【成才之路】高中数学(人教版必修5)配套练习：3.4基本不等式第2课时

3-4-3同步检测基础巩固强化一、选择题1．a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2，ab ，2aba ＋b 三个数的大小顺序是( )A.a ＋b 2≤ab ≤2ab a ＋bB.ab ≤a ＋b 2≤2aba ＋bC.2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2 D.ab ≤2ab a ＋b≤a ＋b22．(2012·浙江文，9)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5D ．63．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)4．(2011·山东潍坊一中期末)设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③a b ＋b a >2.上述三个式子恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．(2010～2011·福建省福州市高二期中)设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1＝b 1，a 21＝b 21，则( )A ．a 11＝b 11B ．a 11>b 11C ．a 11<b 11D ．a 11≥b 116．设a 、b 是正实数，给出以下不等式：①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2，其中恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题7．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．8．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________． 9．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是________．三、解答题10．已知：a 、b 、c 同号且互不相等，a ＋b ＋c ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c >9.能力拓展提升一、选择题11．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足1a ＋9b ＝1，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围是( )A ．(0,8]B ．(0,10]C ．(0,12]D ．(0,16] 12．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定13．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a 、b 、c .若a 、b 、c 成等差数列，则∠B 的范围是( )A ．(0，π6] B ．(0，π3] C ．(π6，π]D ．(π3，π]14．若A ＝a sin 2x ＋b cos 2x ，B ＝a cos 2x ＋b sin 2x (a 、b 、x ∈R )，则m ＝AB ，n ＝ab ，p ＝A 2＋B 2，z ＝a 2＋b 2满足( )A ．m ≥n ，p ≥zB ．m ≤n ，p ≤zC ．mn ≥pzD ．m ＋z ≥p ＋n二、填空题15．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >1，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．三、解答题16．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .*17.某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．详解答案 1[答案] C[解析] 取a ＝2，b ＝8，则a ＋b 2＝5，ab ＝4，2aba ＋b ＝3.2∴选C.比较如下：已知a ＋b 2≥ab ，又ab －2aba ＋b＝ab (a ＋b －2ab )a ＋b ＝ab (a －b )2a ＋b ≥0∴ab ≥2ab a ＋b .也可作商比较ab 2ab a ＋b ＝a ＋b2ab≥1.2[答案] C[解析] 本题考查了均值不等式的应用．由x ＋3y ＝5xy 得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )·(15y ＋35x )＝3x5y ＋12y 5x ＋95＋45≥23x 5y ·12y 5x ＋135＝125＋135＝5，当且仅当3x 5y ＝12y5x 时，得到最小值5.[点评] 均值不等式的应用一定要注意成立的条件“一正，二定，三相等”．否则很容易这样解造成错误，∵x ＋3y ＝5xy ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，∴3x ＋4y ≥212xy ≥212·1225＝245，错因是两次等号不能同时取得．3[答案] D[解析] 设等比数列的公比为x (x ≠0)，则有 S 3＝x ＋1＋1x (x ≠0)，∵当x >0时，x ＋1x ≥2；x <0时，x ＋1x ≤－2，∴S 3＝x ＋1＋1x 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D. 4[答案] B[解析] ①a 5＋b 5－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)>0不恒成立；(a 2＋b 2)－2(a －b －1)＝a 2－2a ＋b 2＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0恒成立；a b ＋b a >2或a b ＋ba <－2，故选B.5[答案] D[解析] ∵a n >0，b n >0，a 1＝b 1，a 21＝b 21，∴a 11＝a 1＋a 212＝b 1＋b 212≥b 1b 21＝b 11，等号成立时，b 1＝b 21，即此时{a n }，{b n }均为常数列，故选D.6[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b ≥2ab ，∴2aba ＋b ≤1，∴2ab a ＋b ≤ab ，∴①不恒成立，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab ≥22>2恒成立，故选D. 7[答案] 1760[解析] 设水池池底的一边长为 x m ，则另一边长为4x m ，则总造价为：y ＝480＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2x ×4x ＝1 760.当且仅当x ＝4x 即x ＝2时，y 取最小值1 760. 所以水池的最低总造价为1 760元． 8[答案] 6[分析] 此类题一般利用基本不等式转化为xy 的不等式求解． [解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤2，∴xy ≥6.9[答案] 3[解析] 以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AB 方程为x 3＋y4＝1，∵x ，y ∈R ＋，∴1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.10[解析] 左边＝1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc ＝1＋b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )＋3，∵a ＋b ＋c ＝1且a 、b 、c 同号．∴a >0，b >0，c >0，∴b a ，a b ，c a ，a c ，c b ，bc 均大于0，又a ，b ，c 互不相等，由基本不等式得a b ＋b a >2，a c ＋c a >2，c b ＋bc >2于是，左边>2＋2＋2＋3＝9，∴1a ＋1b ＋1c >9. 11[答案] D[解析] 解法1：∵a 、b 都是正实数，且1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9ab ＝16，当且仅当b a ＝9ab 即b ＝3a 时等号成立， 此时a ＝4，b ＝12，∴(a ＋b )min ＝16. ∵a ＋b ≥c 恒成立，∴0<c ≤16. 解法2：由1a ＋9b ＝1得b ＋9a ＝ab ， ∴(a －1)(b －9)＝9， 又∵1a ＋9b ＝1，a >0，b >0， ∴a >1，b >9，∴(a －1)(b －9)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋(b －9)22 ∴a ＋b ≥16，等号在a －1＝b －9＝3时成立， ∴要使a ＋b ≥c 恒成立，应有0<c ≤16. 12[答案] A[解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2，R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝(R 1＋R 2)2－4R 1R 22(R 1＋R 2)＝(R 1－R 2)22(R 1＋R 2)>0，所以R A >R B . 13[答案] B[解析] ∵a 、b 、c 成等差数列，∴b ＝a ＋c2. ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3a 2＋3c 2－2ac 8ac≥23a 2·3c 2－2ac 8ac ＝6ac －2ac 8ac ＝12(等号在a ＝c 时成立)． 又∵y ＝cos x 在(0，π)内是减函数，∴0<B ≤π3. 14[答案] D[解析] AB ＝(a 2＋b 2)sin 2x cos 2x ＋ab (sin 4x ＋cos 4x ) ＝ab ＋(a －b )2sin 2x cos 2x ≥ab ，∴m ≥n ， p ＝A 2＋B 2＝(A ＋B )2－2AB ＝(a ＋b )2－2AB ， z ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，∴p ≤z ， ∴m ＋z ≥p ＋n .15[答案] 8[解析] ∵y ＝log a (x ＋3)－1，恒过点(－2，－1)， ∴A (－2，－1)，又点A 在直线上， ∴－2m －n ＋1＝0.即2m ＋n ＝1. 又mn >0，∴m >0，n >0. 而1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋2＋4mn ≥4＋24＝8.当n ＝12，m ＝14时取“＝”．∴1m ＋2n 的最小值为8. 16[解析] ∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c ·c ＝2b ， c 2a ＋a ≥2c 2a ·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .17[解析] (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意知，面粉的保管等其它费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1)． 设平均每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝900x ＋9x ＋10809 ≥2900x ·9x ＋10809＝10989. 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800×0.90 ＝900x ＋9x ＋9729(x ≥35)，令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2>x 1≥35，则 f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2， ∵x 2>x 1≥35.∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0,100－x 1x 2<0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)．即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数． ∴当x ＝35时，f (x )有最小值，此时y 2<10989， ∴该厂应该接受此优惠条件．。

第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为 （二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+≤的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( ) A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin 2x ＝t ，则0＜t ≤1，所以g (t )＝t ＋4t ，显然g (t )在(0,1]上单调递减，故g (t )min ＝g (1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x ＜0，所以－x ＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：① 10.已知a >b >c ，若1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值. 【知识点：基本不等式】 解：方法一 ∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c，且a >b >c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c ＝(a －c )2(a －b )(b －c ).∵对a 、b 、c 上式都成立， ∴n ≤[(a －c )2(a －b )(b －c )]min.又∵(a －c )2(a －b )(b －c )≥(a －c )2[(a －b )＋(b －c )2]2＝4.∴n ≤4，∴n 的最大值为4. 方法二 ∵a >b >c ，∴a －c a －b ＋a －cb －c＝(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2＝4. ∴n ≤4，∴n 的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b >+=,. 【知识点：基本不等式】 解：23由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得： a b +0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）.12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。

§3.42a b ab + (2) 班级 姓名 学号 学习目标 通过例题的研究，2a b ab +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值. 学习过程一、课前准备 复习1：已知0m >，求证：24624m m +≥.复习2：若0x >，求9()4f x x x =+的最小值二、新课导学※ 学习探究 探究1：若0x <，求9()4f x x x =+的最大值.探究2：求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.※ 典型例题例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.例2 已知0,0x y>>，满足21x y+=，求11x y+的最小值.总结：注意“1”妙用.※动手试试练1. 已知a，b，c，d都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd++≥.练2. 若0x >，0y > ，且281x y+=，求xy 的最小值.总结提升规律技巧总结:利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，若为负数，则添负号变正. ※知识拓展1. 基本不等式的变形：222()_____2a b a b ++；222()____22a b a b ++；22___2a b ab +；2___()2a b ab +；2()____4a b ab + 2. 一般地，对于n 个正数12,,,(2)n a a a n ≥，都有，121n n a a a a n ++≥12n a a a ===时取等号）3. 222(,,)a b c ab ac bc a b c R ++≥++∈当且仅当a b c ==时取等号）1. 在下列不等式的证明过程中，正确的是（ ）.A ．若,a b R ∈，则2a b b a +≥B ．若,a b R +∈，则lg lg a b +≥C ．若x R -∈，则2222x x x +≥-=-D ．若x R -∈，则332x x -+≥2. 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值是（ ）. A ．2 B ．3 C ．1 D ．123. 若,x y R +∈，且1x y +=，则11x y+的取值范围是（ ）. A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C．(4,)+∞D．[4,)+∞4. 若,x y R+∈，则14()()x yx y++的最小值为.5. 已知3x>，则1()3f x xx=+-的最小值为.1. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？2. 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为122m，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

1．(2011·上海高考)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b≥2 解析：对于A ，当a ＝b 时，有a 2＋b 2＝2ab ，故A 不正确；对于B ，若a <0，b <0，则有a ＋b <2ab ，所以B 也不正确，同理，C 也不正确；对于D ，∵ab >0，∴b a >0，a b >0. ∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，取“＝”号，故D 正确．答案：D2．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：A 错误．若0＜x ＜1，则lg x ＜0，∴lg x ＜0.∴lg x ＋1lg x≥2，不成立． C 错误．x ＋1x 的最小值是2，当且仅当x ＝1时成立，当x ≥2时，x ＋1x 的最小值是52. D 错误．当x ＝2时，取到最大值．答案：B3．(2011·重庆高考)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B ．4 C.92 D ．5解析：依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案：C4．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1 解析：f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12[(x －1)＋1x －1]， 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴f (x )＝－12[－(x －1)＋1－(x －1)]≤－1. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 答案：D5．当x >12时，函数y ＝x ＋82x －1的最小值为________． 解析：∵x >12，∴x －12>0.∴y ＝x ＋82x －1＝(x －12)＋4x －12＋12≥2(x －12)·4x －12＋12＝92，当且仅当x －12＝4x －12，即x ＝52时取“＝”号． 答案：926．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2. 当且仅当x ＝1时取等号，所以有 x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：[15，＋∞) 7．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ac ，∴2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，等号不成立，∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .8．(2012·泰安市高二检测)某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000平方米，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别写出用x 表示y 和S 的函数关系式(写出函数定义域)；(2)怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？解：(1)由已知xy ＝3 000,2a ＋6＝y ，则y ＝3 000x(6≤x ≤500)， S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a＝(2x －10)·y －62＝(x －5)(y －6) ＝3 030－6x －15 000x (6≤x ≤500)．(2)S ＝3 030－6x －15 000x ≤3 030－26x ·15 000x＝3 030－2×300＝2 430当且仅当6x＝15 000，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50，y＝60，S max＝2 430.x即设计x＝50米，y＝60米时，运动场地面积最大，最大值为2 430平方米．。