高考数学一轮复习课时作业24正弦定理、余弦定理理(含解析)新人教版

高考数学一轮复习 3.7 正弦定理和余弦定理课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·天津十二区县联考(一))在钝角△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A.32 B.34 C.32 D.34解析：由正弦定理得ACsin B ＝AB sin C 即112＝3sin C ，sin C ＝32.则C ＝60°或120°，C ＝60°时，△ABC 为直角三角形(舍去)；C ＝120°时，A ＝30°所以S ＝12×1×3×sin 30°＝34. 答案：B2．(2013·辽宁五校第二次模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，设A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135° C．45° D．以上都不对解析：由正弦定理可得：43sin A ＝b sin B ⇒sin B ＝22，又∵a >b ，∴∠A >∠B ，故∠B ＝45°，所以选C.答案：C3．(2013·泰安市高三复习质检)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A. 3 B ．3 C.7 D ．7解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理得BC ＝3，选A.答案：A4．(2013·天津五区县质量调研(一))设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，b ＝3，cos C ＝14，则sin A ＝( )A.154 B.158 C.64 D.68解析：由余弦定理得c ＝10，由cos C ＝14得sin C ＝154，所以由正弦定理得出sin A＝64，选C. 答案：C5．(2013·重庆市六区高三调研抽测)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C ＝2(A ＋B )，则下列正确的是( )A ．c 2<3ab B ．c 2>3ab C ．c 2≤3abD ．c 2≥3ab解析：由C ＝2(A ＋B )＝2(π－C )，得C ＝2π3，由余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故c 2≥3ab .答案：D6．(2013·湖北八校第一次联考)在△ABC 中，sin(A －B )＋sin C ＝32，BC ＝3AC ，则∠B ＝( )A.π3 B.π6 C.π6或π3 D.π2解析：∵sin(A －B )＋sin C ＝32∴sin(A －B )＋sin(A ＋B )＝2sin A cos B ＝32 ①又∵a ＝3b ，∴a b ＝sin Asin B＝3，∴sin A ＝3sin B 代入①得23sin B cos B ＝32，∴sin 2B ＝32，∴2B ＝120°或60°，∴B ＝60°或30°当B ＝60°代入①sin A ＝32(舍)，故B ＝30°，选B.答案：B 二、填空题7．(2013·北京昌平期末)在△ABC 中，若b ＝3，c ＝1，cos A ＝13，则a ＝________.解析：由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋1－2×3×1×13＝8，故a ＝2 2.答案：2 28．(2013·山东泰安第二次模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin C ，a 2－b 2＝32bc ，则角A 等于________．解析：由sin B ＝2sin C 得：b ＝2c ，又a 2－b 2＝322c ×c ＝3c 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－2c24c2＝－12，∴A ＝2π3.答案：23π9．(2013·河南洛阳高三统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，且b 2＝3ac ，则角A 的大小为________．解析：依题意得，2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B >0，则cos B ＝12，B ＝π3，sin B ＝32，又3sin A sin C ＝sin 2B ＝34，∴4sin A sinC ＝1，即2[cos(A－C )－cos(A ＋C )]＝1,2[cos(A －C )＋cos B ]＝1，∴cos(A －C )＝0.又－π<A －C <π，∴A－C ＝±π2；又A ＋C ＝2π3，∴A ＝π12或A ＝7π12.答案：π12或7π12三、解答题10．(2014·河北沧州高三质量监测)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－ 3.(1)求角B 的大小；(2)若BA →·BC →＝4，a ＝2c ，求b 的值．解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－3，得tan B ＋31－3tan B ＝－3，∴tan B ＝3，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)由BA →·BC →＝4，得ac cos π3＝4，即ac ＝8，∵a ＝2c ，∴a ＝4，c ＝2.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝12，∴b ＝2 3.11．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin 30°－α，化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 12．(2014·河北名校名师俱乐部二调)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A 2－cos 2A 2＝58.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，cos B ＝35，求b 的值．解：(1)由cos 2A 2－cos 2A 2＝58，得1＋cos A 2－cos 2A 2＝58，得(2cos A －1)2＝0，即cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝60°.(2)由cos B ＝35，得sin B ＝45，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b ＝a sin Bsin A ＝3×4532＝85.[热点预测]13．(2013·海淀区期末练习)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12，△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (B ＋C )＝1，a ＝3，b ＝1，求角C 的大小．解：(1)因为f (x )＝3sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－12＝32sin x ＋cos x ＋12－12 ＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6又y ＝sin x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2kπ－π2，2kπ＋π2，(k ∈Z )所以令2kπ－π2<x ＋π6<2kπ＋π2解得2kπ－2π3<x <2kπ＋π3所以函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－2π3，2kπ＋π3，(k ∈Z )(2)因为f (B ＋C )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π6＝1， 又B ＋C ∈(0，π)，B ＋C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6所以B ＋C ＋π6＝π2，B ＋C ＝π3，所以A ＝2π3由正弦定理sin B b ＝sin Aa把a ＝3，b ＝1代入，得到sin B ＝12又b <a ，B <A ，所以B ＝π6，所以C ＝π6.。

课时作业24正弦定理、余弦定理一、选择题1．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝78，c－a＝2，b＝3，则a＝(A)A．2 B.52C．3 D.72解析：由题意可得c＝a＋2，b＝3，cos A＝78，由余弦定理，得cos A＝12·b2＋c2－a2bc，代入数据，得78＝9＋(a＋2)2－a22×3(a＋2)，解方程可得a＝2. 2．(2019·湖北黄冈质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝52b，A＝2B，则cos B＝(B)A.53 B.54C.55 D.56解析：由正弦定理，得sin A＝52sin B，又A＝2B，所以sin A＝sin2B＝2sin B cos B，所以cos B＝5 4.3．(2019·成都诊断性检测)已知锐角△ABC的三个内角分别为A，B，C，则“sin A>sin B”是“tan A>tan B”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在锐角△ABC中，根据正弦定理asin A＝bsin B，知sin A>sin B⇔a>b⇔A >B ，而正切函数y ＝tan x 在(0，π2)上单调递增，所以A >B ⇔tan A >tan B .故选C.4．(2019·武汉调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：根据正弦定理得c b ＝sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ，整理得sin A cos B <0，又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π.∴△ABC 为钝角三角形．5．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( C ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6解析：根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.6．(2019·河南洛阳高三统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( B )A.32B.233C.33 D. 3解析：由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sin C ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B.二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝32.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.8．(2019·福州四校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C2＝5，则c ＝13.解析：∵(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C 2＝5，∴(a ＋b )2sin 2C 2＝144 ①，(a －b )2cos 2C 2＝25 ②，①＋②得，a 2＋b 2－2ab (cos 2C 2－sin 2C2)＝169，∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＝169，∴c ＝13.9．(2019·开封高三定位考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，则b ＋c 的值为7.解析：由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin A cos A ＝2sin C ·sin B cos B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A .因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC ＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.三、解答题10．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0， ∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0，∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°<B <180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12， 又0°<C <180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos120°＝a 2＋2a ＋4，又a >0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3. 11．(2019·重庆市质量调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝14.(1)求cos B 的值；(2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin Csin A 的值．解：(1)将sin B 2－cos B 2＝14两边同时平方得，1－sin B ＝116，得sin B ＝1516， 故cos B ＝±3116，又sin B 2－cos B 2＝14>0， 所以sin B 2>cos B2，所以B 2∈(π4，π2)，所以B ∈(π2，π)，故cos B ＝－3116. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋314ac ， 所以314a ＝c －2a cos B ＝c ＋318a ，所以c ＝318a ，故sin C sin A ＝318.12．(2018·北京卷)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝60°；c a 的取值范围是(2，＋∞)．解析：△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2ac cos B ，所以tan B ＝3，因为0°<∠B <180°，所以∠B ＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A <30°，所以0<tan A <33，所以c a ＝sin Csin A ＝sin (2π3－A )sin A ＝sin 2π3cos A －cos 2π3sin Asin A ＝32tan A ＋12>2， 故ca 的取值范围为(2，＋∞)．13．(2019·山西八校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋c )2＝b 2＋3ac .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，且sin B ＋sin(C －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(a ＋c )2＝b 2＋3ac ，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，即B ＝π－(A ＋C )，故sin B ＝sin(A ＋C )， 由已知sin B ＋sin(C －A )＝2sin2A 可得sin(A ＋C )＋sin(C －A )＝2sin2A ， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C cos A －cos C sin A ＝4sin A cos A ， 整理得cos A sin C ＝2sin A cos A . 若cos A ＝0，则A ＝π2，由b ＝2，可得c ＝2tan B ＝233， 此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝233. 若cos A ≠0，则sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可知，c ＝2a ，代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，整理可得3a 2＝4， 解得a ＝233，∴c ＝433，此时△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝233. 综上所述，△ABC 的面积为233.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14．(2019·南宁、柳州联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( A )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解析：解法1：由题意可得，sin B ＋2sin C cos A ＝0，即sin(A ＋C )＋2sin C cos A ＝0，得sin A cos C ＝－3sin C cos A ，即tan A ＝－3tan C .又cos A ＝－b2c <0，所以A 为钝角，于是tan C >0.从而tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C＝21tan C ＋3tan C ，由基本不等式，得1tan C ＋3tan C ≥21tan C ×3tan C ＝23，当且仅当tan C ＝33时等号成立，此时角B 取得最大值，且tan B ＝tan C ＝33，tan A ＝－3，即b ＝c ，A ＝120°，又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.解法2：由已知b ＋2c cos A ＝0，得b ＋2c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝0，整理得2b 2＝a 2－c 2.由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋3c 24ac ≥23ac 4ac ＝32，当且仅当a ＝3c 时等号成立，此时角B 取得最大值，将a ＝3c 代入2b 2＝a 2－c 2可得b ＝c .又bc ＝1，所以b ＝c ＝1，a ＝3，故△ABC 的周长为2＋ 3.故选A.15．(2019·河南信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C .(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. 又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C .∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C .∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。

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课时分层作业二十四正弦定理和余弦定理一、选择题（每小题5分，共25分）1.（2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，已知a=, c=2,cos A=,则b等于( ）A。

B.C。

2 D。

3【解析】选D.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2—2bc cos A，即5=b2+4—,解得b=3或b=-（舍去）。

2。

（2018·潍坊模拟)在△ABC中,cos2=(a，b，c分别为角A,B，C的对边），则△ABC的形状为（)A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B。

因为cos2=,cos2=,所以（1+cos B）·c=a+c,所以a=cos B·c=，所以2a2=a2+c2—b2，所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形。

3.在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，则此三角形的解的情况是（)A。

有一解B。

有两解C。

无解D。

有解但解的个数不确定【解析】选C.因为=，所以sin B===>1,故此三角形无解. 4。

课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ．又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ．∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ，所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，① 由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab 5＝4，∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°，∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6. 解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ，∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角， 又a sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得，sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝23sin A cos B ＋23cos A sin B ，即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ，从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3. 解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧ B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时， S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。

正弦定理、余弦定理1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A．33B．±63C．－63D．632．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝π3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝()A．27 B．2 3C．2 2 D．73．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是()A．若a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin CB．若A＞B＞C，则sin A＞sin B＞sin CC．a cos B＋b cos A＝cD．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A．19B．13C．12D．235．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则()A．若2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，则C＝π3B．若2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，则C＝π6C．若边BC的高为36a，则当cb＋bc取得最大值时，A＝π3D．若边BC的高为36a，则当cb＋bc取得最大值时，A＝π66．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为877 7．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos A ＝________，△ABC 的面积为________．10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________，且b ＝6，A ＝2π3，求sin C 的值及△ABC 的面积．从①B ＝π4，②a ＝3，③a ＝32sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．能力提高1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C ． 3D ．2 32．(2020·广西桂林模拟)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．扩展应用1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，且sin A ＋sin C ＝1，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．顶角为120°的等腰三角形2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A ＝－17； 条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.正弦定理、余弦定理1．(2020·大连测试)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A ．33 B ．±63 C ．－63D ．63D [由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin 60°3＝33.又AB＜AC ，∴0＜C ＜B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D.]2．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．2 3C ．2 2D ．7B [由S ＝12ab sinC ＝2a ×32＝23，解得a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.]3．(多选)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，以下四个结论中，正确的是( )A ．若a ＞b ＞c ，则sin A ＞sinB ＞sinC B ．若A ＞B ＞C ，则sin A ＞sin B ＞sin C C ．a cos B ＋b cos A ＝cD ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 是锐角三角形ABC [对于A ，由于a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故A 正确；对于B ，A ＞B ＞C ，由大边对大角可知，a ＞b ＞c ，由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ，可得sin A ＞sin B ＞sin C ，故B 正确；对于C ，根据正弦定理可得a cos B ＋b cos A ＝2R (sin A cos B ＋sin B cos A )＝2R sin(B ＋A )＝2R sin(π－C )＝2R sin C ＝c (其中R 为△ABC 的外接圆半径)，故C 正确；对于D ，a 2＋b 2＞c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞0，由C ∈(0，π)，可得C 是锐角，但A 或B 可能为钝角，故D 错误．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( ) A ．19 B ．13 C ．12D ．23A [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，AB ＝3，所以cos B ＝9＋9－162×9＝19，故选A.]5．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，则C ＝π3 B ．若2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ，则C ＝π6C ．若边BC 的高为36a ，则当c b ＋b c 取得最大值时，A ＝π3 D ．若边BC 的高为36a ，则当c b ＋b c 取得最大值时，A ＝π6AC [因为在△ABC 中，0＜C ＜π，所以sin C ≠0.对于A ，B ，利用正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，整理得2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin[π－(A ＋B )]＝sin C ，即2cos C sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3，故A 正确，B 错误．对于C ，D ，由等面积法得12×36a 2＝12bc sin A ，所以a 2＝23bc sin A ，又b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝23bc sin A ＋2bc cos A ，则c b ＋bc ＝b 2＋c 2bc ＝23sin A ＋2cos A ＝4sin⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤4，当且仅当A ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即A ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，c b ＋b c 取得最大值4，又0＜A ＜π，所以A ＝π3.故C 正确，D错误．]6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A ．sin A ∶sinB ∶sinC ＝4∶5∶6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 的外接圆的半径为877 ACD [因为(a ＋b )∶(a ＋c )∶(b ＋c )＝9∶10∶11，所以可设⎩⎨⎧a ＋b ＝9x ，a ＋c ＝10x ，b ＋c ＝11x(其中x ＞0)，解得⎩⎨⎧a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x ，所以由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，所以A 正确． 由上可知边a 最短，边c 最长，所以角A 最小，角C 最大． 又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x ＝34，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x＝18，所以cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos 2A ＝cos C ，由三角形中角C 最大且角C 为锐角，可得△ABC 是锐角三角形，且2A ∈(0，π)，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2A ＝C ，所以B 错误，C 正确．设△ABC 的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得2R ＝csin C ， 又sin C ＝1－cos 2C ＝378， 所以2R ＝6378，解得R ＝877，所以D 正确．故选ACD.] 7．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.1 [由a ＝3c 得sin A ＝3sin C ，即sin 2π3＝3sin C ， ∴sin C ＝12，又0＜C ＜π3，∴C ＝π6，从而B ＝π6，∴b ＝c ，因此bc ＝1.]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________.3π4 [∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b －cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.]9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos A ＝________，△ABC 的面积为________．34 1574 [依题意得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝1574.]10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC 满足________，且b ＝6，A ＝2π3，求sin C 的值及△ABC 的面积．从①B ＝π4，②a ＝3，③a ＝32sin B 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．[解] 当选择条件①时， ∵B ＝π4，A ＝2π3，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22－12×22＝6－24. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 32＝622，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝9－334. 当选择条件②时，∵a ＜b ，∴A ＜B ，又A 为钝角，∴无解． 当选择条件③时， 由题意得B 为锐角．由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得32sin B 32＝6sin B ，得sin B ＝22，∴a ＝3，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×22－12×22＝6－24.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝9－334.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ；(2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形．[解] (1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＝0，cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A . 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝33sin π3.即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝12. 由于0<B <2π3，故B ＝π2. 从而△ABC 是直角三角形．能力提高1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C ． 3D ．2 3C [由cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C 得1－sin 2A －1＋sin 2B ＋1－sin 2C ＝1＋3sin A sin C ，即－sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝3sin A sin C ，由正弦定理得b 2－a 2－c 2＝3ac ，即c 2＋a 2－b 2＝－3ac ，则cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32，则B ＝150°，即最大值的边为b ，∵△ABC 的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R ，∴πR 2＝3π，得R ＝3， 则b sin B ＝2R ＝23，即b ＝23sin B ＝23×12＝3，故选C.]2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ，所以cos C cos B ＝b c 或cos C cos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c ，由正弦定理，得sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B ， 因为B ，C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°， 所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.扩展应用1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，且sin A ＋sin C ＝1，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．顶角为120°的等腰三角形D [∵cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ， ∴(1－sin 2A )－(1－sin 2B )＋(1－sin 2C )＝1＋sin A sin C ， ∴可得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝－sin A sin C ， ∴根据正弦定理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°，∵sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋sin A sin C .∴变形得34＝(sin A ＋sin C )2－sin A sin C ，又∵sin A ＋sin C ＝1，得sin A sin C ＝14，∴上述两式联立得sin A ＝sin C ＝12，∵0°＜A ＜60°，0°＜C ＜60°，∴A ＝C ＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.[解] 选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11.(1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(11－a )2＋72－a 22×(11－a )×7＝－17， 解得a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝437. 在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32.∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×8×3×32＝6 3.若选条件②：cos A＝18，cos B＝916，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝18，cos B＝916，∴sin A＝378，sin B＝5716.在△ABC中，由正弦定理，可得asin A＝bsin B，∴ab＝sin Asin B＝3785716＝65.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5. (2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B＝378×916＋18×5716＝327128＝74.∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×6×5×74＝1574.。

第六节　
正弦定理和余弦定理
2023年高考数学总复习
内容索引
必备知识·自主学习
核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
2.余弦定理
(1)定理:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, b2=c2+a2-2accos B,
a2+b2-2abcos C
c2=_______________.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( )
(3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
提示:根据正弦定理和余弦定理知(3)是错误的,(1)(2)是正确的,所以(1)√, (2)√,(3)×.
【易错点索引】
序号易错警示典题索引
1在三角形中,一个正弦值(正数)对应两个角,
一个余弦值对应一个角
考点一、T3
2忽视三角形内角范围,即0°<A<180°考点二、典例。

课时作业提升(二十四) 正弦定理和余弦定理A 组 夯实基础1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1B ．3∶1C ．2∶1D ．2∶1解析：选D 由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，得2cos 2 B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝12，所以sin B ＝32，所以c ∶sin C ＝b ∶sin B ＝2∶1.2．(2018·大连双基)△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A ．33 B ．±63C ．－63D ．63解析：选D 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin 60°3＝33，又AB <AC ，∴0<C <B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2 C ＝63. 3．在△ABC 中，已知2A ＝B ＋C ，且a 2＝bc ，则△ABC 的形状是( ) A ．两直角边不等的直角三角形 B ．顶角不等于90°或60°的等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形解析：选C 由2A ＝B ＋C ，知A ＝60°.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以12＝b 2＋c 2－bc 2bc，所以b 2＋c 2－2bc ＝0，即(b －c )2＝0，所以b ＝c .故△ABC 为等边三角形．4．(2018·宜宾模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A ．34B ．34C ．32D ．32解析：选B 依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°.因此，△ABC 的面积等于12ab sin C＝12×3×32＝34，选B ． 5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若b sin A －3a cos B ＝0，且b 2＝ac ，则a ＋c b的值为( )A ．22B ． 2C ．2D ．4解析：选C 在△ABC 中，由b sin A －3a cos B ＝0， 利用正弦定理得sin B sin A －3sin A cos B ＝0，所以tan B ＝3，故B ＝π3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋c 2－ac ，即b 2＝(a＋c )2－3ac ，又b 2＝ac ，所以4b 2＝(a ＋c )2，求得a ＋cb＝2.6．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析：选B 因为a ＝2，c ＝2， 所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ，故sin A ＝2sin C ． 又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6.故选B ．7．在△ABC 中，若sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是_________. 解析：由正弦定理角化边，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0<A ≤π3.答案：⎝⎛⎦⎤0， π3 8．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________.解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：79．(2018·沈阳检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2B 2＝c －a2c ，则△ABC 的形状一定是________.解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理，得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形10．(2018·抚州联考)在△ABC 中，D 为线段BC 上一点(不与端点重合)，∠ACB ＝π3，AB ＝7，AC ＝3，BD ＝1，则AD ＝________.解析：在△ABC 中，cos π3＝AC 2＋BC 2－AB22·AC ·BC，化简得BC 2－3BC ＋2＝0，得BC ＝1(舍去)或BC ＝2，∴CD ＝BC －BD ＝1.在△ACD 中，AD 2＝9＋1－2×1×3×12＝7，则AD ＝7，故答案为7.答案：711．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C ． 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.B 组 能力提升1．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2 B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.2．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD ．因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC ．由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ． 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.3．(2018·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ，c ，且cos(B ＋C )＝－33sin 2A ． (1)求A ；(2)设a ＝7，b ＝5，求△ABC 的面积． 解： (1)由cos(B ＋C )＝－33sin 2A 可得，－cos A ＝－33sin 2A ， 所以cos A ＝33×2sin A cos A ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ≠0，故sin A ＝32，从而A ＝π3.(2)因为A ＝π3，故cos A ＝12，由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝25＋c 2－5c ， 所以c 2－5c －24＝0， 解得c ＝－3(舍去)，c ＝8，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝10 3.4．(2018·威海模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝2，a ＋bsin C ＝2b －c sin B －sin A. (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积的最大值．解：(1)根据正弦定理，由a ＋b sin C ＝2b －csin B －sin A 可得，a ＋bc ＝2b －cb －a， ∴b 2－a 2＝2bc －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝2bc ， 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4.(2)由a ＝2及余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－42bc ＝22，故b 2＋c 2＝2bc ＋4.又2bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤4＋22， 当且仅当b ＝c ＝4＋22时等号成立．故所求△ABC 的面积的最大值为12×(4＋22)×22＝2＋1.。

课时作业(二十四)第24讲正弦定理和余弦定理的应用时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把平面分成四部分,以正北方向为始边,按顺时针方向旋转280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者()A.北偏东80°的方向B.东偏北80°的方向C.北偏西80°的方向D.西偏北80°的方向2.如图K24-1所示,在地平面上有一旗杆OP(O在地面),为了测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,测得其长为20 m,在A处测得P点的仰角为30°,在B处测得P点的仰角为45°,又测得∠AOB=30°,则旗杆的高h等于图K24-1()A.10 mB.20 mC.10D.203.某船以每小时15 km的速度向正东方向行驶,行驶到A处时,测得一灯塔B在A的北偏东60°的方向上,行驶4小时后,船到达C处,测得这个灯塔在C的北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为()A.60 kmB.60 kmC.30 kmD.30 km4.[2018·河南豫南豫北联考]线段的黄金分割点定义:若点P在线段MN上,且满足MP2=NP·MN,则称点P为线段MN的黄金分割点.在△ABC中,AB=AC,A=36°,若角B的平分线交边AC于点D,则点D为边AC的黄金分割点,利用上述结论,可以求出cos 36°=()A.-B.C.-D.5.[2018·上海徐汇区一模]某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°的方向,与A相距6.0海里,船由A向正北方向航行8.1海里到达C处,这时灯塔B与船相距海里.(精确到0.1海里)能力提升6.如图K24-2所示,无人机在离地面高200 m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为()图K24-2A.300 mB.300C.200 mD.275 m7.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图K24-3所示,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为()图K24-3A.米B.2米C.(1+米D.(2+米8.从某船上开始看见灯塔A时,灯塔A在船的南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后,看见灯塔A在船的正西方向,则这时船与灯塔A的距离是()A.15 kmB.30 kmC.15 kmD.15 km9.[2018·南昌一模]已知台风中心位于城市A的东偏北α(α为锐角)方向的150公里处,台风中心以v公里/时的速度沿正西方向快速移动,小时后到达城市A西偏北β(β为锐角)方向的200公里处,若cos α=cos β,则v=()A.60B.80C.100D.12510.一艘游轮航行到A处时,测得灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 海里,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12 海里,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时,测得灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的 ()A.正西方向B.南偏西75°方向C.南偏西60°方向D.南偏西45°方向11.在一幢10 m高的房屋顶部测得对面一塔顶的仰角为60°,塔基的俯角为30°,假定房屋与塔建在同一水平地面上,则塔的高度为.12.某港口停泊着两艘船,大船以每小时40海里的速度从港口出发,沿北偏东30°方向行驶2.5小时后,小船开始以每小时20海里的速度向正东方向行驶,小船出发1.5小时后,大船接到命令,需要把一箱货物转到小船上,便折向行驶,期间,小船行进方向不变,从大船折向开始到与小船相遇,最少需要小时.13.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目:“今有沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田,三边长分别为13里,14里,15里,假设1里按500米计算,则该三角形沙田外接圆的半径为米.14.(10分)如图K24-4所示,一艘巡逻船由南向北行驶,在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC=15°)的方向,匀速向北航行20分钟到达B处,测得山顶P位于北偏东60°的方向,此时测得山顶P的仰角为60°,已知山高为2 千米.(1)船的航行速度是每小时多少千米?(2)若该船继续航行10分钟到达D处,问此时山顶位于D处的南偏东什么方向?图K24-415.(12分)如图K24-5所示,某公园的三条观光大道AB,BC,AC围成一个直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC上嬉戏,所在位置分别记为点D,E,F.(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,到大道的另一端时即停,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后,求此时甲、乙两人之间的距离;(2)若∠CEF=θ,θ∈,乙、丙之间的距离是甲、乙之间的距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.图K24-5难点突破16.(13分)如图K24-6所示,某镇有一块三角形空地,记为△OAB,其中OA=3 km,OB=3∠AOB=90°.当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,记为△OMN,其中M,N都在边AB上,且∠MON=30°,挖出的泥土堆放在△OAM上形成假山,剩下的△OBN开设儿童游乐场.为了安全起见,需在△OAN的周围安装防护网.(1)当AM= km时,求防护网的总长度.(2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的 倍,试确定∠AOM的大小.(3)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△OMN的面积最小?最小面积是多少?图K24-6课时作业(二十四)1.C[解析] 注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形(图略),分析可得C正确.2.B[解析] 由题意得∠PAO= ° ∠PBO= ° ∴AO=h,BO=h,又AB=20 m,在△ABO中,由余弦定理得AB2=400=(h)2+h2-2h·h·cos ° 解得h=20(m).3.A [解析] 画出图形如图所示,由题意知,在△ABC 中,∠BAC= ° AC=4×15 =60 ,∠B= °. 由正弦定理 =∠ , 得BC=· ∠= ° °=60, ∴此时船与灯塔的距离为60 km .故选A .4.B [解析] 设AB=AC=2,由黄金分割点的定义可得AD 2=CD ·AC ,解得AD= -1.在△ABC 中,因为A= ° AB=AC ,所以∠ABC=7 °.又因为BD 为∠ABC 的平分线,所以∠ABD=∠CBD= ° 所以BD=AD= -1.在△ABD 中,由余弦定理得cos A= -· · ,即cos °= -=.故选B .5.4.2 [解析] 设此时灯塔B 与船相距m 海里,由余弦定理得,m= - °≈4.2.6.A [解析] ∵AD ∥BC ,∴∠ACB=∠DAC= ° ∴AC= AB=200 (m).又∠MCA= °- °- °=7 ° ∠MAC= °+ °= ° ∴∠AMC= °-∠MCA-∠MAC= °在△AMC 中,由正弦定理∠ =∠,得MC= · °°=200 ∴MN=MC ·sin ∠MCN=200 ·sin °=300(m).故选A .7.D [解析] 设BC 的长度为x 米(x>1),AC 的长度为y 米,则AB 的长度为y-米. 在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos ∠ACB ,得y-2=y 2+x 2-2yx×,化简得y (x-1)=x 2-,∵x>1,∴x -1>0,∴y= -- =(x-1)+-+2≥ +2,当且仅当x-1=-,即x=1+时,取等号,∴y 的最小值为2+ .故选D .8.D [解析] 设船开始的位置为B ,船航行45 km 后处于C ,如图所示, 可得∠DBC= ° ∠ABD= ° BC=45 km,∴∠ABC= ° ∠BAC= °.在△ABC 中,利用正弦定理 ∠ =∠ , 可得AC= ∠ ∠==15 (km).故选D .9.C [解析] 如图所示,由余弦定理得=2002+1502+2×200×150cos(α+β)①,由正弦定理得 =,即sin α=sin β.又cos α=cos β,sin 2α+cos 2α=1,sin 2β+cos 2β=1,可得sin β=,cos β=,sin α=,cos α=,故cos(α+β)= -=0,代入①解得v=100.故选C .10.C [解析] 如图所示,AB=12 ,AC=12 ,在△ABD 中,B= ° 由正弦定理有°= °==24 ,所以AD=24.在△ACD 中,由余弦定理得CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD ·cos ° 因为AC=12 ,AD=24,所以CD=12,由正弦定理得°=∠ ,所以sin ∠CDA=,故∠CDA= °或∠CDA= °. 因为AD>AC ,故∠CDA 为锐角,所以∠CDA= °.故选C .11.40 m [解析] 如图所示,过房屋顶部C 作塔AB 的垂线CE ,垂足为E ,则CD=10,∠ACE= ° ∠BCE= °∴BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD= - =10 . ∵∠ACE= ° ∠AEC=9 ° ∴AC=2CE=20 ∴AE= - =30,∴AB=AE+BE=30+10=40,故塔的高度为40 m .12.3.5 [解析] 如图所示,设港口为O ,小船行驶1.5小时到达B ,此时大船行驶到A ,大船折向按AC 方向行驶,大船与小船同时到达C 点时,用时最少.设从A 到C ,大船行驶时间为t ,则OA=40×(2.5+1.5)=160,AC=40t ,OC=20×1.5+20t.由余弦定理得OA 2+OC 2-2OC ·OA ·cos °=AC 2,即12t 2+20t-217=0,∴(2t-7)(6t+31)=0,解得t=3.5,即最少需要3.5小时.13.4062.5 [解析] 设在△ABC 中,AB=13里=6500米,BC=14里=7000米,AC=15里=7500米,由余弦定理知,cos B= -· =,所以sin B= - =.设△ABC 外接圆的半径为R ,则由正弦定理得,=2R ,所以R==7=4062.5(米).14.解:(1)在△BCP 中,由tan ∠PBC=,得BC=∠=2,在△ABC 中,由正弦定理得∠ =∠ ,即°=°, 所以AB=2( +1),故船的航行速度是每小时6( +1)千米.(2)在△BCD 中,BD= +1,BC=2,∠CBD= ° 则由余弦定理得cos ∠CBD= -· · ,解得CD= ,由正弦定理∠ =∠ ,得sin ∠CDB=,因为 °<∠CDB< ° 所以∠CDB= °所以山顶位于D 处南偏东 °的方向.15.解:(1)依题意得,当乙出发1分钟后,BD=300,BE=100, 在△ABC 中,cos B= = ,又∵B ∈ ,∴B=.在△BDE 中,由余弦定理得DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BE ·cos B=3002+1002-2×300×100×=70 000,∴DE=100 即此时甲、乙两人相距100 .(2)由题意得EF=2DE=2y ,∠CEF=θ,则∠BDE=π-∠ABC-∠DEB=-π--θ=θ.在直角三角形CEF 中,CE=EF cos ∠CEF=2y cos θ, 在△BDE 中,由正弦定理∠ = ∠,得-=°,∴y==,0<θ<,∴当θ=时,y 有最小值50 ,即甲、乙之间的最小距离为50 m .16.解:(1)∵在△OAB 中,OA=3,OB=3 ,∠AOB=9 ° ∴∠OAB= °. 在△AOM 中,OA=3,AM=,∠OAM= °由余弦定理OM 2=OA 2+AM 2-2OA ·AM ·cos ∠OAM ,得OM=,∴OM 2+AM 2=OA 2,即OM ⊥AN ,∴∠AOM= °∴∠AON=∠AOM+∠MON= ° ∴△OAN 为正三角形,∴△OAN 的周长为9,即防护网的总长度为9 km .(2)设∠AOM=θ °<θ< ° ∵S △OMN = S △OAM ,∴ ON ·OM sin °= ×OA ·OM sin θ,即ON=6 sin θ.在△OAN 中,由°= °- ° °=,得ON=,从而6 sin θ=,即sin 2θ=,由 °<2θ< °得2θ= ° ∴θ= ° 即∠AOM= °. (3)设∠AOM=θ °<θ< ° 由(2)知,ON= , 又在△AOM 中,由 °=°- - °,得OM= °, ∴S △OMN =OM ·ON ·sin °= 7° == ,∴当且仅当2θ+ °=9 ° 即θ= °时,△OMN 的面积取得最小值,此时,S △OMN =7 -,∴△OMN 的最小面积为7 -km 2.。

课后限时集训(三十一) 正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·大连测试)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝( ) A ．33 B ．±63 C ．－63 D ．63D 〖由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∴sin C ＝AB ·sin B AC ＝2×sin 60°3＝33.又AB ＜AC ，∴0＜C ＜B ＝60°，∴cos C ＝1－sin 2C ＝63.故选D ．〗 2．(2020·南昌模拟)在△ABC 中，已知C ＝π3，b ＝4，△ABC 的面积为23，则c ＝( )A ．27B ．2 3C ．2 2D ．7B 〖由S ＝12ab sinC ＝2a ×32＝23，解得a ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12，故c ＝2 3.〗3．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的是( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34C 〖对于A 项，∵sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或2A ＋2B ＝π，即A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故A 错误；对于B 项，∵sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2，∴△ABC 不一定是直角三角形，故B 错误；对于C 项，sin 2A ＋sin 2B ＜1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2，∴△ABC 为钝角三角形，C 正确；对于D 项，由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32，且AB ＞AC ，∴C ＝60°或C ＝120°，∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12AC ·AB sin A ＝32或34，D 不正确．故选C ．〗4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A ．19B ．13C ．12D ．23A 〖由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝16＋9－2×4×3×23＝9，AB ＝3，所以cos B ＝9＋9－162×9＝19，故选A ．〗5．(2020·毕节模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝10，△ABC 的周长为5＋10，(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C ，则△ABC 的面积为( )A ．54B ．532C ．534D ．1534C 〖由题意可得：a ＝10，△ABC 的周长为5＋10，可得b ＋c ＝5，因为(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C ，由正弦定理及余弦定理可得：b 2＋c 2－a 2＝bc ＝2bc cos A ，因为A ∈(0，π)，所以cos A ＝12，A ＝π3，a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，所以10＝25－2bc －bc ，所以bc ＝5， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×32＝534，故选C ．〗6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B 〖由a sin 2B ＝b cos A cos B 得 sin A sin 2B ＝sin B cos A cos B ， 即sin B (cos A cos B －sin A sin B )＝0， 即sin B cos(A ＋B )＝0， ∵sin B ≠0，∴cos(A ＋B )＝0，又∵0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π2，故选B ．〗二、填空题7．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝ .1 〖由a ＝3c 得sin A ＝3sin C ，即sin 2π3＝3sin C ， ∴sin C ＝12，又0＜C ＜π3，∴C ＝π6，从而B ＝π6，∴b ＝c ，因此bc＝1.〗8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝ .3π4 〖∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b －cos B .由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.〗9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为 ．3＋1 〖∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝7π12， ∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.〗三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．〖解〗 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 b 2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 因为b ＝c ＋2，所以(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3×c ×⎝⎛⎭⎫－12. 解得c ＝5.所以b ＝7. (2)由cos B ＝－12得sin B ＝32.由正弦定理得sin C ＝c b sin B ＝5314.在△ABC 中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角． 所以cos C ＝1－sin 2C ＝1114.所以sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝437.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋A ＋cos A ＝54.(1)求A ； (2)若b －c ＝33a ，证明：△ABC 是直角三角形． 〖解〗 (1)由已知得sin 2A ＋cos A ＝54，即cos 2A －cos A ＋14＝0.所以⎝⎛⎭⎫cos A －122＝0，cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B －sin C ＝33sin A ． 由(1)知B ＋C ＝2π3，所以sin B －sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝33sin π3. 即12sin B －32cos B ＝12，sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝12. 由于0<B <2π3，故B ＝π2.从而△ABC 是直角三角形．1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C ，则△ABC 的最大边长为( )A ．2B ．3C ． 3D ．23C 〖由cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋3sin A sin C 得1－sin 2A －1＋sin 2B ＋1－sin 2C ＝1＋3sin A sin C ，即－sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝3sin A sin C ，由正弦定理得b 2－a 2－c 2＝3ac ，即c 2＋a 2－b 2＝－3ac ，则cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝－3ac 2ac ＝－32，则B ＝150°，即最大值的边为b ，∵△ABC 的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R ，∴πR 2＝3π，得R ＝3， 则b sin B ＝2R ＝23，即b ＝23sin B ＝23×12＝3，故选C ．〗 2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C 1＋cos 2B ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形D 〖由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ， 所以cos C cos B ＝b c 或cos C cos B ＝0，即C ＝90°或cos C cos B ＝b c，由正弦定理，得sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B ， 因为B ，C 均为△ABC 的内角，所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D ．〗 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．〖解〗 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝1＋cos C ， 化简得cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.1．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ，且sin A ＋sin C ＝1，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．顶角为120°的等腰三角形D 〖∵cos 2A －cos 2B ＋cos 2C ＝1＋sin A sin C ， ∴(1－sin 2A )－(1－sin 2B )＋(1－sin 2C ) ＝1＋sin A sin C ，∴可得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝－sin A sin C ， ∴根据正弦定理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝120°， ∵sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋sin A sin C ． ∴变形得34＝(sin A ＋sin C )2－sin A sin C ，又∵sin A ＋sin C ＝1，得sin A sin C ＝14，∴上述两式联立得sin A ＝sin C ＝12，∵0°＜A ＜60°，0°＜C ＜60°，∴A ＝C ＝30°，∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故选D ．〗2．〖结构不良试题〗(2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.〖解〗 选条件①：c ＝7，cos A ＝－17，且a ＋b ＝11.(1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(11－a )2＋72－a 22×(11－a )×7＝－17，解得a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝437.在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝csin C， ∴sin C ＝c ·sin A a ＝7×4378＝32.∵a ＋b ＝11，a ＝8，∴b ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝6 3.若选条件②：cos A ＝18，cos B ＝916，且a ＋b ＝11.(1)∵A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，cos A ＝18，cos B ＝916，∴sin A ＝378，sin B ＝5716.在△ABC 中，由正弦定理，可得a sin A ＝bsin B ，∴a b ＝sin A sin B ＝3785716＝65. 又∵a ＋b ＝11，∴a ＝6，b ＝5. (2)sin C ＝sin 〖π－(A ＋B )〗＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝378×916＋18×5716＝327128＝74. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.。