广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第6章直线与方程教师用书教案

高中数学必修二《直线与方程》教案设计一、教学目标1.知识目标：o学生能够掌握直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达形式及其相互转换。

o学生能够理解直线方程中斜率、截距的概念，并能根据给定条件求出直线方程。

o学生能够运用直线方程解决简单的几何问题，如求两直线的交点、判断两直线是否平行或垂直。

2.能力目标：o培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，通过直线方程的学习，提高数学建模能力。

o提高学生的运算能力，能够熟练进行直线方程的推导和计算。

o增强学生的问题解决能力，能够运用所学知识解决实际问题。

3.情感态度价值观目标：o培养学生严谨的数学学习态度，注重逻辑推理和证明过程。

o激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极探索数学奥秘，培养数学学习的自信心。

o培养学生的合作精神，通过小组讨论和合作学习，提高团队协作能力。

二、教学内容-重点：直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达及相互转换；斜率、截距的概念及应用。

-难点：直线方程的应用，如求两直线的交点、判断两直线的位置关系。

三、教学方法-讲授法：用于直线方程的基本概念和理论的讲解。

-讨论法：通过小组讨论，加深学生对直线方程的理解和应用。

-案例分析法：通过具体案例分析，提高学生解决实际问题的能力。

-多媒体教学法：利用多媒体资源，如、动画等，直观展示直线方程的图形和推导过程。

四、教学资源-教材：《高中数学必修二》-教具：黑板、粉笔、直尺、圆规-多媒体资源：课件、直线方程推导动画、几何画板软件-实验器材：无需特定实验器材五、教学过程六、课堂管理1.小组讨论：每组4-5人，确保每组成员水平均衡，指定小组长负责协调讨论和记录。

2.维持纪律：明确课堂规则，如举手发言、不打断他人讲话等，对违规行为及时提醒和处理。

3.激励策略：对积极参与讨论、表现突出的学生给予表扬和奖励，如加分、小礼品等。

七、评价与反馈1.课堂小测验：每节课结束前进行小测验，检查学生对本节课内容的掌握情况。

2.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，要求学生按时完成并提交。

2021年广东省普通高中学业水平考试数学科考试大纲Ⅰ．考试性质广东省普通高中学业水平考试是衡量普通高中学生是否到达高中毕业要求的水平测试.考试成绩可作为普通高中学生毕业、高中同等学力认定和高职院校分类提前招生录取的依据.Ⅱ．命题指导思想命题以中华人民共和国教育部2003年公布的【普通高中数学课程标准〔实验〕】和本大纲为依据.试题适用于使用经全国中小学教材审定委员会初审通过的各版本普通高中课程标准实验教科书的考生.试题符合水平性的考试规律和要求，表达普通高中新课程的理念，反映数学学科新课程标准的整体要求，突出考查数学学科根底知识、根本技能和根本思想方法，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力.关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会的联系，贴近学生的生活实际.Ⅲ．考核目标与要求1．知识要求知识是指【普通高中数学课程标准〔实验〕】〔以下简称【课程标准】〕中所规定的必修课程、选修课程系列1的数学概念、性质、法那么、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等根本技能.各局部知识的整体要求及其定位参照【课程标准】相应模块的有关说明.对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.〔1〕了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能〔或会〕在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.〔2〕理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比拟、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比拟、判别，初步应用等.〔3〕掌握：要求能够对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.2．能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.〔1〕空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的根本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.〔2〕抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的根底上得出某种观点或某个结论.〔3〕推理论证能力：推理是思维的根本形式之一，它由前提和结论两局部组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜测，再运用演绎推理进行证明.〔4〕运算求解能力：会根据法那么、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算.〔5〕数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断.〔6〕应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明. 应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.〔7〕创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.3．个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观.要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义.IV.考试范围、考试内容与要求依据【课程标准】，确定数学学业水平考试的范围为必修课程的五个模块和选修课程系列1，以考查必修课程内容为主.具体如下：1．集合〔1〕集合的含义与表示① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系.② 能用自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题.〔2〕集合间的根本关系① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.〔3〕集合的根本运算① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③ 能使用韦恩图〔Venn〕表达集合的关系及运算.2．函数概念与根本初等函数Ⅰ〔指数函数、对数函数、幂函数〕〔1〕函数① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法〔如图像法、列表法、解析法〕表示函数.③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质.〔2〕指数函数① 了解指数函数模型的实际背景.② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.〔3〕对数函数① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.③ 了解指数函数与对数函数互为反函数〔a?0,a?1〕. 〔4〕幂函数① 了解幂函数的概念.② 结合函数y=x,y=,y=x3,,y=的图像，了解它们的变化情况.〔5〕函数与方程① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.3．立体几何初步〔1〕空间几何体① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.② 能画出简单空间图形〔长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合〕的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.④ 会画某些建筑物的视图与直观图〔在不影响图形特征的根底上，尺寸、线条等不作严格要求〕.⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的外表积和体积的计算公式.2〕点、直线、平面之间的位置关系① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理.◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.4．平面解析几何初步〔1〕直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式〔点斜式、两点式及一般式〕，了解斜截式与一次函数的关系.⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.〔2〕圆与方程① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.〔3〕空间直角坐标系① 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.② 会推导空间两点间的距离公式.5．统计〔1〕随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.〔2〕用样本估计总体① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.③ 能从样本数据中提取根本的数字特征〔如平均数、标准差〕，并作出合理的解释.④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征，理解用样本估计总体的思想.⑤ 会用随机抽样的根本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.6．概率〔1〕事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.② 了解两个互斥事件的概率加法公式.〔2〕古典概型① 理解古典概型及其概率计算公式.② 会计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率.〔3〕随机数与几何概型① 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.② 了解几何概型的意义.7．根本初等函数Ⅱ〔三角函数〕〔1〕任意角的概念、弧度制① 了解任意角的概念.② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.〔2〕三角函数① 理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义.② 能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质〔如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等〕.理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性. ④ 理解同角三角函数的根本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tanx cos x x= ⑤ 了解函数sin(x )y A ωϕ=+的物理意义；能画出sin(x )y A ωϕ=+的图像，了解参数A ,ω,ϕ对函数图像变化的影响.⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.8．平面向量〔1〕平面向量的实际背景及根本概念① 了解向量的实际背景.② 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. ③ 理解向量的几何表示.〔2〕向量的线性运算① 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.② 掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义.〔3〕平面向量的根本定理及坐标表示① 了解平面向量的根本定理及其意义.② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.〔4〕平面向量的数量积① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.〔5〕向量的应用① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.② 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.9．三角恒等变换〔1〕和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.〔2〕简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换〔包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆〕.10．解三角形〔1〕正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.11．数列〔1〕数列的概念和简单表示法① 了解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕.② 了解数列是自变量为正整数的一类函数.〔2〕等差数列、等比数列① 理解等差数列、等比数列的概念.② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.12．不等式〔1〕不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景. 〔2〕一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.〔3〕二元一次不等式组与简单线性规划问题① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.〔4〕根本不等式：0,0)2a b a b +≥≥≥ ① 了解根本不等式的证明过程.② 会用根本不等式解决简单的最大〔小〕值问题.13．常用逻辑用语〔1〕命题及其关系① 理解命题的概念.② 了解“假设p ，那么q 〞形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。

直线与方程考纲展示考情汇总备考指导直线与方程① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2017年1月T52019年1月T52020年1月T4本章的重点是根据所给条件求直线的方程，难点是两条直线的位置关系的判定，易错点是在根据两直线的位置关系求参数的值时，容意漏解或出现增根，出错的根本原因是没有掌握两直线平行或垂直的充要条件.直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率(1)倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°.当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角．注：倾斜角的取值范围为[)0°，180°.(2)直线的斜率当直线l的倾斜角θ≠90°时(即直线与x轴不垂直)，直线l的斜率存在，且斜率k ＝tan θ.当直线的倾斜角为θ(θ≠90°)，斜率为k ，则k ≥0⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪0，π2；k <0⇔θ∈⎝ ⎭⎪⎫π2，π.(3)直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2.注：任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． 2．两条直线平行和垂直的判定(1)当直线l 1∥l 2或l 1与l 2重合，倾斜角α1＝α2. 若斜率存在，则k 1＝k 2.若斜率不存在，则k 1与k 2都不存在．(2)直线l 1∥l 2，若斜率存在，则k 1＝k 2，且在y 轴上的截距不同，若斜率不存在，则l 1与l 2都垂直于x 轴且在x 轴上的截距不同．(3)若斜率存在，且直线l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1.若其中有一条斜率不存在，且l 1⊥l 2，则另一条直线斜率为0. (4)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，且A 1，A 2，B 1，B 2都不为零．①l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2.②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.③l 1与l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2.④l 1与l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2.[学考真题对练]1．(2019·1月广东学考)直线3x ＋2y －6＝0的斜率是( ) A ．32 B ．－32C ．23D ．－23B [k ＝－A B ＝－32.]2．(2020·1月广东学考)直线x －2y －1＝0的斜率是( ) A ．12 B ．－12C ．2D ．－2A [直线斜率为k ＝－AB ＝12.故选A ．](2)利用正切函数在[0，π)上的图象，确定倾斜角α的取值范围．[最新模拟快练]1．(2018·深圳高一月考)已知直线l 经过两点P (1,2)，Q (4,3)，那么直线l 的斜率为( )A ．－3B ．－13C ．13D ．3C [k ＝3－24－1＝13.]2．(2018·揭阳高一月考)直线x ＋y －3＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135° D [由题意知k ＝tan α＝－1，故α＝135°.]3．(2019·惠州学考模拟) 若直线y ＝2x －1与直线x ＋my ＋3＝0平行，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2B [直线y ＝2x －1化为2x －y －1＝0，因为2x －y －1＝0与直线x ＋my ＋3＝0平行，∴12＝m －1≠3－1，解得m ＝－12，故选B ．] 4．(2019·深圳学考模拟)若过点A (a ，－1)和B (2，a )的直线的斜率为12，则a 的值为( )A ．4B ．0C ．－4D ．1B [k AB ＝a ＋12－a ＝12，解得a ＝0.]5．(2019·东莞高一月考)如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 1＜k 2＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1A [设直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°，∴tan α1＜0，tan α2＞tanα3＞0，即k 1＜0，k 2＞k 3＞0，故选A ．]6．(2019·蛇口高一期末)若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 共线，则实数m 的值为 ．92[设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC ，则由斜率公式，得k AB ＝3－22－3＝－1，k BC ＝m －212－3＝－25(m －2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即－1＝－25(m －2)，解得m ＝92.]求直线的方程直线方程的形式名称 方程形式条件局限性点斜式y －y 1＝k (x －x 1) P 1(x 1，y 1)，k不能表示垂直于x 轴的直线斜截式 y ＝kx ＋b k ，b不能表示垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2) 不能表示垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 a ，b不能表示垂直于坐标轴的直线与过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)(2017· 1月广东学考)已知直线l 过点A (1,2)，且与直线y ＝12x ＋1垂直，则直线l 的方程是( ) A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x ＋52B [∵两直线垂直⇒k 1k 2＝－1，∴直线l 的斜率为k ＝－2. 根据点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可得y －2＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x ＋4.]求直线方程的注意点(1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在；(2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零．[最新模拟快练]1．(2019·潮州学考模拟)经过点P (0,2)且斜率为2的直线方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x －y －2＝0C ．2x －y ＋2＝0D ．2x ＋y －2＝0C [由点斜式可得：y －2＝2(x －0)，化为：2x －y ＋2＝0.故选C ．]2．(2019·广州高一期中)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0C [由于直线x －2y －2＝0的斜率为12，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0，故选C．]3．(2020·广东学考模拟)直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，则a的值是( )A．1 B．－2C．1或－2 D．－1或2B[∵直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0互相平行，∴1×2－a(a＋1)＝0，∴a2＋a－2＝0，∴a＝－2或a＝1，当a＝－2时，直线x－2y－7＝0与直线－x＋2y－14＝0互相平行；当a＝1时，直线x＋y－7＝0与直线2x＋2y－14＝0重合，不满足题意；故a＝－2.故选B．]4．(2019·惠州市学考模拟)直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是( )A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0B[∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，又∵直线过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x，整理可得x－y－1＝0，故选B．]5．(2018·揭阳高一月考)过点P (2，－3)且在两轴上的截距相等的直线方程为 ．3x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [当直线在两轴上的截距为0时，易得其斜率为－32，则方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.当直线在两轴上的截距不为0时，设直线的方程为x ＋y ＋a ＝0，又直线过点P (2，－3)，则2－3＋a ＝0，解得a ＝1，故直线的方程为x ＋y ＋1＝0.]6．(2019·揭阳市学考模拟)过点(－3,0)且与直线x ＋4y －2＝0平行的直线方程是 ．x ＋4y ＋3＝0 [设与直线x ＋4y －2＝0平行的直线方程为x ＋4y ＋c ＝0，把点(－3,0)代入，得：－3＋0＋c ＝0，解得c ＝3，∴所求直线的方程为x ＋4y ＋3＝0.]7．(2019·顺德高一月考)在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是 ．y ＝3x －6或y ＝－3x －6 [与y 轴相交成30°角的直线方程的斜率为：k ＝tan 60°＝3，或k ＝tan 120°＝－3，∴y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是：y ＝3x －6或y ＝－3x －6.]距离公式的应用和两直线的交点坐标1．两直线的交点坐标两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．①当方程组只有一组解时，两直线相交． ②当方程组无解时，两直线平行．③当方程组有无数组解时，两直线重合． 2．三个距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0，Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[最新模拟快练]1．(2019·汕尾市学考模拟)点(2,5)到直线y ＝2x 的距离为( )A ．55B ．255C ．355D ．5A [直线y ＝2x 可化为2x －y ＝0，由点到直线的距离公式得|2×2－5| 22＋－12＝15＝55.]2．(2018·潮州市高一月考)不论m怎么变化，直线(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0恒过定点( )A．(1,2) B．(－1，－2)C．(2,1) D．(－2，－1)B[∵(m＋2)x－(2m－1)y－(3m－4)＝0，∴m(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0.联立{x－2y－3＝0，2x＋y＋4＝0，解得x＝－1，y＝－2，∴直线过定点(－1，－2)．]3．(2019·揭阳市学考模拟)直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为25，则C的值为( )A．9 B．11或－9C．－11 D．9或－11B[两平行线间的距离为d＝|－1－－C|12＋－22＝25，解得C＝－9或11.]4．(2018·蛇口市高一期中)过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( )A．2x＋y－4＝0 B．x＋2y－5＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0B[当直线与点(1,2)和(0,0)的连线垂直时，距离最大，设A (1,2)，O (0,0)，则k OA ＝2－01－0＝2.故所求直线的斜率为－12.由点斜式得y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0.]5．(2019·潮州市高一月考)已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( )A ．10B ．355C ． 6D ．35B [点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355.] 6．(2019·深圳市高一期末)直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0C [由题意知直线l 与AB 垂直，且过A 点，∴k l ·k AB ＝－1，又∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴k l ＝－3，∴l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.](1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．(2)应用两平行线间的距离公式时要把两直线方程中x，y的系数化为相等的数.。

数学课程教案科目数学章节直线方程授课题目（教学章、节或主题）：直线方程教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1、通过本次课的学习初步建立学习的信心。

2、掌握直线方程的基本表达式。

3、直线方程的简单应用。

教学重点及难点：直线方程的简单应用。

教学基本内容方法及手段1、高三复习八大诀窍2、直线方程的五种基本表达式。

3、直线方程简单应用。

1、讲授法2、讨论法3、练习法作业、讨论题、思考题：见发给学生试卷。

课后小结：通过本次课的学习，学生掌握了直线方程的5种基本表达式及简单应用。

附页：教学内容高三第一轮复习8大诀窍高考(论坛)是大家学习中的重要环节，甚至可以说是每一位学生一生中的一个重要“关口”，而要顺利通过这个关口，高三一年的学习是至关重要的。

高考虽然是通过一次考试来选拔人才，但它绝不仅仅是一次知识上的考察，而是对学生高中三年，以至于进入学校十几年来的综合能力的检验。

高三的学习不同于高一、高二学习，他不是高一、高二的知识重复，而是基础知识的重组和提高，如何顺利完成高三一年的学习，不仅是每一位高三学生，也是学生家长迫切想知道的，下面是给同学的一些建议，希望能对同学在高三的学习过程中较好的处理各种困难，顺利进入高等学校。

1．关于“听话”高三学生首先要做到“听话”，这里的“听话”是全方位的。

如果你认为高三学习是第一位的，而忽视了对自己的日常行为的要求，那你就错了，学校和老师在高三一年中不会因为学习任务的加重，而放松对纪律的要求，反而会强化纪律以保证学习的正常进行。

学习上更要听话，而不听老师的教诲，认为自有一套很好的复习方法的学生（每年都有）最后会碰的“头破血流”的。

2．关于“上课”高考是个人行为，也是集体行为，复习中最重要的环节就是“听讲”，这就要求学生上课时紧跟老师，仔细听讲，积极思考，倾听别人的想法，提出自己的见解，在讨论中完成对知识、方法、能力的提高。

如果高三任课教师发生变化，大家应该尽快适应。

第5章点、直线、平面之间的位置关系考纲展示考情汇总备考指导点、直线、平面之间的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理.◆如果平面外一条直线与此平面内的2017年1月T212018年1月T212020年1月T21本章的重点和难点都是空间直线、平面之间平行、垂直关系的证明，熟练掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行判定和性质定理、垂直的判定定理是解决此类问题的关键，另外此类问题在学业水平考试中常以解答题的形式出现，所以要注意解题步骤的完整.一条直线平行，那么该直线与此平面平行.◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理.◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.◆垂直于同一个平面的两条直线平行.◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.空间平行关系的判定和性质1．空间点、直线、平面之间的位置关系(1)平面的基本性质①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：过直线和直线外一点，可确定一个平面． 推论2：过两相交直线，可确定一个平面． 推论3：过两条平行直线，可确定一个平面． ④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． (2)空间中直线与直线之间的位置关系①空间中两条直线有三种位置关系：平行、相交、异面． ②相交直线与平行直线统称为共面直线．③异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线，所成的角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 ①直线与平面相交——有且只有一个公共点． ②直线在平面内——有无数个公共点． ③直线与平面平行——没有公共点． ④空间中两平面的位置关系——平行、相交． 2．直线、平面平行的判定及其性质 (1)直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (3)平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (4)平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．[学考真题对练](2018·1月广东学考)如图所示，在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PB ＝BC ，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC ，PC 于点D ，E .(1)证明：EF ∥平面ABP ； (2)证明：BD ⊥AC ．[证明] (1)∵DE垂直平分PC，∴E为PC的中点，又∵F为BC的中点，∴EF为△BCP的中位线，∴EF∥BP，又∵EF⊄平面ABP，BP⊂平面ABP，∴EF∥平面ABP.(2)连接BE，∵PB＝BC，E为PC的中点，∴PC⊥BE，∵DE垂直平分PC，∴PC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴PC⊥平面BDE，又∵BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD，∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD，又∵PC∩PA＝P，PC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又∵AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC．1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．[最新模拟快练]1．(2019·江门学考模拟)若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是( )A．平行B．相交C ．异面D ．平行、相交或异面D [画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D ．]2．(2019·深圳高一期末)α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c⇒α∥a ；⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α.A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内．]3．(2019·揭阳学考模拟)如图，在三棱锥P ­ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△PAB 是等边三角形，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝2，O ，D 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：PA ∥平面COD ； (2)求三棱锥P ­ABC 的体积．[解] (1)证明：∵O ，D 分别是AB ，PB 的中点， ∴OD ∥AP .又PA ⊄平面COD ，OD ⊂平面COD ，∴PA ∥平面COD ． (2)连接OP ，由△PAB 是等边三角形，则OP ⊥AB 又∵平面PAB ⊥平面ABC ，∴OP ⊥面ABC ，且OP ＝32×22＝ 6.∴三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OP＝13×12×22×6＝263. 4.(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角．[解] (1)证明：如图所示，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD ． 因为E 是A 1C 1的中点， 所以DE 綊12B 1C 1. 又因为BC 綊B 1C 1，BF ＝12BC ，所以DE 綊BF . 所以四边形BDEF 为平行四边形．所以BD ∥EF . 又因为BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ，所以EF ∥平面AA 1B 1B ． (2)如图所示，取AC 的中点H ，连接HF ，EH .因为EH ∥AA 1，AA 1⊥平面ABC ，所以EH ⊥平面ABC ．所以∠EFH 就是EF 与平面ABC 所成的角．在Rt△EHF 中，FH ＝3，EH ＝AA 1＝3， 所以∠EFH ＝60°. 故EF 与平面ABC 所成的角为60°.5．(2019·梅州高一期中考试)如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．求证：CD ∥平面EFGH .[证明] ∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD．又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.6.(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E是PA的中点．求证：(1)PC∥平面EBD；(2)平面PBC⊥平面PCD．[证明] (1)连接AC交BD于O，连接EO，∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC．∵PC⊄平面EBD，EO⊂平面EBD，∴PC∥平面EBD．(2)∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，又∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．空间垂直关系的判定和性质直线、平面垂直的判定及其性质(1)直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．(3)平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(4)平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[学考真题对练](2020·1月广东学考)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是BC，AB1的中点．(1)证明：DE∥平面ACC1A1；(2)若BB1＝1，证明：C1D⊥平面ADE.[解](1)证明：连接A1B，A1C，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，因为点E是AB1的中点，所以点E是A1B的中点，又因为点D是BC的中点，所以DE∥A1C，因为DE⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以DE∥平面ACC1A1.(2)连接B1D，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，因为BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD，又因为底面ABC是等边三角形，D为BC的中点，所以BC⊥AD，又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面B1BCC1，又C1D⊂平面B1BCC1，所以AD⊥C1D，由BC＝2，得BD＝1，又BB1＝CC1＝1，所以DB1＝C1D＝2，所以DB21＋C1D2＝B1C21，所以C1D⊥DB1，DB1∩AD＝D，所以C1D⊥平面ADB1，即C1D⊥平面ADE.1.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线．(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．[最新模拟快练]1．(2018·广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥nC [∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .]2．(2019·惠州高一期末)如图，在三棱锥P ­ABC 中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H .(1)证明：PC ⊥平面BOH ；(2)若OH ＝OB ＝3，求三棱锥A ­BOH 的体积．[解] (1)证明：∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴BO ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ， 且BO ⊂平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，∴BO ⊥平面PAC ， ∴BO ⊥PC ，又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴PC ⊥平面BOH . (2)∵△HAO 与△HOC 面积相等，∴V A ­BOH ＝V B ­HAO ＝V B ­HOC ， ∵BO ⊥平面PAC ，∴V B ­HOC ＝13S △OHC ·OB ，∵OH ＝3，∠HOC ＝30°∴HC ＝1， ∴S △OHC ＝12CH ·OH ＝32，∴V B ­OCH＝13×32×3＝12，即V A ­BOH ＝12. 3.(2018·江门市学考模拟题)如图，在三棱锥P ­ABC 中，PA ＝PC ＝5，PB ＝4，AB ＝BC ＝23，∠ACB ＝30°.(1)求证：AC ⊥PB ；(2)求三棱锥P ­ABC 的体积．[解] (1)证明：取AC 中点D ，连接PD 、BD ，在△ABC 中：AB ＝BC ，D 为AC 中点， ∴BD ⊥AC ，在△PAC 中PA ＝PC ，D 为AC 中点，∴PD ⊥AC ． 又∵BD ∩PD ＝D ，BD 、PD ⊂面PBD ， ∴AC ⊥面PBD ，∵PB ⊂面PBD ，∴AC ⊥PB ．(2)法一：V P ­ABC ＝V P ­ABD ＋V P ­BCD ＝V A ­PBD ＋V C ­PBD在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ACB ＝30°，D 是AC 中点，∴BD ＝ 3 ，AD ＝DC ＝3， 在△PCD 中，PD ⊥DC ，PC ＝5，DC ＝3，∴PD ＝4. ∴S △PBD ＝12×42－⎝⎛⎭⎪⎫322×3＝1834. V A ­PBD ＝13×S △PBD ×AD ＝13×1834×3＝1834， 又V C ­PBD ＝V A ­PBD ＝1834，∴V P ­ABC ＝V A ­PBD ＋V C ­PBD ＝1832. 法二：取BD 中点M ，连接PM ，由(1)可知AC ⊥面PBD ，又∵PM ⊂面PBD ，∴AC ⊥PM ，在△ABC 中，∵AB ＝BC ，∠ACB ＝30°，D 是AC 中点，∴BD ＝3，AD ＝DC ＝3，在△PCD 中，∵PD ⊥DC ，PC ＝5，DC ＝3，∴PD ＝4，∴PBD 为等腰三角形，∴PM ⊥BD ，又∵AC ∩BD ＝D ，AC 、BD ⊂面ABC ，∴PM ⊥面ABC ，即PM 为三棱锥P ­ABC 的高h ，易得PM ＝612. ∴V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×12×6×3×612＝1832.4．(2020·广东学考模拟)在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DBA ＝60°，∠SAD ＝30°，AD ＝SD ＝23，BA ＝BS ＝4.(1)证明：BD ⊥平面SAD ； (2)求点C 到平面SAB 的距离．[解] (1)证明：△ADB 中，由余弦定理可得BD ＝2，∴BD 2＋AD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ． 取SA 的中点E ，连接DE ，BE ，则DE ⊥SA ，BE ⊥SA ，∵DE ∩BE ＝E ，∴SA ⊥平面BDE ，∴SA ⊥BD ，∵SA ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面SAD ；(2)点C 到平面SAB 的距离＝点D 到平面SAB 的距离h .△SAD 中，∠SAD ＝30°，AD ＝SD ＝23， ∴S △SAD ＝12×23×23×32＝33， △SAB 中，BA ＝BS ＝4，SA ＝6，∴S △SAB ＝12×6×16－9＝37， 由等体积可得13×33×2＝13×37h ， ∴h ＝2217. 5．(2019·广州学考模拟) 如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝6，BD ＝63，E 是PB 上任意一点．(1)求证：AC ⊥DE .(2)当△AEC 面积的最小值是9时，求证：EC ⊥平面PAB ．[证明] (1)设AC 与BD 相交于点F .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PDB ．因为E 为PB 上任意一点，所以DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE .(2)连接EF .由(1)知AC ⊥平面PBD ，EF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥EF . S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB ．S △ACE ＝12AC ·EF ＝12×6×EF ＝9，解得EF ＝3，由PB ⊥EF ，PB ⊥AC 且AC ∩EF ＝F ，得PB ⊥平面AEC ，则PB ⊥EC ， 又由EF ＝AF ＝FC ＝3得EC ⊥AE ，而PB ∩AE ＝E ，故EC ⊥平面PAB ．。

第1章集合与函数概念考纲展示考情汇总备考指导函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质.2017年1月T2，2017年1月T14，2018年1月T32018年1月T142019年1月T32019年1月T192020年1月T52020年1月T7集合的基本运算1．集合的概念与性质集合是指定的某些对象的全体．集合中元素的特性有：确定性(集合中的元素应该是确定的，不能模棱两可)、互异性(集合中的元素应该是互不相同的)、无序性(集合中元素的排列是无序的)．元素和集合的关系是属于或不属于关系．表示集合的方法要掌握字母表示法、列举法、描述法及Venn图法．根据元素个数的多少集合可分为：有限集、无限集．2．集合间的基本关系及基本运算关系或运算自然语言符号语言图形语言A⊆B(或B⊇A)集合A中任意一个元素都是集合B中的元素.A⊆B(或B⊇A) ⇔(x∈A⇒x∈B)A∩B由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合.A∩B＝{x|x∈A且x∈B}A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合.A∪B＝{x|x∈A或x∈B}∁U A已知全集U，集合A⊆U，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A相对于U的补集.∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}1．(2018·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|－1≤x<2}，则M∩N＝( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1}C．M D．NB[M∩N＝{－1,0,1}，故选B．]2．(2019·1月广东学考)已知集合A＝{0,2,4}，B＝{－2，0,2}，则A∪B＝( ) A．{0,2} B．{－2,4}C．[0,2] D．{－2,0,2,4}D[A∪B＝{－2,0,2,4}．]3．(2020·1月广东学考)已知集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∪N＝( ) A．M B．NC．{－1,0,1,2,3} D．{1,2}C[∵M＝{－1,0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∪N＝{－1,0,1,2,3}．故选C．]集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(3)集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．[最新模拟快练]1．(2020·广东学考模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}，故选A．]2．(2019·深圳学考模拟题)已知A＝{2,4,5}，B＝{3,5,7}，则A∪B＝( )A．{5} B．{2,4,5}C．{3,5,7} D．{2,3,4,5,7}D[A∪B＝{2,3,4,5,7}，故选D．]3．(2019·佛山高一期中) 设集合A＝{x|－2＜x＜7 }，B＝{x|x＞1，x∈N}，则A∩B 的元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6C[A∩B＝{x|－2＜x＜7，且x＞1，x∈N} ，即A∩B＝{2,3,4,5,6}，因此，A与B的交集中含有5个元素．]4．(2018·深圳市高一月考)若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( ) A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅A[因2x>0，而x2≥0，∴B A．]5．(2018·东莞市高一期末)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B 等于( )A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅C[A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．]6．(2018·佛山市高一期末)已知全集U＝R，则正确表示集合A＝{－1,0,1}和B＝{x|x2＝x}关系的韦恩图是( )B[∵集合B＝{x|x2＝x}，∴集合B＝{0,1}，∵集合A＝{－1,0,1}，∴B⊆A．]7．(2019·广州高一月考)已知集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|x<1}，则A∪B＝( ) A．(－2,1) B．(－2,3)C．(－∞，1) D．(－∞，3)D[∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<1}，∴A∪B＝{x|x<3}＝(－∞，3)．选D．]8．(2019·潮州高一期末)已知集合A＝{3,4,5,6}，B＝{a}，若A∩B＝{6}，则a＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6D [∵A ∩B ＝{6}，∴6∈B ，∴a ＝6.]函数及其表示1．函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．2．函数的三要素定义域、值域和对应关系． 3．函数的表示解析法、列表法、图象法．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－1，x ≥02x，x <0，设f (0)＝a ，则f (a )＝( )A ．－2B ．－1C ．12D ．0C [∵a ＝f (0)＝03－1＝－1，∴f (a )＝f (－1)＝2－1＝12，故选C ．]2．(2019·1月广东学考)函数y ＝log 3(x ＋2)的定义域为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)A [x ＋2>0，x >－2.]3．(2020·1月广东学考)函数f (x )＝x 2－4x 的定义域是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪ [4，＋∞)D [要使f (x )有意义，则x 2－4x ≥0，解得x ≤0或x ≥4， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪ [4，＋∞)．故选D ．]1.常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R . (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．分段函数两种题型的求解策略 (1)根据分段函数的解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．1．(2019·揭阳学考模拟题)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(－∞，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．(0,1)D ．[0,1]A [由题意得：x 2－x >0，解得：x >1或x <0，故函数的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)．]2．(2019·汕头学考模拟题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤02x ＋1，x >0，则f (－2)＋f (1)＝( )A ．3B ．6C ．7D ．10B [f (－2)＋f (1)＝3＋3＝6.]3．(2019·深圳高一月考)下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )图象的是( )A [A 选项中，当x ＝0时，有两个y 与之对应，与定义矛盾．]4．(2018·东莞市高一月考)若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 B [设t ＝3x ＋2，∴x ＝t －23，所以函数式转化为f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2，所以函数式为f (x )＝3x ＋2.]5．(2018·汕头市高一期中)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝1，y ＝xxB ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1 C ．y ＝x ，y ＝3x 3D ．y ＝|x |，y ＝(x )2C [A 选项y ＝1，y ＝x x定义域不同，不表示同一函数；B ．y ＝x －1×x ＋1，y ＝x 2－1定义域不同，不表示同一函数；D ．y ＝|x |，y ＝(x )2定义域不同，不表示同一函数，选C ．]6．(2019·广州高一期末)函数y ＝x |x |的图象大致是( )C [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以选C ．]函数的基本性质1．函数的最值函数最大(小)值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ；其次函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )．2．函数的单调性如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜(＞)f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增(减)函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．3．函数的奇偶性如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )[f (－x )＝－f (x )]，那么函数f (x )就称为偶(奇)函数．偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．函数的奇偶性是一个整体的概念．函数具有奇偶性的一个前提条件是定义域关于原点对称．[学考真题对练]1．(2018·1月广东学考)设函数f (x )是定义在R 上的减函数，且f (x )为奇函数，若x 1<0，x 2>0，则下列结论不正确的是( )A ．f (0)＝0B ．f (x 1)>0C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≤f (2)D [对于A 项，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，正确； 对于B 项，∵f (x )为R 上的减函数，∴x 1<0⇒f (x 1)>f (0)＝0，正确； 对于C 项，∵x 2>0，∴x 2＋1x 2≥2x 2·1x 2＝2(当且仅当x 2＝1x 2，即x 2＝1时等号成立)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2≤f (2)，正确；对于D 项，∵x 1<0，∴x 1＋1x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋1－x 1≤－2－x 1·1－x 1＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1≥f (－2)＝－f (2)，错误．故选D ．]2．(2020·1月广东学考)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋3 B ．f (x )＝x 2－2 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝1xB [对于A ，f (x )＝x ＋3，为一次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 2－2，为二次函数且其对称轴为y 轴，是偶函数，符合题意， 对于C ，f (x )＝x 3，是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝1x，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选B ．]3．(2019·1月广东学考)已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－4x ，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝ .－x 2－4x [∵x >0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ，又∵y ＝f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x .](1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.[最新模拟快练]1．(2019·佛山高一月考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1C [函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C ．]2．(2020·广东学考模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (1)的x 取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(－1,1)B [根据题意，f (x )为偶函数，则f (2x －1)<f (1)⇒f (|2x －1|)<f (1)， 又由函数在区间[0，＋∞)上单调递增， 则f (|2x －1|)<f (1)⇒|2x －1|<1， 解得：0<x <1，故选B ．]3．(2018·东莞市高一月考)已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1A [∵函数f (x )＝1x 在区间[1,2]上单调递减，∴A ＝1，B ＝12，∴A －B ＝12，故选A ．]4．(2019·揭阳高一期末)f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝ .－2 [f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.]5．(2019·中山学考模拟题)若函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．(－∞，－6]∪[6，＋∞) [因为函数y ＝3x 2－ax ＋5在[－1,1]上是单调函数，所以a6≤－1或a6≥1，解得a ≤－6或a ≥6.∴实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[6，＋∞)．]6．(2018·广州市学考模拟题)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g x ＋n2g x ＋m是奇函数．(1)确定y ＝g (x )的解析式；(2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．[解] (1)由题意设g (x )＝a x ，a >0且a ≠1，则g (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，所以y ＝g (x )＝2x .(2)由(1)知：f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m ，因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即n －12＋m＝0⇒n ＝1，∴f (x )＝1－2x 2x ＋1＋m ，又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1⇒m ＝2. (3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式： f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.。

考纲展示考情汇总备考指导圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2017年1月T122018年1月T192019年1月T122020年1月T12本章的重点是求根据所给条件求圆的方程、直线与圆的位置关系的判定与应用,难点是与圆有关的综合问题，解决与圆有关的问题时，要特别注意应空间直角坐标系①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置．②会推导空间两点间的距离公式。

用圆的几何性质，而不是只应用代数运算，前者往往更简洁.求圆的方程1．圆的标准方程圆心坐标是(a,b),半径是r的圆的标准方程是(x－a）2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程当方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0满足D2＋E2－4F〉0时表示圆，此圆的圆心坐标为错误!，半径为错误!错误!.［学考真题对练]1．（2017· 1月广东学考)已知点A（－1, 8）和B（5，2），则以线段AB为直径的圆的标准方程是（)A．（x＋2)2＋(y＋5）2＝3错误!B．(x＋2)2＋（y＋5)2＝18C．(x－2)2＋（y－5)2＝32D．(x－2)2＋(y－5）2＝18D［圆的标准方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2，其中圆心为C错误!＝（2,5），半径为r＝错误!错误!＝3错误!.∴所求圆的标准方程为(x－2）2＋（y－5)2＝18.］2．（2018· 1月广东学考）圆心为两直线x＋y－2＝0和－x＋3y ＋10＝0的交点，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程是．(x－4）2＋(y＋2)2＝2 ［联立错误!得错误!⇒圆心为(4,－2），则圆心(4，－2)到直线x＋y－4＝0的距离为d＝错误!＝错误!，故圆的半径为错误!。

∴圆的标准方程为(x－4)2＋（y＋2）2＝2。

2021年高考数学一轮总复习 8.1 直线与方程教案理新人教A版高考导航知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一 直线的倾斜角【例1】直线2xcos α－y －3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是( )A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cos α≤32，k ＝2cos α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m ＋3，m)，N(m －2,1)，当m ∈ 时，直线MN 的倾斜角为锐角；当m ＝ 时，直线MN 的倾斜角为直角；当m ∈ 时，直线MN 的倾斜角为钝角.【解析】直线MN 的倾斜角为锐角时，k ＝m －12m ＋3－m ＋2＝m －1m ＋5＞0⇒m ＜－5或m ＞1；直线MN 的倾斜角为直角时，2m ＋3＝m －2⇒m ＝－5；直线MN 的倾斜角为钝角时，k ＝m －12m ＋3－m ＋2＝m －1m ＋5＜0⇒－5＜m ＜1.题型二 直线的斜率【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，求直线l 的斜率.【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB ＝－2＋53＋1＝34， 设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ＝34，l 的倾斜角为2θ，tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.所以直线l 的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l 的倾斜角，且有sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率为( )A.34B.43C.－43D.－34或－43【解析】选C.sin α＋cos α＝15⇒sin αcos α＝－1225＜0⇒sin α＝45，cos α＝－35或cos α＝45，sin α＝－35(舍去)，故直线l 的斜率k ＝tan α＝sin αcos α＝－43.题型三 直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等； (2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x －3y ＝0；当截距不为0时，设方程为x a ＋ya ＝1，把(3,2)代入，得a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.故所求直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)当斜率不存在时，直线方程x －2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y －1＝k(x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k ＝－34，方程为3x ＋4y －10＝0.故所求直线方程为x －2＝0或3x ＋4y －10＝0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程. 【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y ＝kx.因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k ，得k ＝－43.此时直线方程为y ＝－43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为x a ＋y－a＝1，因为直线过点P(3，－4)，所以a ＝3＋4＝7.此时方程为x －y －7＝0. 综上，所求直线方程为4x ＋3y ＝0或x －y －7＝0. 题型四 直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，点O 为坐标原点，当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程.【解析】方法一：设直线方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由于点P 在直线上，所以2a ＋1b ＝1.2a ·1b ≤(2a ＋1b 2)2＝14， 当2a ＝1b ＝12时，即a ＝4，b ＝2时，1a ·1b 取最大值18， 即S △AOB ＝12ab 取最小值4，所求的直线方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.方法二：设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)，直线与x 轴的交点为A(2k －1k ，0)，直线与y 轴的交点为B(0，－2k ＋1)，由题意知2k －1＜0，k ＜0,1－2k ＞0.S △AOB ＝12(1－2k) ·2k －1k ＝12[(－1k )＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)·(－4k)＋4]＝4. 当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，S △AOB 有最小值，所求的直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l ：mx －(m2＋1)y ＝4m(m ∈R).求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】由直线l 的方程得其斜率k ＝mm2＋1. 若m ＝0，则k ＝0；若m ＞0，则k ＝1m ＋1m≤12m ·1m＝12，所以0＜k≤12；若m ＜0，则k ＝1m ＋1m ＝－1－m －1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.综上，－12≤k≤12.总结提高1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k ＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k ＝tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形. 2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.。

直线与方程一、选择题1．(2024·惠州学考模拟)直线x ＝1的倾斜角是( ) A ．0 B ．45° C ．90°D ．不存在C [直线x ＝1与x 轴垂直，故倾斜角为90°.]2．若经过A (m,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1D ．－2A [由题意知，tan 45°＝2－31－m，得m ＝2.]3．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 改变时，全部的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1)D ．(－3，－1)C [直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．]4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0B [∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.]5．直线l 的方程x －2y ＋6＝0的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距分别为( ) A ．12，－6,3B ．12，6,3C ．2，－6,3D ．12，－6，－3A [直线l 的方程x －2y ＋6＝0的斜率为12；当y ＝0时直线在x 轴上的截距为－6；当x＝0时直线在y 轴上的截距为3.故选A ．]6．直线x ＋(1＋m )y ＝2－m 和直线mx ＋2y ＋8＝0平行，则m 的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．1或－2D ．－23A [∵直线x ＋(1＋m )y ＝2－m 和直线mx ＋2y ＋8＝0平行，∴1×2－(1＋m )m ＝0，解得m ＝1或－2，当m ＝－2时，两直线重合．故选A ．] 7．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A ，B 应满意的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0D ．A 2＋B 2≠0D [方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A ，B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.] 8．若点(4，a )到直线4x －3y ＝1的距离不大于3，则a 的取值范围是( ) A ．[0,10] B ．⎣⎡⎦⎤13，313 C ．(0,10)D ．(]－∞，0∪[)10，＋∞A [d ＝|4×4－3a －1|42＋(－3)2＝|15－3a |5≤3，|3a －15|≤15，∴－15≤3a －15≤15,0≤a ≤10.]9．直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(2,1) C ．(0,2)D ．(1,2)C [联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0,2)．]10．若直线l 1：x －2y ＋1＝0与l 2：2x ＋ay －2＝0平行，则l 1与l 2的距离为( ) A ．55B ．255C ．15D ．25B [若直线l 1：x －2y ＋1＝0与l 2：2x ＋ay －2＝0平行，则12＝－2a ≠1－2，解得a ＝－4.故l 1：x －2y ＋1＝0与l 2：x －2y －1＝0的距离是d ＝21＋4＝255.] 11．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( ) A ．y ＋2＝3(x －3) B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x －3) C [直线的斜率k ＝tan 60°＝3，由点斜式可得直线的方程为y －2＝3(x ＋3)，所以选C ．]12．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0A [过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线的斜率为12，由点斜式求得直线的方程为y －3＝12(x －2)，化简可得x －2y ＋4＝0，故选A ．]13．已知直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1A [明显a ≠0.把直线l ：ax ＋y －2＝0化为x 2a ＋y2＝1.∵直线l ：ax ＋y －2＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，∴2a＝2，解得a ＝1，故选A ．]14．点M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)，则( ) A ．m ＝－3，n ＝10 B ．m ＝3，n ＝10 C ．m ＝－3，n ＝5D ．m ＝3，n ＝5D [∵M (4，m )关于点N (n ，－3)的对称点为P (6，－9)， ∴4＋62＝n ，m －92＝－3；∴n ＝5，m ＝3，故选D ．] 15．顺次连接A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)所构成的图形是( )A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对B [k AB ＝k DC ，k AD ≠k BC ，k AD ·k AB ＝k AD ·k DC ＝－1，故构成的图形为直角梯形．] 二、填空题16．已知直线l 1：3x －y ＋2＝0，l 2：mx －y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则m ＝ . 3 [∵l 1∥l 2，∴kl 1＝kl 2，3＝m ，即m ＝3.]17．直线l 经过点P (1，－1)，且它的倾斜角是直线x －y ＋2＝0的倾斜角的2倍，那么直线l 的方程是 ．x ＝1 [∵直线l 经过点P (1，－1)，且它的倾斜角是直线x －y ＋2＝0的倾斜角的2倍，直线x －y ＋2＝0的斜率为k ＝1，倾斜角为45°，∴直线l 过点P (1，－1)，倾斜角为90°，∴直线l 的方程为x ＝1.]18．若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是 ．⎣⎡⎦⎤13，313 [由题意知0≤|4×4－3a |42＋(－3)2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，313.] 19．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则直线l 1与l 2之间的距离为 ．104 [∵直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，∴－2m ＝3， ∴m ＝－23，故直线l 1：6x －2y ＋3＝0，直线l 2：6x －2y －2＝0.则直线l 1与l 2之间的距离为|3－(－2)|62＋(－2)2＝104.] 三、解答题20．已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时， l 1与l 2 (1)相交； (2)平行； (3)重合．[解] 由题意得，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1·3m －(m －2)·m 2＝0，1·2m －(m －2)·6≠0，可得m ＝－1或m ＝0；l 1与l 2相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧1·3m －(m －2)·m 2≠0，1·2m －(m －2)·6≠0，得m ≠－1，m ≠0，且m ≠3；l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧1·3m －(m －2)·m 2＝0，1·2m －(m －2)·6＝0，可得m ＝3. 综上，(1)当m ≠－1，m ≠0且m ≠3时，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．21．当m 取何值时，直线l 1：5x －2y ＋3m (3m ＋1)＝0与l 2：2x ＋6y －3m (9m ＋20)＝0的交点到直线l 3：4x －3y －12＝0的距离最短？这个最短距离是多少？[解] 设l 1与l 2的交点为M ，则由⎩⎪⎨⎪⎧5x －2y ＋3m (3m ＋1)＝0，2x ＋6y －3m (9m ＋20)＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，9m 2＋18m 2.设M 到l 3的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪12m －32(9m 2＋18m )－1242＋(－3)2＝110×⎣⎢⎡⎦⎥⎤27⎝⎛⎭⎫m ＋592＋473.故当m ＝－59时，距离最短，且d min ＝4730.。