【数学】上海2016-2017年高三下七校联考试卷--2017.03

2017年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=________．2.若排列数 P 6m=6×5×4，则m=________．3.不等式x−1x＞1的解集为________．4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________．5.已知复数z 满足z+ 3z =0，则|z|=________． 6.设双曲线x 29﹣y 2b 2=1（b ＞0）的焦点为F 1、F 2 ， P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|=5，则|PF 2|=________．7.如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），则 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标是________．8.定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数，则f﹣1（x ）=2的解为________．9.已知四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x 12，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为________．10.已知数列{a n }和{b n }，其中a n =n 2 ， n ∈N * ， {b n }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N * ， {b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项，则lg(b 1b 4b 9b 16)lg(b 1b 2b 3b 4)=________．11.设a 1、a 2∈R ，且 12+sinα1+ 12+sin(2α2) =2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于________．12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1 ， P 2 ， P 3 ， P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ， 使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为________．二、选择题13.关于x 、y 的二元一次方程组 {x +5y =02x +3y =4 的系数行列式D 为（ ）A. |0543| B. |1024| C. |1523| D. |6054|14.在数列{a n }中，a n =（﹣ 12 ）n ， n ∈N * ， 则 lim n→∞a n （ ） A. 等于 −12 B. 等于0 C. 等于 12 D. 不存在15.已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn+c ，n ∈N * ， 则“存在k ∈N * ， 使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. a≥0 B. b≤0 C. c=0 D. a ﹣2b+c=0 16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三、解答题17.如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．（1）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.已知函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 ，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5，若f （A ）=0，求△ABC 的面积．19.根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n 和b n （单位：辆），其中a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量S n =﹣4（n ﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ： x 24+y 2 =1，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且|OP|= √2 ，求P 的坐标；（2）设P （ 85，35 ），若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AQ 的方程．21.设定义在R 上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1、x 2∈R ，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2）． （1）若f （x ）=ax 3+1，求a 的取值范围；（2）若f （x ）是周期函数，证明：f （x ）是常值函数；（3）设f （x ）恒大于零，g （x ）是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g （x ）的最大值．函数h （x ）=f （x ）g （x ）．证明：“h （x ）是周期函数”的充要条件是“f （x ）是常值函数”．答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】{3，4}【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】3【考点】排列及排列数公式【解析】【解答】解：∵排列数P6m=6×5×4，∴由排列数公式得P63=6×5×4，∴m=3．故答案为：m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．3.【答案】（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】解：由x−1x＞1得：1−1x >1⇒1x<0⇒x<0，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．4.【答案】9π【考点】简单空间图形的三视图【解析】【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得43πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 5.【答案】 √3【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：由z+ 3z =0， 得z 2=﹣3，设z=a+bi （a ，b ∈R ），由z 2=﹣3，得（a+bi ）2=a 2﹣b 2+2abi=﹣3，即 {a 2−b 2=−32ab =0，解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【分析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入z 2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案． 6.【答案】 11【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： x 29﹣y 2b 2=1，其中a= √9 =3， 则有||PF 1|﹣|PF 2||=6， 又由|PF 1|=5，解可得|PF 2|=11或﹣1（舍） 故|PF 2|=11， 故答案为：11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得||PF 1|﹣|PF 2||=6，解可得|PF 2|的值，即可得答案．7.【答案】 （﹣4，3，2） 【考点】空间中的点的坐标【解析】【解答】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点， 过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵ DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2）， ∴ AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，3，2) ． 故答案为：（﹣4，3，2）．【分析】由 DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为（4，3，2），分别求出A 和C 1的坐标，由此能求出结果． 8.【答案】 89 【考点】反函数【解析】【解答】解：若g （x ）= {3x −1，x ≤0f(x)，x >0为奇函数， 可得当x ＞0时，﹣x ＜0，即有g （﹣x ）=3﹣x ﹣1，由g （x ）为奇函数，可得g （﹣x ）=﹣g （x ），则g （x ）=f （x ）=1﹣3﹣x ， x ＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f （x ）的反函数为y=f ﹣1（x ），且f ﹣1（x ）=2，可由f （2）=1﹣3﹣2= 89 ，可得f ﹣1（x ）=2的解为x= 89 ． 故答案为： 89 ．【分析】由奇函数的定义，当x ＞0时，﹣x ＜0，代入已知解析式，即可得到所求x ＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 9.【答案】 13【考点】函数的图象，列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x ，②y=﹣ 1x ，③y=x 3 ， ④y=x12，从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C 42=6 ，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有： ①③，①④共2个，∴事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P （A ）= 26 = 13 ． 故答案为： 13 ．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n= C42=6，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．10.【答案】2【考点】数列递推式【解析】【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴b an = a bn= (b n)2．∴b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．∴b1b4b9b16= (b1b2b3b4)2．∴lg(b1b4b9b16)lg(b1b2b3b4)=2．故答案为：2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，可得b an=a bn= (b n)2．于是b1=a1=1，(b2)2=b4，(b3)2=b9，(b4)2=b16．即可得出．11.【答案】π4【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：α1=−π2+2k1π，k1∈Z．2α2=−π2+2k2π，即α2=−π4+k2π，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π −3π4，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π +3π4﹣（2k1+k2）π|的最小值为π4．故答案为：π4．【分析】由题意，要使12+sinα1+ 12+sin2α2=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值12.【答案】P1、P3、P4【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：设记为“▲”的四个点为A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形；如图所示，四边形ABCD两组对边中点的连线交于点P2，即符合条件的直线l P一定经过点P2，因此：经过点P2的直线有无数条；同时经过点P1和P2的直线仅有1条，同时经过点P3和P2的直线仅有1条，同时经过点P4和P2的直线仅有1条，所以符合条件的点为P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，让四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，那么该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和是相等的；由此得出结论．二、<b >选择题13.【答案】C【考点】二阶矩阵【解析】【解答】解：关于x、y的二元一次方程组{x+5y=02x+3y=4的系数行列式：D= |1523|．故选：C．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．14.【答案】B【考点】极限及其运算【解析】【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣12）n，n∈N*，则limn→∞a n= limn→∞(−12)n=0．故选：B．【分析】根据极限的定义，求出limn→∞a n= limn→∞(−12)n的值．15.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：存在k∈N*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2[a（200+k）2+b（200+k）+c]=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0．∴使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a≥0．故选：A ．【分析】由x 100+k ， x 200+k ， x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ， 代入化简即可得出． 16.【答案】 D【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆C 1：x 236+y 24=1和C 2：x 2+y 29=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则 OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =w}中的元素有无穷多对． 另解：令P （m ，n ），Q （u ，v ），则m 2+9n 2=36，9u 2+v 2=9， 由柯西不等式（m 2+9n 2）（9u 2+v 2）=324≥（3mu+3nv ）2 ， 当且仅当mv=nu ，即O 、P 、Q 共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P 、Q 有无穷多对，D 项正确． 故选：D ．【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 三、<b >解答题17.【答案】 （1）解：∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积： V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 = 12×4×2×5 =20（2）解：连结AM ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M 是BC 中点， ∴AA 1⊥底面ABC ，AM= 12BC =12√16+4 = √5 ， ∴∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角， tan ∠A 1MA=AA 1AM= √5= √5 ，∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan √5 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角【解析】【分析】（1）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×AA 1= 12×AB ×AC ×AA 1 ，由此能求出结果．（2）连结AM ，∠A 1MA 是直线A 1M 与平面ABC 所成角，由此能求出直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小． 18.【答案】 （1）解：函数f （x ）=cos 2x ﹣sin 2x+ 12 =cos2x+ 12 ，x ∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣ 12 π≤x≤kπ，k ∈Z ， k=1时， 12 π≤x≤π，可得f （x ）的增区间为[ π2 ，π）（2）解：设△ABC 为锐角三角形， 角A 所对边a= √19 ，角B 所对边b=5， 若f （A ）=0，即有cos2A+ 12 =0， 解得2A= 23 π，即A= 13 π， 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 化为c 2﹣5c+6=0， 解得c=2或3，若c=2，则cosB= 2×√19×2 ＜0， 即有B 为钝角，c=2不成立， 则c=3，△ABC 的面积为S= 12 bcsinA= 12 ×5×3× √32=15√34【考点】三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f （A ）=0，解得A ，再由余弦定理解方程可得c ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 19.【答案】 （1）解：∵a n = {5n 4+15，1≤n ≤3−10n +470，n ≥4 ，b n =n+5∴a 1=5×14+15=20 a 2=5×24+15=95 a 3=5×34+15=420 a 4=﹣10×4+470=430 b 1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935（2）解：令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤ 46511，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等比数列，∴到第42个月底，单车保有量为a4+a422×39+535﹣b1+b422×42= 430+502×39+535﹣6+472×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量【考点】函数模型的选择与应用【解析】【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．20.【答案】（1）解：设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：x24+y2=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|= √2，∴联立{x24+y2=1x2+y2=2，解得P（2√33，√63）（2）解：设M（x0，0），A（0，1），P （ 85，35 ），若∠P=90°，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ • PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即（x 0﹣ 85 ，﹣ 35 ）•（﹣ 85 ， 25）=0， ∴（﹣ 85 ）x 0+ 6425 ﹣ 625 =0，解得x 0= 2920 ．如图，若∠M=90°，则 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即（﹣x 0 ， 1）•（ 85 ﹣x 0 ， 35）=0， ∴ x 02−85x 0+35 =0，解得x 0=1或x 0= 35 ， 若∠A=90°，则M 点在x 轴负半轴，不合题意．∴点M 的横坐标为 2920 ，或1，或 35（3）解：设C （2cosα，sinα），∵ AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A （0，1）， ∴Q （4cosα，2sinα﹣1），又设P （2cosβ，sinβ），M （x 0 ， 0），∵|MA|=|MP|，∴x 02+1=（2cosβ﹣x 0）2+（sinβ）2 ，整理得：x 0= 34 cosβ，∵ PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1）， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣ 54 cosβ，﹣sinβ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣ 43 cosα，且sinα= 13 （1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα= 23 ，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC 的斜率k AC =﹣ 1−sinα2cosα = √510（负值已舍去），如图．∴直线AQ 为y= √510x+1．【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立{x24+y2=1x2+y2=2，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（85，35），由∠P=90°，求出x0= 2920；由∠M=90°，求出x0=1或x0= 35；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0= 34cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣43cosα，且sinα= 13（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．21.【答案】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证【考点】函数的周期性【解析】【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．。

2017年普通高等学校招生统一考试数学（上海卷）试题一、单选题1．关于、的二元一次方程组的系数行列式为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式，故选C. 2．在数列中，，，则（）A. 等于B. 等于0C. 等于D. 不存在【答案】B【解析】数列中，，则，故选B.3．已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】存在，使得成等差数列，可得，化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.4．在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为（）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个【答案】D【解析】椭圆和，为上动点，为上动点，可设，，则，当时，取得最大值，则在上，在上，且中的元素有无穷对对，故选D.二、填空题5．已知集合，集合，则________【答案】【解析】，6．若排列数，则________【答案】3【解析】由，所以，解得.7．不等式的解集为________【答案】【解析】由题意，不等式，得，所以不等式的解集为. 8．已知球的体积为，则该球主视图的面积等于________【答案】【解析】由球的体积公式，可得，则，所以主视图的面积为. 9．已知复数满足，则________【答案】【解析】由复数满足，则，所以，所以.10．设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则________【答案】11【解析】由双曲线的方程，可得，根据双曲线的定义可知，又因为，所以.11．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【答案】【解析】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为的坐标为，所以,所以.12．定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________【答案】-8【解析】由，则，所以的解为.13．已知四个函数：①；②；③；④. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为________【答案】【解析】由四个函数①；②；③；④，从中任选个函数，共有种，其中“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”共有①③、①④，共有种，所以“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.14．已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________【答案】2【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，则，则所以，所以.15．设、，且，则的最小值等于________【答案】【解析】由三角函数的性质可知，，所以，即，所以，所以.16．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“ ”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“ ”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________【答案】、【解析】设记为“ ”的四个点是,线段的中点分别为，易知为平行四边形，如图所示；又平行四边形的对角线交于点，则符合条件的直线一定过点，且过点的直线有无数条；由过点和的直线有且仅有1条，过和的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是，.三、解答题17．如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设M是BC中点，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）20;（2）【解析】试题分析：（1）三棱柱的体积，由此能求出结果；（2）连结是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的大小.试题分析：（1）（2），线面角为18．已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC 的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为19．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析：（1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.（1）若在第一象限，且，求的坐标；（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设，联立方程组，能求出点坐标.（2）设，由，求出；由，求出或；由，则点在轴负半轴，不合题意，由此能求出点的横坐标.（3）设根据向量，代入椭圆的方程，求得，得到的坐标，直线的方程.试题分析：（1）联立与，可得（2）设，或（3）设，线段的中垂线与轴的交点即，∵，∴，∵，∴，代入并联立椭圆方程，解得，，∴，∴直线的方程为21．设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有. （1）若，求的取值范围；（2）若为周期函数，证明：是常值函数；（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由，可得函数是一个不递减函数，得，即可求解实数的取值范围；（2）利用反证法，假设不是常值函数，令，且存在一个，使得，由函数的性质得到，从而得出矛盾，即可作出证明；（3）充分性及必要性的证明：类似(2)证明充分性；再证必要性，然后分类证明即可.试题分析：（1）因为对于任意的，当时，都有，即可知道函数是一个不递减的函数，即.若，其导函数为，可以得到.（2）假设不是常值函数，并且其周期为.令，且存在一个，使得.由于的性质可知，，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数.必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.点睛：本题考查抽象函数的新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可，着重考查了逻辑思维能力与理论运算能力，及分类讨论的数学思想方法，试题难度较大，属于难题.。

上海市十二校2017届高三下学期3月联考数学试卷一、填空题1. 已知集合(){}|lg 2A x y x ==-，集合{|B y y ==，则A B = .2. 若不等式162x a<-的解集为()1,-+∞，则实数a = .3.函数()()22f x x x =<-的反函数是 .4.若()1i i 2i(,,i a b a b +=-∈R 是虚数单位），则i a b += .5．如图是底面半径为1，母线长为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为 .6.若圆221x y +=与直线2x a t y t=+⎧⎨=⎩（参数t ∈R ）相切，则实数a = .7.变量,x y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值是 .8.{}n a 是无穷数列，若{}n a 是二项式()()12nx n *+∈N 展开式各项系数和，则12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 9.如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A ,点B ,C 在圆O 上，圆C 在第一象限，且43,,,1,55B AOC BC α⎛⎫-∠== ⎪⎝⎭则5cos 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭α .10.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色至少1张，则不同取法的种数为 .11.如图，已知点()2,0P ，且正方形ABCD 内接于22:1,,O x y M N +=分别为边AB ,BC的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是为 .12.已知函数()()sin 0,,24f x x x ππ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭ωϕωϕ为()f x 的零点，4x π=为函数()y f x =的对称性，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为 .二、选择题：13．已知二元一次方程组的增广矩阵为421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m的值为( )A. 2m =±B. 2m =C. 2m =-D. 2m ≠±14．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是( )15．已知动点(),P x y 满足3411x y =+-，则点P 的轨迹是( )A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D.椭圆16．已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量均由1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344min ,S x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数为（ ）①S 有3个不同的值；②若a b ⊥，则min S 与b 无关；③若//a b ，则min S 与b 无关；④若2min 2,4b a S a ==，则a 与b 的夹角为3π A. 0B. 1C. 2D. 3三、解答题：解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12,1,AA AB E ==是1DD 上的一点,求：（1）异面直线AC 与1B D 所成的角；（2）若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积18.已知函数())1cos cos ,,02f x x x x x =+-∈>R ωωωω，若()f x 的最小正周期为4.π（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为(),0F c ，点2,3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上： （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，点M 在椭圆C 上,坐标原点O 恰好为ABM ∆的重心，求直线l 的方程.20.已知函数()42xxf x =-，实数,s t 满足()()0,22,2sts tf s f t a b ++==+=.（1）当函数()f x 的定义域为[]1,1-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =，并求函数()g a 的定义域D ；（3）在（2）的结论中，对任意1x D ∈，都存在[]21,1x ∈-，使得()()12g x f x m =+成立，求实数m 的取值范围.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22n n S a n *=-∈N . （1）求数{}n a 列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1312231121212121n nn n b b b b a +=-+-+-++++，求{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设2nn n c b λ=+，问是否存在实数λ，使得数列{}()n c n *∈N 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.。

2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= 2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即n可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于 B．等于0 C．等于D．不存在【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（s inα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。

2016-2017学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数 学 试 卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．1．设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A I _____________．2．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω____________． 3．设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________． 4．若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．5．已知nb a )3(+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n ______．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm 、圆心角为︒270的扇形，则这个圆锥的体积为_____________3cm ． 8．若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++Λ（*N ∈n ），则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→1321lim212n a a a n n n Λ_____________． 9．如图，在△ABC 中，︒=∠45B ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，7=AC ，3=DC ，则AB 的长为_____________．10．有以下命题：① 若函数)(x f 既是奇函数又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{；② 若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；③ 若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数；④ 若函数)(x f 存在反函数)(1x f-，且)(1x f -与)(x f 不完全相同，则)(x f 与)(1x f -图像的公共点必在直线x y =上．其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．11．设向量)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，其中O 为坐标原点，0>a ，0>b ，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值为____________． 12．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为__________cm ．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．“2<x ”是“24x <”的……………………………………………………………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件14．若无穷等差数列}{n a 的首项01<a ，公差0>d ，}{n a 的前n 项和为n S ，则以下结论中一定正确的是……………………………………………………………………………（ ）（A ）n S 单调递增 （B ）n S 单调递减 （C ）n S 有最小值 （D ）n S 有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使23cos sin =+αα； （2）直线2π-=x 是函数x y sin =图象的一条对称轴；（3）)cos(cos x y =（R ∈x ）的值域是]1,1[cos ；（4）若α，β都是第一象限角，且βα>，则βαtan tan >．其中正确命题的序号为……………………………………………………………………（ ）（A ）（1）（2） （B ）（2）（3） （C ）（3）（4） （D ）（1）（4）16．如果对一切正实数x ，y ，不等式yx a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34, （B ）),3[∞+ （C ）]22,22[- （D ）]3,3[- 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求三棱锥BCD A -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且72cos 22sin 82=-+A C B ． （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，3=+cb ，求b 和c 的值． 19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为)2,1(，曲线OD 是函数2ax y =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数b kx y +=（0>k ）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区．（1）求证：28k b =-； （2）设点P 的横坐标为t ，① 用t 表示M ，N 两点的坐标；② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数)(t S S=，并求S 的最大值．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数3329)(+⋅-=x x a x f ．（1）若1=a ，]1,0[∈x ，求)(x f 的值域；（2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最小值)(a h ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3>>m n ；② 当)(a h 的定义域为],[n m 时，其值域为],[22n m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知无穷数列}{n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：a a =1，11-=+n n n a a rS ，其中1≠a ，常数r N ∈．（1）求证：n n a a -+2是一个定值；（2）若数列}{n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*N ∈n ，都有n T n a a =+成立，则称}{n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列}{n a 是各项均为有理数的等差数列，132-⋅=n n c （*N ∈n ），问：数列}{n c 中的所有项是否都是数列}{n a 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．2016学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．1．}2{ 2．2 3．53 4．3 5．6 6．60 7．π873 8．2 9．265 10．① ② 11．8 12．13 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．B 14．C 15．B 16．D三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．（1）因为⊥AB 平面BCD ，所以ADB ∠就是AD 与平面BCD 所成的角，即︒=∠30ADB ，且AB 为三棱锥BCD A -的高． …………………………（2分）由2==BC AB ，得32=BD ，又由CD BC ⊥，得22=CD ． …………（3分） 所以，324213131=⋅⋅⋅⋅=⋅=∆AB CD BC h S V BCD ． ……………………（5分） （2）取AB 中点E ，连结EM ，EC ，则EM ∥AD ，所以EMC ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分）在△EMC 中，2=EM ，3=CM ，5=EC ， …………………………（3分）所以，633225342cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠CM EM EC CM EM EMC ， ……………………（6分） 即63arccos =∠EMC ． 所以异面直线AD 与CM 所成角的大小为63arccos． ……………………（7分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由72cos 22sin 82=-+A C B ，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，……（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分） 所以，21cos =A ，3π=A ． …………………………………………………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（2分）33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ……………………………………（4分）由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解得⎩⎨⎧==,1,2c b 或⎩⎨⎧==.2,1c b ………………………………（8分） 19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．（1）将)2,1(D 代入2ax y =得，2=a， 所以二次函数的解析式为22x y =（10≤≤x ）， …………………………（2分） 由⎩⎨⎧=+=,2,2x y b kx y 得022=--b kx x ， …………………………………………（3分） 由题意，△082=+=b k ，所以82k b -=． ……………………………………（5分） （2）① 由（1），一次函数的解析式为82k kx y -=， …………………………（1分） 因为直线过点)2,(2t t P ，所以8222k kt t -=，解得t k 4=，故22t b -=．…………（2分） 所以一次函数为224t tx y -=，令0=y ，得2t x =，即⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2t M ， ………………（3分） 令2=y ，得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t x 121，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,121t t N ． ………………………………（5分） ② 22||t MA -=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=t t NB 1212||， …………………………………………（1分） 当点N 与点B 重合时，22242=-⋅t t ，解得32-=t ，所以)1,32(-∈t ． 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+⋅=t t AB NB MA t S 214|||)||(|21)(，)1,32(-∈t ．…………（4分）因为221≥+t t ，当且仅当22=t 时取等号，所以当且仅当22=t （km ），时)(t S 取最大值)24(-（2km ）． ………………………………………………（6分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）当1=a 时，由3329+⋅-=x x y ，得2)13(2+-=x y ， ………………（2分）因为]1,0[∈x ，所以]3,1[3∈x ，]6,2[∈y ． …………………………………（4分） （2）令t x =3，因为]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t ，函数)(x f 可化为 2223)(32)(a a t at t t g -+-=+-=． …………………………………………（2分） ① 当31<a 时，3292831)(a g a h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=； …………………………………………（3分） ② 当331≤≤a 时，23)()(a a g a h -==； …………………………………………（4分） ③ 当3>a 时，a g a h 612)3()(-==． ……………………………………………（5分）综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<-=.3.612,331,3,31,32928)(2a a a a a a a h ………………………………………………（6分） （3）因为3>>m n ，a a h 612)(-=为减函数，所以)(a h 在],[n m 上的值域为)](,)([m h n h ， …………………………………………（2分）又)(a h 在],[n m 上的值域为],[22n m ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧==,)(,)(22n m h m n h 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,612,61222n m m n …（3分） 两式相减，得))(()(622n m n m n m n m -+=-=-，因为3>>m n ，所以6=+n m ，而由3>>m n 可得6>+n m ，矛盾．所以，不存在满足条件的实数m 、n ． …………………………………………（6分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由11-=+n n n a a rS ①， 得1211-=+++n n n a a rS ②②－①，得)(211n n n n a a a ra -=+++， ………………………………（2分）因为0>n a ，所以r a a n n =-+2（定值）． ………………………………（4分）（2）当1=n 时，a a =1，故12-=aa ra ，a r a ra a 112+=+=， ……………（1分） 根据（1）知，数列}{n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是r ，所以， r n a a n )1(12-+=-，nr a a n +=12， …………………………………………（3分） 当0>r 时，}{n a 的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， …………（4分） 所以0=r ，所以a a n =-12，aa n 12=，所以，数列}{n a 是周期数列，其最小周期为2． ……………………………………………………（6分） （3）因为数列}{n a 是有理项等差数列，由a a =1，r a a +=12，r a a +=3，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++r a r a a 12，整理得0222=--ra a ， 得4162++=r r a （负根舍去），……………………………………………………（1分） 因为a 是有理数，所以162+r是一个完全平方数，设2216k r =+（*N ∈k ）， 当0=r时，1=a （舍去）． ……………………………………………………（2分） 当0>r 时，由2216k r =+，得16))((=+-r k r k ，由于r ，*N ∈k ，所以只有3=r，5=k 符合要求， …………………………（4分） 此时2=a ，数列}{n a 的公差232==r d ，所以213+=n a n （*N ∈n ）．…………（6分) 对任意*N ∈n ，若132-⋅=n n c 是数列}{n a 中的项，令m n a c =，即213321+=⋅-m n ， 则31341-⋅=-n m ，1=n 时，1=m ，2=n 时，*311N ∉=m ，故2c 不是数列}{n a 中的项． …………………………………………………（8分）。

上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{3,4}解析：利用交集定义直接求解。

【考点】交集的求法。

2.【答案】3m =解析：36654P =⨯⨯，故3m =.【考点】实数值的求法。

3.【答案】(,0)-∞【解析】由11x x -＞得：11110x x x ->⇒⇒＜0＜。

【考点】解分式不等式4.【答案】9π【解析】代解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得34π36π3R =，可得3R =，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为2π9πR =．故答案为：9π．【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。

5.【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【考点】复数代数形式的乘除运算。

6.【答案】11【解析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得12||||||6PF PF -=，解可得2||PF 的值，即可得答案．【考点】双曲线的几何性质。

7.【答案】(4,3,2)-【解析】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为(4,3,2)，∴(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，∴1(4,3,2)AC =-.故答案为：(4,3,2)-．【考点】空间向量的坐标的求法。

8.【答案】89【解析】由奇函数的定义，当0x ＞时，0x -＜，代入已知解析式，即可得到所求0x ＞的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值.【考点】函数的奇偶性和运用。

9.【答案】13【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数246n C ==，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【考点】概率的求法。

上海2016-2017年高三下十二校联考数学试卷2017.03一. 填空题1. 已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，集合{|B y y ==，则A B =2. 若不等式162xa<-的解集为(1,)-+∞，则实数a =3. 函数2()f x x =(2)x <-的反函数是 4. 若(1)2ai i bi +=-(,a b R ∈，i 是虚数单位)， 则||a bi +=5. 如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和 圆柱的组合体，则该组合体体积为6. 若圆221x y +=与直线2x a ty t=+⎧⎨=⎩（参数t R ∈）相切，则实数a =7. 变量x 、y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值是8. {}n a 是无穷数列，若{}n a 是二项式(12)nx +*()n N ∈展开式各项系数和，则12111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 9. 如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A ，点B 、C 在圆O 上，点C 在第一象限， 且43(,)55B -， AOC α∠=，1BC =，则5cos()6πα-= 10. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要 求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色至多1张，则不同取法的种数为 11. 如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于22:1O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅ 的取值范围为12. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为二. 选择题13. 已知二元一次方程组的增广矩阵为421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m的值为（ ）A. 2m =±B. 2m =C. 2m =-D. 2m ≠±14. 一个几何体的主视图和左视图如图所示， 则这个几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.15. 已知动点(,)P x y 满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（ ） A. 直线 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆16. 已知两个不相等的非零向量a 、b ，两组向量1x 、2x 、3x 、4x 和1y 、2y 、3y 、4y 均 由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能 取值中的最小值，则下列命题中正确的个数是（ ）① S 有3个不同的值；② 若a b ⊥，则min S 与||b 无关；③ 若a ∥b ，则min S 与||b 无关； ④ 若||2||b a =，2min 4||S a =，则a 与b 的夹角为3π； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3三. 解答题17. 长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AA =，1AB =，E 是1DD 上的一点；（1）求异面直线AC 与1B D 所成的角；（2）若1B D ⊥平面ACE ，求三棱锥A CDE -的体积；18.已知函数1()cos )cos 2f x x x x ωωω=+-，x R ∈，0ω>，若()f x 的最小正 周期为4π；（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=， 求函数()f A 的取值范围；19. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(2,0)F，点P 在椭圆上； （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点M 在椭圆C 上，坐标原点O 恰为△ABM 的重心，求直线l 的方程；20. 已知函数()42xxf x =-，实数s 、t 满足()()0f s f t +=，22s t a =+，2s tb +=；（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =，并求函数()g a 的定义域D ；（3）在（2）的结论中，对任意1x D ∈，都存在2[1,1]x ∈-，使得12()()g x f x m =+成立， 求实数m 的取值范围；21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-*()n N ∈； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1312231(1)21212121n n n n b b b b a +=-+-⋅⋅⋅+-++++，求{}n b 通项公式； （3）在（2）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ，使得数列{}n c *()n N ∈是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由；参考答案一. 填空题1. 已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，集合{|B y y ==，则A B =【解析】A ：20x ->，2x <，B ：0y ≥，∴[0,2)A B =2. 若不等式162x a<-的解集为(1,)-+∞，则实数a =【解析】26ax +<，4ax <，4a =- 3. 函数2()f x x =(2)x <-的反函数是【解析】1()fx -=(4)x >4. 若(1)2ai i bi +=-(,a b R ∈，i 是虚数单位)，则||a bi += 【解析】2a i bi -+=-，2a =-，1b =-，||a bi +=5. 如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和 圆柱的组合体，则该组合体体积为【解析】2V π= 6. 若圆221x y +=与直线2x a ty t =+⎧⎨=⎩（参数t R ∈）相切，则实数a =【解析】22y x a =-，数形结合，或联立0∆=，或点到直线距离等于1，求出a =7. 变量x 、y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22z x y =+的最大值是【解析】画出可行域，如图，可知在(2,2)-和(2,2)-- 处取到最大值，最大值为88. {}n a 是无穷数列，若{}n a 是二项式(12)nx +*()n N ∈展开式各项系数和，12111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 【解析】3nn a =，12111113lim()1213n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-9. 如图，圆O 与x 轴正半轴交点为A ，点B 、C 在圆O 上，点C 在第一象限，且43(,)55B -， AOC α∠=，1BC =，则5cos()6πα-= 【解析】3sin()35πα-=，∴53cos()cos[()]sin()63235ππππααα-=-+=--=-10. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要 求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色至多1张，则不同取法的种数为【解析】33121641244472C C C C --=11. 如图，已知点(2,0)P ，且正方形ABCD 内接于22:1O x y +=，M 、N 分别为边AB 、BC 中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅ 的取值范围为【解析】可知,M N 在圆2212x y +=上，设(,)22M θθ，则N 的坐标为cos(),sin())2222ππθθ++，化简后为(,)22N θθ-，点(2,0)P ，所以2(2,)(,cos )[2222PM ON θθθθθ⋅=-⋅-=∈ 12. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ>≤，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ单调，则ω的最大值为【解析】21242k ππω+⨯=，21k ω=+，且12ππω≥，12ω≤，经检验，ω的最大值为9二. 选择题13. 已知二元一次方程组的增广矩阵为421m m mm +⎛⎫⎪⎝⎭，若此方程组无实数解，则实数m 的值为（ ）A. 2m =±B. 2m =C. 2m =-D. 2m ≠±【解析】2m =时无数解，选C14. 一个几何体的主视图和左视图如图所示， 则这个几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D. 【解析】A 是直三棱柱，B 是圆柱，C 是正方体，选D15. 已知动点(,)P x y 满足|3411|x y =+-，则点P 的轨迹是（ ）A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 椭圆|3411|5x y+-=，表示点(,)x y到(1,2)的距离等于到直线34110x y+-=的距离，因为(1,2)在直线34110x y+-=，所以选A16. 已知两个不相等的非零向量a、b，两组向量1x、2x、3x、4x和1y、2y、3y、4y均由2个a和2个b排列而成，记11223344S x y x y x y x y=⋅+⋅+⋅+⋅，minS表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中正确的个数是（）①S有3个不同的值；②若a b⊥，则minS与||b无关；③若a∥b，则minS与||b无关；④若||2||b a=，2min4||S a=，则a与b的夹角为3π；A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】三个值为2222a b+、222a b a b++⋅、4a b⋅，min4S a b=⋅，①②④正确，选D三. 解答题17. 长方体1111ABCD A B C D-中，底面ABCD是正方形，12AA=，1AB=，E是1DD上的一点；（1）求异面直线AC与1B D所成的角；（2）若1B D⊥平面ACE，求三棱锥A CDE-的体积；【解析】（1）AC⊥平面1B BD，AC⊥1B D，异面直线AC与1B D所成的角为2π；（2）由题得，1A D AE⊥，∴:1:2ED AD=，∴12ED=，111132212V=⨯⨯=18. 已知函数1()cos)cos2f x x x xωωω=+-，x R∈，0ω>，若()f x的最小正周期为4π；（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足(2)cos cosa c Bb C-=，求函数()f A的取值范围；【解析】211()cos cos2cos2sin(2)226f x x x x x x xπωωωωωω=+-=+=+ 4Tππω==，14ω=，1()sin()26f x xπ=+（1）1222262k x k πππππ-+≤+≤+，解得增区间为42[4,4]33k k ππππ-++，k Z ∈（2）由正弦定理可化简已知条件得1cos 2B =，∴3B π=，203A π<<，023A π<<6262A πππ<+<，1sin()1226A π<+<，即函数()f A 取值范围1(,1)219. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(2,0)F，点(2,3P 在椭圆上； （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，点M 在椭圆C 上，坐标原点O 恰为△ABM 的重心，求直线l 的方程；【解析】（1）224a b -=，224213a b+=，解得22162x y +=；（2）2)y x =-； 20. 已知函数()42x xf x =-，实数s 、t 满足()()0f s f t +=，22s t a =+，2s tb +=；（1）当函数()f x 的定义域为[1,1]-时，求()f x 的值域； （2）求函数关系式()b g a =，并求函数()g a 的定义域D ；（3）在（2）的结论中，对任意1x D ∈，都存在2[1,1]x ∈-，使得12()()g x f x m =+成立， 求实数m 的取值范围； 【解析】（1）1[,2]4-；（2）(1,2]； （3）21()()2g x x x =-，()(0,1]g x ∈，1()[,2]4f x ∈-，∴524m -<≤； 21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-*()n N ∈； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1312231(1)21212121n n n n b b b b a +=-+-⋅⋅⋅+-++++，求{}n b 通项公式； （3）在（2）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ，使得数列{}n c *()n N ∈是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由；【解析】（1）2nn a =；（2）132b =，当2n ≥，1(1)(1)2n n n b =-+；（3）12832(,)3519-；。

2016学年第二学期高三数学教学质量检测2017.4一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}|0A x x =>，集合{}|1B x x =<，则A B =I .2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = .3.函数()sin 2cos 2cos sin xx f x x x =的最小正周期为 .4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程为3y x =，则a = . 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 .6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 .8.已知函数()22,0log ,01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 9.设多项式()()()()2311110,nx x x x x n N *++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为n T ，则2lim n n T n →∞= . 10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .11.已知向量()(),,,m x y n x y ==-u r r ，P 为曲线()10m n x ⋅=>u r r 上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 . 12.设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为 .二、选择题：13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④ 15．如图，在同一平面内，点P 位于两平行线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3，点M,N 分别在12,l l 上，8PM PN +=u u u u r u u u r 则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为A. 15B. 12C. 10D. 916．若存在t R ∈与正数，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x x λ+=>，若对于任意2,6t ∈总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D.[]1,4三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.18.（本题满分14分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r 为值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()()2112,0f x a R a a a x =+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这类,a k 均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若11,2a k ==-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分16分）设T R ⊂，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合.同时称M 为集合T 的上界.（1）设12211|,,|sin 212x x A y y x R A x x ⎧⎫-⎧⎫==∈=>⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭，试判断12,A A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===L ，若1,,4m R u ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}|n B f x n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围； （3）设,,a b c 均为正数，将()()()222,,a b b c c d ---中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222|d C y y a b c ⎧⎫==⎨⎬++⎩⎭，,,a b c 均为正数的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.。