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Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考

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Gauss-Seidel 迭代矩阵求法的思考在迭代法收敛性的判别中，我们有充分条件：若迭代矩阵B 的某种范数1<=q B ，则迭代法 ,1,0,)()1(=+=+k d Bx x k k 对任意的初始向量)0(x 都收敛于方程组b Ax =的精确解*x 。

从这个条件中我们可以看出，想要知道迭代法是否收敛，就要知道迭代矩阵（当然如果系数矩阵是正定的或严格对角占优的，那就不用知道其迭代矩阵，因为这时它的Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代一定收敛），Jacobi 迭代矩阵为A D I U L D B J 11)(---=+-=，Gauss-Seidel 迭代矩阵，U L D B G 1)(-+-=这两个矩阵中都涉及到了矩阵的逆。

从上高等代数时学到矩阵的逆开始，就一直惧怕有关矩阵逆的题目，因为求矩阵A 的逆*11A AA =-,这就必须求出A 的行列式A 与A 的伴随矩阵*A ,对于求矩阵A 的行列式，就是一个繁琐的过程，计算量大且易出错，而这儿还不仅如此，这儿还要求出矩阵A 的伴随矩阵*A 。

如果矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111*，而其中的nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a A1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111ij+-+++-++-+----+-=，因此求*A 的计算量比求A 的行列式的计算量还要大的多，所以1-A 很难求。

因此数学家便开始寻找求1-A 的相对容易的方法，其中有一种初等变换的方法，即对()E A 进行初等行变换，当把A 变成E 时，E 便变成了1-A ，此方法要简单的多，但在变换过程中要消耗大量空间。

在用迭代法解线性方程组的方法中，都涉及到了一个矩阵的逆，而且其涉及到的还不仅仅是一个矩阵的逆那么简单，其涉及到的是用一个矩阵的逆去乘另一个矩阵，如果一步一步算，想要算出矩阵的逆，再算两个矩阵相乘，没有一步是简单的，两步计算过程都很繁琐，极易出错。

仔细观察后，我发现正是因为矩阵的逆与另一矩阵相乘，从而在整体上出现了相对简单的计算，其过程是略去矩阵逆的计算，从而简化计算。

对于n 介线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n bx a x a x a b x a x a x a 221111212111，即b Ax =，其系数矩阵()n n ij a A ⨯=非奇异且()n i a ii ,,3,2,10 =≠，对 ,2,1,0=k ，则可建立①Jacobi 迭代格式:()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+----=+----=--+++1).(1),(1),(1)(11,)(22)(11)1(2)(2)(323)(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1n k n n n k n k n nn k n k n n k k k k n n k k k b x a x a x a a x b x a x a x a a x b x a x a x a a x我们知道Jacobi 迭代矩阵为()2)(11A D I U L D B J ---=+-=,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn a a a D 2211， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00001,21323121n n n n a a a a a a L， ()30000,122311312⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n n a a a a a a U 。

由式⑵可看出，计算J B ，首先需求出1-D ,然后再作矩阵乘法。

当然这儿由于D 的特殊性，1-D 很好求，1-D =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn a a a a a a 11122111-2211，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------==-000-0-B 3213333332333122222231121111111311121Jnnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A D I如果我们抛开式⑵，直接看⑴，就会发现，其实J B 可以直接写出来，无需计算，由⑴可得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------=000-0B 321333333233312222223112111111131112Jnnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，其直接从线 性方程组中得来，显然快于一步步的计算，而且第二中算法不仅简单还不容易出错，提高了求迭代矩阵的效率。

当然，第一种算法的1-D 可以直接写出很好求，从而效率也没提高多少，但对于Gauss-Seidel 迭代，就不然了。

②Gauss-Seidel 迭代格式：()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+----=+----=+--++++++4).(1),(1),(1)1(11,)1(22)1(11)1(2)(2)(323)1(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1n k n n n k n k n nn k n k n n k k k k n n k k k b x a x a x a a x b x a x a x a a x b x a x a x a a x我们知道Gauss-Seidel 迭代矩阵()5)(1UL D B G -+-=,其中矩阵D,L,U 与上述⑶中一样。

但此处1)-+L D （就不是太好求了，即使它是个下三角矩阵。

然而求出1)-+L D （后，还要进行矩阵的乘法，因为U L D B G 1)(-+-=即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-=---0000)(,12231131213213332312221111n n n n nn n n n G a a a a a a a a a a a a a a a a U L D B计算有点繁琐，然而，我产生一种想法，其是否也可与Jacobi 迭代矩阵那样,直接写出来了？通过一番计算，再加上实例的体会，我找出了一种相对简洁的关系。

把⑷式写成)))()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+----=+----=+----=+--++++++421)(1)1(11,)1(22)1(11)1(2)(2)(323)1(121)1(2221)(1)(313)(21211)1(1n b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a a x n k n n n k n k n k n nn k n n k k k k n n k k k把1）代入2）并整理得（由于我们的目的是得到矩阵，所以在此就不考虑n b b b ,,,21 了）)(211121)(323111321)(2111221)1(222)()()(k nn n k k k x a a a a x a a a a x a a a x a --∙-++--∙-+-∙-=+ 2’）令1111111313111212,,,a a b a a b a a b n n -=-=-=，则1）变为)(1)(313)(212)1(1k nn k k k x b x b x b x +++=+ ① 。

此时 2’）式变为)(222121)(322231321)(2221221)1(2]/)[(]/)[(]/)[(k nn n k k k x a a b a x a a b a x a b a x -∙-++-∙-+∙-=+ 2^)。

令2221212222313212322122122,,,-a a b a b a a b a b a b a b n n n --=--==，则2^)式变为)(2)(323)(222)1(2k nn k k k x b x b x b x +++=+ ②。

把①、②式代入3）式整理得)(3232131)(43424321431)(323321331)(222321231)1(333)()()()(k nn n n k k k k x a b a b a x a b a b a x b a b a x b a b a x a ---++---+--+--=+ 3’）令333232131333342432143134332332133133332232123132,,,,a a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b nn n n ---=---=--=--=则3’）式变为)(3)(434)(333)(232)1(3k nn k k k k x b x b x b x b x ++++=+ ③ ……如此一直在前一步的基础上求后一步矩阵中的元素的值，一直进行下去，则n-1)式变为)(,1)(13,1)(12,1)1(1k n n n k n n k n n k n x b x b x b x -----+-+++= 则第n 个式子变为)(,11,,22,,11,)(33,11,232,131,)(22,11,222,121,)1()()()-(K nn n n n n n n n K n n n n n K n n n n n k n nn x b a b a b a x b a b a b a x b a b a b a x a ------+----++----+---= 即)(,)(44,)(33,)(22,)1(k n n n k n k n k n k nx b x b x b x b x ++++=+从而得到Gauss-Seidel 迭代矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n n nn n n nn n n n G b b b a a b a a a b a a b a b b b b b b b a b b b b b b B3222212122231321221221113122222111n 111222221120-0000a -a a -0000⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=321333232131332332133133223212312232211312000n n n n n n nn b b b a a b a b a a b a b a a b a b a b b b b b b⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=+--++--+--+n n i n i n ii n i n i i i n i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n i i b b b a a b a b a a a b a b a a b a b a b b b ,1,,,,,11,,11,,1,1,11,1,11,,,11,,11,,11,1,10---00⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=------nn n n n n n n nn n n n n n n n n n n nnna b a b a a b a b a a b a b a b b b b b b b b b ,,11,11,,3,11,131,,2,11,121,333232232211312---0000（*）接下来我用书上一个例子来展现上述方法求迭代矩阵的优越性：例 设方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+,722025,19103,928321321321x x x x x x x x x 试分别写出Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代格式以及相应的迭代矩阵。

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Gauss-seidel迭代法的思想及C语言编程

Gauss-seidel迭代法的思想及C语言编程


即xi( k +1) = (bi − ∑ aij x (jk +1) −
j =1
i −1
j =i +1
∑a x
ij
( k +1)
n
(k ) j
) / aii
( k +1)
这样，每一个计算出来的分量 xi 法收敛得快。
马上就可以用于计算下一个分量 xi +1 ，这种方法比 Jacobi 迭代
（2）Gauss-seidel 迭代法的矩阵形式的推导
⎞ ⎛ x1(k +1) ⎞ ⎛ 0 −a12 " −a1,n−1 −a1n ⎞ ⎛ x1(k ) ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 ⎞ ⎛ x1(k +1) ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ −a ⎟ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ b ⎟ 0 a22 0 " −a2,n−1 −a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 21 ⎟⎜ # ⎟ + ⎜ ⎟⎜ # ⎟ = ⎜ # # % % ⇔⎜ % # # ⎟⎜ # ⎟ + ⎜ # ⎟ ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ (k +1) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ ⎟ 0 an−1,n−1 b −an−1,n ⎟ ⎜ xn 0 ⎟ ⎜ xn−1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ n−1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn−1 ⎟ ⎜ −an−1,1 −an−1,2 " ( k +1) ⎟ ⎜ ( k +1) ⎟ ⎜ (k ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ann ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ −an1 −an2 " −an,n−1 0⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ bn ⎟ ⎝ ⎠ ( k +1) ( k +1) (k ) ⇔ Dx = Lx +Ux + b ⇔ (D − L)x(k +1) = Ux(k ) + b ⇔ x(k +1) = (D − L)−1Ux(k ) + (D − L)−1b = BJ x + g 其中BJ =(D − L)−1U, g = (D − L)−1b
基于Gauss—Seidel迭代格式的新迭代法

基于Gauss—Seidel迭代格式的新迭代法


）１ ＜．
作者简介 ：敬久旺 （ ９４ ，男 ，西藏林芝人 ，讲师 ，硕士，从事应用数学教学研究．Ｅ ｍ ｉ ｊ —ｋ ６ ． ｍ １７－） － ａｌ ｊ ｏ＠１３ ｏ ：ｗ ｃ
第６ 期
敬 久旺 ： 于 Ｇ ｕｓＳｉ ｌ 基 ａｓ ｅ ｅ迭代格式的新迭代法 — ｄ
２ ７
迭代 （ — 迭代 ） ＧＳ 格式为
该序列｛ ） 收敛， 那么极限就是方程组的近似解， 如果序列｛ ） 不收敛， 那么该结果就没有实际的意义． 判 断一个方法有效 Ｉ的标准之一是算到某个精确度的近似解而付 出的代价 （ 生 包括运算量和存储量 ）本文对于 ． 线性方程组的数值解给出了一个基于 Ｇ Ｓ迭代格式的新迭代格式 ， — 分析 了该格式在系数矩阵特殊情况下的 收敛性．最后 ，针对系数矩阵是正定的情况 ，给出了一种新的迭代格式 ，并证 明了其收敛性．
１ 月 １
文章编号 ：１０ — ８ （ ０ ） ６ ０２ — ３ ０ ７ ９３ ２ １ ０— ０ ６０ １ １
基于 Ｇ ｕｓＳｉ ｌ ａｓ ｅ ｅ迭代格式的新迭代法 — ｄ
敬久 旺
（ 西藏农牧学院 公共教学部 ，西藏 林芝 ８００ ６０ ０）
摘要： 对于线性方程组的数值解给 出了一个基于 Ｇ Ｓ — 迭代格式的新的迭代格式， 分析 了该格式在 系数矩阵特殊情况下的收敛性．最后 ，针对系数矩阵是正定的情况，给 出了一种新的迭代格式，
Ｋ ｙｗｏｄ ： ｉ ｒｔ ｅｍｅ ｏ ｅ ｌｓ ｔ ａｉ ｔ ｄ； ｌ ｅ ｒ ｑ ａｉｎ ； ｐ ｓｔ ｅｄ ｆ ｉ ｔ ｘ ｅ ｖ ｈ ｉ ａ ｕ ｔ ｓ ｏｉｖ ｅ ｎｔ ｍａｒ ｎ ｅ ｏ ｉ ｉ ｅ ｉ
现代工程技术 、社会科学、自然科学和实验设计 中的很多计算问题都归结为求解线性方程组 的问题 ， 而且往往这类问题 的未知量有成百上千个．直接法 （ Ｃａ ｅ 法则 、Ｇ ｕｓ 如 ｒｍ ｒ ａｓ 消去法 、平方根方法等 ） 求解
Gauss-Seidel迭代法

Gauss-Seidel迭代法

G a u s s-S e i d e l迭代法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数值分析课程论文姓名:学号:Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组摘要线性方程组的求解在许多的工程技术中是一个极为常见的问题，对于线性方程组的求解无论从理论上还是实践应用上都已经成熟.对于一般线性方程组的求解有Gauss消元法为基础的直接法，也有迭代法.其中Gauss-Seidel是一个重要的组成部分.鉴于此，本论文细致地研究了用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组.论文的第一部分先介绍了迭代法求解线性方程组的一般模式，并给出这种迭代法的收敛性条件，Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的基本原理.这一部分是Gauss-Seidel迭代法的理论基础.论文的第二部分给出了Gauss-Seidel迭代法的具体操作步骤，以伪代码的形式细致的描绘如何使用Gauss-Seidel迭代法的求解方程组.同时，为了验证算法的有效性，在这一部分，还引入一个简单的算例，用于MATLAB编程发现计算结果完全正确.论文的第三部分给出了关于Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序，用于计算线性方程组.关键词：Gauss-Seidel迭代法，基本原理，算例，MATLAB程序目录1 Gauss-Seidel迭代法的基本理论 (1)1.1线性方程组的迭代法求解 (1)1.2Gauss-Seidel迭代法的原理 (2)2.具体的算例和操作步骤 (3)2.1. Gauss-Seidel迭代法的伪代码 (3)2.2.具体的算例验证算法的有效性 (3)3．MATLAB程序 (4)参考文献 (6)Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组一. Gauss-Seidel 迭代法的基本理论1.1线性方程组的迭代法求解在考虑求解线性方程组Ax=b 时，其中A 为非奇异矩阵.尽管Guass 消元法通过有限次运算可以求解此问题，其对应的计算复杂度为3O(n ).但是对于工程技术中和某些偏微分方程过程中出现的大型稀疏型矩阵利用迭代法可以更快的收敛，找到解.另外一方面，由于迭代法占用的计算机内存少，且便于计算.这两方面的优势促成了迭代法求解线性方程组的研究.关于迭代法的收敛的几个判定条件 1（迭代法基本原理）设有方程组f Bx x +=，对于任意初始向量()0x 及任意f ，解此方程组的迭代法（即()()f Bx x k k +=+1）收敛的充要条件是()1<B ρ.2（迭代法收敛的充分条件）如果方程组f Bx x +=的迭代公式为()()f Bx x k k +=+1（()0x 为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数1<=q B v ，则：︒1迭代法收敛；︒2()()()v k k vk x x q qx x 11-*--≤-；︒3()()()v kvk x x q q xx 011--≤-*.定理3 如果mn RA ⨯∈为严格对角占优阵或为不可约弱对角占优阵，则对于任意的()0x ，解方程组b Ax =的Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法均收敛.定理4如果A 为对称正定矩阵，且20<<ω，则解式b Ax =的SOR 方法收敛.1.2Gauss-Seidel 迭代法的原理由Jacobi方法迭代公式()()()()010k k xx B x f +⎧⎪⎨=+⎪⎩初始向量，可知，迭代的每一步计算过程，都是用()k x 的全部分量来计算()1+k x 的所有分量，显然在计算第i 个分量()1+k ix时，已经计算出的最新分量()11+k x ，()12+k x ，…，()11+-k i x 没有被利用.从直观上看，最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x 的分量()1+k jx 加以利用，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法（简称G-S 方法）：()()()()()T=002010n x x x x ，，， （初始向量），()()()()n i k x a x a b a x i j n i j k j ij k j ij i iik i,,2,1;,2,1,0111111 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑-=+=++或写为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆==∆+=∑∑-==++.1,,,2,1;,2,1,01111i j ni j k j ij k iij i ii i i k i k i x a x a b a x n i k x x x上面第2个式子利用了最新计算出的分量()11+k x ，第i 个式子利用了计算出的最新分量()()1,,2,11-=+i j x k j .还可写成矩阵形式()()()()()()k k k k k Ux b x L D Ux Lx b Dx+=-++=+++111,，若设()1--L D 存在，则()()()()b L D Ux L D x k k 111--+-+-=， 于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为()()f Gx x k k +=+1，()6.2.8 其中 ()U L D G 1--=，()b L D f 1--=.由此可以看出，应用Gauss-Seidel 迭代法解式b Ax =，就是对方程组f Gx x +=应用迭代法.G 称为解式的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵.Gauss-Seidel 迭代法的一个明显优点是，在用计算机计算时，只需一组工作单元，以便存放近似解.由式可以看出，每迭代一步只需计算一次矩阵与向量的乘法.二．具体的算例和操作步骤2.1. Gauss-Seidel 迭代法的伪代码 1.输入问题的参数A,b 2.分解A 为D,L,U.3.计算迭代方程G ，f.4.开始迭代，随机设定一个初值.5.以迭代方程更新x 的值.6.如果到达迭代次数，则进入步骤7；否则，回到步骤5.7.输出x ，结束.2.2.具体的算例验证算法的有效性 求解如下的线性方程组1231231238-3+2=204+11-=336+3+12=36x x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩ 这个方程的真实解为（3,2,1）. 程序运行结果： 情况1：输入GS （A,b ） GS(A,b)xhis =0 0 0 2.5000 2.0909 1.2273 2.9773 2.0289 1.0041 3.0098 1.9968 0.9959 2.9998 1.9997 1.0002 2.9998 2.0001 1.0001 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 ans = 3.0000 2.00001.00000.51.5解的迭代情况图一。

改进的Gauss-Seidel迭代法对于H-矩阵及其比较矩阵谱半径的影响

改进的Gauss-Seidel迭代法对于H-矩阵及其比较矩阵谱半径的影响


文献标识码： Ａ
１ 引言
本 文考 虑 线性 方 程 组
Ａ ｘ＝ｂ ，
Ｘｂ ， ∈Ｒ” ，
（） １
这里 Ａ ＝ （ｉ） ａ ∈Ｒ凡 ｎ是非奇异矩 阵。求解线性 方程组（） × １的问题 不但在工程技术 中涉及到 ，
而且在计算方法其他 分支 的研 究中， 比如样条插值、最佳平方逼近 、微分方程数值解等 ，也往 往需要解这样的问题，因此它是一个应用相当广阔的分支 。解此线性 系统有许 多常用的古典迭
１ １ 是ｊ 奇 异 ＾ 一 阵 ： Ｅ 矩
２ 存在正 向量 ，使得 Ａ １ ｘ》 ０ ：
３ １ ４ １
其中
的所有主子矩阵是非奇异 ＂ 一 矩阵 ： 的所有主子式均为正。
引理２３ 设 Ａ＝ （ｉ ∈Ｒ 【 Ｊ ａｊ ）
是 非 负矩 阵 ，Ｌ
＝
并 且 Ａ＝ Ｉ—
一 ， ｉ ≠ ０（ ＝ １２ … ， ａ， 件１ ，， ｎ～１ ， ）
０是 严格 下二 角 非 负矩 阵 。Ｉ Ｇ 方法 的迭 代 矩 阵 是 Ｍ Ｓ
（ —Ｌ 一Ｓ Ｌ 一 （ 一 ＋Ｓ ）
和 ｄ： Ｌ ＋
）
。那 么
我 们 用 和 分 别 表示 Ｔ ＝ ： ： （ Ｌ ｏ Ｉ— ）
异 一 阵 ，这 里 瓦Ｊ满 足 矩
＝
｛ｌ １ 【ｎ ． ，
一
ｆ
ｚ
Ｊ
ｌ ｎ
ｉ ≠
则称 是 Ⅳ一 矩阵，我 们用 ｆ ＝ （ １ Ａｆ １ ， ａ ）表示 的元 素取绝对值所得非负矩 阵。 定义３ ］ 如果 是非奇异 ｎ阶方阵，则称 Ａ＝ Ｍ —Ｎ 是 的分裂 ：如果 ｐＭ ＿ Ｎ１ 【 ２ （ Ｉ ＜ １