D ．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，涉及提公因式法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程212110x x -+=的一个根，则该三角形的周长为（ ）A ．11B ．21C ．11或21D ．11或1【答案】A【解析】【分析】先求出方程212110x x -+=的根，然后分x ＝1和x ＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可．【详解】解：由212110x x -+=可得()()1110x x --=，∴10x -=或110x -=，解得x ＝1或x ＝11，当x ＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11；当x ＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形，故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．4．（2022·全国·九年级课时练习）用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A ．(2x －2)(3x －4)=0 ， ∴2x －2=0或3x －4=0B ．(x +3)(x －1)=1 ，∴x +3=0或x －1=1C ．(x －2)(x －3)=2×3 ， ∴x －2=2或x －3=3D ．x (x +2)=0 ，∴x +2=0【答案】A【解析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．【详解】A ：等式右边为0，分解正确，符合题意；B ：等式右边≠0，不符合题意；C ：等式右边≠0，不符合题意；D ：x (x +2)=0 ，∴x +2=0或x =0；故答案为：A【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程．5．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．﹣1C ．﹣2或1D ．1【答案】B【解析】【分析】把1x =代入一元二次方程22240m x x m -+-=（）中即可得到关于m 的方程，解此方程即可求出m 的值．由20,m -¹即2,m ¹得到11,m =-从而得到答案．【详解】解：1x =Q 是一元二次方程22240m x x m -+-=（）的一个根，()2240m m \-+-=121,2,m m \=-=20,m -¹Q 2,m \¹1 1.m \=-故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．6．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【解析】【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+´-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．二、填空题7．（2022··八年级期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的两个根，那么这个长方形的面积是_____．【答案】6【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可，然后问题可求解．【详解】解：2560x x -+=()()230x x --=，解得：122,3x x ==，∴这个长方形的面积为2×3=6；故答案为6．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．8．（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）解方程：1+22x -3x 2＝25解得 ____．【答案】1246,3x x ==【解析】【分析】根据因式分解法进行求解一元二次方程即可．【详解】解：1+22x -3x 2＝252322240-+=x x ()()6340x x --=解得：1246,3x x ==；故答案为1246,3x x ==．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．9．（2022·全国·九年级）二元二次方程x 2﹣2xy ﹣8y 2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是_____ 或_____．【答案】 x ﹣4y ＝0 x +2y ＝0【解析】【分析】把x 2﹣2xy ﹣8y 2＝0看作是关于x 的一元二次方程，方程左边进行因式分解得到（x ﹣4y ）（x +2y ）＝0，于是得到两个一次方程：x ﹣4y ＝0或x +2y ＝0．【详解】解：∵x 2﹣2xy ﹣8y 2＝0，∴（x ﹣4y ）（x +2y ）＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +2y ＝0．故答案为：x ﹣4y ＝0；x +2y ＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．10．（2022·山东聊城·九年级期末）关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，22x =，则二次三项式2ax bx c ++可分解因式为________．【答案】(1)(2)a x x --【解析】【分析】由题意知，x −1及x −2是2ax bx c ++的两个一次因式，从而可得2ax bx c ++的因式分解结果．【详解】∵关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，22x =∴x −1及x −2是2ax bx c ++的两个一次因式∵2ax bx c ++的二次项系数为a∴2(1)(2)ax bx c a x x ++=--故答案为：(1)(2)a x x --【点睛】本题考查了一元二次方程与二次三项式因式分解的关系，即1x 、2x 是一元二次方程的两个解，则1x x -、2x x -是2ax bx c ++的两个一次因式，因而212()()ax bx c a x x x x ++=--，掌握此关系是解题的关键．三、解答题11．（2022·山东菏泽·九年级期末）解下列方程(1)(2)2x x x -=-(2)(21)(1)2-+=x x【答案】(1)122,1x x ==(2)123,12x x =-=【解析】【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）先整理，再利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：(2)2x x x -=-，∴()()210x x --=，解得：122,1x x ==；(2)解：(21)(1)2-+=x x ，整理得：2230x x +-=，∴()()2310x x +-=，解得：123,12x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法——直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题的关键．12．（2022·山东泰安·八年级期末）按照指定方法解下列方程：(1)21683x x +=（公式法）；(2)22510x x +-=（配方法）；(3)262(3)y y -=-（因式分解法）．【答案】(1)114x =，234x =-(2)154x =-254x =-(3)13y =，21y =【解析】【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；（2）根据配方法解一元二次方程；（3）根据因式分解法解一元二次方程．（1）解：21683x x +=，216830+-=x x ，()224841632560b ac -=-´´-=>，x =，114x =，234x =-；（2）解：方程整理得：25122x x +=，配方得：2525125216216x x ++=+，即2533416x æö+=ç÷èø，开方得：54x +=154x =-254x =-（3）解：方程整理得：2(3)2(3)0y y -+-=，分解因式得：(3)(32)0y y --+=，可得30y -=或10y -=，解得：13y =，21y =．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一、填空题1．（2022·安徽安庆·八年级期末）若方程22(3)30x a x a b ----=有两个相等的根，则方程20x ax b ++=的根分别是_________．【答案】10x =，23x =##13x =，20x =【解析】【分析】根据根的判别式求得a ＝﹣3，b ＝0，把a ＝﹣3，b ＝0代入x 2+ax +b ＝0得：x 2﹣3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣（a ﹣3）x ﹣3a ﹣b 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（a ﹣3）]2﹣4（﹣3a ﹣b 2）＝22694a a b +++＝（a +3）2+4b 2＝0，∴a ＝﹣3，b ＝0，把a ＝﹣3，b ＝0代入x 2+ax +b ＝0得：x 2﹣3x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝3．故答案为：x 1＝0，x 2＝3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，利用方程有两个相等的根求出a ，b 的值是解题的关键．2．（2022·全国·九年级专题练习）已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．【答案】7【解析】【分析】换元法，令22x y t +=，将原方程化为t （t －1）＝42（t 0³）， 求解一次方程即可．【详解】令22x y t +=（t 0³），∴原方程化为t （t －1）＝42，解得t ＝7，或t ＝－6（舍），∴227x y +=，故答案为：7．【点睛】本题考查用换元法求解方程．解题关键是要注意换元之后一定要考虑新未知数的取值范围，换元法的实际应用，是解题关键．3．（2022·浙江台州·二模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ¹），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．【答案】23-或1-##1-或23-【解析】【分析】将12x =和23x =分别代入20ax bx c ++=，可求得a ，b ，c 之间的等量关系，代入一元二次方程2930ax bx c -+=即可消去参数，从而解一元二次方程即可．【详解】解：Q 一元二次方程20ax bx c ++=的解为12x =，23x =，\420930a b c a b c ++=ìí++=î，解得56b a c a =-ìí=î，\一元二次方程2930ax bx c -+=可化为291560ax ax a ++=，Q 0a ¹，\291560x x ++=，解得123x =-，21x =-．\一元二次方程2930ax bx c -+=的解为23-或1-．故答案为：23-或1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得a ，b ，c 之间的等量关系，从而代入求解．4．（2022·全国·九年级课时练习）若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________．【答案】6-或2##2或-6【解析】【分析】把x m =代入， 223x x --=0，先求解m 的值，再分情况代入代数式求值即可．【详解】解：Q x m =时，代数式223x x --的为0，2230,m m \--=()()310,m m \-+=解得：123,1,m m ==-当3m =时，24391236,m m --=--=-当1m =-时，()()22431413 2.m m --=--´--=故答案为：6-或2．【点睛】本题考查的是解一元二次方程，代数式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本题的关键．5．（2022·广西梧州·八年级期末）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，则该菱形的面积为________．【答案】24【解析】【分析】利用因式分解法解方程得到x1=3，x2=5，再根据菱形的性质得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长，然后根据菱形的面积公式计算．【详解】解：x2-8x+15=0，（x-3）（x-5）=0，x-3=0或x-5=0，∴x1=3，x2=5，∵菱形一条对角线长为8，∴菱形的边长为5，∵菱形的另一条对角线长=6，×6×8=24．∴菱形的面积=12故答案为：24．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．二、解答题6．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，求n的值．【答案】n的值为8或9【解析】【分析】当4为腰长时，将x=4代入原一元二次方程可求出n的值，将n值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n =8符合题意；当4为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式D =0，解之可得出n 值，将n 值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出n =9符合题意．【详解】当4为腰长时，将4x =代入260x x n -+=，得：24640-´+=n ，解得：8n =，当8n =时，原方程为2680x x -+=，解得：12x =，24x =，∵2+4＞4，∴8n =符合题意；当4为底边长时，关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根，∴()26410n D =--´´=，解得：9n =，当9n =时，原方程为2690x x -+=，解得：123x x ==，∵3+3＞4，∴9n =符合题意．∴n 的值为8或9．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分4为腰长及4为底边长两种情况讨论是解题的关键．7．（2021·河南周口·九年级期中）已知关于x 的一元二次方程232(1)x x m x -+=-．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m 的值．【答案】(1)见详解(2)1或3-【解析】【分析】（1）将方程化为一般形式，计算判别式即可；（2）由因式分解法求出方程的解，根据两个根的差是2方程即可求出m ．(1)证明：2(3)20x m x m -+++=，∵∆22(3)4(2)(1)m m m =+-+=+≥0，∴方程总有两个实数根；(2)解：2(3)20x m x m -+++=，∴（x -1）（x -m -2）=0，∴x 1=1，x 2=m +2，∵方程两个根的差是2，∴若212m +-=，则1m =；若1(2)2m -+=，则3m =-．∴实数m 的值为1或3-．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式得到方程的根的情况，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．8．（2022·江苏·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+（m 为常数）．(1)若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根，求m 的值；(2)若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根，求证：2m n +³-．【答案】(1)m 的值为-1或1(2)见解析【解析】【分析】（1）由()240x m --=得到2x m =+，代入()()121x x m --=+求解m 即可；（2）由()240x n --=得到2x n =+，代入()()121x x m --=+得到m 、n 的关系式，进而利用配方法和平方式的非负性求解即可．(1)解：由()240x m --=得到2x m =+，将2x m =+代入()()121x x m --=+中，得：(21)(22)1m m m +-+-=+，即(1)(1)0m m +-=，解得：m =-1或m =1，故m 的值为-1或1；(2)证明：由()240x n --=得到2x n =+，将2x n =+代入()()121x x m --=+中，得：(21)(22)1n n m +-+-=+，整理得：21m n n =+-，∴221m n n n +=+-=2(1)22n +-³-，即2m n +³-．【点睛】本题考查含参数的一元二次方程的解、一元一次方程的解、配方法和平方式的非负性，利用消元思想，将问题转化为学过的一元二次方程是解答的关键．。

初中数学北师大版九年级上学期第二章 2.4用因式分解法求解一元二次方程一、单选题1.已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2－5x＋6＝0的两个根,则此直角三角形斜边长是（）A. B. C. 13 D. 52.已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值是( )A. 7B. -1C. 7或-1D. -5或33.设α、β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根，的值是（）A. ﹣1B. 1C.D.4.三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长是（）A. 12B. 13C. 15D. 12或155.如果三角形的两边长分别为方程x2﹣8x+15＝0的两根，则该三角形周长L的取值范围是（）A. 6＜L＜15B. 6＜L＜16C. 10＜L＜16D. 11＜L＜13二、填空题6.一元二次方程的根是________.7.一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是________.8.若，则的值为________.三、计算题9.解方程：（1）x2-x=0（2）x2+6x-16=0四、综合题10.如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形．请直接写出P点坐标．答案解析部分一、单选题1.答案：A解：∵x2－5x＋6＝0 ，∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0，解得x1=2,x2=3,∴此直角三角形斜边长=故答案为：A。

分析：先利用因式分解法求出方程的两根，然后根据勾股定理算出此直角三角形斜边长即可。

2.答案：A解：∵(x2-x)2-4(x2-x)-12=0∴（x2-x-6）（x2-x+2）=0∴x2-x-6=0或x2-x+2=0当x2-x=6时，x2-x+1=6+1=7x2-x+2=0，b2-4ac=1-8=-7＜0此方程无实数解故答案为：A【分析】将x2-x看着整体，将原方程利用因式分解法解方程可得到x2-x-6=0或x2-x+2=0（此方程无实数解），就来求出x2-x的值，然后整体代入代数式求值。

解一元二次方程（因式分解法）__习题精选（二）（新）第一篇：解一元二次方程(因式分解法)__习题精选(二)(新) 解一元二次方程（因式分解法）习题精选（二）直接开平方法1．如果（x－2）2=9，则x＝．方程（2y－1）2－4=0的根是．3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．方程3（4x－1）2=48的解是．配方法5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．（1）x2－2x－3=0．（2）x1=0．6．下列各式是完全平方式的是（）2A．x2+7n=7B．n2－4n－4C．x2+11x+2162D．y－2y+27．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）7265(t-)=22224 A．x+2x－99=0化为（x+1）=0B．t－7t－4=0化为2210(x-)=22239 C．x+8x+9=0化为（x+4）=25D．3x－4x－2=0化为8．配方法解方程．（1）x2+4x=－3（2）2x2+x=0因式分解法9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0D．化为x2+3x+2＝010．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）A．直接开方得3（x+1）=2（x－1）B．化为一般形式13x2+5＝0C．分解因式得[3（x+1）+2（x－1）][3（x+1）－2（x—1）]=0D．直接得x+1＝0或x－l＝011．（1）方程x（x+2）=2（z+2）的根是．（2）方程x2－2x－3=0的根是．公式法12．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是b2—4ac．13．用公式法解下列方程．2x（1）（x+1）（x+3）＝6x+4．（2）+1)x+=0．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．19．利用配方求2x2－x+2的最小值．20．x2+ax+6分解因式的结果是（x－1）（x+2），则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．22．m是非负整数，方程m2x2－（3m2—8m）x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．24．解方程（1）（x2+x）·（x2+x－2）=24；2x（2）-x-6=025．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则（）A．a=bB．a－b=lC．a+b=－1D．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?30．（2004·浙江）方程（x－1）（x+2）（x－3）＝0的根是31．（2004·河南）一元二次方程x2—2x＝0的解是（）A．0B．2C．0，－2D．0，232．方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．33．方程(m+2)x+3mx+1=0是一元二次方程，则这方程的根是什么?m第二篇：22.2.3因式分解法解一元二次方程习题精选(二)22.2.3因式分解法解一元二次方程习题精选（二）直接开平方法1．如果（x－2）2=9，则x＝．2．方程（2y－1）2－4=0的根是．3．方程（x+m）2＝72有解的条件是．4．方程3（4x－1）2=48的解是配方法5．化下列各式为（x+m）2+n的形式．（1）x2－2x－3=0．（2）x2+1=06．下列各式是完全平方式的是（）A．x2+7n=7B．n2－4n－4C．x2+112x+16D．y2－2y+27．用配方法解方程时，下面配方错误的是（）A．x2+2x－99=0化为（x+1）2=0B．t2－7t－4=0化为(t-72652)=4C．x2+8x+9=0化为（x+4）2=252210D．3x2－4x－2=0化为(x-3)=98．配方法解方程．（1）x2+4x=－3（2）2x2+x=0因式分解法9．方程（x+1）2=x+1的正确解法是（）A．化为x+1=0B．x+1＝1C．化为（x+1）（x+l－1）＝0D．化为x2+3x+2＝010．方程9（x+1）2－4（x－1）2=0正确解法是（）A．直接开方得3（x+1）=2（x－1）B．化为一般形式13x2+5＝0C．分解因式得[3（x+1）+2（x－1）][3（x+1）－2（x—1）]=0D．直接得x+1＝0或x－l＝011．（1）方程x（x+2）=2（z+2）的根是．（2）方程x2－2x－3=0的根是．2a+3b12．如果a2－5ab－14b2=0，则5b．公式法13．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是b2—4ac．14．方程（2x+1）（x+2）=6化为一般形式是b2—4acx1，x2x1+x2，x1x2=，15．用公式法解下列方程．（1）（x+1）（x+3）＝6x+4．（2）x+1)x+=0．（3）x2－（2m+1）x+m＝0．16．已知x2－7xy+12y2＝0（y≠0）求x：y的值．综合题17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x2—17x+66＝0的根，求此三角形的周长．18．关于x的二次三项式：x2+2rnx+4－m2是一个完全平方式，求m的值．19．利用配方求2x2－x+2的最小值．20．x2+ax+6分解因式的结果是（x－1）（x+2），则方程x2+ax+b＝0的二根分别是什么?21．a是方程x2－3x+1=0的根，试求的值．22．m是非负整数，方程m2x2－（3m2—8m）x+2m2－13m+15=0至少有一个整数根，求m的值．23．利用配方法证明代数式－10x2+7x－4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l、2、3．24．解方程（1）（x2+x）·（x2+x－2）=24；2x-x-6=0（2）225．方程x2－6x－k＝1与x2－kx－7=0有相同的根，求k值及相同的根．26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，若每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?27．两个不同的一元二次方程x2+ax+b=0与x2+ax+a=0只有一个公共根，则（）A．a=bB．a－b=lC．a+b=－1D．非上述答案28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．29．海洲市出租车收费标准如下（规定：四舍五入，精确到元，N≤15）N是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N的值吗?30．（2004·浙江）方程（x－1）（x+2）（x－3）＝0的根是31．（2004·河南）一元二次方程x2—2x＝0的解是（）A．0B．2C．0，－2D．0，232．（2004·南京）方程x2+kx—6=0的一根是2，试求另一个根及k的值．33．（2003·甘肃）方程(m+2)x+3mx+1=0是一元二次方程，则这方程的根是什么?34．（2003·深圳）x1、x2是方程2x2—3x—6=0的二根，求过A（x1+x2，0）B（0，xl·x2）两点的直线解析式．2(2-a)c+c+8=0，ax2+bx+c＝0，求35．a、b、c都是实数，满足m代数式x2+2x+1的值．a+b=8⎧⎪⎨2ab=48+c-的解。

【最新】九年级数学-2.4用因式分解法求解一元二次方程2--精选练习2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．下边一元二次方程解法中，正确的选项是（）．A ．（x-3 ）（ x-5） =10× 2，∴ x-3=10 ， x-5=2 ，∴ x 1=13 ， x 2=7B ．（ 2-5x ） +（ 5x-2 ）2=0，∴（ 5x-2）（ 5x-3 ） =0，∴ x 1= 2， x 2=35 5C ．（ x+2） 2+4x=0 ，∴ x 1=2， x 2=-22D ． x =x 两边同除以 x ，得 x=12．以下命题①方程kx 2-x-2=0 是一元二次方程；② x=1 与方程 x 2=1 是同解方程；③方程x 2 =x 与方程 x=1 是同解方程；④由（x+1）（ x-1 ） =3 可得 x+1=3 或 x-1=3 ，此中正确的命题有（ ）．A ．0个B ．1 个C ．2 个D ．3 个3．假如不为零的 n 是对于 x 的方程 x 2-mx+n=0 的根，那么 m-n 的值为（）．1 B ．-11 D ． 1A ． -C ．22二、填空题1． x 2-5x 因式分解结果为 _______； 2x （ x-3） -5（ x-3）因式分解的结果是 ______ ． 2．方程（ 2x-1） 2=2x-1 的根是 ________．3．二次三项式x 2+20x+96 分解因式的结果为 ________；假如令 x 2+20x+96=0 ，那么它的两个根是 _________．三、综合提升题1．用因式分解法解以下方程． （1） 3y 2-6y=0 （2） 25y 2-16=022（ 3） x -12x-28=0 （ 4）x -12x+35=0（ 5） 4x 2=11x （ 6）（ x-2） 2=2x-42．已知（ x+y ）（ x+y-1 ）=0 ，求 x+y 的值．3.我们知道 x 2-（ a+b ）x+ab= （ x-a ）（ x-b ），那么x 2-（ a+b ）x+ab=0便可转变为（x-a ）（x-b ）=0，请你用上边的方法解以下方程．（ 1） x 2-3x-4=0 （2） x 2-7x+6=0 （ 3） x 2+4x-5=0。

2018-2019学年度九年级数学上册第二章一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年度九年级数学上册第二章一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4 用因式分解法求解一元二次方程一．选择题(共10小题）1．解方程 7（8x+3）=6（8x+3）2的最佳方法应选择（）A．因式分解法B．直接开平方法C．配方法 D．公式法2．方程5x（x+3）=3（x+3）的解为（）A．x1=，x2=3 B．x=C．x1=﹣，x2=﹣3 D．x1=,x2=﹣33．方程x(x﹣3)=0的解为( ）A．x=0 B．x1=0，x2=3 C．x=3 D．x1=1，x2=34．方程x（x﹣1）=x的解是（）A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0,x2=25．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根,则第三边的长为（）A．2 B．5 C．7 D．5或76．一元二次方程x2+2x﹣3=0的两个根中，较小一个根为( ）A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣17．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（)A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或28．设(x2+y2）(x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（)A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．59．一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为3,4,那么因式分解二次三项式2x2+px+q=（）A．（x﹣3）（x﹣4） B．（x+3)（x+4） C．2（x﹣3)(x﹣4) D．2(x+3）（x+4)10．已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15=0的一个实数根，则该三角形的面积是（)A．12或B．6或2C．6 D．二．填空题(共6小题）11．认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当：(1）4x2+16x=5,应选用法；（2)2（x+2）（x﹣1）=(x+2）（x+4），应选用法；（3）2x2﹣3x﹣3=0，应选用法．12．方程x2﹣5x=0的解是．13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是．14．对于实数a，b，定义运算“※"如下：a※b=a2﹣ab,例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1)※（x﹣2）=6，则x的值为．15．已知(x2+y2)(x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．16．如果﹣﹣8=0,则的值是．三．解答题（共4小题）17．用因式分解法解下列方程：（1）x2+16x=0；（2）5x2﹣10x=﹣5；（3）x(x﹣3）+x﹣3=0；（4）2（x﹣3）2=9﹣x2．18．利用换元法解下列方程：（1）(x+2）2+6（x+2)﹣91=O;（2）x2﹣(1+2）x﹣3+=0．19．一个直角三角形的两条直角边的长恰好是一元二次方程2x2﹣8x+7=0的两个根，求这个直角三角形的周长．20．先阅读，再解题解方程(x﹣1)2﹣5（x﹣1)+4=0，可以将（x﹣1）看成一个整体,设x﹣1=y,则原方程可化y2﹣5y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2，当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（2x﹣5）2﹣4（5﹣2x）+3=0．参考答案一．选择题（共10小题）1．A．2．D．3．B．4．D．5．B．6．B．7．C．8．C．9．C．10．B．二．填空题(共6小题）11．配方，因式分解，公式．12．x1=0，x2=5．13．13．14．1．15．4．16．=4或﹣2．三．解答题（共4小题）17．（1）原方程可变形为：x（x+16）=0，x=0或x+16=0．∴x1=0，x2=﹣16．（2)原方程可变形为x2﹣2x+1=0，(x﹣1)2=0．∴x1=x2=1．（3）原方程可变形为（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0或x+1=0∴x1=3，x2=﹣1．（4）原方程可变形为2（x﹣3）2+x2﹣9=0，（x﹣3）（2x﹣6+x+3）=0，即（x﹣3）（3x﹣3）=0．x﹣3=0或3x﹣3=0．∴x1=3,x2=1．18．（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=O；设x+2=y,则原方程可变形为：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，当y1=7时，x+2=7,x1=5，当y2=﹣13时，x+2=﹣13，x2=﹣15；（2)x2﹣（1+2)x﹣3+=0，［x﹣（3+)］[x+(2﹣）]=0,x﹣（3+）=0，x+（2﹣）=0，x1=3+,x2=﹣2+．19．解：设直角三角形的两条直角边为a，b，则a+b=4，ab=，∴斜边c====3，∴这个直角三角形的周长=4+3=7．20．解:设2x﹣5=y，则原方程可化y2+4y+3=0,解得y1=﹣1，y2=﹣3，当y=﹣1时,即2x﹣5=﹣1，解得x=2，当y=﹣3时，即2x﹣5=﹣3,解得x=1，所以原方程的解为x1=1,x2=2．。

九年级数学（上）第二章《一元二次方程》同步测试2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1.方程x2+x-12=0的两个根为（）A．x1=-2，x2=6 B．x1=-6，x2=2 C．x1=-3，x2=4 D．x1=-4，x2=32.方程x（x-5）=0的根是（）A．x=0 B．x=5 C．x1=0，x2=5 D．x1=0，x2=-53.方程（x-5）（x-6）=x-5 的解是（）A．x=5 B．x=5 或x=6 C．x=7 D．x=5 或 x=74. 一元二次方程x2-4x=12的根是（）A．x1=2，x2=-6 B．x1=-2，x2=6 C．x1=-2，x2=-6 D．x1=2，x2=65.若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为（）A．4或-2 B．4 C．-2 D．-46.根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（）A．-4 B．2 C．-4或2 D．2或-27.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2-16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．48 C．24或D．8. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对9. 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想10. 现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=a 2-3a+b ，如：3★5=32-3×3+5，若x ★2=6，则实数x 的值是（ ）A ．-4或-1B ．4或-1C ．4或-2D ．-4或2 二、填空题1.方程x 2=-x 的解是 ．2.一元二次方程x （x-2）=0的解是 ．3.方程（x-3）2=x-3的根是 ．4.方程x 2+4x-5=0的解是 ．5.方程x （x-2）=-（x-2）的根是 ．6.若x 2-3x+2=0，则221x x= ． 7.若（x 2+y 2）2-5（x 2+y 2）-6=0，则x 2+y 2= ． 8.若（x 2+y 2）（x 2+y 2-1）=12，则x 2+y 2= ．9.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中，会得到一个新的实数a 2-2b+3，若将实数对（x ，-2x ）放入其中，得到一个新数为8，则x= ．10.若方程x 2-7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是 ．三、解答题 1.解方程：2（x-3）2=x 2-9．2.解方程：x 2-3x+2=0．3.解方程：（1）3x （x-1）=2x-2（2）x 2+3x+2=0．4.小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：（1）小明的解法从第 步开始出现错误；此题的正确结果是 ．（2）用因式分解法解方程：x（2x-1）=3（2x-1）5.若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48 （1）求3※5的值；（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．参考答案一、选择题1.D；2.C；3.D；4.B；5.B；6.C；7.C；8.B；9.A；10.B.二、填空题1. 0或-12.x1=0，x2=2．3. x1=3，x2=4．4. x1=-5，x2=1．5. x1=2，x2=-1．6.5；7.6；8.4；9. -5或1．10.5.三、解答题1.解：方程变形得：2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，分解因式得：（x-3）（2x-6-x-3）=0，解得：x1=3，x2=9．2.解：∵x2-3x+2=0，∴（x-1）（x-2）=0，∴x-1=0或x-2=0，∴x1=1，x2=2．3.解：（1）3x（x-1）-2（x-1）=0，（x-1）（3x-2）=0，x-1=0或3x-2=0，所以x1=1，x2=；（2）（x+1）（x+2）=0，x+1=0或x+2=0，所以x1=-1，x2=-2．4. 解：（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，3x2-8x（x-2）=0，x（3x-8x+16）=0，x（5x-16）=0，x1=0，x2=165；（2）x（2x-1）=3（2x-1），（2x-1）（x-3）=0，2x-1=0或x-3=0，x1=12，x2=3．5. 解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x-2※4=0得，4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，∴x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=14．。

《2.4分解因式法》练习一、基础过关1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣12．方程x2+x﹣12=0的两个根为（）A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=33．小华在解一元二次方程x2-x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=04．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或115．一元二次方程x2﹣4x=12的根是（）A．x1=2，x2=﹣6 B．x1=﹣2，x2=6 C．x1=﹣2，x2=﹣6 D．x1=2，x2=66．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．48 C．24或8D．8二、综合训练7．已知：（x2+4x﹣5）0=x2﹣5x+5，则x= ．8．已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=-1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为9．若方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是．10．方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根是．11．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x= ．12．已知（a+b）2﹣2（a+b）﹣3=0，则a+b= ．三、拓展应用13．观察下面方程的解法：x4﹣13x2+36=0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3你能否求出方程x2﹣7|x|+10=0的解吗？14．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．15．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．16．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48 （1）求3※5的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．17．当x为何值时，代数式x2﹣13x﹣12的值等于18．18．已知，求一元二次方程bx2﹣x+a=0的解．参考答案一、基础过关1．C．解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．2．D．解：x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．故选D．3．D．解：x2-x=0，提公因式得：x（x-1）=0，可化为：x=0或x-1=0，解得：x1=0，x2=1，则被漏掉的一个根是0．故选D．4．D．解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．5．B解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0，分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0，解得：x1=﹣2，x2=6，故选B6．C．解：x2﹣16x+60=0（x﹣6）（x﹣10）=0，x﹣6=0或x﹣10=0，所以x1=6，x2=10，当第三边长为6时，如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，作AD⊥BC，则BD=CD=4，AD===2，所以该三角形的面积=×8×2=8；当第三边长为10时，由于62+82=102，此三角形为直角三角形，所以该三角形的面积=×8×6=24，即该三角形的面积为24或8．故选C．二、综合训练7．答案为4．解：x2﹣5x+5=1，x2﹣5x+4=0，（x﹣1）（x﹣4）=0，x﹣1=0或x﹣4=0，所以x1=1，x2=4，当x=1时，x2+4x﹣5=0；当x=4时，x2+4x﹣5≠0，所以x=4．故答案为4．8．答案为：（x-1）（x+2）解：∵关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=-1，x2=2，∴x1+x2=b=-1+2=1，x1•x2=c=-1×2=-2，即：b=1，c=-2．∴x2+bx+c=x2+x-2，∵-2=-1×2，且-1+2=1，∴∴x2+bx+c=x2+x-2=（x-1）（x+2），故答案为：（x-1）（x+2）．．9．斜边长是5解：解方程x2﹣7x+12=0解得x=3，x=4；由勾股定理得：斜边长==5．故这个直角三角形的斜边长是5.10．x=3或x=．解：原方程可化为：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，（2x﹣5）（x﹣3）=0，2x﹣5=0或x﹣3=0，解得：x1=，x2=3；故原方程的解为x=3或x=．11．答案为﹣5或1．解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为﹣5或1．12．答案为：3或﹣1．解：（a+b）2﹣2（a+b）﹣3=0，（a+b﹣3）（a+b+1）=0，a+b﹣3=0，a+b+1=0，a+b=3，a+b=﹣1，故答案为：3或﹣1．三、拓展应用13．解：x2﹣7|x|+10=0（|x|﹣2）（|x|﹣5）=0∴|x|﹣2=0或|x|﹣5=0，解得，x1=2，x2=﹣2，x3=5，x4=﹣5．14．解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．15．解：（1）∵方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×k×2=16﹣8k≥0，解得：k≤2，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以把x=2代入方程，可得k=，所以原方程是：3x2﹣8x+4=0，解得：x1=2，x2=，所以BC的值是．16．解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60，（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4，（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．17．解：由题意可得，x2﹣13x﹣12=18移项及合并同类项，得x2﹣13x﹣30=0∴（x﹣15）（x+2）=0∴x﹣15=0或x+2=0，解得x=15或x=﹣2，即当x=15或x=﹣2时，代数式x2﹣13x﹣12的值等于18．18．解：∵|a﹣1|+=0，∴a﹣1=0，b+2=0，解得：a=1，b=﹣2，代入方程得：﹣2x2﹣x+1=0，即2x2+x﹣1=0，分解因式得：（2x﹣1）（x+1）=0，解得：x=﹣1或x=．。