平面几何立体几何计算公式大集合

109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线. 118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅. 127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ= =21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则 2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则 222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积 13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.。

立几基本公式空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ） （直线与直线所成角(]οο90,0∈θ） （斜线与平面成角()οο90,0∈θ）（直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 一、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面12方向相同12方向不相同POAa垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA⊥α，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理），得不出α⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上一、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长） ⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. （直棱柱定义）：棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）PαβθM AB Oii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=.②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）六. 空间向量.1（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合. （2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α. （4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使y x +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是PABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注： 是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z使 z y x ++=(这里隐含x +y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证.3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅a ∥)(,,332211Rb a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=) 232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<ρρρρρρ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，DCBAB则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.。

⽴体⼏何所有的定理⼤总结（绝对全）（⼆）异⾯直线所成⾓1.定义：不同在任何⼀个平⾯内的两条直线或既不平⾏也不相交的两条直线叫异⾯直线。

2.画法：借助辅助平⾯。

1.定义：对于异⾯直线a 和b ，在空间任取⼀点P ，过P 分别作a 和b 的平⾏线1a 和1b ，我们把1a 和1b 所成的锐⾓或者叫做异⾯直线a 和b 所成的⾓。

2.范围：(0°，90°】(★空间两条直线所成⾓范围：【0°，90°】)（三）线⾯⾓1.定义：当直线l 与平⾯α相交且不垂直时，叫做直线l 与平⾯α斜交，直线l 叫做平⾯α的斜线。

设直线l 与平⾯α斜交与点M ，过l 上任意点A ，做平⾯α的垂线，垂⾜为O ，把点O 叫做点A 在平⾯α上的射影，直线OM 叫做直线l 在平⾯α上的射影。

1.定义：把直线l 与其在平⾯α上的射影所成的锐⾓叫做直线l 和平⾯α所成的⾓。

2.范围【0°，90°】（★斜线与平⾯所成⾓范围：【0°，90°】）（三）⼆⾯⾓1.定义：（1）半平⾯：平⾯内的⼀条直线把这个平⾯分成两个部分，其中每⼀个部分叫做半平⾯。

（3）⼆⾯⾓的棱：这⼀条直线叫做⼆⾯⾓的棱。

（4）⼆⾯⾓的⾯：这两个半平⾯叫做⼆⾯⾓的⾯。

（5）⼆⾯⾓的平⾯⾓：以⼆⾯⾓的棱上任意⼀点为端点，在两个⾯内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的⾓叫做⼆⾯⾓的平⾯⾓。

（6）直⼆⾯⾓：平⾯⾓是直⾓的⼆⾯⾓叫做直⼆⾯⾓。

1.定义：从⼀条直线出发的两个半平⾯所组成的图形叫做⼆⾯⾓。

2.表⽰：如下图，可记作α-AB-β或P-AB-Q3.范围为【0°，180°】（五）六种距离1.点到点的距离：两点之间的线段PQ 的长。

2.点到线的距离：过P 点作1PP ⊥l ，交l 于1P ，线段1PP 的长。

3.点到⾯的距离：过P 点作1PP ⊥α，交α于1P ，线段1PP 的长。

平面与立体几何的解析几何方法在数学中，平面几何和立体几何是解析几何的重要分支。

解析几何是运用代数和分析工具来研究几何问题的数学学科。

平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何则研究三维空间中的图形和性质。

本文将介绍平面与立体几何中常用的解析几何方法。

一、平面几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示在平面几何中，我们通常会使用坐标系来描述平面上的点和图形。

一般来说，平面上的点可以用两个坐标值表示，通常以x轴和y轴为基准。

以直角坐标系为例，任意点P的坐标可以表示为P(x, y)，其中x 表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的垂直距离。

2. 距离和中点公式解析几何中，我们可以通过坐标计算两点之间的距离，并且可以得到线段的中点坐标。

对于平面上两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式表示：d(P, Q) = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)同样地，线段PQ的中点坐标可以通过以下公式得到：M((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)3. 直线的斜率和方程在平面几何中，直线是研究的重点之一。

解析几何中，我们可以通过直线上的两个点的坐标来求解直线的斜率。

对于两点P(x1, y1)和Q(x2, y2)所确定的直线，它的斜率可以通过以下公式得出：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)另外，在解析几何中，我们还可以通过已知直线上的一点和它的斜率来确定直线的方程。

以点P(x, y)和斜率k为例，直线的方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)二、立体几何中的解析几何方法1. 坐标系和坐标表示与平面几何类似，立体几何中也可以使用坐标系来描述三维空间中的点和图形。

一个常用的坐标系是笛卡尔坐标系，其中三个坐标轴x、y、z相互垂直。

一个点P的坐标可以表示为P(x, y, z)，其中x表示距离x轴的水平距离，y表示距离y轴的水平距离，z表示距离z轴的垂直距离。

一、空间向量的基础公式： 数目积r r a br r r ra / /b （ b 0 ）r模 ar r r r夹角（ a 0 ， b 0 ）二、求角和距离公式： 求异面直线 a 与 b所成角：cos求直线 a 与平面所成角：sin向量式 坐标式r r r r a b a b cos= x 1x 2 y 1 y 2 z 1 z 2r r= x xy yz z =0a b 0 21 1 21 2r r 0, 方向同样 ； =( x 1 , y 1, z 1 ) = ( x 2 , y 2 , z 2 )ab （0,方向相反 ） 即： x 1 x 2 ， y 1y 2 ， z 1z 2r r 2 = x 12y 1 2 z 12aar rx 1 x 2 y 1 y 2 z 1z 2cosa b=rrx 12 y 12 z 12 x 2 2 y 2 2 z 22a br rKP115/例 1a bx 1x 2 y 1 y 2 z 1 z 2JP60/ 例 3rrx 12 y 12 z 12 x 22 y 22z 2 2a br r r KP125/例 1a nr r （ n 表示平面 的法向量） a nluruurJP69/ 例 3(2) 二 面 角设 1 为平面 的法向量 n 1 与平面的法向量 n 2 KP127/例 2（ 2）ur uur的大小:的夹角：则 cos 1n 1 n 2：求二面角 步骤：ur uurn 1 n 2一、瞄：瞄一下看二面角是锐角仍是钝角；二、ur求：先求平面的法向量 n 1 与平面的法向uurur uur ur uurn 1 n 2量 n 2 ，尔后用 cos求出 n 1 与 n 21uruurn 1 n 2的夹角1 ；三、定：同锐相等：若是锐角，1 也是锐角， 则 1 ；同钝相等： 若是锐角， 1 也是锐角，则1 ；锐钝互补：若是锐角，1 也是锐角，则180.1点 P到平面的距离 d:uuur rJP71/ 例 2 AP n注：dr1、直线l//平面，求直线 l n与平面的距离 d: 只需在l注：点 A 为平面上的随意上取一点 P 仍旧用此公式；r一点， n 为平面的法向量2、平面// 平面，求平面与平面的距离d: 只需在平面上取一点P 仍旧用此公式；三、求法向量步骤：（ 1）想法向量r rn( x, y, z) ，利用法向量 n 与平面上的两订交直线方向向量垂直数目积为 0 成立两个方程；r （ 2）求出 x 等于多少 z, y等于多少 z; 并令 z=1 从而求出 x,y, 从而获得法向量n ；或许求出 x 等于多少y, z 等于多少 y; 并令 y=1 从而求出 x,z, 从而获得法向量rn；或许求出 y 等于多少x, z等于多少x; 并令 x=1 从而求出y,z, 从而获得法向量rn ；r（ 3）把所求的法向量n 代入方程组查验！r四、法向量 n 的在证明题顶用途:(1)线面平行： l平面r rl / /平面：拜见JP65/例2且l n（证明线面平行问题只需转成去求线的向量与法向量数目积为0 即可）ur uur(2)面面平行： n1/ / n2平面/ /平面：拜见JP65/例2（证明面面平行问题只需转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可）(3)r r r线面垂直： l / /n l 平面：（证明线面垂直问题只需转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可）ur uur(4)面面垂直： n n平面平面：拜见 JP65/ 例 312（证明面面垂直问题只需转成去求两法向量数目积为0 即可）（整理不易，望同学们好好珍惜利用！）。

点到平面的距离公式立体几何
点到平面的距离公式是立体几何中常用的公式之一，用于计
算点与平面之间的最短距离。

在三维空间中，假设平面的方程
为Ax+By+Cz+D=0，点的坐标为P(x1,y1,z1)。

点到平面的距离公式可以通过以下步骤来推导：
1.首先，我们需要计算点P在平面上的投影点Q的坐标。

平面上的任意一点Q(x2,y2,z2)满足方程Ax2+By2+Cz2+D=0。

通过代入点P的坐标，我们可以求解出平面上的投影点Q的坐标。

2.接下来，我们可以计算点P与投影点Q的距离。

两点之间的距离计算公式为：
距离=√((x1x2)²+(y1y2)²+(z1z2)²)
将点P和投影点Q的坐标代入该公式，即可计算出点P到平面的最短距离。

请注意，如果平面方程中的系数A、B、C已经是单位向量，则方程可以简化为D=AxByCz，此时点到平面的距离公式为：
距离=|Ax1+By1+Cz1+D|/√(A²+B²+C²)
这就是点到平面的距离公式的推导过程。

这个公式在计算点
与平面的距离时非常有用，可以在立体几何问题中发挥重要作用。

立体几何公式定理大全、公理定理（一）平面基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。

范围为0 , 90两异面直线间距离: 公垂线段（有且只有一条） 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面三）平行关系1．线面平行定义：直线和平面没有公共点判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

2．面面平行定义：空间两平面没有公共点判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系1线面垂直定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

平面向量 坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=-- . (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +.向量内积：a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ 两向量的夹角公式：121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==⋅+⋅+ (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).平面两点间的距离公式：,A B d 222121()()x x y y =-+- (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ). 向量的平行与垂直 ：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0 ，则：a ||b 12210x y x y ⇔-=.（交叉相乘差为零） a ⊥b (a ≠0 )⇔ a ·b =012120x x y y ⇔+=.（对应相乘和为零）线段的定比分公式 ：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ= ，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ 直线和圆斜率公式 ：2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 直线方程：（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠) (111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠))(4)截距式 1x y a b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '= ，方向向量：(,)l B A =-夹角公式：(1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.1l 到2l 的角：(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 点到直线的距离 ：0022||Ax By C d A B++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).圆的四种方程：（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：2200()()d a x b y =-+-， 则d r >⇔点P 在圆外; d r =⇔点P 在圆上; d r <⇔点P 在圆内.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA C Bb Aa d +++=): 0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .立体几何空间中的平行问题线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

1 23《三角形》 4567891011121314151617181920 《平行四边形》21 22 长 宽先在长（正）方形中画出对角线，此时长（正）方形就变成两个三角形；长（正）方形中的长就变成三角形的底，高就变成三角形的高。

原本长方形的面积算法是：长×宽；但是三角形面积只是长方形面积的一半，所以我们必须再除以2。

因此三角形面积公式就是：底×高÷2 三角形面积公式就是：底×高÷2 底232425262728 我们利用三角形面积来计算平行四边形： 29相同地，先在平行四边形画出一条对角线；此时，原本的平行四边形就变成两个三角形。

30我们知道三角形面积公式：底×高÷2；但是平行四边形是两个三角形，所以必须再乘以2；31因此公式变成：底×高÷2×2，我们简化成：底×高。

323334 《梯形》 353637383940 41我们还是要利用前面学过的公式来导出梯形面积公式。

42再画出一个一模一样的梯形，但请颠倒过来，并将两个连起来；此时，是不是变成一个平43行四边形啊！44 平行四边形面积公式就是：底×高下底 （上底＋下底）×高÷24546474849上底下底50515253这时候平行四边形底的长度是原来梯形（上底＋下底），高不变；平行四边形的面积：底×54高＝（上底＋下底）×高，但是梯形面积只是平形四边形面积的一半，所以还要再除以2；55因此，梯形面积公式就是：（上底＋下底）×高÷25657PS：在平行四边形或梯形中，高的位置只要是在两平行对边间就可以，也就是平行四58边形或梯形是无限多条高！另外，高不一定要在图形里面喔！只要将底延伸，并与任一59个顶点连结成垂直线，就是高啦！606162636465666768697071727374757677787980。

几何计算公式大全一、平面几何公式：1.周长和面积公式：-矩形：周长=2*(长+宽)，面积=长*宽-正方形：周长=4*边长，面积=边长^2-圆：周长=2*π*半径，面积=π*半径^2-三角形：周长=边1+边2+边3，面积=(底边*高)/2-梯形：周长=边1+边2+边3+边4，面积=(上底+下底)*高/22.角度和三角函数公式：-弧度和角度的转换关系：度=弧度*(180/π)，弧度=度*(π/180)- 正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)，其中a、b、c是三角形的三条边，A、B、C是对应的角度。

- 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)，其中c是三角形的斜边，a、b是两个相邻角的边长，C是这两个边对应的夹角。

3.直线和平面的方程公式：-点斜式方程：y-y1=斜率(x-x1)，其中(x1,y1)是直线上的一点，斜率可以用两点之间的高度差除以水平距离表示。

-两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是直线上的两个点。

-一般式方程：Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数，表示直线上的所有点。

二、立体几何公式：1.体积和表面积公式：-立方体：体积=边长^3，表面积=6*边长^2-正方体：体积=边长^3，表面积=6*边长^2-圆柱体：体积=π*半径^2*高，曲面积=2*π*半径*高，总表面积=2*π*半径*(半径+高)-圆锥体：体积=(π*半径^2*高)/3，曲面积=π*半径*侧面长度，总表面积=π*半径*(侧面长度+半径)-球体：体积=(4/3)*π*半径^3，表面积=4*π*半径^22.直角三角形的性质：-毕达哥拉斯定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2- 直角三角形的角度关系：直角的两个锐角的正弦、余弦和正切函数值满足sin(A) = cos(B) = a/c，sin(B) = cos(A) = b/c，tan(A) =a/b，tan(B) = b/a。

以下是部分空间向量与立体几何的公式：1. 向量的模：向量的长，可参考点点距离求模。

2. 向量的加法：三角形法则或平行四边形法则。

3. 向量的减法：三角形法则。

4. 向量的数乘：m*(x,y,z)=(mx,my,mz)。

5. 向量的积：向量m*向量n=m模*n模*cos<m,n>。

6. 向量的数乘：a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2) a+b=(x1+x2，y1+y2，z1+z2) a-b=(x1-x2，y1-y2，z1-z2) λa=(λx1，λy1，λz1) a·b=x1x2+y1y2+z1z2 a∥b：x1=λx2，y1=λy2，z1=λz2 a⊥b：x1x2+y1y2+z1z2=0。

7. 法向量与方向向量解答如下关系：线线平行：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m=y*n；线面平行：法向量与方向向量垂直；面面平行：法向量平行；线线垂直：线L1方向向量为m，线L2方向向量为n，m*n=0；线面垂直：法向量与方向向量平行；面面垂直：法向量垂直；线线夹角：方向向量乘积公式求角；线面夹角：方向向量与法向量乘积公式求角；面面夹角：法向量乘积求角。

8. 点点距离：向量模长公式；点面距离：设点为o，取平面内点p，向量op*法向量n；线线距离：直线a，b，E、F为线a，b上点；直线ab距离d为=向量EF*公垂线方向向量n/向量n模；直线方向向量求法：(1)直线l:ax+by+c=0，则直线l的方向向量为=(-b,a)或(b,-a)。

(2)若直线l的斜率为k，则l的一个方向向量为=(1,k)。

(3)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB所在直线的一个方向向量为=(x2-x1,y2-y1)。

9. 法向量求法：法向量(a,b,c)与面内向量乘积为零，带入求解方程。

如需更多公式和信息，建议查阅数学书籍或相关网站获取。

《立体几何》主要公式与定理：
主要公式：（*引申公式)
=
S 直棱柱侧面积
=
S 正棱锥侧 =
=S 正棱台侧 = S =扇形面积 = S =圆柱侧 S =圆锥侧 *S =圆台侧 （找出三者联系）
V =立方体 *=L 立方体对角线长
*=R 立方体外接球 *=R 立方体棱切球 *=R 立方体内切球 （找出三者比例关系）
V =长方体 *=L 长方体对角线长 *=R 长方体外接球
*从长方体对角线的一个端点沿表面到另一个端点的最短距离=
V =柱体 V =锥体 V =台体 （找出三者联系） V =圆柱 V =圆锥 V =圆台 （找出三者联系） S =球 =V 球 （二者有何关系？）
*=h 正四面体 *=S 正四面体 *=V 正四面体 *=R 正四面体内切球 *=R 正四面体外接球 （设正四面体的棱长为a ） 主要定理（立体几何藏宝图）：
17、等角定理 18、平行平面截线段成比例定理
19-24、平面的3个基本性质及3个推论（课本35-37页）。

土方开挖体积：V=（长+2垫层超出基础长度+2工作面宽+放坡系数×高度）×（宽+2垫层超出基础长度+2工作面宽+放坡系数×高度）×高度+1/3×放坡系数²×高度³几何图形及计算公式大全平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2 V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)。

高中数学立体几何向量公式立体几何是数学中研究三维空间中图形和对象特性的一个分支。

而向量是立体几何中非常重要的一部分，可以用来描述空间中的位置、方向和大小等。

在高中数学中，常常使用向量来解决立体几何问题。

下面将介绍一些高中数学中常用的立体几何向量公式。

1.向量的模和坐标向量的模表示向量的长度，也称为向量的大小。

记向量AB为→AB，则向量的模记作，→AB，表示向量AB的长度。

向量的模具有非负性、同一性和三角不等式等性质。

向量的坐标表示向量在一些坐标系中的位置。

以三维坐标系为例，向量→AB的坐标记作(AB)=(x1,y1,z1)-(x0,y0,z0)，其中(x0,y0,z0)为向量起点A的坐标，(x1,y1,z1)为向量终点B的坐标。

2.向量的加法向量的加法表示将两个向量按照一定规则进行相加得到一个新的向量。

设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的和记作→AB+→CD。

3.向量的减法向量的减法表示将两个向量按照一定规则进行相减得到一个新的向量。

设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的差记作→AB-→CD。

向量的减法可以等价于向量的加法。

4.向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示两个向量的乘积的数量。

设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的数量积记作→AB·→CD，满足以下计算公式：→AB · →CD = ，→AB，× ，→CD，× cosθ其中，θ为→AB和→CD之间的夹角。

从公式可以看出，数量积是一个标量，它表示的是两个向量之间的相似程度。

5.向量的向量积向量的向量积又称为叉积，表示两个向量的乘积的向量。

设有向量→AB和→CD，则向量→AB和→CD的向量积记作→AB×→CD，满足以下计算公式：→AB × →CD = ，→AB，× ，→CD，× sinθ × →n其中，θ为→AB和→CD之间的夹角，→n为单位向量，垂直于平面ABCD的法向量。