第二章 解线性代数方程组的迭代法
2. 1 引言
在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数 很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组， 如果它乂不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消 元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状， 导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性 代数方程组。迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较 少，能解高阶线性代数方程组。山于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因 此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。那么，是否可以构造一种适 用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性 态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有
时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。因 此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。
本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中儿种方法的收 敛法。
2. 2 基本迭代法
考虑线性方程组
如坷+如勺+…+气兀”二勺
a2txi+a22x2 + - + a2„xn =b2 ■ • • • • • • • • • • •
(2. 1)
采用矩阵和向量记号，我们可以把(2.1)式写成0
Ax = h
(2.2)
其中，
为非奇异矩阵，设
下面我们介绍雅可比(Jacobi)迭代，高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代与
S0R迭代以及SS0R迭代的基本思想和算法。为了方便地给出矩阵表示式，我们引 进下列矩阵分裂：
4SD-U,
(2.3)
其中
-a2\
-an\
(1) 雅可比迭代的基本思想
从式(2.1)的第i个方程中解出Xt =(/ = 1,2,•••,«)
function [x,k] = Gau_Seid(A,b,ep,it_max)
%%[x,k] = Gau-Seid(A,b,ep,it_max)
if nargin < 4 it_max = 100;end
if nargin < 3 ep = 1e-5;end
if min(abs(diag(A))) < 1e-10
error;
end
n = length (b);x=zeros(n,1);k=1;
B = -tril(A)\tril(A,1);f=tril(A)\b;
while k < it_max
y=B*x+f;
if norm(y - x,inf) < ep break; end
x=y;k=k+1;
end
求解习题二6的代码为：
A=[10,-2,-2;-2,10,-1;-1,-2,3];b=[1;0.5;1];[x,k]=Gau_Seid(A,b)
运行结果为：
A=[10,-2,-2;-2,10,-1;-1,-2,3];b=[1;0.5;1];[x,k]=Gau_Seid(A,b)
x =
27.1132
-6.0425
5.3427
k =
100
第３１卷 ２０１１矩 第６期 １１月 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ ｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ ＣｏＨｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．３１ Ｎｏ．６ ＮＯＶ． ２０１ｌ
文章编号：１００７—９８３ １（２０１ １）０６—００２６—０３
基于Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ迭代格式的新迭代法
敬久旺
（西藏农牧学院公共教学部，西藏林芝８６００００）
摘要：对于线性方程组的数值解给出了一个基于Ｇ—Ｓ迭代格式的新的迭代格式，分析了该格式在 系数矩阵特殊情况下的收敛性．最后，针对系数矩阵是正定的情况，给出了一种新的迭代格式， 并证明了其收敛性． 关键词：迭代法；线性方程组；正定矩阵
中图分类号：０２４１．７ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１１．０６．００９
Ａ ｎｅｗ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ＯＨ Ｇａｕｓｓ—Ｓｅｉｄｅｌ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ
ＪＩＮＧ Ｊｉｕ－ｗａｎｇ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆＰｕｂｌｉｃ Ｔｅａｃｈｉｎｇ，Ｔｉｂｅｔ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ ａｎｄ Ａｎｉｍａｌ Ｈｕｓｂａｎｄｒｙ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｎｙｉｎｇｃｈｉ ８６００００，Ｃｈｉｎａ）
．ＡＪ￣ｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇ－Ｓ，ｇａｖｅ ａ ｎｅｗ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｃｈｅｍｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ
ｔｈｅ ｎｅｗ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｃｈｅｍｅ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａ ｎｅｗ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｓｃｈｅｍｅ
ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ，ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ．
Matlab 数值分析 Gauss_Seidel高斯赛德尔迭代法
%* Gauss_Seidel迭代法求解线性方程组-----------------------------------------
%* 输入方程组、预处理-------------------------------------------------------
A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; %A矩阵
b=[-12;20;3]; %列向量b
x1=[-3;1;1]; %初始x1
eps=1e-3; % 精度要求
%* 开始迭代求解------------------------------------------------------------
max=1000; % 最大迭代次数
n=length(A); % 系数矩阵A的维数
k=0;
while 1
x=x1; %保存每次的x1，用于判定精度
%* 先计算X1(1)，与Jacobi迭代法计算一致
x1(1)=( b(1)-A(1,2:n)*x1(2:n,1) )/A(1,1);
%* 再计算X1(i)，i=2,3,...,n-1
for i=2:n-1
x1(i)=( b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x1(i+1:n,1) )/A(i,i);
end
%* 最后计算X1(n)
x1(n)=( b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1) )/A(n,n);
k=k+1;
%* 计算前后迭代解X1的误差
