最新怀化学院省级精品课程高等代数教案第二章行列式教学内容

高等代数课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握高等代数的基本概念、理论和方法，培养学生的高等代数思维和解决问题的能力。

具体来说，知识目标包括了解高等代数的基本概念，如向量空间、线性变换、特征值和特征向量等；理解高等代数的基本理论，如线性方程组的解法、矩阵的运算和性质等；掌握高等代数的基本方法，如求解特征值和特征向量、构造线性变换等。

技能目标包括培养学生运用高等代数知识和方法解决实际问题的能力，如求解线性方程组、判断矩阵的性质等；培养学生进行数学推理和证明的能力，如证明线性变换的性质、推导特征值的计算公式等。

情感态度价值观目标包括培养学生对数学的兴趣和热情，提高学生对数学美的感受和欣赏能力；培养学生严谨的科学态度和良好的学习习惯，使学生认识到数学在科学技术和实际生活中的重要性。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括向量空间、线性变换、特征值和特征向量等基本概念、理论和方法。

首先，介绍向量空间的基本概念和性质，如向量的加法和数乘、向量空间的子空间等；其次，介绍线性变换的基本概念和性质，如线性变换的定义、矩阵与线性变换的关系等；接着，介绍特征值和特征向量的基本概念和性质，如特征值和特征向量的定义、求解方法等；最后，通过实例分析，展示如何运用向量空间、线性变换和特征值特征向量等知识和方法解决实际问题。

三、教学方法为了提高本节课的教学效果，将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。

首先，采用讲授法，系统地讲解向量空间、线性变换、特征值和特征向量等基本概念、理论和方法；其次，采用讨论法，引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力；接着，采用案例分析法，通过分析实际问题，让学生学会运用向量空间、线性变换和特征值特征向量等知识和方法解决实际问题；最后，采用实验法，让学生动手实践，加深对向量空间、线性变换和特征值特征向量等知识和方法的理解和应用。

四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将选择和准备适当的教学资源。

《高等代数》课程教学大纲授课学时：总学分：作者：课程类型：专业必修课适用专业：数学与应用数学专业本科一、课程性质、地位和任务高等代数是数学系各专业开设的一门基础课，它不仅是应用学科的重要工具课，而且在抽象代数理论中也是一门很重要的理论基础课，特别是随着当今电子科技的发展，更加显示出高等代数的作用。

二、课程主要内容概述及教学基本要求本课程分以一元多项式为主体的多项式理论和线性代数两部分。

线性代数部分涉及行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里得空间。

通过对这门课的学习，使学生不仅能掌握一些处理问题的基本方法，而且能使他们对于高等代数的基础理论有一个深刻的了解，从而为进一步学习专业课打下良好的基础。

培养学生的独立思维能力和解决实际问题的能力。

三、课程内容第一章多项式基本要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法、辗转相除法、因式分解定理、复系数与实系数多项式的因式分解定理及有理系数多项式的有关结论。

教学重点：多项式的整除性理论和有理系数多项式，分解定理及复数域，实数域上分解形式。

有理根检验，Eisenstein判别法之使用，有理多项式分解归纳为整系数多项式分解。

教学难点：辗转相除法和有理系数多项式为。

分解定理及复数域，实数域上分解形式。

第二章行列式基本要求：通过本章的学习，使学生深刻理解行列式定义及性质并能用其计算简单行列式熟练掌握行列式的性质、按行（列）展开定理并在计算行列式时有思路。

会运用Cramer法则求线性方程组的解。

教学重点：行列式的定义、行列式按行（列）展开公式、Vandermonde行列式和Cramer法则教学难点：行列式的计算第三章线性方程组基本要求：通过教学使学生掌握n维向量的线性关系、矩阵的秩、线性方程组解的判定及求法。

教学重点：n维向量的线性相关性、向量组秩的概念及求秩方法、线性方程组有解的判别定理及解的结构。

教学难点：线性相关性理论和线性方程组解的理论。

《高等代数2》课程教学大纲课程名称高等代数2课程编码131500005 课程类型学科基础课程库适用范围院级课程学分数 4 先修课程高等代数1学时数64 其中实验学时其中实践学时考核方式考试制定单位数学与信息科学学院执笔者审核者一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务高等代数是数学专业本科学生的三门主要基础课程之一，本课程《高等代数II》是它的第二部分。

它不仅是代数学的基础，也是其它数学课程必要的前提。

该课程是为大学一年级的学生开设的，总课时64学时，开设时间为第二学期。

通过本课程的教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法。

本课程的任务是使学生系统地掌握基本的、系统的代数知识和抽象的严格的代数方法，为后继课程如近世代数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析、计算方法等提供必须具备的代数知识，也为进一步学习数学与应用数学专业的各门课程所需要的抽象思维能力提供一定的训练。

（二）课程教学的目的和要求通过本课程的学习，使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论与基本方法，熟悉代数的语言、工具、方法，具有一定理解问题、分析问题、解决问题的能力。

为今后的学习打下扎实的基础。

１．熟练掌握：矩阵的行（列）初等变换，矩阵的秩，初等矩阵的性质，可逆矩阵，向量空间的基、维数，线性相关与线性无关，齐次线性方程组的基础解系，线性变换，矩阵特征值、特征向量的概念与求法，内积的定义，正交变换与正交矩阵。

２．掌握：矩阵的乘法，矩阵的行列式，子空间的交与和，坐标，过渡矩阵，线性方程组的特解与通解，线性变换的运算及其形成的向量空间，线性变换的向量空间与矩阵的向量空间的同构，矩阵的相似，几类向量空间的内积，Cauchy不等式，正交基与正交化，三维空间中的几种正交变换，正交变换与正交矩阵的关系，３．理解：分块矩阵的方法，矩阵乘积的秩，向量空间的定义，矩阵的相似的意义，特征多项式的性质，可对角化的矩阵的判定及其意义，内积的作用，正交、对称变换的意义。

第三章 行列式综述解方程是代数中的基本问题,在高等代数中主要研究线性方程组.线性方程组是线性代数研究对象的具体模型,而行列式是研究线性方程组的一个有力工具,利用它在某种条件下可得到类似于一元二次方程求解公式那样：用方程组的系数的某种关系来表达有解的条件、解的个数和求解公式.历史上正是为了解决通过方程组的系数来表达方程组求解的有关问题而引进行列式作为工具的,并且行列式在其它领域也经常用到.本章给出行列式的定义、性质、计算及应用.行列式是Leibnitz 于1693年（日本人关孝和更早）提出的概念；定义方法有多种,主要有归纳定义、用n 次置换来定义、引入排列用排列的奇偶性来定义、还有用公理化方法来定义（用多重线性函数的概念来定义）,本书用第三种方法,为此须引入关于排列的有关概念.由定义行列式实质上是一个数,要弄清构成此数的特征（三个且与行列式符号形式下,行、列、元素有关等）；由定义行列式的计算是一个复杂的问题,行列式的性质不仅有助于理解行列式的概念,同时从中可得出行列式计算的四种允许变换,以此总结出行列式计算的一些基本方法及常用技巧,这是本章的重点内容；然后作为行列式计算的另一种简化思想——降阶,介绍了依行（列）展开公式；最后介绍了行列式的应用（Cramer 法则）. 目的和要求掌握n 阶行列式的概念、性质,会运用行列式的性质降阶和三角化熟练地计算数字行列式,并初步掌握字母行列式的计算方法；掌握Cramer 法则解线行方程组；*掌握行列式性质与计算的推广——Laplace定理.3.1线性方程组与行列式一教学思考本节主要是讨论线性方程组（含n 个未知量n 个方程）的用系数间的关系表达有无解及有解时解的形式问题,需引入行列式,进而可以讨论分析二、三阶行列式的构成规律,为定义n 解行列式埋下伏笔,同时引入下节关于排列的问题（为确定项的符号）. 二教学过程线性方程组——一次方程组叫线性方程组.一般形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111（1） n x x x ,,,21 叫未知量,),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==叫未知量的系数,m b b b ,,,21 叫常数项.方程组的解指的是一组数（n k k k ,,,21 ）,用其依次代替（1）中的未知量n x x x ,,,21 后,（1）的每个方程都成为恒等式.线性方程组的问题是：1）是否有解；2）有解时解的个数及解法；3）有无穷解时解间关系（结构）. 注：本章讨论较特殊的线性方程组——未知数的个数与方程个数相等的情形.为此须将二、三阶行列式的概念进行推广,引入n 阶行列式这一工具.先看给定线性方程组：⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （2）若022211211≠a a a a ,则（2）有（唯一）解：222112112221211a a a a a b a b x =,222112112211112a a a a b a b a x =. 其中2112221122211211a a a a a a a a -=.（此结果可由消元法具体求解一下.）同样对于⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （3）当0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D 时,（3）有（唯一）解： Da ab a a b a a b x 3332323222131211=,Da b a a b a a b a x 3333123221131112=,Db a a b a a b a a x 3323122*********=.结论：引入了二、三阶行列式后,不但解决了一类线性方程组的求解问题,而且解的形式也是类似的（可用方程的系数表示出来）.下面为解决含n 个未知量n 个方程的线性方程组的求解问题,需将二、三阶行列式的概念合理地推广至n 阶,这需要用到排列的有关问题.3.2排列一教学思考作为推广行列式概念的准备工作,本节主要介绍排列的概念,反序、反序数及奇偶排列的有关概念和性质；其中有关概念不难理解,重要的是其中“对换改变排列的奇偶性”的证明是一典型的化归思想（由特殊到一般）的运用；一些基本方法如计算反序数的思路与方法应掌握. 二教学过程1． 基本概念（1）排列：定义1由n 个数码1,2,…,n 组成的一个有序数组,称为一个n 元排列,简称排列. （2）反序、反序数：定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序（逆序）,（否则构成顺序）.在一个排列里出现的反序总数叫做这个排列的反序数,用)(21n a a a π表示排列n a a a 21的反序数.（3）奇、偶排列：定义3有偶数个反序的排列叫偶排列（即反序数为偶数）；有奇数个反序的排列叫奇排列（即反序数为奇数）.（4）对换：定义4把一个排列里任意两个数码i 和j 互换位置,而其余数码不动,就得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,用（i,j ）表示.2． 对换及排列的性质（1）Th3.2.1设n i i i 21和n j j j 21是n 个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由n i i i 21得出n j j j 21.引理1对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.（显然） 引理2任意n 元排列n i i i 21可经过一系列对换变为自然排列12…n . 引理3自然排列n 12可经一系列对换变为任意一个n 元排列n j j j 21.事实上,由引理2任意一个n 元排列n j j j 21可经一系列对换变为自然排列n 12,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.Th3.2.2每一对换都改变排列的奇偶性.Th3.2.32≥n 时,n 个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为2!n 个. 3.3 n 阶行列式一教学思考1．本节首先在分析二、三阶行列式的构成规律及上节排列的基础上,将行列式的概念推广到n 阶；而从定义知行列式表示一个数且由定义不易求得,为了进一步研究行列式和简化计算,讨论了行列式的性质,这是本节的重点又是难点.2．为清楚地知道如何推广行列式的概念,须认真分析二阶、三阶行列式的构成规律：项数、项的构成、项的符号；其中项的构成是重要的,其不仅指出了何为一项,同时也决定了项数,至于项的符号是在特定的要求形式下（行标为自然排列）（由列标排列的奇偶性）决定的,其间不能忽视这些与行列式符号形式中三个术语——行、列、元素有关,因此要讲清概念应建立在形式符号意识下认清其实质（是一个数）,然后示例说明.3．为了充分认识行列式及计算行列式,讨论了行列式的（五个,不含推论）性质；这首先须证明项的形式的一般结论,这主要从项的构成及一般形式与（定义）特殊形式间的关系（交换因子）而得；在此基础上由定义容易证明性质（主要在于讨论项的关系）,这些性质证明不难,可能较繁,共同点是讨论项的关系.这些性质的重要性在于,由此可以得到行列式的允许变换（换法、倍法、消法、转置、分行（列）相加）；这是计算行列式的基础,也是线性代数处理问题的重要思想（允许变换下化为标准形（化简））,在此要认真示例性质的应用,特别是由此体现的计算行列式的一个基本方法——化三角形法（其它方法及思路后逐步总结示范）. 一内容、要求1．内容：n 阶行列式的定义和性质.2．要求：掌握定义和性质,会用性质简化行列式的计算,这是本章的重点和难点. 二教学过程引言三阶行列式的构成规律：322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=322311332112312213a a a a a a a a a ---其中：符号333231232221131211a a a a a a a a a 是由23个元素ij a 构成的三行、三列方表,横排叫行,纵排叫列；在上述形式下元素ij a 的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标（二者表明了该元素所在的位置）.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积； 2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成321321j j j a a a 时,即行标为自然排列时,该项的符号为)(321)1(j j j π-,即由列标排列321j j j 的奇偶性决定.定义用符号nnn n nna a a a a a a a a 212222111211表示的n 阶行列式,指的是n ！项的代数和,这些项是一切取自不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积,一般项可以写成n nj j j a a a 2121,此时其符号为)(21)1(n j j j π-.例1给出一些形式或乘积,判断是否为行列式或为行列式的一项（题略）. 例2计算下列行列式（1）nnn na a a a a a00022211211（2）000001n （3）hg f e dc b a0000000引理3.3.1从n 阶行列式nij a D =的第n i i i ,,,21 行和第n j j j ,,,21 列取出元素n n j i j i j i a a a ,,,2211 作积nn j i j i j i a a a 2211（其中n i i i 21,n j j j 21是两个n 元排列）,则其为行列式的一项,此项在行列式中的符号为：)()(2121)1(n n j j j i i i ππ+-.性质作为理论问题而言,一个新的概念须深入讨论其性质,这有助于进一步理解概念；下述行列式的性质还在于从中可得到计算行列式的一些思想方法.所以性质都是由定义推得,证明中只须由定义分析三个方面（项的构成、项数、符号）关系即可.其中注意表述形式及含义（形式讲的是由行列式D 变形得新行列式1D ,结论讲二者关系）,重要的是从中抽得出行列式的允许变换及将性质进行分类记忆.定义行列式的转置：将行列式D 的行变为列、列变为行所得行列式称为D 的转置；记为D '. 性质1D '=D性质2设in i jn j j i jnj j in i i a a a a D a a a a a a D 111),(2121=−−→−=则D D -=1.性质3设in i i k in i ka ka D a a D 11)(1=−→−=, 则kD D =1.推论2行列式D 的某行所有元素的公因子可提出来. 推论3若行列式D 的某行元素全为0,则0=D . 推论4若行列式D 的某两行元素对应成比例,则0=D .性质4若in in i i c b c b D ++=11,则 in i b b D 1=+in i c c 1.性质5设−−−→−=+)()(2121j i kjnj j ini i a a a a a a Djnin j i j i in i i a ka a ka a ka a a a D +++=2211211,则D D =1.例子计算：1、333222111321321321a a a a a a a a a D +++++++++=；2、0111101111011110=n D ；3、xxx x x x f 111123111212)(-=不展开,直接求34,x x 的系数.3.4子式、代数余子式,行列式的依行依列展开一教学思考1．本节在分析三阶行列式可用（三个）二阶行列式表示的特点上,引入了子式、余子式的概念,从而可将此结论一般化.内容紧凑,其在应用上（将较高阶的行列式化为较低阶的处理）及理论上（推广形式拉普拉斯定理）都很重要.2．教材以三个定理叙述最后结果,可简化为处理一个定理、一个推论,其好处在于证明过程中体现从特殊到一般,并且一般性的处理转化为特殊情形的化归模式,使学生进一步体会这种思想方法的运用. 3．其中需要强调的是概念中的子式、余子式、代数余子式中元素原有相对位置关系（不变）以及三者间的关系；依行依列展开的统一形式表述及含义；最后归纳此定理而得的行列式的第二种基本计算方法——降阶法. 二内容、要求子式、余子式、代数余子式、行列式的依行依列展开,掌握之. 三教学过程引例323122211333312321123332232211333231232221131211a a aa a a a aa a a a a a a a a a a a a a a +-=（转化过程可略,作出解释；有了下述概念后再叙述一下.）即三阶行列式可转化为（三个）二阶行列式进行计算,此结果具有一般性,为此下讨论之. 1．概念（1）k 阶子式：设nij a D =,在D 中取定某k 行k 列,位于这些行列相交处的元素构成的k 阶行列式,叫做D 的一个k 阶子式.（2）余子式：设nija D =)1(>n ,将元素ij a 所在的行、所在的列的元素划掉后余下的1-n 阶子式,叫做元素ij a 的余子式,记为ij M .（3）代数余子式：设nija D =)1(>n ,元素ij a 的余子式ij M 附以符号j i +-)1(后,叫做元素ij a 的代数余子式,记为ij A .即ij A =ji +-)1(ij M2．定理（书中以三个定理表述,实可归结为一个定理、一个推论,书中定理1是定理2的特例,这样处理重点体现化归思想的运用.）定理设nij a D =,则D 等于它的任意一行（列）的所有元素与各自对应的代数余子式的乘积的和.即⎩⎨⎧++++++=nj nj j j jj inin i i i i A a A a A a A a A a A a D 22112211),,2,1,(n j i =. 推论设nij a D =,则D 的某行（列）所有元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的和为0,即⎩⎨⎧=+++=+++0022112211nj ni j i j i jn in j i j i A a A a A a A a A a A a )(j i ≠例计算3351110243152113------=D .3.5克莱姆（Cramer ）法则一教学思考本节作为行列式的应用,完满地解决了含n 个未知量n 个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之. 二教学过程设给定一个含n 个未知量n 个方程的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********（1） 其系数构成的行列式nnn n in i i n a a a a a a a a a D212111211=叫做方程组（1）的(系数)行列式. TH3.5.1（Cramer 法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式0≠D 时有且仅有一个解:DD x D Dx D D x n n ===,,,2211 .其中j D 是把D 的第j 列的元素换以方程组的常数项n b b b ,,21 而得到的n 阶行列式.推论含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2） 当它的(系数)行列式0≠D 时仅有零解.（还将证明为充分条件）例解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+067452296385243214324214321x x x x x x x x x x x x x x .解：27,27,108,81,274321=-===D D D D D1,1,4,34321=-=-==x x x x .。

第二章 队列式§1 前言在中学代数中学过，关于二元线性方程组a 11x 1a 12x2b 1 a 21x 1a 22x2b 2当二级队列式a11a12a21a22时，该方程组有独一解，即b 1a 12a11b 1x 1b 2a22， x 2a21b2.a11a12a11a12a21a22a21a22关于三元线性方程组有近似的结论， 在这一章我们把这个结论推行到 n 元线性方程组a 11 x1a 12 x 2 ......a 1nxnb 1a 21x1a 22 x 2 ...... a 2n xn b 2 ..................................a n1x1a n2 x 2 ...... a nn xn b n的情况 . 为此，我们第一给出 n 级队列式的定义并议论它的性质 .§2 摆列一 讲课内容： § 2 摆列二 教课目标： 理解掌握摆列、逆序、逆序数的求法 . 三 教课重难点： 逆序数的求法 .四 教课过程；定义 1 由 1,2,......, n 构成的一个有序数组称为一个级摆列例 2431是一个 4 级摆列， 45321 是一个 5 级摆列明显， n 级摆列的总数是n(n 1)(n 2).......21 .我们记 1 2 (n 1)n n!读为“ n 阶乘”.定义 2 在一个摆列中，假如一对数的前后地点与大小次序相反，即前面的数大于后边的数，那么它们就称为一个逆序. 一个摆列中逆序的个数称为这个摆列的逆序数 .例 2431 中， 21，43， 41，31 是逆序， 2431 的逆序数是 4.45321 的逆序数为 9. 摆列j1j2...... j n的逆序数记为( j1j2...... j n )定义 3 逆序数为偶数的摆列称为偶摆列，逆序数为奇数的摆列称为奇摆列 .比如 2431 为偶摆列， 45321 为奇摆列 .定义把一个摆列中两个数的地点交换，而其他的数不动，就获得另一个摆列 . 这样的一个变换称为对调 .定理 1对调改变摆列的奇偶性.推论奇数次对调改变摆列的奇偶性，偶数次不改变摆列的奇偶性定理 2 随意一个n级摆列与摆列 12 n都能够经过一系列的对调互变，而且所做的对调的个数与这个摆列有相同的奇偶性 .§3 n 级队列式一讲课内容：§ 3 n 级队列式二教课目标：理解掌握队列式的定义与简单性质.三教课重难点：n级队列式的定义四教课过程；在给出 n 级队列式的定义以前，先看一下二级队列式与三级队列式的定义a11a 12a 11a22a 12a21a21 a22a 11 a 12 a 13 a 21a 22a 23a 11 a 22a 33a 12a 23a31a 13a 21a32a31a32a33a 13a 22a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32它们都是一些乘积的和， 而每一个乘积都是由队列式中位于不一样的行和不一样的列的元素构成的， 而且睁开式恰好就是由全部这类可能的乘积组 成 .定义 4 n 级队列式a 11 a 12 a 1na 21a22a2n(4)an1an 2ann等于全部取自不一样行不一样列的n 个元素的乘积a 1 j 1 a 2 j 2anjn(5)的代数和，这里 j 1 j 2 ...... j n 是1,2,......, n 的一个摆列，每一项 (5) 都以下规则带符号，当 j 1 j 2 ...... j n 是偶摆列时， (5) 带正号，当 j 1 j 2 ...... j n 是奇摆列时， (5) 带负号，这必定义能够写成a 11a 12a1na21 a22a2 n( 1) ( j 1 j 2 j n ) a 1 j 1 a 2 j 2anj nj 1 j 2 j nan1an2ann这里，表示对全部的 n 级摆列乞降 .j 1 j 2j n明显， n 级队列式是由 n ！项构成 . 例 1 计算队列式0 0 0 10 0 2 0.0 3 00 4 0 00解：由定义知0 0 0 10 0 2 0 1234 24.0 3 0 0 4 0 0 0例 2 计算上三角队列式a11a 12a1n0 a22a2 n.ann解：除掉为零的项后a11a 12a1na22a2na 11a22a nn .0 0 ann换句话说，这个队列式就等于主对角线 ( 从左上角右下角的这条对角 线 ) 上的元素的乘积 . 作为本例的特别状况，有d 10 d 2 0 d 1d 2d n .d n1 0 0 011.0 0 1主对角线之外的元素全为零的队列式称为对角形队列式 .实质上，行指标与列指标的地位是对称的， 因此为了决定每一项的符号，我们相同能够把每一项按列指标摆列起来，于是定义又能够写成a11a12a1na21a22a2n( 1) (i 1 i 2 i n )a i 1 a ia i n.22i 1i 2 i n1nan1an 2ann由此，可得队列式的以下性质性质 1队列交换，队列式不变，即a11 a12a1na11a21 aa21 a22a2n =a12a22 aan1 an2anna1na2n an1n 2.nn §4 n 级队列式的性质一讲课内容：§4 n 级队列式的性质二教课目标：理解掌握队列式的性质，娴熟地加以运用. 三教课重难点：队列式性质的运用四教课过程；a11a12a1na11a12a1n性质 2ka i 1ka i 2ka in =k a i1a i 2a inan1 an 2annan1an2ann性质 3a11 a12a1na11a12a1na11a12a1nb1c1b2c2b n c n = b1b2b n + c1c2c n .an1an 2annan1an 2annan1an 2ann性质 4 假如队列式中有两行相同，那么队列式为零 . 所谓两行相同就是说两行的对应元素相同 .性质 5假如队列式中两行成比率，那么队列式为式为零.性质 6把一行的倍数加到另一行，队列式不变.性质 7对调队列式中两行的地点，队列式反号.例 1 计算 n 级队列式a b b b b ab b d b b a b .b bb a 1b b b 0 a bb 0 解： d [a (n 1)b] 00 a b 0a b[ a (n 1)b]( a b) n 1 .例 2 一个 n 级队列式，假定它的元素知足a ija ji , i , j 1,2,......, n .证明 当 n 为奇数时，这个队列式为零 .§ 5 队列式的计算一 讲课内容： §5 队列式的计算二 教课目标： 理解掌握矩阵、矩阵的初等变换及方阵的初等变换与行列式的关系三 教课重难点： 初等变换四 教课过程；定义 5 由 sn 个数排成的 s 行( 横的 )n 列( 纵的 ) 的表a11a 12a1na21 a22a2nas1as2 asn称为一个 s n 矩阵 .数aij， i 1,2,......, s ， j 1,2,......, n 称为矩阵的元素， i 称为元素 aij 的行指标， j 称为列指标 . 当一个矩阵的元素全部是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵 .n n 矩阵也称 n 级方阵，一个 n 级方阵a11a12a1na21 a22 a2nAan1an2ann定义一个 n 级队列式a 11 a 12 a 1n a 21a 22a 2nan1an2ann称为矩阵 A 的队列式，记为 A .定义 6 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指以下三种变换：(1) 以 P 中一非零的数乘矩阵的一行 .(2) 把矩阵的某一行的 c 加另一行，这里 c 是 P 中随意一个数 .(3) 交换矩阵中两行的地点 . 我们称形式如0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 ， 0 0 10 2 ， 0 21 0 0 00 0 0230 03的矩阵为阶梯行矩阵， 它们的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，如该行全为零，则它的下边的行也全为零 . 能够证明，随意一个矩阵经过一系列的初等行变换总能变成阶梯行矩 阵 .明显，阶梯行方阵的队列式都是上三角形的 .例 计算队列式2 51319 13 7 .3 1 5 528710解 经过一些列初等行变换可得2 5 1 319 1370 13 25 1719 13 7= ( 13) 1630 0 16 8 312 .3 1 5 520 0 0 3287 102关于矩阵相同能够定义初等列变换 ，即(1) 以 P 中一非零的数乘矩阵的一列 .(2) 把矩阵的某一列的 c 加另一列，这里 c 是 P 中随意一个数 . (3) 交换矩阵中两列的地点 .矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换 .§ 6 队列式按一行 ( 列) 睁开一 讲课内容： §6 队列式按一行 ( 列) 睁开二 教课目标： 理解掌握余子式，代数余子式观点，利用队列式按一行睁开求队列式 .三 教课重难点： 队列式按一行睁开求队列式 .四 教课过程：由队列式的定义，有a11a12a1 na i1 a i 2 a in = a i1 A i1 a i 2 A i 2 a in A in , i 1,2,......, n .an1an2ann定义 7 在队列式a11a 12a1nai1 a i 2ainan1 an2ann中划去元素a ij 所在的第i 行和第j 列，剩下的(n 1) 2个元素按本来的排法构成一个 n 1级的队列式a11 a1, j 1 a1, j 1 a1nai 1,1 ai 1, j 1 a i 1, j 1 a i 1,nai 1,1 ai 1, j 1 a i 1, j 1 a i 1,na n1a n, j 1a n , j 1a nn称为元素 a ij的余子式，记为 M ij.能够证明 A ij ( 1)i j M ij .定义 8 上边的 A ij称为元素 a ij的代数余子式.反过来，如果令第 i 行的元素等于第 k 行的元素，也就是a ij a kj, j 1,2,......, n ，k i .则a11 a1na k1 a kna k1 A i1 a k 2 A i 2 a kn A in= .ak1 aknan1a nn也就是说，在队列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零 .a11 a12a1n定理 3 设 d a21a22a2n ， A ij表示元素 a ij的代数余子式，an1an 2ann则以下公式建立a k1 Ai1ak 2Ai 2d k iaknAin=k.0 ia 1lA 1 ja2 lA2 ja nlAnjd lj 0 l.j5 3 1 2 0 1 72 5 2 例 1 计算队列式 02 3 1 0 . 041 4 00 2 3 5 0解：先按第 5 列，再按第 1 列睁开可得5 3 1 2 01 72 5 22 3 10 2 3 1 0 2 54 1 41080 . 0 4 1 4 0235235 0例 2队列式1 1 1 1a 1a 2 a 3a n da 12a 22a 32a n 2 .a 1n 1 a 2n 1 a 3n 1 a nn 1 称为 n 级范德蒙 (Vandermonde)队列式，我们来证明，对随意的n ，n 级范德蒙等于a 1 , a 2 ,,a n 这n 个数的全部可能的差a ia j(1jin) 的乘积 .用连乘号，这个结果能够写为1 1 1 1 a 1a 2 a 3 a na 12a 22a 32 a n 2 (a i a j ) .1 j i na 1n 1a 2n 1a 3n 1a n n 1例 3证明a 11a 1k0 0ak1 akk0 a 11a 1kb 11b 1r.c 11 c 1kb 11=b 1ra kkb r1b rra k1c r 1 c rkb r 1b rr§7 克兰姆 (Cramer) 法例一 讲课内容：§7 克兰姆 (Cramer) 法例二 教课目标： 理解掌握 (Cramer) 法例及推论，利用余子式，代数余子式观点，利用克兰姆 (Cramer) 法例解线性方程组 .三 教课重难点： 利用克兰姆 (Cramer) 法例解线性方程组 .四 教课过程：定理 4 假如线性方程组a 11 x 1 a 12 x 2 ...... a 1n x nb 1a 21x 1a 22x 2......a 2 n xn b 2 (1)..................................a n1x 1a n2x2......a nnxnb n的系数矩阵a 11 a 12 a 1na 21a 22a 2nAa n1 a n2 a nn的队列式 d A 0, 那么线性方程组 (1)有解，而且解是独一的，解能够经过系数表为x 1d 1, x 2d 2, ,x nd n .ddd此中 d j 是把矩阵 A 中的第 j 列换成方程组的常数项 b 1, b 2 , ,b n 所成的矩阵的队列式，即a11a 1, j 1b 1 a 1, j 1a 1nd ja 21 a 2 , j 1b 2 a 2, j 1 a 2n， j 1,2,......, n .an1 an , j 1 b nan, j 1 ann定理中包括着三个结论：1. 方程组有解 .2. 解是独一的 .3. 解由公式 (3) 给出 .定理 4 往常称为克兰姆 (Cramer) 法例 . 例 解方程组2x 1 x 2 5x 3 x 4 8x 1 3x 2 6x 4 92x 2 x 32x 4.5 x 1 4x 2 7x 3 6x 4 0解：方程组有独一解， x 1 3, x 24, x 31, x 4 1.常数项全为零的线性方程组称为 齐次线性方程组 ，明显齐次线性方程组老是有解的，由于 ( 0,0, ,0) 就是一个解，它称为 零解 .定理 5假如齐次线性方程组a 11 x1a 12 x 2 ...... a 1n x n 0a 21 x1a 22 x 2 ...... a 2 n x n 0 (10)a n1x 1 a n 2 x 2 ...... a nn x n的系数矩阵的队列式 A 0 ，那么它只有零解，换句话说，假如方程组 (10)有非零解，那么必有 A 0 .。

第二章 n 阶行列式 课程教案授课题目：第二节 行列式的性质教学目的：1．掌握n 阶行列式的递推定义以及按行（列）展开定理．2．理解n 阶行列式的性质，掌握行列式计算的基本思想方法和步骤．教学重点：n 阶行列式的性质与计算． 教学难点：按行（列）展开定理． 课时安排：3学时．授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容：§2.2行列式的性质Laplace 定理按行展开 ⎩⎨⎧≠==∑=ij i j DA a jk nk ik ,01．按列展开 ⎩⎨⎧≠==∑=ij i j DA a kj nk ki ,01．行列式的性质性质1 行列式转置，其值不变．即D D '=如2112221122211211a a a a a a a a -==22122111a a a a ．例1 上三角阵的行列式等于对角线元的乘积11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =LL L L L L L L．（用性质1及上节例1）． 性质2 交换行列式两行（列），行列式的值变号．推论 若行列式D 中有两行（列）对应元素相同，则行列式值等于零． 性质3 用数k 乘行列式D 的某一行（列），等于数k 乘这个行列式． 推论1 有一行（列）为零的行列式等于零． 性质4 有两行（列）成比例的行列式等于零．性质5 nn n in in i i n a a b a b a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ111111++=nn n in i n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11111+nnn in i n a a b b a a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11111．按列也有类似性质．性质6 将行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列），行列式的值不变．如ji kr r jn jn in i a a a a +=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ1ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛjnjn jnin jii a a ka a ka a ++1． 例2 计算下列各行列式：（1）4124120210520117； （2）2141312112325062-；（3）abac aebdcd de bfcfef---； （4）1110011001ab c d---．解(1)7110025102021421434327c c c c --01142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯--- =143102211014--321132c c c c ++141717201099-=0．(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412-14r r -000032122130412-=0．(3)ef cfbfde cd bdae ac ab---=e cbe c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4． (4)d cb a10110011001---21ar r +dcb a ab 10110011010---+=12)1)(1(+--dca ab101101--+ 23dc c +010111-+-+cd cada ab =23)1)(1(+--cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd ．例2 证明（1）1112222b b a a b ab a +=3)(b a -；（2）bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x zy z y x b a )(33+； （3）0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ；（4）444422221111d c b a dcba d cb a ；))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅；（5）1221100000100001a x a a a a x x xn n n+-----ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--111Λ． 证明（1）0122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边22231(1)22ab a b a b a b a+--=---3()()()12a b a b a b a a b +=--=-=右边．（2）bzay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bzay y b +++++++++++++002ybyax zx bx az y z bz ay x a 分别再分2y z az bxb zx ax by xy ay bz+++zy x y x z x z y b yx z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y z y x b yx z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c964496449644964422222++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423dd c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+d dd c c c bbb a aa (4) 444444422222220001a d a c ab a ad ac ab aa d a c ab a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c ab b a d ac ab a d ac ab ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b ad ac ab a d ac a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd bc ab +-++-++--+=⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-．(5) 用数学归纳法证明 当2n =时，2212211x D x a x a a x a -==+++，命题成立．假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即121121n n n n n D x a x a x a -----=++++L ，则n D 按第一列展开1111000100(1)111n n n n n n x D xD a xD a x+----=+-=+-L LL L L L L L=右边．范德蒙行列式1222212111112111()ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L LL L L L L L. 对行列式进行行变换11(1,,2,1)i i x r r i n +-+=-L 降阶得．参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月．2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月．3．同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月．作业和思考题：Page63：1—2；4—6．课后小结： 1)n 阶行列式的性质，计算行列式．2)灵活地运用按行（列）展开定理来计算行列式．。

高等代数教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等代数课程类别：数学专业基础课课程学分：具体学分课程总学时：具体学时授课对象：具体专业、年级二、课程目标高等代数是数学专业的一门重要基础课程，通过本课程的学习，学生应达到以下目标：1、掌握代数的基本概念、定理和方法，包括多项式、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等。

2、培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力和运算能力，能够熟练运用代数方法解决数学问题。

3、使学生了解代数的发展历程和应用领域，激发学生对数学的兴趣和探索精神。

三、课程内容与教学要求（一）多项式1、数域理解数域的概念。

掌握常见数域的性质。

2、多项式掌握多项式的定义、次数、系数等基本概念。

了解多项式的运算规则。

掌握多项式的整除、最大公因式、互素等概念和求法。

熟练掌握因式分解定理。

（二）行列式1、行列式的定义理解行列式的定义。

掌握二阶、三阶行列式的计算方法。

2、行列式的性质熟练掌握行列式的性质。

能够利用行列式的性质计算行列式的值。

3、行列式的展开掌握行列式按行（列）展开定理。

能够用展开定理计算行列式。

（三）矩阵1、矩阵的概念理解矩阵的定义。

掌握矩阵的加法、数乘、乘法运算。

2、矩阵的秩理解矩阵秩的概念。

掌握求矩阵秩的方法。

3、逆矩阵掌握逆矩阵的概念和性质。

熟练掌握求逆矩阵的方法。

（四）线性方程组1、线性方程组的解掌握线性方程组的解的存在性和唯一性定理。

能够用消元法求解线性方程组。

2、线性方程组解的结构理解齐次线性方程组解的结构。

掌握非齐次线性方程组解的结构。

（五）向量空间1、向量空间的定义理解向量空间的概念。

掌握向量空间的基本性质。

2、向量的线性相关性掌握向量线性相关和线性无关的概念和判定方法。

了解向量组的秩的概念和求法。

（六）线性变换1、线性变换的定义理解线性变换的定义。

掌握线性变换的运算。

2、线性变换的矩阵掌握线性变换在给定基下的矩阵表示。

了解相似矩阵的概念和性质。

高等代数
教案
秦文钊
一、章（节、目）授课计划第页
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页
一、章（节、目）授课计划第页
一、章（节、目）授课计划第页
一、章（节、目）授课计划第页
一、章（节、目）授课计划第页
110,ij ij in ij a a a a -+=====称为元素ij a 的代数余子式.
就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余中，如果令第i 行的元素等于另外一行，譬如说，
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n n b x +=,,,2d b b n s 当且仅当)(,s A 的线性组合
一、章（节、目）授课计划第页
二、课时教学内容第页。

第二章 行列式 (1)§1 引 言 ................................................... 1 §2 排列 .................................................... 1 §3 n 级行列式 ............................................... 2 §4 n 级行列式的性质 .......................................... 4 §5 行列式的计算 ............................................. 6 §6 行列式按一行(列)展开 ...................................... 9 §7 克兰姆法则 . (12)第二章 行列式§1 引 言1.二阶行列式及其应用二阶行列式定义为 11122122a a a a =11221221a a a a -.例如1234=1×4-2×3=-2. co s sin sin co s xxx x -=1.二阶行列式可用来解二元一次方程组:11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩.令D =11122122a a aa ,1D =112222b a ba ,2D =111212a b ab ,当0D ≠时,方程组有唯一解11D x D=,22D x D=.例121210x x x x +=⎧⎨-=⎩,D=1111-=-2,1D =D =111-=-1,2D =1110=-1,方程组有唯一解111122D x D-===-,221122D x D-===-。

2. 三阶行列式及其应用三阶行列111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132a a a a a a a a a ++-132231122133112332a a a a a a a a a --对方程组111122133121122223323113223333a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，令D =111213212223313233a a a a a a a a a ,1D =12132222333233b a a b a a b a a ,2D =111132122331333a b a ab a a b a ,3D =111212122231323a ab a a b a a b ，当0D ≠时,方程组有唯一解11D xD=,22D xD=,33D xD=.这一结果也适用于n 元一次方程组。

《高等代数Ⅱ》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空间等方面的系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。

通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。

应达到的具体能力目标：具有独立思维能力和解决实际问题能力；具有较强的抽象思维和逻辑推理能力；熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力三、教学学时分配《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表四、教学内容和教学要求第五章二次型（14学时）（一）教学要求1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念；2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念；3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握正定二次型的判定方法。

（二）教学重点与难点教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法教学难点：正定二次型的判定与证明（三）教学内容第一节二次型及其矩阵表示1．二次型的定义2．二次型的矩阵表示3. 矩阵的合同关系第二节标准形1．二次型的标准形；2．化二次型为标准形的方法；3. 例题讲解第三节唯一性1．复数域上二次型的规范型2. 实数域上二次型的规范型第四节正定二次型1．正定二次型的定义2. 正定二次型的判定3. 半正定二次型的定义及判定本章习题要点：1．化二次型为标准形的方法；2. 正定二次型的判定方法与证明。

第六章线性空间（22学时）（一）教学要求1.了解集合与映射的概念及性质；2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义；3. 掌握基和维数的概念、求法及维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。

（二）教学重点与难点教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和教学难点：子空间的直和（三）教学内容第一节集合.映射1．集合与映射的概念2. 集合与映射的性质；第二节线性空间的定义与性质1．线性空间的定义；2．线性空间的简单性质。

一、课程基本信息1. 课程名称：高等代数2. 授课班级：XX级XX班3. 授课教师：XX4. 授课时间：XX周XX节5. 教学目标：- 知识目标：使学生掌握高等代数的基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。

- 能力目标：培养学生运用高等代数知识解决实际问题的能力。

- 素质目标：提高学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新能力。

二、教学内容1. 授课章节：根据教学进度选择相应的章节。

2. 具体内容：- 第一章：行列式的基本概念、性质、运算和应用。

- 第二章：矩阵的基本概念、性质、运算和应用。

- 第三章：线性方程组、线性空间、线性变换。

- 第四章：特征值和特征向量。

- 第五章：二次型。

三、教学过程1. 导入：- 简要介绍本节课的教学内容、目的和意义。

- 结合实际案例，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：- 根据教学内容，详细讲解相关概念、性质、定理和公式。

- 运用图表、动画等多媒体手段，帮助学生理解抽象概念。

3. 例题分析：- 选择具有代表性的例题，讲解解题思路和方法。

- 引导学生积极参与讨论，共同解决难题。

4. 练习：- 布置课后练习题，巩固所学知识。

- 鼓励学生独立完成练习，教师及时批改和讲解。

5. 总结：- 总结本节课的重点内容，强调难点和易错点。

- 对学生的学习情况进行评价，提出改进建议。

四、教学资源1. 教材：根据教学大纲选择合适的教材。

2. 多媒体课件：制作或下载相关的教学课件，辅助教学。

3. 网络资源：利用网络资源，丰富教学内容，拓展学生视野。

五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、发言情况等。

2. 作业完成情况：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度。

3. 测试与考核：定期进行测试和考核，检验学生的学习成果。

六、教学反思1. 教师根据教学效果，反思教学过程中的优点和不足。

2. 结合学生反馈，调整教学方法和策略，提高教学质量。

七、教学进度安排1. 按照教学计划，合理安排教学进度。

授课章节 §2.3 n 级行列式 §2.4 n 级行列式的性质 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求：1.掌握行列式的定义。

2.掌握行列式的性质。

教学重点、难点：1．行列式的定义 2．行列式的性质 教学内容：§2.3 n 级行列式二级行列式和三级行列式的定义如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （1） 111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- （2）由三级行列式定义可看出：三级行列式（2）是一些乘积的代数和，而每一次乘积都是由行列式中位于不同行和不同列的元素构成，而所有可能的位于不同行和不同列的元素的乘积，根据排列理论中的乘法原则可知共有3！=6个，3阶行列式应是这六个乘积的代数和，3阶行列式的6项都具有如下形式：123123j j j a a a其中行标形成自然排列123，列标形成1，2，3的一个排列123j j j ，1，2，3的排列有六种，3阶行列式的每一项与这6个排列之一对应，例如，项122331a a a 与排列231对应，项112332a a a 与排列132对应。

另外，每一项乘积都带有符号，其符号规律如下：当项123123j j j a a a 中的列标所成排列为偶排列时，该项带τ号，因此该项前的符号可表为123()(1)j j j τ-，当项123123j j j a a a 中列标所形成的排列为奇排列时，该项带负号，因此该项前的符号也可表为123()(1)j j j τ-。

当然，3级行列式的定义也可写为：123123123111213()212223123313233(1)j j j j j j j j j a a a a a a a a a a a a τ=-∑这里123j j j ∑表示对所有形式如123123()123(1)j j j j j j a a a τ-的项加起来，其中123j j j 取遍所有的3级排列，仿此可给出的n 级排列式的定义：定义41212121112121222()1212(1)n n nn n j j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ-∑称为n 级行列式。