第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题(解析版)高二数学复习巩固练习(人教A版2019)

选修二第五章《一元函数的导数及其应用》提高训练题 (10)1．已知()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立，则（ ）A ．()()()()2202220,20220f e f f e f >⋅>⋅ B ．()()()()2202220,20220f e f f e f <⋅>⋅ C ．()()()()2202220,20220f e f f e f >⋅<⋅ D ．()()()()2202220,20220f e f f e f <⋅<⋅2．若函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当(),0x ∈-∞时，()'x xf x e e ->-，则不等式()()()()12321111x x x f x f x e e e ----->--的解集为（ ）A ．()0,2B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()(),02,-∞+∞D ．()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭3．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x −ln x 存在与直线x ＋y −1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1-+2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦， C ．[−1，＋∞) D ．(−∞，−1]4．已知函数()f x 满足()()221ln x f x xf x x '+=+，()1f e e=，当0x >时，下列说法正确的是（ ）①()f x 有两个零点；①()f x 只有一个零点；①()f x 有极小值；①()f x 有极大值 A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足：()()40x f x e f x +-=， ()21f e =，且当0x >时，()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（ ） A ．(1,4)B ．(2,1)-C ．(1,)+∞D ．(0,1)6．若函数()sin 2cos 6x a f x x x =++在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]4,4-B ．[]3,4-C ．[]4,3--D ．[]3,3-7．已知函数()212x x f x e e x --=-+，则不等式()()2020202121f x f x ++-≤的解集是（ ）A ．(],4039-∞B ．[)4039,+∞C ．(),4042-∞D ．[)4042,+∞8．若存在x ，(0,)∈+∞y 使得ln(2)ln x ax y x y +=，则实数a 的最大值为（ ） A ．1eB ．12eC ．13e D ．2e9．已知函数()32f x x bx x =++为定义在[]21,3a a --上的奇函数，则()()210f x f x b -+->的解集为（ ） A ．1,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,4C ．1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]2,310．已知,,44x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0a ≠且a 是常数，且33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，则()cos 2x y +=（ ）A ．12-B ．12C ．1D ．1-11．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()210x f x '+>，()12f =，则关于x 的不等式()1ln 1ln f x x<+的解集是（ ） A ．()e,+∞B ．()0,eC ．()1,eD ．()0,112．若04a <<且44a a =，05b <<且55b b =，06c <<且66c c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．a c b <<13．定义()f x ''是()y f x =的导函数()y f x '=的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．可以证明，任意三次函数32()(0)f x axbx cx d a =+++≠都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（ ） A ．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数 B ．函数32()335f x x x x =--+的对称中心是（1，0）C ．存在三次函数()h x ，方程()0h x '=有实数解0x ，且点()()00,x h x 为函数()y h x =的对称中心D ．若函数32115()3212g x x x =--，则123202010102021202120212021g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．设函数()()111ln 0f x x x a a ax ⎛⎫=-+-≠ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．当0a <时，()f x 有两个极值点B ．当0a <时，()1f x >C ．当01a <<时，()f x 在()1,+∞上单调递增D ．当1a >时，存在唯一实数a 使得函数()()2g x f x =-恰有两个零点15．若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则a 的取值范围是______．16．已知函数(),()ln ,x f x e g x x a x a R ==+∈ （1）讨论g (x )的单调性；（2）若()()2af x xg x x ++，对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的最大值；17．已知函数()2222x e ax e x g x =++（a ∈R ）有两个极值点为1x ，2x （12x x <）．（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：21221ln 2a e x x a +<+<． 18．已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）设曲线()y f x =在1=x e 处的切线为()y g x =，求证：()()f x g x ≥；（2）若()f x a =有两个根1x ，2x ，求证：1212x x a e e-<++.19．已知函数()()()1ln 1,x f x x g x e -=+=（1）若直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，求直线l 的方程； （2）证明：2ln 1x x x e x <--．（参考数据：0.69ln 20.7<<） 20．已知函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在(,0)-∞上只有一个极值，且该极值小于1a e --，求a 的取值范围. 21．已知()()32133f x x ax x a R =+-∈在3x =-处取得极值．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值． 22．已知函数3211()()32f x x ax a =-∈R 在[0,1]上的最小值为16-．（1）求a 的值；（2）若函数()()2()g x f x x b b =-+∈R 有1个零点，求b 的取值范围． 23．已知函数()ln ()f x ax x a R =-∈．（①）当2a =时，求曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程；（①）求函数()f x 的单调区间；（①）若()0f x 恒成立，求a 的取值范围．24．已知函数()2ln f x x x ax =+-.（1）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()21e xx x f x ⎡⎤+-<⎣⎦. 25．已知()22ln f x x ax bx =++，且()f x 在12x =和2x =处有极值. （1）求实数a 、b 的值； （2）判断()f x 的单调性.26．已知函数()32f x x x x =+-.（1）求函数()f x 在()()1,1M f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]22-,上的最值. 27．已知函数322()1f x x ax a x =--+，其中0a > （1）若函数()f x 的极大值为3227，求实数a 的值； （2）若曲线()y f x =在点(,())a f a --处的切线与y 轴的交点为(0,)b ，求1b a+的最小值.28．已知函数32()f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且23x =时，()y f x =有极值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]4,2-上的最大值和最小值．29．若函数，3()4=-+f x ax bx ，当2x =-时，函数()f x 有极值283. （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围. 30．已知函数19()0cos 2cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭，当x =_____时，()f x 的最小值为_____【答案与解析】1．A 【解析】根据结构构造函数()()=x f x g x e，利用导数判断g (x )为增函数，得到()()()()20,20220g g g g >>，整理化简即可得到正确答案.因为函数()f x 为定义在(),-∞+∞上的可导函数，且()()f x f x '<对于x ∈R 恒成立， 设()()=x f x g x e 则()()()=0xef x f xg x -'>'恒成立，即g (x )为增函数， 所以()()()()20,20220g g g g >>，即()()()()220220,202202f e f f e f >>.故选：A 2．B 【解析】令()()x x g x f x e e -=--，求出函数的导数，根据函数的单调性，奇偶性得到关于(21)(1)g x g x ->-以及|21||1|x x -<-，求出不等式的解集即可．解：令()()x x g x f x e e -=--， 则()()x x g x f x e e -'='-+，当(,0)x ∈-∞时，()x x f x e e -'>-， 故()0g x '>即()g x 在(,0)-∞上单调递增， ()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()x x g x f x e e g x -∴-=---=，()g x ∴是偶函数，(21)(1)f x f x ∴---123(1)(1)x x x e e e -->-- 21123()(1)x x x e e e ---=--， 211112x x x x e e e e ---+-=--+等价于211211(21)(1)x x x x f x e e f x e e ---+---->--- 即(21)(1)g x g x ->-，()g x 为偶函数，在(,0)-∞递增，在(0,)+∞递减，|21||1|x x ∴-<-，解得：203x <<，故选：B ． 3．A 【解析】根据题意，曲线23y ax x lnx =+-存在与直线10x y +-=垂直的切线，转化为()1f x '=有正根，分离参数，求最值，即可得到结论． 解：令2()3ln y f x ax x x ==+-，由题意，10x y +-=斜率是1-，则与直线10x y +-=垂直的切线的斜率是1，()1f x ∴'=有解函数的定义域为{|0}x x >，()1f x ∴'=有正根，2()3ln f x ax x x =+-，1()231f x ax x∴'=+-=有正根 22210ax x ∴+-=有正根 221212(1)1a x x x∴=-=-- 21a ∴-， 12a ∴-． 故选：A ． 4．D 【解析】令()()2g x x f x =,则()()()2'21ln g x x f x xf x x '=+=+,得到()2ln =x x Cf x x + 由()1f e e=得到()ln =x f x x，()21-=ln xf x x '，利用导数判断f (x )的单调区间和极值即可得到正确答案.令()()2g x x f x =,则()()()2'21ln g x x f x xf x x '=+=+, ①()ln g x x x C =+,即()2=ln x f x x x C +,所以()2ln =x x Cf x x + 因为()1f e e=所以C =0,所以()ln =x f x x，()21-=ln xf x x '当0<x <e 时,()0f x '> ,f (x )单调递增;当x >e 时, ()0f x '<，f (x )单调递减. 所以f (x )在x =e 处取得极大值()1f e e=,无极小值,即①错误,①正确;又f (1)=0,且当x>e 时, f (x )>0恒成立,①f (x )只有一个零点为x =1,即①正确, ①错误①正确的有①①. 故选：D（1）函数的单调性与导数的关系： 已知函数()f x 在某个区间内可导，①如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；①函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；（2）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；①利用数形结合思想研究；①构造辅助函数硏究. 5．A 【解析】由给定的不等式构造函数()()2xf xg x e =对()g x 求导，根据已知条件可判断()g x 非得单调性，将所求解不等式转化为()g x 有关的不等式，利用单调性脱去f 即可求解.令()()2xf xg x e=，则()()2420x x xe g x e e g x -+-=可得()()0g x g x +-= 所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上的奇函数，()()()()()224222x x x x f x e e f x f x f x g x e e ''--'==， 当0x >时，()2()f x f x '>，所以()0g x '>，()()2xf xg x e=是(0,2)上单调递增， 所以()()2x f x g x e=是(2,2)-上单调递增，因为()()222111f e g e e ===，由24(2)x e f x e -<可得()()22242x xe eg x e --<即()()211g x g -<=，由()()2x f x g x e =是(2,2)-上单调递增，可得22221x x -<-<⎧⎨-<⎩解得：14x <<， 所以不等式24(2)x e f x e -<的解集为(1,4)， 故选：A.关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数()()2xf xg x e =，根据已知条件判断()g x 的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式 . 6．A 【解析】由题意可得()2cos2sin 60f x x a x '=-+，再利用二倍角公式、二次函数的性质，求得a 的范围． 解：①()2cos2sin 60f x x a x '=-+≥，①2284sin sin 04sin sin 80x a x x a x --≥⇔+-≤，设()sin 11t x t =-≤≤， 即有2480t at -≤+，只需要()()224118041180a a ⎧⨯-+⨯--≤⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得[]4,4a ∈-. 故选：A. 7．A 【解析】根据条件得到()(2)1f x f x +-=，然后将不等式进行转化，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可 解：因为()212x x f x e e x --=-+，所以()(2)222112(2)122x x x x f x ee x e e x -------=-+-=-+-， 所以()(2)1f x f x +-=，所以()f x 的图像关于点11,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，由()()2020202121f x f x ++-≤，得()()[22021212020(2020)](2018)f x f x f x f x =-+=---≤-+，由()212x x f x e e x --=-+，得()'212x x f x e e --=--+，所以()''2x x f x e e --⎡⎤=-⎣⎦，当1x <时，()''0f x ⎡⎤>⎣⎦，当1x >时，()''0f x ⎡⎤<⎣⎦， 所以当1x =时，'()f x 取得极大值'11(1)202f e -=-+<， 所以'()0f x <恒成立，所以()f x 在R 上为减函数，所以由()(2018)20212f x f x ---≤，得202122018x x -≥--，所以4039x ≤，所以原不等式的解集为(],4039-∞， 故选：A关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决不等式问题，解题的关键是由已知函数得到()(2)1f x f x +-=，从而将不等式()()2020202121f x f x ++-≤转化为()(2018)20212f x f x ---≤，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 8．B 【解析】由已知可得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得到答案解：由ln(2)ln x ax y x y +=，得ln 2ln y y a x x =-，令0yt x=>，()ln g t t t =-， 则'11()1t g t t t-=-=，当01t <<时，'()0g t >，当1t >时，'()0g t <， 所以()g t 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以当1t =时，()g t 取得极大值即最大值(1)1g =-， 因为当0t →时，()g t →-∞， 所以()(,1]g t ∈-∞-， 所以ln21a ≤-，所以102a e<≤， 所以实数a 的最大值为12e， 故选：B关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数与方程的应用，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是将ln(2)ln x ax y x y +=，化为ln 2lny y a x x =-，令0yt x=>，构造函数()ln g t t t =-，然后利用导数求出函数的值域，从而可得ln2a 的范围，进而可求出实数a 的范围，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题 9．C 【解析】根据函数()f x 为奇函数得出：定义域关于原点对称且()()0f x f x -+=，从而求,a b 的值；再根据函数()f x 的单调性结合定义域求不等式的解集. ①函数()f x 为定义在[]21,3a a --上的奇函数， ①2130a a -+-=，得到2a =-，因为函数()f x 为奇函数，所以满足()()0f x f x -+=，则()32320x bx x x bx x -+-+++=，所以220bx =，所以得到0b =所以()3f x x x =+，且函数()f x 的定义域为[]5,5-，则()()210f x f x b -+->等价于()()210f x f x -+>， ①()()()21f x f x f x ->-=-，又因为()2310f x x '=+>，所以()3f x x x =+在[]5,5-上单调递增，①52155521x x x x-≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->-⎩，解得133x <≤，①原不等式的解集为1,33⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C ． 10．C 【解析】设()3sin f x x x =+，根据已知条件可知()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，根据函数的单调性与奇偶性即可求出结果.令()3sin f x x x =+，所以()23cos f x x x '=+，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x ≥，所以()0f x '>，所以()3sin f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，又因为()()()()33sin sin -=-+-=--=-f x x x x x f x ，所以()f x 为奇函数，33sin 204sin cos 0x x a y y y a ⎧+-=⎨++=⎩，即()33sin 202sin 220x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩等价于()()222f x a f y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以20x y +=，所以()cos 2cos01x y +==，故选：C11．C 【解析】设1()()g x f x x=-，（0x >），求导数后确定()g x 的单调性，不等式变形为关于()g x 的不等式，然后由单调性解不等式．设1()()g x f x x=-，（0x >），因为()210x f x '+>，则2221()1()()0x f x g x f x x x'+''=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)2f =，所以(1)(1)11g f =-=，而不等式1(ln )1ln f x x<+可变形为(ln )(1)g x g <，所以0ln 1x <<，1e x <<．故选：C ．本题考查用导数解不等式，解题关键是引入新函数1()()g x f x x=-，（0x >），由导数确定新函数的单调性，不等式变形为关于新函数的不等式，从而利用单调性完成求解． 12．B 【解析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析函数()f x 的单调性，变形可得出()()4f f a =，()()5f f b =，()()6f f c =，利用函数()f x 的单调性可得出()()()456f f f >>，即有()()()f a f b f c >>，利用图形结合函数()f x 的单调性可得出结论. 当04a <<时，由44a a =可得4ln ln4a a =，可得ln ln 44a a =，同理可得ln ln 55b b =，ln ln 66c c =， 构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 作出函数()f x 的图象如下图所示：由已知可得()()4f f a =，()()5f f b =，()()6f f c =，因为函数()f x 在(),e +∞上单调递减，且456e <<<，则()()()456f f f >>， 由图可知，a 、b 、()1,c e ∈，因为()()()456f f f >>，则()()()f a f b f c >>， 因为函数()f x 在()1,e 上单调递增，故a b c >>. 故选：B. 13．BCD 【解析】根据新定义对应各个选项逐个判断，求出()0f x ''=，判断其零点的个数即可判断A ；()66f x x ''=-，将（1，0）代入即可判断B ；设三次函数为3()h x x =，方程()0h x ''=的解只有00x =，从而可判断C ；求出函数()g x 的对称中心为11(,)22-，则()(1)1g x g x +-=-，即可判断D.解：选项A ：因为2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，()62f x ax b ''=+，则方程()0f x ''=只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故A 错误， 选项B ：因为2()363f x x x '=--，()66f x x ''=-，方程()0f x ''=只有一个实数解01x =，0()0f x =， 则函数()f x 的对称中心为(1,0)，故B 正确，选项C ：设三次函数为3()h x x =，则2()3h x x '=，()6h x x ''=，方程()0h x ''=的解只有00x =，0()0h x =，所以函数()h x 的对称中心为(0,0)，故C 正确，选项D ：因为2()g x x x '=-，()21g x x ''=-，方程()0g x ''=只有一个实数解为012x =，01()2g x =-，所以函数()g x 的对称中心为11(,)22-，则()(1)1g x g x +-=-，所以122020120202201910101011()()()[()()][()()][()()]202120212021202120212021202120212021g g g g g g g g g ++⋯+=++++⋯++ 1010(1)1010=⨯-=-，故D 正确，故选：BCD ． 14．BD 【解析】利用导数确定函数的单调性、最值及极值点判断ABC ，再由单调性确定()()2g x f x =-恰有两个零点等价于1()2f a=，再构造函数()3(1)ln 1h a a a a =-+-，得出其单调性，确定a 的唯一性．22111(1)(1)()1ax x a f x x ax ax +--'=-+=， 0a <时，01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1x >时，()0f x '>，()f x 递增，()f x 极小值1(1)11f a==->，()f x 只有一个极值点，A 错误，B 正确； 01a <<时，01x <<或1x a >时，()0f x '>，11x a <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)和1(,)a+∞上递增，在1(1,)a上递减，C 错误；1a >时，同理可得()f x 在1(0,)a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)a上递减，()f x 极小值(1)f ==111a -<，()()2g x f x =-恰有两个零点，即()2f x =恰有两解，等价于1()2f a=，即3(1)ln 10a a a -+-=，设()3(1)ln 1h a a a a =-+-，1()2ln h a a a'=--， 设1()()2ln a h a a a ϕ'==--，22111()0aa a a aϕ-'=-=<，所以()a ϕ递减，即()h a '递减，(1)10h '=>，a →+∞时，()h a '→-∞，所以存在0(1,)a ∈+∞，使得0()0h a '=，在01a a <<时，()0'>h a ，()h a 递增，0a a >时，()0h a '<，()h a 递减，(1)20h =>，则0()0h a >，a →+∞时，()h a →-∞，所以存在唯一的实数10(),a a ∈+∞，使得1()0h a =，故D 正确． 故选：BD ．本题考查用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查用导数研究函数的零点问题．解题关键是掌握导数与单调性的关系，掌握极值的定义．对于函数零点问题，注意掌握零点存在定理，把问题进行转化，本题转化为()3(1)ln 1h a a a a =-+-有唯一零点，利用导数确定单调性后可得．15．[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x 是由log a y t =和245t ax x =-+复合而成，分别讨论1a >和01a <<时log a y t =的单调性，进而可得245t ax x =-+在()1,2上的单调性，再由2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立，由二次函数的性质即可求解.函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠是由log a y t =和245t ax x =-+复合而成，当1a >时log a y t =单调递增，若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则245t ax x =-+在()1,2上单调递增，且2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立， 245t ax x =-+的对称轴为2x a=所以()2114510a t a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+=+≥⎩解得：2a ≥，当01a <<时log a y t =单调递减，若函数()()()2log 450,1a f x ax x a a =-+>≠在()1,2上单调递增，则245t ax x =-+在()1,2上单调递减，且2450t ax x =-+>对于()1,2x ∈恒成立， 245t ax x =-+的对称轴为2x a=所以()222485430a t a a ⎧≥⎪⎨⎪=-+=-≥⎩解得：314a ≤<，综上所述：a 的取值范围是[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为：[)3,12,4⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭16．（1）见解析；（2）e 【解析】（1）对()g x 求导，然后分0a 及0a <讨论得出单调性情况；（2）原不等式可转化为ln ln x x a a e e x x ++，设()ln (0)h x x x x =+>，求出()h x 的单调性，可知当1x >时，ln xax ，设()(1)ln x x x xϕ=>，求出()ϕx 的最小值即可得解． 解：（1）()1(0)ax ag x x xx+'=+=>， 当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，令()0g x '>，解得x a >-，令()0g x '<，解得0x a <<-， ()g x ∴在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增；综上，当0a 时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()g x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增； （2）()2()a f x x g x x ++即为ln x a e x a x x ++，即ln ln x x a a e e x x ++， 设()ln (0)h x x x x =+>，则11()1x h x xx+'=+=， 易知函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，而()()x a h e h x ，所以x a e x ，即ln x a x ，当1x >时，即为ln xa x， 设()(1)ln x x x x ϕ=>，则2ln 1()ln x x xϕ-'=， 易知函数()ϕx 在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，()x ϕϕ∴（e ）e =， a e ∴，即a 的最大值为e ．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，考查构造函数思想，考查运算求解能力，属于难题．17．（1）()2,2e -∞-；（2）证明见解析．【解析】（1）首先利用极值点的定义，结合导数，转化为22x e e a x +-=，利用导数研究函数()22x e e xh x +=的性质，转化为y a =-与22xee y x+=有两个交点，求实数a 的取值范围；（2）由极值点的定义得212221x x e e a x x --=-，再利用分析法，分别证明不等式的两边.（1）由于()2222x e ax e x g x =++有两个极值点1x ，2x （12x x <），则()222220x e g ax e x '=++=有两个实根1x ，2x ，故22x e e a x+-=．设()22x e e x h x +=，则()()2222222222x x x x e x e e e x e e x x h x '-+--==．设()2222x x e x e e r x =--，则()10r =，()222204224x x x xe x e e r x x e =+-⋅='≥，解得0x ≥．故()r x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()2001r e =--<，0x <时，()()22221x r x e x e e =--<-，故当1x ≤（0x ≠）时，()0r x ≤，()()20r x h x x'=≤；当1x >时，()0r x ≥，()()20r x h x x '=≥．由此()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减， 在()1,+∞上单调递增．从而22a e ->，即22a e <-． 综合上述，实数a 的取值范围为()2,2e -∞-．（2）由于()()122211222222202220x x g x e ax e g x e ax e ⎧=++'=⎪⎨=++='⎪⎩，故1222122200x x e ax e e ax e ⎧++=⎨++=⎩． 从而()1222210x x eea x x -+-=，即212221x x e e a x x --=-．先证不等式右边：由于()211212221221ln 222x x x x x x a a e e x x e e x x ++--+<⇔<-⇔<- ()()211221120202x x x x t i t t e e e e t t e e t x x -----⇔>⇔->>⇔-->-（0t >）．设()2t t e e t k t -=--（0t >），则()2220t tt e k e -'=+-≥-=，故()k t 在()0,∞+上单调递增，从而()()200t tk e e t t k -=-->=，故0t t e e t --->（0t >）成立，12ln 2a x x -+<．再证不等式左边：21221e x x a+>-．由于1222221111122221122222ln 2()2()22ln x x e t t x ln ax e e ax e a a x ln ax e e ax e e t t a a ⎧⎧⎧=--⎪⎪⎪=--=--⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨=--=--⎪⎪⎪=--⎪⎪⎪⎩⎩⎩（211t ax e =--，222t ax e =--），从而()21212ln ln t t t t a -=--，即()21212ln ln t t a t t --=-，其中211t e x a +=-，222t e x a +=-．由于2222121212122211t e t e e e x x t t a t t a a a a a+++>-⇔+>-⇔+>-⇔+>---()()()221211221222112111212221ln ln ln ln ln 11tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⎫⎛-⎪---⎝⎭+>⇔>⇔>⇔>-+++（1t >）， 设()()21ln 1s t t t t -=-+（1t >），则()()()()222114011t s t t t t t -'=-=>++， 故()s t 在()1,+∞上单调递增，从而()()()21ln 101t s t t q t -=->=+，故()21ln 1t t t ->+（1t >）成立，从而21221e x x a+>-． 综合上述，21221ln 2e a x x a --<+<，即21221ln 2a e x x a +<+<． 方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）先利用导数的几何意义求出切线()y g x =，然后令()()()h x f x g x =-，再利用导数求出()h x 的最小值大于等于零即可得结论；（2）不妨设12x x <，由于直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，由（1）可得101x x a e≥=--，所以只要证2x a e ≤+即可，即证()220f x x e -+≥，构造函数()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，利用导数求其最小值非负即可证明：（1）由于()ln f x x '=，则11f e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，又12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1=x e 处的切线方程为21y x e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即()1y g x x e==--，令()()()()1ln 1h x f x g x x x x e=-=-++，则()ln 1h x x '=+，于是当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()10h x h e ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即()()f x g x ≥.（2）不妨设12x x <，直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，又由（1）知：()()f x g x ≥，则()()011111a x f x g x x e e =--=≥=--，从而101x x a e ≥=--，当且仅当01x e =，2a e=-时取等号.下证：2x a e ≤+.由于()2a f x =，所以()222x a e x f x e ≤+⇔≤+，即证：()220f x x e -+≥， 令()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，则()ln 1x x ϕ'=-， 当()0,x e ∈时，()0x ϕ'<； 当(),x e ∈+∞，()0x ϕ'>；所以()x ϕ在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增；故()()0x e ϕϕ≥=，即2x a e ≤+成立，当且仅当2x e =，0a =时取等号. 由于等号成立的条件不能同时满足，所以()1221112x x x x a e a a e e e ⎛⎫-=-<+---=++ ⎪⎝⎭.关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是在第2问中设12x x <，直线1y x e =--与y a =相交于点()0,x a ，又由（1）知：()()f x g x ≥，则()()011111a x f x g x x e e=--=≥=--，从而101x x a e≥=--，所以将问题转化为证2x a e ≤+，进一步转化为证明()220f x x e -+≥，然后构造函数()()ln 2x f x x e x x x e ϕ=-+=-+，利用导数求其最值即可，考查计算能力和转化思想，属于较难题19．（1）y x =或11y x e e=+；（2）证明见解析. 【解析】(1)利用函数在某一点处的导数值即为函数在该点处切线的斜率来求解；(2 )通过结论构造新函数加以证明，构造函数()ln 1h x x x =-+，求导函数，分析导函数的符号，得出所构造函数的单调性，从而得出最值，不等式可得证. （1）1()1f x x '=+，1()xg x e '-=，则函数()f x 在点11(,())x f x 处的切线方程为：1111ln(1)()1y x x x x -+=-+，即11111ln(1)11x y x x x x =++-++， 函数()g x 在点22(,())x g x 处的切线方程为：22112()x x y e e x x ---=-，即22112(1)x x y e x e x --=+-，因为直线:l y kx b =+既是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 所以22111112111ln(1)(1)1x x e x x x e x x --⎧=⎪+⎪⎨⎪+-=-⎪+⎩，将211ln(1)x x -=-+代入得1ln(1)1111ln(1)ln(1)1x x x e x x -++-=⋅++，即111ln(1)x x x +=， 所以10x =或11x e =-，若10x =，则21x =，此时直线l 的方程为：y x =； 若11x e =-，则20x =，则此时直线l 的方程为：11y x e e=+， 综上得：y x =或11y x e e=+. （2）设()ln 1h x x x =-+，则11()1xh x x x-'=-=，令()0h x '=，解得1x =， 所以当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，()h x 在(1,).+∞上单调递减， 所以()(1)0h x h <=，所以ln 1≤-x x ，所以2ln x x x x ≤-，设2()21(0)x F x e x x x =-+->，则()41x F x e x '=-+，令()()41x G x F x e x '==-+，则()'4xG x e =-，令()'0G x =，得ln 4x =，所以存在12,x x 使得()F x 满足()F x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，所以{}{}min 22()min (0),()min 0,()F x F F x F x ==，又因为22222222()21252x F x e x x x x =-+-=-+-，且2ln 42x <<，因为2252y x x =-+-在(ln 4,2)上单调递减，所以2222520x x -+->，所以2()0F x >，所以2()210x F x e x x =-+->，即221ln x e x x x x x -->-≥，即2ln 1x x x e x <--.方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.20．（1）答案见解析；（2）(,-∞. 【解析】（1）求得()()()xf x x a a e '=--，分0a ≤和0a >两种情况讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）当0a <时，由（1）()3112a af x e a e =-+<--极小值，求得a <01a <<时，求得函数的单调性，结合()(1)1a h a h e >>--，得到01a <<不合题意；当1a ≥时，由函数()f x 在(,0)-∞递增，无极值，得到不符合题意，即可求解.（1）由题意，函数221()(1)2x f x x a e ax a x =---+，可得()2()()()x xf x x a e ax a x a e a '=--+=--，当0a ≤时，0x e a ->，令()0f x '<，解得x a <；令()0f x '>，解得x a >， 故()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增，当0a >时，令()0f x '=，解得1x a =或2ln x a =， 设()ln g a a a =-，可得1()a g a a-'=， 当1a >时，()0g a '>；当01a <<时，()0g a '<， 故min ()(1)10g x g ==>，故ln a a >， 由()0f x '>，解得x a >或ln x a <，由()0f x '<，解得ln a x a <<，故()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,)a a 递减，在(,)a +∞递增， 综上可得：当0a ≤时，()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增， 0a >时，()f x 在(,ln )a -∞递增，在(ln ,)a a 递减，在(,)a +∞递增；（2）当0a <时，由（1）知，()f x 在(,)a -∞递减，在(,)a +∞递增，故()31()12a af x f a e a e ==-+<--极小值，解得a <当01a <<时，ln 0a <，由（1）知()f x 在ln x a =处取极大值，设221()(ln )(ln 1)ln ln 2h a f a a a a a a a a ==---+21ln 1ln 2a a a a a a ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，则21()ln 2ln 2h a a a a a '=-+-，因为01a <<，可得ln 0a <，所以()0h a '<，()h a 在(0,1)递减， 所以()(1)21a h a h e >=->--，所以01a <<不合题意， 当1a ≥时，ln 0a ≥，由（1）知()f x 在(,0)-∞递增， 此时()f x 在(,0)-∞无极值，不符合题意，综上可得，实数a 的取值范围是(,-∞.对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21．（1）()f x 的单调增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-，（2）最大值为9，最小值为53-【解析】（1）先求导，由已知可得'(3)0f -=，求出a 的值，再代入检验，从而可得函数的关系式，然后由导数的正负来求出函数的单调区间；（2）由（1）得出的单调区可求出()f x 的极值，从而可求出()f x 的最值 解：（1）由()()32133f x x ax x a R =+-∈，得'2()23f x x ax =+-，因为()()32133f x x ax x a R =+-∈在3x =-处取得极值，所以'(3)0f -=，即()()232330a -+⋅--=，解得1a =，经检验，当1a =时，()f x 在3x =-处取得极值，所以1a =， 所以()32133f x x x x =+-，则()2'23f x x x =+-， 由()'0f x >，得1x >或3x <-，由()'0f x <，得31x -<<，所以()f x 的单调增区间为(,3)-∞-和(1,)+∞，单调减区间为(3,1)-， （2）由（1）可知()f x 在[3,1)-上单调递减，在(1,3]上单调递增， 所以当1x =时，()f x 取得最小值，即min 15()(1)1333f x f ==+-=-，因为321(3)(3)(3)3(3)93f -=⨯-+--⨯-=，321(3)333393f =⨯+-⨯=，所以 ()f x 的最大值为9，所以()f x 区间[]3,3-上的最大值为9，最小值为53-22．（1）1a =；（2）76b <-或103b >．【解析】（1）利用导数分0a ，01a <<，1a =和1a >四种情况求出函数的最小值，然后列方程可求出a 的值；（2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，可得3211232b x x x =-++，构造函数3211()232h x x x x =-++，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合函数图像可得答案 解：（1）由3211()32f x x ax =-，2()()f x x ax x x a =--'=，当0a 时，()'f x 在[0,)+∞上恒大于等于0，所以()f x 在[0,1]上单调递增， min ()(0)0f x f ==，不合题意；当01a <<时，则[0,]x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； [,1]x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以333min 111()()326f x f a a a a ==-=-，31166a -=-，所以1a =，不满足01a <<；当1a =时，在[0,1]上，()0f x '且不恒为0，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f ==-=-，适合题意；当1a >时，在[0,1]上，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，min 111()(1)326f x f a ==-=-，所以1a =，不满足1a >；综上，1a =． （2）由（1）3211()232g x x x x b =--+，所以3211232b x x x =-++， 令3211()232h x x x x =-++，则2()2(2)(1)h x x x x x =-++=--+'，所以(2)0,(1)0h h ''=-=，且当1x <-时，()0h x '<； 当12x -<<时，()0h x '>；当2x >时，()0h x '<，所以 117()(1)2326h x h =-=+-=-极小， 1110()(2)844323h x h ==-⨯+⨯+=极大，如图：函数()g x 有1个零点，所以76b <-或103b >．23．（①）10x y -+=；（①）见解析；（①）1[e，)+∞． 【解析】（①）函数()ln f x ax x =-．当2a =时，()2ln f x x x =-，f （1）2=．切线的斜率为f '（1），利用点斜式即可得出曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程．（①）1()f x a x'=-，(0,)x ∈+∞．对a 分类讨论即可得出单调区间． （①）若()0f x 恒成立，则ln xax 在(0,)x ∈+∞上恒成立．令ln ()x g x x=，(0,)x ∈+∞．利用导数研究其单调性即可得出函数()g x 的最大值，即可得出所求． 解：（①）函数()ln f x ax x =-，()0x > 当2a =时，()2ln f x x x =-，f （1）2=．1()2f x x'=-， f '（1）1=，∴曲线()y f x =的在点1x =处的切线方程为：21y x -=-，即10x y -+=．（①）1()f x a x'=-，(0,)x ∈+∞．0a 时，()0f x '<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0a >时，1()()a x a f x x-'=，则函数()f x 在1(0,)x a∈上单调递减，在1(a ，)+∞上单调递增．（①）若()0f x 恒成立，则ln xa x在(0,)x ∈+∞上恒成立． 令ln ()xg x x=，(0,)x ∈+∞． 21-ln ()x g x x '=，令21ln ()0xg x x-'==，则x e =， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，所以ln ()xg x x=在()0,x e ∈递增， 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，所以ln ()xg x x=在(),x e ∈+∞递减， 所以()1()max g x g e e==， 所以a 的取值范围为1[e，)+∞．24．（1）a ≤（2）证明见解析． 【解析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立可求得参数范围；（2）不等式变形为e ln 0x x x x -+>，(0,1)x ∈，引入函数()e ln x g x x x x =-+，(0,1)x ∈，由导数求得其最小值，证明最小值大于0即证． （1）1()2f x x a x '=+-，由题意1()20f x x a x '=+-≥，即12a x x≤+在(0,)+∞上恒成立，0x >时，12x x+≥=12x x =，x =时等号成立．所以a ≤（2）0a =时，2()ln f x x x =+，21()(1ln )e x x x f x x x ⎡⎤+-=-<⎣⎦， 即证e ln 0x x x x -+>，(0,1)x ∈，设()e ln x g x x x x =-+，(0,1)x ∈，11ln ()e e ln x x g x x x ++=+-'=，在(0,1)上它是增函数，1e 1()e 10eg '=->，e e e (e )e 0g e --'=-<， 所以()'g x 在1(0,)e上存在唯一零点0x ，00e ln 0xx +=，00x x <<时，()0g x '<，()g x 递减，01x x <<时，()0g x '>，()g x 递增，所以0min 0000()()e ln xg x g x x x x ==-+0000ln ln x x x x =--，010,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令1()ln ln ,0,e h x x x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则11()ln 11ln h x x x x x '=+--=-0<，所以10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()h x 是减函数，所以111112()()ln ln 10e e e e e h x h e >=--=->，所以min ()0g x >， 所以原不等式成立．本题考查用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式．用导数证明不等式的常用方法是：例如不等式变形为()0>g x ，然后用导数求()g x 的最小值，只要最小值大于0即可得．25．（1）1a =，5b =-；（2）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭、()2,+∞上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【解析】（1）本题首先可求出()22f x ax b x '=++，然后根据题意得出102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝、()20f '=，最后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可通过求导得出()()()212x x f x x--'=，然后通过()0f x '>、()0f x '<即可得出结果.（1）()22ln f x x ax bx =++，()()220f x ax b x x'=++>， 因为()f x 在12x =和2x =处有极值，所以102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，()20f '=，即40140a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得1a =，5b =-，()2n 52l x x x f x +=-. （2）()2n 52l x x x f x +=-，()()()212225x x f x x x x--'=+-=，0x >， 当102x <<时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当122x <<时，()0f x '<，()f x 是减函数； 当2x >时，()0f x '>，()f x 是增函数，。

5．1.2 导数的概念及其几何意义第1课时 导数的概念A 级——基础过关练1．(2024年昭通期末)已知函数f (x )在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)，则lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．－13f ′(x 0)B ．－3f ′(x 0)C ．3f ′(x 0)D ．13f ′(x 0) 【答案】C 【解析】依据题意，lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx＝3f ′(x 0).故选C.2．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时改变率是( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】B 3．若lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝k ，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝( ) A ．2k B ．kC ．12kD ．以上都不对【答案】A4．(2024年东北师大附中月考)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是 ( )A.v 甲＞v 乙 B ．v 甲＜v 乙 C ．v 甲＝v 乙 D ．大小关系不确定【答案】B 【解析】设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均改变率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均改变率v 乙＝k BC .因为k AC＜k BC ，所以v 甲＜v 乙．5．(多选)在x ＝1旁边，取Δx ＝0.3，关于下列说法正确的有 ( )A ．函数y ＝x 的平均改变率为1B ．函数y ＝x 2的平均改变率为2.3C ．函数y ＝x 3的平均改变率为3.99 D ．函数y ＝1x的平均改变率为1【答案】ABC 【解析】依据平均改变率的计算公式，可得Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，所以在x ＝1旁边取Δx ＝0.3，则平均改变率的公式为Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3. 下面逐项判定，对于A ，函数y ＝x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.3－10.3＝1，正确；对于B ，函数y ＝x 2，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.32－10.3＝0.690.3＝2.3，正确；对于C ，函数y ＝x 3，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝1.33－10.3＝1.1970.3＝3.99，正确；对于D ，函数y ＝1x ，则Δy Δx ＝f (1.3)－f (1)0.3＝11.3－10.3＝－11.3≠1，错误．故选ABC.6．物体的运动方程为s ＝6t ＋7t 2(s 的单位：米，t 的单位：秒)，则此物体在t ＝10的瞬时速度是________．【答案】146米/秒 【解析】设此物体在t ＝10的瞬时速度v ＝lim Δt →0s (10＋Δt )－s (10)Δt＝lim Δt →06(10＋Δt )＋7(10＋Δt )2－60－700Δt ＝lim Δt →0146Δt ＋7(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (146＋7Δt )＝146(米/秒).7．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－2)＝24，则a ＝________．【答案】2 【解析】因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0a (x ＋Δx )3＋2－(ax 3＋2)Δx＝lim Δx →0[3ax 2＋a (Δx )2＋3ax Δx ]＝3ax 2，∴f ′(－2)＝12a ＝24，∴a ＝2.8．(2024年青岛月考)设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________．【答案】2 【解析】∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋4－(a ＋4)Δx＝a ，∴a ＝2.9．(2024年武汉月考)2024年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重实行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成果，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为l (t )＝2t 2＋32t ，则当t ＝3 s 时，该运动员的滑雪瞬时速度为________m/s.【答案】272 【解析】l (3＋Δt )－l (3)＝2(3＋Δt )2＋32(3＋Δt )－2×32－92＝2(Δt )2＋272Δt ，所以该运动员在 3 s 时的滑雪瞬时速度为l ′(3)＝lim Δt →0l (3＋Δt )－l (3)Δt＝lim Δt →0⎝ ⎛⎭⎪⎫2Δt ＋272＝272(m/s).10．求函数y ＝x 2在x ＝1，2，3旁边的平均改变率，取Δx 的值为13，哪一点旁边的平均改变率最大？解：在x ＝1旁边的平均改变率为k 1＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2旁边的平均改变率为k 2＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3旁边的平均改变率为k 3＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3旁边的平均改变率最大．B 级——实力提升练 11．(2024年南通期末)函数f (x )＝x 2－sin x 在[0，π]上的平均改变率为 ( )A ．1B ．2C ．πD ．π2【答案】C 【解析】依据题意，f (x )＝x 2－sin x ，则f (0)＝0，f (π)＝π2－sin π＝π2，则f (x )在[0，π]上的平均改变率为Δy Δx ＝f (π)－f (0)π－0＝π2－0π－0＝π.12．(多选)已知函数f (x )的定义域为R ，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则对于随意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，下列结论正确的是 ( )A ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2<0B ．()x 1－x 2[]f ()x 1－f ()x 2>0C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f ()x 1＋f ()x 22D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f ()x 1＋f ()x 22【答案】AD 【解析】由题中图象可知，导函数f ′(x )的图象在x 轴下方，即f ′(x )<0，且其肯定值越来越小，因此过函数f (x )图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f (x )的大致图象如图所示．由图象可知x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)异号，故A 正确，B 不正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22表示x 1＋x 22对应的函数值，即图中点B 的纵坐标，f (x 1)＋f (x 2)2表示当x ＝x 1和x ＝x 2时所对应的函数值的平均值，即图中点A 的纵坐标，明显有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故C 不正确，D 正确．故选AD.13．(2024年北京期末)日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加．已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位：元)为c (x )＝5 284100－x(80<x <100)，则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越________(填“快”或“慢”).【答案】25 快 【解析】由题意，可知净化所需费用的瞬时改变率为c ′(x )＝5 284×[－(100－x )-2×(－1)]＝ 5 284(100－x )2，所以c ′(95)＝ 5 284(100－95)2＝5 28425，c ′(99)＝ 5 284(100－99)2＝5 284，所以c ′(99)c ′(95)＝5 2845 28425＝25，所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时改变率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时改变率的25倍．因为c ′(99)>c ′(95)，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快．14．(2024年承德月考)某人服药后，人汲取药物的状况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值．【答案】－0.002 【解析】c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.15．(2024年长沙月考)设函数f (x )在x 0处可导，求下列各式的值．(1)lim Δx →0 f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx ； (2)lim Δx →0 f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx. 解：(1)lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)Δx＝－m lim Δx →0f (x 0－m Δx )－f (x 0)－m Δx＝－mf ′(x 0). (2)lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0＋5Δx )Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)－[f (x 0＋5Δx )－f (x 0)]Δx＝lim Δx →0f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx －lim Δx →0f (x 0＋5Δx )－f (x 0)Δx＝4limΔx→0f(x0＋4Δx)－f(x0)4Δx－5limΔx→0f(x0＋5Δx)－f(x0)5Δx＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0).。

原专题15人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题——寒假作业15（原卷版）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n nx nx x ---==-；1()'m mnn m x x n-==③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=- ⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，试卷第2页，总7页即有()00V f t '=。

第五章：一元函数的导数及其应用重点题型复习题型一导数定义的理解与运用【例1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若()24f '=，则()()222limx f x f x→+-=（）A．4B．2C．8D．8-【答案】C 【解析】()()()()()020222222lim2lim 2282x x f x f f x f f x x→→+-+-'===．故选：C ．【变式1-1】已知函数()f x 在0x x =处的导数为()0f x '，则000(2)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆（）A．()02f x 'B．()02f x '-C．()012f x -'D．()12f x '【答案】A【解析】由导数的定义和极限的运算法则，可得：000000000(2)()(2)()()()limlim lim x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-+∆+∆-=+∆∆∆()()()0002f x f x f x '''=+=.故选：A.【变式1-2】已知函数()f x 可导，且满足()()3Δ3Δlim2Δx f x f x x→--+=，则函数()y f x =在3x =处的导数为（）A．1-B．2-C．1D．2【答案】A【解析】因为()()()()003333lim 2lim 2(3)22x x f x f x f x f x f x x→→-∆-+∆-∆-+∆'=-=-=∆-∆△△，所以(3)1f '=-，故选:A.【变式1-3】若函数()f x 在0x 处可导，且()()0002lim 12x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=（）A．1B．1-C．2D．12【答案】A【解析】由导数定义可得()()()00002lim 2x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，所以()01f x '=．故选：A．【变式1-4】设函数()y f x =在R 上可导，则()()00lim x f f x x∆→-∆=∆（）A．()0f 'B．()0f '-C．()f x 'D．以上都不对【答案】B【解析】由导数的定义可知()()()()()000lim lim0x x f f x f x f f xx∆→∆→-∆∆-'=-=-∆∆.故选：B.题型二导数的几何意义与应用【例2】函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为函数()()e sin cos xf x x x =+，则()()e sin cos cos sin 2e cos x xf x x x x x x =++-='，所以()02f '=，也即函数()()e sin cos xf x x x =+在0x =处切线的斜率2k =，故选：B .【变式2-1】已知函数()32f x x =+.（1）曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（2）曲线()y f x =过点()0,4B 的切线方程.【答案】（1）30x y -=；（2）340x y -+=【解析】（1）因为2()3f x x '=，所以(1)3f '=，又(1)3f =，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()331y x -=-，即30x y -=；（2）设切点为()300,2x x +，则()()3200002,3f x x f x x =='+，所以切线方程为()()3200023y x x x x -+=-，因为切线过点()0,4B ，所以()()320004230x x x -+=-，即322x =-，解得01x =-，故所求切线方程为340x y -+=．【变式2-2】已知()3f x x x =-，如果过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的取值范围是______.【答案】()2,6-【解析】()231f x x '=-，则过()(),t f t 的切线为()()()y f t f t x t '-=-，即()23312y t x t =--.由过点()2,m 可作曲线()y f x =的三条切线得32262m t t =-+-有3个不等实根.令()32262g t t t m =-++，()2612g t t t '=-，由()0g t '=得0=t 或2t =.当0t <或2t >，()0g t '>，()g t 单调递增；当02t <<，()0g t '<，()g t 单调递减；故当0=t 时，函数()g t 取得极大值为2m +；当2t =时，函数()g t 取得极小值为6m -.要使()0g t =有3个不等实根，则26m -<<，即所求m 的取值范围是()2,6-.【变式2-3】（多选）设b 为实数，直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，则曲线()f x 的方程可以为（）A．()1f x x=-B．()214ln 2f x x x=+C．()3f x x=D．()exf x =【答案】ACD【解析】因为直线3y x b =+能作为曲线()f x 的切线，所以()3f x '=有解，对于A，由()1f x x=-，得()21f x x '=，由()3f x '=，得213x =，解得33x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()1f x x =-的切线，所以A 正确，对于B，由()214ln 2f x x x =+，得()4(0)f x x x x '=+>，由()3f x '=，得43x x +=，化简得2340x x -+=，因为2(3)440∆=--⨯<，所以方程无解，所以直线3y x b =+不能作为曲线()214ln 2f x x x =+的切线，所以B 错误，对于C，由()3f x x =，得2()3f x x '=，由()3f x '=，得233x =，解得1x =±，所以直线3y x b =+能作为曲线()3f x x =的切线，所以C 正确，对于D，由()e xf x =，得()e xf x '=，由()3f x '=，得e 3x =，解得ln 3x =，所以直线3y x b =+能作为曲线()e xf x =的切线，所以D 正确，选：ACD【变式2-4】（多选）若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值可能是（）A．1.2B．4C．5.6D．2e【答案】ABD【解析】由21y x =-，则2y x '=，由ln 1y a x =-，则ay x'=设切线与曲线21y x =-相切于点()11,A x y ，则斜率为12x ，所以切线方程为()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--①设切线与曲线ln 1y a x =-相切于点()22,B x y ，则斜率为：2ax ，则切线方程为()()222ln 1ay a x x x x --=-，即22ln 1a y x a x a x=+--，②根据题意方程①，②表示同一条直线，则122212ln a x x a x a x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩所以()2224ln 1a x x =--，令()2244ln g x x x x =-（0x >），则()()412ln g x x x '=-，所以()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，()max 2g x ge ==，由题意(]0,2e a ∈.题型三导数的基本运算【例3】求下列函数的导数．（1）ln(21)y x =+；（2）sin cos xy x=；（3）1()23()()y x x x =+++．【答案】（1）221y x '=+；（2）21cos y x'=；（3）231211y x x =++'【解析】（1）因为ln(21)y x =+，所以221y x '=+；（2）因为sin cos x y x =，所以()2222cos sin 1cos cos x x y x x +'==；（3）因为1()23()()y x x x =+++，326116x x x =+++，所以231211y x x =++'.【变式3-1】已知()tan f x x =，则=3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'（）A．43B．43-C．4D．4-【答案】C【解析】因为()tan f x x =，所以2222sin cos sin 1()(tan )()cos cos cos x x x f x x x x x+''===='，所以21(43cos 3f ππ'==．故选：C．【变式3-2】已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A．2021B．2021-C．2022D．2022-【答案】B【解析】因为()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x''=+-，所以()()202220222022220222022f f ''=+-，解得()20222021f '=-，故选：B【变式3-3】已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）A．(4)2f =B．()20g '=C．(1)(3)f f -=-D．(1)(3)4f f +=【答案】C【解析】对A：∵()g x 为偶函数，则()=()g x g x -，两边求导可得()()g x g x ''=--∴()g x '为奇函数，则()00g '=令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B：令=2x ，则可得()()(2)+2=2(2)2=2f g f g ''⎧⎪⎨-⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f xg x '+++=()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f xg x f x g x ''-+-=---=()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-∴()f x 以4为周期的周期函数根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立.题型四用导数求函数的单调性【例4】函数()e xf x x =的单调递增区间是（）A．(),1-∞-B．(),0∞-C．()0,∞+D．()1,-+∞【答案】D【解析】()()e e e 1x x xf x x x '+=+=，由()0f x '>，得1x >-，所以函数()f x 的单调递增区间是()1,-+∞．故选：D.【变式4-1】函数()2ln f x x x =的单调递增区间为（）A．(B．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C．)+∞D．⎛⎝⎭【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()212ln 2ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'=+⋅=+=+，令()0f x '>，得2ln 10x +>，解得x >故函数()2ln f x x x =的单调递增区间为e ⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭．故选：B．【变式4-2】下列函数中，既是奇函数，又在()0,+∞上是单调函数的是（）A．()sin x x x f -=B．()3exf x x =C．()2f x x=D．()cos f x x x=-【答案】A【解析】A：()sin()sin ()x x x f x x x f --=-+=--=-且定义域为R，为奇函数，又()1cos 0f x x '=-≥，故()f x 单调递增，满足要求；B：()33()e ()exx x x f x f x -=-≠--=-，不满足；C：()22())(f x x x f x ==-=-且定义域为R，为偶函数，不满足；D：()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=--≠-，不满足.故选：A【变式4-3】已知函数()()()2212ln R f x ax a x x a =+--∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 的切线方程；（2）讨论函数()y f x =的单调性.【答案】（1）22ey x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析【解析】（1）由0a =，则()22ln f x x x =-，()e 2e 2f =-，()22f x x '=-，()2e 2ef '=-，切线方程：()()22e 22e e y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，则22e y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由()()2212ln f x ax a x x =+--，求导得()()()()1222221x ax f x ax a xx-+'=+--=，①当0a =时，()22x f x x-'=，()0f x '<，解得()0,1x ∈，()0f x '>，解得()1,x ∈+∞，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；②当0a >时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-（舍去）当()0,1x ∈时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞；③当1a <-时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,1x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭；④当1a =-时，()()221x f x x--'=，则()f x ：单减区间：()0,∞+；⑤当10a -<<时，令()0f x '=，解得1x =或1x a=-，当()10,1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x ：单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上，当0a ≥时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+∞当1a <-时，单减区间：10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单增区间：1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当1a =-时，单减区间：()0,∞+当10a -<<时，单减区间：()0,1和1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单增区间：11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.题型五由函数的单调性求参数【例5】若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A．[)3,+∞B．(],3-∞C．23,e 1⎡⎤+⎣⎦D．(2,e 1⎤-∞+⎦【答案】B【解析】依题意()120f x x a x'=-+≥在区间()1,e 上恒成立，即12a x x≤+在区间()1,e 上恒成立.令()()121e g x x x x =+<<，则()22212120x g x x x -'=-=>，所以()g x 在()1,e 上单调递增，则()3g x >，所以3a ≤.故选:B.【变式5-1】设函数()23ln h x x x x =-+，若函数()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】3,22⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()()()211123x x h x x xx --'=+-=，()0x >，令()0h x '>，解得102x <<或1x >，令()0h x '<，解得112x <<.故()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上严格增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上严格减，在()1,+∞上严格增.又()h x 在区间1,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则只需1112m <-≤，解得(3,22m ⎤∈⎥⎦.故实数m 的取值范围为3,22⎛⎤⎥⎝⎦.【变式5-2】已知函数()3212132a g x x x x =-++．若()g x 在()2,1--内不单调，则实数a 的取值范围是______．【答案】(3,--【解析】由()3212132a g x x x x =-++，得()22g x x ax '=-+，当()g x 在()2,1--内为减函数时，则()220g x x ax '=-+≤在()2,1--内恒成立，所以2a x x≤+在()2,1--内恒成立，当()g x 在()2,1--内为增函数时，则()220g x x ax '=-+≥在()2,1--内恒成立，所以2a x x≥+在()2,1--内恒成立，令2y x x=+，因为2y x x=+在(2,-内单调递增，在()1-内单调递减，所以2y x x =+在()2,1--内的值域为(3,--，所以3a ≤-或a ≥-，所以函数()g x 在()2,1--内单调时，a 的取值范围是(]),3⎡-∞-⋃-+∞⎣，故()g x 在()2,1--上不单调时，实数a 的取值范围是(3,--．【变式5-3】已知函数()29ln 3f x x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1m m -+上不单调，则实数m 的取值范围是（）A．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．31,2⎛⎫⎪⎝⎭C．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由题意得29239(3)(23)()23,(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==>，令()0f x '=，解得32x =或3x =-（舍），当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 为减函数，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 为增函数，所以()f x 在32x =处取得极小值，所以3112m m -<<+，解得1522m <<，又()1,1m m -+为定义域的一个子区间，所以10m -≥，解得m 1≥，所以实数m 的取值范围是51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A题型六用导数求函数的极值【例6】函数2ln ()xf x x =的极大值为___________.【答案】12e【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()432ln 12ln x x x xf x x x -='-=，令()0f x '=解得x所以，()f x 在区间(()(),0,f x f x '>递增；在区间)()(),0,f x f x '+∞<递减；所以()f x 的极大值为12ef=.【变式6-1】已知函数2()(15)e x f x x =-（1）求()f x 在0x =处的切线的方程.（2）求()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）15150x y ++=；（2）增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，减区间()5,3-；（3）极大值为5(5)10e ,f --=极小值3(3)6e f =-.【解析】（1）因为2()(15)e x f x x =-，故可得()015f =-，()f x '()()()2e 215e 53x xx x x x =+-=+-，(0)f '15=-，故()f x 在0x =处的切线的方程为：1515y x +=-，即15150x y ++=.（2）因为()f x '()()e 53xx x =+-，令()f x '0>，解得()(),53,x ∈-∞-⋃+∞；令()f x '0<，解得()5,3x ∈-；则()f x 在(),5-∞-单调递增，在()5,3-单调递减，在()3,+∞单调递增，故()f x 的单调增区间为(,5),(3,)-∞-+∞，单调减区间()5,3-，且()f x 的极大值为5(5)10e ,f --=()f x 的极小值为3(3)6e f =-.【变式6-2】设函数()233f x x x =--（1）求曲线()y f x =在4x =处的切线方程；（2）设()()e xg x f x =，求函数()g x 的极值．【答案】（1）5190x y --=；（2）极大值为27e -；极小值为33e -．【解析】（1）∵()233f x x x =--，∴()23f x x '=-∴切线的斜率()42435f '=⨯-=又切点的坐标为()()4,4f ，即()4,1∴切线的方程()154y x -=-，即5190x y --=（2）∵()()()2e e33x xg x f x x x =⋅=--⋅∴()()()()2223e 33e 6ex x xg x x x x x x '=-⋅+--⋅=--⋅令()0g x '=，则260x x --=，解得2x =-或3x =列表：x(),2-∞-2-()2,3-3()3,+∞()g x '正0负0正()g x 单调递增27e -单调递减33e -单调递增∴当2x =-时，()g x 取得极大值为27e -；当3x =时，()g x 取得极小值为33e -．【变式6-3】已知函数()2ln f x x a x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=．（1）求a 、b 的值；（2）求()f x 的极值点，并计算两个极值之和．【答案】（1）2a =，=5b -（2）极大值点为112x =，极小值点为22x =，极大值与极小值的和为334-【解析】（1）因为()2ln f x x a x bx =++的定义域为()0,∞+，()2a f x x b x'=++，因为，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为30x y ++=，()114f b =+=-，可得=5b -，()121f a b '=++=-，可得2a =.（2）由()()22ln 50f x x x x x =+->，得()()()2212225225x x x x f x x x x x---+'=+-==，列表如下：x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值点为112x =，极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，极小值点为22x =，极小值为()22ln 26f =-，所以，函数()f x 的极大值和极小值为()133224f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.题型七由函数的极值求参数【例7】已知2x =是函数()323f x ax x a =-+的极小值点，则()f x 的极大值为（）A．3-B．0C．1D．2【答案】C【解析】因为()323f x ax x a =-+，则()236f x ax x '=-，由题意可得()212120f a '=-=，解得1a =，()3231f x x x ∴=-+，()()32f x x x '=-，列表如下：x (),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极大值为()01f =.故选：C.【变式7-1】函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值为10，那么a ，b 的值为（）A．4，11-B．3-，3C．4，11-或3-，3D．3，3【答案】A【解析】()232f x x ax b '=++，由题意可知()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，则232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，∴在1x =处不存在极值，不符合题意；②当411a b =⎧⎨=-⎩时，()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，符合题意．411a b =⎧∴⎨=-⎩，故选：A ．【变式7-2】已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B【变式7-3】已知()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A．()1,2-B．()3,6-C．()(),12,-∞-+∞D．()(),36,-∞-+∞U 【答案】D【解析】由()()3261f x x ax a x =++++可得()2326f x x ax a '=+++，因为()f x 有极大值和极小值，所以()23260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实数根，所以()()224360a a ∆=-⨯⨯+>，即23180a a -->，解得：3a <-或6a >，所以a 的取值范围为()(),36,-∞-+∞U ，故选：D.【变式7-4】已知函数()ln ex axf x x x =+-有唯一的极值点t ，则()f t 的取值范围是（）A．[)2,-+∞B．[)3,∞-+C．[)2,+∞D．[)3,+∞【答案】A【解析】求导有()()1e e x x xf x ax x -'=+⋅，因为函数()ln e x axf x x x =+-有唯一的极值点t ，所以，()()1e 0ex x xf x ax x -'=+=⋅有唯一正实数根，因为()10f '=，所以e 0x ax +=在()0,x ∈+∞上无解，所以，e xa x -=在()0,x ∈+∞上无解，记()e xg x x =，则有()()2e 1x x g x x -'=，所以，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在()0,1上递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增．此时1x =时，()e xg x x=有最小值()1e g =，所以，e a -≤，即e a -≥，所以()()112ea f t f ==-≥-，即()f t 的取值范围是[)2,-+∞，故选：A题型八用导数求函数的最值【例8】函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（）A．1πB．2πC．-1D．0【答案】C【解析】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 110f x x =+≥+'>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-.故选：C.【变式8-1】已知函数()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为122y x =+．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的最大值．【答案】（1）12a =，1b =；（2）2π+【解析】（1）因为()()cos ,R f x ax b x a b =++∈，所以()sin f x a x '=-，由题意得()()0cos 01210sin 02f b b f a a ⎧=+=+=⎪⎨=-='=⎪⎩，所以12a =，1b =；（2）由（1）得()11cos 2f x x x =++，()1sin 2f x x '=-，因为[]02πx ∈，，当π06x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，当π5π66x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当5π2π6x ≤≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，故当6x π=时，函数取得极大值π1πππ1cos 16266122f ⎛⎫=⨯++=++ ⎪⎝⎭，又()02f =，()12π2π1cos 2π1π12π2f =⨯++=++=+，因为π212π12<+<+故函数()f x 在[]02π，上的最大值为2π+．【变式8-2】已知函数()321313f x x x x =-+++．（1）求()f x 的单调区间及极值；（2）求()f x 在区间[]0,6上的最值．【答案】（1）单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞；极小值23-；极大值10（2）最大值为10；最小值为17-【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()22331f x x x x x '=-++=--+．令()0f x '=，得=1x -或3x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x(),1-∞-1-()1,3-3()3,+∞()f x '-+-()f x 单调递减23-单调递增10单调递减故()f x 的单调增区间为[]1,3-，单调减区间为(),1-∞-和()3,+∞．当=1x -时，()f x 有极小值()213f -=-；当3x =时，()f x 有极大值()310f =．（2）由（1）可知，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,6上单调递减，所以()f x 在[]0,6上的最大值为()310f =．又()01f =，()617f =-，()()60f f <，所以()f x 在区间[]0,6上的最小值为()617f =-．【变式8-3】已知函数31()312f x x ax a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭．（1）若函数f （x ）在x =－1处取得极值，求实数a 的值；（2）当[2,1]x ∈-时．求函数f （x ）的最大值．【答案】（1）a =1；（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知2()33f x x a '=-，所以(1)0f '-=，即3-3a =0解得a =1，经检验a =1，符合题意．所以a =1．（2）由（1）知2()33f x x a '=-，令()0f x '=，x =212<<即112a <<时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：由上可知，所以()f x 的最大值为21．当12≤<即14≤<a 时，f （x ）和()f x '随x 的变化情况如下表：(21f =+，由上可知，所以f （x ）的最大值为21．2≥即4a ≥时，2()330f x x a '=-≤恒成立，即f （x ）在［－2，1]上单调递减，所以f （x ）的最大值为f （－2）=－7+6a ，综上所述，当142a <<时，f （x ）的最大值为21；当4a ≥时，f （x ）的最大值为－7+6a ．题型九由函数的最值求参数【例9】若函数32()52f x x x x =+--在区间(,5)m m +内有最小值，则实数m 的取值范围是（）A．(4,1)-B．(4,0)-C．[3,1)-D．(3,1)-【答案】C【解析】由题得，2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+-.令()0f x '>，解得53x <-或1x >；令()0f x '<，解得531x <-<，所以()f x 在区间5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内单调递增，在区间5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以函数的极小值(1)5f ==-.若()f x 在区间(,5)m m +内有最小值，则极小值即最小值，所以15m m <<+，解得41m -<<，令()5f x =-，可得32530x x x +-+=，可得2(1)(3)0x x -+=，解得3x =-或1，由题得3m - ，综上31m -< .故选：C.【变式9-1】（多选）若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】ABC【解析】因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233f x x '=-，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC【变式9-2】已知函数()()()2e 21251x x x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，当(],x m ∈-∞时，()1,1e f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则实数m 的取值范围是__________．【答案】11,32e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】当1x ≤时，()()()1e 2xf x x =+-'，令()0f x '>，则ln21x <<或1x <-；()0f x '<，则1ln2x -<<，∴函数()f x 在()1,ln2-上单调递减，在()(),1,ln2,1-∞-单调递增，∴函数()f x 在=1x -处取得极大值为()111ef -=-，在ln2x =出的极小值为()()()2ln2ln21,e 3f f =-=-.当1x >时，令()1251e f x x =-≤-，解得1132ex <≤-综上所述，m 的取值范围为11,32e ⎡⎤--⎢⎣⎦【变式9-3】已知函数()ln a f x x x=-（1）若a ∈R ，求()f x 在定义域内的极值；（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析；（2）a e 【解析】（1）由题意得()f x 的定义域是()0+∞，，且()2x af x x +'=，因为0a ≥，所以()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，无极值；当a<0，x a >-时()0f x '>，()f x 单调递增，0x a <<-时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x a =-有极小值()ln 1a -+，无极大值；（2）由（1）可得()2x af x x +'=，因为[]1,e x ∈，①若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()()min 312f x f a ==-=，所以32a =-（舍去）；②若e a -≤，则0x a +≤，即()0f x '≤在[]1,e 上恒成立，此时()f x 在[]1,e 上单调递减，所以()()min 3e 1e 2a f x f ==-=，所以e2a =-（舍去）．③若e<1a -<-，令()0f x '=，得x a =-，当1x a <<-时，()0f x '<，所以()f x 在()1,a -上单调递减；当e a x -<<时，()0f x '>，所以()f x 在(),e a -上单调递增，所以()()()min 3ln 12f x f a a =-=-+=，所以a =a =题型十造法解函数不等式【例10】设()f x '是函数()f x 的导函数，且()()()()R 1e f x f x x f <∈'=，，则不等式(ln )f x x >的解集为__________．【答案】(0,e)【解析】令()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x '-=''-=，()()f x f x '<，()0g x '∴<，()()e xf xg x ∴=在R 上单调递减，由(ln )f x x >可得ln (ln )(ln )(1)1e ex f x f x f x =>=，即(ln )(1)g x g >，ln 1x ∴<，解得0e x <<.故不等式的解集为(0,e).【变式10-1】已知定义在R 上的连续偶函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x >时，()()0f x f x x'+<，且(2)3f =-，则不等式6(21)21f x x --<-的解集为（）A．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．13,22⎛⎫⎪⎝⎭C．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D．1113,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】当0x >时，()()()()()()0xf x f x xf x f x f x xxx''+'+==<，∴()()0xf x '<，令()()g x xf x =，∴()g x 在()0,∞+上单调递减，又()y f x =是定义在R 上的连续偶函数，∴()g x 是R 上的奇函数，即()g x 在R 上单调递减，∵(2)3f =-，∴()26g =-，当210x ->，即12x >时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒--<-⇒-<--，∴22123x x ⇒>->；当210x -<，即12x <时，()6(21)21(21)(21)2616f x x f x g x x --<⇒-->-⇒->--，∴22123x x ⇒<-<，则12x <.故不等式6(21)21f x x --<-的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【变式10-2】已知函数()f x 是定义在()()-00+∞∞，，的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A．()()33-∞-⋃+∞，，B．()()3003-⋃，，C．()()3007-⋃，，D．()()327-∞-⋃，，【答案】D 【解析】令()()=f xg x x，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，∴当()0x ∈+∞，时，()()()2=<0xf x f x g x x -''，()g x ∴在()0+∞，上单调递减；又()f x 为()()-00+∞∞，，的奇函数，()()()()()====f x f x f x g x g x x x x--∴---，即()g x 为偶函数，()g x ∴在()0-∞，上单调递增；又由不等式()()()52+25<0f x x f --得()()()52<25f x x f --，当20x ->，即2x <时，不等式可化为()()25<25f x f x --，即()()2<5g x g -，由()g x 在()0+∞，上单调递减得2>5x -，解得3x <-，故3x <-；当20x -<，即2x >时，不等式可化为()()25>25f x f x --，即()()()2>5=5g x g g --，由()g x 在()0-∞，上单调递增得2>5x --，解得7x <，故27x <<；综上所述，不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为：()()327-∞-⋃，，．故选：D．【变式10-3】定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，且()()1010ln 10ef =，则不等式()e e x xf x >+的解集为（）A．()10,+∞B．()ln10,+∞C．()ln 5,+∞D．(),5-∞【答案】B【解析】令()()ln g x f x x x =--，因为定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()10xf x x '-->，所以()()()1110xf x x g x f x xx'--''=--=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()()1010ln 10e10ln10f ==+，所以(10)0g =，所以不等式()e e xxf x >+可转化为()()0e e exxxg f x =-->，即())e (10xg g >，所以e x ＞10，所以x ＞ln10，所以不等式()e e x xf x >+的解集为()ln10,+∞.故选：B.题型十一导数与函数零点的综合问题【例11】已知函数()e 2axf x x =-()a ∈R ，()cosg x x =.（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，判断函数()()()F x f x g x =-在3π,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上零点个数.【答案】（1）答案见解析；（2）两个【解析】（1）由()e 2ax f x x =-知定义域为R ，()e 2axf x a '=-①当0a ≤时，在R 上()0f x '<，故()f x 单调递减，所以无极值.②当0a >时，由e 20ax a -=得:12ln x a a=，当12,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<当12ln ,x a a∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 有极小值为2ln 121222ln 2ln 1ln a f e a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）当1a =时，()e 2cos x F x x x =--，()e 2sin xF x x =-+'，当3π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()F x '单调递增，且()01210F =-=-<'，π2πe 2102F ⎛⎫='-+> ⎪⎝⎭，故在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在0x 使得0()0F x '=，而当π,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0F x '>.所以()F x 在03π,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，且3π23πe 3π>02F -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()00F =，所以()00F x <，又()ππe 2π+1>0F =-，故由零点的存在性定理()F x 在03,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在一个零点，在0(,)x +∞上也存在一个零点.所以()F x 在3,2π∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有两个零点.【变式11-1】若函数()36f x x x m =-+恰有2个不同的零点，则实数m 的值是_________.【答案】-【解析】因为()36f x x x m =-+恰有2个不同零点，故函数()316f x x x =-与()2f x m =-，恰有2个交点，对于()316f x x x =-，()2136f x x '=-，由()10f x '>，得2x 或2x <-，由()10f x '<，得22x -<所以当x 变化时()1f x '，()1f x 变化如下：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()1f x '+0-+()1f x 极大值极小值因为1f x 与()2f x 恰有两个交点，又()122222f =-，(22f -=故12m f -=，或(12m f -=-，所以2m =42m =-【变式11-2】已知函数()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩，若函数()y f x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.【答案】3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】当0x ≤时，()3233f x x x x =++，()()22363310f x x x x '=++=+≥，在0x ≤上恒成立，且在=1x -时，等号成立，所以()3233f x x x x =++在0x ≤上单调递增，且()00f =，当0x >时，()()ln 1f x x =-+单调递减，且()ln 010-+=，函数()y f x ax =-恰有三个零点，可转化为函数()y f x =与y ax =有三个交点，画出()()32ln 1,033,0x x f x x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩的图象，所图所示：设直线y ax =与()3233f x x x x =++，0x ≤相切时切点为()32,33A m m m m ++，则()()231f m m a '=+=，又根据斜率公式可得：3223333m m ma m m m++==++，所以()223133m m m +=++，解得：0m =或32-，当0m =时，3a =，当32m =-时，2333124a ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，所以要想函数()y f x =与y ax =有三个交点，直线斜率要介于两切线斜率之间，故3,34a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【变式11-3】已知函数2()ln (1)f x x a x x a =-+++．（1）若0a =，求()f x 的极大值；（2）若()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0；（2）(1,0)-．【解析】（1）当0a =时，2()ln f x x x x =-+，且0x >则1(21)(1)()21x x f x x xx'+-=-+=-．当(0,1)x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 的极大值为2(1)ln1110f =-+=．（2）由题意得212(1)1()2(1)1a x x f x a x x x-+++=++='-当1a ≤-时，()0f x '>对1x ≥恒成立，所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．当1a >-时，令22(1)10a x x -+++=，得12110,04(1)4(1)x a x a =<=>++，若21x ≤，即0a ≥时，()0f x '≤对1x ≥恒成立，()f x 在区间[1,)+∞上单调递减，又(1)0f =，所以()f x 在区间[1,)+∞上仅有一个零点，不符合题意．若21x >，即10a -<<时，()f x 在区间[)21,x 上单调递增，在区间[)2,x +∞上单调递减．令()ln 1,1g x x x x =-->，则1()0xg x x-'=<，所以()g x 在区间[1,)+∞上单调递减，所以()(1)20g x g ≤=-<，即ln 1x x <+，所以2()(1)21f x a x x a <-++++，其中1(1)0a -<-+<，因为函数2(1)21y a x x a =-++++的图像开口向下，所以01x ∃>，使()00f x <，即()f x 在区间[1,)+∞上有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(1,0)-．题型十二导数与不等式综合问题【例12】已知函数1()e (1)x f x x -=-+．（1）求()f x 的极值；（2）设()()11f x g x x =++，求证：当1x ≥时，1()4x g x +≥．【答案】（1）极小值1-，无极大值；（2）证明见解析【解析】（1）1()e 1x f x -'=-，由()0f x '=得1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所示：x(,1)-∞1(1,)+∞()f x '-0+()f x ↙极小值↗由上表可知()f x 在1x =处取得极小值(1)1f =-，无极大值．（2）1e ()1x g x x -=+，令21(1)()(1)4ex x h x x -+=≥，22112(1)(1)1()04e 4ex x x x x h x --+-+-'==≤，所以()h x 在[1,)+∞单调递减，所以当1x ≥时，()(1)1h x h ≤=．所以当1x ≥时，21(1)14e x x -+≤，即1e 114x x x -+≥+，故当1x ≥时，1()4x g x +≥．【变式12-1】已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-（1）求()f x 在()()e,e f 处的切线方程（2）若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2e y x =-；（2）32e ea £++【解析】（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令()()()20l 223n h x x f x g x x ax x =+-=-+³，则max32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令()32ln x x x xj =++，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，()()()2130x x x x -+¢j =，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，()()max 3e 2e +ex \j =j =+，32e ea \£++．【变式12-2】已知函数()ln 1(R)f x a x x a =-+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减；（2）[3,)-+∞【解析】（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x xx'-=-=．当0a >时，由()0f x '<，解得：x a >，由()0f x '>，解得：0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．（2）121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x ''=+=-+≥在(0,1]上恒成立．即4a x x ≥-在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x ≥-，设4y x x=-，2410y x '=+>，∴4y x x=-在(0,1]单调递增．所以max 4(143a x x≥-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞．【变式12-3】已知函数()()21ln 12f x x ax a x =+++，a ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0,x ∀∈+∞，不等式()21e 12x f x x ax ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],0-∞【解析】（1）函数()()21ln 12f x x ax a x =+++的定义域为()0,∞+，所以()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x++++'+=+++==.当0a ≥时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；。

一元函数的导数及其应用（单元重点综合测试）
A．在0到0t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在0到0t范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在0t到1t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在0t到1t范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度【答案】BC
【详解】在0到t范围内，甲、乙的平均速度都为
x
故选：ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题
13．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知函数x y--=，则a b-=
740
16．
（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法方程()0f x =的根就是函数()f x 在1x x =处的切线与x 轴的交点横坐标为接近r .若()32
33f x x x x =-+【答案】
526227/2【详解】因为()323f x x x =-且()(23633f x x x x '=-+=-所以，曲线()y f x =在0x x =
业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨。

一元函数的导数及其应用反思总结：切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“在型”表示已知点就是切点；反思总结:切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“过型”已知点一般当做非切点处理；巩固训练1．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）过点为．【详解】()e 1xx x =+，求导可得：()f x '=处的切线方程为()110y x -=⨯-，整理可得：()ln xx x=，求导可得：()1g x x -'=处的切线方程为()011y x -=⨯-，整理可得AB 的斜率10101AB k -==--，易知：直线故答案为：2.函数与导函数图象间的关系A ．．．．【答案】A【详解】()2f x x =-+02x≤，轴下方的图象为函数0时，函数()g x ，故排除CD ；A ．．．．【答案】BA．．．．【答案】C【详解】由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数性从左至右依次为减、增、减，排除选项；()()''上单调递增；A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值【答案】C【详解】解：()()g x x f x '=⋅，并结合其图象，可得到如下情况，像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()()21f f ->-B ．1x =是()f x 的极小值点C ．函数()f x 在()1,1-上有极大值D ．3x =-是()f x 的极大值点【答案】AD【详解】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A 、D 正确；当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B 、C 不正确，故选：AD2．（多选）（2022下·福建漳州·高二校考阶段练习）设函数()y f x =在R 上可导，其导函数为()y f x '=，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()y f x =在(),2-∞-上递减，在()2,+∞上递减B ．函数()y f x =在(),2-∞-上递增，在()2,+∞上递增C ．函数()y f x =有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()y f x =有极大值()2f -和极小值()2f 【答案】BD-∞上单调递减，反思总结：函数在闭区间上一定有最值，在极值点或端点处取得，解题时比较极值和端点值的大小即可；，而()1e eg =，所以10ln ea <<令()ln ln xh x a x=-，因为()1ln 0h a =-<，()e h为自然对数的底数结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<.2．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）（由()()50g x x f x =>，得⎧⎨⎩数形结合可知不等式()g x >综上，不等式()0g x >的解集为故选：A ．。

一元函数的导数及其应用【学习目标】1. 掌握导数的概念和导数的基本运算。

2. 体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想。

【基础知识】一、导数的概念及运算 1．导数的概念一般地，函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f′(x 0)或y′0|x x =即f′(x 0)＝0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆. 称函数f′(x)＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆为f(x)的导函数．2．导数的几何意义函数f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f(x)上点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)2()'()()()'()'()[()]f x f x g x g x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(g(x)≠0)．5.常用结论1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.2.1()f x⎡⎤⎢⎥⎣⎦′＝－2'()[()]f xf x.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、利用导数研究函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．三、利用导数解决函数的极值最值1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点. 2．函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3常用结论1.对于可导函数f(x)，“f′(x 0)＝0”是“函数f(x)在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.四、利用导数研究生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是什么？ 答案上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值最值问题.【考点剖析】 考点一：导数的概念及其意义例1．曲线x y e =上的点到直线10x y --=的距离的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【详解】解：x y e =，所以e x y '=，设曲线在()00,xP x e 处的切线与直线10x y --=平行，则01x e =，所以00x =，切点(0,1)P ，曲线x y e =上的点到直线10x y --=的最短距离，即为切点P 到直线10x y --=的距离|011|22d --==， 故选：C ．考点二：导数的运算例2．求下列函数的导数： （1）41y x =（2）34y x （3）3x y = （4）1()2xy =（5）4log y x = （6）12log y x =【答案】 （1） 解：因为441y x x-==，所以()454y x x --''==-； （2）解：因为4343y x x ==，所以413343y x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭；（3）解：因为3x y =，所以3ln 3x y '=； （4）解：因为1()2x y =，所以21()12ln x y '=；（5）解：因为4log y x =，所以1ln 4y x '=； （6） 解：因为12log y x=，所以111ln 2ln2y x x '==-；考点三：导数在研究函数中的应用例3．若函数()3231f x x x mx =+-+在[]2,2-上为单调增函数，则m 的取值范围（ ）A ．[)24,∞-+B ．[)1,∞-+C ．(],3∞--D ．(],0∞-【答案】C 【详解】由函数()3231f x x x mx =+-+在[]22-,上为单调增函数，可得()2360f x x x m '=+-≥在[]22-,上恒成立，即236m x x ≤+在[]22-,上恒成立，即()2min 36m x x ≤+，令22363(1)3t x x x =+=+-，[]2,2x ∈-．所以当1x =-时，min 3t =-，所以3m ≤-． 故选：C ．【真题演练】1. 已知函数()f x 在0x x =处可导，若000()()lim12x f x x f x x→+∆-=∆，则0()f x '=____________．【答案】2 【详解】 000000()()()()1limlim 122x x f x x f x f x x f x x x →→+∆-+∆-==∆∆，所以000()()lim 2x f x x f x x→+∆-=∆0000()()()lim2x f x x f x f x x→+∆-'==∆．故答案为：2．2. 已知函数3C :()ln f x x x =+，则曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为___________． 【答案】430x y --= 【详解】解：因为21()3f x x x'=+， 所以(1)4k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为14(1)y x -=-， 整理为430x y --=，故答案为：430x y --=3. 若函数()f x 的导函数为偶函数，则函数()f x 的解析式可能是（ ） A ．()1cos f x x =+ B ．()2f x x x =+C ．()sin 2f x x =D ．()xf x e x =-【答案】C 【详解】()1cos f x x =+，则()sin f x x '=-，为奇函数，A 排除； ()2f x x x =+，则()21f x x =+，为非奇非偶函数，B 排除；()sin 2f x x =，则()2cos2f x x '=，为偶函数，C 满足；()e x f x x =-，则()e 1x f x '=-，为非奇非偶函数，D 排除.故选：C. 4. 已知4ln 4a a -=，3ln 3-=bb ，22ln -=c c ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】C 【详解】 由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-， 令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1>>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C5. 下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．()e e x x --'=- C ．()555log xx x '=D ．()2cos sin cos cos x x x xx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【答案】B 【详解】对于A ，2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，A 错； 对于B ，()e e x x --'=-，B 对； 对于C ，()'55ln 5x x =，C 错；对于D ，()2cos sin cos cos x x x xx x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 错. 故选：B.6. 设()()sin cos xf x e x x =-，其中 02019x π≤≤，则 ()f x 的极大值点个数是（ ）A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020【答案】A 【详解】由题意，函数()()sin cos xf x e x x =-，可得()()()'sin cos cos sin 2sin x x xf x e x x e x x e x =-++=，令()0f x '>，即sin 0x >，解得22,k x k k Z πππ<<+∈， 令()0f x '<，即sin 0x <，解得222,k x k k Z ππππ+<<+∈，所以函数()f x 在(2,2)k k πππ+递增，在(2,22),k k k Z ππππ++∈递减， 故函数()f x 的极大值点为2,x k k Z ππ=+∈， 因为02019x π≤≤，即,3,5,7,2017x πππππ=，共1009个.故选：A.7. （多选）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,+∞【答案】AB 【详解】解：设()()f xg x x=， 则()()()2''xf x f x g x x -=，当0x >时总有()()'xf x f x <成立， 即当0x >时， ()'g x <0恒成立，∴当0x >时，函数()()f xg x x=为减函数， 又()()()()f x f x g x g x x x---===--，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，又()()1101f g --==-，所以不等式()0f x >等价于()·0x g x >， 即()00x g x >⎧⎨>⎩或()00x g x <⎧⎨<⎩，即01x <<或1x <-，所以()0f x > 成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃． 故选：AB ．8. 已知函数()ln af x x x=+，()sin x g x e x =+，其中a ∈R . （1）试讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，证明：()()g x f x x<. 【答案】 （1）()ln af x x x =+的定义域为(0,)+∞221()a x a f x x x x-'=-=当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得x a >；令()0f x '<，解得0x a <<； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无减区间； 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增； （2）1a =，1()ln f x x x ∴=+，即证：1sin ln x e xx x x ++<0x，即证：sin ln 10x e x x x +-->当(0,1)x ∈时，e 1x >，sin 0x >，ln 0x x <sin ln 1110x e x x x ∴+-->-=当[1,)x ∈+∞时，令()sin ln 1x g x e x x x =+--，则()e cos ln 1x g x x x '=+--1()sin 110x g x e x e x''=--≥--> ()cos ln 1x g x e x x '∴=+--在[1,)+∞上单调递增()(1)cos1010g x g e ''∴≥=+-->()sin ln 1x g x e x x x ∴=+--在[1,)+∞上单调递增()(1)sin1010g x g e ∴≥=+-->综上所述：sin ()x e xf x x+<，即()()g x f x x <【过关检测】1. 若曲线3ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线斜率为2，则=a ___________. 【答案】1 【详解】213y ax x'=-，132|1x y a ==-∴='，解得1a =. 故答案为：12. 已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）解：当0a =时， ()2x f x e x =--，则()21xf x e '=--.所以()00213f e '=--=-，而(0)2f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3++20x y =. （2）解：因为()f x 有两个零点，所以方程()0f x =有两个不同的根， 即关于x 的方程()22x x xa e +x e e +=，即22x x x +x e a e +e=有两个不同的解， 令()2+2+x x x e x g x e e =，则y a =与()2+2+xx x e xg x e e=的图象有两个交点，且()()()()22++1+21x x x x x e e e g x e e x -'=-.令()+1x x h x e --=，则()'10x h x e --<=，且()0+010h e x --==，所以当()0x ∈-∞，时，()>0h x ，即()>0g x '，()g x 单调递增， 当()0+x ∈∞，时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减， 所以()()000+2001+e g x g e e ≤==，且()()12112110+e g e e---⨯--=<，当+x →∞时，()0g x →，所以要使y a =与()2+2+xx x e xg x e e=的图象有两个交点，则a 的取值范围是()0,1.3. 已知()21πsin 42f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】∵()221π1sin cos 424f x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ∴()1sin 2f x x x '=- 易知()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 和D ， 由ππ106122f ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ，所以A 正确. 故选：A.4. 已知()f x '是函数()f x 的导数，且对任意的实数x 都有()()()e 22x f x x f x -'=--，()08f =则不等式()0f x <的解集是（ ）A ．()2,4-B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),42,-∞-+∞ D ．()(),24,-∞-+∞【答案】D【详解】设()()x g x e f x =，000)e )8((f g ==，因为()()()e 22x f x x f x -'=--，所以()()e (22)x f x f x x -'+=-， 所以()e ()e ()e (()())22x x x g x f x f x f x f x x '''=+=+=-．因此2()2g x x x c =-+，(0)8g c ==，所以2()28g x x x =-++，228()e xx x f x -++=， 不等式()0f x <即为2280ex x x -++< ，2280x x -->，解得2x <-或4x >． 故选：D ． 5. （多选）已知函数()2ln 2x ax f x x +=+.，若()f x 的图象存在两条相互垂直的切线.则a 的值可以是（ ）A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-【答案】AB【详解】∵函数()2ln 2x ax f x x +=+，定义域为()0,∞+，∴()12a f x x x '=++， ∴()1222a a f x x x '=++≥+，当且仅当1x x =时，取等号， 要使()f x 的图象存在两条相互垂直的切线，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，所以()12a f x x x'=++的值必有一正一负， 当3a =-时，()1122a f x x x '=++≥，不合题意， 当4a =-时，()102a f x x x '=++≥，不合题意， 当5a =-时，()152f x x x =+-'，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，例如()12,0,x x ∃∈+∞，()()11221215115,4242f x x f x x x x ''=+-=-=+-=，故a 的值可以是5-， 当6a =-时，()13f x x x'=+-，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，例如()12,0,x x ∃∈+∞，()()1122121113,344f x x f x x x x ''=+-=-=+-=，故a 的值可以是6-. 所以a 的值可以是5-或6-.故选：AB.6. 已知函数()f x 的解析式唯一，且满足()()()e ,12e x xf x f x f +=='.则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为___________.【详解】由()()()'[]xf x f x xf x +='，可得()'[]e x xf x =，设()e x xf x m =+，又由()12e f =，有()1e 2e f m =+=，得e m =，可得()()()()()'22e e e 1e e e e ,,1e x x x x x x f x f x f x x x -+--+='===-， 故所求切线方程为()2e e 1y x -=--，整理为e 3e y x =-+.故答案为：3y ex e =-+7. 已知函数()()2ln 1f x x ax x =-+-+.（1）函数()f x 在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数，求实数a 的取值范围： （2）已知函数()f x 既存在极大值点又存在极小值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()f x 定义域为()1,-+∞，()121f x x a x '=-+-+， 由题意1201x a x -+-≤+在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，即()12121x a x ++≥++在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上恒成立，令110,2t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，由对勾函数知：()12g t t t =+在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，()132g t g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以23a +≤，得1a ≤，所以实数a 的取值范围为(],1-∞.（2）()()22211211x a x a f x x a x x -+-+-'=-+-=++， ()f x 既存在极大值又存在极小值等价于方程()22210x a x a -+-+-=在区间()1,-+∞上有两个不相等的实数根， 需满足()()222102142810a a a a a ⎧-+-+-<⎪-⎪>-⎨-⎪⎪-+->⎩解得:2a >-+所求实数a的取值范围为()2-++∞8. 若函数()3231f x x x mx =+-+在[]2,2-上为单调增函数，则m 的取值范围（ ） A ．[)24,∞-+B ．[)1,∞-+C ．(],3∞--D ．(],0∞-【答案】C【详解】 由函数()3231f x x x mx =+-+在[]22-,上为单调增函数，可得()2360f x x x m '=+-≥在[]22-,上恒成立，即236m x x ≤+在[]22-,上恒成立，即()2min 36m x x ≤+，令22363(1)3t x x x =+=+-，[]2,2x ∈-．所以当1x =-时，min 3t =-，所以3m ≤-．故选：C ．9. 已知函数()()ln 1f x a x x a R =+-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()e 1x y f ax =-+与()e ln a y x a =+的图像有两个不同的公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()()ln 1f x a x x a R =+-∈，()1a x a f x x x+'∴=+=，()0x >. ①、当0a ≥，()0f x '>，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；②、当0a <，令()0f x '=，得x a =-，∴()0,x a ∈-时，()0f x '<；(),x a ∈-+∞时，()0f x '>，∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增.综上所述：当0a ≥，()f x 的单调递增为()0,+∞，无单调递减区间；当0a <，()f x 的单调递增为(),a -+∞，()f x 的单调递减为()0,a -.（2）根据题意可知：方程()()e 1e ln x a f ax x a -+=+，即()e e ln x a x a =+有两个不同的实根.由()e e ln x a x a =+可得：()ln e eln x a x x x a +=+. 令()e x g x x =，0x 时，()()1e 0x g x x '=+>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，要使()()ln g x g x a =+有两个不同的实根，则需ln x x a =+有两个不同的实根.令()ln h x x x a =--，则()111x h x x x-'=-=， 当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()()min 11h x h a ∴==-.①、若1a <，则()0h x >，()h x 没有零点；②、若1a =，则()0h x ≥，当且仅当1x =时取等号，()h x 只有一个零点；③、若1a >，则()110h a =-<，()e e 0a a h --=>，()e e 2a a h a =-.令()e 2a a a ϕ=-，则当1a >时，()e 2e 20a a ϕ'=->->，即()a ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 20a ϕϕ>=->，即()e 0a h >.故此时()h x 在()0,1上有一个零点，在()1,+∞上有一个零点，符合条件. 综上可知，实数a 的取值范围是()1,+∞.10. 已知()2123ln 2f x x x x =--，()321ln 6g x x x a x =+-． （1）求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）已知()31()6F x g x x =-的两个零点为1212,()x x x x <，且0x 为()F x 的唯一极值点． ①求实数a 的取值范围；②求证：12034x x x +>．【答案】（1） 解：因为21()23ln 2f x x x x =--， 所以定义域为(0,)+∞ 所以33()2,(1)4,(1)2=--=-=-''f x x f f x ， 所以切线方程为8250x y +-=；（2）①证明：2()ln F x x a x =-，若0a ≤，则函数2()ln F x x a x =-在其定义域内为单调函数，不可能有两个零点， 所以0a >,由()20a F x x x '=-==，得0x =当x ⎛∈ ⎝，()0F x '<；x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0F x '>；所以()F x 在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 因为当x 趋近+∞时，()F x 趋近+∞；当x 趋近0时，()F x 趋近+∞， 要使()F x 有两个零点，只要满足()00F x <，即202e =-<⇒>F a a ；②因为120x x <<>21(1)x t t x =>，由()()12F x F x =， 所以221122ln ln -=-x a x x a x ，即2221111ln ln x a x t x a tx -=-， 因此212ln 1a t x t =-，而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>即证221(31)8t x a +>，即证22ln (31)81a t t a t +>-， 由0,1a t >>，只需证22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88p t t t t =+-+，则1()(186)ln 76p t t t t t'=+-++， 令1()(186)ln 76n t t t t t=+-++，则261()18ln 110(1)t n t t t t -'=++>>， 故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=，故()p t 在(1,)+∞上递增，()(1)0p t p >=，所以12034x x x +>。

第五章一元函数的导数及其应用一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()sin cos f x x x =+，()π,2πx ∈．若()00f x '=，，则0x =（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．5π4A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+=【答案】C 【详解】sin e x y x =+的导数为cos x y x e '=+，在点(0,1)处的切线斜率为0cos 0e 2k =+=，即有在点(0,1)处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：C 3．已知函数2()ln 2a f x xb x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是210x y --=，则ab 等于（）A ．2B ．1C ．0D ．﹣24．已知()a f x x x =-，()0,x ∈+∞，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有12210x x -<，则实数a 的取值范围是（）.A ．12,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,e -∞D ．13e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【详解】设()()2e x g x xf x a x ==-，()e 2xg x a x '=-，对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，恒有()()12210f x f x x x -<，即()()12g x g x <，()g x 在()0,∞+上单调递增，故()e 20xg x a x '=-≥恒成立，即2e x x a ≥，设()2e x x F x =，()22e xxF x -'=，当()0,1x ∈时，()0F x '>，函数单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0F x '≤，函数单调递减；故()()max 21e F x F ==，即2ea ≥.故选：B5．已知sin1sin11e e a =+，tan 2tan 21ee b =+，cos3cos31ee c =+，则（）A ．b a c>>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【答案】B 【详解】令()e e x xf x -=+，其定义域为R ，且()()f x f x -=，故为偶函数；又()f x 'e e x x -=-，sin112分别满足112212（）A ．3e B ．4e C ．5e D ．6e7．已知f x '（）是函数f x （）的导数，202e '+>=（）（），（），f x f x f 则不等式ln f x x<（）的解集是（）A ．∞（2，+）B ．2e +∞（，）C ．20e （，）D ．2（0，）8．定义在0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的函数(),()f x f x '是()f x 的导函数，且()tan ()f x x f x '<-⋅成立，2,,3436a f b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线C ．()f x 有一个零点D ．过点()1,0与曲线()y f x =相切的直线有且只有1条的极值点分别为1212，则下列选项正确的是（）A ．0a >B ．()()122f x f x +=C ．若()20f x <，则1a >D ．过()0,2仅能做曲线()=y f x 的一条切线对选项A ．()0f x ≤恒成立B ．()f x 是()0,+∞上的减函数C ．()f x 在12e x -=得到极大值12eD ．()f x 在区间⎫⎪⎭内只有一个零点，则关于x 的不等式()0f x <的解集可能为（）A ．()(),10,1-∞-B ．()(),e 0,e --∞C ．()(),40,4--∞ D ．()(),3e 0,3e --∞ 【答案】BC 【详解】因为当0x >时，()()ln 1<+1e 4xx f x x --'<，且()0=0f ，而可以令1ln 2y x x x =-，则1ln 1y x '=-，可以令2e 4x y x x =-，则()2+1e 4x y x -'=，所以()()ln 2e 40x x x x f x x x x --<<>，因为1ln 1y x '=-，所以令1ln 10y x '=->，则e x >，令1ln 10y x '=-<，则e x <，所以1ln 2y x x x =-在(0,e)上递减，在(e,)+∞上递增，且当2e x =时，10y =，所以当)2e ,+x ⎡∈∞⎣时，()ln 20f x x x x ->≥，因为2e 4x y x x =-()0x >，()2+1e 4x y x -'=，故令()+14()e x m x x -=，则()e (2)x m x x '=+，又因为0x >，所以()e (2)0x m x x '=+>，故()m x 在(0,)+∞上递增，设0()0m x =，所以2e 4x y x x =-在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，且当20y =时，=0x （舍）或ln 4x =，所以当(]0,ln4x ∈时，()e 40xf x x x -<≤，所以当0x >时，()0f x <的解集可能为()0,t ，其中()2ln4,e t ∈，又因为()f x 是奇函数，所以()0f x ＜的解集可能为()(),0,t t --∞ .而()2ln4,e t ∈，所以()21ln4,e ∉，故A 错误；()2e ln4,e ∈，故B 正确；()24ln4,e ∈，故C正确；()2ln 3e 4,e ∉，故D 错误.故选：BC第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，直线l 是曲线()y f x =在点(4,(4))f 处的切线，则(4)(4)f f '+的值等于______．'是函数的导函数，且R 1e f x f x x f <∈=，，则不等式的解集为________．的最小距离为___________.【解析】由已知，设点00(,)Q x y 曲线2ln 1y x x =--上一点，则有0002ln 1y x x =--，因为2ln 1y x x =--，所以12y x x'=-00012|x x y x x ='-=，所以曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q x y 处的切线斜率为0012k x x =-，则曲线2ln 1y x x =--在00(,)Q xy 处的切线方程为020000(ln 1)()12y x x x x x x ---=--，即20000()12ln y x x x x x =---．要求得曲线2ln 1y x x =--上任意一点，到直线3y x =-的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即00121k x x =-=，解得0=1x 或012x =-（舍去），此时，以点(1,0)Q 为切点，曲线的切线方程为：1y x =-，此时，切点(1,0)Q 为曲线上距离直线3y x =-最近的点，即点P 与点Q 重合，最小距离为直线3y x =-与直线1y x =-之间的距离，设最小距离为d ，所以d ==.16．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1 x ，2x ，则实数a 的取值范围是______；若不等式()()1212+>++f x f x x x t 有解，则实数t 的取值范围是______．17．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径．已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm ．(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．189.已知函数()()1e xx f x a x =++．(1)若()f x 单调递增，求a 的取值范围；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，其中12x x <，求证：21e e x x a ->-【详解】（1）由()()21e xx f x a x +=++得()1e x x f x a +'=-+，由()f x 单调递增，则()0f x '≥，得1e x a x +≥，设()1ex x g x +=，则()e x xg x '=-，可知0x <时，()0g x '>，()g x 单调递增；0x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x =时，()g x 取得极大值()01g =，也为最大值，则1a ≥,所以，a 的取值范围是[)1,+∞（2）由题，函数()f x 有两个极值点，则()0f x '=即1e xx a +=有两个不相等实数根，由（1）可知0x =时，()g x 取得极大值()01g =，(1)0g -=，x 趋向+∞时()g x 趋向于0.故()g x a =有两个不相等实根时，01a <<，且1210x x -<<<，过点()0,1与(),0c 的直线方程为11e y x =-+，构造函数()()11111,(0)e ee x x h x g x x x x +⎛⎫=--+=+-> ⎪⎝⎭，()1e e x x h x '=-+，令()()x1,(0)e ex u x h x x '==-+>，则()()1,0e x x u x x -'=>，则01x <<时，()0u x '<，()u x 即()h x '单调递减；1x >时，()0u x '>，()u x 即()h x '单调递增，所以0x >时，()u x 极小值为()()110u h '==所以0x >时，()()0u x h x '=≥，则()()00h x h >=，即()()110e h x g x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，故当0x >时，()11e g x x >-+，设方程11e x a -+=的根为4x ，则4e e x a =-，构造函数()21,10y x x =--<<，令()()()21,t x g x x =--则()()21111e e e xx x x x t x x x ++⎡⎤=+-=+-⎣⎦，令()()()11e ,10x v x x x =+--<<，则()e 0x v x x '=<，故10x -<<时，()v x 单调递减，则()()00v x v >=，又10x +>，所以，当10x -<<时，()0t x >，故有()21g x x >-，令方程()21,10x a x -=-<<的根为3x ，则3x =，于是有134210x x x x -<<<<<，如图，所以2143e e x x x x a ->-=-+，证毕19．已知函数sin ()e (1)a x f x x =-+，()sin ln(1)g x a x x =-+(1)1a =时，求函数()y g x =在(1,0]-上的单调区间；(2)1a >时，试讨论()y f x =在区间[π,π]-上的零点个数.【详解】（1）1a =时，()sin ln(1)g x x x =-+，∴1()cos 1g x x x '=-+，而()g x '在(1,0]-上单调递增，而(0)0g '=，∴(1,0]x ∈-，()(0)0g x g ''=.∴()g x 在(1,0]-上单调递减，（2）当1a >时：①[π,1]x ∈--时，sin 0a x e >，10x +<∴()0f x >∴()f x 在区间[π,1]--上无零点，②1x >-时，方程()0f x =的解等价于方程()0g x =的解.[1,0]x ∈-时，1()cos 1g x a x x '=-+在[1,0]-单调递增，(0)1g a '=-，而111cos 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴∃唯一0[1,0]x ∈-使得()00g x '=且()g x 在(]01,x -单调递减，[]0,0x 单调递增，而111sin 110g a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(0)0g =，∴()g x 在(1,0]-上有两个零点，③π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1()cos 1g x a x x '=-+，(0)10g a '=->，令1()()cos 1t x g x a x x ='=-+，则21()sin (1)t x a x x '=-++在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，(0)1t '=，2π102π12t a ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∃唯一1π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10t x '=，∴()g x '在()10,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)1g a '=-，π100π212g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+，∴∃唯一2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20g x '=，∴()g x 在()20,x 单调递增，1π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而(0)0g =，π02g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭，∴()g x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点.④π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时()0g x '<，∴()g x 在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递减，而ππln 1022g a ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(π)ln(π1)0g =-+<，∴∃唯一3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()30g x =，综上所述：1a >时，()f x 在区间[π,π]-有三个零点.20．21．设函数()2ln +f x x x ax =+，=1x 是函数()f x 的极值点．(1)求实数a 的值，并求函数()f x 的单调递减区间；(2)设函数()()23g x f x x x =-+，求证：当2x ≥时，()()2114g x x <-；(3)在（2）的条件下，求证：对*n ∈N ，()()()21213512n k n ng k n n +=+>++∑．【解析】（1）因为()2ln +f x x x ax =+，所以()12f x x a x'=++，依题意()1120f a '=++=，解得=3a -，经检验符合题意，()2=ln +3f x x x x ∴-，()0,+x ∈∞，所以()()()221123+1==x x x x f x xx---'，令()0f x '<，解得112x <<，所以原函数的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）证明：因为()()222=+3=ln +3+3=ln g x f x x x x x x x x x ---，要证()()21<14g x x -，[)2,+x ∈∞，即证()21ln <14x x -，[)2,+x ∈∞，构造函数()2=4ln +1h x x x -，[)2,+x ∈∞，只需证()0h x <在[)2,+x ∈∞上恒成立，当2x ≥时，()()222=<0x h x x--'，所以函数()2=4ln +1h x x x -在区间[)2,∞+单调递减，故3max ()=4ln23=ln16lne <0h x --，不等式成立，结论得证；（3）证明：由（2）知：当2x ≥时，()21ln <14x x -，所以21411>=2ln 11+1x x x x ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，即当2k ≥时，()111>21+1g k x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，当2n ≥时：()()()()2+1=211111113+5=++...+>21+=ln2ln3ln +12+1+2+1+2n k n n g k n n n n n --⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，又当=1n 时上式也能成立，原命题得证．21．已知函数()(2)e (ln )x f x x k x x =---.(1)当0k =时，求()f x 的极值；(2)证明：当e,1k x >>时，2()f x k >-.．(1)求实数a 的值及函数()f x 的极值；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[0.8]0,[ 1.4]2=-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+恒成立，求[]t 的最大值．)。