2020中考数学专题练习 动点构成直角三角形问题(无答案)

二次函数的动点生成直角三角形的问题1．综合与探究：如图,抛物线213y x x 442=--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。

（1）求点A,B,C 的坐标。

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD ，BC 于点M,N 。

试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点 Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

2．如图，抛物线2y ax bx 4=++的对称轴是直线x=32，与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，并且点A 的坐标为（—1，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作CD//x 轴交抛物线于点D ，连接AD 交y 轴于点E ，连接AC ，设△AEC 的面积为S 1, △DEC 的面积为S 2，求S 1：S 2的值；（3）点F 坐标为（6，0），连接D ，在（2）的条件下，点P 从点E 出发，以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F 匀速运动；点Q 从点F 出发，以每秒2个单位长的速度沿F→A 匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动.若点P 、Q 同时出发，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以D 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t 值..3．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F 的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点．已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；（3）点P 是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．①当t 为 秒时，△PAD 的周长最小？当t 为 秒时，△PAD 是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P 在运动过程中，是否存在一点P ，使△PAD 是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2013年四川攀枝花12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （1.0），C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S ，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D ，DE ⊥x 轴于点E ，在y 轴上是否存在点M ，使得△ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知一次函数y 0.5x 2=+的图象与x 轴交于点A ，与二次函数2y ax bx c =++的图象交于y 轴上的一点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且OC=2．（1）求二次函数2y ax bx c =++的解析式；（2）设一次函数y 0.5x 2=+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象的另一交点为D ，已知P 为x 轴上的一个动点，且△PBD 为直角三角形，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD=t ，点E 在第二象限，∠ADE=90°，tan ∠DAE=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△ECA 为直角三角形时，求t 的值．参考答案1．解：（1）当y=0时，213x x 4042--=，解得，12x 2x 8=-=，，∵点B 在点A 的右侧，∴点A ，B 的坐标分别为：（－2，0），（8，0）。

河北中考复习之动点问题1、如图6所示，一艘轮船以20里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里/时的速度由南向北移动，距台风中心2010里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB = 100里．（1）若这艘轮船自A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；（2）现轮船自A 处立即提高船速，向位于东偏北300方向，相距60里的D 港驶去．为使台风到来之前，到达D 港，问船速至少应提高多少（提高的船速取整数，1336≈.）？2、如图10，在菱形ABCD 中，AB ＝10，∠BAD ＝60°．点M 从点A 以每秒1个单位长的速度沿着AD 边向点D 移动；设点移动的时间为t 秒(100≤≤t ).(1) N 点为BC 边上任意一点.在点M 移动过程中，线段MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分，并说明理由；(2) N 点从点B (与点M 出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC 边向点C 移动，在什么时刻，梯形ABNM 的面积最大?并求出面积的最大值；(3) 点N 从点B (与点M 出发的时刻相同)以每秒)2(≥a a 个单位长的速度沿着射线BC 方向（可以超越C 点）移动，过点M 作MP ∥AB ，交BC 于点P .当MPN ∆≌ABC ∆时，设分的面积为S ，求出用t 表示S 的关系式，并求当0=S 时a 的值．3、如图12，在矩形ABCD 中，AB =12厘米，BC =6厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t (秒)表示移动的时间(0≤t ≤6),那么：（1） 当t 为何值时，QAP ∆为等腰直角三角形？（2） 求四边形QAPC 的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3） 当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与ABC ∆相似？图10图124、如图12，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN ＝∠POQ ＝α（α为锐角）．当∠MAN 以点A 为旋转中心，AM 边从与AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时， M 、N 两点在射线OP 上同时以不同的速度向右平行移动．设OM ＝x ，ON ＝y （y ＞x ≥0），△AOM 的面积为S ．若cos α、OA 是方程2z 2－5 z ＋2＝0的两个根． （1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM ＝30°）时，求点N 移动的距离； （2）求证：MN ON AN ⋅=2；（3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．5、已知：如图12，等边三角形ABC 的边长为6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD =AE =2．若点F 从点B 开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒．当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ． （1）设△EGA 的面积为S ，写出S 与t 的函数关系式； （2）当t 为何值时，AB ⊥GH ； （3）请你证明△GFH 的面积为定值；（4）当t 为何值时，点F 和点C 是线段BH 的三等分点．6、如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90°，BC =16，DC =12，AD =21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）． （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB 时，求∠BQP 的正切值；（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．P ON M A 图12Q 图12 A B CD P Q 图127、如图10所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．（1）请你在图10中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．P图108、如图13，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．图139、如图16，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．图10、如图15，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC -CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）D ，F 两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG ∥AB 时，请直接．．写出t 的值．12、如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值． 13、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB ＝33，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．B DE K P Q CA 图15 F GACB PQED图1614、如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P 从点A 出发，沿折线AD-DC-CB 以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止．设运动时间为t 秒，y=S △EPF ，则y 与t 的函数图象大致是（ ）15、如图151-和图152-，在ABC △中，51314cos .13AB BC ABC ===，，∠ 探究在如图151-，AH BC ⊥于点H ，则AH =_______，AC =_______， ABC △的面积ABC S △=___________． 拓展如图152-，点D 在AC 上（可与点A C ，重合），分别过点A C ，作直线BD 的垂线，垂足为E F ，.设.BD x AE m CF n ===，，（当点D 与点A 重合时，我们认为ABC S △=0.（1）用含x m ，或n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求()m n +与x 的函数关系式，并求()m n +的最大值和最小值．（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围. 发现请你确定一条直线，使得A B C ，，三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.A ．B ．C ．D ．16、一透明的敞口正方体容器ABCD-A ′B ′C ′D ′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE=α，如图1所示）．探究 如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：（1）CQ 与BE 的位置关系是 ，BQ 的长是 dm ；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液=底面积S △BCQ ×高AB ） （3）求α的度数．（注：sin49°=cos41°=43，tan37°=34）拓展：在图1的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C ′C 或CB 交于点P ，设PC=x ，BQ=y ．分别就图3和图4求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围．延伸：在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM=1dm ，BM=CM ，NM ⊥BC ．继续向右缓慢旋转，当α=60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm 3．17、某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．探究：设行驶吋间为t分．（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？（含候车时间）决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与点D，A 重合）时，刚好与2号车迎面相遇．（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：（2）设PA=s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？。

图形变化专题练习一、平移1、下列现象中是平移的是（）A、将一张纸沿它的中线折叠B、飞碟的快速转动C、电梯的上下移动D、翻开书中的每一页纸张2、如图所示，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A、6B、8C、10D、123、如图，在平面直角坐标系XOY中，已知点A．若平移点A到点C，使以点O、A、C、(B)1,1(),0,2B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位2个单位，再向上平移1个单位B、向左平移1-2C、向右平移2个单位，再向上平移1个单位D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位4、如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，l2的距离为4，PQ=30且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．5、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为．6、如图，长方形ABCD中，AB=6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形A n B n C n D n（n＞2），若AB n的长度为2016，则n的值为（）A、400B、401C、402D、4037、△ABC与△A’B’C’在平面直角坐标系中的位置如图.8、如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．9、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）、求∠AEC的度数；（2）、若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数．（3）、若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．10、如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）、求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）、四边形ABC'D′的周长为；（3）、将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．二：轴对称（折叠）1、如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为2、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且∠CDE=20°，现将△CDE沿直线DE折叠得到△FDE，连结BF．∠BFE的度数是.3、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为．4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N。

2020年中考数学压轴题之动点产生的定值和最值专题Word版无答案中考数学压轴题专题动点产生的定值与最值问题中考数学压轴题——动点产生的定值与最值问题目录第1 讲角为定值的常规解法第2 讲角为定值的高级解法第3 讲边为定值的动点问题第4 讲线段的和或差为定值的动点问题第5 讲比值为定值的动点问题第6 讲乘积为定值的动点问题第7 讲面积为定值的动点问题第8 讲动点产生的几何最值问题【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理第 1 讲 角为定值的常规解法（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点 O,∠MON=90°，点 A 、B 分别在射线 OM 、 ON 上移动，AC 是△BAO 的角平分线，BD 为∠ABN 的角平分线，AC 与 BD 的反向延长线交于 点 P.试问：随着点 A 、B 位置的变化，∠APB 的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。

、【例】如图所示,O 的直径 AB=4,点 P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作 O 的切线,切点为 C ， 连接 AC.(1)若∠CPA=30°，求 PC 的长；(2)若点 P 在 AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交 AC 于点 M ，你认为∠CMP 的大小是否发 生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。

【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。

【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形ABCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。

2020中考数学压轴题突破与提升专题练习坐标系中的几何问题一．例题解析1.已知：如图1，等边ABC ∆的边长为x轴上且()10A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点B C 、的坐标；（2）若直线()10y kx k =-≠将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值； （3）如图2，过点A B C 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()2,0G -作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① GNM CDM ∠=∠ ②MGN DCM ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图2图1【解析】解：（1）()10B +；()13C ，． （2）过点C 作CP AB ⊥于P ，交EF 于点Q ，取PQ 的中点R ．∵ABC ∆是等边三角形，()10A ． ∴60EAO ∠=︒ ．在Rt EOA ∆中，90EOA ∠=︒．∴(tan 6013EO AO =⋅︒=-=．∴(0,3E ．∵EF ∥AB 交BC 于F ，()13C ，．∴1R ⎛ ⎝⎭． （就是四边形对角线的中点，横坐标自然和C 一样，纵坐标就是E 的纵坐标的一半）∵直线1y kx =-将四边形EABF 的面积两等分． ∴直线1y kx =-必过点1R ⎛⎝⎭．∴1k -，∴k =（3）正确结论：①GNM CDM ∠=∠．证明：可求得过A B C 、、的抛物线解析式为222y x x =-++∴()02D ，． ∵()20G -，． ∴OG OD =．由题意90GON DOM ∠=∠=︒． 又∵GNO DNH ∠=∠ ∴NGO MDO ∠=∠ ∴NGO ∆≌MDO ∆∴GNO DMO ∠=∠，OM ON = ∴45ONM NMO ∠=∠=︒过点D 作DT CP ⊥于T ∴1DT CT == ∴45CDT DCT ∠=∠=︒ 由题意可知DT ∥AB ∴TDM DMO ∠=∠∴454545TDM DMO GNO ∠+︒=∠+︒=∠+︒ ∴TDM CDT GNO ONM ∠+∠=∠+∠即：GNM CDM ∠=∠． （这一问点多图杂，不行就直接另起一个没有抛物线干扰的图）GPNM HTD C BA O xy例2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与ｘ正半轴交于点A,与ｙ轴交于点B,过点B 作x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC ．现有两动点P 、Q 分别从O 、C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC,PQ 相交于点D,过点D 作DE∥OA,交CA 于点E,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P,Q 移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程;(3)当0＜t ＜92时,△P QF 的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;(4)当t _________时,△P QF 为等腰三角形? 【解析】解：(1) 21(8180)18y x x =--，令0y =得281800x x --=，()()18100x x -+=∴18x =或10x =-∴(18,0)A ；在21410189y x x =--中，令0x =得10y =即(0,10)B -； 由于BC ∥OA ，故点C 的纵坐标为－10，由2141010189x x -=--得8x =或0x =即(8,10)C -于是，(18,0),(0,10),(8,10)A B C --（2）若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA.故只要QC=PA 即可 ∵184,PA t CQ t =-= ∴184t t -= 得185t =（3）设点P 运动t 秒，则4,OP t CQ t ==，0 4.5t <<，说明P 在线段OA 上，且不与点O 、A 重合，由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t === ∴4AF t OP ==∴18PF PA AF PA OP =+=+= 又点Q 到直线PF 的距离10d =∴1118109022PQF S PF d ∆==⨯⨯=g g∴△PQF 的面积总为90（4）由上知，(4,0),(184,0),(8,10)P t F t Q t +--，0 4.5t <<。

动点之直角三角形问题【例2】(模型建立)(1)如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ∆≅∆；(模型应用)(2)已知直线1l ：443y x =+与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；(3)如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为()8,6-，点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若APD ∆是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接．．写出点D 的坐标.【答案】(1)见解析；(2)y ＝−7x−21；(3)D(4，−2)或(203，223-). 【解析】(1)根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定BEC CDA ∆≅∆；(2)①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据△CBD ≌△BAO ，得出BD ＝AO ＝3，CD ＝OB ＝4，求得C(−4，7)，最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；(3)根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D(x，−2x＋6)，分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，D EACD EBC CA CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴BEC CDA∆≅∆(AAS)；(2)①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由(1)可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，∴A(−3，0)，B(0，4)，∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7，∴C(−4，7)，设l2的解析式为y＝kx＋b，则7403k bk b=-+⎧⎨=-+⎩，解得：721 kb=-⎧⎨=-⎩，∴l2的解析式为：y＝−7x−21；(3)D(4，−2)或(203，223-)．理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，设D(x，−2x＋6)，则OE＝2x−6，AE＝6−(2x−6)＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，由(1)可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，解得x＝4，∴−2x＋6＝−2，∴D(4，−2)，此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D(x，−2x＋6)，则OE＝2x−6，AE＝OE−OA＝2x−6−6＝2x−12，DF＝EF−DE＝8−x，同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x−12＝8−x，解得x＝203，∴−2x＋6＝223 -，∴D(203，223-)，此时，ED＝PF＝203，AE＝BF＝43，BP＝PF−BF＝163＜6，符合题意，综上所述，D点坐标为：(4，−2)或(203，223-)【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．【变式2-1】(2019·辽宁中考模拟)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝12时，S最大值＝94；②存在，点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．【解析】(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解．(2)①分别用t表示出AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．【详解】(1)∵二次函数的图象经过A(4，0)和点D(﹣1，0)，∴1644040a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得13ab=-⎧⎨=⎩，所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．(2)①延长NQ交x轴于点P，∵BC平行于x轴，C(0，4)∴B(3，4)，NP⊥OA．根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，∴QN＝CN＝3﹣t，∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，∴S△AMQ=12AM×PQ=12(4-2t)(1+t)＝﹣t2+t+2．∴S=-t2+t+2=-(t-12)2+94．∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．当t＝12时，S最大值＝94．②存在点M，使得△AQM为直角三角形．设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．Ⅰ．若∠AQM＝90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．∴PQ是底边MA的中线，∴PQ＝AP＝12 MA，∴1+t＝12(4﹣2t)，解得，t＝12，∴M的坐标为(1，0)．Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．∴QM＝QP＝MA，∴1+t＝4﹣2t，∴t＝1，∴点M的坐标为(2，0)．所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数．【变式2-2】如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE，连接AE交BD于点F，交CD于点G，点P是线段AE上一动点，连接DP、BP．(1)求∠AFB的度数；(2)在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD；(3)已知AD＝6，在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，请求DP 的长．【答案】(1) 60°；(2)见解析；(3) DP=6或DP＝－3或DP＝时，△DBP是直角三角形【解析】(1)根据正方形的性质、等边三角形的性质解答；(2)连接AC，证明△DGP∽△AGC，根据相似三角形的对应边的比相等证明；(3)根据正方形的性质、勾股定理分别求出BD、OD，根据直角三角形的性质求出DF，分∠BPD＝90°、∠BDP＝90°两种情况，根据相似三角形的性质计算．【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ADC＝90°，又∵△DCE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴DA＝DE，∠ADE＝150°，∴∠DAE＝15°，又∠ADB＝45°，∴∠AFB＝∠DAF+∠ADF＝15°+45°＝60°；(2)连接AC，∠CAG＝∠CAD﹣∠DAG＝45°﹣15°＝30°，∵DP平分∠CDE，∴1302GDP EDC︒∠=∠=，∴∠PDG＝∠CAG，又∠DGP＝∠AGC，∴△DGP∽△AGC，∴DG DPAG AC=，即AG•DP＝DG•AC，∵AC＝DB，∴AG•DP＝DG•BD；(3)连接AC交BD于点O，则∠AOF＝90°，∵AD＝6，∴0A 0D ==在Rt △AOF 中，∠OAF ＝30°，∴OF AF ==，∴FD =由图可知：0°＜∠DBP ≤45°，则△DBP 是直角三角形只有∠BPD ＝90°和∠BDP ＝90°两种情形：①当∠BPD ＝90°时，I 、若点P 与点A 重合，∠BPD ＝90°，∴DP ＝DA ＝6；II 、当点P 在线段AE 上时，∠BPD ＝90°，连接OP ，12OP OA BD === ∴∠OPA ＝∠OAP ＝30°，∴∠AOP ＝120°，∴∠FOP ＝∠AOP ﹣∠AOF ＝30°，∴∠DBP ＝∠OPB ＝15°，∴∠FDP ＝75°，又∠BAF ＝∠BAD ﹣∠DAF ＝75°，∴∠BAF ＝∠PDF ，又∠AFB ＝∠DFP ，∴△BAF ∽△PDF ，∴DP DF AB AF =，即6DP =解得，3DP =；②当∠BDP ＝90°时，∠DFP ＝∠AFB ＝60°，∴DP ＝DF ×tan ∠DFP -=综上，DP=6或DP ＝3或DP ＝ 时，△DBP 是直角三角形．【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1 动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个． 2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便． 满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ． 而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了． 联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =+．考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ． 例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )． （1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围； （3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值． 动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上． 思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形． 满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2yx=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1k =（如图2），2k =3）．图2 图3 考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1 动感体验请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E 或F 在y 轴上运动，可以体验到，△CDE 有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ ＝3”可以准确显示34PQ AB =时的位置． 思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了． 满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==． 进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP ∽△POA ． 答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1． 如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1 动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线． 思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长．4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了． 满分解答(1) 因为抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30t =-图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ．综合①②得，△ABC 的最大面积为22． 考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =， 例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-． 整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ．例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1 动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能． 满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =22t =-．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5 考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值． 如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7。

【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2例2如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q2个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例3 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1例4如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1例5如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例6如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1【变式训练】1．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在矩形中，是边上的一个动点，当点在（不含两点）上运动时，若是以为斜边的直角三角形，则等于（）A．B．或C．D．或3．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，24．如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4，3)，点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点，若△PDQ为等腰直角三角形，则点P的坐标是________．6．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE的长为______．7．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形；当t=_______s时，△POQ是直角三角形．8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=6cm，AC=8cm．若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动，点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ是直角三角形时，t的值为___________．9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.10．如图所示，已知抛物线经过点A （－2，0）、B （4，0）、C （0，－8），抛物线y ＝a x 2 ＋b x ＋c （a≠0）与直线y ＝x －4交于B ，D 两点．（1）求抛物线的解析式并直接写出D 点的坐标；（2）点P 为抛物线上的一个动点，且在直线BD 下方，试求出△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点Q 是线段BD 上异于B 、D 的动点，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点G ．当△QDG 为直角三角形时，求点Q 的坐标．11．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．12．如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x ﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．13．如图，抛物线与直线交于A 、B 两点.点A 的横坐标为－3，点B 在y 轴上，点P 是y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m ，过点P 作PC ⊥x 轴于C ，交直线AB 于D . （1）求抛物线的解析式； （2）当m 为何值时，；（3）是否存在点P ,使△P AD 是直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.14．（本小题满分12分）已知：直线112y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）． （1）求抛物线的解析式；（2）动点P 在x 轴上移动，当△P AE 是直角三角形时，求点P 的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标．15．如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ．P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）．分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接点MD 、ME ．（1）求点A ，B 的坐标（直接写出结果），并证明△MDE 是等腰三角形；（2）△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，△MDE 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． 16．如图，直线与抛物线相交于和，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作轴于点D ，交抛物线于点C ．求抛物线的解析式；是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； 连接AC ，直接写出为直角三角形时点P 的坐标． yx O DEA BC17．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的对称轴和线段AB的长；（2）如图1，已知点D（0，﹣），点E是直线AC上访抛物线上的一动点，求△AED的面积的最大值；（3）如图2，点G是线段AB上的一动点，点H在第一象限，AC∥GH，AC=GH，△ACG与△A′CG关于直线CG对称，是否存在点G，使得△A′CH是直角三角形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知，是边长的等边三角形，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．请分别解决下面四种情况：（）如图，设点的运动时间为，那么__________时，是直角三角形；（）如图，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是直角三角形？（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动．连接交于．如果动点、都以的速度同时出发．设运动时间为，那么为何值时，是等腰三角形？（）如图，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于，连接．如果动点、都以的速度同时出发．请你猜想：在点、的运动过程中，和的面积有什么关系？并说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y 轴上运动．（1）求直线AB的函数解析式；（2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标；（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．。

动点之直角三角形问题动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。

解决方法：1.解直角三角形：一般需要重新作辅助线勾股三角形。

2.相似：两个角相等的比较常见。

1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，点D以1个单位从C出发，沿着C—B —C方向运动，若动点E同时以2cm/s的速度从B点出发，沿着B→A→B的方向运动，至B点结束，设E点的运动时间为t秒，连接DE，（1）当t为何值时，△BDE是直角三角形？（2）思考，当t为何值时，△BDE是相似三角形？当t为何值时，△BDE是等腰三角形？2.在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。

设动点运动时间为x 秒。

（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形。

参考答案：2.（2）（3）综上所述，当x 为2.5秒或3.1秒时，EDQ ∆为直角三角形直角三角形练习题（2）如下图，点D关于A的的对称点是D',是否存在m，使得D∆是直角三DE'角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

2019-2020年挑战中考数学压轴题：因动点产生的直角三角形问题如图1x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y 轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P 运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P在线段OB上运动，可以体验到，当P 运动到OB的中点时，四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形．拖动点P在线段EB上运动，可以体验到，∠DBQ和∠BDQ可以成为直角．思路点拨1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．满分解答（1－4)． （2由点P所以MQ当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形．m ＝4，或m ＝0（舍去）．此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)． 所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第（3）题可以这样解：设点Q①如图3，当∠DBQ ＝90°时，解得x ＝6．此时Q (6,－4)．②如图4，当∠BDQ＝90°时，解得x＝－2．此时Q(－2,0)．图3 图4例1 2012年广州市中考第24题如图1x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M在以AB为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D 到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAOD因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3D图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8M1A＝6．所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l根据对称性，直线l考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．例3 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)目中的k都是一致的．2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)当k＝－2（2y随x增大而增大，那么k＜0．当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线图1所以当k＜0y随x增大而增大．（3）抛物线的顶点Q A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA223）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4 图5例4 2011年浙江省中考第23题设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1；②2=+；④y xy x=+；③22=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线y x24（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，∠APB有两个时刻可以成为直角，此时△BCP∽△POA．答案（1）直线①和③是点C的直角线．（2）当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA OP＝6或OP＝1．如图2，当OP＝6时，l1l2：y＝－2x＋6．如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1，l2图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物点，所以2320m m -+=． B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．如图5，当P、Q如图6图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于 1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得，满足21<<x ．ABC 是直角三角形．（3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S①如图2，若点D 在线段AB 上，移项，得两边平方，整理，得．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x），2S 取最大值S图2 图3②如图3，若点D 在线段MA考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =， 例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-．因此例 7 2008年河南省中考第23题如图1x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S 随t的增大而增大．观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．满分解答（1x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC 中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时定义域为0＜t≤2．如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时定义域为2＜t≤5．图2 图3②把S＝4去负值）．因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4=-③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5tt=．不存在∠ONM＝90°的可能．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5t=时，△MON为直角三角形．或者5图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7例8 2008年河南省中考第23题如图1x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M从A向B运动，观察S随t变化的图象，可以体验到，当M在AO上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M在OB上时，S 随t的增大而增大．观察S的度量值，可以看到，S的值可以等于4．观察△MON的形状，可以体验到，△MON可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC是等腰三角形，暗示了两个动点M、N同时出发，同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上，用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式，解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．满分解答（1x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）．Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5．点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5．因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N作NH⊥AB，垂足为H．在Rt△BNH中，BN＝t如图2，当M在AO上时，OM＝2－t，此时0＜t≤2．如图3，当M在OB上时，OM＝t－2，此时2＜t≤5．图2 图3②把S＝4因此，当点M在线段OB上运动时，存在S＝4=-，③如图4，当∠OMN＝90°时，在Rt△BNM中，BN＝t，BM 5tt=．如图5，当∠OMN＝90°时，N与C重合，5不存在∠ONM＝90°的可能．t=时，△MON为直角三角形．或者5图4 图5 考点伸展在本题情景下，如果△MON的边与AC平行，求t的值．如图6，当ON//AC时，t＝3；如图7，当MN//AC时，t＝2.5．图6 图7。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02 因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根．一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB,以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0),如果△OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1,点C在垂线上,垂足除外．如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除外．如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点,都是符合题意的点B,共6个．如图4,已知A(3, 0),B(1,－4),如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上,求点C的坐标．我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D,那么△AOC∽△CDB．设OC＝m,那么341mm-=．这个方程有两个解,分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】【例1】如图1,已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由；（3）如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2【例2】已知在平面直角坐标系xOy中,直线l别交x轴和y轴于点A（－3,0）,B（0,3）．（1）如图1,已知⊙P经过点O,且与直线l1相切于点B,求⊙P的直径长；（2）如图2,已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线l2上的一个动点,以Q为圆心,22为半径画圆．①当点Q与点C重合时,求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M,N两点,连结QM,QN．问：是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角三角形,若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．【例3】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝13,CD//AB,点E为射线CD上一动点（不与点C重合）,联结AE交边BC于F,∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时,求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x,AE＝y,当CG＝2GB时,求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时,联结EG,若△AEG为直角三角形,求BG的长．图1【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观,折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B′落在矩形ABCD所在平面内,B′C和AD相交于点E,连接B′D．解决问题(1)在图1中,①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开,得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图2所示,结论①和结论②是否成立,若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中,若∠B=30°,AB=43,当△AB′D恰好为直角三角形时,BC的长度为．【例5】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M,N两点（点M在y轴的右侧）,当△AMN为直角三角形时,求t的值．【例6】如图,抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y＝﹣x 与该抛物线交于E,F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值．（3）以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点D,使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在,直接写出D点坐标；若不存在,请说明理由．【变式训练】1．如图,点M是直线y=2x+3上的动点,过点M作MN垂直于x轴于点N,y轴上是否存在点P,使得△MNP为等腰直角三角形,则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图,已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（0,8）,点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点,CF＝10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当△ABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．593．如图,在△ABC中,AB=2,AO=BO,P是直线CO上的一个动点,∠AOC=60°,当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时,AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．,24．如图,是的直径,弦,是弦的中点,．若动点以的速度从点出发沿着方向运动,设运动时间为,连结,当是直角三角形时,（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4,3),点P是x轴正半轴上的动点,点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点,若△PDQ为等腰直角三角形,则点P的坐标是________．6．如图,长方形ABCD中,∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°,AB=CD=6,AD=BC=10,点E为射线AD上的一个动点,若△ABE与△A′BE关于直线BE对称,当△A′BC为直角三角形时,AE的长为______．7．如图,AB 为O e 的直径,C 为O e 上一点,过B 点的切线交AC 的延长线于点D ,E 为弦AC 的中点,10AD =,6BD =,若点P 为直径AB 上的一个动点,连接EP ,当AEP ∆是直角三角形时,AP 的长为__________．8．如图,Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=5,点D 是BC 边上一点且CD=1,点P 是线段DB 上一动点,连接AP,以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时,点O 的运动路径长为_____．9．如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=6cm ,AC=8cm ．若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动,点Q 以1cm/s 的速度从A 点出发沿着A→C 的方向运动,当点P 到达点A 时,点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s),当△APQ 是直角三角形时,t 的值为___________．10．定义：在平面直角坐标系中,对于任意两点A （a ,b ）,B （c ,d ）,若点T （x ,y ）满足x ＝3+a c ,y ＝3+b d那么称点T 是点A ,B 的融合点．例如：A （﹣1,8）,B （4,﹣2）,当点T （x ,y ）满足x ＝143-+＝1,y ＝8(2)3+-＝2时,则点T （1,2）是点A ,B 的融合点．（1）已知点A （﹣1,5）,B （7,7）,C （2,4）,请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图,点D （3,0）,点E （t ,2t +3）是直线l 上任意一点,点T （x ,y ）是点D ,E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时,求点E 的坐标．11．如图,在矩形ABCO 中,AO=3,tan ∠ACB=43,以O 为坐标原点,OC 为x 轴,OA 为y 轴建立平面直角坐标系．设D,E 分别是线段AC,OC 上的动点,它们同时出发,点D 以每秒3个单位的速度从点A 向点C 运动,点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动,设运动时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）用含t 的代数式表示点D 的坐标； （3）当t 为何值时,△ODE 为直角三角形？（4）在什么条件下,以Rt △ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线？并请选择一种情况,求出所确定抛物线的解析式.12．如图,顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ,()1,0B -两点,与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ,使得PAM ∆为直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ,满足DA OA =,过D 作DG x ⊥轴于点G ,设ADG ∆的内心为I ,试求CI 的最小值．13．如图,在等腰Rt ABC V 中,90,142ACB AB ∠==o ．点D,E 分别在边AB,BC 上,将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1,若AD BD =,点E 与点C 重合,AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =． （2）已知点G 为AF 的中点．①如图2,若,2AD BD CE ==,求DG 的长．②若6AD BD =,是否存在点E,使得DEG △是直角三角形？若存在,求CE 的长；若不存在,试说明理由． 14．已知在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1,已知P e 经过点O ,且与直线1l 相切于点B ,求P e 的直径长；(2)如图2,已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ,点Q 是直线2l 上的一个动点,以Q 为圆心,22为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时,求证: 直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点, 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ,使得QMN ∆是等腰直角三角形,若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.15．如图1,已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点,（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点,过M 作x 轴的垂线交BC 于H ,过M 作MQ ⊥BC 于Q ,求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ,使|AR ﹣MR |最大,求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点,将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ,是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形,若存在请求出BT 的长,若不存在,请说明理由．16．在平面直角坐标系中,抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A,B 两点,点A 在点B 的左侧．（1）如图1,当k=1时,直接写出A,B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下,点P 为抛物线上的一个动点,且在直线AB 下方,试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2,抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）,在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°？若存在,请求出此时k 的值；若不存在,请说明理由． 17．在平面直角坐标系中,抛物线223y x x =--+与x 轴交于A,B 两点（A 在B 的左侧）,与y 轴交于点C,顶点为D ．（1）请直接写出点A,C,D 的坐标；（2）如图（1）,在x 轴上找一点E,使得△CDE 的周长最小,求点E 的坐标；（3）如图（2）,F 为直线AC 上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由．18．如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.19．已知：如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0,6）,B （6,0）,C （﹣2,0）,点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时,△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D,再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．20．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0,3)、B （1,0）,其对称轴为直线l ：x=2,过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C,∠AOB 的平分线交线段AC 于点E,点P 是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上,连结PE 、PO,当m 为何值时,四边形AOPE 面积最大,并求出其最大值；（3）如图②,F 是抛物线的对称轴l 上的一点,在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在,请说明理由.21．如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0,）,点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC 的面积最大？若存在,求出△PBC 面积的最大值；若不存在,请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时,求m 的值．22．如图,矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为（0,8）,点C 的坐标为（6,0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点,与AB 边交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合）,点Q 为线段AC 上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式,并求出m 为何值时,S 取得最大值；②当S 最大时,在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F,使△FDQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在,请说明理由．。

动点产生的直角三角形1.理解直角三角形的性质；2.能用直角三角形的性质解决相关问题；3.培养学生分类讨论的思想，并体验动态思维过程；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。

知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先让学生回顾直角三角形的性质，为后面习题讲解铺垫基础；2再根据第2个图引导学生总结直角三角形题型。

时间4分钟左右完成。

一．直角三角形性质回顾：、二．动点产生的直角三角形题型分类总结：例1.如图，已知ABC ∆中，56AB AC BC P ===，，是BC 上的动点，且不与C B ,重合，ABPE ⊥于E ，BC PF⊥交AC 于F 。

则PEF ∆能为直角三角形吗？若可以，求出CP 的长，若不能请说明理由。

（★★★★）AC【解法点拨】：可通过以下方法求解本题 一.寻找题目中的已知量和特殊条件： 1.边：56AB AC BC ===，，AB PE ⊥，BC PF ⊥；2.点：点P 是BC 上的动点，点E 是AB 上的动点，点F 是AB 上的动点；3.特殊图形：ABC ∆为等腰三角形。

二.当PEF ∆能为直角三角形时：1.点的位置：点P 是BC 上的动点，点E 是AB 上的动点，点F 是AB 上的动点；2.分类讨论：分90FEP ∠=o、90EFP ∠=o两个情况讨论：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

2020年中考数学热点专练八动态几何问题（江苏版）（解析版）专题导读动态几何问题，是近年来的热点问题.它几乎成了每个城市中考试卷中的亮点，拿到一套试卷，总是习惯先看看有没有关于动态几何的问题.动态几何问题也就是关于图形运动的一类问题，它主要是牵扯到图形的三种变换：平移、旋转、轴对称及动点问题.当然考查图形的运动问题有小题，也有大题，小题主要分布在选择和填空的最后一两个题，也就是小压轴题，解答题中也会有关于图形的运动问题，主要有两类，一类是关于平移、旋转、轴对称的作图，这个比较简单，我们这里就不说了；另一类就是我们介绍的重点一一研究图形在运动过程中产生的一些图形性质上的变化和不变的情况.这几乎成了压轴题基本上共同的特点.中考要求中考要求课程标准和中考说明都要求学生要具备一定的用运动观点分析问题的能力.学会在运动变化中寻求不变的图形性质.学会运用函数的观点研究关于图形运动中性质的变化情况.专题集训考向1图形的运动与最值1.（2019江苏省连云港市）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以点C为圆心作。

与直线相切，点P是QC±一个动点，连接AP交于点T,则业的最大值是AT2.（2019江苏省无锡市）如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=4逐，D为边AB上一动点（3点除外），以CD为一边作正方形CDEF,连接8E,则ABDE面积的最大值为.3.（2019江苏省宿迁市）如图，ZMAN^60°,若△ABC的顶点3在射线AM上，且A3=2,点。

在射线AN上运动，当AABC是锐角三角形时，BC的取值范围是.4.（2019江苏省宿迁市）如图，正方形ABCQ的边长为4,E为BC上一点，且BE=1,F为AB边上的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.5.(2019江苏省扬州市)如图，己知等边△ABC的边长为8,点F是边上的一个动点(与点A、B不重合).直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B'.(1)如图1,当PB=4时，若点可恰好在AC边上，则菌，的长度为；(2)如图2,当PB=5时，若直线1〃AC,则33,的长度为；(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC,AACB'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；(4)当PB=6时，在直线1变化过程中，求可面积的最大值.6.(2019江苏省苏州市)已知矩形ABCD AB=5cm,点F为对角线AC上的一点，且AP =26cm.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为I(s),A4PM的面积为S(enF),S与f的函数关系如图②所示:(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,BC的长度为cm-,(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点£＞出发，在矩形边上沿着D t C t B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M、N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点N相遇后立即停止运动，记此时AARW与AZJRV的面积为5]（＜?麻）,$2（伽2）.①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S] .S?是否存在最大值.若存在，求出S|・S2的最大值并确定运动速度时间x的值;若不存在，请说明理由.(B®)7.（2019江苏省扬州市）如图，四边形A3CD是矩形，A3=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC,ZG=90°.点M在线段AB上，且AM=a,点P沿折线AQ-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ//AQ.设PQ与AB之间的距离为x.（1）若a=12.①如图1,当点F在线段AD上时，若四边形AMQF的面积为48,则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2,若点P在线段ZJG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.考向2动点与函数的结合问题1.(2019江苏省连云港市)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y^x+bx+c过点C(0,-3),与抛物线£2：-lx2-旦t+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点22P、Q分别是抛物线3、3上的动点.(1)求抛物线3对应的函数表达式；(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点F的坐标；(3)设点R为抛物线3上另一个动点，且CA平分ZPCR.若OQ//PR,求出点。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02 因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA 为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】【例1】如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2【例2】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l别交x轴和y轴于点A（－3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，22为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．解决问题(1)在图1中，①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=43，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为．【例5】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【例6】如图，抛物线y＝mx2+nx﹣3（m≠0）与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求点C坐标及抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得△BCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．817B．717C．49D．593．如图，在△ABC中，AB=2，AO=BO，P是直线CO上的一个动点，∠AOC=60°，当△PAB是以BP为直角边的直角三角形时，AP的长为（）A．,1,2 B．,,2 C．,,1 D．，24．如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当是直角三角形时，（s）的值为A．B．1 C．或1 D．或1 或5．若D点坐标(4，3)，点P是x轴正半轴上的动点，点Q是反比例函数12(0)y xx=>图象上的动点，若△PDQ为等腰直角三角形，则点P的坐标是________．6．如图，长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，AB=CD=6，AD=BC=10，点E为射线AD上的一个动点，若△ABE与△A′BE关于直线BE对称，当△A′BC为直角三角形时，AE的长为______．7．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过B 点的切线交AC 的延长线于点D ，E 为弦AC 的中点，10AD =，6BD =，若点P 为直径AB 上的一个动点，连接EP ，当AEP ∆是直角三角形时，AP 的长为__________．8．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=6cm ，AC=8cm ．若动点P 以2cm/s 的速度从B 点出发沿着B→A 的方向运动，点Q 以1cm/s 的速度从A 点出发沿着A→C 的方向运动，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设运动时间为t(s)，当△APQ 是直角三角形时，t 的值为___________．10．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝3+a c，y ＝3+b d那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x ＝143-+＝1，y ＝8(2)3+-＝2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．②若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．11．如图，在矩形ABCO 中，AO=3，tan ∠ACB=43，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系．设D ，E 分别是线段AC ，OC 上的动点，它们同时出发，点D 以每秒3个单位的速度从点A 向点C 运动，点E 以每秒1个单位的速度从点C 向点O 运动，设运动时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）用含t 的代数式表示点D 的坐标； （3）当t 为何值时，△ODE 为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt △ODE 的三个顶点能确定一条对称轴平行于y 轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定抛物线的解析式.12．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ∆为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ∆的内心为I ，试求CI 的最小值．13．如图，在等腰Rt ABC 中，90,142ACB AB ∠==．点D,E 分别在边AB,BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90º得到EF ．（1）如图1，若AD BD =，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ．求证：2BD DO =． （2）已知点G 为AF 的中点．①如图2，若,2AD BD CE ==，求DG 的长．②若6AD BD =，是否存在点E ，使得DEG △是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由．14．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -. (1)如图1，已知P 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，22为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q 相切；②设Q 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.15．如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k 与直线y=kx+1交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当k=1时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线y=x 2+（k ﹣1）x ﹣k （k ＞0）与x 轴交于点C 、D 两点（点C 在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.19．已知：如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （0，3)、B （1，0），其对称轴为直线l ：x=2，过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ，∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ，点P 是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P 在直线OE 下方的抛物线上，连结PE 、PO ，当m 为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F 是抛物线的对称轴l 上的一点，在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．22．如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题02 因动点产生的直角三角形问题【类型综述】解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．【方法揭秘】我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么341mm-=．这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点．【典例分析】【例1】如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B 关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2思路点拨1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△P AA′与△P′BB′的面积之比．满分解答（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．设抛物线E2的表达式为y＝ax2，代入点B(2,2)，可得a＝12．所以y＝12x2．（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况：图3 图4 ①如图3，过点B作BB′的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)．②如图4，以BB′为直径的圆D与抛物线E1交于点Q，那么QD＝12BB'＝2．设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝3±．此时Q(3,3)．图5 图6考点伸展第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)．【例2】已知在平面直角坐标系xOy中，直线l别交x轴和y轴于点A（－3，0），B（0，3）．（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；（2）如图2，已知直线l2：y＝3x－别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）32（2）①见解析；②（32，632+）．-）或（32，632思路点拨（1）证明△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长=BC=AB，即可求解；（2）证明2454222CM AC sin=︒=⨯==圆的半径，即可求解；（3）分点M、N在两条直线交点的下方、点M、N在两条直线交点的上方两种情况，分别求解即可．满分解答（1）如图1，连接BC，∵∠BOC＝90°，∴点P在BC上，∵⊙P与直线l1相切于点B，∴∠ABC＝90°，而OA＝OB，∴△ABC为等腰直角三角形，则⊙P的直径长＝BC＝AB＝32；（2）①过点作CM⊥AB，由直线l2：y＝3x－3得：点C（1，0），则245422CM AC sin =︒=⨯==圆的半径， 故点M 是圆与直线l 1的切点，即：直线l 1与⊙Q 相切； ②如图3，当点M 、N 在两条直线交点的下方时， 由题意得：MQ ＝NQ ，∠MQN ＝90°，设点Q 的坐标为（m ，3m －3），则点N （m ，m ＋3）， 则33322NQ m m =+-+=， 解得：32m =当点M 、N 在两条直线交点的上方时， 同理可得：32m =+；故点Q 的坐标为（32，632-）或（32+，632+）．思路点拨解决第（3）问，要分点M 、N 在两条直线交点的下方、点M 、N 在两条直线交点的上方两种情况求解. 【例3】 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ． （1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1思路点拨1．第（1）题中的△CEF和△CAF是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG分两种情况讨论．满分解答所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．图3 图4图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图8【例4】综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．解决问题(1)在图1中，①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，3△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为．【答案】(1)①BD′//AC ，菱形；(2)见解析；(3)1：13：1；(4)4或6或8或12.思路点拨（1）①②根据折叠的相关性质即可解答，可得到展开的图形为菱形.(2)①根据四边形ABCD 是平行四边形可得到DAC ACB ∠=∠，再根据翻折的定义即可得到AEC ∆是等腰三角形，随之可解答.②求出AD BC =，根据翻折得到CB D ADB ∠=∠''，即可解答.(3)分类讨论不同长宽比下的情况进行解答即可.(4)求出四边形'ACB D 是等腰梯形，再根据题意设''ADB CB D y ∠=∠=，解出y,求出BC 的长再分类讨论即可.满分解答(1)①'//BD AC ．②将AEC ∆剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为'//BD AC ，菱形；(2)①选择②证明如下：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，DAC ACB ∴∠=∠，将ABC ∆沿AC 翻折至△'AB C ，'ACB ACB ∴∠=∠，'DAC ACB ∴∠=∠，AE CE ∴=，AEC ∴∆是等腰三角形；∴将AEC ∆剪下后展开，得到的图形四边相等，∴将AEC ∆剪下后展开，得到的图形四边是菱形．②选择①证明如下，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，将ABC ∆沿AC 翻折至△'AB C ，'B C BC =，'B C AD ∴=，'B E DE ∴=，''CB D ADB ∴∠=∠，'AEC B ED ∠=∠，'ACB CAD ∠=∠'ADB DAC ∴∠=∠，'//B D AC ∴．(3)①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1:1；''90AB D ADB ∠+∠=︒， 3090y y ∴-︒+=︒，②当矩形的长宽之比为3:1时，满足条件，此时可以证明四边形'ACDB 是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1:1或3:1；(4)AD BC =，'BC B C =，'AD B C ∴=，//'AC B D ，∴四边形'ACB D 是等腰梯形，30B ∠=︒，'30AB C CDA ∴∠=∠=︒，△'AB D 是直角三角形，当'90B AD ∠=︒，AB BC >时，如图3中，设''ADB CB D y ∠=∠=，'30AB D y ∴∠=-︒，解得60y =︒，'3030AB D y ∴∠=-︒=︒，'43AB AB ==，3434AD ∴=⨯=，4BC ∴=，当'90ADB ∠=︒，AB BC >时，如图4，AD BC =，'BC B C =，'AD B C ∴=，//'AC B D ，∴四边形'ACB D 是等腰梯形，'90ADB ∠=︒，∴四边形'ACB D 是矩形，'90ACB ∴∠=︒，90ACB ∴∠=︒，30B ∠=︒，3AB =33436BC AB ∴===；当'90B AD ∠=︒，AB BC <时，如图5，AD BC =，'BC B C =，'AD B C ∴=，//'AC B D ，'90B AD ∠=︒，30B ∠=︒，'43AB =， '30AB C ∴∠=︒，4AE ∴=，'28BE AE ==， 4AE EC ∴==，'12CB ∴=，当'90AB D ∠=︒时，如图6，AD BC =，'BC B C =，'AD B C ∴=，//'AC B D ，∴四边形'ACDB 是等腰梯形，'90AB D ∠=︒，∴四边形'ACDB 是矩形，90BAC ∴∠=︒，30B ∠=︒，3AB =38BC AB ∴=÷=； ∴已知当BC 的长为4或6或8或12时，△'AB D 是直角三角形．故答案为平行，菱形，1:1或3:1，4或6或8或12；考点伸展解决第（4）问，△AB′D 恰好为直角三角形时，可得'90B AD ∠=︒（AB BC >）时，如图3；当'90ADB ∠=︒（AB BC >）时，如图4；当'90B AD ∠=︒（AB BC <）时，如图5；当'90AB D ∠=︒时，如图6；根据这几种情况求得BC 的长.【例5】如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN 为直角三角形时，t 的值为1或4． 思路点拨（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形；（3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 满分解答（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得： 309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x =-+=--，∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3．点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠，将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M 的坐标为32)2t +，点N 的坐标为，322t ++．点A 的坐标为()1,0，(222210571AM t t t⎫⎫∴=-+=++-+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭(222210571AN t t t ⎫⎫=+-=++++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭222188MN t =+-=+⎝⎭⎝⎭．AMN ∆为直角三角形，∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）；②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）；③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=． 0t >，∴该方程无解（或解均为增解）．综上所述：当AMN ∆为直角三角形时，t 的值为1或4．考点伸展（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC 2+BD 2=CD 2；（3）分∠MAN =90°、∠AMN =90°及∠ANM =90°三种情况考虑．【例6】如图，抛物线y ＝mx 2+nx ﹣3（m≠0）与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝﹣x 与该抛物线交于E ，F 两点．（1）求点C 坐标及抛物线的解析式．（2）P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点，作PH ⊥EF 于点H ，求PH 的最大值．（3）以点C 为圆心，1为半径作圆，⊙C 上是否存在点D ，使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形？若存在，直接写出D 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）2128；（3）点D 的坐标为：310，﹣3﹣1010)、(310，﹣3+1010)、(1，﹣3) 思路点拨（1）设抛物线的表达式为：()22(3)(1)23=23=+-=+-+-y a x x a x x ax ax a ，解出a 的值即可； （2）设点P （x ，x 2+2x ﹣3）、点M （x ，﹣x ），则PH ＝22PM ＝()22232---+x x x ，将表达式配成顶点式即可得出答案； （3）分∠BCD ＝90°、∠CDB ＝90°两种情况，作出图形分别求解即可．满分解答解：（1）∵抛物线与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，∴抛物线的表达式为：()22(3)(1)23=23=+-=+-+-y a x x a x x ax ax a ，即﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）过点P 作PM ∥y 轴交直线EF 于点M ，设点P(x，x2+2x﹣3)、点M(x，﹣x)，则PH＝22PM＝()2222321223=2x x x x⎛⎫---+-++⎪⎝⎭，当x＝﹣32时，PH的最大值为212；（3）①当∠BCD＝90°时，如图2左侧图，当点D在BC右侧时，过点D作DM⊥y轴于点M，则CD＝1，OB＝1，OC＝3，tan∠BCO＝13＝tan∠CDM＝tanα，则sinα10，cosα10x D＝CDcosα310，同理y D＝﹣310故点310，﹣3﹣1010)；同理当点D（D′）在BC的左侧时，同理可得：点D′(﹣310，﹣3+10)；②当∠CDB＝90°时，如右侧图，CD＝OB＝1，则点D(1，﹣3)；综上，点D的坐标为：(310，﹣3﹣10)、(﹣310，﹣3+10)、(1，﹣3)．【变式训练】1．如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP 为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【详解】当M运动到(－1，1)时，ON=1，MN=1，∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，(0，0)和(0，1)就是符合条件的P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，设点M(x，2x+3)，则有－x=－(2x+3)，解得x=－3，所以点P坐标为(0，－3)．。

1、如图，矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线c bx x y ++-=294经过A 、C 两点，与AB 边交于点D ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP =m ，△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式，并求出m 为何值时，S 取得最大值； ②当S 最大时，在抛物线c bx x y ++-=294的对称轴l 上若存在点F ，使△FDQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F 的坐标；若不存在，请说明理由．2、（本小题满分9分）如图， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．3、如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2。

动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动。

连接FM 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW。

设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒。