第四章大数定律与中心极限定理极限定理是概率论与数理统计学中最重要的理论结果。
本章简单地介绍两类极限定理---“大数定律”和“中心极限定理”。
通常，把叙述在什么条件下一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”；把叙述在什么条件下大量的随机变量之和近似服从正态分布的定理称为“中心极限定理”。
本教材只介绍极限定理的经典结果。
分布函数、矩和特征函数是解决经典极限定理的主要工具。
一、教学目的与要求1．掌握四个大数定律的条件、结论及数学意义；2．理解随机变量序列的两种收敛性的定义及其关系，了解特征函数的连续性定理；3．掌握独立同分布中心极限定理的条件、结论，并会用来解决一些实际问题。
二、教学重点和难点教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。
教学难点是随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。
§4.1 大数定律一、大数定律的意义在第一章中引入事件与概率的概念时曾经指出，尽管随机事件A 在一次试验可能出现也可能不出现，但在大量的试验中则呈现出明显的统计规律性——频率的稳定性。
频率是概率的反映，随着观测次数n 的增加，频率将会逐渐稳定到概率。
这里说的“频率逐渐稳定于概率”实质上是频率依某种收敛意义趋于概率，这个稳定性就是“大数定律”研究的客观背景。
详细地说：设在一次观测中事件A 发生的概率()p A P =，如果观测了n 次（也就是一个n 重贝努里试验），A 发生了n μ次，则A 在n 次观测中发生的频率为nnμ，当n 充分大时，频率nnμ逐渐稳定到概率p 。
若用随机变量的语言表述，就是：设i ξ表示第i 次观测中事件A 发生次数，即⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i A i i ,0,1ξn i ,,2,1 =则n ξξξ,,,21 是n 个相互独立的随机变量，显然∑==ni i n 1ξμ。
从而有∑==ni i nn n 11ξμ 因此“nnμ稳定于p ”，又可表述为n 次观测结果的平均值稳定于p 。
