光学习题解(崔宏滨)

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南开考研光学专业习题与解答第四章

第四章光的衍射例题４.1 一对双星的角距离为''05.0，要用多大口径的望远镜才能将它们分辨开？这样的望远镜的正常放大率是多少？解已知双星的角距离7104.2606018005.050.0-⨯=⨯⨯⨯=''=πθ弧度．这个值就是所要求望远镜最小可分辨的角距离．设望远镜的口径为Ｄ，取可见光平均波长550=λ纳米，由Dλθ22.1=，可计算出望远镜的口径为376108.2104.21055022.122.1⨯=⨯⨯⨯==--θλD （米）．４.2 宇航员声称他恰能分辨在他下面100公里地面上两个黄绿点光源．若瞳孔直径为4毫米，试估算这两个点光源的间距．解设恰可分辨的两个点光源的间距为l ，点光源到宇航员距离为Ｌ．两个点光源对人眼的张角即为人眼最小分辨角θ，黄绿点光源所发波长为550纳米，因此有8.1641055022.11010022.163=⨯⨯⨯⨯=⨯==-dL L l λθ（米）．宇航员恰可分辨的两光源点至少相距16.8米．４.3 一架生物显微镜，使用的物镜数值孔径Ｎ.A=0.25，物镜和目镜放大率均为10倍，光波波长以550纳米计算，试问这台显微镜可分辨的的最小间距是多大？恰可分辨的两物点在目镜焦平面上形成的爱里斑中心间距有多大？解显微镜最小可分辨的两物点的间距为361034.125.01055061.061.0--⨯=⨯⨯=⋅=AN y λδ(毫米).物镜放大率10=β，故物镜恰可分辨的两个物点在目镜焦平面上形成的爱里斑中心间距为21034.110-⨯=='y y δδ毫米．４.4如计算题4.4图所示，宽度为a 的单缝平面上覆盖着一块棱角为α的棱镜．波长为λ的平行光垂直入射于棱镜的棱面AB 上，棱镜材料对该光的折射率为n ，试求单缝夫琅和费衍射图样中央衍射极大和各级衍射极小的衍射方向．解计算题4.4解图表示出一个被修饰了的夫琅和费单缝衍射装置．若单缝未被修饰时，中央衍射极大出现在沿缝宽划分的各子波带等光程的方向上．各衍射极小出现在边缘子带具有波长整数倍光程差的衍射方向上．这个结论仍可以用来确定本题中经过修饰后的单缝．在计算题4.4解图中，单缝上边缘Ｄ点处子波源较下边缘Ｄ'点处子波源初始相位落后（2π/λ）nasin α，这是由于Ｄ和Ｄ'处的棱镜厚度不同，在单缝前造成了光程差nasin α．在单缝后的θ衍射方向上，边缘光波的光程差为nasin α－asin θ．当 nasin α－asin θ＝０时，解出sin θ＝nsin α，这是棱镜右侧面处的折射定律，中央极大出现在满足折射定律的方向上．当 nasin α－asin θ＝k λ，k ＝±１、±２、… 时，得到各衍射极小，若由上式解出的θ小于零，说明衍射方向位于计算题4.4解图中单缝平面法线的下方，图中所示在法线上方的θ是正值．显然，θ值只能在±π之间．４.5光学切趾法是改变系统的孔径函数、使衍射光强重新分布的方法．今有缝宽为a 的夫琅和费单缝衍射装置，在缝宽方向上，由x=-a/2到x=+a/2的缝平面上覆盖着振幅透射率为cos(πx/a)的膜片（计算题4.5图）．试求平行光垂直于狭缝入射时，远方屏幕上衍射光强分布，并和无膜片修饰时衍射光强分布作比较．a BA计算题4.4图α BAθθ计算题4.4解图DD 'a α a计算题4.5图x解由惠更斯—菲涅耳原理屏幕上的复振幅为⎰⎰⎰-+-+---+=+=⋅=22)s i n ()s i n (s i n 22s i n 22][2~)(21~)c o s (~~aa k aix k aix ikx a xi a x i a a ikx aadxeecdx e e e c dx e a x c A θπθπθππθπ],2sin )2sin sin(2sin )2sin sin([2~πλθππλθππλθππλθπ--+++-=a a a a a c i即)]2(sin )2([sin ~~ππ-++=u c u c C A 。

《光学教程》课后习题解答

解：对方位，的第二个次最大位
对的第三个次最大位
即：
9、波长为的平行光垂直地射在宽的缝上，若将焦距为的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距离分别为多少？
解：⑴第一最小值的方位角为：
⑵第一最大值的方位角为：
⑶第3最小值的方位角为：
10、钠光通过宽的狭缝后，投射到与缝相距的照相底片上。所得的第一最小值与第二最小值间的距离为，问钠光的波长为多少？若改用X射线（）做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？
解：
⑴
⑵级光谱对应的衍射角为：
即在单缝图样中央宽度内能看到条（级）光谱
⑶由多缝干涉最小值位置决定公式：
第3xx 几何光学的基本原理
1、证明反射定律符合费马原理
证明：
设A点坐标为，B点坐标为
入射点C的坐标为
光程ACB为：
令
即：
*2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物像公式。
另一个气泡
，即气泡离球心
13、直径为的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。
解：由球面折射成像公式：
解得，在原处
14、玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为。将它水平地浸入折射率为的水中，沿着棒的轴线离球面顶点处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。
解：
由球面折射成像公式：
15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为。一物点在主轴上距镜处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求像点的位置。设玻璃的折射率为，水的折射率为。

光学蔡履中版课后答案山东大学版

光学第一章课后习题解答1-1解：由折射定律sin i=n*sin i` 正弦定理 R/sin(90+i`)=d/sin bcos i`=dRcos b 折射定理 nsin b`=sin b 所以 sin b=n sin b`=n R d cos i`=n R d (1-sin 2 i`)1/2=n Rd[1-(n 1)2sin 2 i]1/2=Rd (n 2-sin 2i)1/2所以 b=arcsin Rd(n 2-sin 2i)1/21-2 解:证明:①由折射定律sin i 1=nsin i 1` n shin i 2=sin i 2` i 1`=i 2 所以 sin i 1=sin i 2` i 1=i 2`②OP=h/cos i 1` ∠POQ=i 1-i 1`PQ=OP sin ∠POQ=OPsin(i 1+i 1`)= OPsin(i 1+i 1`)*h/ cos i 1` ③当 i 1 很小时 sin i 1= i 1 sin i 1`=i 1` cos i 1`=1 由折射定律(小角度时) n i 1=i 1` 所以 i 1`=n i 1/n`由上面 PQ=sin(i 1+i 1`)*h/cos i 1`=(i 1-i 1`)*h=(i 1- n i 1/n`)*h =(n`-n)*i 1*h/n` 1-3 解:全反射时 n sin i=1所以 sin i=1/n=2/3 sin i=R/(R+d)光线①②都要发生全反射但光线②的入射角要小于光线①的入射角所以取光线②研究可得上式R/(R+d)= 2/3 3R=2R+2d R/d=2 当R/d>=2 时全部通过 1-6 解:①n=sin[(δmin +a)/2]/sin(a/2)=sin 56°36`/sin 30°=0.835/0.5=1.67 ②棱镜折射率 n=sin(50°+35°)/sin(50°/2)=0.675/0.5=1.598 取得最小偏向角时i'1= α/2=250 由折射定律 n sin i 1=n`sin i 1` 所以 1.33 sin i 1=1.598 sin (50°/2) 所以 sin i 1=0.507777 i 1=30.5189°δmin =2i 1-a=2*30.52°-50°=11.032°=11°2' 1-8 解：从左看时光线自右向左传播0=-''sns n (平面折射) 因 s=+20 s'=+12.5 n'=1 61.=''=s n s n从右看时光线自左向右传播rnn s n s n -'=-'' s=-20 r=-12 n=1.6 n'=1 代入数 s'=-33.3cm1-10 解：单球面成象rnn s n s n -'=-'' n=1 n'=1.5 s=-5 r=2 代入数 s'=3041-=''=sn s n β 第二球面 n=1.5 n`=1.33 s=(30-2) r=-2 代入数成像公式 s'=9.638702.=''=sn s n β 所以β=β1*β2=-1.546 象为倒立的放大的实象，象高为1.5461-12 解：球面镜反射rs s 211=+' y=2 r=-16 s=-10 代入得 s'=-40焦距 f '=r/2=-8 β=-s`/ s=-4 所以 y`=y β=-8cm 1-18 解：由焦距公式代入数 f '=120由成像公式s=-40 所以代入数 s'=-60 β1=s`/ s=3/2球面反射 1/s'+1/s=2/r 因 s=-60 r=-15 代入数 s`=-60/7β2=s`/ s=-1/7再成象 1/s`-1/s=1/f ` s=-60/7 f `=120 (光线自右向左传播) 所以 s`=-8 β3=s`/ s=14/15 所以β1β2β3=-1/5 象为缩小的倒立的实象1-19 解：空气中当在cs 2中使用时：两焦距之比:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+-'='21r n n r n n n f L L 1='=n n 5.1=L n 201-=r 152-=r f s s '=-'111)11)(1(11112121r r n r n r n f f L L L --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+-'='21r n n r n n n f L L 64.82-=''空气f f cs该式说明：①对于同一个透镜，放在不同介质中使用，焦距是不同的，对于该题在二硫化碳中使用时焦距比空气中使用时要大。

崔宏滨《光学》10甲型光学第十章几何光学的近轴理论

光程：折射率×光所经过的路程，即nS。 Q
一般情况下为折射率的路径积分。 P nds
平稳：极值（极大、极小）或恒定值。在数学上，用变分表示
Q
(PQ) [P nds] 0
椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定值
在椭球面上一点作相切的平面
和球面，则经平面反射的光线中，实际光线光程最小，经球面反射的光线中，实际光线光程最大。
• 说明不同颜色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。
• 4、光路可逆原理
上述实验定律都反映了光路的可逆性
• 光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。
如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q′ 点成像，则点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成像。即物像之间是共轭的。
物物方空间
像方空间像
• 5．实物与虚物，实像与虚像
• 发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。
实物
虚物
物方
像方
实物
• 经过光具组后的同心光束，汇聚在像方形成的点，为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。
实像虚像
像方
物方
实物成实像
dr dz

tan

1
(cos2
1
1) 2
dz
n(0) cos1 d r
1
[n2 (r) n2 (0) cos2 1]2
z
r
n(0) cos1dr
0
1
[n2 (r) n2 (0) cos2 1]2
cos1 arcsin( r )

sin 1

睿达培优几何光学2014夏2-2

光线自玻璃向水入射，能够发生全反射玻璃→空气，水→空气，也会发生全反射缸底玻璃中，光线最大的折射角
i
i1
n1 1.33
自缸底进入水中的光线，最大的折射角
n0 sin 90 sin i2 n2
n2 1.50
在侧壁
n0 1.00
观察缸底全反射的视角范围
n2 sin i2 n0 sin 90 sin i1 n1 n1
波长越短，折射率越大
i1
i1( )
Байду номын сангаас
( ) i2
棱镜的其他折射方式
• 光线的入射角不同，折射方式也不同
i1

i1 i2 i2 i2 i3 i1
界面处也有反射光
iC i2 i2
出现全反射
i2 i3
sin i1 sin i1( ) n ( )
( ) sin i2 ( ) n( )sin i2
B
i
i
ic i y1 R
n sin ic 1
y1 R sin ic sin( i) 2
n sin i sin i
y2 R sin ic sin( i) 2

d

y2
i
imax
1 2 2 n n 2 sin 2 i cos i 1 sin i R n 1 2 n sin 2 i ici n i 2 Rn sin ic 2R 4R d n 2 sin 2 i n 2 sin 2 i 32 22 sin 2 i 4R 4R d max imin 0 d min 2 3 5
n n
物、像如何等光程？没有光线，何来光程？

崔宏滨《光学》5甲型光学第五章干涉装置

光波在薄膜上的多次反射与折射
薄膜干涉的复杂性
• 仅仅从一个点光源发出的光波，经过薄膜不同表面的多次反射就可以在各处进行干涉
• 所以，要采用一定的方法或装置，观察某一类光波的干涉
S
两类典型的薄膜干涉
• 用特殊的方式，可观察到不同类型的干涉 • 一、相互平行的光波之间的干涉
二、不同的光波在薄膜表面处的干涉
分振幅的干涉装置
• Michelson干涉仪 • Mach－Zehnder干涉仪 • 干涉滤波片 • Newton Ring干涉装置
M 2
空气薄膜（没有半波损失）
M1
L 2hcosi j
分光板
G1
补偿板
G2
M2
Michelson干涉仪接收装置
Michelson干涉仪装置示意图
Na灯的干涉条纹
第5章干涉装置
分波前的干涉装置分振幅的干涉装置光波场的空间相干性光波场的时间相干性
5.1 干涉装置
• 最典型的是杨氏装置 • 将每一列光波分为两列，或多列 • 这些光波列之间有相关联的相位，因而是
相干的 • 所有的干涉装置都是按照这一思路设计的
5.2 分波前的干涉装置
• 一．杨氏干涉（双孔干涉或双缝干涉） • 每一孔或狭缝都是从光源发出的波场中的
M2
等离子体
干涉滤波片
利用干涉相长或干涉相消原理，对某些波长增透或增反，制成光学镜头或反射镜以及滤光镜。
现在多利用多层膜制作增透或增反的滤波片
反射光：一列在球面被反射，另一列在平面被反射，有半波损失。
由相交弦定理
R
h(2R h) rj2
R h R h rj 2Rh
Field and linear interferometers

3光的相干迭加2

则亮条纹在 x = j r0 λ 处暗条纹在 x = (2 j + 1) r0 λ 处
d
d2
亮（暗）条纹间距
∆ x = r0 λ d
8
崔宏滨光学第三章光的相干叠加
如两列波初位相不为零，则条纹形状不变，整体沿 X 向移动。
如光源和接收屏之间充满介质，因为 x′ = jπ 2D = j D λ ，则条纹间距为 kd d n
二．叠加方法
同频率、同振动方向的单色光。 1．代数法（瞬时值法）
ψ1 = A1 cos(ϕ1 − ωt) ， ψ 2 = A2 cos(ϕ2 − ωt)
两振动相加后，仍为简谐振动。则有
ψ = A1 cos(ϕ1 − ωt) + A2 cos(ϕ2 − ωt) = A1 cosϕ1 cosωt + A1 sinϕ1 sin ωt + A2 cosϕ2 cosωt + A2 sinϕ2 sin ωt = ( A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 ) cosωt + ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 ) sin ωt
+
y′2
]} exp( ikd 2D
x′)
合成的复振幅为
U~ ( x ′,
y′)
=
~ U1
(
x
′,
y′)
+
~ U2
( x ′,
y′)
=
A exp{ik[D + (d / 2)2 + x′2 + y′2 ]}[exp(− ikd x′) + exp( − ikd x′)]
D
2D

光学部分习题解答(cai)

不平处为凸起纹不平处为凸起纹
2
（最大高度为最大高度为 λ 2 = 250 nm）高度
所以选：所以选：B
10.(3200)
解 : 原光程为2 ×1d的光程。放入透明薄片后改变为2nd 所以：光程变为：2nd-2d=2d(n-1)
所以选所以选：A
11.(3516)
解 : 利用上题的结论得： 2nd-2d=2d(n-1)=λ d=
λ
• 30.(3711)
解 : 同上题解法。 d=N
λ
2
⇒N=
2d
λ
• 31.(3378)
解 : 参看P89公式（11-36） I=I1 +I2 +2 I1I2 cos∆φ，
I=I0 +I0 +2 I0I0 cos∆φ， ∴IMAX = 4 I 0
• 32.(5647)
解 : 参看P92
2 500 × 4 λk ∴e = = = 4 × 103 nm. n − 1 1.5 − 1
2k . ( k = 4)
27.(3179)
解 : 空气中光程差：
δ = s2 p − s1 p =
λ
2
2k
∴ s2 p − s1 p = 3λ
液体中：δ = s2 p − s1 p）n = （ (s2 p − s1 p )n =4λ
∴总光程差 : 2en2
δ总 2en2 4π en2 Q ∆φ = 2π = 2π = λ λ λ
所以选：所以选：A
(3664)
解 : δ 总 =δ +δ附加
n1 < n2 > n3
∴ δ 总 = 2en2 + λ
δ = 2en2 δ附加 = λ 2 ,Q 只有1个半波损失.

崔宏滨《光学》4甲型光学第四章光的相干叠加

i 1
干涉项≠0
干涉的特点
• 干涉是一列一列分立的光波之间的相干叠加
• 干涉是一列光波自己和自己的干涉 • 干涉的结果，使得光的能量在空间重新分
布，形成一系列明暗交错的干涉条纹 • 干涉之后的光波场仍然是定态波场
对杨氏干涉的评价
• 简单：只有一个分光波的装置
• 巧妙：自身之间相干叠加；不同波列之间光强叠加（非相干）

1 2
(c os 0

cos )
• （2）证明了积分区域选取的原则，不必对
整个封闭曲面求积分，而只需对衍射障碍
物（衍射屏）上开放区域求积分即可
取一个封闭曲面，
Σ=Σ0+Σ1+Σ2
1
dU (P) 0 1
S
0
2
dU (P) 0
2
P
仅需要对区域Σ0，
1
求积分即可
仅屏上对透光区域
向移动，圆环中心永远是亮点。
二．半波带法分析菲涅耳圆孔衍射
• 设法求解菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式。
• 将积分近似化为求和。
• 将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依次相差半个波长。这些圆环带称为半波带。
R
r0 r0

2
P
r0
3
r0 2
r0 2
(x, y) k(cos1 cos1 )x k(cos 2 cos 1 ) y ( 20 10 )
2 j (2 j 1)
(x, y) k(cos1 cos1 )x k(cos 2 cos 1 ) y ( 20 10 )
• 深刻：1、找到了相干光；

光学习题解答(3、4)-10页精选文档

3-1. 证：设两个均匀介质的分界面是平面，它们的折射率为n 1和n 2。

光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。

为了确定实际光线的路径，通过A,B 两点作平面垂直于界面，O O '是他们的交线，则实际光线在界面上的反射点C 就可由费马原理来确定（如右图）。

反正法：如果有一点C '位于线外，则对应于C '，必可在O O '线上找到它的垂足C ''.由于C A '>C A '',B C '>B C '',故光谱B C A '总是大于光程B C A ''而非极小值，这就违背了费马原理，故入射面和反射面在同一平面内得证。

在图中建立坐oxy 标系，则指定点A,B 的坐标分别为（y x 11,）和（yx 22,），未知点C的坐标为（,x ）。

C 点在B A '',之间是，光程必小于C 点在B A ''以外的相应光程，即xx x 21<<，于是光程ACB为：y x x n y x x n CB n AC n ACB n 2211221221111)()(+-++-=+=根据费马原理，它应取极小值，即：0)sin (sin )()()()()()(21112222211212111=-='-'=+---+--=i i n CB B C AC C A n y x x x x n y x x x x n ACB n dx d Θi i 11='，∴0)(1=ACB n dx d取的是极值，符合费马原理。

故问题得证。

3-2.(1)证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S 发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点S '。

由于球面AC 是由S 点发出的光波的一个波面，而球面DB 是会聚于S '的球面波的一个波面，固而SB SC =, B S D S '='.又Θ光程FD EF n CE CEFD ++=，而光程AB n AB=。

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′ 求导数，有（2）上式对 i1
di dd = 1 + 1 ，当该导数为 0 时，取得最小偏向角。 ′ ′ di1 di1 ′ di1 di1 di2 di2 = ′ di2 di2 ′ di1 ′ di1
即
′ = sin i1 ′ ，微分，得到而由折射定律 n sin i 2 = sin i1 ， n sin i 2
′ −α ； ′ 时，有最小偏向角 δ m ，而且， n = 角为 δ = i1 + i1 （2）证明在 i1 = i1
sin
α + δm α
2 2
，
sin
式中 n 为棱镜材料的折射率，在已知 α 的情况下，通过测量 δ m ，利用上式可以算出棱镜材料的折射率；（ c ）顶角 α 很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为
解：此时大头针顶发出的光线恰好发生全反射。即 sin θ1 =
1 ，而 n
sin 2 θ1 1 2h 2 d ，得到 n = 1 + ( ) tg θ1 = = = 2 2 d 1 − sin θ1 n − 1 2h
2
2
【2.13】如图所示，一束光线以入射角 i 射入折射率为 n 的球形水滴，求：（1）此光线在水滴内另一侧球面的入射角 α ，这条光线是被全反射还是部分反射？（2）偏向角 δ 的表示式；（3）偏向角最小时的入射角 i 。
2
θ=
tg 2θ r2 = ≥ n − 2 ， r ≥ nh / 1 − n 2 1 + tg 2θ h 2 + r 2
【2.15】一玻璃杯，底部为凸球面，球面下嵌一画，空杯看去，与普通酒杯无异；注入酒后，则底部呈现美丽画面，请解释。解：空杯成实像，注入酒后，相当于有一平凹透镜，画面经折射后成一放大虚像。【2.16】一球面反射镜将平行光会聚在 x0=20cm 处；将水（折射率约为 4/3）注满球面，光通过一张白纸片上的针孔射向反射镜，如图，距离 x 为多大时在纸片上成清晰的像？
V = arcsin iC
1 1 1 1 R = arcsin = 40.81 ， iC = arcsin = arcsin = 41.47 。 1.53 1.51 nV nR
1
以 41o 角入射，则紫光全反射；而红光大部分透射，仅有少部分发生反射。【2.4】如图，以光线射入镜面间并反射 n 次，最后沿入射时的光路返回，试写出 θ i 与 α 间的关系表达式。解：
sin
2
50 + 35 2 = 1.599 。浸入水中时，入射角为 50 sin 2
n1 sin i1 = n sin i2 ，而满足最小偏向角时，i2 =
α
2
，则 sin i1 =
n sin i2 = n1
n sin n1
α
2 = 0.508 ，
′ = 2i1 − α = 2 × 30.53 − 50 = 11.1 i1 = 30.53 ， δ m
则 θ1 = ( m − 1)θ m + α = ( n − 1)θ n + α = nα 。【2.5】证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射角 i1 很小时，位移 ∆x =
n −1 i1t 。其中，n 为玻璃的折射率，t 为玻璃板的厚度。 n
证：如图，由于上下两面平行，且两侧折射率相等，所以在下表面的入射角等于上表面的折射角，下表面的折射角等于上表面的入射角。出射光线保持平行。
而 θ1 可以取到 π / 2 ，则 sin
2
θ1 = 1 = n 2 − n 2 sin 2 θ 2 ≤ n 2 − 1 ，即 n 2 ≥ 2 ， n ≥ 2 。
【2.12】在圆形木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出木塞得长度为 h，木塞直径为 d，求水的折射率。
′ ′ ′ ′ cos 2 i2 cos 2 i2 n cos i2 cos i1 cos i2 cos i1 cos i2 cos i2 ， = = =− = −1 ， (−1) = ′ ′ ′ ′ n cos i2 cos i1 cos i1 cos i2 cos i1 cos i1 cos 2 i1 cos 2 i1
∠ROQ = δ 即为偏向角，证明此法的依据。
证：如图所示，从圆心 O 向棱镜的界面法线做垂线 OM、 OT，根据作图方法，可知 ∠ORM = i1 ，
4
而 OR sin ∠ORM = n ′ sin i1 = OM
， OP sin ∠OPM = n sin ∠OPM = OM
，即
n sin ∠OPM = n ′ sin i1 ，由折射定律 ∠OPM = i2 ，为第一界面的折射角。即 OP 为第一界 ′。 ′ = n sin i2 ′ = OQ sin ∠OQT = n ′ sin ∠OQT = OT ，面的折射线。∠OPT = i 2 又 OP sin i 2 ′ ，于是 ∠ROQ = δ 。由折射定律， ∠OQT = i1
δ = (n 两侧面及其法线所构成的四边形中有一对直角，则
′ = π − β = π − (π − α ) = α ， i2 + i2 ′ −α ′ ) = i1 + i1 ′ ) = i1 + i1 ′ − (i2 + i2 ′ − i2 而 δ = (i1 − i 2 ) + (i1
∆x = BC = AB sin(i1 − i2 ) = (t / cos i2 ) sin(i1 − i2 ) = t (sin i1 cos i2 − cos i1 sin i2 ) / cos i2
2
= t (sin i1 −
cos i1 sin i1 i i ) ，在小角度时，有 sin i1 ≈ i1 ， cos i1 ≈ 1 − ( 1 ) 2 ， cos i2 ≈ 1 − ( 2 ) 2 2 2 n cos i2
【2.2】把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样的角度射到玻璃板上才能够在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为 1.5，水的折射率为 1.33 能接收到这束全反射光吗？解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足
n g sin iC = n w 。
此时若从空气到玻璃板入射，入射角 i 应满足 sin i = n g sin iC ，即 sin i = n w 。由于 n w = 1.33 > 1 ，所以上述情况不可能发生。【2.3】红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是 1.51 和 1.53。当这些光线射到玻璃和空气的分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以 41o 的角入射到玻璃和空气的界面上时，将会有什么现象发生？解：由于 n sin i = 1 ，所以
sin
α + δm α
2 ≈
(3) 如果顶角很小， n =
sin
α + δm ，可得 δ m = ( n − 1)α α
2
【2.7】顶角为 500 的棱镜的 δ m = 35 ，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率

为 1.33。
解：可得棱镜的折射率 n =
sin
α + δm α
2 =
sin
i 1 − ( 1 )2 cos i1 sin i1 ti 2 ] ≈ ti1 (n − 1) ，即 ∆x = n − 1 i t 则 t (sin i1 − ) ≈ 1 [n − 1 i2 2 n n n n cos i2 1− ( ) 2
【2.6】如图，一条光线通过一顶角为 α 的棱镜。（1）证明出射光线相对于入射光线的偏向
最后的反射之后，其对另一镜的入射角应为 0。最后（第 n 次）的反射角为 θ n = α ，第 n-1 次的反射角为
θ n −1 = 2α 。相邻的两次反射间，有关系式，
θ m + (π / 2 − θ m −1 ) = π / 2 − α ，即 θ m −1 = θ m + α 。
6
解：（1）由反射定律及球面的对称性， sin i1 = n sin i ′ = n sin α ， sin α = sin i1 / n ，由于
sin α ≤ 1 / n ，只有入射光对准球心入射时，才能发生全反射。
而 2α （2）δ = π − 2 β = π − 2[α − (i1 − i ′)] = π − 2( 2α − i1 ) ，2(2α − i1 ) 取极大值即可。等于圆心角 θ ， 2α − i1 等于入射光线与水平直径间的夹角，对准球心入射时为极大值。即入射角 i1 = 0 。【2.14】水槽中盛水，深 20cm，底部有一光源，水面上放一不透光纸片。要使从水面上任何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？解：纸片应该是圆形的。 tgθ = r / h ，而 sin θ ≥ 1 / n ，所以 sin
2 − sin 2 i ′ 。 ng
5
′ ，而 n sin i0 = n g sin i0 ′。证：由于液体的折射率 n > n g ，则有 sin i ′ = n g sin i = n g cos i0
2 2 2 ′ = ng ′ ) = ng sin 2 i ′ = n g cos 2 i0 (1 − sin 2 i0 − n 2 sin 2 i0 ，由于是掠入射，在明暗区的边界，
i0 =
π
2
，故有 sin i ′ = n g − n ，即 n =
2 2 2
2 − sin 2 i ′ 。 ng