4第17课时等腰三角形与直角三角形(练).docx

专题17等腰三角形与直角三角形命题点1 一般等腰三角形的判定与计算1. 已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A. △ABC的边AB的垂直平分线B. ∠ACB的角平分线所在的直线C. △ABC的边BC上的中线所在的直线D. △ABC的边AC上的高所在的直线【答案】 C【解析】∵△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，它的对称轴为底边BC上的中线所在直线，故选C.2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是( )第2题图A. 15 cmB. 13 cmC. 11 cmD．9 cm【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5 cm，∴△CDE的周长为DE＋DC＋EC＝5＋5＋3＝13 cm.3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为( )A. 16B. 8C. 8或22D. 16或22【答案】D【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321100，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个第4题图第5题图【答案】 D【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．5.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．【答案】35【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ， ∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第6题图【答案】解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2) ∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC， 又AB ＝AC ， ∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.命题点2 等边三角形的判定与计算7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第7题图第8题图【答案】D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm【答案】C【解析】如解图所示，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于交BEF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm.9. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A .32 B . 332 C . 32D . 不能确定 【答案】B【解析】 如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332. 10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为________．第10题图第11题图【答案】 3【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×32＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.11.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4.将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B ′DE(点B ′在四边形ADEC 内)，连接AB ′，则AB ′的长为________．【答案】27【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .命题点3 直角三角形的判定与计算12.如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( )A . 2B . 3C . 4D . 5第12题图第13题图【答案】B【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝12AB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.13. 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt△CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( )A . 一直减小B . 一直不变C . 先减小后增大D . 先增大后减小第14题图第15题图【答案】C【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝12AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证△ADP ∽△ACB ，∴S 1S △ACB＝(AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25)2×12×4×2＝15x 2 ，S 2＝12×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－255，此函数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减小，后变大，故选C.15. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB ＝BD ，AP ＝4PC ＝4，则cos ∠ACB 的值是________．【答案】33【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝32，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC ＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB＝BD ＝BP ＋PD ＝52PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝503，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33. 16. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．第16题图【答案】解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中， ∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC ，又∵AC ＝AD ， ∴BM ＝12AC ＝12AD ＝MN ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝12∠BAD ＝30°，由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°， ∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.命题点4 等腰直角三角形的判定与计算17.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AB ＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD ＋CE 等于( )A . 2B . 3C . 2D . 6第17题图第18题图【答案】B【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋CE ＝3，故选B.18. △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰三角形；③EF ＝AP ；④S四边形AEPF＝12S △ABC ；当∠EPF 在△ABC 内绕P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，则上述结论始终正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠PAF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠PAF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S四边形AEPF＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝12BC ，则EF 是△ABC 的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.19.在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．【答案】13或10【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.第19题解图20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．第20题图【答案】解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2，在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD ·cos45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.第20题解图(2)如解图，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2，又∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，cot∠ECB＝CHEH ＝12，即∠ECB的余切值是12.。

2020中考数学专题练习：等腰三角形与直角三角形（含答案）1．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )A．40° B．100°C．40°或100° D．70°或50°2．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A．20或16 B．20C．16 D．以上答案均不对3．如图14所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( ) A．40° B．35° C．25° D．20°图14 图154．如图15，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间5．如图16，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为( ) A．50° B．60° C．30° D．40°图16 图176．如图17，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( )A.12 B．2 C．3 D．47．如图18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.图18 图198．如图19，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝_________cm.9．把命题“如果直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，斜边边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.10．如图20，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10 2，AB＝20.求∠A的度数．图2011．如图21，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.图2112．如图22，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B 与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.(1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；(2)求线段BD的长．图2213．如图23，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M的坐标为( )A．(2,0) B．(5－1,0)C．(10－1,0) D．(5，0)图23 图2414．如图24，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC ＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为______．15．如图25，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：图25(1)画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD；(2)线段AC的长为________，CD的长为________，AD的长为________；(3)△ACD为________三角形，四边形ABCD的面积为________；(4)若E为BC的中点，则tan∠CAE的值是______．C级　拔尖题16．如图26，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是______cm2.图2617．小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．【思考题】如图27，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直墙壁AC上，这时B到墙脚C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯脚将从点B往外移动多少米？图27(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设梯脚将从点B往外移动x米到达点B1，即BB1＝x，则B1C＝x＋0.7，A1C＝AC－AA1＝ 2.52－0.72－0.4＝2.而A1B1＝2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2＋A1C2＝A1B21，得方程____________________，解方程，得x1＝________，x2＝________，∴点B将向外移动________米．(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．参考答案1．C　解析：分顶角为40°或底角为40°两种情况．2．B　3.C　4.A5．D 解析：∠B ＝∠EFC ＝90°－∠CEF ＝40°. 6．B 7.2　8.59．如果三角形三条边的边长a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形 10．解：∵在Rt △BDC 中，∠BDC ＝45°，BD ＝10 2， ∴BC ＝CD ＝10.∵∠C ＝90°，AB ＝20，∴∠A ＝30°.11．(1)解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵∠C ＋∠BAC ＋∠B ＝180°， ∴∠BAC ＝180°－30°－30°＝120°. ∵∠DAB ＝45°，∴∠DAC ＝∠BAC －∠DAB ＝120°－45°＝75°. (2)证明：∵∠DAB ＝45°，∴∠ADC ＝∠B ＋∠DAB ＝75°.∴∠DAC ＝∠ADC . ∴DC ＝AC .∴DC ＝AB . 12．解：(1)AC ⊥BD .∵△DCE 由△ABC 平移而成，∴BE ＝2BC ＝6，DE ＝AC ＝3，∠E ＝∠ACB ＝60°.∴DE ＝12BE .∴BD ⊥DE .∵∠E ＝∠ACB ＝60°，∴AC ∥DE .∴BD ⊥AC . (2)在Rt △BED 中，∵BE ＝6，DE ＝3，∴BD 2＝BE 2－DE 2＝62－32，解得BD ＝3 3. 13．C 14.10＋2 13 15．解：(1)如图D50：图D50(2)2 5　5　5　(3)直角　10　(4)1216.49217．解：(1)(x ＋0.7)2＋22＝2.52， 0．8，－2.2(舍去)，0.8. (2)①不会是0.9米，若AA 1＝BB 1＝0.9，则A 1C ＝2.4－0.9＝1.5， B 1C ＝0.7＋0.9＝1.6,1.52＋1.62＝4.81,2.52＝6.25， ∵A 1C 2＋B 1C 2≠A 1B 1 2 ， ∴该题的答案不会是0.9米． ②有可能．设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米， 则有(x ＋0.7)2＋(2.4－x )2＝2.52， 解得：x ＝1.7或x ＝0(舍去)．∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等。

等腰三角形与直角三角形◆课前热身1.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．342.如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8， 则边BC 的长为（ ）A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ．4.如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．【参考答案】1. B2. A3.4. 33 ACDB 第2题图 AD C P B 第1题图60°◆考点聚焦等腰三角线1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．直角三角形1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题．2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形．3．折叠问题．4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用．◆备考兵法等腰三角线1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．直角三角形1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数．2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）•来解决问题，实现几何问题代数化．3．在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°，45°，60°）．若有，则应运用一些相关的特殊性质解题．4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，•常常通过作高转化为直角三角形来解决．5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路．◆考点链接一．等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________．二．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．三．直角三角形的性质与判定：1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．◆典例精析例1（湖北襄樊）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍． 【答案】7或17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17.例2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．【答案】（2+23）米．【解析】掌握30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.BC A 30°。

等腰三角形和直角三角形重点突破：一．角平分线+平行线例1．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE 于点E、交∠ACB的平分线CD于点D，则DE为（） A.18 B.16 C.14 D.8图1 图2 图3练习1：如图2，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（） A.12 B.24 C.36 D.不确定练习2：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F．（1）求证：EO=FO；（2）若CE=4，CF=3，你还能得到那些结论？练习3：如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）二．角平分线+垂线例2：如图4，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长是（）A.38 B.39 C.40 D.41练习4：如图5，△ABC的面积是1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△BPC的面积是（）A．0.45 B．0.5 C．0.6 D．0.55练习5：如图6，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC的周长为_________．练习2．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为．图4 图5 图6 练习2练习6：如图7，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明．（2）若AD=1，求BE的长．图7三．直角三角形斜边中线例3：如图8，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7，BC=10，则△EFM 的周长是（）A．17 B．21 C．24 D．27图8 图9 图10 图11例4：已知边长为6的等边三角形ABC，两顶点A、B分别在直角墙面上滑动，连接OC，则OC的长的最大值是．练习7：如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC﹣AD的关系是（）A.2MN＜BC﹣ADB.2MN＞BC﹣ADC.2MN=BC﹣ADD.MN=2（BC﹣AD)练习8:如图11，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，则（）A.EF⊥BD B.∠AEF=∠ABD C.EF=（AB+CD） D.EF=（CD﹣AB）练习9:已知：如图12，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．如图12课堂作业：1.如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC 与点D，交AC于点E．（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；（2）若BD=4、CE=3，求DE的长；（3）若AB=12、AC=9，求△ADE的周长；（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？2.有一个直角三角形纸片BCE，设点A是斜边BE上的一点，连接AC，现沿AC将纸片剪开，并将纸片ADE顺时针旋转摆放成图2、图3、或图4的样子．（1）如图2，当点A是中点，且DE∥BC时，求∠BAE的度数；（2）如图3，当点A是中点，但DE不平行于BC时，设M是DE的中点，连接AM交BC于点N，求证：∠ANB+∠BAE=180°；（3）如图4，当AB＜AE时，设M是DE上的一点，连接AM交BC于点N，若∠ANB+∠BAE=180°，那么点M在DE上的位置满足什么条件？（温馨提示：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）课后作业：一．选择题1．已知：如图13，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④图13 图14 图15 图162．如图14，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．2B．2.4 C．2.6 D．3二．选择题3.如图15，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC=m2．4.如图16，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为．5.如图17，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是．6.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是_________；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．三．解答题7.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？9.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是.10.（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．（2）如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系．（3）如图3，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想．（不需证明）11.已知∠ABC=∠ACD=90°，M、N分别是AC、BD的中点．若AC=10，BD=8，求MN的长．。

八年级数学下学期讲学案课题三角形的证明课次第17 次授课教师上课日期和时段教学形式手机号码学生签名等腰三角形与直角三角形知识梳理1．全等三角形的相关公理；（1）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）（2）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）（3）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2．全等三角形推论1；两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）3．等腰三角形的相关定理；（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）（3）有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）60的等腰三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于030，那么它所对的直角边是斜边的一半。

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于04．直角三角形的相关定理；（1），直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（勾股定理）（2），如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（勾股定理逆定理）（3），斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。

典例精析考点1 全等三角形1．（2011·南昌）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC2．(2013娄底)如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是________．(添加一个条件即可)1题图2题图3题图3．如图所示，F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是________．4．(2013江津)如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．求证：△ABC≌△AED．5．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．考点2 等腰三角形1．（2011，铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A．等腰三角形两底角相等B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C．等腰三角形是中心对称图形 D．等腰三角形是轴对称图形2．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角为（）A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°3．(2013新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( ) A．12 B．15 C．12或15 D．184．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是( )A．BC边上的高线和中线互相重合 B．AB和AC边上的中线相等C．三角形ABC中顶点为B和顶点为C的角平分线相等 D．AB，BC边上的高相等5．(2013山东青岛)某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要________元．6．如图，已知AB＝A1B，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，若∠B＝20°，则∠A4＝________．5题图 6题图7．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

中考数学真题《等腰三角形与直角三角形》专项测试卷(带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（25道）一、单选题1．如图，直角ABC 中 30B ∠=︒ 点O 是ABC 的重心 连接CO 并延长交AB 于点E 过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F 连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( )A ．12 B 5C ．23 D 32．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合 再将此直角边垂直于直尺的上沿 重合的顶点落在直尺下沿上 这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A B 两点，则AB 的长是（ ）A ．23B ．232C ．2D ．233．如图，ABC 是等腰三角形 36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心 任意长为半径作弧 交AB 于点F 交BC 于点G 分别以点F 和点G 为圆心 大于12FG 的长为半径作弧 两弧相交于点H 作射线BH 交AC 于点D 分别以点B 和点D 为圆心 大于12BD 的长为半径作弧 两孤相交于M N 两点 作直线MN 交AB 于点E 连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠ ①BC AE = ①12ED BC = ①当2AC =时 51AD =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①5．如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC =，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．1或26．如图，在Rt ABC 中 9053C AB BC ∠=︒==，， 以点A 为圆心 适当长为半径作弧 分别交AB AC，于点E F ， 分别以点E F ，为圆心 大于12EF 的长为半径作弧 两弧在BAC ∠的内部相交于点G 作射线AG 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．35B ．34C ．43D ．537．5月26日 “2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕 在“自动化立体库”中有许多几何元素 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示） 它的顶角为120︒ 腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m8．如图，ABC 为等边三角形 点D E 分别在边BC AB 上 60ADE ∠=︒ 若4BD DC = 2.4DE =，则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.29．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1 在Rt ABC △中 90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于P Q 两点 （2）作直线PQ 交AB 于点O（3）以O 为圆心 OA 为半径作O O 即为所求作的圆．下列不属于．．．该尺规作图依据的是（） A ．两点确定一条直线B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等10．如图，在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， 点D 在边AC 上 且BD 平分ABC 的周长，则BD的长是（ ）A B C D11．ABC 的三边长a b c 满足2()|0a b c --=，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形12．四边形ABCD 的边长如图所示 对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时 对角线AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二 填空题13．将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D 在AB 边上 ①DEF 绕点D 旋转 腰DF 和底边DE 分别交①CAB 的两腰CA CB 于M N 两点 若CA=5 AB=6 AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为 ．14．如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 点D 为BC 的中点 过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E 若4AC = 5CE =，则CD 的长为 ．15．如图，在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 3AC BC == 点D 在直线AC 上 1AD = 过点D 作DE AB ∥直线BC 于点E 连接BD 点O 是线段BD 的中点 连接OE ，则OE 的长为 ．16．如图，在ABC 中 90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点 作PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为 ．17．如图．四边形ABCD 中 AB AD = BC DC = 60C ∠=︒ AE CD ∥交BC 于点E 8BC = 6AE =，则AB 的长为 ．18．如图，已知50ABC ∠=︒ 点D 在BA 上 以点B 为圆心 BD 长为半径画弧 交BC 于点E 连接DE ，则BDE ∠的度数是 度．19．如图，在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 分别以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P 作直线AP 交CD 于点E 若5AC = 6CD =，则AE = ．20．如图，在ABC 中 以点C 为圆心 任意长为半径作弧 分别交AC BC 于点D E 分别以点DE 为圆心 大于12DE 的长为半径作弧 两弧交于点F 作射线CF 交AB 于点G 若9AC = 6BC = BCG 的面积为8，则ACG 的面积为 ．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 E 为AC 的中点．若8AC = 5CD =，则DE = ．22．在 Rt △ABC 中, △ACB =90° AC =6 BC =8 D 是AB 的中点，则 CD = ．三 解答题23．在Rt ABC △中 90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△(2)若610AB BC ==， 求BD 的长．24．如图，BD 是等边ABC 的中线 以D 为圆心 DB 的长为半径画弧 交BC 的延长线于E 连接DE ．求证：CD CE =．25．如图，在四边形ABCD 中 点E 是边BC 上一点 且BE CD = B AED C ∠=∠=∠．(1)求证：EAD EDA ∠=∠(2)若60C ∠=︒ 4DE =时 求AED △的面积．参考答案一、单选题1．如图，直角ABC 中 30B ∠=︒ 点O 是ABC 的重心 连接CO 并延长交AB 于点E 过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F 连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( )A ．12BC ．23 D【答案】D 【详解】解：①点O 是①ABC 的重心 ①OC =23CE ①①ABC 是直角三角形 ①CE =BE =AE ①①B =30° ①①F AE =①B =30° ①BAC =60° ①①F AE =①CAF =30° ①ACE 是等边三角形 ①CM =12CE ①OM =23CE ﹣12CE =16CE 即OM =16AE ①BE =AE ①EF①EF ①AB ①①AFE =60° ①①FEM =30° ①MF =12EF ①MF①MO MF1AE故选D ．2．将一副直角三角板和一把宽度为2cm 的直尺按如图方式摆放：先把60︒和45︒角的顶点及它们的直角边重合 再将此直角边垂直于直尺的上沿 重合的顶点落在直尺下沿上 这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A B 两点，则AB 的长是（ ）A．2B．2 C ．2 D．【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得2cm AD CD == 由含30度角直角三角形的性质可得24cm BC CD == 由勾股定理可得BD 的长 即可得到结论．【详解】解：如图，在Rt ACD △中 45ACD ∠=︒①45CAD ACD ∠=︒=∠①2cm AD CD ==在Rt BCD 中 60BCD ∠=︒①30CBD ∠=︒①24cm BC CD == ①)22224223cm BD BC CD --= ①()233cm AB BD AD =-=．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理 等腰直角三角形的性质 含30︒角直角三角形的性质 熟练掌握勾股定理是解题的关键．3．如图，ABC 是等腰三角形 36AB AC A =∠=︒，．以点B 为圆心 任意长为半径作弧 交AB 于点F 交BC 于点G 分别以点F 和点G 为圆心 大于12FG 的长为半径作弧 两弧相交于点H 作射线BH 交AC 于点D 分别以点B 和点D 为圆心 大于12BD 的长为半径作弧 两孤相交于M N 两点 作直线MN 交AB 于点E 连接DE ．下列四个结论：①AED ABC ∠=∠ ①BC AE = ①12ED BC = ①当2AC =时 51AD =．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与36A ∠=︒ 得到72ABC C ∠=∠=︒ 根据角平分线定义得到36ABD CBD ∠=∠=︒ 根据线段垂直平分线性质得到EB ED = 得到EBD EDB ∠=∠ 推出EDB CBD ∠=∠ 得到DE BC ∥ 推出AED ABC ∠=∠ ①正确 根据等角对等边得到AD AE = AD BD = 根据三角形外角性质得到72BDC C ∠=︒=∠ 得到BC BD = 推出BC AE = ①正确 根据AED ABC △∽△ 得到ED AD AD BC AC AD DC ==+ 推出ED = ①错误 根据2AC =时CD AD = 2AD AD =-,推出1AD = ①正确． 【详解】①ABC 中 AB AC = 36A ∠=︒ ①()1180722ABC C A ∠=∠=︒-∠=︒ 由作图知 BD 平分ABC ∠ MN 垂直平分BD ①1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒EB ED = ①EBD EDB ∠=∠①EDB CBD ∠=∠①DE BC ∥①AED ABC ∠=∠ ①正确 ADE C ∠=∠①AED ADE ∠=∠①AD AE =①A ABD ∠=∠①AD BD =①72BDC A ABD ∠=∠+∠=︒ ①BDC C ∠=∠①BC BD =①BC AE = ①正确设ED x = BC a =则AD a = BE x =①CD BE x ==①AED ABC △∽△ ①EDADADBC AC AD DC ==+ ①x aa a x =+①220x ax a +-=①0x >①51x -= 即51ED -=①错误 当2AC =时 2CD AD =- ①51CD AD -=512AD AD -=-, ①51AD = ①正确①正确的有①①① 共3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形 相似三角形 解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质 相似三角形的判定和性质 角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．4．如图ABC 中 90,4,,ACB AB AC x BAC α︒∠===∠= O 为AB 中点 若点D 为直线BC 下方一点 且BCD △与ABC 相似，则下列结论：①若45α=︒ BC 与OD 相交于E ，则点E 不一定是ABD △的重心 ①若60α=︒，则AD 的最大值为27 ①若60,ABC CBD α=︒∽，则OD 的长为23 ①若ABC BCD △∽△，则当2x =时 AC CD +取得最大值．其中正确的为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】A 【分析】①有3种情况 分别画出图形 得出ABD △的重心 即可求解 当60α=︒ BD BC ⊥时 AD 取得最大值 进而根据已知数据 结合勾股定理 求得AD 的长 即可求解 ①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△ 根据相似三角形的性质求得3CD = 3GE DF == 32CF = 进而求得OD 即可求解 ①如图6 根据相似三角形的性质得出214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- 根据二次函数的性质 即可求AC CD +取得最大值时 2x =． 【详解】①有3种情况 如图1 BC 和OD 都是中线 点E 是重心如图2 四边形ABDC 是平行四边形 F 是AD 中点 点E 是重心如图3 点F 不是AD 中点 所以点E 不是重心①正确①当60α=︒ 如图4时AD 最大 4AB =∴2AC BE == BC AE == 6BD ==∴8DE =∴AD =≠∴①错误①如图5 若60α=︒ C ABC BD ∽△△①60BCD ∠=︒ 90CDB ∠=︒ 4AB = 2AC = BC = OE = 1CE =①CD = GE DF ==32CF =①52EF DG == OG①OD =≠①①错误①如图6 ABC BCD ∽△△①CD BC BC AB= 即214CD BC =在Rt ABC △中 2216BC x =- ①()221116444CD x x =-=-+ ①22114(2)544AC CD x x x +=-+=--+ 当2x =时 AC CD +最大为5①①正确．故选：A ．【点睛】本题考查了三角形重心的定义 勾股定理 相似三角形的性质 二次函数的性质 分类讨论 画出图形是解题的关键．5．如图，在ABC 中 90,30,2,B A BC D ︒︒∠=∠==为AB 的中点．若点E 在边AC 上 且AD DE AB BC=，则AE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1或2【答案】D 【分析】根据题意易得3,4==AB AC 然后根据题意可进行求解．【详解】解：①90,30,2B A BC ∠︒∠︒=== ①323,24AB BC AC BC ====①点D 为AB 的中点 ①132AD AB =①AD DE AB BC= ①1DE =①当点E 为AC 的中点时 如图①122AE AC == ①当点E 为AC 的四等分点时 如图所示：①1AE =综上所述：1AE =或2故选D ．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线 熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中 9053C AB BC ∠=︒==，， 以点A 为圆心 适当长为半径作弧 分别交AB AC，于点E F ， 分别以点E F ，为圆心 大于12EF 的长为半径作弧 两弧在BAC ∠的内部相交于点G 作射线AG 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ）A ．35B ．34C ．43D ．53【答案】D 【分析】过点D 作DM AB ⊥于M 由勾股定理可求得4AC = 由题意可证明ADC ADM △≌△，则可得4AM AC == 从而有1BM = 在Rt DMB 中 由勾股定理建立方程即可求得结果．【详解】解：过点D 作DM AB ⊥于M 如图由勾股定理可求得4AC =由题中作图知 AD 平分BAC ∠①DM AB AC BC ⊥⊥，①DC DM =①AD AD =①Rt Rt ADC ADM △≌△①4AM AC ==①1BM AB AM =-=设BD x =，则3MD CD BC BD x ==-=-在Rt DMB 中 由勾股定理得：2221(3)x x +-= 解得：53x = 即BD 的长为为53故选：D ．【点睛】本题考查了作图：作角平分线 角平分线的性质定理 全等三角形的判定与性质 勾股定理 利用全等的性质 利用勾股定理建立方程是解题的关键．7．5月26日 “2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕 在“自动化立体库”中有许多几何元素 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示） 它的顶角为120︒ 腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【答案】B 【分析】作AD BC ⊥于点D 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒ 再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作AD BC ⊥于点DABC 中,120BAC ∠=︒ AB AC =∴()1180302B C BAC ∠=∠=︒-∠=︒AD BC ⊥∴11126m 22AD AB ==⨯=故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 三角形内角和定理 含30度角的直角三角形的性质等解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．8．如图，ABC 为等边三角形 点D E 分别在边BC AB 上 60ADE ∠=︒ 若4BD DC =2.4DE =，则AD 的长为（ ）A ．1.8B ．2.4C ．3D ．3.2【答案】C【分析】证明ADC DEB ∽△△ 根据题意得出45BD BC = 进而即可求解．【详解】解：①ABC 为等边三角形①60B C ∠=∠=︒①ADB ADE BDE C DAC ∠=∠+∠=∠+∠ 60ADE ∠=︒①BDE DAC ∠=∠①ADC DEB ∽△△ ①AD ACDE BD =①4BD DC = ①45BD BC =①AD AC DE BD =5445BC BC == ① 2.4DE = ①534AD DE =⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 等边三角形的性质 熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图 1 在Rt ABC △中 90C ∠=︒．求作：Rt ABC △的外接圆．作法：如图2．（1）分别以点A 和点B 为圆心 大于12AB 的长为半径作弧 两弧相交于P Q 两点 （2）作直线PQ 交AB 于点O（3）以O 为圆心 OA 为半径作O O 即为所求作的圆．下列不属于．．．该尺规作图依据的是（） A ．两点确定一条直线B ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C ．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D ．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC OA OB ==即可．【详解】解：作直线PQ （两点确定一条直线）连接PA PB QA QB OC ，，，，①由作图 PA PB QA QB ==，①PQ AB ⊥且AO BO =（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．①90ACB ∠=︒ ①12OC AB =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半） ①OA OB OC ==①A B C 三点在以O 为圆心 AB 为直径的圆上．①O 为ABC 的外接圆．故选：D ．【点睛】本题考查作图-复杂作图 线段的垂直平分线的定义 直角三角形斜边中线的性质等知识 解题的关键熟练掌握基本知识 属于中考常考题型．10．如图，在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， 点D 在边AC 上 且BD 平分ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A B C D 【答案】C 【分析】如图所示 过点B 作BE AC ⊥于E 利用勾股定理求出5AC = 进而利用等面积法求出125BE =，则可求出95AE = 再由BD 平分ABC 的周长 求出32AD CD ==， 进而得到65DE =，则由勾股定理得BD ==【详解】解：如图所示 过点B 作BE AC ⊥于E①在ABC 中 9034ABC AB BC ∠=︒==，， ①225AC AB +BC ①1122ABC S AC BE BC AC =⋅=⋅△ ①125AB BC BE AC ⋅== ①2295AE AB BE =-= ①BD 平分ABC 的周长①AD AB BC CD +=+ 即34AD CD +=+又①5AD CD AC +==①32AD CD ==， ①65DE AD AE =-= ①2265BD BE DE =+=故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理 正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．ABC 的三边长a b c 满足2()23|320a b a b c ----=，则ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a b c 的等式 从而分别计算得到a b c 的值 再由222+=a b c 的关系 可推导得到ABC 为直角三角形．【详解】解①2()23|320a b a b c ---+-=又①()20230320a b a b c ⎧-≥⎪⎪--⎨-≥⎪⎩①()2000a b c ⎧-=-=⎪⎩①02300a b a b c ⎧-=⎪--=⎨⎪-⎩解得33a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ①222+=a b c 且a b =①ABC 为等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识 求解的关键是熟练掌握非负数的和为0 每一个非负数均为0 和勾股定理逆定理．12．四边形ABCD 的边长如图所示 对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当ABC 为等腰三角形时 对角线AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得04AC << 再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在ACD 中 2AD CD ==①2222AC -<<+ 即04AC <<当4AC BC ==时 ABC 为等腰三角形 但不合题意 舍去若3AC AB ==时 ABC 为等腰三角形故选：B ．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．二 填空题13．将形状 大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置 点D 在AB 边上 ①DEF 绕点D 旋转 腰DF 和底边DE 分别交①CAB 的两腰CA CB 于M N 两点 若CA=5 AB=6 AB=1：3，则MD+12⋅MA DN的最小值为 ．【答案】23【分析】先求出AD=2 BD=4 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得①AMD+①A=①EDF+①BDN 然后求出①AMD=①BDN 从而得到①AMD 和①BDN 相似 根据相似三角形对应边成比例可得MA MD BD DN= 求出MA•DN=4MD 再将所求代数式整理出完全平方的形式 然后根据非负数的性质求出最小值即可．【详解】①AB=6 AB=1：3 ①AD=6×13=2 BD=6﹣2=4 ①①ABC 和①FDE 是形状 大小完全相同的两个等腰三角形①①A=①B=①FDE 由三角形的外角性质得 ①AMD+①A=①EDF+①BDN ①①AMD=①BDN①①AMD①①BDN ①MA MD BD DN= ①MA•DN=BD•MD=4MD ①MD+12⋅MA DN =MD+2233()(2323MD MD MD+- =①3MD MD 即3MD+12⋅MA DN 有最小值为23故答案为考点：相似三角形的判定与性质 等腰三角形的性质 旋转的性质 最值问题 综合题．14．如图，在Rt ABC △中 90ACB ∠=︒ 点D 为BC 的中点 过点C 作CE AB ∥交AD 的延长线于点E 若4AC = 5CE =，则CD 的长为 ．【答案】32/112/1.5 【分析】先根据AAS 证明BDA CDE △≌△ 推出5==BA CE 再利用勾股定理求出BC 最后根据中点的定义即可求CD 的长． 【详解】解：CE AB ∥∴BAD CED ∠=∠点D 为BC 的中点∴BD CD = 又BDA CDE ∠=∠∴BDA CDE △≌△()AAS∴5==BA CERt ABC △中 90ACB ∠=︒ 4AC =∴3BC === ∴1322CD BC ==． 故答案为：32． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质 勾股定理 平行线的性质等 证明BDA CDE △≌△是解题的关键．15．如图，在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 3AC BC == 点D 在直线AC 上 1AD = 过点D 作DE AB ∥直线BC 于点E 连接BD 点O 是线段BD 的中点 连接OE ，则OE 的长为 ．541【分析】分两种情况当D 在CA 延长线上和当D 在CA 上讨论 画出图形 连接OC 过点O 作ON BC ⊥于N 利用勾股定理解题即可【详解】解：当在线段上时 连接OC 过点O 作ON BC ⊥于N①当D 在线段AC 上时1AD =2CD AC AD ∴=-=90BCD ∠=︒22222313BD CD BC ∴=+=+点O 是线段BD 的中点1132OC OB OD BD ∴====ON BC ⊥1322CN BN BC ∴===AB DE45COE A CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒2CE CD ∴==31222NE ∴=-=221ON CO CN =-2222151()2OE ON NE ∴=++=②当D 在CA 延长线上时，则4CD AD AC =+=O 是线段BD 的中点 90BCD ∠=︒12OC OB OD BD ∴=== ON BC ⊥1322CN BN BC ∴=== OB OD =122ON CD ∴== AB DE45CAB COE CBA CED ∴∠=∠=∠=∠=︒4CE CD ∴==35422EN CE CN ∴=-=-=OE ∴==OE ∴【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质 勾股定理 正确作出辅助线是解题的关键．16．如图，在ABC 中 90,6C AC BC ∠=︒==．P 为边AB 上一动点 作PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E ，则DE 的最小值为 ．【答案】32【分析】连接CP 利用勾股定理列式求出AB 判断出四边形CDPE 是矩形 根据矩形的对角线相等可得DE CP = 再根据垂线段最短可得CP AB ⊥时 线段DE 的值最小 然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CP①90,6C AC BC ∠=︒== ①22226662AB AC BC ++=①PD BC ⊥于点D PE AC ⊥于点E 90ACB ∠=︒①四边形CDPE 是矩形①DE CP =由垂线段最短可得CP AB ⊥时 线段CP 的值最小 此时线段DE 的值最小此时 1122ABC S AC BC AB CP ==△⋅⋅ 代入数据：11666222CP ①32CP =①DE 的最小值为32故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质 垂线段最短的性质 勾股定理 判断出CP AB ⊥时 线段DE 的值最小是解题的关键．17．如图．四边形ABCD 中 AB AD = BC DC = 60C ∠=︒ AE CD ∥交BC 于点E 8BC = 6AE =，则AB 的长为 ．【答案】【分析】连接AC BD 交于点O 过点E 作EF AC ⊥ 交AC 于点F 先证明BCD △是等边三角形 AC垂直平分BD 求得30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒ 6AE EC == 再解三角形求出AO AC CO =-= 4BO = 最后运用勾股定理求得AB 即可．【详解】解：如图：连接AC BD 交于点O又①BC DC = 60C ∠=︒①BCD △是等边三角形①8BD BC CD ===①AB AD = BC DC =①AC BD ⊥ 142BO DO BD === ①1302ACD ACB BCD ∠=∠=∠=︒ 又①AE CD ∥①30EAC ACD ACB ∠=∠=∠=︒．①6AE EC ==过点E 作EF AC ⊥ 交AC 于点F ①3cos30633CF CE =⋅︒==3cos30633AF AE =⋅︒==3cos3083CO BC =⋅︒==①63AC CF AF =+=①634323AO AC CO =-==①在Rt BOA 中 2222(23)427AB BO AO ++= 故答案为：27【点睛】本题属于四边形综合题 主要考查了等边三角形的判定和性质 平行线的性质 垂直平分线 勾股定理 解直角三角形等知识点 正确作出辅助线成为解答本题的关键．18．如图，已知50ABC ∠=︒ 点D 在BA 上 以点B 为圆心 BD 长为半径画弧 交BC 于点E 连接DE ，则BDE ∠的度数是 度．【答案】65【分析】根据题意可得BD BE = 再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：BD BE =①BDE BED ∠=∠①18050ABC BDE BED ABC ∠+∠+∠=︒∠=︒，①65BDE BED ∠=∠=︒．故答案为：65．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质 三角形内角和等知识点 掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．19．如图，在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 分别以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P 作直线AP 交CD 于点E 若5AC = 6CD =，则AE = ．【答案】4【分析】利用圆的性质得出AP 垂直平分CD 和5AD AC == 运用勾股定理便可解决问题.【详解】解：根据题意可知 以点C 和点D 为圆心 大于12CD 长为半径作弧 两弧交于点P ①AP 垂直平分CD ,即90AED ∠=︒ ①132DE CD == 又①在ABC 中 以A 为圆心 AC 长为半径作弧 交BC 于C D 两点 其中5AC =①5AD AC ==在ADE 中 4AE =故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质 掌握相关知识点是解题的关键.20．如图，在ABC 中 以点C 为圆心 任意长为半径作弧 分别交AC BC 于点D E 分别以点DE 为圆心 大于12DE 的长为半径作弧 两弧交于点F 作射线CF 交AB 于点G 若9AC = 6BC = BCG 的面积为8，则ACG 的面积为 ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点M 证明ACG BMG ∽ 得出AG AC AC GB BM BC == 根据96ACG BCG S AG AC S GB BC ===32= 即可求解． 【详解】解：如图所示 过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点M①ACM CMB ∠=∠由作图可得CG 是ACB ∠的角平分线①ACM BCM ∠=∠①BCM CMB ∠=∠①BC BM =①BM AC ∥①ACG BMG ∽ ①AG AC AC GB BM BC== ①96ACG BCG S AG AC S GB BC ===32= ①BCG 的面积为8①ACG 的面积为12故答案为：12．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 作角平分线 熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21．如图，CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 E 为AC 的中点．若8AC = 5CD =，则DE = ．【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB 然后利用勾股定理即可得出BC 最后利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：①在Rt ABC △中 CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线 5CD =①210AB CD ==①6BC①E 为AC 的中点 ①132DE BC == 故答案为：3．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质 三角形中位线定理 掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．22．在 Rt △ABC 中, △ACB =90° AC =6 BC =8 D 是AB 的中点，则 CD = ．【答案】5【分析】先根据题意画出图形 再运用勾股定理求得AB 然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【详解】解：如图：①△ACB =90° AC =6 BC =8 ①22226810AB AC BC①①ACB =90° D 为AB 的中点①CD =12AB =12×10=5．故答案为5．【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．三 解答题23．在Rt ABC △中 90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．(1)证明：C ABD BA ∽△△(2)若610AB BC ==， 求BD 的长．【答案】(1)见解析 (2)185BD = 【分析】（1）根据三角形高的定义得出90ADB ∠=︒ 根据等角的余角相等 得出BAD C ∠=∠ 结合公共角B B ∠=∠ 即可得证（2）根据（1）的结论 利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：①90BAC AD ∠=︒，是斜边BC 上的高．①90ADB ∠=︒ 90B C ∠+∠=︒①90B BAD ∠+∠=︒①BAD C ∠=∠又①B B ∠=∠①C ABD BA ∽△△（2）①C ABD BA ∽△△ ①AB BD CB AB=又610AB BC ==， ①23618105AB BD CB ===． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定 熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．如图，BD 是等边ABC 的中线 以D 为圆心 DB 的长为半径画弧 交BC 的延长线于E 连接DE ．求证：CD CE =．【答案】见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质 证出2E ∠=∠ 再利用等边对等角即可．【详解】证明：BD 为等边ABC 的中线BD AC ∴⊥ 160∠=︒330∴∠=︒BD DE =330E ∴∠=∠=︒2160E ∠+∠=∠=︒230E ∴∠=∠=︒CD CE ∴=【点睛】本题考查了等边三角形 等腰三角形的性质和判定 理解记忆相关定理是解题的关键．25．如图，在四边形ABCD 中 点E 是边BC 上一点 且BE CD = B AED C ∠=∠=∠．(1)求证：EAD EDA ∠=∠(2)若60C ∠=︒ 4DE =时 求AED △的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）由B AED ∠=∠求出BAE CED ∠=∠ 然后利用AAS 证明BAE CED ≅ 可得EA ED = 再由等边对等角得出结论（2）过点E 作EF AD ⊥于F 根据等腰三角形的性质和含30︒直角三角形的性质求出DF 和AD 然后利用勾股定理求出EF 再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：①B AED ∠=∠①180180B AED ︒-∠=︒-∠ 即BEA BAE BEA CED ∠+∠=∠+∠①BAE CED ∠=∠在BAE 和CED △中 B C BAE CED BE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BAE CED ≅①EA ED =①EAD EDA ∠=∠（2）解：过点E 作EF AD ⊥于F由（1）知EA ED =①60C AED ︒∠=∠=①30AEF DEF ∠=∠=︒①4DE = ①122DF DE == ①24AD DF == 22224223EF DE DF =--①11422AED S AD EF =⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质 等腰三角形的性质 含30︒直角三角形的性质以及勾股定理等知识 正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．。

第四节等腰三角形与直角三角形四川 6 年中考真题精选（2012- 2017）命题点 1等腰三角形的性质及计算(绵阳： 6 年 2 考；四川： 2016 年2 考， 2015 年 7 考， 2014 年 4 考)1.(2013 成都 4 题 3 分)如图，在△ ABC 中，∠ B＝∠ C，AB＝5，则AC 的长为 ()A. 2B. 3C. 4D. 5第 1 题图第2题图2.(2014 南充 8 题 3 分 )如图，在△ ABC 中， AB＝AC，且 D 为 BC 上一点， CD＝AD，AB＝BD，则∠ B 的度数为 ()A. 30 °B. 36 °C. 40 °D. 45 °3.(2015 广安 8 题 3 分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x ＋10＝ 0 的两根，则该等腰三角形的周长是()A. 12B. 9C. 13D. 12 或 94.(2015 内江 8 题 3 分 )如图，在△ ABC 中，AB＝AC，BD 平分∠ ABC 交AC 于点 D，AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E，若∠ E＝35°，则∠ BAC的度数为 ()A. 40 °B. 45 °C. 60 °D. 70 °第4 题图5.(2012 广安 9 题 3 分)已知等腰△ ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AD1＝2BC，则△ ABC 底角的度数为 ()A. 45 °B. 75 °C. 45 或° 75°D. 60 °6.(2016 雅安 8 题 3 分)如图所示，底边 BC 为 2 3，顶角 A 为 120°的等腰△ ABC 中， DE 垂直平分 AB 于 D，则△ ACE 的周长为 ()A. 2 ＋2 3B. 2＋3C. 4D. 3 3第6 题图7.(2016 绵阳 9 题 3 分)如图，△ ABC 中， AB＝AC＝4，∠C＝72°，D 是 AB 中点，点E 在 AC 上， DE⊥AB，则 cosA 的值为 ()第 7 题图A. 5－1B.5－1C.5＋1D.5＋1 2 4 4 28. (2012 广元 14 题 3 分)已知等腰三角形的一个内角为 80°，则另两个角的度数是 ____________．9.(2013 绵阳 17 题 3 分)已知整数 k＜5，若△ ABC 的边长均满足关于x 的方程 x2－3 kx＋8＝0，则△ ABC 的周长是 ________．10. (2013 凉山州 17 题 4 分)若实数 x、y 满足 |x－4|＋y 8 ＝0，则以 x、y 的值为边长的等腰三角形的周长为 ________．11. (2015 乐山 14 题 3 分)如图，在等腰三角形ABC 中， AB＝AC，DE 垂直平分 AB，已知∠ ADE＝ 40°，则∠ DBC＝________°.第 11 题图第12题图12.(2015 攀枝花 14 题 4 分)如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，矩形 OABC 中， A(10，0)，C(0，4)，D 为 OA 的中点， P 为BC 边上一点，若△ POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点P 的坐标为 ____________.命题点 2 等边三角形的性质及计算 (绵阳：2014.11；四川：2016 年 1 考， 2015 年 1 考， 2014 年 2 考)13.(2014 泸州 5 题 3 分)如图，等边△ ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则∠ DEC 的度数为 ()A. 30 °B. 60 °C. 120 °D. 150 °第13 题图14. (2016 内江 11 题 3 分)已知等边三角形的边长为3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为 ()3 3 3 3A. 2 B . 2 C. 2 D. 不能确定15.(2014 绵阳 11 题 3 分)在边长为正整数的△ ABC 中，AB＝AC，且AB 边上的中线 CD 将△ ABC 的周长分为 1∶2 的两部分，则△ ABC 面积的最小值为 ()7 7 15 3 7 7 15A. 12B. 36C. 4D. 4命题点 3直角三角形的性质及计算(绵阳： 6 年 2 考；四川： 2017 年3 考， 2016 年 4 考， 2015 年 3 考， 2014 年 1 考)16.(2012 绵阳 7 题 3 分)如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1＋∠ 2＝()A. 225 °B. 235 °C. 270 °D. 与虚线的位置有关第 16 题图第17题图17. (2016 南充 7 题 3 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ A＝30°， BC＝1，点 D，E 分别是直角边 BC，AC 的中点，则 DE 的长为 ()A. 1B. 2C. 3D. 1＋ 318.(2015 眉山 10 题 3 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE 垂直平分斜边 AC，交 AB 于 D，E 是垂足，连接 CD，若 BD＝1，则 AC 的长是 ()A. 2 3B. 2C. 4 3D. 4第 18 题图第19题图19.(2017 绵阳 11 题 3 分)如图，直角△ ABC 中，∠ B＝30°，点 O 是△ABC 的重心，连接 CO 并延长交 AB 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB 交MOBC 于点 F，连接 AF 交 CE 于点 M，则MF的值为 ()A. 1B.5C.2D.3 24 3 320.(2016 甘孜州 13 题 4 分 )直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．21.(2015 内江 22 题 6 分)在△ ABC 中，∠ B＝30°，AB＝12，AC＝6，则 BC＝ ________．22. (2013 巴中 19 题 3 分 )若直角三角形两直角边长分别为a、b，且满足a26a 9 ＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．23. (2014 凉山州 16 题 4 分)已知直角三角形两边的长分别是 3 和 4，则第三边的长为 ________．24.(2017 乐山 14 题 3 分)点 A、B、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为 1，则点 C 到直线 AB 的距离是 ________．第24 题图答案1. D2 ． B【解析】∵ AB＝AC，∴∠ B＝∠ C.∵CD＝AD，∴∠ C＝∠C AD.∵AB＝BD ，∴∠ BAD＝∠ BDA.∵∠ BAD＋∠ CAD＋∠ B＋∠C＝180°，∠ BDA ＝∠ C＋∠ DAC＝2∠B，∴在△ BAD 中， 5∠B ＝180°，∴∠ B＝36°.3.A 【解析】解方程 x2－7x＋10＝0，得 x＝2 或 x＝5，分两种情况讨论：①当 2 为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为 2，2，5，∵ 2＋2<5，∴此时不能构成三角形；②当 5 为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为 5，5，2，此时三边能构成三角形，∴周长为 5＋5＋2＝12.4．A 【解析】由 AE∥BD 可得∠可得∠ ABC＝2∠DBC＝70°，由DBC＝∠ E＝35°，由 BD 平分∠ ABC AB＝AC 可得∠ ABC＝∠ C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.5．C【解析】当AB＝AC时，如解图①，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，1 1则∠ B＝45°；当 AB＝BC 时，如解图②， AD＝2BC＝2AB, AD⊥BC，则∠ B＝30°，∠ C＝75°.综上，△ ABC 底角的度数为 45°或 75°.第 5 题解图6．A 【解析】如解图，过点 A 作 AF ⊥BC 于点 F ，∵△ ABC 是等 腰三角形， AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝2 3，∴∠ B ＝∠ C ＝30°， BF ＝ CF ＝ ，在 Rt △ ACF 中， ＝ CF ＝3＝2.∵DE 垂直平 3AC cosC cos30 ° 分 AB ，∴ BE ＝AE ，∴△ ACE 的周长＝ AE ＋CE ＋AC ＝BE ＋CE ＋AC＝BC ＋AC ＝2 3＋2.第 6 题解图7．C 【解析】∵AB ＝AC ，∴∠ ABC ＝∠ C ＝72°，∴∠A ＝36°.∵D是 AB 的中点， DE ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝2，AE ＝ BE ，∴∠ ABE ＝∠ A＝ 36°，∴∠ EBC ＝36°，∴△ ABC ∽△ BCE ，∴AB ＝ BC，∴ BC 2＝BC CE· ，设＝＝＝ ，则＝ －，∴ 2 ＝4·(4－x)，解得 xAB CE AE BE BC xCE 4 xx＝2 5－2(负值舍去 )，则 cosA ＝AD＝2 2 ＝5＋1.AE5－248. 50°，50°或 80°，20° 【解析】分情况讨论： (1)若等腰三角形的180°－80°顶角为 80°，则另外两个内角＝＝50°；(2)若等腰三角形的2底角为 80°，则它的另外一个底角为80°，顶角为 180°－80°－80°＝20°.9. 6 或 12 或 10 【解析】根据题意得 k ≥0 且(－3 k)2－4×8≥0，解得32 ∵整数 ＜ ，∴ ＝ ，∴方程变形为2－6x ＋8＝0，解得 x 1＝k 9 .k 5 k 4 x2 ， 2＝4，∵△ ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x 2－6x ＋8＝0， x∴△ ABC 的边长为， 2，2，2 或 4，4，4 或 4，4，2，∴△ ABC 的周长为 6 或 12 或 10.10．20【解析】由绝对值和二次根式的非负性可知：x ＝4，y ＝8，由三角形三边关系知该三角形三边只能为4，8，8，所以周长为 20.11．15 【解析】∵ DE 垂直平分 AB ，∴∠ AED ＝90°，且 AD ＝ BD.∵∠ ADE ＝40°，∴∠ A ＝90°－∠ ADE ＝50°.∵AB ＝AC ，∴∠ ABC180°－50° ＝ ＝65°.∵AD ＝ DB ，∴∠ DBA ＝∠ A ＝ 50°，∴∠ DBC ＝ 2∠ A BC －∠ DBA ＝15°.12．(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4) 【解析】∵点 A 的坐标为 (10，0)，点 D 是 AO 的中点，∴ DO ＝5，∵点 C 的坐标为 (0，4)，∴ OC ＝4，∵四边形 ABCO 是矩形，∴直线 BC 上的点的纵坐标均为 4. 如解图，过点 D 作 DH ⊥BC 于点 H ，当点 P 在 CH 上时，要使△ DOP 是等腰三角形，则 (1)当 P 1D ＝OD 时， P 1D ＝5，在 Rt △P 1HD 中， HD ＝4，P 1D ＝5，根据勾股定理得 P 1H ＝3，∴ CP 1＝CH －P 1H ＝5－ 3＝2，即点 P 1 的坐标为 (2，4)；(2)当 P 2O ＝P 2D 时，点 P 2 在 OD的垂直平分线上，∴点 P 2 的坐标为 (2.5，4)；(3)当 P 3O ＝DO 时，在 Rt △P 3CO 中 ，P 3O ＝5，CO ＝4，由勾股定理得 CP 3＝3，此时点 P 3 的坐标为 (3，4)；当点 P 在 HB 上时，∠ODP ＞90°，此时只能是 OD＝P4D，在 Rt△P4HD 中，HD＝4，P4D＝5，由勾股定理得 P4H＝3，∴CP4＝CH＋HP4＝8，∴此时点 P4的坐标为 (8，4)．综上所述，所有满足条件的点 P 的坐标为 (2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)．第12 题解图13.C 【解析】由等边△ ABC 得∠ C＝60°，由三角形中位线的性质得 DE∥BC，∴∠ DEC＝180°－∠ C＝180°－60°＝120°.14.B 【解析】如解图，△ ABC 是等边三角形， AB＝3，点 P 是三角形内任意一点，过点 P 分别向三边 AB，BC，CA 作垂线，垂足依32BH 2 次为 D，E，F，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H.则 BH=2，AH＝AB＝3 3 连接，，，∵PAB＋S PBC＋S PCA＝S ABC，∴1 ·2 .△△△△1 1 1 3 3＋2BC·PE＋2CA·PF＝2BC·AH，∴ PD＋ PE＋PF＝AH＝2 .第14 题解图15.C 【解析】如解图，设这个等腰三角形的腰为 x，底为 y，所分的两部分周长分别为 n 和 2n，第 15 题解图xxx 2n2n4n nxxx得2或2，解得3 或 3 x y 2nx n5nn 2yyy233，∵n 为正数且根据三角形的三边关系，可知2×2n<5n(不能构成三角形，故舍去 )，3 3∴ AB ＝AC ＝ 4n ，BC ＝ n331.过点 A 作 AE ⊥BC 于点 E ，则 BE ＝2BC ，∴三角形的面积 S ＝ 1 · ＝1 2BE 21 n 4n 2( n 2· AB＝ × × ())2BC AE 2BC2 336637＝ 36 n 2＝ 12n 2，当 n ＞0 时，S 随着 n 的增大而增大， 故当 n ＝3 时，S ＝34 7取最小．16．C 【解析】∵等腰直角三角形的两锐角之和等于 90°，四边形的内角和等于 360°，∴∠ 1＋∠ 2＝360°－90°＝270°.17．A 【解析】∵ 在 Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，∴AB ＝2BC ＝2，∵ D 、E 分别是 BC 、AC 的中点，∴ DE 是△ ABC 的中位线，11∴ DE ＝2AB ＝ 2×2＝1.18．A【解析】∵ DE 垂直平分 AC ，∴ AD ＝CD ，∴ ∠A ＝∠ ACD＝30°，∵∠ ACB ＝90°－∠A ＝60°，∴∠BCD ＝30°，∴ BC ＝BD＝tan 3013＝ 3，∴ AC ＝2BC ＝2 3.219．D【解析】∵ O 是△ ABC 的重心，则 CO ＝3CE ，设 CE ＝3，则 CO ＝2，OE ＝1，AE ＝BE ，∵∠ ACB ＝90°，∴AE ＝CE ＝BE ＝3，∵∠ B ＝30°，∴∠ CAB ＝60°，∵∠ ACB ＝90°，FE ⊥AB ，∴△ ACE 是等边三角形，∴∠ ACE ＝∠ AEC ＝60°，∴∠ BCE ＝∠CEF＝ 30°，∴FC ＝FE ，∵AC ＝AE ，∴AF 垂直平分 CE ，∴∠ FME ＝90°，＝ 1 33＝3 33ME ＝ ，∴在 Rt △MEF 中，易得 MF ＝3 M E × ＝2 ，2CE23 2OM ＝ME－ ＝3－1＝1，∴MO＝ 3OE22MF3.20. 6 【解析】∵直角三角形斜边长是 5，一直角边的长是 3，∴另一直角边的长为 52－32＝4.∴该直角三角形的面积 S ＝12×3×4＝6.21. 6 3 【解析】根据题意画出草图如解图，过点A 作 AD ⊥BC 与1BC 交于点 D ，由∠ B ＝30°且 AB ＝12，可得 AD ＝AB ·sin30°＝12×＝ 26，由 AC ＝ 6，可以得 AC 与 AD 重合，即此三角形是直角三角形，所以 BC ＝ AB 2 AC 2 ＝6 3.第 21 题解图22. 5 【解析】由算术平方根与绝对值的非负性得 a 2－6a ＋9＝0，b－4＝0，∴a ＝3， b ＝4，∴斜边长为 5.23. 5 或 7 【解析】分两种情况进行讨论： (1)当两边都是直角边时，则第三边为斜边，由勾股定理得32＋42＝ 5； (2)当已知边中的较长边为斜边时，第三边则为直角边，由勾股定理得42－32＝ 7.324. 5 5【解析】如解图，延长 AB 至 D ，连接 CD ，AC ，因为 AD＝ 2 5，CD ＝ 2，AC ＝3 2，则 AC 2＋CD 2＝AD 2，故 AC ⊥CD ，设点 C 到直线 AB 的距离是 d ，则1· ＝1· ，即 × ，2AD d 2AC CD2 5d ＝3 2 23解得 d ＝5 5.第 24 题解图。

等腰三角形与直角三角形题集一、等腰三角形1.如图，在等腰三角形中，是边上的高，，，点、是上的两点，则图中阴影部分的面积是．【答案】【解析】∵在等腰三角形中，是边上的高，∴平分（三线合一），，∴，，∴，∴．阴影【标注】【知识点】等腰三角形的对称性2.如图，在中，是边上的一点，，，求的度数．【答案】．【解析】∵，∴设，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三角形内角和的应用3.如图，已知在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，求的度数．【答案】．【解析】∵是等腰三角形，∴①，∵是线段的垂直平分线，∴，∵的垂直平分线正好经过点，与相交于点，可知是等腰三角形，∴是的平分线，∴，即②，①②联立得，．【标注】【知识点】等腰三角形的性质-三线合一（1）（2）4.如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点．若的周长为，求的长．若，求的度数．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵、分别垂直平分和，∴，，∴的周长，∵的周长为，∴．∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴．【标注】【知识点】线段的垂直平分线的性质定理【知识点】已知两边求第三边或周长【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角【能力】运算能力5.如图，在中，，，平分，为的中点，求证：．【答案】证明见解析．【解析】设，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为中点，∴（三线合一）．【标注】【知识点】等腰三角形的性质-三线合一（1）（2）6.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：．试判断的形状，并说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析．为等腰三角形．【解析】（1）（2）∵，∴，即．又∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴为等腰三角形．【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角（1）（2）（3）7.已知：如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点．求证：是等腰三角形．若，求的度数．若，的周长为，求的周长．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．的周长为．【解析】（1）（2）（3）∵的垂直平分线交于点，∴，∴是等腰三角形．∵是等腰三角形，，∴，，∴．∵的垂直平分线交于点，，∴，∵的周长为，∴，∴的周长．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】三角形的周长与面积问题【知识点】等腰三角形的判定-两边相等【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角【知识点】线段的垂直平分线的性质定理（1）（2）8.如图，中，，于点，交于点，点在延长线上，且．求证：．求证：．【答案】（1）（2）证明见解析．证明见解析．【解析】（1）（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，，∴，∵，∴．在和中，，∴≌（）．∴．【标注】【知识点】全等三角形的对应边与角二、等边三角形A. B.C.D.或者1.在正方形的内部，以为边作等边三角形，则的度数为（ ）．【答案】A 【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴．∵，∴．故选．【标注】【知识点】正方形的性质【知识点】等边三角形的性质A.①②③④B.②③④C.①②③D.①②2.下列三角形：①有两个角等于，②有一个角等于的等腰三角形，③三个外角（每个项点处各取一个外角）都相等的三角形，④有一条边上的高和中线重合的三角形．其中是等边三角形的有（ ）．【答案】C【解析】①有两个角等于，则第三个角也是，即是等边三角形．②有一个角等于的等腰三角形，则其它两个角也是，即是等边三角形．③三个外角都相等，那么它的三个内角也一定相等，即是等边三角形．④有一条边上的高和中线重合的三角形，是等腰三角形，不一定是等边三角形．【标注】【知识点】等边三角形的判定A. B. C. D.3.如图：等腰直角中，若，，则的度数为（ ）．【答案】D 【解析】∵等腰直角中，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴．故选：．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】等边三角形的性质【知识点】等边三角形的判定【知识点】等腰直角三角形的性质【知识点】三角形的外角定义及性质4.如图，是等腰直角三角形斜边上的中线，是延长线上的一点，当 时，是等边三角形．BCDAP 【答案】【解析】当时，是等边三角形，理由如下：∵是等腰三角形斜边上的中线，∴，，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，故答案为：．【标注】【知识点】等腰直角三角形的性质5.如图，是等边三角形，，．求出的每个内角度数．【答案】，，．【解析】∵，∴，∴，解得．【标注】【知识点】三角形内角和的应用（1）（2）6.已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，，，得到为等边三角形．求证：≌．求证：为等边三角形．【答案】（1）（2）证明见解析．证明见解析．【解析】（1）∵，，∴．（2）∵是等边三角形，∴．又∵，∴≌．由≌，得，∵，是等边三角形，∴，∴，同理可得．∴在中，．∴是等边三角形．【标注】【知识点】SSS （1）（2）7.如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，，延长交的延长线于点．求证：是等边三角形．若，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．【解析】（1）∵，∴，（2）∴，在中，∵，∴，∴为等边三角形．过点作交于，∴，∵为的中点，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，，∴．【标注】【知识点】ASA 8.等边中，点在内，点在外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论．【答案】为等边三角形．【解析】为等边三角形．理由如下：∵为等边三角形，∴．在与中，∵，∴≌（）．∴，．∵，∴，∴是等边三角形．【标注】【知识点】SAS【知识点】等边三角形的性质【知识点】等边三角形的判定【能力】分析和解决问题能力三、直角三角形1.具备下列条件的中，不是直角三角形的是（）．A.B.C. D.【答案】D【解析】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：因为，所以，所以三角形是直角三角形，不符合题意，错误．因为，所以，所以三角形是直角三角形，不符合题意，错误．因为，所以，，，所以三角形是直角三角形，不符合题意，错误．因为，所以，，，所以三角形不是直角三角形，符合题意，正确．故选 D .【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用2.如果直角三角形的面积是，斜边上的高是，那么斜边上的中线长是 ．【答案】【解析】斜边，∴斜边上的中线．【标注】【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用3.在中，，点是中点，， ．【答案】【解析】如图，∵，，点是中点，∴，∴，∴，故答案为：．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用【知识点】三角形内角和的应用4.如图所示，在中，点是的中点，，那么是直角三角形吗？说明理由．【答案】是直角三角形，证明见解析．【解析】∵点是的中点，∴．∵，∴．∴（等边对等角）．同理．∴，∴．故是直角三角形．【标注】【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用5.如图，在中，点在边上，,是 的中点，是的中点，求证：．【答案】证明见解析．【解析】∵，是中点，∴，即，又∵是的中点，∴为斜边的中线，∴．【标注】【知识点】等腰三角形的性质-三线合一A. B. C. D.6.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分．若，则的长为（ ）．【答案】B【解析】∵在中，，的垂直平分线交于点，，∴，∴，∵平分，∴，，∴在中，∵，，，∴．【标注】【知识点】30°特殊角的性质应用7.已知：如图，在中，，，求证：．【答案】证明见解析．【解析】取中点，连接，∵在中，，为中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∴．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用【知识点】30°特殊角的性质应用8.如图，在中，，，边的垂直平分线交边于点，垂足为点，取线段的中点，连接．求证：．【答案】证明见解析．【解析】连接，∵是的垂直平分线（已知），∴，（线段垂直平分线的性质），∴（等边对等角），∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），在中，∵是的中点（已知），∴（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），在中，∵（已证），∴（直角三角形角所对的直角边是斜边的一半），∴（等量代换）．【标注】【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用。

等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础练习1、已知等腰三角形的一个内角为 70°，则它的另外两个内角的度数分别是（）A 55°，55°B 70°，40°C 55°，55°或 70°，40°D 以上都不对解析：当 70°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 70°）÷ 2 ＝55°；当 70°的角为底角时，另一个底角也是 70°，顶角的度数为 180°70°× 2 ＝ 40°。

所以答案选择 C。

2、等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A 12B 15C 12 或 15D 18解析：当腰长为 3 时，3 ＋ 3 ＝ 6，不能构成三角形；当腰长为 6 时，周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。

所以答案选择 B。

（二）提高练习1、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，点 E 在 AD 上。

求证：△EBC 是等腰三角形。

证明：因为 AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，所以 AD⊥BC，BD ＝ CD。

又因为点 E 在 AD 上，所以 EB ＝ EC，即△EBC 是等腰三角形。

2、已知等腰三角形一腰上的中线将其周长分成 9 和 15 两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。

设腰长为 2x，底边长为 y，则有两种情况：情况一：＼（＼begin{cases}2x ＋ x ＝ 9 ＼＼ x ＋ y ＝ 15\end{cases}＼），解得\（＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 12\end{cases}＼），此时腰长为 6，底边长为 12，因为 6 ＋ 6 ＝ 12，不符合三角形三边关系，舍去。

情况二：＼（＼begin{cases}2x ＋ x ＝ 15 ＼＼ x ＋ y ＝ 9\end{cases}＼），解得\（＼begin{cases}x ＝ 5 ＼＼ y ＝ 4\end{cases}＼），此时腰长为 10，底边长为 4，符合三角形三边关系。

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造中考高分！2019年中考备战数学专题复习精品资料第四章 几何初步与三角形第十七讲 等腰三角形与直角三角形★★★核心知识回顾★★★知识点一、等腰三角形 1．等腰三角形的定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

2．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两腰 的两个底角 ，简称为 ； （2）等腰三角形的顶角平分线、 、 。

（3）等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3．等腰三角形的判定：（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ；（2）判定定理：有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 ；1．等边三角形：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2．等边三角形的性质：（1）等边三角形的每个内角都 ，都等于 。

（2）等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴。

3．等边三角形的判定：（1）三条边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角相等的三角形是等边三角形。

（3）一个角是 度的 三角形是等边三角形； （4）有两个角等于 度的三角形是等边三角形。

知识点三、直角三角形：1．勾股定理及其逆定理：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即若一个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则a、b、c满足。

（2）勾股定理的逆定理：若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即若一个三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形是直角三角形。

2．直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形斜边的中线等于；（3）在直角三角形中如果有一个锐角是30°，那么它所对边是的一半3．直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：（1）定义法：有一个角是的三角形是直角三角形（2）有两个角的三角形是直角三角形（3）勾股定理的逆定理：若一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，即若一个三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形是直角三角形。