高二下学期期中数学试卷(理科)第12套真题

2021-2022年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案数学 (理科) 学科试卷考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷,共2页。

满分150分，考试110分钟。

考试结束后，请将答题卡卷交回，试题卷自己保存。

2．答题前，请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上。

3．作答非选择题必须用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4．保持答题卷清洁、完整，严禁使用涂改液和修正带。

第Ⅰ卷选择题（共 60分）一、选择题：（四个选项中只有一个正确答案，每小题5分，共计60分）1.已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=2n-1，n∈A｝，则A∩B=( )A｛1，3｝ B｛2，4｝ C{1，4} D｛2，3}2.在极坐标系下，极坐标方程(ρ－3)(θ－)＝0(ρ≥0)表示的图形是 ( )A 两个圆 B一个圆和一条射线 C两条直线 D一条直线和一条射线3.若直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的倾斜角为 ( )A 30°B 150°C 60°D 120°4.联欢会有歌曲节目4个，舞蹈节目2个，小品节目2个，其中小品节目不能连着演出，舞蹈必须在开头和结尾，有多少种不同的出场顺序 （ ） A 480 B 960 C 720 D 180 5. 已知，，，试比较的大小 （ ）A B C D6. 函数的定义域 ( )A B C D7.求函数，的值域 （ ） A B C D8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<-=)0()21()0()(4x x x x x f ，则f(f(-1))= ( )A B C D 49.已知，求 （ ） A B C D10．下列哪个函数是奇函数 （ ） A BC D 11. 已知函数在上单调，则的取值范围为 （ ）A B C D12.已知函数满足，且，当时，，求 （ ） A -1 B 0 C 1 D 2第Ⅱ卷 非选择题（共 90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13.已知满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥-41032202y y x y x 则的最大值为14.展开式中的系数为15.已知数列中)2(,12,211≥-==-n a a a n n 由此归纳16.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2log 22)(21x xx x f x则函数的最大值为三、解答题：17. (本题12分)已知函数 （1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式解集为，求的取值范围. 18. (本题12分)为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取80名市民，得到数据如下表：已知在全部的80人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为 （1） 请将列联表补充完整；（2） 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22)(，其中）19. (本题12分)某次考试，依次进行A 科、B 科考试，当A 科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加考试，已知他每次考A 科合格的概率均为，每次考B 科合格的概率均为.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．(1)求甲恰好3次考试通过的概率；(2)记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.20.(本题10分)已知： 求证：中至少有一个不大于.21. (本题12分)定义在上函数，且,当时，1)21(8)41()(-⨯-=x x x f（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值.22. (本题12分)定义在上的函数，总有，且，当时， （1）求的值；（2）判断函数的奇偶性,并证明；（3）判断函数在上的单调性,并证明.长春外国语学校xx高二下学期期中考试数学理科答案一、选择题：（每题5分，共60分）二、填空题：（每题5分，共20分）13. ； 14. 60； 15.； 16. 4三、解答题：17.（本题12分）解：（1）当时，，或或（2分）或或或或（4分）不等式的解集为：（6分）关于的不等式解集为，就是求函数的最大值（8分）（2）a+a+≤a-+x（当且仅当取）xaxx)2()22(2-+=--=（10分）或 解得 （12分）18.（本题12分）（6分）024.5599.6297196044363248)32201216(8022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K （11分）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为患心肺疾病与年龄有关 （12分）19.（本题12分）（1）P=18521323121)211(32=⨯⨯+⨯-⨯ (2分) （2）9431312132)2(=⨯+⨯==ξP （4分）94)211()211(3221323121)211(32)3(=-⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯==ξP (6分)91)211()211(323121)211(3231)2(=-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯==ξP （8分）（10分）38914943942)(=⨯+⨯+⨯=ξE（12分）20.（本题10分） 证明：假设中没有一个不大于 （2分）即：，， （4分）所以有222)1()1()1(--->+++++ac c b b a即6)1()1()1(->+++++cc b b a a （6分）又因为，则所以有2)1)((2)1()(=--≥-+-aa a a ，（当且仅当即时取等号） 2)1)((2)1()(=--≥-+-bb b b ，（当且仅当即时取等号） 2)1)((2)1()(=--≥-+-cc c c ，（当且仅当即时取等号） 所以 ，， （8分）所以6)1()1()1(-≤+++++cc b b a a （当且仅当2时取等号 与6)1()1()1(->+++++cc b b a a 矛盾 所以假设错误，原命题正确所以中至少有一个不大于 （10分）21.（本题12分）（1）解：，则函数是奇函数则 （2分 ）当时，，则1)21(8)41()(-⨯-=---x x x f12841)21(8)41()()(+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--=--=--x x x x x f x f （5分）所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯+-=<-⨯-=012840001)21(8)41()(x x x x f x x x x（6分）（1） 解：令则 （10分） 对称轴为 当，即 1713216)(max =++-=x f （11分）当，即 116464)(min =++-=x f （12分）22.（本题12分） （1）令，则有 ，又则 （2分） 令，则有 ， 又，则 （4分） （2）证明：定义域为令，则有)()1()()(x f f x f x f =-=-所以为偶函数 （7分） （3）证明：，且 （8分）精品文档实用文档 令，则所以，又，由，则，而当时，所以，即，又所以函数在上是增函数 （12分）x37130 910A 鄊36152 8D38 贸921587 5453 呓27222 6A56 橖429901 74CD 瓍26945 6941 楁33642 836A 荪36768 8FA0 辠28646 6FE6 濦@24712 6088 悈。

2016-2017学年河北省廊坊市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）1．复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（）A．1 B．C．2 D．03．下列各式中正确的是（）A．（log a x）′=B．（log a x）′= C．（3x）′=3x D．（3x）′=3x ln34．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（）A．25x2+9y2=0 B．25x2+9y2=1 C．9x2+25y2=0 D．9x2+25y2=15．函数y=x﹣e x的增区间为（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=07．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（）A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根C．有且只有一个实数根D．无实根8．如图，阴影部分的面积为（）A．2 B．2﹣C．D．9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交但不过圆心C．相切 D．相离10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）A．B．C．D．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知a≥0，函数f （x）=（x2﹣2ax）e x，若f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是（）A．（0，） B．（，）C．（0，） D．[，+∞）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．14．观察下列等式：①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=．由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．15．函数f（x）的定义域为R，且满足f（2）=2，f′（x）﹣1＞0，则不等式f（x）﹣x ＞0的解集为．16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．三．解答题（每题12分，共计70分）17．已知圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．（1）求圆心和半径；（2）若圆O上点M对应的参数θ=，求点M的坐标．18．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．19．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．2016-2017学年河北省廊坊市固安三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）1．复数等于（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．【解答】解：复数===2+i，故选C．2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（）A．1 B．C．2 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率．【解答】解：y=lnx，可得：y′=，则其图象在x=2处的切线斜率．故选：B．3．下列各式中正确的是（）A．（log a x）′=B．（log a x）′= C．（3x）′=3x D．（3x）′=3x ln3【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，由导数的计算公式可得（log a x）′=，（3x）′=3x ln3，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数y=log a x，其导数y′=，则A、B均错误；对于函数y=3x，其导数y′=3x ln3，则C错误，D正确；故选：D．4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（）A．25x2+9y2=0 B．25x2+9y2=1 C．9x2+25y2=0 D．9x2+25y2=1【考点】Q5：平面直角坐标轴中的伸缩变换．【分析】把变换公式代入x′2+y′2=0即可得出变换前的曲线方程．【解答】解：把代入方程x′2+y′2=0，得25x2+9y2=0，∴曲线C的方程为25x2+9y2=0．故选A．5．函数y=x﹣e x的增区间为（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=1﹣e x，由f′（x）＞0得f′（x）=1﹣e x＞0，即e x＜1即x＜0，即函数的单调递增区间为（﹣∞，0），故选：C．6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（）A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．【解答】解：设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：4x﹣y+m=0，即曲线y=x4在某一点处的导数为4，而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，故l的方程为4x﹣y﹣3=0．故选A．7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（）A．至少有三个实数根 B．至少有两个实根C．有且只有一个实数根D．无实根【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】先根据导数判断函数f（x）在区间[m，n]上单调减，再由零点的判定定理可得答案．【解答】解：∵f′（x）=﹣3x2﹣1＜0，∴f（x）在区间[m，n]上是减函数，又f（m）•f（n）＜0，故方程f（x）=0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．8．如图，阴影部分的面积为（）A．2 B．2﹣C．D．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx=（3x﹣x3﹣x2）|=（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）=，故选：C9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（）A．相交过圆心B．相交但不过圆心C．相切 D．相离【考点】QK：圆的参数方程．【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d＜2，得到直线与圆的位置关系为相交．【解答】解：根据题意，圆的参数方程为，则圆的普通方程为：（x+1）2+（y﹣3）2=4，其圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，直线的参数方程为，则直线的普通方程为：（y+1）=3（x+1），即y﹣3x﹣2=0，圆心不在直线上，且圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d==＜2，即直线与圆相交，故选：B．10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有13项，和为1，，代入求出前100项的和．【解答】解：=1×故选A．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选D12．已知a≥0，函数f （x）=（x2﹣2ax）e x，若f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是（）A．（0，） B．（，）C．（0，） D．[，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出原函数的导函数，由导函数在[﹣1，1]上小于等于0恒成立可得x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．转化为关于a的不等式组求解．【解答】解：由f （x）=（x2﹣2ax）e x，得f′（x）=（2x﹣2a）e x+（x2﹣2ax）e x=e x（x2﹣2ax+2x﹣2a）．∵f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，∴f′（x）=e x（x2﹣2ax+2x﹣2a）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．即x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．∴，解得a．∴a的取值范围是[，+∞）．故选：D．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用ρ=，tanθ=，且0＜θ＜π，即可得出点P的极坐标．【解答】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．∴点P的极坐标为．故答案为：．14．观察下列等式：①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=．由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？并证明你的猜想．【考点】F1：归纳推理．【分析】由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为．猜想：若β﹣α=30°，则β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=．【解答】解：由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为．猜想：若β﹣α=30°，则β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=，也可直接写成sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣下面进行证明：左边=++sinαcos（α+30°）=++sinα（cosα•cos30°﹣sinαsin30°）=﹣cos2α++cos2α﹣sin2α+sin2α﹣==右边．故sin2α+cos2（α+30°）+sinαcos（α+30°）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣15．函数f（x）的定义域为R，且满足f（2）=2，f′（x）﹣1＞0，则不等式f（x）﹣x ＞0的解集为（2，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，由已知可判断函数g（x）的单调性及g（x）=0时的x值，由此不等式可解．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣1，由f′（x）＞1，得g′（x）＞0，所以g（x）在R上为增函数，又g（2）=f（2）﹣2=2﹣2=0，所以当x＞2时，g（x）＞g（2）=0，即f（x）﹣x＞0，也即f（x）＞x．所以不等式f（x）＞x的解集是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．16．设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为﹣2 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；8E：数列的求和．【分析】由曲线y=x n+1（n∈N*），知y′=（n+1）x n，故f′（1）=n+1，所以曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn﹣lg（n+1），由此能求出a1+a2+…+a99．【解答】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn﹣lg（n+1），∴a1+a2+…+a99=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100）=lg1﹣lg100=﹣2．故答案为：﹣2．三．解答题（每题12分，共计70分）17．已知圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．（1）求圆心和半径；（2）若圆O上点M对应的参数θ=，求点M的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）圆O的参数方程消去参数，得圆的普通方程，由此能求出圆心和半径．（2）当θ=π时，x=2cos θ=1，y=2sin θ=﹣．由此能求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．∴平方得圆的普通方程为x2+y2=4，∴圆心O（0，0），半径r=2．…（2）当θ=π时，x=2cos θ=1，y=2sin θ=﹣．∴点M的坐标为（1，﹣）．…18．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）解之得：＜a＜﹣1故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．19．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）先将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，再将直线的参数方程代入直角坐标方程，然后求出交点T的直角坐标，最后化成极坐标即可．（2）设直线l'的方程，由（1）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为．利用圆的弦长公式结合点到直线的距离列出等式，求出K值，得直线l'的方程，最后将其化成极坐标方程即可．【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2﹣4x+y2=0．…．将代入上式并整理得．解得．∴点T的坐标为．…．其极坐标为…（2）设直线l'的方程为．…．由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l'的距离为．则，．解得k=0，或．直线l'的方程为，或．…．其极坐标方程为（ρ∈R）．…20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），由x=3取得极值得到f'（3）=0，求解得到a的值即可；（2）因为函数在（﹣∞，0）上为增函数令f'（x）=0得到函数的驻点，由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）．因f（x）在x=3取得极值，所以f'（3）=6（3﹣a）（3﹣1）=0．解得a=3．经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．（2）令f'（x）=6（x﹣a）（x﹣1）=0得x1=a，x2=1．当a＜1时，若x∈（﹣∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，a）和（1，+∞）上为增函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．当a≥1时，若x∈（﹣∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）和（a，+∞）上为增函数，从而f（x）在（﹣∞，0]上也为增函数．综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．21．已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）由a n+1=，可求a2，a3，a4；（2）猜测a n=（n∈N*），再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由a n+1=，可得a2==，a3===，a4===．（2）猜测a n=（n∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a1=a，右边==a，猜测成立．②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，即a k=．则当n=k+1时，a k+1====．故当n=k+1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有a n=成立．22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i ≥2，i∈N*）．∴=f（2）+＜2﹣ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．。

2021年高二（下）期中数学试卷（理科）含解析一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的）．1．（5分）（xx春•泰安校级期中）若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，则实数a的值为（）A． 1 B． 2 C． 1或2 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用纯虚数的定义可得a2﹣3a+2=0，且 a﹣2≠0，由此求得a的值．解答：解：∵复数（a2﹣3a+2）+（a﹣2）i是纯虚数，∴a2﹣3a+2=0，且 a﹣2≠0，求得a=1，故选：A．点评：本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）（xx•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．3．（5分）（xx秋•武汉校级期末）正弦函数是奇函数，f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因此f（x）=sin（x2+1）是奇函数，以上推理（）A．小前提不正确B．大前提不正确C．结论正确D．全不正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可．解答：解：大前提：正弦函数是奇函数，正确；小前提：f（x）=sin（x2+1）是正弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：f（x）=sin（x2+1）是奇函数，因为该函数为偶函数，故错误．故选A点评：本题考查演绎推理的基本方法，属基础题．4．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．专题：压轴题．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．点评：考查函数的单调性问题．5．（5分）证明1++…+（n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）A．1项B．k﹣1项C．k项D．2k项考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先分析题目证明不等式1++…+，假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数．故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数．解答：解：当n=k时不等式为：成立当n=k+1时不等式左边为则左边增加2k+1﹣2k=2k项．故选D．点评：此题主要考查用数学归纳法证明不等式的问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题目．6．（5分）（xx春•泰安校级期中）下列命题中①复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d②任何复数都不能比较大小③若=，则||=||④若||=||，则=或=﹣．错误的命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：复数相等的充要条件；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的性质解答本题．解答：解：对于①，复数a+bi与c+di相等即a+bi=b+di，所以充要条件是a=c且b=d；正确；对于②，任何复数都不能比较大小是错误的；如实数是可以比较大小的；故错误；对于③，若=，则||=||是正确的；对于④，若|z1|=|z2|，只能说明两个复数的模相等，故z1=z2或z1=错误．故选B点评：本题考查了复数相等、模相等等基础知识；熟记概念是关键．7．（5分）（xx春•梁子湖区校级期末）函数f（x）=xlnx的大致图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：作图题．分析：由已知函数f（x）=xlnx的解析式，我们可以分析出函数的零点个数及在区间（0，1）上的图象位置，利用排除法可得到答案．解答：解：∵函数f（x）=xlnx只有1一个零点∴可以排除CD答案又∵当x∈（0，1）时lnx＜0，∴f（x）=xlnx＜0，其图象在x轴下方∴可以排除B答案故选A点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质，是解答此类问题的关键．8．（5分）（xx春•禅城区期末）下列计算错误的是（）A．sinxdx=0B．dx=C．cosxdx=2cosxdxD．sin2xdx=0考点：定积分．专题：计算题．分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选D点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值．9．（5分）（xx春•泰安校级期中）已知函数，且f（x0）=0，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则（）A．f（a）＜0，f（b）＜0 B．f（a）＞0，f（b）＞0 C．f（a）＞0，f（b）＜0 D．f （a）＜0，f（b）＞0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：问题转化为两个函数的图象的交点问题，通过图象读出即可．解答：解：令f（x）=0，得：lnx=，画出函数y=lnx和函数y=的图象，如图示：，若a∈（1，x0），b∈（x0，+∞），则f（a）＜0，f（b）＞0，故选：D．点评：本题考查了函数的零点问题，考查数形结合思想，是一道基础题．10．（5分）（xx春•泰安校级期中）观察下列的规律：，，…则第93个是（）A．B．C．D．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数进行分组，找出每一组的规律即可得到结论．解答：解：分组：（），（，），（），（），…，则第n组为（，，…，），即每个组中有n个数，则前n组共有1+2+3+…+n=，当n=13时，=，则第93个数在第14组，为第2个数为，故选：B．点评：本题主要考查数列项的表示，根据条件进行分组是解决本题的关键．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2011•姜堰市校级模拟）设函数，其中，则导数f′（1）的取值范围是[，2]．考点：正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先对函数进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据θ的范围和正弦函数的性质可求得最后答案．解答：解：∵，∴f'（x）=sinθx2+cosθx∴f′（1）=sinθ+cosθ=2sin（θ+）∵，∴θ+∈[，]∴sin（θ+）∈[，1]∴f′（1）∈[，2]故答案为：[，2]．点评：本题主要考查函数的求导运算和两角和与差的正弦公式的应用．考查基础知识的简单综合．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和基础题的练习．12．（5分）（xx春•泰安校级期中）已知在等差数列{a n}中，，则在等比数列{b n}中，类似的结论为．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：在等差数列中，等差数列的性质m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m+n=p+q，则b m b n=b p b q．解答：解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：．故答案为：．点评：本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．13．（5分）（xx春•泰安校级期中）定义运算=ad﹣bc，若复数x=，y=，则y=﹣5．考点：复数的基本概念；复数求模；二阶矩阵．专题：探究型．分析：先化简x=，求出x，然后按定义运算=ad﹣bc，代入x，化简求解即可．解答：解：x=y==4xi﹣4﹣（3+3i﹣xi+x）=5xi﹣7﹣3i﹣x=﹣5故答案为：﹣5点评：本题考查复数的基本概念，复数求模等知识，是创新题，中档题．14．（5分）（xx•衡南县二模）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x﹣1．考点：导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：先根据f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．解答：解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（2﹣x）=2f（x）﹣（2﹣x）2+8（2﹣x）﹣8．∴f（2﹣x）=2f（x）﹣x2+4x﹣4+16﹣8x﹣8．将f（2﹣x）代入f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8得f（x）=4f（x）﹣2x2﹣8x+8﹣x2+8x﹣8．∴f（x）=x2，f'（x）=2x∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1．答案y=2x﹣1点评：本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线方程的斜率．15．（5分）（xx春•宁波校级期末）设a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是③⑤．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．考点：分析法和综合法；反证法．专题：证明题．分析：由题设中的条件对各个结论进行判断，其中①②可用同一方法判断，③⑤两结论分别与①②两结论对立，由①②的正误可判断③⑤的正误，④中包含①，且与⑤矛盾，易判断解答：解：由题意a i∈R+，x i∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…a n2=1，x12+x22+…x n2=1，对于的值中，若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2大于1，这与已知矛盾，故①不对；若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…a n2小于1，这与已知矛盾，故②不对；由于③与①两结论互否，故③对④不可能成立，的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对⑤与②两结论互否，故正确综上③⑤两结论正确故答案为③⑤点评：本题考查分析法与综合法，解题的关键是理解分析法与综合法的逻辑内含，结合题设条件对题设中所给的结论作出判断三．解答题（共75分）16．（12分）（xx春•泰安校级期中）计算：（1）求的导数．（2）=．考点：定积分；导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：（1）根据求导公式和法则求出已知函数的导数即可．（2）根据定积分的计算方法计算即可，解答：解（1）：∵（2）：原式==（x3﹣4x）|+（4x﹣x3）|=．故答案为：．点评：本题考查了求导公式和法则和定积分的计算，是基础题．17．（12分）（xx•上海）已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．解答：解：设复数z=m+ni（m，n∈R），由题意得z+2i=m+ni+2i=m+（n+2）i∈R，∴n+2=0，即n=﹣2．又∵，∴2n+m=0，即m=﹣2n=4．∴z=4﹣2i．∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，横标和纵标都大于0，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．点评：本题考查复数的加减乘除运算及复数的代数形式和几何意义，本题解题的关键是整理出所给的复数的代数形式的标准形式，本题是一个中档题目．18．（12分）（xx春•泰安校级期中）在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，且相应各边上的高分别为h a，h b，h c，则有=1．请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d．则有+++=1，由三棱锥的体积公式可证明．解答：解：类比结论：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d．则有+++=1．证明：==，同理有=，=，=，又V P﹣BCD+V P﹣CDA+V P﹣BDA+V P﹣ABC=V A﹣BCD，∴+++==1．点评：本题考查类比推理，谁三棱锥的体积公式，属中档题．19．（12分）（2011春•无极县校级期末）已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；数形结合．分析：（1）先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；（2）根据第一问函数的增减性得到函数的极大值为f（1）和极小值为f（3），然后算出x→﹣1+时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞；据此画出函数y=f（x）的草图，由图可知，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．解答：解：（1）f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞）令f'（x）=0，得x=1，x=3．f'（x）和f（x）随x的变化情况如下：x （﹣1，1）1 （1，3）3 （3，+∞）f'（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增f（x）的增区间是（﹣1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）．（2）由（1）知，f（x）在（﹣1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减．∴f（x）极大=f（1）=16ln2﹣9，f（x）极小=f（3）=32ln2﹣21．又x→﹣1+时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（x）→+∞；可据此画出函数y=f（x）的草图（如图），由图可知，当直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点时，当且仅当f（3）＜b＜f（1），故b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）点评：本题要求学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据函数的增减性得到函数的极值，是一道综合题．20．（13分）（xx秋•曲沃县校级期末）已知函数f（x）=x﹣．（1）讨论f（x）的单调性．（2）若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）求f（x）的定义域和导数fˊ（x）=，设g（x）=x2﹣ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据△的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）＞0和g（x）＜0确定的f（x）单调区间；（2）由条件确定f'（x）≤0，再转化为x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论．解答：解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=1+﹣=设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，①当△=a2﹣8＜0，即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当△=a2﹣8=0，即a=2时，仅对x=有f′（x）=0，对其余的x＞0，都有f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．③当△=a2﹣8＞0，即a＞2时，g（x）=x2﹣ax+2=0有两个不同的实根，，由f′（x）＞0得，0＜x＜或x＞，由f'（x）＜0得，＜x＜，此时f（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）是上单调递减，（2）解：f′（x）=1+﹣=，依题意f'（x）≤0（等零的点是孤立的），即x2﹣ax+2≤0在（1，2）上恒成立，令g（x）=x2﹣ax+2，则有，解得a≥3，故实数a的取值范围为[3，+∞）．点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、解不等式以及二次函数的图象应用等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力，以及分类讨论的思想方法．精品文档21．（14分）（xx•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．考点：等差数列与等比数列的综合；数列递推式；数学归纳法．专题：综合题；压轴题．分析：（1）根据等差中项和等比中项的性质求得a n和b n的关系式，分别求得a2，a3，a4及b2，b3，b4，推测出它们的通项公式．先看当n=1时，等式明显成立；进而假设当n=k时，结论成立，推断出a k和b k的表达式，进而看当n=k+1时看结论是否成立即可．（2）先n=1时，不等式成立，进而看n≥2时利用（1）中的{a n}，{b n}的通项公式，以及裂项法进行求和，证明题设．解答：解：（1）由条件得2b n=a n+a n+1，a n+12=b n b n+1由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25．猜测a n=n（n+1），b n=（n+1）2．用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k时，结论成立，即a k=k（k+1），b k=（k+1）2，那么当n=k+1时，a k+1=2b k﹣a k=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+1）（k+2），b k+1==（k+2）2．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知a n=n（n+1），b n=（n+1）2对一切正整数都成立．（2）证明：．n≥2时，由（1）知a n+b n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．故==综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．28252 6E5C 湜33887 845F 葟t36566 8ED6 軖33610 834A 荊40308 9D74 鵴22532 5804 堄35312 89F0 觰• 0 28976 7130 焰38799 978F 鞏实用文档。

～第二学期期中考试高二数学试题（理科）注意事项：1． 本试卷共4页，包含填空题（第1～14题，共14题）、解答题（第16～20题，共6题）二部分。

本次考试时间为120分钟，满分160分。

考试结束后，只需将答题纸交回。

2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号、班级等信息用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3． 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

参考公式：线性回归方程系数公式：,)())((211^∑∑==---=ni i ni i ix x y y x xb x b y a ^^-=.样本相关系数公式：,)()())((21211∑∑∑===----=ni i ni ini i iy y x xy y x xr卡方统计量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直 接填写在答题纸指定位置. 1.化简=+-ii11 ▲ . 2．=-3545C A .3．已知,11ni im-=-其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m . 4.在回归分析中，对于y x ,随机取到的n 对数据),,2,1)(,(n i y x i i =样本相关系数r 具有下列哪些性质：①;1≤r ②r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越弱;③r 越接近于1，y x ,的线性相关程度越强；④r 越接近于0，y x ,的线性相关程度越强，请写出所有正确性质的序号： .5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 .①若2χ的观测值满足2χ≥6.635,我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100人吸烟的人中必有99患有肺病;②从独立性检验可知有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病;③其从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推判出现错误.6.某地区的年财政收入x 与年支出y 满足线性回归模型ε++=bx a y （单位：亿元），其中.5.0,2,8.0≤==εa b 如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过 .7.把4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.8．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AC AB ,互相垂直，则三角形边长之间满足关系：.222BC AC AB =+若三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 .9．已知推理：“因为△ABC 三边长依次为3，4，5，所以△ABC 是直角三角形”.若将其恢复成完整的三段论，则大前提是 . 10.观察下列等式：,),4321(16941,321941),21(41,11 +++-=-+-++=+-+-=-=由此推测第n 个等式为 .（不必化简结果） 11.已知,12121=-==z z z z 则21z z +等于 .12.在复平面内，Ｏ是原点，,,表示的复数分别为,51,23,2i i i +++-那么表示的复数为 .13.设正数数列}{n a 的前n 项和为n S ，且),1(21nn n a a S +=推测出n a 的表达式为 . 14.将正奇数排列如右表所示，其中第i 行第j 个数表示为),,(**N j N i a ij ∈∈例如.932=a 若,2009=ij a 则=+j i .二、解答题：本大题共６小题，共90分.在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题14分）已知复数,)32()1(2i m m m m z -++-=当实数m 取什么值时，复数z 是： （１） 零；（２）纯虚数； （３）.52i z +=16.（本小题１４分）先解答（１），再通过结构类比解答（２） （１） 求证：;tan 1tan 1)4tan(xxx -+=+π（２） 设R x ∈且,)(1)(1)1(x f x f x f -+=+试问：)(x f 是周期函数吗？证明你的结论.17.(本小题１４分)设有编号为１，２，３，４，５的五个球和编号为１，２，３，４，５的五个盒子，现将这五个球放入５个盒子内.（１） 只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（２） 没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？18.（本小题１６分）设,1,*>∈n N n 用数学归纳法证明：.131211n n>++++19.(本小题16分)某电脑公司有６名产品推销员，其中５名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：（１） 求年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数（精确到小数点后两位）； （２） 求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（３） 若第６名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额. (参考数据：;02.104.1≈由检验水平0.01及,32=-n 查表得.59.001.0=r )20.（本小题16分０设Q P ,是复平面上的点集，{}{}.,2,05)(3P z iz Q z z i z z z P ∈===+-+⋅=ωω（１）Q P ,分别表示什么曲线？（２）设,,21Q z P z ∈∈求21z z -的最大值与最小值.2019－2019学年度第二学期期中考试高二数学答题纸一．填空题：（本题共14小题，每题5分，共70分）1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二．解答题：（本题共6题，共90分,请写出必要的解答或证明过程）15题：（本题14分）16题：（本题14分）17题.（本题14分）…18题：（本题16分）…19题：（本题16分）20题：（本题16分）高二理科数学参考答案一、填空题1. i -；2. 110；3. i +2；4. ①③；5. ③；6. 10.5亿元；7. 81； 8. 2222ACD ABC ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=；9. 一条边的平方等于其它两条边平方和的三角形是直角三角形； 10. )321()1()1(4321121222n n n n ++++-=⋅-++-+--- ；11.12. i 44-；13. 1--=n n a n ；14. 60二、解答题15. 解：（1）由⎩⎨⎧=-+=-0320)1(2m m m m 可得m=1； …………4分（2）由⎩⎨⎧≠-+=-0320)1(2m m m m 可得m=0； …………8分（3）由⎩⎨⎧=-+=-5322)1(2m m m m 可得m=2； …………12分综上：当m=1时，复数z 是0；当m=1时，复数z 是纯虚数；当m=2，复数z 是i 52+． …………14分 16. 解：（Ⅰ）xx x x x tan 1tan 14tantan 14tantan )4tan(-+=-+=+πππ； …………4分 （Ⅱ）)(x f 是以4为其一个周期的周期函数． …………6分∵)(1)(1)(11)(1)(11)1(1)1(1)1)1(()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-+--++=+-++=++=+， …………10分 ∴)()2(1)2)2(()4(x f x f x f x f =+-=++=+， …………12分所以)(x f 是周期函数，其中一个周期为4． …………14分 17. 解：（1）只有一个盒子空着，则有且只有一个盒子中投放两个球，另外3只盒子中各投放一个球，先将球分成2，1，1，1的四组，共有25C 种分法， …………4分再投放到五个盒子的其中四个盒子中，共有45A 种放法，所以满足条件的投放方法共有4525A C =1200（种）； …………8分（2）五个球投放到五个盒子中，每个盒子中只有一个球，共有55A 种投放方法，而球的编号与盒子编号全相同的情况只有一种，所以球的编号与盒子编号不全相同的投放方法共有155-A =119（种）． …………14分18. 证明：记)(n f ＝+++31211…n1+（*N n ∈，n ＞1）， …………2分（1）当n ＝2时，211)2(+=f ＞2，不等式成立； …………6分（2）假设n ＝k （*N k ∈，k ≥2）时，不等式成立， …………8分 即)(k f ＝+++31211…k1+＞k ，则当n ＝k +1时，有)1(+k f ＝)(k f +11+k ＞k +11+k ＝11)1(+++k k k＞11++k k ＝1+k …………12分∴当n ＝k +1时，不等式也成立. …………14分 综合（1），（2）知，原不等式对任意的*N n ∈（n ＞1）都成立. …………16分 19. 解：(Ⅰ)由∑=--ni i iy y x x1))((=10，∑=-n i i x x 12)(=20，21)(∑=-ni i y y =5.2，可得98.02.52010≈⨯=r ， …………4分∴年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98． …………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，98.0=r ＞01.0959.0r =,∴可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系. …………8分设所求的线性回归方程为a bx y+=ˆ，则4.0,5.0==a b . …………10分 ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为4.05.0ˆ+=x y. …………12分 (Ⅲ) 由(Ⅱ) 可知，当11x =时, 4.05.0ˆ+=x y= 0.5×11+ 0.4 = 5.9万元， ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元． …………16分 20. 解：（1）设yi x z +=（R y x ∈,）， …………2分 则集合=P {),(y x ︱05622=+-+y y x }＝{),(y x ︱4)3(22=-+y x }，故P 表示以（0，3）为圆心，2为半径的圆； …………6分第11页 共11页 设yi x +=ω（R y x ∈,），P i y x z ∈+=00（R y x ∈00,）且iz 2=ω，…………8分 则⎩⎨⎧=-=0022x y y x …………10分 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x y y x 212100代入4)3(22=-+y x 得16)6(22=++y x ，故Q 表示以（－6，0）为圆心，4为半径的圆； …………12分（2）21z z -表示分别在圆Q P ,上的两个动点间的距离，又圆心距53=PQ ＞2+4， 故21z z -最大值为6+35，最小值为35－6． …………16分。

2021年高二下学期期中学业水平测试数学理试题 含答案高二数学科（理）试卷一、选择题（单项选择题，每小题5分，共40分）1．{}(){}=12,30,x x N x x x -<=-<设集合M 那么“（ ） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．27D ．363. 用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3 (n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)34．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ） A ． B ． C ．4 D ．10 ５. 某校要从4名教师中选派3名参加省骨干教师3期培训，各期只派1名。

由于工作上的原因，甲、乙两名老师不能参加第一期的培训，则不同选派方法有（ ）种。

A. 8 B. 12 C. 24 D. 486. 若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 201122011的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2７．函数y = sinx + 13 sin3x 在x = π3 处有极值，则的值为（ ） A. －6 B. 6 C. －2 D. 2 8.设实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知向量和向量对应的复数分别为和，则向量对应的复数为________ . 10.若，则二项式展开式中含的项的系数是________. 11．已知函数，等比数列的公比为2，若， 则 .12.规定，其中为正整数且。

新人教版高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的）1．（5分）已知复数z =11+i ，则z ﹣i 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数（ ） A ．7B ．64C ．12D ．813．（5分）用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应假设（ ） A ．x ≠y ≠0B ．x ＝y ≠0C ．x ≠0且y ≠0D ．x ≠0或 y ≠04．（5分）f （x ）＝e x lnx ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（1）的值为（ ） A ．1B ．eC ．2eD ．05．（5分）设函数f （x ）可导，则lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x 等于（ ）A ．﹣f '（1）B ．3f '（1）C ．−13f ′(1)D ．13f ′(1)6．（5分）曲线y ＝e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．e 2B ．2e 2C ．4e 2D ．e 227．（5分）已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，则f ′（2）＝（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．−328．（5分）设函数f(x)=x 3−12x 2−2x +5，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（7，+∞）B ．（8，+∞）C ．[7，+∞）D ．（9，+∞）9．（5分）中华文化博大精深．我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁．乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄．根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）A ．71岁B ．81岁C ．131岁D ．141岁10．（5分）函数f(x)=12x −sinx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（5分）在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．74B ．121C ．﹣74D ．﹣12112．（5分）对于定义域为R 的函数f （x ），若满足①f （0）＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′（x ）＞0；③当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f （x 1）＜f （x 2），则称f （x ）为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1（x ）＝﹣x 3+32x 2；f 2（x ）＝e x ﹣x ﹣1；f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，f 4（x ）={x(12x −1+12)，x ≠00，x =0，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a ＝ ． 14．（5分）函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．15．（5分）（√2−x ）10＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10，则（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2的值为 ．16．（5分）设f （x ）是定义在R 上的可导函数，且满足f （x ）+xf ′（x ）＞0．则不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1）的解集为 ．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）已知复数z 满足|z |＝3+3i ﹣z ，求(1+3i)⋅(3+4i)z的值．18．（12分）有3名男生4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边； （2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起； （3）全体排成一行，3名男生两两不相邻． 19．（12分）已知a ＞0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 20．（12分）若函数f （x ）＝ax 3﹣bx +4，当x ＝2时，函数f （x ）有极值−43． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程f （x ）＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1=an 1+a n．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜测a n 的表达式，并用数学归纳法证明．22．（12分）设函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）（e ＝2.71828…是自然对数的底数）． （1）判断f （x ）的单调性；（2）当f （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a 的取值范围．答案一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项只有一项符合题目要求的） 1．解：∵z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ， ∴z ﹣i =12−32i ．∴z ﹣i 在复平面内对应的点为（12，−32），在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D ．2．解：∵选定一件上衣时，有不同颜色的裤子3条， ∴有3种不同的穿衣方案，∴共有3×4＝12种不同的搭配方法， 故选：C ．3．解：用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2＝0，求证：x ＝y ＝0．”时，应先假设x ≠0或 y ≠0． 故选：D ．4．解：∵f （x ）＝e x lnx ， ∴f ′(x)=e x lnx +e xx ， ∴f ′（1）＝e ． 故选：B ． 5．解：由lim △x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13lim △x→0f(1+△x)−f(1)△x =−13f ′（1）， ∴lim△x→0f(1)−f(1+△x)3△x =−13f ′（1）， 故选：C ．6．解：依题意得y ′＝e x ，因此曲线y ＝e x 在点A （2，e 2）处的切线的斜率等于e 2， 相应的切线方程是y ﹣e 2＝e 2（x ﹣2）， 当x ＝0时，y ＝﹣e 2，即y ＝0时，x ＝1，∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：S =12×e 2×1=e 22． 故选：D ．7．解：∵函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）＝2xf ′（1）+lnx ，（x ＞0） ∴f ′（x ）＝2f ′（1）+1x，把x ＝1代入f ′（x ）可得f ′（1）＝2f ′（1）+1， 解得f ′（1）＝﹣1，∴f ′（2）＝2f ′（1）+12=−2+12=−32． 故选：D ．8．解：∵f （x ）＜m 恒成立，即f （x ）的最大值＜m 恒成立， ∴f ′（x ）＝3x 2﹣x ﹣2，当x ∈[﹣1，−23]时，f （x ）为增函数， 当x ∈[−23，1]时，f （x ）为减函数， 当x ∈[1，2]时，f （x ）为增函数， ∴f （x ）的极大值为f （−23）＝52227，又f （2）＝7，且f （2）＞f （−23）， 所以f （x ）的最大值为7． 所以m 的取值范围为（7，+∞）． 故选：A ．9．解：由花甲指60岁，外加三七岁月指60+21＝81岁， “古稀双庆，更多一度春秋”，“古稀”指70岁， 即这位老人的年龄为70×2+1＝141岁， 故选：D ．10．解：∵函数f(x)=12x −sinx ，∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），为奇函数，图象关于原点对称，∴排除A ．f '（x ）=12−cosx ，由f '（x ）=12−cosx =0，得cos x =12，∴函数的极值点由无穷多个，排除B ，D ， 故选：C ．11．解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8的展开式中，含x 3的项的系数C 53(−1)3+C 63(−1)3+C 73(−1)3+C 83(−1)3＝﹣10+（﹣20）+（﹣35）+（﹣56） ＝﹣121 故选：D ．12．解：经验证，f 1（x ），f 2（x ），f 3（x ），f 4（x ）都满足条件①；xf ′（x ）＞0⇔{x ＞0f ′(x)＞0，或{x ＜0f ′(x)＜0，即条件②等价于函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．f 1′（x ）＝﹣3x 2+3x ，xf 1′（x ）＝﹣3x 3+3x 2＝﹣3x 2（x ﹣1），当x ＞1时，xf 1′（x ）＜0，故f 1（x ）不满足条件②，不是“偏对称函数”；f 2′（x ）＝e x ﹣1，xf 2′（x ）＝x （e x ﹣1），满足条件②．由f 2（x ）的单调性知当x 1≠x 2，设x 1＜0＜x 2．﹣x 2＜0，f 2（x 1）﹣f 2（x 2）＝f 2（﹣x 2）﹣f 2（x 2）＝﹣e x 2+e ﹣x 2+2x 2．令F （x ）＝﹣e x +e ﹣x +2x ，x ＞0，F ′（x ）＝﹣e x ﹣e ﹣x +2≤﹣2√e x ⋅e −x +2＝0， 当且仅当e x ＝e ﹣x 即x ＝0时，“＝”成立，所以F （x ）在[0，+∞）上是减函数，所以F （x 2）＜F （0）＝0，所以f 2（x ）是“偏对称函数”． 由函数f 3（x ）={ln(−x +1)，x ≤02x ，x ＞0，满足条件①②，当x 1＜0＜x 2，且|x 1|＝|x 2|时， 设F （x ）＝ln （x +1）﹣2x ，x ＞0．则F ′（x ）=1x+1−2＜0，F （x ）在（0，+∞）上是减函数， 可得F （x ）＜F （0）＝0，故f 3（x ）也满足条件③，所以f 3（x ）是“偏对称函数”； 而容易验证f 4（x ）是偶函数，可知f 4（x ）在区间（﹣∞，0）递减和（0，+∞）递增， 故f 4（x ）满足条件①②，但|x 1|＝|x 2|时，都有f 4（x 1）＝f 4（x 2），不满足条件③，则f 4（x ）不是“偏对称函数”． 故选：C ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．解：曲线y ＝（ax +1）e x ，可得y ′＝ae x +（ax +1）e x ， 曲线y ＝（ax +1）e x 在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a +1＝﹣2，解得a ＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．解：由题意，﹣1≤x ＜0时，图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12，0≤x ≤1时，f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫ 10e x dx =e x |01=e ﹣1，∴函数f （x ）={x +1，−1≤x ＜0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为12+e ﹣1＝e −12，故答案为：e −12．15．解：∵（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2＝（a 0+a 2+a 4+…+a 10+a 1+a 3+a 5+…+a 9）[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]，∴令x ＝1，则a 0+a 1+a 2+…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）+（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2−1）10，令x ＝﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+a 10＝[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）]＝（√2+1）10，∴两式相乘得：[（a 0+a 2+a 4+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 9）2]＝（√2+1）10•（√2−1）10＝[（√2）2﹣1]10＝110＝1．∴（a 0+a 2+…+a 10）2﹣（a 1+a 3+…+a 9）2＝1． 故答案为：1．16．解：∵f （x ）+xf ′（x ）＞0，∴（ x •f （x ））′＞0，故函数y ＝x •f （x ）在R 上是增函数． ∴由不等式f （√x +1）＞√x −1f （√x 2−1），可得 √x +1•f （√x +1）＞√x +1•√x −1•f （√x 2−1 ），即 √x +1•f （√x +1）＞√x 2−1•f （√x 2−1 ），∴√x +1＞√x 2−1，即{x +1≥0x ≥1，或x ≤−1x +1＞x 2−1，解得 1≤x ＜2，故答案为：{x |1≤x ＜2}．三、解答题：（本题共6小题，共70分，各题解答过程应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．解：设z ＝x +yi ， ∵|z |＝3+3i ﹣z ，∴√x 2+y 2=3−x +(3−y)i ， ∴{√x 2+y 2=3−x3−y =0⇒{x =0y =3∴z =3i ，∴(1+3i)⋅(3+4i)z=(1+3i)⋅(3+4i)3i=133+3i ．18．解：（1）根据题意，先排最左边，除甲外有A 61种排法，剩下的6人全排列A 66，则符合条件的排法一共有A 61⋅A 66=4320种；（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A 44种顺序， 再把4名女生作为一个整体和其他人全排列，有A 44种顺序，则有A 44⋅A 44=576种排法；（3）根据题意，先排好女生，有A 44种顺序，排好后，有5个空位，将3名男生安排在3个空位中，有A 53种排法，则有A 44⋅A 53=1440种排法．19．证明：要证√a 2+1a 2−√2≥a +1a −2． 只要证√a 2+1a2+2≥a +1a +√2 ∵a ＞0，∴两边均大于零，因此只需证（√a 2+12+2）2≥（a +1a +√2）2， 只需证√a 2+1a 2≥√22（a +1a ）， 只需证a 2+1a 2≥12（a 2+1a2+2） 即证a 2+12≥2，它显然成立． ∴原不等式成立．20．解：（1）f ′（x ）＝3ax 2﹣b由题意知{f ′(2)=12a −b =0f(2)=8a −2b +4=−43，解得{a =13b =4，∴所求的解析式为f （x ）=13x 3﹣4x +4；（2）由（1）可得f ′（x ）＝x 2﹣4＝（x ﹣2）（x +2） 令f ′（x ）＝0，得x ＝2或x ＝﹣2， ∴因此，当x ＝﹣2时，f （x ）有极大值283，当x ＝2时，f （x ）有极小值−43；（3）由（2）知，得到当x ＜﹣2或x ＞2时，f （x ）为增函数；当﹣2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，∴函数f （x ）=13x 3﹣4x +4的图象大致如图． 由图可知：−43＜k ＜283．21．（1）解：由a n+1=a n1+a n 及a1＝1，得a2=a11+a1=12，进而a3=a21+a2=13，a4=a31+a3=14．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：猜想a n=1n，再用数学归纳法证明之．当n＝1时，a1=11=1，而已知a1＝1，所以n＝1时，猜想正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设当n＝k时，猜想正确，即a k=1k，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）则n＝k+1时，a k+1=a k1+a k =1k1+1k=1k+1．所以当n＝k+1时，猜想也成立．综上所述可知，对一切n∈N，猜想a n=1n都正确．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=1x−a=1−axx，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f'（x）＝0，得到x=1a，当x∈(0，1a)时，f'（x）＞0，f（x）在(0，1a)上单调递增，当x∈(1a，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）在(1a，+∞)上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在(0，1a)上单调递增，在(1a，+∞)上单调递减．（2）由f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即lnx﹣ax＜0在（0，+∞）上恒成立，常规法分离参数得到a＞lnx x在（0，+∞）上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，e）上单调递增，当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上单调递减，故x＝e时，g(x)max=g(e)=1e，故a＞1e。

高二下学期理科数学期中考试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则AB 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2．复数201811z i i=++在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（0a >且1a ≠）. 则下列命题为真命题的是( )A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ⌝∨ 4．已知平面向量,a b 满足3a =， 23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B. 3πC. 23πD. 56π5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：240ax y +-=与直线2l ：()120x a y +++=平行”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1D ．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2，2，5时，输出的s 为17，那么在判断框 中，应填入（ ） A ．?n k < B ．?n k > C ．?n k ≥ D ．?n k ≤8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．121B ．49C ．92D ．39．某城市关系要好的A ， B ， C ， D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）A. 48种B. 36种C. 24种D. 18种 10．已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ）A ． π16B ．π8 C. π4 D ．425π11．P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>上一点， 12,F F 分别为C 的左、右焦点， 212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则C 的离心率为（ ）A ．2或3B ．2或3C ．2D ．212．已知函数()f x 是定义在()0,+∞的可导函数，()'f x 为其导函数，当0x >且1x ≠ 时，()()2'01f x xf x x +>-，若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，则()1f =（ ）A. 12-B. 0C. 12D. 1第II 卷(非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2-=⎰**** .14．5(2)(1)x x +-展开式中含3x 项的系数为 **** ．（用数字表示） 15．若sin 2cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2α= **** ． 16．对任一实数序列),,,(321 a a a A =，定义新序列),,,(342312 a a a a a a A ---=∆，它的第n 项为n n a a -+1，假设序列)(A ∆∆的所有项都是1，且02212==a a ，则=2a **** ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足()cos 2cos b C a c B =-. （1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC ∆面积的最大值．18．(本小题满分12分）某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按实现拟定的价格进行试销，得到一组检测数据),(i i y x （6,,2,1 =i ）如下表所示：已知变量,x y 具有线性负相关关系，且3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程为：甲：544+=x y ；乙：1064+-=x y ；丙：1052.4+-=x y ，其中有且仅有一位同学的计算是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？并求出,a b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取2个，求至少有一个检测数据为“理想数据”的概率．19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =， 121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =， 1n n n b b a n +=+-. （1）证明：{}n a n -是等比数列； （2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T ．20．(本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ． （1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==， PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点)22,1(P ，且离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，不经过1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点B A ,，如果直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求焦点2F 到直线l 的距离d 的取值范围．22．（本小题满分12分）设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.（1）若0>a ，且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若320<<a ，判断函数)(x f 的零点个数并证明．高二下学期理科数学期中考试参考答案及评分标准13、2π； 14、10 ； 15、8； 16、100. 11、【解析】由于12PF F ∆为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于22b PF a =，所以212b PF a a =+，故外接圆半径为21122b PF a a=+.设内切圆半径为r ，根据三角形的面积公式，有2221122222b b b c c a r a a a ⎛⎫⋅⋅=+++⋅ ⎪⎝⎭，解得2b r ac =+，故两圆半径比为22:2.52b b a a a c ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，化简得()()()1230e e e +--=，解得2e =或3e =.12、【解析】曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为1-，所以()'11f =- ，当0x >且1x ≠时，()()2'01f x xf x x +>-，可得1x >时， ()()2'0,f x xf x +>01x <<时， ()()2'0f x xf x +<，令()()()2,0,,g x x f x x =∈+∞ ()()()()()2'2'2'g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤∴=+=+⎣⎦，可得1x >时，()'0,g x >01x <<时，()'0g x <，可得函数()g x 在1x =处取得极值， ()()()'121'10,g f f ∴=+=， ()()111'122f f ∴=-⨯=，故选C.17、【解析】 (1)由()cos 2cos b C a c B =-，得()sin cos 2sin sin cos B C A C B ⋅=-⋅sin()2sin cos sin B C A B A ∴+=⋅=，又sin 0A ≠, 1cos 2B ∴=， 又0B π<<, 3B π∴=. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴2212a c ac =+-，∵222a c ac +≥，∴12ac ≤，当且仅当a c ==∴11sin 12222ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=即ABC ∆面积的最大值为.……………………10分18、解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系， ∴甲是错误的. 又∵3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的.由3961=∑=i ix，48061=∑=i i y ，得8=a ，90=b . ……………………6分（2）由计算得不是“理想数据”有3个，即(5,84),(7,80),(9,68)，从6个检测数据中随机抽取2个，共有2615C =种不同的情形，其中这两个检测数据都不是“理想数据”有233C =中情形，故至少有一个检测数据为“理想数据”的概率为：341155P =-=.……………………12分19、【解析】（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列. …………………4分 （2）由（1）得()11122n n n a n a --=-⋅=，又1n n n b b a n +=+-12n n n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥12b =满足上式. 2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭………12分20、【解析】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O =且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥． ………………4分 （2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ， 所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠， 所以，所以13,22AO PA PO PA ==， 因为3PA AB =，所以36BO PA =． 如图，分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立所示空间直角坐标系， 设6PA =，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,3,0,3,0,0O A B C -，()0,3,0,D -()3330,0,33,,0,22P H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以()9330,23,0,,0,,22DB AH ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()3,3,0,3,0,33AB AP =-=-．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111230933022n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令11x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223303330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令23x =，则223,1y z ==，所以()23,3,1n =，记二面角P AM N --的大小为θ，θ为锐角 则1212122339cos cos ,13213n n n n n n θ⋅====⋅⋅ 所以二面角P AM N --的余弦值为3913．……………………12分21、解析：（1）由题意，知22111,22a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩考虑到222a b c =+，解得222,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………3分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程2212x y +=， 整理得222(12)42(1)0k x kmx m +++-=.由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->，得2221k m >-. ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412kmx x k+=-+，21222(1)12m x x k -=+. 因为(1,0)F -，所以1111AF y k x =+，1221AF y k x =+. 因为1212211y yk x x =+++，且11y kx m =+，22y kx m =+， 所以12()(2)0m k x x -++=.因为直线AB ：y kx m =+不过焦点(1,0)F -，所以0m k -≠， 所以1220x x ++=，从而242014km k -+=+，即12m k k=+. ② 由①②得2212()12k k k>+-，化简得||2k > ③ 焦点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离211|2|2k d ++===.令t =||2k >t ∈.于是23132()2t d t t t+==+.考虑到函数13()()2f t t t=+在上单调递减，则(1)f d f <<2d <<.所以d的取值范围为2). ……………………12分22、解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1.…………………4分 (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x， 知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，1'(1)01f e a=->+， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax ex f x ， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增.∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=，当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. …………12分高二（下）理科数学期中考试试卷一、单选题（共12题；共60分）1．()()121-1x +=⎰A. 212+π B. 214+πC. 12+πD. 21+π2．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，以A 为顶点且过点C 的抛物线的一部分在矩形内.若在矩形ABCD 内随机地投一点，则此点落在阴影部分内的概率为（）A.12 B. 23 C. 35D. 34 3．设复数z 满足()11z i i +=-，则z =（） A. 2i -- B. 1i -- C. 2i -+ D. 1i -+4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[42ππ，），则点P横坐标的取值范围为()A. 12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， B. []10-，C. []01， D. 12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 5．已知函数，在区间（0，1）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是A. （15，B. [15，C. （，6） D. （，66．若,则下列不等式恒成立的是 ( )A.B.C. D.7．函数f(x)＝x 3＋ax 2+bx ＋a 2在x=1处的极值为10，则数对（a,b ）为( )A. （-3,3）B. （-11,4）C. （4，-11）D.（-3,3）或（4，-11） 8.已知对于任意恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A. 0B. 1C.D.9.函数f（x）= 的大致图象是（）A. B.C. D.10.已知函数，其导函数的图象如图，则函数的极小值为（）A. cB. a+b+cC. 8a+4b+cD. 3a+2b11.设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12.若函数在内无极值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共4题；共20分）13.若，则= ________14.球的直径为，当其内接正四棱柱的体积最大时的高为________.15.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是________.16.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为________.三、解答题（共6题；共70分）17.已知．(满分10分) （1）若时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间．18.已知函数，．（满分10分）（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.19.已知三棱锥A BCD -如图所示，其中90BAD BDC ∠=∠=︒，ADB DBC ∠=∠，面ABD 垂直面CBD.（满分14分）（1）证明：AB DC ⊥；（2）若E 为线段BC 的中点，且1AD =，tan 6CAD ∠=，求二面角B AD E --的余弦值.20.已知椭圆C1的方程为+ =1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而以双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点．（满分12分）（1）求双曲线C2的方程；（2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C2相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2 ，求直线l的方程．21.已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．（满分12分）22.已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a为实数）．（满分12分）（1）当a=0时，求函数f（x）在区间[ ，e]上的最大值和最小值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求实数a的取值范围．19、（满分14分）20. （满分12分）21、（满分12分）答案解析部分1,B 2,B 3,A 4,D 5,B 6,C 7,C8.【答案】C【解析】【解答】依题意得令，则,当时，，当时，，所以函数先增后减，最小值为，所以.故答案为:C.9.【答案】C【解析】【解答】解：∵f（x）= ，当x=0时，f（0）=﹣3，故排除AB当x= 时，f（）=0，故排除D，故选：C10.【答案】C【解析】【解答】由导函数的图象可知，在处取得极小值，.f(2)=8a+4b+c故答案为：C。

康杰中学2012—2013学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题2013.4一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，复数1iz i =-+，则复数z 的共轭复数的虚部为 A. 12i - B. 12 C . 12- D. 12i2．质量m ＝2 kg 的物体作直线运动，运动距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数是s (t )＝3t 2＋1，且物体的动能U ＝21mv 2，则物体运动后第3s 时的动能为 A ．18焦耳B ．361焦耳C ．342焦耳D ．324焦耳3．在复平面内，O 是原点，OA →，OB →，AC →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i ，1＋5i ，那么BC →表示的复数为A ．2＋8iB ．2－3iC ．－4＋4iD ．4－4i4．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图，则有 A ．f '(x )＝g (x ) B ．g'(x )＝f (x )C ．f '(x )＝g'(x )D ．g (x )＝ f (x ) 5．下列表述正确的是①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理； ks5u ④分析法是一种间接证明法；⑤若z C ∈，且221z i +-=，则22z i --的最小值是3 A ．①②③④B ．②③④C ．①②④⑤D ．①②⑤6．设a ，b ，c 都是正实数，则三个数a ＋b 1，b ＋c 1，c ＋a1的值 A ．都大于2 B ．至少有一个不小于2 C ．都小于2D ．至少有一个不大于27. 观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，… 所得的结果都是24的倍数，由此推测可有A ．其中包含等式：152－1＝224B ．一般式是：(2n ＋3)2－1＝4(n ＋1)(n ＋2)C ．其中包含等式1012－1＝10 200D ．24的倍数加1必是某一质数的完全平方(第4题)8. 给出命题：若a ，b 是正常数，且a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则y b x a 22＋≥yx a ＋ ＋ 2)(b (当且仅当y b x a ＝时等号成立)．根据上面命题，可以得到函数f (x )＝x 2＋x 219-(x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛210 ，)的最小值及取最小值时的x 值分别为A ．11＋62，132B ．25，51C ．11＋62，51D ．25，1329．设函数()(sin cos )(040)xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 各极小值点之和为 A ．380πB ．800πC ．420πD ．820π10. 一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有A ．6种B ．8种C ．36种D ．48种11. 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()f x 为奇函数，()g x 为偶函数； ②(1)0,()0f g x =≠； ③当0x >时，总有()()()()f x g x f x g x ''<.则(2)0(2)f xg x ->-的解集为A ．(1,2)(3,)+∞ B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(3,2)(1,)---+∞ D ．(1,0)(3,)-+∞12. 直线l 与函数s i n ([0,]y x x π=∈的图像相切于点A ，与x 轴交于点B ，且l O P∥，O 为坐标原点，P 为图像的最高点，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则B A B C →→= A ．24π B ．22π C ．244π- D ．2二､填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分．将答案填在题中横线上．） 13．函数21()ln 2(0)2f x x ax x a =--<存在单调递减区间，则a 的取值范围是 14．在数列{}n a 中，114,()n n a a f a +==，且()f x 满足下表，则2013a = ks5u15. 在我校春季运动会上，有甲、乙、丙、丁四位同学进行4×100接力赛跑，要求甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有 种接力赛跑方式。

2023-2024学年陕西省高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数51i +的虚部为（）A ．-1B ．0C ．1D ．i【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】由54111i 1i 1i 1i ++=+=+=+，虚部为1，故选项C 正确.故选：C.2．()1023d x x +=⎰（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】C【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.【详解】()()112023d 34x x x x +=+=⎰．故选：C3．如果函数()f x ax b =+在区间[1,2]上的平均变化率为3,则=a A ．3-B ．2C ．3D ．2-【正确答案】C【详解】根据平均变化率的定义，可知()()2321a b a b y a x +-+===-故选C4．函数()sin cos f x x x =+的导数为（）A ．0B ．cos sin x x+C ．cos sin x x-D ．sin x-【正确答案】C【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数()f x 的导数.【详解】∵(sin )cos x x '=，(cos )sin x x '=-，∴()cos sin f x x x '=-，故选：C.5．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（）A ．（-1，1）B ．（0，1）C ．[1，+∞）D ．[0，+∞]【正确答案】B【分析】利用导数求函数单调区间.【详解】函数21ln 2y x x =-的定义域为()0+∞，，211x y x x x-'=-=，令210x x->，解得1x >，令210x x -<，解得01x <<，则21ln 2y x x =-的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞，故选.B6．已知f (x )＝13x 3＋(a －1)x 2＋x ＋1没有极值，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，1]B ．(－∞，0]∪[1，＋∞)C ．[0，2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)【正确答案】C【分析】求导得2211()()f x x a x '=+-+，再解不等式22140[()]≤a --即得解.【详解】由321113()()f x x a x x =+-++得2211()()f x x a x '=+-+，根据题意得22140[()]≤a --，解得02a ≤≤．故选：C7．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A ．13B ．12C ．23D ．34【正确答案】B【详解】试题分析：不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 的距离24b =12c e a ⇒==，故选B.1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.不妨设直线:1x ylc b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 2142b c e a =⇒==，24b=是本题的关键节点.8．已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【正确答案】A【详解】试题分析：抛物线24y x =-的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，故选A ．1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造的双曲线C ：2221(0)y x a a-=>上支的一部分，点F 是C 的下焦点，若点P 为C 上支上的动点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【正确答案】C【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求4||PF PQ PF PQ +=++'，数形结合即可得出最小值．【详解】依题意，双曲线2221y x a-=，则21514a +=，解得2a =，所以双曲线方程为2214y x -=，则双曲线得下焦点为(0,F ，上焦点(F '，渐近线方程为12x y =±，如图，根据图形的对称性，不妨取渐近线为1:2l x y =，即2y x =，又点P 为双曲线上支上的动点，则24PF a PF PF '+=+'=，过点P 作PQ l ⊥，垂足为Q ，过点F '作F M l '⊥，垂足为M ，则444415PF PQ PF PQ F M +=++≥+'=+'==，所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为5．故选：C ．10．函数()232ln 5f x x x =-+的极值点为（）A ．8B ．6ln 3+C ．1D 【正确答案】D【分析】求出()f x 定义域为()0,∞+，然后求导数()f x '，从而根据二次函数的图象即可判断导数符号，进而可得出()f x 的极值点．【详解】依题意可得函数()f x 定义域为()0,∞+，则()()223126x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，解得x =x =，则当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，此时()f x 单调递增，所以x =()f x 的极值点，且为极小值点．故选：D ．11．已知函数ln ()xf x x=，下列说法正确的是（）A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为(e,)+∞C ．()f x 的极小值为1eD ．方程()1f x =-有两个不同的解【正确答案】B【分析】求出函数()f x 的定义域及导数，再逐项求解判断作答.【详解】函数ln ()xf x x=的定义域为(0,)+∞，求导得21ln ()x f x x -'=，对于A ，(1)1f '=，而(1)0f =，因此()f x 图象在1x =处的切线方程为1y x =-，A 错误；对于B ，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，B 正确；对于C ，由选项B 知，当e x =时，()f x 取得极大值1e ，C 错误；对于D ，因为函数()f x 在(0,e)上单调递增，且e 1,(1)1)e0(f f =-<-=，即方程()1f x =-在(0,1)上有唯一解，而当1x >时，恒有()0f x >成立，即该方程在(1,)+∞上无解，所以方程()1f x =-只有一个解，D 错误.故选：B12．过点()0,b 作曲线e x y =切线有且只有两条，则b 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【正确答案】A【分析】设切点()00,P x y ，进而求得切线方程，进而得到()00e 1xb x =-，构造函数()()1e x g x x =-分析()()1e x g x x =-的单调性与取值范围即可判断()00e 1x b x =-有且仅有两根时b 的取值范围．【详解】设切点为()00,P x y ，由e x y =，则e x y '=，所以过()00,P x y 的切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e xx y x x =+-，故()00e 1xb x =-有且仅有两根，设()()1e xg x x =-，则()e xx g x '=-，当0x <时，()0g x '>，此时()g x 单调递增；当0x >，()0g x '<，此时()g x 单调递减，又当0x <时，()0g x >，()001e g ==，()10g =，所以()g x 的图象如下：故()00e 1xb x =-有且仅有两根，则b 的取值范围为()0,1．故选：A ．关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．二、填空题13．抛物线24y x =的准线方程为______.【正确答案】116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是抛物线方程14．已知函数()e xf x -=，则函数()f x 在1x =处的切线方程是____________．【正确答案】e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由()e x f x -=，则()e xf x -'=-，所以()11ef =，()e 11f '=-，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为()1e1e 1y x -=--，即e 20x y +-=故e 20x y +-=．15．求过点3(4,)P -且与圆()()22139x y -+-=相切的直线方程为______.【正确答案】x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y +3＝k （x －4），即kx －y －4k －3＝0，3=，解得k ＝34-，此时直线方程为3x +4y ＝0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4此时圆心(1,3)到直线x ＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.故x ＝4或3x +4y ＝0.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线C 的右焦点且斜率为a b -，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M 、N 两点（N 点在x 轴下方），且2ON OM =，则C的离心率为____________.【分析】作出图形，可求得FM b =，利用角平分线的性质可求得FN ，结合勾股定理可求得OM ，进一步可求得ON ，利用勾股定理可得出22b a 的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线C 的离心率的值.【详解】如下图所示：因为直线l 的斜率为ab -，由图可知，直线OM 的斜率为b a ，因为1a bb a-⋅=-，所以，OM l ⊥，易知直线OM 的方程为b y x a=，即0bx ay -=，所以，FM b =，因为直线OM 、ON 关于x 轴对称，则MOF NOF ∠=∠，由角平分线的性质可得12MOF NOF MF OM S S NF ON ===△△，所以，22FN FM b ==，OM a =，所以，22ON OM a ==，由勾股定理可得222OM MN ON +=，即()()22232a b a +=，整理可得2213b a =，所以，双曲线C的离心率为3c e a ===.故答案为三、解答题17．已知直线20x y m -+=与圆225x y +=.(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值.【正确答案】(1)(,5)(5,)-∞-⋃+∞(2)2m =±【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.【详解】（1）由已知，得圆心坐标为(0,0)O ，半径r =，圆心到直线20x y m -+=的距离d =∵直线与圆无公共点，d r ∴>>，解得5m >或5m <-，故m 的取值范围为(,5)(5,)-∞-⋃+∞（2）若直线和圆交于两点A ，B 两点，如图所示，两条半径OA 、OB 互相垂直，几何关系可知AOB 为等腰直角三角形，设O 到直线的距离为d ，22d ∴=2=m =18．求下列函数的极值：（1）()3126f x x x =-++；（2）()2221xf x x =-+．【正确答案】（1）极小值为10-，极大值为22；（2）极小值为3-，极大值为1-．【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况即可.【详解】（1）()()()2312322f x x x x '=-+=-+-．令()0f x '=，解得12x =-，22x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,∞+()f x '-0+-()f x 单调递减10-单调递增22单调递减由上表看出，当2x =-时，()f x 取得极小值，为()210f -=-；当2x =时，()f x 取得极大值，为()222f =．（2）()()()()()()22222221421111x x x x f x xx+-+-'==++．令()0f x '=，解得11x =-，21x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '-0+-()f x 单调递减3-单调递增1-单调递减由上表看出，当=1x -时，()f x 取得极小值，为()13f -=-；当1x =时，()f x 取得极大值，为()11f =-．19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4.(1)求证：1BD AC ⊥；(2)求直线1BD 与平面1ACD 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析69【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明1AC BD ⊥；（2）计算平面1ACD 的法向量，根据1CC 与法向量的夹角与1CC 与平面1ACD 所成角互余求解.【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()2,0,0,0,2,0A C ，()()10,0,4,2,2,0D B ，()()12,2,0,2,2,4AC BD =-=-- ，114400,AC BD AC BD ⋅=-+=∴⊥ ，即1AC BD ⊥.（2）由（1）得()()12,2,0,2,0,4AC AD =-=- ，设平面1ACD 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则1220240n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2,x =则()2,2,1n = ()12,2,4BD =-- 设直线1BD 与平面1ACD 所成角为θ，则：111sin =cos ,n BD n BD n BD θ⋅=⋅ 所以直线1BD 与平面1ACD所成角的正弦值为9.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且右焦点为()1,0F .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点(2,0)Q ，若直线MQ 的斜率与直线NQ 的斜率互为相反数，求证:直线l 过定点.【正确答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据长短轴关系得a =，再利用1c =及,,a b c 关系即可得到椭圆方程；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程得()222214220k x kmx m +++-=，得到韦达定理式，根据0MQ NQ k k +=，化简得()()12122240kx x m k x x m +-+-=，将韦达定理式代入化简即可得到m k =-，则可得到定点坐标.【详解】（1）由椭圆C倍，可得a =．所以)222b c =+．又()1,0F，所以)221b =+，解得1b =．所以a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214220k x kmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，可得122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，由题知0MQ NQ k k +=，即()()()()121212121212122240222222kx x m k x x m y y kx m kx m x x x x x x +-+-+++=+==------，即()()12122240kx x m k x x m +-+-=，即()22222422402121m km k m k m k k --⋅+-⋅-=++，化简得244021k m k --=+，解得m k =-，∴直线l 的方程为()1y k x =-，故直线l 恒过定点()1,0.关键点睛：设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程得()222214220k x kmx m +++-=，则得到韦达定理式，根据0MQ NQ k k +=，则1212022y y x x +=--，展开化简得()()12122240kx x m k x x m +-+-=，再将韦达定理式代入m k =-，则可得到定点坐标.21．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12.（1）求a ，b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间.【正确答案】（1）112a b ==-，（2）单调减区间是()01，，单调增区间是()1+∞，.【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a ，b 的方程组，即可求得a ，b 的值.（2）将a ，b 的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.【详解】（1）函数2()ln f x ax b x =+，()2b f x ax x'=+ .又()f x 在1x =处有极值12，∴1(1)2(1)0f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，即120a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得112a b ==-.（2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，其定义域是()0+∞，，且1(1)(1)()x x f x x x x +-'=-=.令()0f x '=，解得1x =，=1x -（舍），由()0f x '<，得01x <<；由()0f x '>，得1x >.所以函数()y f x =的单调减区间是()01，，单调增区间是()1+∞，.本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.22．已知函数()e ax f x x =-．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：()1ln 1+-≥x ax f x ．【正确答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）求导，分0a =、0a >与a<0讨论求解单调性即可；（2）()1ln 1+-≥x ax f x 可转化为()1ln e 10e ax ax x x -+≥，令e ax t x =，即证明()1ln 100t t t -+≥>.设()()1ln 10g t t t t=-+>，利用导数求()g t 的最小值即可证明.【详解】（1）()()e e e 1ax ax ax f x ax ax '=--=-+，①当0a =时，()f x x =-，在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=，得1x a=-，当1x a<-时，()0f x ¢>；当1x a >-时，()0f x '<.③当a<0时，令()0f x '=，得1x a=-，当1x a<-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x ¢>.综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减；当a<0时，()f x 在1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）()1ln 1+-≥x ax f x ,即为1ln 1e ax x ax x +-≥-，即()1ln e 10e ax ax x x -+≥，令e ax t x =，可得0t >，即证明()1ln 100t t t-+≥>.设()()1ln 10g t t t t=-+>，则()22111t g t t t t -'=-=，当()0,1t ∈时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当()1,t ∈+∞时，()0g t '>，函数()g t 单调递增.所以()()1ln1110g t g ≥=-+=，即()1ln 100t t t-+≥>.所以()1ln 1+-≥x ax f x .结论点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2021年高二下学期期中统一考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1．复数z 满足z ＝2－i1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C.32－12iD.12＋32i 2.函数的单调减区间是（ ）A ．(0，2) B. (0，3) C. (0，1) D. (0，5)3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且BC 边经过椭圆的另外一个焦点，则△ABC 的周长是（ ）A ． B. C. D. 4. 变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.Z ＝yx，则Z 的最小值为（ ）A ．225B ．25 C ．1D ．5.在中，，那么A ＝（ ）A ． B. C. 或 D.6.函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如下图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为( )A. ⎣⎡⎦⎤－32，12∪[1,2)B.⎣⎡⎦⎤－1，12∪⎣⎡⎦⎤43，83C. ⎝⎛⎦⎤－32，－1∪⎣⎡⎦⎤12，43∪⎣⎡⎦⎤83，3D. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)7.“a ＞0”是“|a |＞0”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.下图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，……，第（670）个图案中的基础图形个数有( ) A 、xx B 、xx C 、xx D 、2011二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9. 抛物线的焦点坐标是_ _ _10. 命题：，则11. 若平面α，β的法向量分别为＝(－1,2,4)，＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为 12.13. 已知等比数列．．．．的公比q=2，其前4项和，则等于__ __ 14.已知，则函数的最大值是 。

马鸣风萧萧马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．（5分）=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的除法法则即可得到答案．解答：解：===，故选B．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题．2．（5分）函数f（x）=在（0，1）处的切线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先对函数f（x）=进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线f（x）=在点x=0处的切线斜率，进而可得到切线方程．解答：解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（x）|x=0=﹣1，切点坐标（0，1）∴切线方程为y﹣1=﹣（x﹣0），即x+y﹣1=0．故选A．点评：本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算．导数是由高等数学下放到高中数学的新内容，是高考的热点问题，每年必考，一定要强化复习．3．（5分）曲线y=x3﹣3x和y=x围成的面积为（）A．4B．8C．10 D．9考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3﹣3x与y=x的交点坐标为（0，0），（2，2），（﹣2，﹣2）曲线y=x3﹣3x与直线y=x在y轴右侧所围成的图形的面积是（x﹣x3+3x）dx=（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）=4，根据y=x3﹣3x与y=x都是奇函数，关于原点对称，y轴左侧的面积与第一象限的面积相等．∴曲线y=x3﹣3x与y=x所围成的图形的面积为2×4=8．故选B．点评：本小题考查根据定积分的几何意义，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了函数图象的对称性．4．（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f'（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．马鸣风萧萧解答：解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5．（5分）设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣2 B．都不小于﹣2C．至少有一个不大于﹣2 D．至少有一个不小于﹣2考点：反证法与放缩法．专题：证明题．分析：假设a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，得a++b++c+≤﹣6，因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，即a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．解答：解：假设a+，b+，c+都小于或等于﹣2，即a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，将三式相加，得a++b++c+≤﹣6，又因为a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+≤﹣6成立．故选C．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．6．（5分）设，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C．D．考点：函数的表示方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据题中所给式子，求出f（n+1）和f（n），再两者相减，即得到f（n+1）﹣f（n）的结果．解答：解：根据题中所给式子，得f（n+1）﹣f（n）=﹣（）=﹣=故选C．点评：本题考查函数的表示方法，明确从n到n+1项数的变化是关键，属于基础题．7．（5分）把15个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是（）A．56 B．72 C．28 D．63考点：计数原理的应用．专题：计算题；分类讨论；概率与统计．分析：由题意知，本题限制条件较多，故应采取分类的方法，可按1号球中的小球的个数分类计数，选出正确答案解答：解：由题意，可按1号盒中小球的个数进行分类，进行计数若1号盒中小球的个数为2，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到9个，共7种放法；若1号盒中小球的个数为3，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到8个，共6种放法；若1号盒中小球的个数为4，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到7个，共5种放法；若1号盒中小球的个数为5，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到6个，共4种放法；若1号盒中小球的个数为6，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到5个，共3种放法；若1号盒中小球的个数为7，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数可能为3到4个，共2种放法；若1号盒中小球的个数为8，三号中至少有四个球，所以此时二号盒中有球数只能为3个，共1种放法；综上，不同的放法种数是7+6+5+4+3+2+1=28种故选C点评：本题考查计数原理的应用，对于复杂问题的计数，找到合适的分类标准是准确计数的关键8．（5分）高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（）A．240 B．188 C．432 D．288考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，可先将两个音乐节目绑定，与另一个音乐节目看作两个元素，全排，由于三个音乐节目不能连排，故可按一个曲艺节目在此两元素之间与不在两元素之间分成两类分别记数，即可得到所有的排法种数，选出正确选项解答：解：由题意，可先将两个音乐节目绑定，共有=6种方法，再将绑定的两个节目看作一个元素与单马鸣风萧萧独的音乐节目全排有=2第三步分类，若1个曲艺节目排在上述两个元素的中间，则它们隔开了四个空，将两2个舞蹈节目插空，共有=12种方法；若1个曲艺节目排不在上述两个元素的中间，则它有两种排法，此时需要从两2个舞蹈节目选出一个放在中间避免3个音乐节目相连，有两种选法，最后一个舞蹈节目有三种放法综上，所以的不同排法种数为6×2×（1×12+2×2×3）=288故选D点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，解答的关键是熟练掌握计数的一些技巧及准确使用计数公式计数，本题是基础题，计算型9．（5分）的展开式中含x15的项的系数是（）A．17 B．﹣34 C．51 D．﹣18考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于15，求得r的值，即可求得展开式中的含x15的项的系数．解答：解：∵的展开式的通项公式为T r+1=•x18﹣r•3﹣r•=•，令18﹣=15，解得r=2，故展开式中含x15的项的系数是=17，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．10．（5分）（2013•宁波二模）设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则（）A．3f（ln2）＞2f（ln3）B．3f（ln2）=2f（ln3）C．3f（ln2）＜2f（ln3）D．3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：综合题；导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2）与g（ln3）的大小关系，整理即可得到答案．解答：解：令g（x）=，则=，因为对任意x∈R都有f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2＜ln3，所以g（ln2）＜g（ln3），即，所以，即3f（ln2）＜2f（ln3），故选C．点评：本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．11．（5分）把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，若a ij=2013，则i与j的和为（）A．105 B．103 C．82 D．81考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，前32个奇数行内数的个数的和为1024，得到2013在第32个奇数行内，且奇数从大到小排列，从而得到结果．解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，由2013=2×1007﹣1，得2013为第1007个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为1+3+…+61=961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2013在第32个奇数行内，所以i=63，且奇数从大到小排列因为第63行的第一个数为2×1024﹣1=2047，2013=2047﹣2（m﹣1），所以m=18，即j=18，所以i+j=81．故选D点评：本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）在1，2，3，4…14中任取4个数a1，a2，a3，a4且满足a4≥a3+4，a3≥a2+3，a2≥a1+2共有多少种不同的方法（）A．35 B．70 C．50 D．105考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：用列举法，由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥1，再分类列举，即可得到结论．解答：解：用列举法由题意，14≥a4≥10，10≥a3≥6，7≥a2≥3，5≥a1≥11、当a1=1时，a2=3时，a3=6时，a4可以取10，11，12，13，14，这5个数中的一个；a3=7时，a4可以取11，12，13，14这4个数中的一个；a3=8时，a4可以取12，13，14这3个数中的一个；马鸣风萧萧a3=9时，a4可以取13，14这2个数中的一个；a3=10时，a4=14共有1+2+3+4+5=15种情况．当a2=4时，同理可求有1+2+3+4=10种情况当a2=5时，同理可求有1+2+3=6种情况当a2=6时，同理可求有1+2=3种情况当a2=7时，同理可求有1种情况以上共有1+3+6+10+15=35种情况．2、当a1=2时，同理可求有1+3+6+10=20种情况3、当a1=3时，同理可求有1+3+6=10种情况4、当a1=4时，同理可求有1+3=4种情况5、当a1=5时，同理可求有1种情况总共有35+20+10+4+1=70情况．故选B．点评：本题考查计数问题，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二．填空题（共4小题，每题5分）13．（5分）若曲线y=e x+a与直线y=x相切，则a的值为﹣1．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求导函数，利用曲线y=e x+a与直线y=x相切，可知切线的斜率为1，得出切点的横坐标，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值．解答：解：设切点为（x，y），∵y=e x+a，∴y′=e x，∵直线y=x与曲线y=e x+a相切，∴e x=1，即x=0．∵切点处的函数值相等，∴e0+a=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．14．（5分）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=1．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中利用赋值法，分别令x=1可求a0+a1+a2+a3+a4，令x=﹣1可求a0﹣a1+a2﹣a3+a4），而（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4），代入可求解答：解：在（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中令x=1可得，a0+a1+a2+a3+a4=令x=﹣1可得，∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=•=1故答案为：1点评：本题主要考查了二项展开式中利用赋值法求解二项展开式的各项系数之和（注意是各项系数之和，要区别于二项式系数之和），解饿答本题还要注意所求式子的特点：符合平方差公式．15．（5分）=．考点：定积分．专题：计算题．分析：由于=+．前半部分由积分的几何意义求解较好，其几何意义是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积．解答：解：由于=+．其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x从1到3部分与x轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S△ACQ+S扇形ABQ+S△BDQ=++=+，又=6，∴=．故答案为：．点评：本题考查求定积分，解题的关键是掌握住求定积分的公式以及定积分的几何意义，对于有些原函数不易求出的积分的求解，用其几何意义比较方便．16．（5分）在等比数列{a n}中，若前n项之积为T n，则有．则在等差数列{b n}中，若前n 项之和为S n，用类比的方法得到的结论是S3n=3（S2n﹣S n）．马鸣风萧萧考点：类比推理．专题：压轴题；探究型．分析：由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．解答：解：在等差数列中S3n=S n+（S2n﹣S n）+（S3n﹣S2n）=（a1+a2+…+a n）++（S2n﹣S n）+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）因为a1+a3n=a2+a 3n﹣1=…=a n+a2n+1=a n+1+a2n所以S n+（S3n﹣S2n）=2（S2n﹣S n），所以S3n=3（S2n﹣S n）．故答案为：S3n=3（S2n﹣S n）．点评：本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）17．（10分）（1）6名身高互不相等的学生，排成三排二列，使每一列的前排学生比后排学生矮，有多少种不同的排法？（2）6本不同的书分给3名学生，每人至少发一本，共有多少种不同的分法？考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：（1）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可得到结论；（2）先分组，再分给3名学生，利用乘法原理，即可得到结论．解答：解：（1）从6人中任选2人排在第一列（前矮后高），有=15种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列（前矮后高），有=6种方法，最后剩余的两人排在第三列（前矮后高），有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有16×6=90；（2）先把6本书分成3组，包括1、1、4；1、2、3；2、2、2三种情况，共有=90种分法，再分给3名学生有=6种方法，故共有90×6=540种分法．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．18．（12分）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中项的系数最大的项．考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：（1）前三项系数的绝对值成等差数列，可得，由此解得n的值．（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，由此求得二项式系数最大的项．（3）研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，结合通项公式可得第三项的系数最大．解答：解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，∴，即n2﹣9n+8=0，解得n=8；（2）由于第r+1项的二项式系数为，故当r=4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为=．（3）先研究系数绝对值即可，，解得2≤r≤3，故系数最大的项为第三项，即．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．19．（12分）数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N）（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想通项公式a n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．分析：（I）根据S n=2n﹣a n，利用递推公式，求出a1，a2，a3，a4．（II）总结出规律求出a n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．解答：解：（Ⅰ）由a1=2﹣a1，得a1=1，由a1+a2=2×2﹣a2，得a2=，由a1+a2+a3=2×3﹣a3，得a3=，由a1+a2+a3+a4=2×4﹣a4，得a4=，猜想a n=（Ⅱ）证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，马鸣风萧萧（2）假设n=k时猜想成立，即a k=，此时S k=2k﹣a k=2k﹣，当n=k+1时，S k+1=2（k+1）﹣a k+1，得S k+a k+1=2（k+1）﹣a k+1，因此a k+1=[2（k+1）﹣S k]=k+1﹣（2k﹣）=，∴当n=k+1时也成立，∴a n=（n∈N+）．点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．20．（12分）证明：．考点：不等式的证明．专题：证明题．分析：利用数学归纳法的证题步骤证明即可．先证当n=1时，不等式成立；再假设当n=k时不等式成立，可以分析法去证明当n=k+1时不等式也成立即可．解答：证明：（ⅰ）当n=1时，T1==1，=，1＜，不等式成立；（ⅱ）假设当n=k时，T k＜，则当n=k+1时，T k+1=T k+＜+，要证：T k+1＜，只需证：+＜，由于﹣==＜，所以：+＜，于是对于一切的自然数n∈N*，都有T n＜．点评：本题考查不等式的证明，突出考查数学归纳法，考查分析法与综合法的应用，考查推理分析与证明的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（1）试讨论f（x）的极值（2）设g（x）=x2﹣2x+2，若对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．（2）将f（x1）＜g（x2）问题转化为求函数的最值问题．解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．当a＜0时，函数在x=﹣处取得极小值．无极大值．（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；当a＜0时，又g（x2）=x22﹣2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max⁡=g（0）=2．所以，解得a＜﹣e﹣3．所以，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣e﹣3）．点评：本题的考点是利用导数求函数的极值以及求函数的最大值最小值．22．（12分）（2013•宁波二模）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx．a∈R．（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；转化思想；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）a=﹣时求出f′（x），在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则问题等价于g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，求导数g′（x），按照a的范围分类进行讨论可得g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的最大值，由最大值情况即可求得a的范围；解答：解：（Ⅰ）（x＞0），马鸣风萧萧，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．（Ⅱ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则有g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立．求导得，①当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；②当时，，g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，此时不成立；③当，，则存在，有，所以不成立；综上得a≤0．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决，解决（Ⅱ）问的关键是正确理解题意并能合理进行转化．。

2021-2022年高二下学期期中考数学（理）试题含答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z=的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．利用数学归纳法证明“11113212224(,)n n Nn n n++>≥∍++”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是 ( ) A.增加 B.增加和C.增加，并减少D.增加和，并减少3．若个人报名参加项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A． B． C． D．4．若，则等于（）A．－2 B．－4 C．2 D．05．的展开式中，的系数等于，则等于（）A． B． C． D．6．3位数学家，4位物理学家，站成两排照像.其中前排3人后排4人，要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有（）A. 5040种B. 840种 C . 720种 D. 432种7．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（）A． B． C． D．8．已知展开式中常数项为5670，其中是常数，则展开式中各项系数的和是A．2 B．4 C．2或4 D．1或29．从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则＝（）A． B． C． D．10．在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语2名，日语2名，西班牙语1名.并且日语和俄语都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．20种 B．22 种C．24种D．36种11．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则的数学期望为（）A． B． C．2 D．12．设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题. （每小题5分，共20分）13．若，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|= ．14．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有__________种放法.15.．的展开式中含的项的系数是_______．16．已知可导函数的导函数满足，则不等式的解集是．三、解答题：17. （本题满分10分）已知函数，其中为常数．（1）当时，求的极值；（2）若是区间内的单调函数，求实数的取值范围．18. （本题满分12分）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积19.（本题满分12分）已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍；（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有的有理项.20.（本题满分12分）9．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为,至少一项技术指标达标的概率为.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.（1）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（2）任意依次抽出5个零件进行检测,求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（3）任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求Eξ与Dξ.21．（本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.22. （本题满分12分）已知函数．（1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若，求证：．1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．D7．A 8．C 9．B 10．C 11. A 12．C 13. 14. 150 15. 128 16.17. （1）当时，212x x1(2x1)(x1)f(x)2x1(x0)x x x--+-'=--==>所以在区间内单调递减，在内单调递增于是有极小值，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或解得实数的取值范围是18. 由，得交点为，由定积分的几何意义得，曲线，直线及轴所围成的图形的面积为．19.（1）由已知得：，（2）通项，展开式中系数最大的项是第3项（r=2）： （3）由（2）得：，即所以展开式中所有的有理项为：（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、 由题意得：1212125(1)(1)12111(1)(1)12P P P P P P ⎧⋅-+-⋅=⎪⎪⎨⎪--⋅-=⎪⎩ 解得：或， ∴.即，一个零件经过检测为合格品的概率为1/2（2）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为554555111312216C C ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）依题意知～B(4,1/2)，，21.（1）设事件为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . （2）依题意，的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， ， 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E .22.（1）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在上恒成立． 设，则．当时，；当时， ，所以，．要使恒成立，必须． 另一方面，当时，，要使恒成立，必须．所以，满足条件的的取值范围是．（2）当时，不等式等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-． 令，设，则，在上单调递增，，所以，原不等式成立．28296 6E88 溈21430 53B6 厶40629 9EB5 麵i27319 6AB7 檷32230 7DE6 緦h 38759 9767 靧/38397 95FD 闽21876 5574 啴23747 5CC3 峃=。

高二数学试题（理科）（本试卷满分150分，时间：120分钟） 一.选择题（每小题5分，共60分）1. 若i 是虚数单位，则复数2018(23)z i i =⋅-的虚部等于（ ）A. 2B. 3C. 3iD. 3-2.61()2x x +的展开式中，常数项等于（ ）A. 52B. 1516 C. 20 D. 1603. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）A. 类比推理B. 归纳推理C. 演绎推理D. 合情推理4. 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的发言顺序有（ ）A ．18种B ．12种C ． 432种D ．288种5. 若纯虚数z 满足(12)z i a i -=+,其中a R ∈,i 是虚数单位，则实数a 的值等于（ ）A. 2-B.12-C. 2D. 126. 若函数2()1x a f x x -=+在2x =-取得极值，则函数()f x 的单调递减区间是（ ） A.(,2)-∞-和(0,)+∞ B.(2,0)- C.(2,1)--和(1,0)- D. (2,1)--7. 在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3m n p rb b b b ++= B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p rb b b b = D.3m n p r b b b b =8. 若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数，则称该曲线为“升曲线”.已知函数()f x 定义域为R ，且满足'()()f x f x >，则下列曲线中是“升曲线”的是（ ）A. ()y xf x =B.()xy e f x = C. ()f x y x =D. ()xf x y e =9. 利用数学归纳法证明不等式1111++1()232nn n N n *+++<∈-的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边增加的项数为（ ）A.1B.21k -C. 2kD. k10．已知函数3()3f x x x m =-+，若方程()0f x =有两个相异实根12,x x ，且120x x +<，则实数m 的值等于（ ）A. 2-或2B. 2-C. 2D. 011. 已知03cos()2m x dx ππ=-⎰，则23)mx y z -+(的展开式中，2m x yz -项的系数等于（ ）A. 180B. 180-C. 90-D. 1512. 若直线y ax b =+与曲线()ln 1f x x =-相切，则ba 的最小值为（ ）A.21e -B. 2e -C. e -D. 1e -二.填空题（每小题5分，共20分）13. 若i 是虚数单位，复数z 满足121zii =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________.14.观察下列各式：11=，141123+=+，1131121232++=+++，111811212312345+++=++++++，由此可猜想，若1111+12123123+10m+++=++++++，则m =__________.15. 在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去,,A B C 三个不同的新节目，且插进的三个新节目按,,A B C 顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答)．16. 若函数21()ln 22f x x ax x=--存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是——————.三.解答题（共6小题，满分70分）17. （本小题满分10分）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且满足521i z z i ++=+.（I ）求复数z 的模||z ；（II ）若复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知01a b <<<. （I ）试猜想ln a b +与ln b a +的大小关系； （II ）证明（I ）中你的结论.19. （本小题满分12分）若(21)nx -的展开式中第3项的系数是第5项的系数的4倍.（I ）求n 的值； （II ）若2012(21)(45)(45)(45)n nn x a a x a x a x -=+-+-++-，求024na a a a ++++的值.20. （本小题满分12分）已知函数ax x e x f x --=2)(的图像在0=x 处的切线方程为2y x b =+.（I ）求实数,a b 的值；（II ）若函数'()1()f x g x x -=，求()g x 在(0,)+∞上的极值.21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足3(,,0)2n n S a b n N b R b *=+∈∈≠.（I ）求证：{}n a 是等比数列； （II ）求证：{}1n a +不是等比数列.22. （本小题满分12分）已知函数()()()2ln ,.f x a x xg x x =+=（I ）当2a =-时，求函数()()()h x f x g x =+的单调区间；（II ）当0a >时，若对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x ，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求实数a 的取值范围.高二数学试题（理科）参考答案及评分标准 一.选择题1.B2. A3. C4. D5. C6. C7. D8. D9. B 10. C 11. B 12. C 二.填空题13.(3,1)- 14. 2011 15. 165 16. (1,)-+∞三.解答题17. 解析：（I ）设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z x yi =-， ---------1分于是(5)(1)2()(1)(1)i i x yi x yi i i +-++-=+-，即332x yi i -=-， ---------3分所以332x y =⎧⎨-=-⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即12z i =+. ---------5分故||z ==. ---------6分 （II ）由（I ）得(2)(12)(2)(22)(4)z mi i mi m m i -=+-=++-， ---------8分 由于复数(2)z mi -在复平面内对应的点在第一象限，所以22040m m +>⎧⎨->⎩，解得14m -<<. ---------10分 18. 解：（I ）取211,a b e e ==，则21ln 1a b e +=-，1ln 2b a e +=-，则有ln ln a b b a +>+；再取3211,a b e e ==，则31ln 2a b e +=-，21ln 3b a e +=-，则有ln ln a b b a +>+.故猜想ln ln a b b a +>+. ---------4分（II ）令()ln f x x x =-，则'1()1f x x =-，当01x <<时，'1()10f x x =-<，即函数()f x 在(0,1)上单调递减， ---------7分 又因为01a b <<<，所以()()f a f b >，即ln ln a a b b ->-， ---------10分 故ln ln a b b a +>+. ---------12分19. 解：（I ）(21)nx -展开式的通项1(2)(1)(1)2r n r r r r n r n r r n n T C x C x ---+=-=-⋅，0,1,2,,r n=.---------1分因此第3项的系数是222(1)2n n C --,第5项的系数444(1)2n n C --, ---------3分于是有222(1)2n n C --4444(1)2n nC -=-, ---------4分整理得24n nC C =，解得6n =. ---------6分（II ）由（I ）知6260126(21)(45)(45)(45)x a a x a x a x -=+-+-++-.令451x -=，即32x =，得60123456264a a a a a a a ++++++==， ---------8分令451x -=-，即1x =，得6012345611a a a a a a a -+-+-+==， ---------10分两式相加得02462()65a a a a +++=，故0246652a a a a +++=. ---------12分20. 解析：（I ）因为，a x e x f x --='2)(所以a f -='1)0(. -----------2分于是由题知12a -=，解得1a =-. -----------4分因此x x e x f x +-=2)(，而1)0(=f ，于是b +⨯=021，解得1=b . ----------6分 （II ）由（I ）得'()12()x f x e x g x x x --==，所以'2(1)()x e x g x x -=， ----------8分令'()0g x =得1x =， 当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下：x(0,1)1 (1,)+∞'()g x-0 +()g x递减极小值递增------------10分 所以()g x 在1x =取得极小值(1)2g e =-，无极大值. ---------12分21. 证明：（I ）因为32n n S a b =+，所以当2n ≥时1132n n S a b--=+， ---------1分 两式相减得1133()()22n n n n S S a b a b ---=+-+，即13322n n n a a a -=-， ---------3分因此13nn a a -=， ---------4分故{}n a 是公比为3q =的等比数列. ---------5分（II ）(方法一)假设{}1n a +是等比数列，则有211(1)(1)(1)n n n a a a -++=++，即21111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------7分由（I ）知{}n a 是等比数列，所以211n n n a a a -+=，于是112n n n a a a -+=+，即11169n n n a a a ---=+，解得10n a -=，这与{}n a 是等比数列相矛盾， ---------11分故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分(方法二) 由（I ）知11132a S a b==+，所以12a b =-，因此123n n a b -=-⋅. ---------7分于是123112,116,1118a b a b a b+=-+=-+=-， ---------8分假设{}1n a +是等比数列，则有2213(1)(1)(1)a a a +=++， ---------10分即2(16)(12)(118)b b b -=--，解得0b =，这与0b ≠相矛盾， ---------11分 故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分22. 解析：（I ）当2a =-时，22()()()2(ln )22ln h x f x g x x x x x x x =+=-++=--，定义域为(0,)+∞.2'2222()22x x h x x x x --=--=. -----------2分令'()0h x >得210x x -->，解得12x +>，令'()0h x <得210x x --<，解得102x <<，因此()h x的单调递增区间是)+∞，单调递减区间是. ---------4分（II ）不妨设1212x x ≤<≤.因为0a >，所以()'1(1)0f x a x =+>，因此()f x 在[1,2]上单调递增，即12()()f x f x <.又因为2()g x x =在[1,2]上也单调递增，所以12()()g x g x <.所以不等式()()()()1212f x f x g x g x -<-即为2121()()()()f x f xg x g x -<-，即2211()()()()f xg x f x g x -<-， ------------7分设()()()F x f x g x =-，即2()ln F x ax a x x =+-，则21()()F x F x <，因此()F x 在[1,2]上单调递减.于是'()20aF x a x x =+-≤在[1,2]上恒成立，即221x a x ≤+在[1,2]上恒成立. -------------9分 令22()1x u x x =+，则2'224()0(1)x x u x x +=>+，即()u x 在[1,2]上单调递增，因此()u x 在[1,2]上的最小值为(1)1u =， ------------11分 所以1a ≤，故实数a 的取值范围是01a <≤. ------------12分。

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河北省蠡县中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理（扫描版)高二期中测试数学(理科)答案一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分请把正确答案填涂在答题卡上)1． B 2．A 3．A 4。

C. 5.D 6．B . 7．C 8．D 9．C 10． B. 11．D 12.．B ． 二、填空题（共4个小题，每题5分,共20分，请将正确答案填写在答题纸上） 13． 3 14．乙 15。

3- 16．），（22- 三、解答题（共6个大题， 70分,请写出正确的解题步骤17． 解：)1(将方程⎩⎨⎧=+=ay a x sin 42cos 4消去参数a 得012422=--+x y x ，所以曲线C 的普通方程为012422=--+x y x ，则曲线C 的极坐标方程为12cos 4-2=θρρ（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由⎪⎩⎪⎨⎧==612cos 4-2πθθρρ消去θ得012-32-2=ρρ， 根据题意可得12,ρρ是方程012-32-2=ρρ的两根, ∴12-322121==+ρρρρ，，∴1522)(2122121=-+==-ρρρρρρAB ． 18．解析：(Ⅰ) ()35f x x x =--+，①当3x ≥时, ()8f x =-，此时()2f x ≥无解；②当53x -＜＜时， ()22f x x =--，由()2f x ≥,解得52x -≤-＜; ③当5x ≤-时， ()8f x =，此时()2f x ≥恒成立,故可得5x ≤-． 综上2x ≤-．所以不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-．(Ⅱ）由(Ⅰ)可知()8,3,{22,53, 8,5,x f x x x x -≥=---<<≤-19。

2021年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数 (为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的 ( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．D ．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为( )二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C相切于第二象限的一点,直线与椭圆E交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ， 易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。