2013年高考数学全国课标卷选择第12题解法的思考

2013年高考数学试题分析（新课标卷）山西晚报网--2013-06-10■特邀名师许晓莉:山大附中数学高级教师、山西省学科带头人、山西省教学能手、山西省骨干教师、山西省优秀班主任、太原市德育标兵今年是山西省使用新课标卷高考的第三年，经历了第一年的易，第二年的难，考前按一线教师的估计今年应该难易适中，趋于稳定。

但从学生考完后的反应来看，有的感觉易，有的感觉难，说法不一。

7日晚我拿到试卷认真分析后，认为今年的考题不偏、不怪，理科数学与去年难度相近，文科数学与去年相比较为简单。

一、今年高考数学具体有以下特点1、试题构成总体稳定，风格特点基本没变从试题总体来看，主干知识中函数约22分，立体几何约22分，圆锥曲线约22分，三角约17分，概率统计约17分，数列约15分，不等式及其应用约10分，向量、二项式定理、集合、复数及算法各5分。

不过理科卷中一些常见知识没有考查，比如：命题与逻辑，排列组合，三角函数的图像和变换，线性规划，积分，正态分布，独立性检验与回归分析等。

文科卷的知识点覆盖比较全面。

今年的考题仍遵循了考试大纲所倡导的“高考应具有较高的，必要的区分度和适当的难度”这一原则。

很多题目似曾见过，但又不尽相同，进行了适度创新，体现了对考生思维能力和灵活应用知识的考查。

总之，试题融入了考纲的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材寓于教材又高于教材，立意创新又朴实无华，为以后的高中新课程的数学教学改革和日常教学，具有积极的导向作用。

2、试题知识点考查层次分明，难度设置比较合理理科试卷共24个题，其中22、23、24题是三选一。

1到12题是选择题，13到16题是填空题，17到24题是解答题。

选择题中前11个题目，比较常规，是学生平时常练的类型，容易上手。

不过个别题目问法较为新颖，需有一定的思辨能力。

第12题融合了数列、三角、圆锥曲线三大知识点，有一定的难度。

由于这个题属选择题，可以选择小题小做的办法，采用特值技巧加以解答。

说题：选择压轴题的探究和感悟永定一中 王仲年一、说题背景：高考数学选择题在全国卷高考中，不但题目数量多，且占分比例高，共计60分，占40％。

其中对选择压轴题，即第11题和第12题的考查，体现了量化突出、充满思辨性、形数兼备、难度大等诸多特点，是优秀生之间得分拉开差距的关键，快速、准确、无误地做对这两题是十分必要的，也是决胜高考的前提。

二、考查特点：1.能在较大的知识范围内，实现对基础知识，基本技能和基本思想方法的考查；2.能比较确切地测试考生对概念、原理、性质和法则、定理和公式的掌握和理解；3.在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力、运算能力空间想象能力，以及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力。

4.形式短小精悍，考查目标集中，形式灵活多变，答案明确具体，评分客观准确。

三、解题策略：1.充分利用选择题中的题干、选项给出的重要信息和四选一的要求；2.解选择题的基本原则小题要小做、繁题会简做、难题需巧做。

解选择题的基本方法除了用直接计算方法之外还可以用逆向思维法、特例法、验证法、排除法、估算法、数形结合法、整体法、等价转化法等方法求解。

3.解选择题应注意以下几点：细——审题要细，不能粗心大意；快——运算要快，力戒小题大作；准——目标要准，不可操之过急；活——解题要活，不要生搬硬套，这样才能做到方法恰当，一步到位。

四、近五年全国课标卷Ⅰ卷相关考题展示：1.2011年课标Ⅰ卷理数第11题：设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A. f (x )在)2,0(π单调递减 B ．f (x )在），（434ππ单调递减 C ．f (x )在)2,0(π单调递增 D ．f (x )在），（434ππ单调递增 【命题意图】本题主要考查三角函数及其性质。

2.2011年课标Ⅰ卷理数第12题：函数y ＝11－x的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【命题意图】本题主要考查函数零点及函数对称性知识。

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.2或﹣＜C．=+==+i，3．（5分）（2014•四川模拟）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下4．（5分）已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（）．C D由题意可得，由此求得=，从而求得双曲线的渐近线方程．的离心率为，故有，∴，解得=5．（5分）（2014•武汉模拟）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（），6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）．C D．V===8．（5分）（2014•武汉模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）×9．（5分）（2014•武汉模拟）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二，13=7×=7×，即×，即10．（5分）（2014•甘肃一模）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E ．C D．代入椭圆方程得可得，利用斜率计算公式可得==c=3=，代入椭圆方程得，，∴．，=．∴c=3=的方程为11．（5分）（2014•武汉模拟）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）==，=所以其面积=二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2014•苏州一模）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．•，对式子=t+两边与作数量积可得解：∵，，∴=0，∴14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．，解得）﹣（=整理可得15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．）解析式提取=2cosx=（=﹣16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．﹣﹣2+），）时，2+，）2+﹣2+﹣2+三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．中，由正弦定理得=，∴=中，由正弦定理得，即．∴18．（12分）（2014•仁寿县模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．为坐标原点，||，，的坐标，设的法向量，则（，＞，即为所求正弦值．为坐标原点，的方向为||，），，，﹣），即，，可得=，＜，=所成角的正弦值为：19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X的分布列及数学期望．=﹣=400 500 800××+800×=506.2520．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．根据的方程为|AB|=，解得时，联立∴．|AB|==由于对称性可知：当．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．．BG=23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）的参数方程式，解得或，），24．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．对都成立．故﹣≥且当对≥，故]。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(新课改II)(理科)第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一.选择题：本大题共10小题。

每题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

〔1〕已知集合M = {x | (x -1)2 < 4, x ∈R }，N =｛-1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩ N =〔A 〕{0, 1, 2｝ 〔B 〕{-1, 0, 1, 2} 〔C 〕{-1, 0, 2, 3} 〔D 〕{0, 1, 2, 3}答案：A【解】将N 中的元素代入不等式：(x -1)2 < 4进行检验即可. 〔2〕设复数z 满足(1-i )z = 2 i ，则z =〔A 〕-1+ i 〔B 〕-1- i 〔C 〕1+ i 〔D 〕1- i答案：A【解法一】将原式化为z = 2i1- i,再分母实数化即可.【解法二】将各选项一一检验即可.〔3〕等比数列{a n }的的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1 =〔A 〕13〔B 〕- 13〔C 〕19〔D 〕- 19答案：C【解】由S 3 = a 2 +10a 1 ⇒ a 3 = 9a 1 ⇒ q 2 = 9 ⇒ a 1 =a 5q 4 = 19〔4〕已知m , n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β . 直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊂ /α，l ⊂ /β, 则：〔A 〕α∥β且l ∥α 〔B 〕α⊥β且l ⊥β 〔C 〕α与β 相交，且交线垂直于l 〔D 〕α与β 相交，且交线平行于l 答案：D【解】显然α与β 相交，不然α∥β 时⇒ m ∥n 与m , n 为异面矛盾. α与β 相交时，易知交线平行于l .〔5〕已知(1+a x )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则a = 〔A 〕- 4 〔B 〕- 3〔C 〕- 2 〔D 〕- 1 答案：D 【解】x 2的系数为5 ⇒C 25+a C 15 = 5 ⇒a = - 1〔6〕执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =〔A 〕1+ 12 + 13 + … + 110〔B 〕1+ 12! + 13! + … + 110!〔C 〕1+ 12 + 13 + … + 111〔D 〕1+ 12! + 13! + … + 111!答案：B【解】变量T , S , k 的赋值关系分别是：T n+1 =T nk n, S n+1 = S n+ T n+1, k n+1 = k n + 1.( k 0 =1, T 0 = 1, S 0 = 0) ⇒ k n= n + 1, T n= T nTn -1×T n -1T n -2× …×T 1T 0×T 0= 1k n -1×1k n -2×…×1k 0 = 1n !, S n= (S n - S n -1) + (S n -1- S n -2) + … + (S 1- S 0) + S 0 = T n+ T n -1 + … + T 0= 1+12! + 13! + … + 1n !满足k n> N 的最小值为k 10= 11，此时输出的S 为S 10〔7〕一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0〕，(0, 1, 1〕，(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以z O x 平面为投影面，则得到正视图可以为答案：A 【解】〔8〕设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则〔A 〕c > b > a 〔B 〕b > c > a 〔C 〕a > c > b 〔D 〕a > b > c答案：D【解】a = 1 + log 32，b = 1 + log 52，c = 1 + log 72log 23 < log 25 < log 27 ⇒ log 32 > log 52 > log 72 ⇒ a > b > c〔9〕已知a > 0，x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1x + y≤3y ≥a (x - 3) , 假设z =2x + y 的最小值为1，则a =〔A 〕14〔B 〕12〔C 〕1 〔D 〕2 答案：B 【解】如下图，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, -1) 即为最优解，此时a = k BC = 12(A)(B) (C) (D)l xy C1A (1, 2)B (3, 0)o〔10〕已知函数f (x ) = x 3 + a x 2 + b x + c ，以下结论中错误的选项是〔A 〕 x 0∈R , f (x 0)= 0〔B 〕函数y = f (x )的图像是中心对称图形〔C 〕假设x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x 0)单调递减〔D 〕假设x 0是f (x )的极值点，则f '(x 0 ) = 0答案：C【解】f (x ) 的值域为(-∞, +∞), 所以〔A 〕正确； f (x ) = [x 3 + 3x 2• a 3 + 3x •( a 3)2 + ( a 3)3 ]+ b x - 3x •( a 3)2 + c - ( a3)3= (x + a 3)3 + (b - a 23)(x + a 3) + c - ab 3 - 2a 327因为g (x ) = x 3 + (b -a 23)x 是奇函数，图像关于原点对称， 所以f (x ) 的图像关于点(- a 3 , c - ab 3 - 2a 327)对称.所以〔B 〕正确；显然〔C 〕不正确；〔D 〕正确.〔11〕设抛物线C ：y 2 =2p x ( p > 0)的焦点为F ，点M 在C 上，| MF |=5，假设以MF 为直径的圆过点(0, 2)，则C 的方程为 〔A 〕y 2 = 4x 或y 2 = 8x 〔B 〕y 2 = 2x 或y 2 = 8x 〔C 〕y 2 = 4x 或y 2 = 16x 〔D 〕y 2 = 2x 或y 2 = 16x 答案：C【解】设M (x 0, y 0)，由| MF |=5 ⇒ x 0 + p 2 = 5 ⇒ x 0 = 5 - p2圆心N (x 02 + p 4 , y 02 )到y 轴的距离| NK | = x 02 + p 4 = 12| MF |，则圆N 与y 轴相切，切点即为K (0, 2)，且NK 与y 轴垂直⇒ y 0 = 4 ⇒2p (5 - p2 ) = 16 ⇒ p = 2或8 .〔12〕已知点A (-1, 0)，B (1, 0)，C (0, 1)，直线y = a x +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是：〔A 〕(0, 1)〔B 〕(1-22 , 12)〔C 〕(1-22 , 13](D) [ 13 , 12)答案：B【解】情形1：直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如下图，设MC = m , NC = n , 由条件知S △MNC = 12 ⇒ mn = 1显然0 < n≤ 2 ⇒ m =1n ≥ 22又知0 < m≤ 2 , m ≠n 所以22≤ m ≤ 2 且m ≠1D 到AC 、BC 的距离为t , 则t m + t n = DN MN + DMMN= 1⇒ t = mn m +n ⇒1t = m + 1mf (m ) = m + 1m (22 ≤ m ≤ 2 且m ≠1)的值域为(2, 322 ] ⇒ 2 < 1t ≤322 ⇒ 23 ≤ t < 12因为b =1- CD =1- 2t ，所以1-22 < b ≤ 13情形2：直线y = a x +b 与AB 、BC 相交时，如下图， 易求得x M = - b a , y N = a +b a +1 ,由条件知(1+ b a ) a +ba +1 = 1⇒ b 21-2b= aM 在线段OA 上⇒0< ba <1 ⇒0 < a < bN 在线段BC 上⇒0<a +ba +1<1 ⇒b < 1 解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 12二、填空题：本大题共4小题，每题5分。

Total.258October 2013（C）The Science Education Article Collects总第258期2013年10月（下）摘要选择题得分率的高低和解题速度的快慢直接影响着每位学生的高考成绩，是决胜高考的关键。

解答选择题的方法是以直接法为主，然后根据题目选择特例法、代入检验法、数形结合法、逆向思维等间接法求解。

本文以2013年各地高考卷为研究对象，选取部分题目对数学选择题的解法进行分析，并提出了高三选择题复习的建议。

关键词高考数学选择题直接法间接法解法分析复习建议Analysis on the Problem -Solving of Multiple -Choice Questions in 2013College Entrance Examination for Mathematics //Huang YaliAbstract The score and solving speed of multiple-choice ques-tions is the key directly affecting students'performance in college entrance examination.The main solution to multiple-choice questions is the direct method,finally solving them with themethods of special cases,substitution,number-image combina-tion and reverse thinking.With 2013college entrance examina-tions around China as the research object,several multi-ple-choice questions are selected and analyzed,and the sugges-tions on reviewing multiple-choice questions are also put forwardin this paper.Key words college entrance examination for mathematics;multi-ple-choice question;direct method;indirect method;method anal-ysis;review suggestion高考数学选择题在全卷的开始部分,所以选择题得分率的高低及解题速度的快慢直接影响着每位考生的高考成绩,是高考数学试卷的三大题型之一。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷）解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈，则M中元素的个数为，，={x|x=a+b,a A,b B}A，B={45}（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系，从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7，集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5，6，7，8}，元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法，特别是描述法，容易忽略互异性.2.3(1)=（）A．-8 B．8 C．8i- D．8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论，还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-，则λ=（）=+，若()()m n m nmλ=+，(2,2)nλA．-4 B．-3 C．-2 D．-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥，则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-，所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=，从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<，得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系，列出不等式，求解. 5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21x x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x （即用y 表示x ），即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+，得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式，关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列，再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-，从而知数列{}n a 是首项14a =，公比13q =-的等比数列，因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系，若为特殊数列直接代公式求解，若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =，4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =，所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解，容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标，然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002pA y k x =-，1002pA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---，故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标，再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题，考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立，212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数，max 211232()2y <-⨯=，3a ∴≥，故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3D ．13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直，找出线面角的平面角，再求三角形的内角. 解答过程:如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==，则2AC OC ==，1C O ====由等面积法，得11C O CH OC CC ⋅=⋅，即222CH =⋅，23CH ∴=，223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角，易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点，若0MA MB ∙=，则k=（ ）A ．12B．2C．2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标，再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-， 其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2，故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求（本题设出点A 、B 的坐标而不必求出）的方法求解，易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系，通过换元，再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=，得t =当1t =±时，函数值为0;(1)0g ±=，(g =，g =所以max()g x =，即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手，恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的，易看错求错，换成正确答案;对称性，奇偶性，最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13.已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α，再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-，故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用，易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人，再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ，再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，由图并结合题意可知12BCk =，4AC k =，若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径，再用表面积公式求解.解答过程:如右图，没MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE MN ⊥，KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒，又MN=R ，OMN ∴∆为正三角形，OE R∴=又OK EK ⊥，3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球（圆）心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:（1）先求出2a 与公差，（2）求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意;若23a =，则2(6)(3)(122)d d d-=-+，解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题，通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（Ⅰ）求B;（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.答案:（Ⅰ）120B =︒;（Ⅱ）15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:（1）先用佘弦定理求得角B ，（2）用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒ （Ⅱ）由（Ⅰ）知60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用内角和定理.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明:PB CD ⊥; （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小. 答案:（Ⅰ）详见解答过程;（Ⅱ）arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:（1）运用三垂线定理证明空间线线垂直，（2）找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:（Ⅰ）取BC 的中点为E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD .因此PB CD ⊥（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知PB CD ⊥，PO CD ⊥，PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ，PC 的中点G ，连结FG. 则FG//CD ，FG ⊥PD连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥. 设AB=2，则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中，12FG CD ==AF ，3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由（Ⅰ）知，OE ，OB ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =，则(A，(0,D，C，PPC =，(0,PD =，(2,0,AP =，(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=，则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=，1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=，0y z +=. 取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q，则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=，2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=，可得0m q +=，0m q -=.取1m =，得1p =，1q =-，故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时，考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法，有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率;（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 答案:（Ⅰ）14（Ⅱ）98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:（1）运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率，（2）分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时，通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率，求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.（本小题满分12分） 已知双曲线C:22221x y a b -=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线y=2与C（Ⅰ）求a,b;（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:（Ⅰ）1,a b ==（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:（1）由离心率即可得a 和b 的关系，（2）再由直线y=2与C 的两个交点间的（Ⅰ），（3）由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-.于是，11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-.226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时，需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程，对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式（如两点间的距离公式，斜率公式…）求解.22.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值; （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:（Ⅰ）12;（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用，是一创新性题目，主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质，具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:（1）运用导数即可求得λ的最小值，（2）运用所要证明的不等式与问题（Ⅰ）中结论的联系即可求解.解答过程:（Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >. 若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明:令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <， 即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =，则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查，通过构造、推理、分类、放缩等方法，融知识、能力与素质与一体，综合问题对分析问题，解决问题能力具有很高要求.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （ ） （A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以M N {}2,1,0=，选A.2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A. 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（ ）（A ） 31（B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α， l ⊄β，则（ ）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（ ） （A ） －4 （B ） －3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的S =（ ）【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，选B.7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >>【答案】D9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。

2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A．3B．4C．5D．6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．（5分）=（ ）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i【考点】A5：复数的运算．【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．【解答】解：故选：A．【点评】复数代数形式的运算，是基础题．　3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．　4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．∴则函数f（2x+1）的定义域为．故选：B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．6．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（ ）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）A．5B．8C．12D．18【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为T r+1=C3r x r令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，（1+y）4的展开式的通项为T r+1=C4r y r令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，故选：D．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选：B．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，故≥0在（，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．∴h（x）＜h（）=3∴a≥3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称B．C．D．f（x）既是奇函数，又是周期函数【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B 两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x，f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；对于B，因为f（+x）=cos（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，f（﹣x）=cos（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x ）是奇函数．因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x），所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．综上所述，只有C项不正确．故选：C．【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则cotα=　2　．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值．【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0，又sinα=﹣，所以cosα=﹣=﹣则cotα==2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480　种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，所以共有：=480．故答案为：480．【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．　15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　[，4]　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于　16π　．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和为S n．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项式．【考点】85：等差数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为d由得，3∴a2=0或a2=3由题意可得，∴若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）解可得d=0或d=2∴a n=3或a n=2n﹣1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD都是等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量．【专题】11：计算题；5G：空间角．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA 、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG ⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角连接AG、EG，则EG∥PB∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3∴cos∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccos，即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos．【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B 1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．从而EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．22．（12分）已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{a n}的通项a n=1+．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合．【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；（II ）根据（I ）的证明，可取λ=，由于x ＞0时，f （x ）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I ）由已知，f （0）=0，f′（x ）==，∴f′（0）=0欲使x ≥0时，f （x ）≤0恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x ）＜0恒成立，当λ≤0时，f′（x ）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意， 若0＜λ＜时，由f′（x ）＞0解得x ＜，则当0＜x ＜，f′（x ）＞0，所以当0＜x ＜时，f （x ）＞0，此时不合题意，若λ≥，则当x ＞0时，f′（x ）＜0恒成立，此时f （x ）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x ＞0时，f （x ）＜0 恒成立，综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为 （ II ）令λ=，由（I ）知，当x ＞0时，f （x ）＜0，即取x=，则于是a 2n ﹣a n +=++…++====＞=ln2n ﹣lnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度第25页（共25页）。

2013年江苏高考数学试题分析及新高三复习建议2013年江苏高考试卷重点突出，层次分明，逐步深入，使学生解题入手容易，能在平和的心理状态下正常发挥，自我满意程度较高，考生出了考场的第一个反应是试卷比较简单，很多考生都是面带笑容走出考场，可见该卷公信度较好。

但看似简单的试卷能否拿到较高的分数呢？据报道省均分87，还是出乎大众的意料之外的。

纵观全卷，可归纳为以下几个特点：1 小题简单大题易上手。

学生反映：基本熟悉填空题着重考查基础知识和基本技能，对数学能力考查体现不同的要求，较去年稳中有降。

1～10题是体现最低要求的容易题，只需稍作运算即可顺利完成，具有很好的导向作用，引导广大教师遵循课程标准，充分利用教材开展教学活动。

11～14题复杂程度、能力要求和解题难度也不是很大，尤其13、14是传统难题位置，而本卷13题、14题也是复习中做到的熟悉题，属中档难度。

当然这些题对把握概念本质属性和运用数学思想方法提出较高要求，对考生的想像力、抽象度、灵活性、深刻性等思维品质提出一定的要求。

六道大题中前两题是常规题，也未设置陷阱，几何证明题与几次模拟考试差不多，难度不大但一定要注意规范答题。

第18道应用题令人印象深刻，该题材料较长，计算量较大，解题需要用到三角函数知识。

19题是数列题，有两个小问，第二问比较难，反映学生解决多元问题的能力还不够。

20题考查导数的应用，作为压轴题，该题并未设置太大的思维障碍和特别的解题技巧，切入容易答全难，如果时间允许，还是能得些分的。

2 试卷结构大同小异。

学生反映：没有影响2013年江苏高考试卷结构与前五年保持一致，各题型所占分值和分值分布不变。

数学Ⅰ题量延续14+6的模式，数学Ⅱ（理科附加题）四选二，加两题必做题，题型相对稳定，考试范围与江苏省的《考试说明》要求一致，没有偏题怪题。

知识点分布与近几年江苏考题基本一致，8个C级考点重点考查，且部分C级考点有一定的难度，同时考查了绝大部分B级考点和少数A级考点，部分B级考点难度较大。