2017-2018 年天津市十二区县重点校高考第一次模拟考试理科数学试卷及答案

2018年天津市高三第一次校模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6 B ．13 C ．32D2.设变量x ，y 满足约束条件4,4,2,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．-5C ．-6D ．-83.命题p ：||1x <，命题q ：260x x +-<，则p ⌝是q ⌝成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4.在100展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的项有（ ） A ．16项 B ．17项 C.24项 D ．50项5.若1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b << C.c a b << D ．b a c <<6.将标号为1、2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每一个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A ．120 B ．240 C.360 D ．7207.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ） ABD8.如图，梯形ABCD 中，AB CD ，2AB =，4CD =，BC AD ==,E 和F 分别为AD 与BC 的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ⋅=成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．59(,)420-- B ．511(,)44-- C.111(,)44- D ．91(,)204--第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知集合U R =，集合{||3||3|3}A x R x x =∈+-->241{|,(0,)}t t B x R x t t-+=∈=∈+∞，则集合()U BC A = ．10.执行如图所示的程序框图，则输出b 的结果是 ．11.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ．12.已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是3cm ．13.设a 与b 均为正数，且33122x y +=++，则2x y +的最小值为 ． 14.设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使得对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 的型增函数”，已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2017的型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数()sin cos()6f x x x π=+-，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）设ABC ∆中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =且2()6b af A π=-，求角C 的大小.16.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数分分布列与期望.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，22PA AB AD BC ====，BAD θ∠=，E 是棱PD 的中点.（Ⅰ）若60θ=︒，求证：AE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求θ的值，使二面角P CD A --的平面角最小.18. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1312231(1)21212121n nn n b b b b a +=-----++++，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}n c （*n N ∈）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线1C ：24x y =的焦点F 也是椭圆2C ：22221y x a b+=（0a b >>）的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为. （Ⅰ）求2C 的方程（Ⅱ）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC ，BD 同向. （1）若||||AC BD =求直线l 的斜率；（2）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.20. 已知函数2()2xx f x e x -=+，()2ln g x x ax =-（a R ∈） （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当[0,1)b ∈时，函数2()x e bx bh x x--=（0x >）有最小值.记()h x 的最小值为()b ϕ，求()b ϕ的值域；（Ⅲ）若()g x 存在两个不同的零点1x ，2x （12x x <），求a 的取值范围，并比较122'()3x x g +与0的大小.2018年天津市高三第一次校模拟考试数学（理）试题答案一、选择题1-5:ADBBA 6-8:BCD二、填空题9.3[2,]2-10.2 11.16312.1213.3+14.2017 (,6-∞）三、解答题15.解：1 ()sin cos sin sin62f x x x x x xπ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭1cos26x x xπ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭.3xπ⎛⎫-⎪⎝⎭）所以()f x（Ⅱ）解：因为26b af Aπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由（Ⅰ）和正弦定理，得2sin B A=.又2B A=，所以2sin2A A=，即22sin cosA A A=，而A是三角形的内角，所以sin0A≠，故cos A A=，tan A=，所以6Aπ=，23B Aπ==，2C A Bππ=--=16.（Ⅰ）解：采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.因此它的概率P是：11113322111155551225C CC CPC C C C=⋅+⋅=.（Ⅱ）解：设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0,1,2.23253(0)10C P C ξ===；1123253(1)5C C P C ξ⋅===；22251(2)10C P C ξ===. ξ的分布列为：012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=17.解：当60θ=︒时，∵AD BC ，22ABAD BC ===. ∴CD AD ⊥.又PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥. ∴CD ⊥平面PAD . 又AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥.又PA AD =，E 是棱PD 的中点， ∴PD AE ⊥. ∴AE ⊥平面PCD .（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，(2sin ,2cos ,0)B θθ，(2sin ,2cos 1,0)C θθ+，(0,2,0)D .∴(0,2,2)DP =-、(2sin ,2cos 1,0)DC θθ=-.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则220(2sin )(2cos 1)0n DPy z x y n DC θθ⎧⊥-+=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⊥⎩⎪⎩ 取1y =，得2cos 1(,1,1)2sin n θθ-=.又易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =. 设二面角P CD A --的平面角为α， 则cos 2cos m n m nα⋅==⋅要使α最小，则cos α最大，即2cos 102sin θθ-=，∴1cos 2θ=，得3πθ=18.解：（Ⅰ）设此等比数列为1a ，1a q ，21a q ，31a q ，…，其中10a ≠，0q ≠. 由题意知：2311128a q a q a q ++=，①321112(2)a q a q a q +=+.②②7⨯-①得3211161560a q a q a q -+=， 即22520q q -+=，解得2q =或12q =. ∵等比数列{}n a 单调递增，∴12a =，2q =，∴2n n a =； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知112n n a =（*n N ∈）， 由1312231(1)221212121n n n nb b b b +=-+-+-++++（*n N ∈）， 得311212311(1)221212121n n n n b b b b ---=-+-+-++++（2n ≥）， 故1111(1)2221n n n n n b +--=-+，即1(1)(1)2n n n b =-+（2n ≥）， 当1n =时，1121b a =+，132b =，∴3,21(1)(1).2n n nb ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩*1,2,.n n n N =≥∈；（Ⅲ）∵2n n n c b λ=+，∴当3n ≥时，12(1)(1)2n n n n c λ=+-+，111112(1)(1)2n n n n c λ----=+-+， 依据题意，有1132(1)(2)02n n n n n c c λ---=+-+>，即12(1)322n nn λ-->-+，①当n 为大于或等于4的偶数时，有12322n n λ->-+恒成立，又1212213312222n n n n ---=-++随n 增大而增大， 则当且仅当4n =时，1min212833522n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，故λ的取值范围为12835λ>-； ②当n 为大于或等于3的奇数时，有12322n nλ-<+恒成立，且仅当3n =时，1min 23231922n n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，故λ的取值范围为3219λ<；又当2n =时，由212153(2)(2)042n n c c c c λλ--=-=+-+>，得8λ<，综上可得，所求λ的取值范围是12832|3519λλ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 19.解：（1）由抛物线1C ：24x y =的焦点(0,1)F ，所以221a b -=，又由1C 与2C的公共弦长为，得公共点坐标3()2，所以229614a b+=，解得29a =，28b =得2C ：22198x y +=（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y由AC BD =，得1234x x x x -=-，所以2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-① 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-②由221,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2(98)16640k x kx ++-=，3421698k x x k -+=+，3426498x x k -=+③将②③代入①，解得k =由24x y =，'2xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为21124x x y x =-所以1(,0)2x M ，1(,1)2xFM =-，11(,1)FA x y =- 2211111024x x FM FA y ⋅=-+=+>，显然FM ，FA 不会同向共线，因此AFM ∠是锐角，从而FMD ∠是钝角，所以直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角线 20.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0(2)(2)x x xx x e x e x e f x x x -+--==≥++， 当且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)-+∞单调递增，（Ⅱ）2243(2)(2)(2)(2)'()x x x x e x x b x e x bh x x x -++-++==32(2)()2xx x e b x x-+++=由（Ⅰ）知，2()2xx f x b e b x -+=++单调递增， 对任意[0,1)b ∈，(0)10f b b +=-+<，(2)0f b b +=≥ 因此，存在唯一(0,2]t ∈，使得'()()0h t f t b =+=.当(0,)x t ∈时，'()0h x <，()h x 递减，当(,)x t ∈+∞时，'()0h x >，()h x 递增.所以()h x 有最小值2()()2t te bt b e b h t t t ϕ--===+. 而2(1)()'02(2)t t e e t t t +=>++，所以()2te h t t =+在(0,2]上递增.所以(0)()(2)h h t h <≤，即()h a 的值域为21(]24e ，（Ⅲ）定义域为(0,)+∞，22'()ax g x a x x-=-= 当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞上递增，舍.当0a >时，()g x 在2(0,)a 上递增，在2(,)a+∞上递减， 0x +→，()g x →-∞，x →+∞，()g x →-∞， 所以min 2()()0g x g a =>，20a e<<. 设4()()()F x g x g x a =--，822'()22044()a F x a a x x x x a a=+-=-≥-- 所以()F x 在(0,)4a 上递增，2()()0F x F a <=，即4()()g x g x a<- 所以2114()()()g x g x g x a=<-， 又122x x a <<，所以2x ，142x a a ->且在2(,)a+∞上递减 所以214x x a <-，即124x x a +>，12223x x a+>. 所以122'()03x x g +<。

• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它 答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号 二三15 16 17 18 1920总分分数得分 评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数） 相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为 的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于 ．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的 五位数的个数是 ．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分 评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分 评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求 的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分 评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分 评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为 ． 答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为 参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ． 答案： 43 511．已知离心率为 的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物 线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________． 答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于 ．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是 ．（用数字作答） 答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ， 四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分 当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ， 代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分 要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分 从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分 评卷人 已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分 （Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。

2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}，则集合N∩∁U M＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，+∞）D．（4，+∞）2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．4D．53．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，∠A＝，AB＝4，AD＝5，则AC＝（）A．B．C．2D．27．（5分）已知点G是△ABC内一点，满足++＝，若∠BAC＝，•＝1，则||的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．（2，）D．（2，]二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为．10．（5分）二项式（2﹣）6的展开式中常数项是（用数字作答）．11．（5分）曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离为．13．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝DC＝4，AB ＝3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为．14．（5分）函数f（x）在R内满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos（π+x），记a＝﹣πf（﹣π），b＝），c＝ef（e），则a，b，c从小到大依次为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣，]的值域．16．（13分）甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣P A﹣D的余弦值；（Ⅲ）已知点M在棱BC上，且直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，求线段BM的长．18．（13分）已知数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，且a5＝9，S10＝100．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆：+＝1（a＞b＞0）与抛物线：y2＝x交于B、C两点，点B在第一象限，O为坐标原点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，|BC|＝1，•＝3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N为椭圆上的点，以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线AM 的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，且k2＝，λ∈（﹣5，﹣），求k1的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝．（i）求h（x）在[m，2m]（m＞0）上的最大值；（ii）求证：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．2018年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}，则集合N∩∁U M＝（）A．（1，4）B．（3，4）C．（3，+∞）D．（4，+∞）【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x∈R|y＝}＝{x|x≥4}，集合N＝{x∈R|x2﹣8x+15＜0}＝{x|3＜x＜5}，∴∁U M＝{x|x＜4}，∴集合N∩∁U M＝（3，4）．故选：B．2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．4D．5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×1+2＝4．即目标函数z＝2x+y的最大值为4．故选：C．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sin+sin+sin的值，可得S＝sin+sin+sin＝++0﹣＝．故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：双曲线﹣＝1的一个焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，可得3＝，解得m＝4，则双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故选：C．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若S2019＞S2018，则a2019＞0，即a1q2018＞0，则a1＞0成立，即必要性成立，若a1＞0，则a1q2018＞00，即a2019＞0，则S2019＞S2018成立，即充分性成立，则“a1＞0”是“S2019＞S2018”的充要条件，故选：A．6．（5分）在平面四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，∠A＝，AB＝4，AD＝5，则AC＝（）A．B．C．2D．2【解答】解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，再作EF∥CD交AD于点F，设BC＝a，CD＝b，在Rt△BCE中，∵AD∥CE，∴∠CEB＝∠A＝60°，可得BE＝cot∠CEB×BC＝a，CE＝＝a，故AE＝4﹣a，∵四边形CDFE为矩形，∴DF＝CE＝a，∴AF＝5﹣a，在Rt△AEF中，∵cos∠A＝＝，即＝，∴a＝2，∴AC＝＝2．故选：D．7．（5分）已知点G是△ABC内一点，满足++＝，若∠BAC＝，•＝1，则||的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点G是△ABC内一点，满足++＝，∴G是△ABC的重心，∴＝（+），∴＝（2+2+2•）＝（|AB|2+|AC|2）+，∵•＝|AB|•|AC|＝1，∴|AB|•|AC|＝2，∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|＝4，∴2≥＝．∴||≥．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是（）A．（2，4）B．（2，4]C．（2，）D．（2，]【解答】解：令g（x）＝x3﹣3x+2，x≥0．g′（x）＝3（x+1）（x﹣1），可得函数g（x）在[0，1）内单调递减，在（1，+∞）上单调递增．画出函数f（x）的图象，f（0）＝2．由关于x的函数y＝f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则△＝b2﹣4＞0，且f（x）＝，直线y＝，y＝分别与y＝f（x）的图象交点有四个．∴b2﹣4＞0，2≥＞＞0，解得：．b的取值范围是．故选：D．二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）若复数（i为虚数单位）对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：＝，且其对应的点在第四象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．10．（5分）二项式（2﹣）6的展开式中常数项是﹣160（用数字作答）．【解答】解：因为＝20×8×（﹣1）＝﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．11．（5分）曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为．【解答】解：如图，联立，解得x1＝﹣2，x2＝1．∴曲线y＝1﹣x2与y＝x﹣1所围成的封闭图形的面积为：S＝＝＝＝．故答案为：．12．（5分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离为．【解答】解：∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，是圆心为C1（1，0），半径r＝1的圆，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）+1＝0，即ρcosθ﹣ρsinθ+1＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣y+1＝0，圆心为C1（1，0）到曲线C2的距离d＝＝，∴曲线C1上的点与曲线C2上的点的最小距离h min＝d﹣r＝．故答案为：．13．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，BD＝DC＝4，AB ＝3，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为41π．【解答】解：由题意，三棱锥A﹣BCD扩充为长方体，其对角线长为＝，∴三棱锥外接球的半径为：，∴三棱锥外接球的表面积为4π•＝41π．故答案为：41π．14．（5分）函数f（x）在R内满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos（π+x），记a＝﹣πf（﹣π），b＝），c＝ef（e），则a，b，c从小到大依次为b、a、c．【解答】解：根据题意，函数f（x）为R内的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝﹣e x+1+m cos x，则有f（0）＝﹣1+1+m＝0，即m＝0，则f（x）＝﹣e x+1，（x≥0），令g（x）＝xf（x），有g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝xf（x）＝x（1﹣e x），g′（x）＝f（x）+xf′（x）＜0，函数g（x）为减函数，则f（x）为偶函数且在x≥0时为减函数，a＝﹣πf（﹣π）＝g（﹣π）＝g（π），b＝）＝g（﹣）＝g（），c＝ef（e）＝g（e），又由e＜π＜，则b＜a＜c；则a，b，c从小到大依次为b、a、c；故答案为：b、a、c．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在[﹣，]的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝3sin x cos x+cos2x＝sin2x+•＝（sin2x+cos2x）+＝sin（2x+）+，故函数f（x）的最小正周期为＝π．（Ⅱ）把函数y＝f（x）的图象向下平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x+）的图象，x∈[﹣，]，2x+∈[﹣，]，故当2x+＝﹣时，函数g（x）取得最小值为•（﹣）＝﹣；当2x+＝时，函数g（x）取得最大值为，故函数y＝g（x）在[﹣，]的值域为[﹣，]．16．（13分）甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．根据平时经验，甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．（Ⅰ）求甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵甲、乙、丙三名大学生参加学校组织的“国学达人”挑战赛，每人均有两轮答题机会，当且仅当第一轮不过关时进行第二轮答题．甲、乙、丙三名大学生每轮过关的概率分别为，且三名大学生每轮过关与否互不影响．∴甲过关的概率P（A）＝＝，乙过关的概率P（B）＝＝，丙过关的概率P（C）＝＝，∴甲、乙、丙三名大学生都不过关的概率：P（）＝＝．（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名大学生中过关的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝P（）＝＝，P（X＝1）＝P（A++）＝+＝，P（X＝2）＝P（AB+A+BC）＝++＝，P（X＝3）＝P（ABC）＝＝，∴随机变量X的分布列为：数学期望E（X）＝＝．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）求二面角C﹣P A﹣D的余弦值；（Ⅲ）已知点M在棱BC上，且直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，求线段BM的长．【解答】证明：（Ⅰ）取PD的中点G，连接FG、CG，∵FG是△P AD的中位线，∴FG∥AD且FG＝，在菱形ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，又E为BC的中点，∴CE∥FG且CE＝FG∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG，又EF⊄面PCD，CG⊂面PCD，∴EF∥面PCD．解：（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，∵底面ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，PO⊥平面ABCD，E，F分别为P A，BC的中点，AB＝2，PO＝，∠BAD＝60°．∴C（﹣，0，0），A（，0，0），P（0，0，），D（0，﹣1，0），＝（），＝（0，﹣1，﹣），设平面P AD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，1），平面P AC的法向量＝（0，1，0），设二面角C﹣P A﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角C﹣P A﹣D的余弦值为．（Ⅲ）∵点M在棱BC上，设BM＝a，a∈[0，1]，∴M（﹣，1﹣，0），∵E（，0，），∴＝（﹣a﹣，1﹣，﹣），平面P AD的法向量＝（1，﹣，1），∵直线ME与平面P AD所成角的正弦值为，∴＝＝，解得a＝．∴线段BM的长为．18．（13分）已知数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和，且a5＝9，S10＝100．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）数列{a n}满足2a n+1＝a n+a n+2（n∈N*），则：{a n}为等差数列．设数列的首项为a1，公差为d，由于：且a5＝9，S10＝100．则：，解得：a1＝1，d＝2．所以：a n＝2n﹣1．（Ⅱ）根据b n＝n•（）n﹣1+（﹣1）n a n，＝n•（）n﹣1+（﹣1）n（2n﹣1），则：+（﹣1+3﹣5+7+…+﹣2n+3+2n﹣1），设：①，②，①﹣②得：S n＝．所以：当n为偶数时，T n＝，当n为奇数时，T n＝．故：．19．（14分）已知椭圆：+＝1（a＞b＞0）与抛物线：y2＝x交于B、C 两点，点B在第一象限，O为坐标原点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，|BC|＝1，•＝3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N为椭圆上的点，以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线AM 的斜率为k1，直线MN的斜率为k2，且k2＝，λ∈（﹣5，﹣），求k1的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆和抛物线的对称性，可得B，C关于x轴对称，|BC|＝1，可设B（m，），代入抛物线的方程可得＝m，解得m＝，将B（，）代入椭圆方程，可得+＝1，由•＝3，可得（，）•（c，0）＝c＝3，解得c＝，即a2﹣b2＝3，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线MN：y＝k2x+t，代入+y2＝1，得（1+4k22）x2+8tk2x+4（t2﹣1）＝0，△＝64t2k22﹣16（1+4k22）（t2﹣1）＞0，即为1+4k22﹣t2＞0．x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1y2＝（k2x1+t）（k2x2+t）＝k22x1x2+tk（x1+x2）+t2＝k22•+tk（﹣）+t2＝，∵以MN为直径的圆过椭圆的左顶点A（﹣2，0），因此•＝0，即（x1+2）（x2+2）+y1y2＝0，展开得x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2＝0，﹣2•+4+＝＝0，解得t＝2k2或t＝k2，且满足1+4k2﹣t2＞0，当t＝2k2时，MN：y＝k2（x+2），直线过定点（﹣2，0），与已知矛盾；当t＝k2，MN：y＝k2（x+），直线MN过定点（﹣，0）．由直线AM：y＝k1（x+2）代入+y2＝1，得（1+4k12）x2+16k12x+16k12﹣4＝0，可得﹣2x1＝，解得x1＝，y1＝k1（x1+2）＝，则k2＝＝＝，即有λ＝∈（﹣5，﹣），化为（4﹣3k12）（4﹣2k12）＞0，解得k1∈（，）∪（﹣，﹣）．20．（14分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝．（i）求h（x）在[m，2m]（m＞0）上的最大值；（ii）求证：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1，得f′（x）＝，当a＝0时，f′（x）＝＞0（x＞0），∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0，f′（x）＝＝，若＜0，即a＞0或a＜﹣1，那么，当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＝﹣1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；若﹣1＜a＜0，则f′（x）＞0⇔x2＜，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，综上，当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）若a＝0时，h（x）＝＝．（i）解：h′（x）＝＝，令g（x）＝，则g′（x）＝＜0，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，又∵g（1）＝0，∴x＝1是g（x）＝0的唯一解，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当0＜2m≤1，即0时，h（x）在[m，2m]上单调递增，h（x）的最大值为h（2m）＝；当m≥1时，h（x）在[m，2m]上单调递减，h（x）的最大值为h（m）＝；当＜m＜1时，h（x）在[m，1]上单调递增，在[1，2m]上单调递减，h（x）的最大值为h（1）＝．∴；（ii）证明：∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2⇔＜1+e﹣2．设p（x）＝e x﹣x﹣1，∴x＞0时，p′（x）＝e x﹣1＞0，则p（x）在（0，+∞）上为增函数，∴p（x）＞p（0）＝0，即e x＞x+1，∴当x＞0时，0＜＜1；设u（x）＝1﹣x﹣xlnx，u′（x）＝﹣2﹣lnx，x∈（0，e﹣2）时，u′（x）＞0，当x∈（e﹣2，+∞）时，u（x）≤u（e﹣2）＝1+e ﹣2．∴＜1+e﹣2．即∀x＞0，（x2+x）•h′（x）＜1+e﹣2．。

2017-2018年天津市十二所重点学校高三毕业班联考（一）理科综合能力测试化学部分理科综合能力测试分为物理、化学、生物三部分，共300分，考试用时150分钟。

本部分为化学试卷，本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共100分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上。

答卷时，考生务必将卷Ⅰ答案涂写在答题卡上，卷II答在答题纸上，答在试卷上的无效。

第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。

2．本卷共6题，每题6分，共36分。

在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H—1 C—12 O—16 Na—23 Cl—35.5 Fe—56 Cu—641．下列说法不正确．．．的是A．明矾可用作除去污水中悬浮颗粒的混凝剂B．棉花、羊毛、腈纶和涤纶都属于合成纤维C．使用青霉素前一定要进行皮肤敏感试验D．利用油脂在碱性溶液中的水解可制取肥皂2．下列有关说法正确的是A．0.1mol/LNa2CO3溶液35℃时的碱性比25℃时强，说明盐类水解反应是放热反应B．从HF、HCl、HBr、HI酸性递增的事实，推出F、Cl、Br 、I的非金属性递增的规律C．2SO2(g)+O2(g) 2SO3(g) △H<0，其它条件不变时加入催化剂，反应速率v（SO2）和SO2转化率均增大D．室温下，同浓度的Na2CO3溶液的pH比 Na2SiO3溶液的pH大，说明非金属性C>Si3．下列离子方程式正确的是（）A．铝溶于烧碱溶液：Al+2OH－＝AlO2－+H2↑B．用铜电极电解硫酸铜溶液：2Cu2++ 2H2O 电解 2Cu↓ +O2↑ +4H+ C．用FeCl3饱和溶液制备Fe(OH)3胶体：Fe3++3H2O(沸水)Fe(OH)3(胶体)+3H+D．已知硫酸铅难溶于水，也难溶于硝酸，却可溶于醋酸铵溶液中，形成无色溶液。

2017年天津市高考数学试卷（理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合A=｛1,2,6}，B=｛2,4｝，C={x∈R|﹣1≤x≤5｝,则(A∪B)∩C=（) A．{2｝B．｛1，2,4｝C．｛1，2，4,5｝D．{x∈R｜﹣1≤x≤5｝2．（5分）设变量x，y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为（）A． B．1 C． D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N 的值为(）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R,则“|θ﹣｜＜”是“sinθ＜”的（)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P （0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25。

1）,b=g(20。

8)，c=g(3），则a，b，c的大小关系为（)A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．(5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，｜φ｜＜x．若f（）=2，f（）=0,且f（x）的最小正周期大于2π,则(）A．ω=，φ= B．ω=,φ=﹣C．ω=,φ=﹣ D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=,设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥｜+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣,］C．［﹣2，2］D．［﹣2,］二.填空题:本大题共6小题，每小题5分,共30分.9．（5分）已知a∈R,i为虚数单位,若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中,直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．(5分)若a,b∈R,ab＞0，则的最小值为．13．(5分）在△ABC中，∠A=60°,AB=3,AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4,则λ的值为．14．(5分）用数字1,2,3,4，5,6,7，8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个．（用数字作答）三。

十二区县2017—2018学年第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷（理工类）一、选择题（共8小题，每题5分）1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3,5A =，{}2,4B =，则()U A B ∪ð为（ ）． A ．{}0,2,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,3,42．设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y ≥≥≤+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）．A ．0B ．3C ．6D ．123．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数（ ）．结束否是输出(x ，y )x≤4?x=1，y=1x=x+1，y=2y开始A ．1y x =+的图像上B ．2y x =的图像上C ．2x y =的图像上D ．12x y -=的图像上4．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．若a ，b ∈R ，则“0ab ≠”是“0a ≠”的充分不必要条件C ．命题“0x ∈R ，20010x x ++<”的否定是“x ∈R ，210x x ++>”D ．若“p 且q ”为假，则p ，q 全是假命题5．已知双曲线22221(0,0:)y x a b a b C -=>>的离心率52e =，点P 是抛物线24y x =上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点1(0,)F c 的距离与到直线1x =-的距离之和的最小值为6，则该双曲线的方程是（ ）．A ．22123y x -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．22132y x -=6．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为S ，且226()S a b c =+-，则tan C 等于（ ）．QPDCBAA ．512B ．512-C ．125D ．125-7．如图，PT 切圆O 于点T ，PA 交圆O 于点A ，B 两点，且与直径CT 交于点D ，3CD =，4AD =，6BD =，则PB =（ ）．PTO D C BAA ．6B ．8C ．10D ．148．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，()(24)f x m x x =-+-，(0)m >，若函数[]()4y f f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围（ ）． A ．10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()1550,,662C ．()()1550,,442D ．()10,4二．填空题（共6小题，每题5分）9．i 是虚数单位，复数2i 1i +=-__________．10．在53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数为__________．11．已知曲线1y x -=与直线1x =，3x =，x 轴围成的封闭区域为A ，直线1x =，3x =，0y =，1y =围成的封闭区域为B ，在区域B 内任取一点P ，该点P 落在区域A 的概率为__________．12．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为__________．俯视图侧视图正视图13．直线:12x at l y t=⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆π22s 4:co C ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆C 上至少有三个点到直线l 的距离恰为22，则实数a 的取值范围为__________．14．如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB =，1AD DC ==，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ= ，(1)CP CB λ=-，若集合{|}M x x AP AQ ==⋅ ，221{|,1}3()a b N x x a b ab a b ++==>=-,．则M N = __________．三、解答题（共6小题，共80分） 15．（本小题13分）已知函数()22π()cos cos 6f x x x =+-，x ∈R ．（1）求()f x 最小正周期．（2）求()f x 在区间ππ,34⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．16．（本小题13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A 类题有4个不同小题，B 类题有6个不同小题，某考生从中任抽取四道题解答． （1）求该考生至少抽取2道B 类题的概率．（2）设所抽取的四道题中B 类题的个数为X ，求随机变量X 的分布列与期望．17．（本小题13分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．（1）求证：AO BE ⊥．（2）求二面角F AE B --的余弦值．（3）若直线CA 与平面BEA 所成的角的正弦值为265，求实数a 的值．OFECBA18．（本小题13分）设椭圆E 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ，点B 的坐标为(0,)b ，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为14．（1）求椭圆E 的离心率e ．（2）PQ 是圆2215:(2)(1)2C x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过P ，Q 两点，求椭圆E 的方程．19．（本小题14分）已知非单调数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且114a =-，2416a a =，记51nn n a b a =-．（1）求{}n a 的通项公式．（2）若对任意正整数n ，|1|3n m b -≥都成立，求实数m 的取值范围．（3）设数列2{}n b ，2-1{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 证明：对任意的正整数n ，都有223n n S T <+．20．（本小题14分）已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值．（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点11(,)A x y ，22(,)B x y ,试比较12x x 与22e 的大小．（取e 28=．，取ln207=．，取2 1.4=）．。

天津一中2017‐2018高三年级零月考数学试卷（理）本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时90分钟一、选择题： 1．若12z i =+，则41iz z =⋅-A ．1B ． 1-C ． iD ．i -2．设常数a R ∈，集合{}{}(1)()0,1A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S =A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．72554．命题00,1()2x R f x ∃∈<≤的否定形式是A ．,1()2x R f x ∀∈<≤B ．,()1x R f x ∀∈≤或()2f x >C ． ,1()2x R f x ∃∈<≤D ．,()1x R f x ∃∈≤或()2f x >5．设xdx a ⎰=02，则二项式5ax ⎛⎝展开式中含2x 项的系数是 A ．80 B ．640 C ．160- D ．40-6．设a ∈R ，函数()x xf x e a e-=+⋅的导函数()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为 A ．－ln 22 B ．－ln 2 C ．ln 22D ．ln 2 7．已知p ：函数()f x x a =+在(),1-∞-上是单调函数，q ：函数()log (1),(0a g x x a =+>且1a ≠）在()1,-+∞上是增函数，则p ⌝是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，两条曲线在第一象限的交点为M ，若MF x ⊥轴，则该双曲线的离心率e =A B 1C D 1 9．某校从8名教师中选派4名同时去4个地区支教（每地一名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A ．150种B ． 300种C ． 600种D ．900种 10．设定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是A ．1(11k f k k >-- B ． 11(11f k k <--C ． 11()1f k k >-D ． 11()f k k<二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形，则此几何体的体积是________12．在平面直角坐标系中，已知圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(42πρθ-=．若直线l 与圆C 相切，则实数a =____13．设数列{}n a 前n 项的和为n S ，若14a =，且()*13N n n a S n +=∈，则nS =_________.14．若点,O F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则FP OP ⨯的最大值为__________15．某校举行知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰。

2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或﹣1 B．0或1 C．﹣2或1 D．0或﹣22．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]3．在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．5．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则?的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1] B．[﹣3，1]C．[﹣1，1]D．[1，3]8．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知复数=a+bi，则a+b=．10．（﹣）8的展开式中x2的系数为．（用数字作答）11．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ＝﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．13．已知f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，则a+b的值为．14．若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于?x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．16．理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：学生序号1234567物理成绩65707581858793化学成绩72688085908691规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．18．设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=1，a n+1=2S n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若=3n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或﹣1 B．0或1 C．﹣2或1 D．0或﹣2【考点】交集及其运算．【分析】由交集定义得到或，由此能求出a的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，A∩B={﹣1，2}，∴或，解得a=﹣2或a=1．故选：C．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作可行域如图．由z=3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A，B时，目标函数取得最值，由：，可得A（4，5），由可得B（1，2）时，目标函数取得最小值和最大值，分别为z max=3×4+2×5=22，z min=3×1+2×2=7．目标函数的范围：[7，22]．故选：B．3．在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．【解答】解：在△ABC中，∵AB=4，AC=BC=3，∴cosC===，∴sinC==．故选：D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S、i的值，当i=5时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0，k=1；k=1，不满足条件i＞4，S=1，i=2；k=，不满足条件i＞4，S=，i=3；k=，不满足条件i＞4，S=，i=4；k=，不满足条件i＞4，S=，i=5；k=，满足条件i＞4，退出循环，输出S=．故选：C．5．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．。

天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学（理）试题含答案.docx2018 年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理）第Ⅰ卷（共40 分）一、选择题：本大题共8 个小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 A x x 2 x 0 ， Bx x 1 ，则 A B 为（）A ． 0,1B． 0,1C． 0,1D ．1,0x y 1 0,2. 已知 x ， y 满足不等式组 xy 1 0, 则目标函数 z2x y 3 的最小值为（）3x y 3 0,A ． 1B． 2C ． 4D ． 53. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是3 ，则判断框中应填入的条件是（）4A ． i 5?B． i 5?C． i 4?D． i 4?4. 已知 m 为实数，直线 l 1 : mx y 1 0 ， l 2 : 3m2 x my 20，则“ m1”是“ l 1 / /l 2 ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5. 已知函数 f xsin xx R,0 的最小正周期为，将 yf x 的图象向左平移个单位4长度，所得图象关于 y 轴对称，则的一个值是（）A ．．3C.D．52 848log 3 1log 1 96. 已知定义在 R 上的函数 f x x cosx ，则三个数 a 4，bf12 5，则 a ，f 77，c f 1b ，c 之间的大小关系是（）A ． ac bB． ab cb caD． c b a227. 双曲线 C : x2y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，点 M ， N 在双曲线上，且 MN / / F 1F 2 ，abMN1F 1F 2 ，线段 F 1 N 交双曲线 C 于点 Q ， F 1Q2 F 1 N ，则该双曲线的离心率是（）25A ．5 1B 5 C. 2D．72．24 8x 12 , 1 x 2,8. 已知定义在 1,上的函数 f x1 f x ,x则下列说法中正确的个数有（）2,2 2①关于 x 的方程 f x1 0 n N 有 2n4 个不同的零点；2n②对于实数 x1,，不等式 xf x6 恒成立；③在 1,6 上，方程 6 f x x 0 有 5个零点；④当 x 2n 1 , 2nnN * 时，函数 fx 的图象与 x 轴围成的面积为 4 .A ． 0B． 1 C.2D． 3第Ⅱ卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. i 为虚数单位，设复数z 满足34i 6i ，则 z 的虚部是．z10. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线极坐R ，它与曲线x 2 3cos,标方程为4y2 3sin （为参数）相交于两点 A 、B ，则 AB．,11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．n 0 ），则 2 x 1 n 的展开式中 x312. 若x dx 49 （其中 n的系数为．n13.已知 a b ，二次三项式 ax24x b0 对于一切实数x 恒成立，又x0R ，使 ax024x0 b0 成立，则a2b2的最小值为．a b14.已知直角梯形 ABCD 中， AD / / BC ，BAD 90 ，ADC45 ，AD 2 ，BC1，P是腰 CD 上的动点，则3PA BP 的最小值为．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）15.在锐角ABC 中，角A，B， C 的对边分别为a， b ，c，且cos Acos B23 sin C .a b3a（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）已知a sin C4 ， ABC 的面积为6 3，求边长 b 的值. sin A16.某大学在一次公益活动中聘用了10 名志愿者，他们分别来自于 A ， B ，C三个不同的专业，其中 A 专业 2 人， B 专业3人，C专业5人，现从这10 人中任意选取 3 人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求 3 个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到 B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17.如图，四边形ABCD 与BDEF均为菱形，FA FC ，且DAB DBF 60 .（Ⅰ）求证： AC平面 BDEF ；（Ⅱ）求二面角 E AF B 的余弦值；（Ⅲ）若 M 为线段 DE 上的一点，且满足直线AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为2 30，求线段 DM的15长 .18.已知数列a n的前n项和 S n满足： S n a S n a n 1 ，（a为常数，a0 ， a 1 ）.（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n a n S n，若数列b n为等比数列，求 a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，c na nan 1. 若数列c n的前 n 项和为T n，且对任意n N*1 a n 11，求实数的取值范围 .满足 T n319. 已知椭圆x2y21 a b0 的两个焦点分别为F1 c,0 和 F2c,0 c 0 ，过点 Ea2a2b2,0 的直线c与椭圆交于x 轴上方的A，B两点，且F1A2F2 B .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A关于坐标原点对称，直线F B上有一点H m,n m 0 在AFC 的外接圆上，求n的21m 值 .20. 已知函数 f x1 x2ax a 1 ln x ，g x b x ln x 的最大值为1.2e（Ⅰ）求实数 b 的值；（Ⅱ）当 a 1时，讨论函数 f x 的单调性；（Ⅲ）当 a 0时，令F x 2 f x g x 2ln x 2 ，是否存在区间m, n1,. 使得函数F x 在区间 m,n 上的值域为k m 2 ， k n 2 ? 若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD6-8:CDB二、填空题110.211.228013.5214.9.12.2 23三、解答题15. 解：（ 1）由已知得bcosA acosB 2 3bsinC ，3由正弦定理得 sinBcosA cosBsinA 2 3sinBsinC ，3∴ sin A B 2 3sinBsinC ，3又在ABC 中，sin A B sinC0 ，3∴sin B20 B,2∴ B.3（２）由已知及正弦定理c4又 S= 6 3，3∴2 acsin B 6 3，得 a 6ABC1由余弦定理 b2a2c22ac cos B得 b 2 7 .16.（1）令A表示事件“ 3个人来自于两个不同专业”，A1表示事件“3个人来自于同一个专业”，A2表示事件“ 3 个人来自于三个不同专业”，C3 3 C5 311p( A1 )C10 3C2 1C31C5130p( A2 )120C10 3则由古典概型的概率公式有p( A)1p( A1 )P( A2 ) 1 C 21C31C5 1 C 3 3 C5 379；C10 3C10 3120（ 2）随机变量X的取值为： 0， 1，2， 3 则p( X0)C3 0C 7 335，C10 3120p( X1)C31C7 263C10 3，120p( X2)C3 2C7 121, C10 3120p( X3)C3 3C7 01, C10 3120X0123P3563211 120120120120E ( X )035632131108 11202120．12012012017.解析：（ 1）设AC与BD相交于点O，连接FO，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC BD ，且 O 为 AC 中点，∵FA FC ，∴ AC FO ,又 FO BD O ， BD平面BDEF , FO平面BDEF∴AC 平面 BDEF .（ 2）连接DF，∵四边形BDEF 为菱形，且DBF 60 ，∴DBF 为等边三角形，∵ O 为 BD 中点，∴ FO BD ，又 AC FO ，BD平面 ABCD , AC平面ABCD∴FO平面ABCD.∵ OA, OB, OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示，设AB 2 ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 60 ，∴BD2, AC 2 3 .∵DBF 为等边三角形，∴OF3 .∴ A3,0,0, B 0,1,0, D 0, 1,0 , F0,0,3，∴ AD3,1,0, AF3,0,3, AB3,1,0， EF DB(0,2,0)设平面 AEF 的法向量为m( x1 , y1 , z1 ) ，则AF n3x23z20EF n 2 y20令 x1, 则z1，得m(1,0,1) 12设平面 ABF 的法向量为n( x2 , y2 , z2 ) ，则AF n3x23z20 AB n3x2y20，令x21, 则 y23, z21，得 n(1,3,1)所以cos m, n | m n |10 | m || n |5又因为二面角E AF B 为钝角，所以二面角 E AF B 的余弦值为10 5（3）设DM DE BF(0,1,3)( 0,,3), ( 01)则AM ADDM(3,1,0)(0,,3)(3,1,3)所以 | cos AM ,n| AM n |23230 |5 4 215| AM || n |24化简得8 24103所以 DM3 12.18. 解：（ 1） S n a (S n a n1), n 2时， S n -1 a (S n -1 a n -11)a n a( S n S n 1 ) aa n aa n 1,a n aa n 1 ,a n=a 且 a 0,a1an 1数列 { a n } 是以 a 为首项， a 为公比的等比数列a na n（ 2）由 b aS 得， b =2annn1b 2 =2a 2 +a b 3 =2 a 3 +a 2 +a 因为数列为等比数列，所以b 2=bb，（2a2 232+a)b n 3+a ）=2a(2a +a211解得 a= .21 n 12n(3) 由（ 2）知 c n2c n1 n1n 1(2n1)(2n 1 1)(1)( 1)22c n112n1 2n+11所以 T n = 1-11 - 11 -121 +1 22 +1 22 +1 23 +12n+1 2n +1+11 - 1 < 1，3 2n+1 +1 3所以122 ，33解得1 或-1 .319.解： (1) 由 F 1 A=2F 2 B, 得EF 2 F 2B1EF 1FA 1，2a2c1从而ca22cc整理，得 a23c2，故离心率e c3a3(2) 解法一：(i)由（I ）得b2a2c22c2，所以椭圆的方程可写2x23y26c2设直线 AB的方程为y k x a2，即 y k( x 3c) .由已知设A( x1, y1), B( x2, y2)，则它们的坐标满足方cy k (x3c)程组2x2 3 y26c2消去 y 整理，得(2 3k2) x218k2cx 27k2c26c20 . 依题意，48c2 (13k 2 ) 0，得3k333而x1 x218k2c①23k227k 2c26c2②由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以x1 x2 3k22x1 3c 2x2③联立①③解得x19k 2c2c， x29k 2c2c23k223k2将x1 , x2代入②中，解得k2. 3解法二：设A(x0 , y0 ), 利用中点坐标公式求出x0a2y0，带入椭圆方程c（,)B22x0a2y0x0 =0c22222（）（）6c消去 y 0，解得解出 k2232y 03226c22c2x03y 0( 依照解法一酌情给分)3c(ii) 由(i)可知 x 10, x 22当 k2时，得 A(0, 2c) ，由已知得 C (0,2c) .3线段 AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y2 c 2 x c 22 2cc 2c2直线 l 与 x 轴的交点,0 是 AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为2.xyc2 122直线 F 2 B 的方程为 y2( x c) ，于是点 H （ m ，n ）的坐标满足方程组c 29c2mn 224 ，n2( m c)m 5 c由 m 0, 解得 3 2 故 n 2 2n 2 c m 5320. (1) 由题意得 g ' xlnx 1，令 g ' x0 ，解得 x1，e当 x0,1时，g ' x >0 ，函数 g (x) 单调递增；e当 x1 , 时， g 'x <0 ，函数 g( x) 单调递减 .e所以当 x1时， g (x) 取得极大值，也是最大值，e所以 g 11 b1，解得 b 0 .ee e（ 2） f (x) 的定义域为 (0,) .f ' ( x) x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)xxx① a 1 1即 a2 , 则 f '(x)(x 1)2 ，故 f ( x) 在 (0,) 单调增x当 x (0, a1)及 x(1,) 时，f'( x)0故 f ( x) 在 (a1,1)单调递减，在 (0, a 1),(1,) 单调递增。

2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．33．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=16．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．2017年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A． B．1 C．D．3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．3．（5分）阅读上面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，输出N=2，故选C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log25.1），b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，即可求得b＜a＜c【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0，∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，∴a=g（﹣log25.1）=g（log25.1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20.8＜2，由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25.1）＜g（3），∴b＜a＜c，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x ﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【解答】解：===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系．【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：① 、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．三.解答题：本大题共6小题，共80分．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．（Ⅰ）求b和sinA的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b=．由正弦定理，得sinA=．∴b=，sinA=；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）==．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=，P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，P（X=3）=××=；所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）=×+×=；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE 所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E （0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞=．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x=，故D（，0）．∴|AD|=1﹣=．又∵△APD的面积为，∴×=，整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0，2]时，通过h（x）的零点．转化推出|﹣x0|=≥=．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．【解】（Ⅰ）由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．。

2017年天津市十二所重点中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则N∩∁R M＝（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z＝2x+4y的最小值是（）A．6B．﹣2C．4D．﹣63．（5分）阅读如图程序框图，当输入x的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（）A．5B．11C．23D．474．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”；③若，则￢p是q的充分不必要条件．A．0B．1C．2D．35．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5＝90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6B．8C．9D．106．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sin A＝2 sin B，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，若对于任意x∈R，f（log2a）≤f（x2﹣2x+2）恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．C．（0，2]D．[2，+∞）8．（5分）已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）＝f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|＝f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）i为虚数单位，则复数的模为．10．（5分）向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．13．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|＝2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．14．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝2．在等腰直角三角形CDE中，∠C＝90°，点M，N分别为线段BC，CE上的动点，若，则的取值范围是．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列及数学期望EX．17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．18．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．19．（14分）已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于A、B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线AC交y轴于点D（Ⅰ）当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b＝，2|AB|＝|AC|时，求k的取值范围．20．（14分）设函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间（Ⅱ）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2（i）求满足条件的最小正整数a的值（ii）求证：F′（）＞02017年天津市十二所重点中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合M＝{x|x2＞4}，N＝{x|1＜x＜3}，则N∩∁R M＝（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【解答】解：∵集合M＝{x|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，N＝{x|1＜x＜3}，∴∁R M＝{x|﹣2≤x≤2}，N∩∁R M＝{x|1＜x≤2}．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足线性约束条件则目标函数z＝2x+4y的最小值是（）A．6B．﹣2C．4D．﹣6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣3），化目标函数z＝2x+4y为y＝x+，由图可知，当直线y＝x+过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6﹣12＝﹣6，故选：D．3．（5分）阅读如图程序框图，当输入x的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（）A．5B．11C．23D．47【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝2，n＝1满足条件n≤3，执行循环体，x＝5，n＝2满足条件n≤3，执行循环体，x＝11，n＝3满足条件n≤3，执行循环体，x＝23，n＝4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为23．故选：C．4．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”；③若，则￢p是q的充分不必要条件．A．0B．1C．2D．3【解答】解：①若p∧q是假命题，则p，q中至少一个是假命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“”，故②正确；③若x＞1＞0，则，反之，若，则x＜0或x＞1．又p：x≤1，q：，∴￢p是q的充分不必要条件，故③正确．∴正确命题的个数是2个．故选：C．5．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5＝90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5＝2a3＝90，∴a3＝45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴＝45，∴m＝10，故选：D．6．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若sin A＝2 sin B，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，△ABC中，若sin A＝2sin B，则有a＝2b，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝5b2﹣4b2cos＝16，解可得b＝，则a＝2b＝，＝ab sin C＝，则S△ABC故选：A．7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，若对于任意x∈R，f（log2a）≤f（x2﹣2x+2）恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：由题意f（log2a）≤f（1），则f（|log2a|）≤f（1），∵在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴|log2a|≤1，即﹣1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选：B．8．（5分）已知函数其中m＜﹣1，对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）＝f（x1），且x1≠x2，若|f（x）|＝f（m）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣2，﹣1）【解答】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意x1∈R且x1≠0，均存在唯一实数x2，使得f（x2）＝f（x1），∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，b＝m．∵|f（x）|＝f（m）有4个不相等的实数根，∴0＜f（m）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0＜am+b＜﹣m，即0＜（a+1）m＜﹣m，∴﹣2＜a＜﹣1．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）i为虚数单位，则复数的模为．【解答】解：＝＝1﹣i，故1﹣i的模是：＝，故答案为：．10．（5分）向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为．【解答】解：根据积分的几何意义可知区域E的面积S＝＝＝，区域D的面积为S1＝2×2＝4，∴根据几何概型的概率公式可知所求概率P＝＝，故答案为．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为：x﹣y+4＝0．圆C的极坐标方程为，即ρ2＝2ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x+2y．配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．∴圆心（1，1）到直线的距离d＝＝2则圆上的点到直线l的最大距离为d+r＝3．故答案为：．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【解答】解：由题意，直观图是三棱柱与三棱锥的组合体，体积为+＝．故答案为：．13．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|＝2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．【解答】解：如图所示，M是AC的中点，则x+＝p，∴x＝p，∴AB＝p，∴CD＝MB＝p，∵三角形CDF的面积为，∴，∴，故答案为：．14．（5分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝2．在等腰直角三角形CDE中，∠C＝90°，点M，N分别为线段BC，CE上的动点，若，则的取值范围是[，﹣1]．【解答】解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，2），直线BC的方程为y＝2﹣x，设M（m，2﹣m），N（1，n），（1≤m，n≤2），由，可得m+n（2﹣m）＝，即有n＝∈[1，2]，解得1≤m≤，则＝（﹣m，m﹣1）•（1，n﹣1）＝﹣m+（m﹣1）（n﹣1）＝﹣m+•，可令t＝2﹣m（≤t≤1），则＝t﹣2+•＝t+﹣≥2﹣＝，当且仅当t＝，即t＝∈[，1]，m＝2﹣时，取得最小值，由t＝1可得1+﹣＝﹣1；t＝时，+1﹣＝﹣1．可得最大值为﹣1．则的取值范围是[，﹣1]．故答案为：[，﹣1]．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）＝，由得f（x）的定义域为{x|x≠2π+4kπ（k∈Z）}故f（x）的最小正周期为，（Ⅱ）∵﹣π≤x≤0，∴，∴，∴，∴，∴，∴16．（13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为．现有10件产品，其中6是一等品，4件是二等品．（Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；（Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为．…（5分）（Ⅱ）由题可知X可能取值为0，1，2，3．…（6分）P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，．…（10分）则随机变量X的分布列为…（11分）…（13分）17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ∥AF∥BE，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，…（2分）所以PE∥BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，则PE∥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平面ABEF…（4分）作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则…（5分）于是，设平面DEF的法向量，则令x＝1，则…（6分）平面AEF的法向量…（7分）所以…（8分）又因为二面角D﹣EF﹣A为锐角，所以其余弦值为．…（9分）（Ⅲ），则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是…（11分）于是，．…（13分）18．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1+a3＝20，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，S n是数列{b n}的前n项和，对任意正整数n不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，a1+a3＝20，a2＝8．则，…（1分）∴2q2﹣5q+2＝0…（2分）∵公比q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．…（5分）（Ⅱ）解：∴S n＝∴…（7分）∴S n＝＝…（9分）∴对任意正整数n恒成立，设，易知f（n）单调递增．…（10分）n为奇数时，f（n）的最小值为，∴得，…（11分）n为偶数时，f（n）的最小值为，∴，…（12分）综上，，即实数a的取值范围是．…（13分）19．（14分）已知椭圆E：+＝1的焦点在x轴上，椭圆E的左顶点为A，斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于A、B两点，点C在椭圆E上，AB⊥AC，直线AC交y轴于点D（Ⅰ）当点B为椭圆的上顶点，△ABD的面积为2ab时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b＝，2|AB|＝|AC|时，求k的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线AB的方程为直线AC的方程为，令x＝0，…（2分）…（3分）于是a2+b2＝4b2，…（5分）（Ⅱ）直线AB的方程为y＝k（x+a），联立并整理得，（3+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣3a2＝0解得x＝﹣a或，…（7分）…（8分）…（9分）因为2|AB|＝|AC|，整理得，．…（11分）因为椭圆E的焦点在x轴，所以a2＞3，即，…（13分）整理得，解得．…（14分）20．（14分）设函数f（x）＝x2﹣alnx，g（x）＝（a﹣2）x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间（Ⅱ）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2（i）求满足条件的最小正整数a的值（ii）求证：F′（）＞0【解答】解：（Ⅰ）．…（1分）当a≤0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），此时f（x）无单调减区间．…（2分）当a＞0时，由f'（x）＞0，得，f'（x）＜0，得，所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．…（3分）（Ⅱ）（i）．因为函数F（x）有两个零点，所以a＞0，此时函数f（x）在单调递增，在单调递减．…（4分）所以F（x）的最小值，即．…（5分）因为a＞0，所以．令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，且，所以存在a0∈（2，3），h（a0）＝0．…（6分）当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0，所以满足条件的最小正整数a＝3．…（7分）又当a＝3时，F（3）＝3（2﹣ln3）＞0，F（1）＝0，所以a＝3时，f（x）有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．…（8分）（ii）证明：不妨设0＜x1＜x2，于是，即，．所以．…（10分）因为，当时，F'（x）＜0，当时，F'（x）＞0，故只要证＞即可，即证明，…（11分）即证，也就是证．…（12分）设．令，则．因为t＞0，所以m'（t）≥0，…（13分）当且仅当t＝1时，m'（t）＝0，所以m（t）在（0，+∞）上是增函数．又m（1）＝0，所以当m∈（0，1），m（t）＜0总成立，所以原题得证．…（14分）。

2017天津市高考压轴卷理科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1. 已知集合2{|1}M x x=＜，{|1}N y y x ==-，则()R C M N =（ ）A.(0,2]B.[0,2]C.∅D.[1,2]2. 函数错误！未找到引用源。

()()1ln 52x f x e x =-- ）A ．错误！未找到引用源。

[0，+∞)B ．错误！未找到引用源。

(-∞，2] C.错误！未找到引用源。

[0，2] D ．错误！未找到引用源。

[0，2)3. 平行四边形中，，点在边上，则的最大值为A. B. C. D.4. 某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．5. （x 3+x ）3（﹣7+）的展开式x 3中的系数为（ ）A ．3B ．﹣4C ．4D ．﹣76. 已知椭圆+=1（m ＞0）与双曲线=1（n ＞0）有相同的焦点，则m+n 的最大值是（ ）A ．3B ．6C ．18D ．367. 已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且n n a 32n S +=，则1n n a a -的最大值为（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．18. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （a ，b ，c ，*d N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ） A ．227 B ．6320 C ．7825D ．10935 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.若复数z 满足（1﹣i ）z=1﹣5i ，则复数z 的虚部为 ．10. 阅读程序框图，如果输出的函数值y 在区间内，则输入的实数x 的取值范围是 ．11设变量x 、y 满足约束条件：则z ＝x 2＋y 2的最大值是__ __．12在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则点F 到双曲线x 2﹣=1的渐近线的距离为 ．13. 在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s=+⎧⎨=-⎩，(s 为参数)，曲线C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____． 14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___。

2018年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一） 数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共180分.考试时间180分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合N M x N x y y M x 则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于 （ ）A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,02. 已知y ,x 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( ) A.－6 B.5 C.38 D.－183. 二项式612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中的常数项是( )A ．18B ．60C ．180D ．240 4. 对于实数a 和b ，定义运算b a *，运算原理如右图所示，则式子2221e ln *-⎪⎭⎫ ⎝⎛的值为（ ）A ．8B ．18C ．18D ．235. 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===，则⎪⎭⎫⎝⎛π-4A tan 的值为（ ） A ．31B ．43C ．31- D ．36. 线段AB 是圆10221=+y x C ：的一条直径，离心率为5的双曲线2C 以,A B 为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PB PA +的值为（ ）A. 152C.7. 已知实数n ,m ，若100=+≥≥n m ,n ,m 且，则1222+++n n m m的最小值为( )A. 41 B.154C.81D. 318. 函数[]11,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数()ln(1)y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()kf x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值；④()()()N k ,k x f x f k ∈+⋅=22，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷 非选择题 (共180分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.设i 是虚数单位,复数ii21+= ． 18. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为 .18. 直线()为参数m m y mx ⎩⎨⎧=λ+=1被抛物线()为参数t t x ty ⎪⎩⎪⎨⎧==241 所截得的弦长为4，则=λ.18.在ABC ∆中，060=∠A ,A ∠的平分线交BC 于D ,若3=AB ，且)R (∈μμ+=31,则AD的长18. 如图所示,已知PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点P 的割线交圆于C B 、两点,弦APCD //,BC AD 、相交于点E ,F 为CE 上一点,且EDF P ∠=∠,若2:3:=BE CE ,2,3==EF DE ,则PA =___________.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分18分）已知函数()2132++=x cos x cos x sin x f . (Ⅰ)求()x f 的最小正周期，并求出当[,]62x ππ∈时，函数)(x f 的值域；(Ⅱ)当[,]62x ππ∈时，若8()5=f x , 求()12f x π-的值.18．（本小题满分18分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取18人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：(Ⅰ)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(Ⅱ)现从这18人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率； (Ⅲ)现从这18人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X 个组，求X 的分布列及数学期望.18．（本小题满分18分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且EF AB ∥，BE CD ∥，2AB BE ==，1BCCD EF ===. （Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：ADF 平面∥CG ； （Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求锐二面角A DF B --的余弦值. 18．（本小题满分18分）设()xx f +=121，若()()[]()(),f f a ,x f f x f n n n n n 201011+-==+其中*N n ∈．（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：{}n a 为等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）若.n n nn Q ,na a a a T n n n 9363642322223212+++=+++= 其中*N n ∈，试比较n 2T 与n Q 的大小，并说明理由．19．（本小题满分18分）已知椭圆12222=+by a x :C (0>>b a )的离心率为22，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为28. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）四边形BCD A 的顶点在椭圆C 上，且对角线BD AC ,均过坐标原点O ，若21-=⋅BD AC k k . (i) 求⋅的范围；(ii) 求四边形BCD A 的面积.20．（本小题满分18分）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.2018年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．i 5152+；18．π2 ； 18．0； 18 18．4315； 18．()+∞,1 三、解答题 18.解：（1）1cos 21()sin 222212cos 212sin(2)16+=++=++=++x f x x x x x ππ=π=22T ………4分由26ππ≤≤x ，得67622πππ≤+≤x ………5分 1)62sin(21≤+≤-∴πx ………6分26ππ≤≤∴x 时，函数)(x f 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦………7分 ...........2分 ...........3分(2)83()sin(2)1,sin(2)6565=++=+=f x x x ππ则67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得； 所以4cos(2),65x π+=- (9)分1212+=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-x sin x f………18分=1662+⎪⎭⎫⎝⎛π-π+x sin ………18分=571033+………18分18.解：(Ⅰ)候车时间少于10分钟的人数为 3610510160=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯人； ………3分(Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A ”()1211131035=-=C C A P…………7分(Ⅲ)X 的可能值为1，2，3()1201113103335=+==C C C X P ()1207122310152313252325=++⨯+==C C C C C )C C (X P ()120382331013151513=++⨯==C C C C C X P …………18分所以X 的分布列为...........8分…………18分408912026712038371211==⨯+⨯+=EX…………18分18．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =.∵AH HF =∴ 12GHMF ……………………………………………1分 又∵1,2CD BE BE MF∴CD GH∴四边形CDHG 是平行四边形 ∴CGDH……………………………………………………2分又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面∴CG 平面ADF (4)分（Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系O xyz-.则(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=- ……………………………………6分设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有2020n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，化简，得32x y z y =⎧⎨=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n = ……………8分设直线DE 与平面ADF 所成的角为θ，则有7sin n DE n DEθ⋅==⋅. ………………………9分 所以直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值为77. (Ⅲ)由已知平面ADF 的法向量1n (3,1,2),BF (0,2,1)== 设平面BDF 的一个法向量2n (x,y,z),BD (1,1,0)==22n BF 02y z 0x y 0n BD 0⎧=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+==⎩⎪⎩z 2y,x y ∴=-=-令y 1,=-则2n (1,1,2)=-……………………………………………………18分设锐二面角B DF A --的平面角为θ则121212n n cos |cos n ,n |||7|n ||n |146θ=<>===………………………18分所以锐二面角B DF A --的余弦值为7………………………18分18.解：(Ⅰ).)(f )(f a ,)(f 412010201111=+-==…2分（Ⅱ）)(f )](f [f )(f n n n 0120011+==+.a )(f )(f )(f )(f )(f )(f a n n n n n n n n 21201021024012010111-=+-⋅-=+-=+-=+++...3分∴}a {n 是首项为41，公比为21-的等比数列． …4分∴}a {n 的通项公式是.*N n .)21(41a 1n n ∈-⋅=- (5)分（Ⅲ）,na a )n (a a a T n n n 212321221232+-++++=-.na a )n (a a T n n n 2232212221--+++=- …6分两式相减得.na a a a a T n n n 22321223+++++=∴122221412112114123--⋅⋅++--=n n n )(n ])([T1222142116161--⋅+--=n n )(n )( …7分∴).n (T nn 22213191+-= …8分,)n ()n (n Q n 212914++=]21)1n 2(1[91n 3291n 3)1n 2(91n 3Q T n 22n 22n n2-++=⋅+-+⋅+=-.)1n 2(2)1n 2(291n 32n 22n 2++-⋅+= …9分.*N n ∈ ∴只要比较n 22与212)n (+大小．当n ＝１时，.05)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 12< …18分 当n ＝2时，.07)1n 2(22n 2<-=+-即.Q T 24< …18分 当，3n 时≥.)1n 2()n n 1(]2)1n (n n 1[)C C C (])11[(22222n n 1n 0n 2n n 2+=++≥-++>+++=+< n n 2Q T >∴故n ＝1或2时，3n ,Q T n n 2≥<时，n n 2Q T >．（结论不写不扣分） …18分19.解：（I ）由已知，22228222122a b c ,b a ,ac=+=⋅⋅=…………2分于是8222===a ,b ,c …………3分所以椭圆的方程为14822=+y x (4)分（II ）当直线AB 的斜率不存在时，2OA OB ⋅=，所以⋅的最大值为2. ……5分当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，设),(),,(2211y x B y x A联立⎩⎨⎧=++=8222y x m kx y ，得0824)21(222=-+++m kmx x k …………6分()2222244(12)(28)8840km k m k m ∆=-+-=-+>（）…………7分⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+22212212182214k m x x k km x x ∵21-=⋅=⋅BDAC oB oA k k k k 212121-=∴x x y y 2222212121421822121k m k m x x y y +--=+-⋅⋅-=-=∴…………8分2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++==222222142182m kkm km k m k ++-++-222812m k k -=+ 22222218214kk m k m +-=+--∴2228)4(k m m -=--∴ 2242k m ∴+= …………9分 2121y y x x OB OA +=⋅2222222222844424421212121212m m m k k k k k k---+-=-===-+++++……18分2242OA OB ∴-=-≤⋅<因此，[]22,-∈⋅ …………18分 另解：设直线AB 方程：kx y =，CD 方程：x ky 21-=分别求出B 、A 的坐标 (2)分情况讨论， k >0时，分析B 、A 所在的象限，求范围 (3)同理0<k 时 …………占1分 结论 …………占1分 (ii)设原点到直线AB 的距离为d ，则22442)4(16642||218242142||4)(2||1||||121||212222222222212212122=+-=--=+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+=+⋅-⋅+=⋅=∆m k mm m k m k m k km m x x x x m k m x x k d AB S AOB 18分284==∴∆AO B ABCD S S 四边形.…………18分20. 解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =， …………………2分 ∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………3分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>， ∴ln u x x=在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ……………6分②当122t u e -=≥即122et -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- …………7分 ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- ……………8分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ……………………………………9分∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………18分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………18分②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符 ………………18分③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥， 得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符. ……………………18分 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………18分。