最新不确定度与数据处理word版本
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测量的不确定度与数据处理1.1测量、测量误差与误差处理1.测量与测量误差1)直接测量与间接测量直接测量:是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。
间接测量:是先用直接测量的方法测出几个物理量,然后代入公式计算得到所需物理量。
2)等精度测量和不等精度测量等精度测量:对某一物理量进行多次测量时,如果测量条件保持不变(同一的测量者、仪器、方法及相同的外部环境),这样进行的重复测量称为等精度测量。
不等精度测量:如果测量条件中,一个或几个发生了变化,这时所进行的测量称为不等精度测量。
3)测量误差真值:在一定条件下,任何待测物理量都是客观存在的,不依人的意志为转移的确定值。
测量误差:测量结果与真值之间的差值。
它反映了测量结果的准确程度,可用绝对误差表示,也可用相对误差表示:绝对误差=测量结果-被测量的真值()00100⨯=被测量真值绝对误差相对误差E2.误差分类 1)系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离,其数值是一定的或以可预知的方式变化的。
它来源于仪器本身的缺陷,或来源于理论公式和测量方法的近似性。
消除和纠正系统误差的方法是对仪器进行校正,修正实验方法,或在计算公式中引入修正项。
2)随机误差由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。
它服从一定的统计分布规律,常见的一般性测量中,基本上属于正态分布,因此可用统计的方法处理随机误差。
3.随机误差的处理方法 1) 随机误差的正态分布 2)残差、偏差和误差残差为单次测量值x i 与有限次测量平均值x 之差。
即x x x i -=∆ (i=1,2, …,n)偏差为单次测量值x i 与总体平均值μ之差。
注意,偏差即为随机误差,系统误差为0时,偏差才是误差。
误差为单次测量值x i 与被测量真值x 0之差。
3)σ,S ,x S(1)总体标准偏差σ()nx i ni n 21limμμ-∑==∞→(2)有限次测量时的单次测量值标准差S()121--∑==n x x S i ni(3)x 的标准偏差x S ()()121--∑===n n xx nS S i ni x1.2 测量的不确定度 1. 不确定度1)不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度,是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
⼤学物理实验测量的不确定度和数据处理测量的不确定度和数据处理测量不确定度采⽤不确定度的必然性国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表⽰指南ISO 1993(E)”(以下简称《指南》)。
⼏年来国际与国内的科技⽂献开始采⽤不确定度概念,我国各个⾼校也不断开展这⽅⾯的讨论,改⾰教学内容与⽅法,以求与国际接轨。
虽然⼀些学者对《指南》的有些内容持批评态度[注1],但总的趋势是在贯彻《指南》的同时,不断改善它。
测量不确定度定义为测量结果带有的⼀个参数,⽤以表征合理赋予被测量量的分散性,它是被测量客观值在某⼀量值范围内的⼀个评定。
不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类:符合统计规律的,称为A类不确定度,⽽不符合统计规律的统称为B类不确定度。
测量不确定度的理论保留系统误差的概念,也不排除误差的概念。
这⾥的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值(⽤更⾼级的仪器的测量值)的偏差。
测量不确定度的 B类分量仪器的最⼤允差Δ仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度,记为ΔB 。
它包含了由测量者估算产⽣的部分Δ估和仪器精度有限所产⽣的最⼤允差Δ仪。
Δ仪包含了仪器的系统误差,也包含了环境以及测量者⾃⾝可能出现的变化(具随机性)对测量结果的影响。
Δ仪可从仪器说明书中得到,它表征同⼀规格型号的合格产品,在正常使⽤条件下,⼀次测量可能产⽣的最⼤误差。
⼀般⽽⾔,Δ仪为仪器最⼩刻度所对应的物理量的数量级(但不同仪器差别很⼤,⼀些常⽤仪器的最⼤允差见第26页)。
测量者的估算误差Δ估测量者对被测物或对仪器⽰数判断的不确定性会产⽣估算误差Δ估。
对于有刻度的仪器仪表,通常Δ估为最⼩刻度的⼗分之⼏,⼩于Δ仪(因为最⼤允差已包含了测量者正确使⽤仪器的估算误差)。
⽐如,估读螺旋测微器最⼩刻度的⼗分之⼀为0.001毫⽶,⼩于其最⼤允差0.004毫⽶;估读钢板尺最⼩刻度的⼗分之⼀为0.1毫⽶,⼩于其最⼤允差0.15毫⽶。
不确定度与数据处理不确定度与数据处理一、不确定度1. 不确定度1)不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度,是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
2)不确定度与误差的关系不确定度和误差是两个不同的概念,前者实在后者理论基础上发展起来的,它们都是由于测量过程的不完善性引起的。
误差用于定性地描述理论和概念的场合,不确定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。
2.直接测量结果不确定度的估计直接测量结果总不确定度表示为1)A类不确定度当进行有限次测量时,A类不确定度的表达式为式中是与测量次数,置信度有关的量,可以从表1.2.1中查得。
在要求精度不高的情况下,当6≤n≤10时当n不在上述范围内时或要求精度误差估计时,应查表得到相应的值。
2)B类不确定度B类不确定度分量的误差与不确定度的系统误差相对应。
一般由仪器误差来代替。
常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。
即3)总不确定度的合成当测量次数n符合6≤n≤10条件时,简化为当,或对测量结果影响甚小,或只进行了一次测量,可简单地用表示。
3.间接测量结果不确定度的估计设间接测量所用的数学表达式为式中为间接测量结果,为直接测量结果,且它们相互独立。
的不确定度(分别为)必然影响间接测量结果,使也有相应的不确定度。
不确定度是微小量,相当于数学中的“增量”,所以间接测量结果不确定度的计算公式和数学中的全微分公式基本相同。
不同之处在于不确定度替代了dx,dy,dz,…以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。
即间接测量结果的表示方法为二、. 数据处理1. 测量结果的有效数字1)有效数字的定义测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。
有效数字位数的多少,反映了测量结果的准确度,位数越多,准确度越高。
测量结果取几位有效数字是件严肃的事,不可任意取舍。
有效数字与小数点的位置无关,单位换算时,有效数字的位数不应发生变化。
还应注意,表示小数点位置的“0”不是有效数字,数字中间或数字后面的零是有效数字,不能任意增减。
不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1.误差与不确定度的关系(1)误差:测量结果与客观真值之差x =x -A其中A 称为真值,一般不可能准确知道,常用约定真值代替:⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程,真值A 的最佳估计值是平均值x 。
在上述误差公式中,由于A 不可知,显然x 也不可知,对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。
(2)不确定度:对误差情况的定量估计,反映对被测量值不能肯定的程度。
通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。
不确定度分为A 、B 两个分量,其中A 类分量是可用统计方法估计的分量,它的主要成分是随机误差。
2.随机误差: 多数随机误差服从正态分布。
定量描述随机误差的物理量叫标准差。
(1)标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ∵真值A 不可知,且测量次数k 为有限次 ∴实际上也不可知,于是:用标准偏差S 代替标准差 : 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述: x i ± S (x ) (置信概率~68.3%)单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义:在有限次测量中,每个测量值平均所具有的标准偏差。
(并不是只做一次测量)通常不严格区分标准差与标准偏差,统称为标准差。
(2)平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值,故结果应表述为: x ± S (x ) (置信概率~68.3%)真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1:某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。
试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1,即nX S X S )()(=。
解: nX X i∑=由题知X i 相互独立,则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义,可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3.系统误差与仪器误差(限)(1)系统误差:在同一被测量的多次测量过程中,保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。
【word】对牛顿环实验的数据处理及不确定度评定对牛顿环实验的数据处理及不确定度评定第33卷第2期延边大学(自然科学版)2007年6月JournalofYanbianUniversity(NaturalScience)Vo1.33No.2June2007文章编号:1004—4353(2007)02—0105—04对牛顿环实验的数据处理及不确定度评定金逢锡,索建彪(延边大学理学院物理系,吉林延吉133002)摘要:介绍了在牛顿环实验的数据处理过程中,对等精度和不等精度的测量进行不确定度的计算方法.通过等精度测量的数据处理及不确定度的评定后,加权取平均法即可以解决非线性的不等精度的数据处理问题及进行不确定度的评定.关键词:等精度;不确定度;牛顿环;不等精度;干涉条纹中图分类号:04—33文献标识码:A牛顿环实验测量球面曲率半径是普通物理实验中最常见的实验之一.在实验中,人们讨论了多种数据处理的方法,如逐差法,最小二乘法,等精度测量的数据处理法,加权取平均法等等.除此之外,通过等精度测量的数据处理及不确定度的评定后加权取平均法亦是一种切实可行的数据处理方法.以下我们用此方法讨论牛顿环实验的数据处理及不确定度的评定.1实验原理牛顿环装置是由一块曲率半径较大的平凸玻璃透镜,以其凸面放在一块光学玻璃平板(平晶)上构成的,如图1所示.平凸透镜的凸面与玻璃平板之间的空气层厚度从中心到边缘逐渐增加,若以平行单色光垂直照射到牛顿环上,则经空气层上,下表面反射的两光束存在光程差,它们在平凸透镜的凸面相遇后,将发生干涉.从透镜上看到的干涉花样是以玻璃接触点为中心的一系列明暗相间的圆环(如图2所示),称为牛顿环llj.牛顿环第级暗环的半}\}llilj尺tl\\\<,r///,….1一d‘…_f图1牛顿环装置图2牛顿环径为厂2=R,可知,如果单色光源的波长已知,测出第级的暗环半径厂,即可得出平凸透镜的曲率半径R;反之,如果R已知,测出r后,就可计算出入射单色光波的波长.但是用此测量关系式往往误差很大,原因在于凸面和平面不可能是理想的点接触,接触压力会引起局部形变,使接触处成为一个圆形平面,干涉环中心为一暗斑,或者空气间隙层中有了尘埃,附加了光程差,干涉环中心为一亮(或暗)斑,这些均无法确定环的几何中心.实际收稿日期:2006—10—17作者简介:金逢锡(1963一),男(朝鲜族),吉林延吉人,副教授,研究方向为光信息106延边大学(自然科学版)第33卷测量时,我们可以通过测量距中心较远的两个暗环的半径r和的平方差来计算曲率半径R.因为r2=mR2,r2=nR2,两式相减可得r一r2=R(m一),所以R=或R=.由上式可知,只要测出.与.(分别为第与第条暗环的直径)的值,就能算出R或.2等精度的测量及数据处理测量干涉条纹的暗环直径采取等精度的测量,即测第k环和k+m环的直径,要求k取16,17,18,19,20,m取1O.在测这1O个环的直径时,至少要重复测量5次以上,测量数据见表1.所测数据分别代入公式:,:1,2,3,4,5,可分别算出5组等精度测量的透镜的平均曲率半径,计算结果见表2.表1各牛顿环直径的原始测量数据mm次数m+k左右D+k左右DkD…一D2130.29.10021.0178.0832028.40021.7086.69220.52223029.10121.0128.0892028.40321.7116.69220.64933029.10221.0158.0872028.40221.7126.69020.64343029.10221.0148.0892028.40221.7156.68720.71653029.10321.0198.0812028.40121.7136.68820.57312929.03821.0757.9631928.31721.7886.52920.78222929.03721.0807.9571928.31821.7916.52720.71232929.04021.0777.9631928.31321.7896.52420.84742929.04221.0817.9611928.32121.7856.53620.65852929.03921.0827.9571928.32021.7926.52820.69912828.97221.1407.8321828.23821.8646.37420.71222828.97921.1377.8421828.24221.8696.37320.88232828.97821.1467.8321828.23921.8736.36620.814.42828.97921.1527.8271828.24121.8716.37020.68552828.97021.1477.8291828.24021.8736.36720.75512728.90821.2127.6961728.15321.9506.20320.75122728.90921.2157.6941728.15121.9596.19220.85732728.91021.2177.6921728.16121.9566.20320.69042728.97221.2187.6951728.16221.9596.20220.74852728.90621.2197.6871728.15921.9616.20120.63812628.84121.2787.5631628.06122.0396.02220.93422628.83721.2797.5581628.06922.0426.02720.79932628.84221.2807.5621628.07222.0436.02920.83542628.84521.2857.5601628.07322.0496.02420.86552628.83921.2847.5551628.07222.0466.02620.7653等精度测量的不确定度的评定3.1标准A类不确定度的评定第2期金逢锡,等:对牛顿环实验的数据处理及不确定度评定107根据被测量的平均值的标准偏差,可得所测每一干涉暗环的A类标准不确定度的评定:S(D)=或S(D+)=A(D)=t0.683S(D)或A(D+)=t0.683S(D+).t0.683为与测量的次数有关的比例系数[](当7z=5时,t0.683=1.114),计算结果见表3.3.2标准B类不确定度的评定一般情况下,物理实验中的B类不确定度采用均匀分布,即B=?/?3,?为移测显微镜的极限误差,由此可得本实验所测的每一环直径的B类不确定度:B(D16):B(D17):…:B(D3.):会::0.00289mm.’?jj3.3合成标准不确定度根据所估算出的A类和B类标准的不确定度,可合成所测每一干涉条纹直径的标准不确定度:c(D):?(D)+(D)或c(D+)=?(D+)+?(D+),计算结果见表3.由于各干涉条纹直径是相互独立的,所以可分别得到各组平均曲率半径的不确定度c(R1)=R1『2D16,,].『2D26,r,,].『尘1:In,一n,Ckg16I十In,一n,”c\L126I【.J(R2/I2D,7]2+[D27)]+其中DD+卅,D+一D;均采用平均值.此时所测5组透镜的平均曲率半径可分别表示为1?ttC(1),…,一R5?ttC(5),P=0.683,它们分别为等精度测量的结果,数据记录见表2所示.表2各个环的半径及不确定度的计算结果mm表3各个环的直径及不确定度的计算结果mm108延边大学(自然科学版)第33卷4,非等精度测量的数据处理及不确定度的评定从牛顿环实验的干涉条纹第k级暗环半径公式=?kRA可知,除零级暗环外,各环的直径D的关系为D】:D2:D3_..?=1:?2:?3_..?.随着干涉条纹级数k的增大,干涉条纹变密,因此该测量是非线性的不等精度测量,直接用逐差法处理数据解决不了不等精度测量问题,也就不能进行不确定度的评定l2J.若通过等精度测量的数据处理及不确定度的评定后加权取平均法,即可以解决非线性的不等精度测量数据处理及进行不确定度的评定.由于R1,R2,R3,R4,R5为非等精度测量的结果,假设其权分别为P1,P2,P3,P4,P5且一R与P成反比[,则有P=,其中i=1,2,…,5,N为比例常数,所测透镜的平均曲U-cL55厂了———?_率半径__P?i=1880?086mm,不确定度)_1/?志316mm,测量结果为R?Uc(R)=880.086?1.316mm(P=0.683),若用Uc表示扩展不确定度,则Uc=kuc(R)=2.632mm(k=2时,P=0.95)l5J.5结束语采用此方法处理数据及进行不确定度的评定,解决了非线性的不等精度测量问题,所以它更具合理性和适用性,它既可适用于牛顿环测量透镜的曲率半径的实验,也可适用于牛顿环测液体折射率的实验,但目前用此方法处理数据的缺点是测量数据多且计算比较繁琐.如果能利用计算软件,将实验数据处理得到简化,那么就会节省整个实验时间,提高工作效率.参考文献:[1]任隆良,谷晋骐.物理实验[M].天津:天津大学出版社,2003:3-6.[2]虞仲博,屠全良.牛顿环实验等精度测量及其不确定度的评定与表示[J].物理实验,2000,20(5):17.19[3]刘才明大学物理实验中测量不确定度的评定与表示[J].大学物理,1997,16(8):21.23.[4]杨述武.普通物理实验(电磁学部分)[M].北京:高等教育出版社,2000:2.5.[5]刘智敏.不确定度与分布合成[J].物理实验,1999,19(5):58.6O.DataProcessingandEvaluationofUncertaintyDegreeintheExperimen tofNewton’SRingsJINFeng—xi,SUOJian—biao(DepartmentofPhysics,CollegeofScience,YanbianUniversity,YanjiJilin13 3002,China)Abstract:Computingmethodofuncertaintydegreeforthedataofequalprecisio nmeasurementintheexperi—mentofNewton’Sringsisintroduced.Andthe problemofunequalprecisiondata anduncertaintydegreeevaluationissolvedbythemethodthroughweightedmean.Keywords:equalprecision;degreeofuncertainty;Newton’Srings;unequalpr ecision;interferencefringe。
测量误差、不确定度与数据处理第2章测量误差、不确定度和数据处理2.1 测量误差与不确定度2.1.1 测量在科学实验中,⼀切物理量都是通过测量得到的。
所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的同类物理量(或称为标准量)通过⼀定⽅法进⾏⽐较。
测量中的⽐较倍数即为待测物理量的测量值。
测量可分为两类,⼀类是⽤已知的标准单位与待测量直接进⾏⽐较,或者从已⽤标准量校准的仪器仪表上直接读出测量值(例如,⽤⽶尺量得物体的长度为0.7300m ,⽤停表测得单摆周期为1.05s ,⽤毫安表读出电流值为12.0mA 等),这类测量称直接测量(或简单测量);另⼀类测量,它不能直接把待测量的⼤⼩测出来,⽽是依据该待测量和⼀个或⼏个直接测得量的函数关系求出该待测量(例如,测量铜(圆柱体)的密度时,我们⾸先⽤游标卡尺或千分尺测出它的⾼h 和直径d ,⽤天平称出它的质量M ,然后再通过函数关系式h d M 2/4πρ=计算出铜的密度ρ),我们把这类测量称为间接测量(或称复合测量)。
⼀般说,⼤多数测量都是间接测量、但随着科学技术的发展,很多原来只能以间接测量⽅式来获得的物理量,现在也可以直接测量了。
例如电功率的测量,现在可⽤功率表直接测量,⼜如速度也可⽤速率表来直接测量等。
测得的数据(即测量值)不同于数学中的⼀个数值,数据是由数值和单位两部分组成的。
⼀个数值有了单位,便具有了⼀种特定的物理意义,这时,它才可以称为⼀个物理量。
因此,在实验中经测量所得的值(数据)应包括数值和单位,即以上⼆者缺⼀不可。
2.1.2 误差任何物质都有⾃⾝的特性,反映这些特性的物理量所具有的客观真实数值称为这些物理量的真值。
测量的⽬的就是要⼒求得到真值。
但测量总是依据⼀定的理论和⽅法,使⽤⼀定的仪器,在⼀定的环境中,由⼀定的⼈进⾏的。
在实验测量过程中,由于受到测量仪器、测量⽅法、测量条件和测量⼈员的⽔平以及种种因素的限制,使测量结果与客观存在的真值不可能完全相同,导致所测得的只能是该物理量的近似值。
测量结果的正确表达被测量 X 的测量结果应表达为:X X U (单位 )其中 X 是测量值的平均值,U 是不确定度。
例如:用最小刻度为cm 的直尺测量一长度最终结果为:L=(0.750 ± 0.005)cm;测量金属丝杨氏模量的最终结果为:E=(1.15 ±0.07) ×1011Pa。
1.不确定度的计算方法直接测量不确定度的计算方法U S22仪( X i X )2其中: S为标准差;n 1仪是仪器误差,一般按仪器最小分度的一半计算,但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。
也可按仪器级别计算或查表。
间接测量不确定度的合成方法间接测量N f ( x, y, z,)的平均值公式为:N f ( x, y, z,;)不确定度合成公式为: U N( N) 2 U X2(N )2U Y2( N )2U Z2。
X Y Z也可根据表 1 中的公式计算间接测量的不确定度。
表 1 常用函数不确定度合成公式函数表达式合成公式1N aX bY cZ U N a 2U X2b2U Y2c2U Z22X αY βU N2U X)22U Y)22U Z)2 NNα (Xβ (Yγ (ZγZ 3N sin X U N cosX U X注:U1.在函数关系是乘除法时 , 先计算相对不确定度 ( N )比较方便 .例如表中第二行N的公式 .2. 不确定度合成公式可以联合使用.例如 :若τsin θsin θ,wuφ ,令u3φ则τ.3w根据表中第二行公式,有 :Uτ(U u)2( U w)2;τu w根据表中第一行公式,有 :U w32U φ23U φ;根据表中第三行公式,有 :U u cosθ U θ.所以 , Uτcosθ U θ23Uφ2cosθ U θ2U φ2τ ()()τ ()( )sin θ3φsin θφ。
不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1.误差与不确定度的关系(1)误差:测量结果与客观真值之差 ∆x =x -A其中A 称为真值,一般不可能准确知道,常用约定真值代替:⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程,真值A 的最佳估计值是平均值x 。
在上述误差公式中,由于A 不可知,显然∆x 也不可知,对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。
(2)不确定度:对误差情况的定量估计,反映对被测量值不能肯定的程度。
通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。
不确定度分为A 、B 两个分量,其中A 类分量是可用统计方法估计的分量,它的主要成分是随机误差。
2.随机误差: 多数随机误差服从正态分布。
定量描述随机误差的物理量叫标准差。
(1)标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ∵真值A 不可知,且测量次数k 为有限次 ∴ σ 实际上也不可知,于是:用标准偏差S 代替标准差σ : 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述: x i ± S (x ) (置信概率~68.3%)真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义:在有限次测量中,每个测量值平均所具有的标准偏差。
(并不是只做一次测量)通常不严格区分标准差与标准偏差,统称为标准差。
(2)平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值,故结果应表述为: x ± S (x ) (置信概率~68.3%)真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1:某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。
试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1,即nX S X S )()(=。
解: nX X i∑=由题知X i 相互独立,则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义,可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3.系统误差与仪器误差(限)(1)系统误差:在同一被测量的多次测量过程中,保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。
已被确切掌握了其大小和符号的系统误差,称为可定系统误差;对大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。
前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修正;而后者一般难以作出修正,只能估计出它的取值范围。
在物理实验中,对未定系统误差的估计常常利用仪器误差限来进行简化处理。
(2)仪器误差(限):由国家技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差,经过适当简化称为仪器误差限,用以代表常规使用中仪器示值和(作用在仪器上的)被测真值之间可能产生的最大误差。
常用仪器的仪器误差(限):① 长度测量仪器:游标卡尺的仪器误差限按其分度值估计;钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其最小分度的1/2计算。
② 指针式仪表: ∆仪=a %⋅N m 式中N m 是电表的量程,a 是准确度等级。
数字仪表: △仪=a %N x +b %N m 或 △仪=a %N x +n 字式中a 是数字式电表的准确度等级,N x 是显示的读数,b 是误差的绝对项系数,N m 是仪表的满度值,n 代表仪器固定项误差,相当于最小量化单位的倍数。
③ 电阻箱: ∆仪=∑+⋅ii i R R a 0%式中R 0是残余电阻,R i 是第i 个度盘的示值,a i 是相应电阻度盘的准确度级别。
④ 直流电位差计: △仪=a % (10U U x +) 式中a 是电位差计的准确度级别,U x 是标度盘示值,U 0是有效量程的基准值,规定为该量程中最大的10的整数幂。
直流电桥: △仪=a %(100RR x +)式中R x 是电桥标度盘示值,a 是电桥的准确度级别,R 0是有效量程的基准值,意义同上。
(3)B 类不确定度的处理在物理实验中,B 类不确定度的来源通常包括以下三种:仪器误差∆仪、灵敏度误差∆灵和估计误差限∆估。
其中灵敏度误差可表示为 xn S ∆∆==∆/2.02.0灵 。
B 类不确定度与各种误差限之间的关系为 3∆=b u 。
4.不确定度的合成(1)直接测量 x : u a (x ) ,u b (x )则 )()()(22x u x u x u b a += (称为合成不确定度)(2)间接测量 y =f (x 1, x 2, ⋯, x n ) 其中x 1, x 2, ⋯, x n 为相互独立的直接测量量 则 ∑∂∂=ii i x u x f y u )()()(22 或 ∑∂∂=i i ix u x f y y u )()ln ()(22 (3)最终结果表述形式: N ±u (N )= (单位)结果有效数字的确定原则:① 不确定度u (N )只保留一位有效数字;② 测量结果N 与不确定度u (N )小数位数对齐。
例2:用分光计测棱镜材料的折射率公式为2sin 2sinA A n δ+=。
已测得A =60︒0' ±2' ,黄光(汞灯光源)所对应的 δ=50︒58' ±3' ,则黄光所对应的折射率n ±u (n )= 1.6479±0.0007 。
解: 6479.12060sin 28550060sin2sin 2sin ='︒'︒+'︒=+=A A n δ 2sin ln 2sin ln ln A A n -+=δδδδδδδd 2ctg 21d )2ctg 2ctg (212sind 212cos 2sin )d 21d 21(2cos d ++-+=⋅-+++=A A A A A A A A A A n n 000426.0)180603(28550060ctg 41)180602()2060ctg 28550060ctg (41)(2ctg 41)()2ctg 2ctg (41)(22222222=⨯'︒+'︒+⨯'︒-'︒+'︒=++-+=ππδδδ u A A u A A n n u0007.0000426.06479.1)()(=⨯=⋅=nn u n n u ∴ n ± u (n )=1.6479±0.0007 5.有效数字及其运算法则(1)有效数字:由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。
在不计算不确定度的情况下,结果的有效数字由运算法则决定。
(2)运算法则① 加减法:以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。
N =A +B -C -D ,则 )()()()()(2222D u C u B u A u N u +++=取决于u (A )、u (B )、u (C )、u (D )中位数最高者,最后结果与之对齐。
② 乘除法:以参加运算各量中有效数字最少的为准,结果的有效数字个数与该量相同。
CD ABN =,则 2222)()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D D u C C u B B u A A u N N u 取决于其中相对不确定度最大者,即有效数字个数最少者。
③ 混合四则运算按以上原则按部就班执行。
例3:某物理量的计算公式为 Hd Y /6.11k+=,其中k 为常数,1.6为准确数,H ≈16cm ,d =0.1500cm 。
若使Y 的表示式中分母的值具有4位有效数字,正确测H 的方法是( d )。
(a) 用游标卡尺估读到cm 千分位 (b) 用米尺估读到cm 百分位 (c) 用米尺只读到mm 位 (d) 用米尺只读到cm 位解:015.0161500.06.16.1=⨯≈H d 分母 015.16.11≈+Hd为4位有效数字 即H 只需2位有效数字即可,故应选 (d) 。
④ 特殊函数的有效数字:根据不确定度决定有效数字的原则,从不丢失有效位数的前提出发,通过微分关系传播处理。
例4: tg45︒2' =1.00116423 最多可取几位有效数字?解: 令 y =tg x ,其中x =45︒2' 取)rad (00029.01806011=='=∆πx则 00058.000029.0245cos 1cos 122=⨯'︒=∆=∆x x y 即小数点后第四位产生误差∴ tg45︒2' =1.0012 ,有五位有效数字。
例5:双棱镜测波长的计算公式为b b x '∆=λ,对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。
要求:(1)给出测量结果的正确表述(包括必要的计算公式)。
(2)定量讨论各不确定度的分量中,哪些是主要的,哪些是次要的,哪些是可以忽略的?如果略去次要因素和可以忽略项的贡献,不确定度的计算将怎样简化?结果如何?解: (1) mm 1086716.5)0.7595.276(7855.09325.528144.04-⨯=+⨯⨯='+'∆=S S b b x λ )ln(ln 21ln 21ln ln S S b b x '+-'++∆=λ S S S S S S b b b b x x '+'-'+-''++∆∆=d d 2d 2d )(d d λλ0111.0)()(2)(2)()()(22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=S S S u S S S u b b u b b u x x u u λλ 其中 000714.028144.010010.2)(4=⨯=∆∆-x x u ;⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=∆===∆⨯=∆=000243.039325.52005.023/)(2)(00722.032025.0)(32123/)(2)(22111b b bb u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→b b u b b u b b u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=''∆=''==''∆⨯=''∆=''00184.037855.02005.023/)(2)(00722.032025.0)(32123/)(2)(22111b b b b u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→b b u b b u b b u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='+∆='+=+='+∆='+000279.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03)90.7565.27(5.03/)()(2211S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+→S S S u S S S u S S S u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='+'∆='+'=+='+'∆='+'000279.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03)90.7565.27(5.03/)()(2211S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'→S S S u S S S u S S S u 于是得 u (λ)=0111.01086716.5)(4⨯⨯=⋅-λλλu =6.53⨯10-6mm λ± u (λ)=587±7nm(2)由前面的计算可知,不确定度主要来自b b u 2)(1和b b u ''2)(1,次要因素是b b u ''2)(2、S S S u '+)(1和S S S u '+')(1,可以忽略的因素是xx u ∆∆)(、b b u 2)(2、S S S u '+)(2和S S S u '+')(2。