10-11-1复变函数考试题A 2

复变函数综合测试题库（解答）一、选择题（单选题）1、复数z i =的幅角主值为（ C ） （A ）3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6π2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ A ） （A ）2sin 2θ （B ）2sin2θ- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-3、设z =，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=4、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则21ωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-5、函数()f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ D ）（A ）,,,u u v vx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续 （B ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内存在，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （D ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 8、1(0)()nz a dz z a ρρ-=>-⎰的值为（ A ）（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 9、1zz e dz z==⎰（ C ） （A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+= 10、()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z （D ）()nz n N ∈ 11、复级数1n n z ∞=∑收敛的必要条件是（ D ）（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z =（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=12、幂级数11nn n z n∞=+∑的收敛半径为（A ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、0z =为()sin f z z z =-的（ D ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）3阶零点 14、设1()1zf z e =-，则0z =是()f z 的（ A ） （A ）1阶极点 （B ）2阶极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 15、0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ B ） （A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ C ） （A ）2π （B ）2π- （C ）4π（D ）4π-17、复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ A ） （A ）2cos 2θ （B ）2cos2θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+18、设z =，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=19、若122ω=-+，则23ωωω++=（ A ） （A ）0 （B ）ω （C ）2ω （D ）ω- 20、函数()Re f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 21、下列哪些点集是区域（B ） （A ）Im 0z = （B ）1Re 2z >（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、若()f z u iv =+，且在区域D 内满足,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂，则（ D ） （A ）()f z 在D 内解析 （B ）()f z 在D 内不解析 （C ）()f z 在D 内可微 （D ）()f z 在D 内不一定可微23、113z dz z =-⎰的值为（ B ） （A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、1sin z zdz z==⎰（ A ） （A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-25、若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00uxu y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，则()f z 在区域D 内为（B ）（A ）0 （B ）常数 （C ）不一定为常数 （D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞=∑收敛，则（ D ）（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z ≠（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=27、幂级数11!nn z n ∞=+∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、0z =为()1cos f z z =-的（ D ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）2阶零点29、设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ B ）（A ）非孤立奇点 （B ）极点 （C ）本性奇点 （D ）解析点 30、变换az bw cz d+=+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ A ） （A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a bc d= （D ）a b c d ===31、复数1z =的幅角主值为（ C ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π（D ）3π-32、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则345ωωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-33、下列等式正确的是（ B ）（A ）z z z ⋅= （B ）2z z z ⋅= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、下列哪些函数在复平面上解析（ A ）（A ）sin z （B ）z （C ）2z （D ）Re z 35、满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 36、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（B ） （A ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ （B ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （D ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 37、设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-<⊂，在U 上()0f z =，则在D 内的（ D ）（A ）()f z 不恒为零 （B ）()f z 为不为零的常数 （C ）()f z 只有惟一的零点 （D ）()0f z ≡38、1()nCdz z a -⎰（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ A ） （A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、21zz e dz z ==⎰（ C ）（A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）i π 40、()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z41、在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞=∑的函数只能是（ D ）（A ）1(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1(1)1z z<-42、幂级数21121n n z n -∞=-∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、若1()cosf z z i=+，则z i =-是()f z 的（ D ） （A ）可去奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）极点 （D ）本性奇点 44、若()()g z f z z a=-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ A ） （A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '45、变换(01)1z aw a a z-=<<-⋅把单位圆1z <保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、arg(34)i -+=（ C ）（A ）3arctan4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4arctan 3π+ 47、若ω是方程31z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ A ）（A ）ω （B ）ω- （C ）2ω- （D ）i48、下列等式不正确的是（ B ）（A ）2z z z ⋅= （B ）1212arg arg arg z z z z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （C ）1212rg rg rg A z z A z A z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、下列哪些函数在复平面上不解析（ A ）（A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）ze -50、设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（B ）（A ）无界区域 （B ）有界单连通区域 （C ）多连通区域 （D ）闭区域 51、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（B ） （A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件 （D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件52、设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()Cf z dz z=⎰（ D ） （A ）2(0)i f π⋅ （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π⋅53、11cos z dz z==⎰（ A ） （A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π54、若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ C ） （A ）0 （B ）z （C ）常数 （D ）ze55、()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z 56、在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ D ） （A ）sin()2z π+ （B ）sin()z π+（C ）sin iz （D ）sin z57、若幂级数1nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1nn n a z ∞=∑（B ）（A ）不绝对收敛 （B ）一致收敛且绝对收敛 （C ）绝对收敛但不一致收敛 （D ）一致收敛但不绝对收敛 58、0z =为21cos ()zf z z-=的（ D ） （A ）本性奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）二阶极点 （D ）可去奇点59、函数1()z e f z z-=在0z =处的留数为（ A ）（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、变换z iw z i-=+把上半平面Im 0z >保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 61、若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）4π-（B ）4π（C ）34π- （D ）34π 62、若21z =-，则z 等于（ B ）（A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±63、下列点集是区域的是（ C ）（A ）1{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2z z > （D ）2{1}z z = 64、设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上解析 （B ）()f z 在0z =可导 （C ）()f z 在z 平面上处处可导 （D ）()f z 在z 平面上连续 65、设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ A ） （A ）()f z 在D 内不一定解析 （B ）()f z 在D 内解析 （C ）()f z 在D 内可导 （D ）()f z 在D 内一定不可导 66、下列哪些函数在z 平面上解析（B ）（A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）ze 67、11cos z dz z==⎰（ C ） （A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、1zz e dz z==⎰（ D ） （A ）0 （B ）1 （C ）12iπ （D ）2i π 69、若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为解析函数 （B ）()f z 有界 （C ）()f z 为周期函数 （D ）()f z 有零点71、复级数0n n i ∞=∑（ C ）（A ）一定收敛 （B ）等于11i- （C ）一定发散 （D ）以上结论都不对 72、设幂级数为00()n n n a z z ∞=-∑，则（ D ）（A ）00()nn n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 （B ）00()n n n a z z ∞=-∑在全平面上收敛（C ）00()nn n a z z ∞=-∑在点0z 不收敛 （D ）00()n n n a z z ∞=-∑在点0z 收敛73、幂级数11n n n n z ∞=+⋅∑的收敛半径为（A ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、幂级数1n n z ∞=∑在1z <内的和函数为（ B ）（A ）11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1z z+ 75、()1cos f z z =-以0z =为（ C ）（A ）一阶零点 （B ）一阶极点 （C ）二阶零点 （D ）二阶极点 76、设()f z 在00z z R <-<内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ D ）（A ）零点 （B ）可去奇点 （C ）非孤立奇点 （D ）极点 77、若21cos ()zf z z-=，则0z =必为()f z 的 （ A ） （A ）可去奇点 （B ）零点 （C ）本性奇点 （D ）二阶极点 78、若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ B ）（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在 （D ）以上结论都不对 79、若1()zf z e =，则Re (,0)s f = （ C ）（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、映射322w z z =+在点z i =处的伸缩率为 （ D ）（A （B ） （C ）25 （D ）581、若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6π 82、若31z =且Im 0z >，则z 等于（ B ）（A ）1 （B ）122i -+ （C ）122+ （D ）122--83、下列点集不是区域的是（ C ）（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、设()f z i z =⋅，则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上处处不连续 （B ）()f z 在z 平面上解析 （C ）()f z 为整函数 （D ）()f z 在z 平面上处处不解析 85、设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ A ）（A ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （C ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ （D ）,u v u v x y y x∂∂∂∂==∂∂∂∂ 86、在z 平面上处处不解析的函数是（B ）（A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin ze87、13z zdz z ==-⎰（ C ） （A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、21sin z z dz z==⎰（ D ） （A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）089、若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）0 （C ）z （D ）ze 90、若()zf z e =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为整函数 （B ）()f z 非周期函数 （C ）()f z 无零点 （D ）()f z 无界 91、幂级数0!nn n z ∞=⋅∑的收敛半径为（ C ）（A ）+∞ （B ）1（C ）0 （D ）以上结论都不对92、设幂级数为0nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ D ）（A ）在z R <内不连续 （B ）在z R <内不解析 （C ）在z R <内不能逐项求导 （D ）在z R <内可逐项积分93、在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0(1)n n n x ∞=-⋅∑的函数只能为（A ）（A ）11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）211z- 94、若1()cos f z z i=+，则z i =-为()f z 的（ B ）（A ）极点 （B ）本性奇点 （C ）可去奇点 （D ）非孤立奇点 95、2()(1)z zf z e =-以0z =为（ C ） （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）一阶极点 （D ）二阶极点 96、若()()z f z z aϕ=-，且()z ϕ在点a 解析，则Re (,)s f a =的（ D ）（A ）0 （B ）()a ϕ' （C ）2()i a πϕ'⋅ （D ）()a ϕ97、22()1ize f z z =+在z i =的留数为 （ A ）（A ）2i i e --（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112e -- 98、ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ B ）（A ）1n n z n ∞=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!n n z n ∞=∑99、变换1i z iw ei zθ-=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ C ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、变换i z iw ez iθ-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ D ） （A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、若12ω=-是方程31z =的根，则下列哪些值不为21ωω++的值（B 、C 、D ） （A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2ω 2、复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为 （ A 、B ） （A ）2sin2θ （B（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin2θ-3、下列点集哪些是区域 （A 、C ） （A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4z π<≤（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =4、若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ A 、B ）（A ）()f z 在z 平面上连续 （B ）()f z 在z 平面上处处不解析 （C ）()f z 在z 平面上解析 （D ）()f z 仅在0z =处解析 5、若1()1f z z=+，则下列结论正确的是 （ A 、C 、D ） （A ）Re (,0)1s f = （B ）2Re (,0)1s f = （C ）2Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ⋅=6、若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（A 、B 、C 、） （A ）ω （B ）3ω （C ）1- （D ）ω-7、复数z =的指数表示形式为 （ A 、C ） （A ）4i z e π-⋅= （B ）4i z eπ⋅= （C ）(2)4i k z eππ-⋅+= （k Z ∈）（D ）(2)4i k z eππ⋅+= （k Z ∈）8、设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是 （B 、C ） （A ）有界单连通区域 （B ）有界闭区域 （C ）无界区域 （D ）区域9、下列哪些函数在全平面上不解析（B 、C 、D ）（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2z 10、若1()sinf z z=，则0z =为()f z 的（ A 、B ） （A ）本性奇点 （B ）孤立奇点 （C ）可去奇点 （D ）极点三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、复数(3)(2)(3)(2)i i z i i +-=-+的模z =1。

哈尔滨工程大学本科生考试试卷（ 2010-2011 年 第一 学期）2011-01-04得分评卷人选择题（每小题2分，共10分）一、1、00Im Im limz z z z z z →-=- （ ）.Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．0 Ｄ．不存在2、若0(1)n n n a z ∞=-∑在3z =发散，则它在 （ ）.A . 1z =-收敛 Ｂ．2z =收敛 C . 2z i =发散 D . 均不正确3、已知函数212()1cos f z z z=--，则0z =，z =∞分别是()f z 的 （ ）.Ａ．二阶极点、孤立奇点 Ｂ．二阶极点、非孤立奇点 Ｃ．可去奇点、孤立奇点 Ｄ．可去奇点、非孤立奇点4、映射3z iw z i-=+在02z i =处的旋转角为 （ ）. Ａ．/2π- Ｂ．0 C ./2π D . π5、下列命题或论断中，正确的个数是 （ ）.I ：Ln z Ln z =Ⅱ：设()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，则u -是v 的共轭调和函数III ：()(,)(,)f z u x y iv x y =+的导数()f z '存在的充要条件是,u v 的偏导数分别存在Ⅳ：()tan(1/)f z z =在任意圆环域0z R <<不能展开为洛朗级数Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3得分评卷人填空题（每小题2分，共10分）二、6、设z i e i =，则Re z = .7、若函数32(,)v x y x axy =+为某一解析函数的虚部，则常数=a .8、设函数cos ze z 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，则它的收敛半径为 .9、设信号()(1)f t t δ=-，则通过Fourier 变换得到的频谱函数()F ω= .10、设1()(1)F s s s =-，则通过Laplace 逆变换得到()f t = . 得分评卷人计算题Ⅰ（每小题5分，共25分）三、11、函数33()23f z x i y =+在何处可导？何处解析？12、设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，且22()(4)u v x y x xy y -=-++，求()f z .13、计算积分()n Cz z dz +⎰，其中:1C z =为负向，n 为整数.14、计算积分(21)(2)C zdzz z +-⎰，其中:3C z =为正向.15、利用留数定理计算定积分201cos d πθθ+⎰.得分评卷人计算题Ⅱ（每小题6分，共18分）四、16、求函数23()32z f z z z -=-+在下列要求下的级数(泰勒或者洛朗级数)展开：(1) 圆1z <内；(2) 环12z <<内；(3) 环11z <-<∞内.17、设2321sin (),:32C e f z d C z iz ξξξξπξξ=-=-⎰正向，试求：(1) ()f z 在复平面上除去3z =的点处的函数表达式； (2) ()f i '及()f i π.18、按照要求逐步完成下列有关保形映射的问题.(1) Z 平面阴影部分是角形区域/6arg /6z ππ-<<，如下图所示。

复变函数题库第一章 复变函数 1. 复数21ii +的指数表示为 主辐角为 三角式为 , z=i ，则Arg z= , 复数z 3/5+4i/5=，则z 为( ), 复数1-的三角式为 , Arg(z+2i)=（）2. 复数的指数式 ，复数11ii -+的三角式 ，复数1i e +的三角式 ，z y ix =+的辐角为3. Im(32)i -= ，Re(32)i += ，arg(22)i += ，复数z 16/25+8i/25=的主辐角为4. 内点指 ，外点指 ，边界点指 ，闭区域指 ,柯西-黎曼方程是复变函数可导的 条件5. 推导直角坐标系和极坐标系下的柯西-黎曼第二章 复变函数的积分1. 极坐标系中的柯西-黎曼方程为2. 调和函数的表达式为3. 复连通区域柯西定理的数学表达形式为4. 单连通区域柯西定理的数学表达形式为5. 柯西公式为6.()nl z dz α-=⎰Ñ ,若z 和α为复数，则1l dz z α=-⎰Ñ7. ()()n f z =8. 已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数9. 已知一个解析函数)(z f 的实部是22u x y xy =-+，(0)0f =,求该解析函数 10. 已知一个解析函数)(z f 的实部是32u 3x xy =-，(0)0f =,求该解析函数 11. 已知一个解析函数)(z f 的虚部是22v yx y=+,求该解析函数 12. 已知一个解析函数)(z f 的实部是u (cos sin )x e x y y y =-，(0)0f =,求该解析函数。

第三章 幂级数展开1. 幂级数11()kk z i k ∞=-∑的收敛圆半径为 ，幂级数1!()k k z k k ∞=∑的收敛圆半径为 ,幂级数1!kk z k k ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的收敛圆半径为 , 幂级数0k k k e t ∞=∑(其中t为复变数)的收敛圆半径为2. 32382(4)z z z +=-是的 阶极点，z i=是221()(1)f z z =+的 阶极点，00zz e =是的 ，若某函数的展开式为0100000!()()kk k f z z z -=-=-∑，则0z 为该函数的 ，若某函数的展开式为00()!()k f z k z z ∞=-∑，则0z 为该函数的 。

复变函数练习题一、选择题1．)0(=z z 的辐射角情况为（ ）。

A 有无穷多个B 有限个C 可能无穷可能有限D 不存在 2．如果21z z e e =则（ ）。

A 21z z =B i z z π221+=C i z z π221-=D i k z z π221+= 3．设}{k a 为复数列，k k k k z b z a Im ,Re ==，则（ ）。

A 级数∑+∞=1k k a 收敛而级数∑+∞=1k k b 不收敛B 级数∑+∞=1k k a 不收敛而级数∑+∞=1k k b 收敛C 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均收敛D 级数∑+∞=1k k a 和∑+∞=1k k b 均不收敛4．nz w =4的支点是（ ）。

A 0B ∞C 0及∞D 不确定5．设f (z)及g (z)都在区域D 内解析，且在D 内的某一段曲线上的值相同，则这两个函数在D 内（ ）。

A 不恒等B 恒等C 相差个非零常数D 不确定 6．方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为（ ）。

A 园B 直线C 椭圆D 双曲线 7．设i z cos =，则（ ）。

A 0Im =zB π=z ReC 0=zD π=z arg 8．设W=Ln(1-I)则Imw 等于（ ）。

A 4π- B ,1,0,42±=-k k ππ C4πD ,1,0,42±=+k k ππ9．解析函数的幂级数展式有（ ）。

A 唯一一个B 无穷多个C 不一定存在D 可数个10．同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（ ）。

A 相同B 不同C 不一定唯一D 以上均错 11．若a 是E 的聚点，则（ ）。

A E a ∈B E a ∉C a 是E 内点D A 、B 均对 12．设C 为正向圆周1=z ，则积分zdzc⎰等于（ ）。

A 0B i π2C π2D π2- 13．3π=z 是函数ππ--=z z z f 3)sin()(3的（ ）。

第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

复变期末考试题及答案复变函数期末考试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若复数 \( z = x + yi \)，则 \( \overline{z} \) 是：A. \( x - yi \)B. \( -x - yi \)C. \( -x + yi \)D. \( x + yi \)2. 复平面上，单位圆上的点 \( z = e^{i\theta} \) 对应的实部是：A. \( \cos\theta \)B. \( \sin\theta \)C. \( \tan\theta \)D. \( \sec\theta \)3. 以下哪个是解析函数：A. \( f(z) = \frac{1}{z} \)B. \( f(z) = z^2 \)C. \( f(z) = \log z \)D. \( f(z) = \sin z \)4. Cauchy-Riemann方程是：A. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partialv}{\partial y} \)B. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\partialv}{\partial y} \)D. 所有选项5. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列哪个说法是正确的：A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析D. 以上都是...二、填空题（每空3分，共30分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是 _________。

2. 如果 \( f(z) = z^3 + 2z^2 + z \)，则 \( f'(z) = _________ \)。

武夷学院期末考试试卷（ 2009 级 数学(本) 专业2010 ～20 11学年度 第 2 学期） 课程名称 复变函数论 A 卷 考试形式 闭卷 考核类型 考试 本试卷共 八 大题，卷面满分100分，答题时间120分钟。

一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．复数i 258-2516z =的辐角为（ B ）A ．arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．设z=cosi ，则（ A ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 3．复数i 3e +对应的点在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ D ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 5．幂级数∑∞=1n 1-n n!z 的收敛区域为（ B ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<6．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点二、填空题：（每题3分,共21分）1．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0lim ()z z f z A →=的充要条件是_______00),(lim ,),(lim 000v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→________________．2．计算:(1)_____31_____)2(222i dz z i-=+⎰+-- ;(2)_____1cosh 2_2cos 20=⎰+dz zi π3．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z af z →=_______∞_____________． 4．设21()1f z z =+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_____1,)1(21<-∑∞=z z n n n ____________．5．=-==o z zz sf i z z e z f )(Re ,)()(42则π______54ππi -___________________． 6.函数)6(sin 6633-+z z z 在零点z=0的阶为 157.||Z e 在闭圆1||0≤-z z 的最大值=1Re 0+z e三、计算题(10分):验证22),(y xy x y x u -+=是调和函数,求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ,使之适合i i f +-=1)(分于是得代入分分有取定点于是积分与路径无关程因上式右端为全微分方则记为调和函数即故解方程1021)211()(21,1)(8)211()21()0,()0,()21221()(621221)2()()2()2(),0,0(.,)2()2(,)(.),(,0,2,2,2,2:22222222220),()0,0(0..-------------------+-==+-=-------------+-=+-+=+≡+++-+-+=+=-+++-=+++-=+++-=+++-=+-=====∂∂+∂∂=+==+-==-=+=⎰⎰⎰-i z i z f C i i f iC z i C z i z z iv z u C y xy x i y xy x iv u z f C y xy x C dy y x dx x dy y x dx y x v dyy x dx y x dy u dx u dy y v dx x v dv iv u z f y x u u u u u y x u y x u y y x x x y R C yy xx yy xx y x四.证明题:(12分)若iy x z +=, 试证:yx z y x i y x z 222sinh cos |cos |)2(;sinh .sin cosh .cos cos )1(+=-=分分解12sinh cos sinh sin )sinh 1(cos sinh sin cosh cos cos 6sinh sin cosh cos sin sin cos cos )cos(cos )1(:22222222222-----------------------------+=⋅++⋅=⋅+⋅=--------------------------------------⋅-⋅=⋅-⋅=+=y x y x y x y x y x z y x i y x iy x iy x iy x z五.证明题:(7分)1:,1||__=++=az b b az z 试证设分此即分由于解71||||4)Re(2||||)Re(2||||||)Re(2||||)Re(2||||||,1||:222222222222--------------=++⇒+=+----++=⋅++=+++=⋅++=+=-----=-------QED az b b az a z b b az z b a a b a z b a z b a z b z b a b a b az b az b az z六.计算题:(12分)将下列函数在指定圆环内内展开为洛郎级数.+∞<<<<-+||1,1||0,)1(12z z z z z 分时当分时解1221)1(21)/11121(1)121(1)1(1,1|1|0,||1621)121(1)1(1,1||0:03203222202222-----+=+=-⋅+=-+=-+<<∞<<--------=--=-+<<∑∑∑∞=+∞=∞=n n n n n nz z z zz z z zz zz z z zz zz z z zz z z z七. 计算题:(8分)ze z 111--类别判定下列函数的奇点及分为非孤立奇点点显然是这些极点的聚点点为原函数的一级极点分为原函数的可去奇点于是又由于或令分母解洛必达法则8.,;,24;021lim 11lim )1(1lim ,200)1()1(1111:*000*--------------------------------∞∞∈=-----------------------=-=++-=+--=====-+-∈=⇒=--+-=--→→→Z k i k z z ze e e e ze e e e z e z Z k i k z z e e z e z z e z z z z z z z z z z z z z z z z ππ 八. 计算题:(求下列积分, 12分))1(cos )2(sin )1(201||>+⎰⎰=a a d zz dzz πθθ分从而分其中的二级极点为则在单位圆内令解602)(Re 2sin 4||0,0),1(1)!31(1sin 1,)(0,1||,sin 1)(:)1(101||121222------------------=⋅=⋅=------<<=++=+-==<=-==-⎰C i z sf i z z dzz C z a zz z z z z f z z zz z f z z πππ 分从而原积分且仅有一个一级极点被积函数内在单位圆域分于是变为闭圆变换下区间在令20121214)(Re 22,121|221)(Re 1)(,1||1512221cos ,1||]2,0[,1,2cos ,)2(222211||21||1201111---------------=-⨯=⋅=-=+=-+-=<-----++=++=+====+=======--⎰⎰⎰a a z f s i i I a a z z f s a a z z f z az z dzi iz dz z z a a d I z e z dz izd z ze z z z z z z z z z i i πππθθπθθπθθ。

1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。

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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。

)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。

复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。

二．判断题（每题3分，共30分）1．n z z z f =)(在0=z 解析。

【 】2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。

【 】 3．z e z f =)(是周期函数。

【 】4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。

【 】 5． 设级数∑∞=0n nc收敛，而||0∑∞=n nc发散，则∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。

【 】 6． 1tan()z能在圆环域)0(||0+∞<<<<R R z 展开成洛朗级数。

【 】 7． n 为大于1的正整数, Ln Ln nz n z =成立。

【 】8．如果函数)(z f =ω在0z 解析，那末映射)(z f =ω在0z 具有保角性。

【 】 9．如果u 是D 内的调和函数,则yu i x u f ∂∂-∂∂=是D 内的解析函数。

【 】10．212233||||221112|2(1)1z z z z dz dz i i z z z z ππ======--⎰⎰。

【 】 三．（8分）y e v pxsin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。

四．（8分） 求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。

五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。

六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。

七．（8分）求将带形区域})Im(0|{a z z <<映射成单位圆的共形映射。

复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)一.填空(各3分)1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21++-+++-ωπδωπδωωj j 。

第一章 复数与复变函数一、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+-（D ）i 2123+- 3．复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）（A ）2 （B ）i 31+（C ）i -3 （D ）i +3７．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --43９．满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）221=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a azaz （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．00)Im()Im(lim0z z z z x x --→（ ）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续15．设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 5．以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线 的内部７．方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为８．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线９．对于映射zi =ω，圆周1)1(22=-+y x 的像曲线为 10．=+++→)21(lim 421z z iz三、若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围．四、设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22.五、设复数i z ±≠，试证21zz+是实数的充要条件为1=z 或0)(=z IM .六、对于映射)1(21zz +=ω，求出圆周4=z 的像.七、试证１.)0(0221≠≥z z z 的充要条件为2121z z z z +=+； ２.)),,2,1,,,0(021n j k j k z z z j =≠≠≥的充要条件为 n n z z z z z z +++=+++ 2121.八、若0)(lim 0≠=→A z f x x ，则存在0>δ，使得当δ<-<00z z 时有A z f 21)(>.九、设iy x z +=，试证y x z y x +≤≤+2.十、设iy x z +=，试讨论下列函数的连续性：1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f2.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f第二章 解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2（C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．函数)Im()(2z z z f =在=z 处的导数( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于1- （D ）不存在6．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2-7．如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( )（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）任意常数 8．设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是（A ）若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （B ）若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 （C ）若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 （D ）若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 9．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 10．ii 的主值为( )（A ）0 （B ）1 （C ）2πe （D ）2π-e11．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 12．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是无界的13．设α为任意实数，则α1( )（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）i e 23π-15．设α是复数，则( )（A ）αz 在复平面上处处解析 （B ）αz 的模为αz（C ）αz 一般是多值函数 （D ）αz 的辐角为z 的辐角的α倍二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设iv u z f +=)(在区域D 内是解析的，如果v u +是实常数，那么)(z f 在D 内是 3．导函数xvix u z f ∂∂+∂∂=')(在区域D 内解析的充要条件为 4．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f 5．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f 6．函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z 处可导7．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为 8．复数ii 的模为 9．=-)}43Im{ln(i 10．方程01=--ze 的全部解为三、设),(),()(y x iv y x u z f +=为iyx z +=的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izz z z iv i z z z z u z z w -++-+=，则0=∂∂z w ．四、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数 1．;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=2．);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=五、设023=+-ze zw w ，求22,dz w d dz dw .六、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,00,)()(422z z y x iy x xy z f 试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(.八、设s 和n 为平面向量，将s按逆时针方向旋转2π即得n .如果iv u z f +=)(为解析函数，则有s v n u n v s u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（s ∂∂与n∂∂分别表示沿s ,n 的方向导数）.九、若函数)(z f 在上半平面内解析，试证函数)(z f 在下半平面内解析.十、解方程i z i z 4cos sin =+.第三章 复变函数的积分一、选择题：1．设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( )（A ）i 6561- （B ）i 6561+- （C ）i 6561-- （D ）i 6561+ 2．设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc⎰+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π （B ）2iπ- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π4 4．设c 为正向圆周2=z ，则=-⎰dz z zc 2)1(cos ( ) （A ）1sin - （B ）1sin （C ）1sin 2i π- （D ）1sin 2i π5．设c 为正向圆周21=z ，则=--⎰dz z z z c23)1(21cos( )（A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π2- （B ）1- （C ）i π2 （D ）17．设)(z f 在单连通域B 内处处解析且不为零，c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)( ( )（A ）于i π2 （B ）等于i π2- （C ）等于0 （D ）不能确定8．设c 是从0到i 21π+的直线段，则积分=⎰cz dz ze （ ）（A ）21eπ-(B) 21eπ-- (C)i e21π+(D) i e21π-9．设c 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰dz z z c1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 10．设c 为正向圆周i a i z ≠=-,1，则=-⎰c dz i a zz 2)(cos ( ) （A ）ie π2 （B ）eiπ2 （C ）0 （D ）i i cos 11．设)(z f 在区域D 内解析，c 为D 内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D ．如果)(z f 在c 上的值为2，那么对c 内任一点0z ,)(0z f ( )（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关 （B ）2)(22≤+⎰cdz iy x ,其中c 为连接i -到i 的线段 （C ）若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析 （D ）若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析13．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +214．下列命题中，正确的是( )（A ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （C ）若iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 22．设c 为正向圆周14=-z ，则=-+-⎰c dz z z z 22)4(233．设⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f ,其中2≠z ，则=')3(f 4．设c 为正向圆周3=z ，则=+⎰cdz zzz 5．设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰c zdz i z e 5)(π6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7．设)(z f 在单连通域B 内连续，且对于B 内任何一条简单闭曲线c 都有0)(=⎰cdz z f ，那么)(z f 在B 内8．调和函数xy y x =),(ϕ的共轭调和函数为9．若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a10．设),(y x u 的共轭调和函数为),(y x v ，那么),(y x v 的共轭调和函数为三、计算积分 1.⎰=+-Rz dz z z z)2)(1(62,其中1,0≠>R R 且2≠R ; 2.⎰=++22422z z z dz．四、设)(z f 在单连通域B 内解析，且满足)(1)(1B x z f ∈<-.试证１．在B 内处处有0)(≠z f ； ２．对于B 内任意一条闭曲线c ，都有0)()(=''⎰cdz z f z f五、设)(z f 在圆域R a z <-内解析，若)0()()(max R r r M z f ra z <<==-，则),2,1()(!)()( =≤n rr M n a f nn .六、求积分⎰=1z zdz z e ，从而证明πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e .七、设)(z f 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数b a ,，试求极限⎰=+∞→--R z R dz b z a z z f ))(()(lim并由此推证)()(b f a f =（刘维尔Liouville 定理）.八、设)(z f 在)1(><R R z 内解析，且2)0(,1)0(='=f f ，试计算积分⎰=+122)()1(z dz z z f z 并由此得出⎰πθθθ202)(2cos d e f i 之值.九、设iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明222222222))(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂.十、若)(22y x u u +=，试求解析函数iv u z f +=)(.第四章 级 数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i（C ） ∑∞=1n nni （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B ） ∑∞=+1)1(1n n in（B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n (C)∑∞=2ln n nn i （D ）∑∞=-12)1(n nn n i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定 5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<<q ，则幂级数∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞=1)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( ) （A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为 （A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n nn z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<z （B ）10<<z （C ）+∞<<z 1 （D ）不存在的11．函数21z在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(11<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n n n（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n n n13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-⎰c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若⎩⎨⎧--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<z （B ）43<<z （C ）+∞<<z 41 （D ）+∞<<z 3115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为 ． 2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是 ． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当d z z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 ． 6．设幂级数∑∞=0n nnz c的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为 ．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 ． 8．函数zze e 1+在+∞<<z 0内洛朗展开式为 ． 9．设函数z cot 在原点的去心邻域R z <<0内的洛朗展开式为∑∞-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-<i z 1内的洛朗展开式为 ．三、若函数211z z --在0=z 处的泰勒展开式为∑∞=0n nn z a ，则称{}n a 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定n a 满足的递推关系式，并明确给出n a 的表达式．四、试证明 1．);(11+∞<≤-≤-z ez ee zzz2．);1()1(1)3(<-≤-≤-z z e e z e z五、设函数)(z f 在圆域R z <内解析，∑==nk kk n z k f S 0)(!)0(试证 1．)()(21)(111R r z d z z f iz S n rn n n <<--=+=++⎰ξξξξξπξ.2．)()()(2)((11R r z d z f iz z S z f r n n n <<-=-⎰=++ξξξξπξ）。

____________________________________________________________________________________________________一、填空题〔每题2分〕1、复数i 212--的指数形式是2、函数w =z1将Z S 上的曲线()1122=+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是3、假设01=+z e ,那么z ＝4、()ii +1=5、积分()⎰+--+idz z 2222=6、积分⎰==1sin 21z dz zzi π 7、幂级数()∑∞=+01n n nz i 的收敛半径R=8、0=z 是函数ze z 111--的 奇点 9、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单项选择题〔每题2分〕 1、设α为任意实数，那么α1=〔 〕A 无意义B 等于1C 是复数其实部等于1D 是复数其模等于1 2、以下命题正确的选项是〔 〕A i i 2<B 零的辐角是零C 仅存在一个数z,使得z z -=1D iz z i=13、以下命题正确的选项是〔 〕 A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛D 如果v 是u 的共轭调和函数,那么u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是〔 〕Ai 2321- B 223i - C 223i +- D i 2321+- 5、以下函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是〔 〕A z1sin 1B z 1cosC zctg e 1D Lnz6、以下积分之值不等于0的是( )A ⎰=-123z z dzB ⎰=-121z z dzC⎰=++1242z z z dzD ⎰=1cos z z dz7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为〔 〕A ()∑∞=+-02121n n nn z 〔z <1〕 B ()∑∞=+-01221n n n n z〔z <1〕C ()∑∞=++-012121n n nn z 〔z <1〕 D ()∑∞=-0221n n n n z〔z <1〕8、幂级数n n n z 201)1(∑∞=+-在1<z 内的和函数是〔 〕A211z - B 211z + C 112-z D 211z+- 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a za az e w i β____________________________________________________________________________________________________C )1(>--=a a z a z ew i βD )1(<--=a az az e w i β 三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕对任何复数z,22z z =成立2、〔 〕假设a 是()z f 和()z g 的一个奇点,那么a 也是()()z g z f +的奇点3、〔 〕方程01237=+-z z 的根全在圆环21<<z 内4、〔 〕z=∞是函数()=z f ()251z z-的三阶极点5、〔 〕解析函数的零点是孤立的四、计算题〔每题6分〕1、())(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在z S 上解析,求a,b,c,d 的值2、计算积分⎰=--22)1(25z dz z z z 3、将函数()11+-=z z z f 在1=z 的邻域内展成泰勒级数,并指出收敛范围4、计算实积分I=⎰∞+++0222)4)(1(dx x x x5、求211)(zz f +=在指定圆环+∞<-<i z 2内的洛朗展式 6、求将上半平面0Im >z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =，使符合条件()0=i L ，()0>'i L五、证明题〔每题7分〕1、设〔1〕函数)(z f 在区域D 内解析〔2〕在某一点D z ∈0有0)(0)(=z fn ，〔 ,2,1=n 〕证明：)(z f 在D 内必为常数2、证明方程015=++n z z e 在单位圆1<z 内有n 个根 一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 i eπ654-，2 21=u ， 3 (2k+1)i π,(k=0, 2,1±±)， 4 ⎪⎭⎫⎝⎛+-ππk i e e 242ln (k=0, 2,1±±)5 3i -,6 0 ,7 21 , 8 可去， 9 2e ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 D2 D3 A4 A5 B6 B7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ∨ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：22by axy x u ++=,22y dxy cx v ++= 3 分 y x v u = y dx ay x 22+=+x y v u -= dy cx by ax --=+22 …5分解得:1,2-====c b d a 6 分2 解：被积函数在圆周的2=z 内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1 2 分2)1(25)(Re 02-=--===z z z z z f s2225)(Re 1211=='⎪⎭⎫⎝⎛-====z z z z z z z f s 分5⎰=--22)1(25z dz z z z =π2i(-2+2)=0 6 分____________________________________________________________________________________________________3 解：()11+-=z z z f = ()nn nz z z 1211211111210-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=+-∑∞= …4分 〔1-z <2〕 …6分 4 解: 被积函数为偶函数在上半z 平面有两个一阶极点i,2i …1分I=⎰∞+∞-++dx x x x )4)(1(21222…2分 =[])(Re )(Re 2212z sf z f s i iz i z ==+π …3分=]iz iz i z z z z i z z i 22222)2)(1()4)((==+++⎢⎣⎡++π …5分=6π…6分 5 解：))((1)(i z i z z f +-=…1分=iz i i z -+-211)(12…3分=∑∞=---02)()2()1()(1n nnni z i i z +∞<-<i z 2 …6分 6 解: w =L(i)=kiz iz +- 2 分 2)(2i z ikw +=' …3分0)(=>'='i L w i k =∴ …4分 iz iz iw +-= …6分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明:设)(:0D k R z z k ⊂<- )(z f 在0z 解析 由泰勒定理 ∑∞=-=000)()(!)()(n n n z z n z fz f )(D k z ⊂∈ …2分 由题设 0)(0)(=z fn ∴)()(0z f z f ≡ ，)(D k z ⊂∈ …4分由唯一性定理 )()(0z f z f ≡ )(D z ∈ …7分 2 证明：令n z z f 5)(= ，1)(+=z e z ϕ 2 分 (1〕()z f 及()z ϕ在1≤z 解析 (2〕1=z 上，()55==n z z f()1111+=+≤+≤+=e e e e z zz z ϕ<5 4 分故在1=z 上()()z z f ϕ>，由儒歇定理在1=z 内()()()n z z f N z z z f N ====+)1,()1,(ϕ …7分一、填空题〔每题2分〕1、()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+的指数形式是 2、i i = 3、假设0<r<1，那么积分()⎰==+rz dz z 1ln4、假设v 是u 的共轭调和函数，那么v 的共轭调和函数是5、设0=z 为函数)(z f =33sin z z -的m 阶零点，那么m =6、设a z =为函数()z f 的n 阶极点，那么()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=z f z f s a z Re = 7、幂级数∑∞=0!n nn z 的收敛半径R=____________________________________________________________________________________________________8、0=z 是函数zz 1sin 5的 奇点9、方程01237=+-z z 的根全在圆环 内 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w二、单项选择题〔每题2分〕1、假设函数()z f 在区域D 内解析，那么函数()z f 在区域D 内〔 〕A 在有限个点可导B 存在任意阶导数C 在无穷多个点可导D 存在有限个点不可导 2、使22z z =成立的复数是〔 〕A 不存在B 唯一的C 纯虚数D 实数 3、⎰==-22)1(cos z dz z z〔 〕A －i πsin1B i πsin1C －2i πsin1D 2i πsin1 4、根式3i 的值之一是〔 〕A223i- B 223i -- C i D i - 5、π=z 是π-z zsin 的〔 〕A 可去奇点B 一阶极点C 一阶零点D 本质奇点6、函数()()()411++=z z z z f ，在以0=z 为中心的圆环内的洛朗展式有m 个，那么m=( )A 1B 2C 3D 4 7、以下函数是解析函数的为〔 〕A xyi y x 222--B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +-+-D 33iy x + 8、在以下函数中，()0Re 0==z f s z 的是〔 〕A ()21z e z f z -=B ()zz z z f 1sin -=C ()z z z z f cos sin +=D ()ze zf z 111--= 9、设a i ≠，C ：i z -=1，那么()=-⎰dz i a zz C2cos 〔 〕A 0 Beπ2i C 2πie D icosi 10、将单位圆1<z 共形映射成单位圆外部1>w 的分式线性变换是〔 〕A )1(1>--=a z a a z e w i βB )1(1<--=a z a az e w i β C )1(>--=a a z a z e w i βD )1(<--=a az az e w i β三、判断题〔每题2分〕1、〔 〕幂级数∑∞=0n n z 在z <1内一致收敛2、〔 〕z=∞是函数2cos 1zz-的可去奇点 3、〔 〕在柯西积分公式中，如果D a ∉，即a 在D 之外，其它条件不变，那么积分()=-⎰dz az z f i C π210，()D z ∈ 4、〔 〕函数()=z f zctg e1在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数5、〔 〕解析函数的零点是孤立的 四、计算题〔每题6分〕1、计算积分()⎰+-Cdz ix y x 2，C ：i →1+i 的直线段____________________________________________________________________________________________________2、求函数()()()211+-=z z zz f 在所有孤立奇点〔包括∞〕处的留数3、将函数()iz i z z f --+=11在i z =的去心邻域内展成洛朗级数,并指出收敛域 4、计算积分()⎰+Cz z dz122 , C:1222+=+y y x ， 5、计算实积分I=⎰+πθθ20cos a d )1(>a6、求将单位圆1<z 共形映射成单位圆1<w 的分式线性变换()z L w =使符合条件021=⎪⎭⎫⎝⎛L ，()11-=L五、证明题〔每题7分〕1、设函数()z f 在区域D 内解析，证明：函数()z f i 也在D 内解析2、证明：在0=z 解析，且满足的nn f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕的函数()z f 不存在一填空题〔每题2分，视答题情况可酌情给1分，共20分〕 1 ϕ19i e ，2 ππk e22--(k=0,±…) ， 3 0， 4 u -， 5 96 n - ，7 ∞+ ，8 本质，9 21<<z ， 10 z 1-二 单项选择题〔每题2分，共20分〕1 B2 D3 C4 D5 A6 C7 C8 D9 A 10 A 三 判断题〔每题2分，共10分〕1⨯ 2 ⨯ 3 ∨ 4 ⨯ 5 ⨯ 四 计算题〔每题6分，共36分〕1解：C 的参数方程为： z=i+t, 01≤≤t dz=dt 3 分 ()⎰+-Cdz ix y x 2＝()⎰+-121dt it t =321i+-6 分 2解: 1=z 为()z f 一阶极点 1 分1-=z 为()z f 二阶极点 2 分()411Re 11-='⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=z z z z z f s 3 分()()411Re 121=+===z z z zz f s 5 分 ()0Re =∞=z f s z …6分3 解：()iz i z z f --+=11=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--i i z i i z 211211 …2分 = ()()()10211+∞=--+--∑n nn n i i z i z …5分 〔0<i z -<2〕 …6分 4 解：在C 内()z f 有一个二阶极点z ＝0和一个一阶极点i z = …1分()011Re 020='⎪⎭⎫⎝⎛+===z z z z f s …3分()ii z z z f s iz iz 21)(1Re 2-=+=== …5分 所以原式＝π2i π-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-i 210 …6分5 解：令θi e z =____________________________________________________________________________________________________iz dzz z a I z ⎰=-++=1121 …1分=[][]⎰=-----+--122)1()1(2z a a z a a z dzi …3分被积函数在1=z 内的有一个 一阶极点12-+-=a a z121)(Re 212-=-+-=a z f sa a z …5分I=121212222-=-a a i iππ …6分6解：2212112121--=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=z z k z z kL w 2 分 ()121212111-=-=--=k kL 所以2=k 4 分 于是所求变换 2122212--=--=z z z z w 6 分 五 证明题〔每题7分，共14分〕1 证明： 设f(z)=u 〔x ，y 〕+iv 〔x ，y 〕)(z f = u 〔x ，y 〕-iv 〔x ，y 〕)(z f i = v 〔x ，y 〕-i u 〔x ，y 〕 2 分 f 〔z 〕在D 内解析，x y y x v u v u -==,)(z f i 四个偏导数为 v x ，v y ，-u x ，-u y 4 分比拟f 〔z 〕的C －R 方程 )(z f i 也满足C-R 方程且四个偏导数在D 内连续 ∴)(z f i 在D 内解析 7 分2 证明：假设在0=z 解析的函数()z f 存在且满足n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛〔 2,1=n 〕 2 分 点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21=n 21以0=z 为聚点在点列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 21上,n n f 2121=⎪⎭⎫ ⎝⎛由解析函数的唯一性定理在0=z 的邻域内()z f =z 5 分但在这个邻域内又有n n f 21121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-矛盾 ∴在0=z 解析的函数()z f 不存在 7 分【复变函数论】试题库梅一A111【复变函数】考试试题〔一〕1、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.〔n 为自然数〕 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，那么)(z f 的孤立奇点有__________.____________________________________________________________________________________________________5.幂级数0nn nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设ξ=∞→n n z lim ，那么=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .三.计算题〔40分〕：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.【复变函数】考试试题〔二〕二. 填空题. (20分) 1. 设i z-=，那么____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，那么=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 假设z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，那么z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，那么)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为〔1〕单位圆〔1||=z 〕的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数根本定理.____________________________________________________________________________________________________【复变函数】考试试题〔三〕二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 假设n n n i n n z )11(12++-+=，那么=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.〔n 为自然数〕 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，那么f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，那么___=z .9. 假设0z 是)(z f 的极点，那么___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算以下积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数试卷及答案【篇一：《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若{zn}收敛，则{re zn}{im zn}与都收敛. ( )4.若f(z)在区域d内解析，且f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?cf(z)dz?0.( )10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）dz?__________.（n为自然数）1、 ?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.n?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，则______________.limezres(n,0)?z8.________，其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为________ .zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.三.计算题（40分）：1. 设1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3. 设，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z??i； 5. 1 0n?1?6. 整函数；7. ?；8. 三．计算题.1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021； 9. 0； 10. ?.(n?1)!2. 解因为z?resf(z)?limz??2?2z??2?lim1??1, coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1. coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?2223. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故 re(四. 证明题.1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0两边分别对x,y求偏导数, 得??uuy?vvy?0(1)(2)因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)?的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以f(z)?的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,故f(?1)??.2《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )2. cos z与sin z在复平面内有界.( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.c( )8. 若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( )11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....n?12n2n( )二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则limf(z)?________.3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?0?5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）?ii3. 计算积分：i的右半圆.4. 求sinzz?2(z?)22dz.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.【篇二：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（b）若re(f(z))在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇三：大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt>?z2?,z?01．设f?z???z，则f?z?的连续点集合为（）。

第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。

（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。

（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。

（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。

（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。

（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。

（ ） 12、有界整函数必为常数。

（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。

（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。

（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。

（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。

（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。

复变函数试卷及答案【篇一：《复变函数》考试试题与答案各种总结】xt>一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若{zn}收敛，则{re zn}{im zn}与都收敛. ( )4.若f(z)在区域d内解析，且f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?cf(z)dz?0.( )10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）dz?__________.（n为自然数）1、 ?|z?z0|?1(z?z)n22sinz?cosz? _________. 2.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?4.设?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.n?nzn?0的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若n??limzn??z1?z2?...?zn?n??n，则______________.limezres(n,0)?z8.________，其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为________ .zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.三.计算题（40分）：1. 设1f(z)?(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz.?|z|?1cosz2.3?2?7??1f(z)??d?c??z3. 设，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?4. 求复数z?1z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z??i； 5. 1 0n?1?6. 整函数；7. ?；8. 三．计算题.1. 解因为0?z?1, 所以0?z?1?1?zn111n??z??(). f(z)???2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?021； 9. 0； 10. ?.(n?1)!2. 解因为z?resf(z)?limz??2?2z??2?lim1??1, coszz???sinzz??2resf(z)?limz???2z???2?lim1?1. coszz????sinz所以1sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re??z??z?2223. 解令?(?)?3??7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)??(?)?c??z?2?i?(z).所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?bi)2a(?1)b2. 2?1?1?122222z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b, . )?1?im()?z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2故 re(四. 证明题.1. 证明设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv,则f(z)?u2?v2?c2.2?uux?vvx?0两边分别对x,y求偏导数, 得??uuy?vvy?0(1)(2)因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为?uux?vvx?022. 消去ux得, (u?v)vx?0. ??vux?uvx?01) 若u?v?0, 则 f(z)?0 为常数.2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数).22所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)?的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以f(z)?的幅角共增加?. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z??1的幅角为,故f(?1)??.2《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d 内连续. ( )2. cos z与sin z在复平面内有界.( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0.c( )8. 若数列{zn}收敛，则{rezn}与{imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( )11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....n?12n2n( )二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则limf(z)?________.3.dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?0?5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 21?z9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.z?110. res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)3sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）?ii3. 计算积分：i的右半圆.4. 求sinzz?2(z?)22dz.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.【篇二：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（b）若re(f(z))在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇三：大学复变函数考试卷试题及答案】ss=txt>?z2?,z?01．设f?z???z，则f?z?的连续点集合为（）。