高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理

突破圆锥曲线压轴小题圆锥曲线的压轴小题往往与圆的方程、平面向量、解析几何等知识交回，与实际生活密切相关，提升数学运算，逻辑推理，数学建模的核心素养。

类型一 圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题【例1】(1)(2022·济南联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，点P 是椭圆C 上一点，满足|PF 1——→＋PF 2——→|＝|PF 1——→－PF 2——→|，若以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆F 1：(x ＋c )2＋y 2＝4a 2，圆F 2：(x －c )2＋y 2＝a 2都内切，其中0<r <a ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B.34 C.104 D.154【答案】C【解析】由|PF 1——→＋PF 2——→|＝|PF 1——→－PF 2——→|两边平方， 可得PF 1——→·PF 2——→＝0，则PF 1——→⊥PF 2——→，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a －r ，|PF 2|＝a －r ，即|PF 1|－|PF 2|＝a ，由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得⎩⎨⎧|PF 1|＝3a 2，|PF 2|＝a2，在△PF 1F 2中，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2 得9a 24＋a 24＝4c 2，即e 2＝c 2a 2＝58，所以e ＝104. (2)(2022·广州模拟)已知A ，B 分别为椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左、右顶点，P 为椭圆C 上一动点，P A ，PB 与直线x ＝3交于M ，N 两点，△PMN 与△P AB 的外接圆的周长分别为l 1，l 2，则l 1l 2的最小值为( )A.54 B.34 C.24 D.14【答案】A思路引导母题呈现【解析】由已知得A (－2,0)，B (2,0)，设椭圆C 上动点P (x ，y )， 则利用两点连线的斜率公式可知k P A ＝y －0x ＋2，k PB ＝y －0x －2，∴k P A ·k PB ＝y －0x ＋2·y －0x －2＝y 2(x ＋2)(x －2)＝y 2x 2－4＝1－x 24x 2－4＝－14.设直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)， 则直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，根据对称性设k >0，令x ＝3，得y M ＝5k ，y N ＝－14k ，即M (3,5k )，N 1(3,)4k−，则|MN |＝5k ＋14k . 设△PMN 与△P AB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2， 由正弦定理得2r 1＝|MN |sin ∠MPN ，2r 2＝|AB |sin ∠APB ，∵∠MPN ＋∠APB ＝180°，∴sin ∠MPN ＝sin ∠APB ， ∴l 1l 2＝2πr 12πr 2＝r 1r 2＝|MN ||AB |＝5k ＋14k 4≥25k ·14k 4＝54， 当且仅当5k ＝14k ，即k ＝510时，等号成立，即l 1l 2的最小值为54. 【方法总结】高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题． 【针对训练】(1)(2022·深圳模拟)F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ，B 两点，若l ⊥F 2B ，则F 2A —→·F 2B —→等于( ) A ．4－2 3 B ．4＋ 3 C ．6－2 5 D ．6＋25 【答案】C【解析】在双曲线C 中，a ＝1，b ＝2，c ＝3， 则F 1(－3，0)，F 2(3，0)，因为直线l 过点F 1，由图知，直线l 的斜率存在且不为零，因为l ⊥F 2B ，则△F 1BF 2为直角三角形， 可得|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2＝12， 由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2，所以4＝(|BF 1|－|BF 2|)2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝12－2|BF 1|·|BF 2|， 可得|BF 1|·|BF 2|＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|－|BF 2|＝2，|BF 1|·|BF 2|＝4，解得|BF 2|＝5－1，因此F 2A —→·F 2B —→＝(F 2B —→＋BA —→)·F 2B —→＝F 2B —→2＋BA —→·F 2B —→ ＝(5－1)2＝6－2 5.(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C ：x 25＋y 2b 2＝1(0<b <5)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，点Q 是圆x 2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＝0对称的曲线E 上任意一点，若|PQ |－|PF 2|的最小值为5－25，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的焦距为2B ．曲线E 过点F 2的切线斜率为C ．若A ，B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线P A 与PB 斜率之积为－15D ．|PQ |＋|PF 2|的最小值为2 【答案】BC【解析】圆x 2＋(y －4)2＝1关于直线x －y ＝0对称的曲线为以C (4,0)为圆心，1为半径的圆， 即曲线E 的方程为(x －4)2＋y 2＝1，由椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25， |PQ |－|PF 2|＝|PQ |－(25－|PF 1|) ＝|PQ |＋|PF 1|－25≥|Q ′F 1|－2 5.由图知Q ′(3,0)，|Q ′F 1|－25＝3＋c －25＝5－25， 解得c ＝2，b ＝1， 椭圆方程为x 25＋y 2＝1.故焦距|F 1F 2|＝2c ＝4，A 错误；|PQ |＋|PF 2|≥|Q ′F 2|＝3－c ＝1，D 错误； 设曲线E 过点F 2的切线斜率为k ， 则切线方程为kx －2k －y ＝0，由圆心到切线方程的距离等于半径得|4k －2k －0|1＋k 2＝1，即k ＝±33，B 正确； 设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则k P A ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·－y 1－y 0－x 1－x 0＝y 21－y 2x 21－x 20， 又点P ，A ，B 都在椭圆上，即x 25＋y 20＝1， x 215＋y 21＝1⇒y 21－y 20x 21－x 20＝－15，C 正确．类型2 圆锥曲线与三角形“四心”问题【例2】(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x ＝a 上，且满足PH →＝λ1212()PF PF PF PF +，λ∈R .若5HP →＋4HF 2——→＋3HF 1——→＝0，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由PH →＝λ1212()PF PF PF PF +，λ∈R ，则点H 在∠F 1PF 2的角平分线上，由点H 在直线x ＝a 上，则点H 是△PF 1F 2的内心， 由5HP →＋4HF 2——→＋3HF 1——→＝0，由奔驰定理(已知P 为△ABC 内一点，则有S △PBC ·P A →＋S △P AC ·PB →＋S △P AB ·PC →＝0)知，1212HF F HF P HF P S S S △△△∶∶＝5∶4∶3，即12|F 1F 2|·r ∶12|PF 1|·r ∶12|PF 2|·r ＝5∶4∶3， 则|F 1F 2|∶|PF 1|∶|PF 2|＝5∶4∶3， 设|F 1F 2|＝5λ，|PF 1|＝4λ，|PF 2|＝3λ， 则|F 1F 2|＝2c ＝5λ，即c ＝5λ2，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝λ，即a ＝λ2，则e ＝ca＝5.(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G 3(1,)2，则p ＝________.【答案】316【解析】设M 200(,)2x x p，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 设过点M 的直线方程为x ＝t 200()2x y p −＋x 0，①与y 2＝4x 联立得y 2＝4t 20()2x y p −＋4x 0，即y 2－4ty ＋2tx 20p－4x 0＝0，② 由题意知Δ＝16t 2－42002(4)tx x p −，即2pt 2－x 20t ＋2px 0＝0，则t 1＋t 2＝x 202p ，t 1·t 2＝x 0(t 1，t 2分别表示l 1，l 2斜率的倒数)，由于方程②Δ＝0，则其根为y ＝2t ， 当t ＝t 1时，y 1＝2t 1，当t ＝t 2时，y 2＝2t 2， ∵△MPQ 的重心为G 3(1,)2，∴x 202p ＋y 1＋y 2＝x 202p ＋2(t 1＋t 2) ＝x 202p ＋2×x 202p ＝3x 202p ＝92，③ 而x 1＋x 2＝t 1201()2x y p−＋x 0＋t 2202()2x y p −＋x 0 ＝2(t 21＋t 22)－x 202p(t 1＋t 2)＋2x 0＝2[(t 1＋t 2)2－2t 1t 2]－x 202p(t 1＋t 2)＋2x 0＝22002(2)4x x p−－x 404p 2＋2x 0＝x 404p 2－2x 0. ∴x 0＋x 1＋x 2＝x 404p 2－x 0＝3，④联立③④得p ＝316.【方法总结】圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．【针对训练】 (1)（2022·南京外国语学校模拟预测）已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，M 是第一象限内的点，且满足|MF 1|＋|MF 2|＝4，若I 是△MF 1F 2的内心，G 是△MF 1F 2的重心，记△IF 1F 2与△GF 1M 的面积分别为S 1，S 2，则( ) A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．S 1与S 2大小不确定【答案】B【解析】因为|MF 1|＋|MF 2|＝4>|F 1F 2|＝2，所以M 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1在第一象限内的部分，如图所示．因为I 是△MF 1F 2的内心，设内切圆的半径为r ， 所以(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r 2＝|F 1F 2|·y M2，所以r ＝y M 3，所以S 1＝|F 1F 2|·r 2＝y M3，又因为G 是△MF 1F 2的重心， 所以OG ∶GM ＝1∶2， 所以12122133MOF F MF S S S ==△△ ＝13·|F 1F 2|·y M 2＝y M3，所以S 1＝S 2. (2)（2022·湖北·荆州中学模拟预测）在平面直角坐标系Oxy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 【答案】32【解析】设OA 所在的直线方程为y ＝ba x ，则OB 所在的直线方程为y ＝－ba x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得⎩⎨⎧x ＝2pba ，y ＝2pb 2a 2，所以点A 的坐标为2222(,)pb pb a a ，抛物线的焦点F 的坐标为(0,)2p .因为F 是△OAB 的垂心，所以k OB ·k AF ＝－1 ，所以－b a ·2222()2pb papba −＝－1⇒b 2a 2＝54. 所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝94，解得e ＝32. 类型3 圆锥曲线在生活中的应用【例3】(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，点连线的夹角．请解决下面问题：已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 22＝1的左、右焦点，若从点F 2发出的光线经双曲线右支上的点A (x 0,2)反射后，反射光线为射线AM ，则∠F 2AM 的角平分线所在的直线的斜率为( )A ．－ 3B ．－33 C.33D.3 【答案】B【解析】由已知可得A (x 0,2)在第一象限， 将点A 的坐标代入双曲线方程可得x 20－42＝1， 解得x 0＝3，所以A (3，2)， 又由双曲线的方程可得a ＝1，b ＝2， 所以c ＝3，则F 2(3，0)，所以|AF 2|＝2，且点A ，F 2都在直线x ＝3上，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以tan ∠F 1AF 2＝|F 1F 2||AF 2|＝232＝3，所以∠F 1AF 2＝60°，设∠F 2AM 的角平分线为AN ， 则∠F 2AN ＝(180°－60°)×12＝60°，所以∠F 2AM 的角平分成所在的直线AN 的倾斜角为150°， 所以直线的斜率为tan 150°＝－33. (2)（2022·莆田华侨中学模拟预测）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD (如图2)，且两切线斜率之积等于－916，则椭圆的离心率为( )图1 图2A.34B.74C.916D.32 【答案】B【解析】若内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(m >1)， ∴A (－ma ,0)，B (0，mb )， 设切线AC 为y ＝k 1(x ＋ma )， 切线BD 为y ＝k 2x ＋mb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋ma )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，整理得(a 2k 21＋b 2)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0， 由Δ＝0知(2ma 3k 21)2－4(a 2k 21＋b 2)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理得k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)，∴(k 1k 2)2＝b 4a4＝29()16−，即b 2a 2＝916， 故e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝74. 【方法总结】圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．【针对训练】(1)（2022·德州市教育科学研究院二模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为x 2＋4y 2＝4，其左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 与椭圆C 切于点P ，且|PF 1|＝1，过点P 且与直线l 垂直的直线l ′与椭圆长轴交于点M ，则|F 1M |∶|F 2M |等于( )A.2∶ 3 B ．1∶ 2 C ．1∶3 D ．1∶3 【答案】C【解析】l 平分∠F 1PF 2， 因为12PMF PMF S S △△＝|F 1M ||F 2M |＝12|PF 1||PM |sin ∠F 1PM 12|PF 2||PM |sin ∠F 2PM ＝|PF 1||PF 2|， 由|PF 1|＝1，|PF 1|＋|PF 2|＝4得|PF 2|＝3， 故|F 1M |∶|F 2M |＝1∶3.(2)（2022·东北育才学校二模）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y 2－x 2＝1，y ∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.5 【答案】A【解析】清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r ，圆心为(0，r ＋1)， 圆的方程为x 2＋(y －r －1)2＝r 2， 代入双曲线方程y 2－x 2＝1，得y 2－(r ＋1)y ＋r ＝0，∴y ＝1或y ＝r ， 要使清洁钢球到达底部，即r ≤1.1．（2023·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的右支上，且124PF PF =，双曲线C 的一条渐近线方程为y kx =，则k 的最大值为（ ）A ．43B ．43−C ．34D ．34−【答案】A【分析】根据三角形两边之和大于第三边，1F 、2F 和P 共线时取等号，列出,a c 的不等式即可. 【详解】124PF PF =，122PF PF a −=，2128,33PF a PF a ∴== 1212+≥PF PF F F .53c a ∴≤2222169b c a a ∴=−≤43b a ∴≤ 即k 的最大值为43故选：A.模拟训练且4AP AQ a ⋅=−的坐标，代入4AP AQ a ⋅=−当by x a=时，如图，设联立222b y xa x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得又因为(,0)A a −，所以AQ 所以(2,AP a =，(0,AQ =−所以2AP AQ b ⋅=−22+=a b ，所以25a =同理，当y =−时，亦可得2. 所以()222211()()|2|||44AP AQ AP AQ AP AQ AO QP a ⎡⎤⋅=+−−=−=⎣⎦2,2⎫⎛+∞⎪ ⎪ ⎭⎝【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆所以121222,2,x x OM ON y y ⎛⎫⎛== ⎪ ⎝⎭⎝所以0OM ON ⋅>，所以114x x OM ON y y ⋅=21421k −⨯+−−，设2MF FN =，点Q B ．54利用2MF FN =求出点，则221212(,1),(,44x x MF x FN x =−−=由2MF FN =得：−218x =，因此点Q 的纵坐标为60，则该双曲线的离心率为A ．33B ．3 【答案】D60，即603=2360， ax b=的倾斜角为60， 603=24a =A ．74B ．2C ．【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为(222210,x y a a b −=>【详解】设双曲线的标准方程为(222210,x y a a b −=>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知10a =5025⎛⎫⎛⎫8．（2022·四川成都·树德中学校考模拟预测）双曲线的光学性质为90，tanA ．10B ．102C ．3 【答案】B【分析】设1AF m =，()20,0AF n m n =>>，根据题意可得AB =a 表示），然后在12AF F △中，应用勾股定理得出a 、c 的关系，求得离心率．【详解】连接1AF 、1BF ，易知1F 、A 、D 共线，1F 、B 、C 共线，设1AF m =，(2AF n m =>(1tan tan 180ABF ABC ∠=−∠由勾股定理可得1BF AF =18090BAD −∠=，2221212+AF AF F F =，即(设(),M x y ，则12222y y k k x x x ⋅=⋅=+−直线1A M 的方程为()12y k x =+，直线A 即111142343,2323k k Q k k ⎛⎫−+ ⎪ ⎪++⎝⎭，．OAB 可能为锐角三角形．过点(0,1M ．若3AF =，则AOB 的面积为最小值为3+AOB S =，从而利用基本不等式即可判断⎩故1OA OB x x ⋅=对于B ：因为对于所以()0,1M 在抛物线AOBS=D ：由选项A．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为B．若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为C．若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角D．若太阳光线与地面所成角为π6，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的15．（多选题）（2023·山东淄博·统考一模）已知曲线C 的方程为2214x y m+=（4m <且m ≠C 与x 轴的左、右交点，P 为C 上任意一点(不与A ，B 重合)，则（ ）A ．若1m =−，则C 为双曲线，且渐近线方程为2y x =±B ．若P 点坐标为()1,n ，则C 为焦点在x 轴上的椭圆 C ．若点F 的坐标为()4,0m −，线段PF 与x 轴垂直，则2m PF =D ．若直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则124m k k =− 【答案】BD【分析】根据方程的特征和椭圆与双曲线的性质逐项进行分析即可判断.112PF F S =20．（2023·云南玉溪·统考一模）已知。

突破点15圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)(对应学生用书第167页)提炼1解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼2用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围． (4)利用基本不等式求最值与范围． (5)利用函数值域的方法求最值与范围.提炼3与圆锥曲线有关的探索性问题常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．回访1 圆锥曲线的定值、定点问题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解] (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，2分解得a 2＝8，b 2＝4.3分 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.4分 (2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.6分 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.8分 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k，即k OM ·k ＝－12.11分所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.12分 回访2 圆锥曲线中的最值与范围问题2．(2016·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．图15­1[解] (1)设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4,2c ＝22，所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.2分(2)①证明：设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)． 由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m ).3分所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0，4分直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.5分此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3.6分 ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由①知直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，则直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0.8分 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2－22k 2＋1x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－22k 2＋1x 0＋m .9分 同理x 2＝2m 2－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m .10分 所以x 2－x 1＝2m 2－218k 2＋1x 0－2m 2－22k 2＋1x 0＝－32k2m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0，11分 y 2－y 1＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2－22k 2＋1x 0－m ＝－8k 6k 2＋1m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0，12分 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6k ＋1k .由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m4－8m2＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62.14分 回访3 与圆锥曲线有关的探索性问题3．(2015·四川高考)如图15­2，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图15­2[解] (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.4分(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.6分 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.9分所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值.10分 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.12分 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.13分(对应学生用书第167页)热点题型1 圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量.(2016·烟台二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1与抛物线y 2＝－43x 的焦点重合，过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点．当直线l 经过椭圆C 的一个短轴端点时，与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否在x 轴上存在定点M ，使AM →·BM →为定值？若存在，请求出定点M 及定值；若不存在，请说明理由．[解] (1)依题意，得c ＝3，即F 1(－3，0).1分 又由题意可得e ＝bc a ＝c a，所以b ＝1，2分 所以a ＝2，3分所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)当直线l 的斜率存在时，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由韦达定理可得x 1＋x 2＝－83k 24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1.7分设点M (m,0)，则AM →＝(m －x 1，－y 1)，BM →＝(m －x 2，－y 2)， AM →·BM →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2()x 1＋3()x 2＋3 ＝m 2＋(3k 2－m )()x 1＋x 2＋(k 2＋1)x 1x 2＋3k 2＝m 2＋(3k 2－m )－83k 24k 2＋1＋(k 2＋1)12k 2－44k 2＋1＋3k 2＝4m 2＋83m ＋11k 2＋m 2－44k 2＋1，9分 要使AM →·BM →为定值，则4m 2＋83m ＋11m 2－4＝41，解得m ＝－938，即AM →·BM →＝－1364.11分当直线l 的斜率不存在时，则可知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，12，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－38，－12，AM →·BM →＝－1364，即在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－938，0，使AM →·BM →为定值－1364.13分求解定值问题的两大途径1.由特例得出一个值此值一般就是定值→证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关2．先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．[变式训练1] (2016·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．[解] (1)由题意得a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.3分又c ＝a 2－b 2＝3，∴离心率e ＝c a ＝32.5分 (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4.6分又A (2,0)，B (0,1)， ∴直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.9分 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1.12分 ∴四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.从而四边形ABNM 的面积为定值.14分 热点题型2 圆锥曲线中的最值、范围问题题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法.(2016·全国乙卷)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．[解] (1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.2分由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0).4分(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，6分所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN || PQ |＝121＋14k 2＋3.8分 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83).10分 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8， 故四边形MPNQ 的面积为12.综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83).12分与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解． 2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解． 3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．[变式训练2] (名师押题)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且|MN |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点D (0,4)，若动圆P 与x 轴交于A ，B 两点，求|DA ||DB |＋|DB ||DA |的最大值. 【导学号：67722055】[解] (1)设抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线l ：y ＝x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2px －p 2＝0，∴x 1＋x 2＝2p ，∴y 1＋y 2＝3p ， ∴|MN |＝y 1＋y 2＋p ＝4p ＝16，∴p ＝4， ∴抛物线C 的方程为x 2＝8y .4分(2)设动圆圆心P (x 0，y 0)，A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 20＝8y 0，且圆P ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－4)2， 令y ＝0，整理得x 2－2x 0x ＋x 20－16＝0， 解得x 1＝x 0－4，x 2＝x 0＋4，6分 设t ＝|DA ||DB |＝x 0－42＋16x 0＋42＋16＝x 20－8x 0＋32x 20＋8x 0＋32＝1－16x 0x 20＋8x 0＋32，当x 0＝0时，t ＝1， ①7分 当x 0≠0时，t ＝1－16x 0＋8＋32x 0.∵x 0＞0，∴x 0＋32x 0≥82，∴t ≥1－168＋82＝3－22＝2－1，且t ＜1， ② 综上①②知2－1≤t ≤1.9分∵f (t )＝t ＋1t在[2－1,1]上单调递减，∴|DA ||DB |＋|DB ||DA |＝t ＋1t ≤2－1＋12－1＝22， 当且仅当t ＝2－1，即x 0＝42时等号成立． ∴|DA ||DB |＋|DB ||DA |的最大值为2 2.12分 热点题型3 圆锥曲线中的探索性问题题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.(2016·长沙二模)如图15­3，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1,0)为线段OF 2的中点，且AF 2→＋5BF 2→＝0.图15­3(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆E 上的动点(异于点A ，B )，连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN ，PQ 的斜率存在且分别为k 1，k 2.试问是否存在常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．[解题指导] (1)D 为OF 2的中点→求c →AF 2→＋5BF 2→＝0→a 与c 的关系→椭圆方程 (2)假设存在常数λ→设点M ，N ，P ，Q 的坐标→直线MD 的方程与椭圆方程联立→用点M 的坐标表示点P ，Q 的坐标 →点M ，F 1，N 共线→得到点M ，N 坐标的关系→求k 2→得到k 1与k 2的关系[解] (1)∵AF 2→＋5BF 2→＝0，∴AF 2→＝5F 2B →，∵a ＋c ＝5(a －c )，化简得2a ＝3c ，又点D (1,0)为线段OF 2的中点，∴c ＝2，从而a ＝3，b ＝5，左焦点F 1(－2,0)，故椭圆E 的方程为x 29＋y 25＝1.4分(2)假设存在满足条件的常数λ，使得k 1＋λk 2＝0恒成立， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－1y 1y ＋1，代入椭圆方程x 29＋y 25＝1，整理得，5－x 1y 21y 2＋x 1－1y 1y－4＝0，6分∵y 1＋y 3＝y 1x 1－1x 1－5，∴y 3＝4y 1x 1－5，从而x 3＝5x 1－9x 1－5，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 1－9x 1－5，4y 1x 1－5， 同理，点Q ⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－9x 2－5，4y 2x 2－5.8分∵三点M ，F 1，N 共线，∴y 1x 1＋2＝y 2x 2＋2， 从而x 1y 2－x 2y 1＝2(y 1－y 2)，从而k 2＝y 3－y 4x 3－x 4＝4y 1x 1－5－4y 2x 2－55x 1－9x 1－5－5x 2－9x 2－5＝x 1y 2－x 2y 1＋5y 1－y 24x 1－x 2＝7y 1－y 24x 1－x 2＝7k 14，故k 1－4k 27＝0，从而存在满足条件的常数λ，λ＝－47.12分探索性问题求解的思路及策略1．思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．2．策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．[变式训练3] (2016·泰安模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，点P 在椭圆C 上，满足|PF 1|＝7|PF 2|，tan ∠F 1PF 2＝4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点A (1,0)，试探究是否存在直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于D ，E 两点，且使得|AD |＝|AE |？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【导学号：67722056】[解] (1)由|PF 1|＝7|PF 2|，PF 1＋PF 2＝2a 得PF 1＝7a 4，PF 2＝a4.2分由余弦定理得cos ∠F 1PF ＝17＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42－2322×7a 4×a 4，∴a ＝2，∴所求C 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)假设存在直线l 满足题设，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝－16(m 2－4k 2－1)＞0，得4k 2＋1＞m 2.①6分又x 1＋x 2＝－8km1＋4k2.设D ，E 中点为M (x 0，y 0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，k AMk ＝－1，得m ＝－1＋4k 23k ，②8分将②代入①得4k 2＋1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4k 23k 2，化简得20k 4＋k 2－1＞0⇒(4k 2＋1)(5k 2－1)＞0，解得k ＞55或k ＜－55，所以存在直线l ，使得|AD |＝|AE |，此时k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－55∪⎝⎛⎭⎪⎫55，＋∞.12分 专题限时集训(十五) 圆锥曲线中的综合问题 [建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°.图15­4(1)求椭圆C 的方程；(2)如图15­4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．[解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.5分因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.6分因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4 ＝14·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＋4＝－34k， 所以k ·k ′为定值－34.12分2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点P (a ，b )与F 1，F 2围成等腰三角形，且S △PF 1F 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线x ＝－4与QA ，QB 分别交于M ，N 两点． (i)当QF 1→＝λMN →时，求Q 点坐标；(ⅱ)过点M ，N ，F 1三点的圆是否经过x 轴上不同于点F 1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．[解] (1)F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题意可得F 1F 2＝PF 2，∴(a －c )2＋b 2＝4c 2.1分 由S △PF 1F 2＝3可得，12·2c ·b ＝bc ＝ 3.2分两式联立解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)(ⅰ)∵QF 1→＝λMN →，∴QF 1∥MN ，∴QF 1⊥x 轴.5分 由(1)知，c 2＝1，∴F 1(－1,0)．设Q (－1，y )，则有14＋y 23＝1，∴y ＝±32，∴Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，±32.7分 (ⅱ)设Q (x 0，y 0)，则k QA ＝y 0x 0＋2，直线QA 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．令x ＝－4得M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 0x 0＋2.9分同理k QB ＝y 0x 0－2，直线QB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－6y 0x 0－2，10分MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6y 0x 0－2－－2y 0x 0＋2＝3x 0＋4|y 0|.11分 设圆心坐标为O (m ，n )，若x 轴上存在定点E (λ，0)满足条件，则有m ＝λ－12，n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 0x 0－2＋－2y 0x 0＋2＝3x 0＋1y 0.12分 由题意可得(m ＋4)2＋MN 24＝n 2＋EF 214，13分代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42＋14·9x 0＋42y 20＝9x 0＋12y 20＋λ＋124.即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42－λ＋124＝36x 0＋12－9x 0＋424y 20＝93x 20－124y 2＝－9， 整理得λ＝－7，∴x 轴上存在点E (－7,0)满足题意.14分3．(2016·淄博二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64是等轴双曲线C ：y 2a 2－x 2a 2＝1上一点，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 的一个焦点重合．图15­5(1)求抛物线的方程；(2)若点P 是抛物线上的动点，点A ，B 在x 轴上，圆x 2＋(y －1)2＝1内切于△PAB ，求△PAB 面积的最小值．[解] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64代入双曲线可得，38a 2－14a 2＝1，解得a 2＝18，c 2＝a 2＋a 2＝14，2分由题意可知，p 2＝12，p ＝1，所以抛物线方程为x 2＝2y .4分(2)设P (x 0，y 0)，A (m,0)，B (n,0)，不妨设n ＞m . 直线PA 的方程：y ＝y 0x 0－m(x －m )，化简得y 0x ＋(m －x 0)y －my 0＝0.6分 又圆心(0,1)到PA 的距离为1，|m －x 0－my 0|y 20＋m －x 02＝1，上式化简得(y 20－2y 0)m 2＋2x 0y 0m －y 20＝0， 同理有(y 20－2y 0)n 2＋2x 0y 0n －y 20＝08分所以m ＋n ＝－2x 0y 0y 20－2y 0＝－2x 0y 0－2，mn ＝－y 20y 20－2y 0＝－y 0y 0－2，则(m －n )2＝4x 20＋4y 20－8y 0y 0－22.10分因P (x 0，y 0)是抛物线上的点，有x 20＝2y 0，则(m －n )2＝4y 2y 0－22，易知y 0＞2，所以n－m ＝2y 0y 0－2. 所以S △PAB ＝12(n －m )·y 0＝y 0y 0－2·y 0＝(y 0－2)＋4y 0－2＋4≥24＋4＝8.12分当(y 0－2)2＝4时，上式取等号，此时y 0＝4，x 0＝±2 2. 因此S △PAB 的最小值为8.13分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图15­6(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 【导学号：67722057】[解] (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b2＝1，故a ＝2，b ＝1. 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，5分则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k2.6分 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，7分 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.8分又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，10分|PQ |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝52－m2，11分所以S ＝12|PQ |d ＝m22－m2＜m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).12分。

专题限时集训(十四)圆锥曲线定义、方程、几何性质[A 组 高考达标]一、选择题1．(2021·全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 焦点，曲线y＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，那么k ＝( ) A.12B ．1C.32D ．2D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)坐标代入y ＝kx(k ＞0)得k ＝2.应选D.]2．(2021·石家庄一模)过点A (0,1)作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点，那么符合条件直线条数为( )A ．0B ．2C ．4D ．无数C [过点A (0,1)与双曲线渐近线平行直线与双曲线只有一个公共点，这样直线有两条，过点A (0,1)与双曲线相切直线只有一个公共点，这样直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．(2021·唐山二模)椭圆y 2＋x2m2＝1(0＜m ＜1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，那么m 取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，22C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1 D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12 B [当点P 是短轴顶点时∠F 1PF 2最大，因此假设椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，那么∠F 1PF 2≥90°，所以∠F 2PO ≥45°(O 是原点)，从而c a ≥22，即1－m 2≥12，又0＜m ＜1，所以0＜m ≤22.]4．(2021·济宁模拟)设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆左，右焦点，I 为△PF 1F 2内心，假设S △IPF 1＋S △IPF2＝2S △IF 1F 2，那么该椭圆离心率为( ) A.12 B.22C.32D.3－12A [因为S △IPF 1＋S △IPF 2＋S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，所以3S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，设△PF 1F 2内切圆半径为r ，那么有32×2c ×r ＝12×(|PF 1|＋|PF 2|＋2c )×r ，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，即2a ＝4c ，所以e ＝12.] 5．(2021·兰州模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点四边形面积为16，那么椭圆C 方程为( ) 【导学号：67722052】A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 D [椭圆离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1渐近线方程为x ±y ＝0，所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限交点为⎝⎛⎭⎪⎪⎫255b ，255b ， 所以由圆锥曲线对称性得四边形在第一象限局部面积为255b ×255b ＝4，所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20. 所以椭圆C 方程为x 220＋y 25＝1.应选D.]二、填空题6．(2021·合肥二模)双曲线M ：x 2－y2b2＝1左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径圆与双曲线M 在第一象限交点为P ，假设|PF 1|＝c ＋2，那么P 点横坐标为________．3＋12[根据双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|＝c ＋2，所以|PF 2|＝c ，由勾股定理得(c ＋2)2＋c 2＝4c 2，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝3＋1，根据△OPF 2是等边三角形得P 点横坐标为3＋12.] 7．(2021·邯郸二模)F 1，F 2为x 2a 2＋y 216＝1左、右焦点，M 为椭圆上一点，那么△MF 1F 2内切圆周长等于3π，假设满足条件点M 恰好有2个，那么a 2＝________.【导学号：67722053】25 [由题意得内切圆半径等于32，因此△MF 1F 2面积为12×32×(2a ＋2c )＝3a ＋c2，即3a ＋c2＝12×|y M |×2c ，因为满足条件点M 恰好有2个，所以M 为椭圆短轴端点，即|y M |＝4，所以3a ＝5c 而a 2－c 2＝16，所以a 2＝25.]8．(2021·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1渐近线与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)交于第一、二象限内两点分别为A ，B ，假设△OAB 外接圆圆心为(0，2a )，那么双曲线C 1离心率为________．6－ 2 [由双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1，可得渐近线为y ＝±b a x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y2b 2＝1，解得A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2，b 2， 那么⎝⎛⎭⎪⎪⎫a 22＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫b2－2a 2＝2a ，化为b 2－4ab ＋a 2＝0，解得ba＝2－ 3.∴双曲线C 1离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2＝6－ 2.]三、解答题9．(2021·莱芜模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(2，2)，其焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上，A ，B 是椭圆左右顶点．图14­1(1)求椭圆C 方程；(2)M ，N 分别是椭圆C 与 ⊙O 上动点(M ，N 不在y 轴同侧)，且直线MN 与y 轴垂直，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，求证：PN ⊥QN .[解] (1)由椭圆焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上可知，c ＝2，1分∴b 2＝a 2－4，将点(2，2)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得4a 2＋2a 2－4＝1，即a 4－10a 2＋16＝0，解得a 2＝8，或a 2＝2(舍)，3分 ∴椭圆C 方程为x 28＋y 24(2)证明：设M (x 0，y 0)，直线AM 斜率显然存在，设直线AM 方程为y ＝k (x ＋22)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝k x ＋22，可得(1＋2k 2)x 2＋82k 2x ＋16k 2∴－22x 0＝16k 2－81＋2k 2，得x 0＝22－42k 21＋2k 2，y 0＝42k 1＋2k 2，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－42k 21＋2k 2，42k 1＋2k 2，8分 直线BM 斜率为42k 1＋2k 222－42k 21＋2k2－22＝－42k82k 2＝－12k ，9分∴直线BM 方程为y ＝－12k (x －22)．令x ＝0，可得P (0,22k )，Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，2k，10分 设N (x N ，y 0)，那么PN →＝(x N ，y 0－22k )，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x N ，y 0－2k ，PN →·QN →＝x 2N ＋y 20－⎝⎛⎭⎪⎪⎫22k 2＋2ky 0＋4，11分又x 2N ＋y 20＝4，y 0＝42k1＋2k 2，∴PN →·QN →＝4－⎝⎛⎭⎪⎪⎫22k 2＋2k 42k1＋2k 2＋4＝8－8＝0，12分 ∴PN ⊥QN .13分10．(2021·全国甲卷)椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1焦点在x 轴上，A 是E 左顶点，斜率为k (k >0)直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，那么由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0).2分由及椭圆对称性知，直线AM 倾斜角为π4.因此直线AM 方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.4分因此△AMN 面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.5分(2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t 3－tk 23＋tk2， 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k23＋tk 2.7分由题设，直线AN 方程为y ＝－1k(x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t 1＋k 23k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k 2k －1k 3－2.9分 t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －2k 2＋1k 3－2＜0，即k －2k 3－2由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 取值范围是(32，2).12分 [B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2021·唐山二模)点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点，假设以点M (0,8)为圆心，|OA |长为半径圆交抛物线C 于A ，B 两点，且△ABO 为等边三角形，那么p 值是( )A.38B ．2C ．6D.23D [由题意知|MA |＝|OA |，所以点A 纵坐标为4，又△ABO 为等边三角形，所以点A 横坐标为433，又点A 是抛物线C 上一点，所以163＝2p ×4，解得p ＝23.]2．(2021·安庆二模)焦点在x 轴上椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1，随着a 增大该椭圆形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆D [由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0，解得2－3＜a ＜2＋3，又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a ＝1－14⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－3，1)时，e越来越大，当a ∈(1,2＋3)时，e 越来越小，应选D.]3．(2021·济宁二模)如图14­2，点P 在以F 1，F 2为焦点双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，过P 作y 轴垂线，垂足为Q ，假设四边形F 1F 2PQ 为菱形，那么该双曲线离心率为( )图14­2A. 3B.3＋12C ．2D ．23－1B [由题意知四边形F 1F 2PQ 边长为2c ，连接QF 2(图略)，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，那么三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，那么∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，那么P (2c ，3c )，连接PF 1，那么|PF 1|＝23c .由双曲线定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线离心率为c a ＝13－1＝3＋12.]4．(2021·武汉二模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点为F ，点A ，B为抛物线上两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 中点M 作抛物线准线垂线MN ，垂足为N ，那么|MN ||AB |最大值为( ) 【导学号：67722054】A.33B ．1C.233D ．2A [设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ，∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.]二、填空题5．(2021·哈尔滨二模)设F 1，F 2是椭圆x 2＋y2b2＝1(0＜b ＜1)左、右焦点，过F 1直线l 交椭圆于A ，B 两点，假设|AF 1|＝3|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，那么b 2＝________.23[由题意F 1(－c,0)，F 2(c,0)，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∴A 点坐标为(c ，b 2)，设B (x ，y )，那么|AF 1|＝3|F 1B |，∴(－c －c ，－b 2)＝3(x ＋c ，y )，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13b 22b2＝1.∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23.]6．过抛物线y 2＝4x 焦点F 直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．假设|AF |＝3，那么△AOB 面积为________．322[设直线AB 倾斜角为θ(0＜θ＜π)及|BF |＝m ， ∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，即cos θ＝13，那么sin θ＝223.∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∴△AOB 面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎪⎫3＋32×223＝322.]三、解答题7．如图14­3，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |.图14­3(1)求椭圆C 离心率；(2)假设点M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1617，217在椭圆C 内部，过点M 直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 中点，且OP ⊥OQ .求直线l 方程及椭圆C 方程．[解] (1)由|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ，2分4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.4分(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y2b2P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b2＝0， 即x 1＋x 2x 1－x 24b2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，即－3217x 1－x 24＋417(y 1－y 2)＝0，从而k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，6分∴直线l 方程为y －217＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1617，即2x －y 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y2b 2＝1⇒x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0，9分Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0⇔b ＞21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0,5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，11分从而516－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1，椭圆C 方程为x 24＋y 28．(2021·全国丙卷)抛物线C ：y 2＝2x 焦点为F ，平行于x 轴两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 准线于P ，Q 两点．(1)假设F 在线段AB 上，R 是PQ 中点，证明：AR ∥FQ ； (2)假设△PQF 面积是△ABF 面积两倍，求AB 中点轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，那么ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点直线为l ， 那么l 方程为2x －(a ＋b )y ＋ab(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 斜率为k 1，FQ 斜率为k 2，那么k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .4分(2)设l 与x 轴交点为D (x 1,0)，那么S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2.6分由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，8分所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件AB 中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，9分由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1).10分当AB 与x 轴垂直时，E 与D 所以，所求轨迹方程为y 2＝x。

专题限时集训(十三) 圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第103页)(限时：40分钟)1 4.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA →·OB →＝－4，F (1,0)，记S ＝S △OFA ＋S △OAB ，求S 的最小值.【导学号：07804096】[解] (1)设M (x ，y )，PQ 的中点为N ，连接MN (图略)， 则|PN |＝2，MN ⊥PQ ， ∴|MN |2＋|PN |2＝|PM |2. 又|PM |＝|EM |， ∴|MN |2＋|PN |2＝|EM |2，∴x 2＋4＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x . ∴动圆圆心M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，不妨令y 1＞0， 则S △OFA ＝12·|OF |·y 1＝12y 1，∵OA →·OB →＝－4， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 2216＋y 1y 2＝－4，解得y 1y 2＝－8， ①当y 1＝－y 2时，AB ⊥x 轴，A (2,22)，B (2，－22)，S △AOB ＝42，S △OFA ＝2，S ＝5 2.当y 1≠－y 2时，直线AB 的方程为y －y 1y 2－y 1＝x －y 214y 224－y 214，即y －y 1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 214y 1＋y 2，令y ＝0，得x ＝2，∴直线AB 恒过定点(2,0)，设定点为E ， ∴S △OAB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝y 1－y 2，由①可得S △OAB ＝y 1＋8y 1，∴S ＝S △OFA ＋S △OAB ＝12y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋8y 1 ＝32y 1＋8y 1≥212 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当32y 1＝8y 1，即y 1＝433时，取等号.综上，S min ＝4 3.2．(2017·陕西教学质量检测)已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【导学号：07804097】[解] (1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2.∴椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712； ②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y ＝k (x ＋1)， 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k 23＋4k2.∵直线BD 的斜率为－1k，∴|BD |＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝＋k 23k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k2＋k2＋3k 2＋4＋k 2＝712. 综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．3．(2017·长沙模拟)如图13­4，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Г过定点B (1,0)，直线l 是圆Г在点B 处的切线，过A (－1,0)作圆Г的两条切线分别与l 交于E ，F 两点．图13­4(1)求证：|EA |＋|EB |为定值；(2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ，证明：|EB |·|FQ |＝|FB |·|EQ |. [解] (1)设AE 切圆Г于点M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ， 故|EM |＝|EB |.从而|EA |＋|EB |＝|AM |＝|AP |2－|PM |2＝|AP |2－|PB |2＝|AN |2－|BN |2＝25－9＝4.所以|EA |＋|EB |为定值4.(2)由(1)同理可知|FA |＋|FB |＝4， 故E ，F 均在椭圆x 24＋y 23＝1上．设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 令x ＝4，求得y ＝3m ，即Q 点纵坐标y Q ＝3m.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y23＝1得，(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.因为E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，所以|EB |·|FQ |＝|FB |·|EQ |等价于(y B －y 1)(y Q －y 2)＝(y 2－y B )(y Q －y 1)， 即－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m－y 1y 2，等价于2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3m.将y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4代入，知上式成立． 所以|EB |·|FQ |＝|FB |·|EQ |.4．(2017·衡水模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点.【导学号：07804098】[解] (1)由题意知c a ＝12，62＝b ，即b ＝ 3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，c ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.则Δ＝322k 4－4(3＋4k 2)(64k 2－12)＞0， 解得0≤k 2＜14.易知x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝(1＋k 2)x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2＝(1＋k 2)·64k 2－123＋4k 2－4k 2·32k 23＋4k2＋16k 2＝25－874k 2＋3.因为0≤k 2＜14，所以－873≤－874k 2＋3＜－874，所以－4≤25－874k 2＋3＜134，所以OA →·OB →的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134.(3)因为点B ，E 关于x 轴对称，所以E (x 2，－y 2)， 所以直线AE 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)． 令y ＝0，可得x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2.因为y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)，所以x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2＝2x 1x 2－x 1＋x 2x 1＋x 2－8＝2×64k 2－123＋4k 2－4×32k23＋4k 232k23＋4k2－8＝1. 所以直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．。