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初三化学知识点分章知识点总结（人教版）第1单元《走进化学世界》知识点1、化学是研究物质的组成、结构、性质以及变化规律的基础科学。

2、我国劳动人民商代会制造青铜器，春秋战国时会炼铁、炼钢。

3、绿色化学-----环境友好化学(化合反应符合绿色化学反应)①四特点P6（原料、条件、零排放、产品）②核心：利用化学原理从源头消除污染4、蜡烛燃烧实验（描述现象时不可出现产物名称）（1）火焰：焰心、内焰（最明亮）、外焰（温度最高）（2）比较各火焰层温度：用一火柴梗平放入火焰中。

现象：两端先碳化；结论：外焰温度最高（3）检验产物：用干冷烧杯罩火焰上方，烧杯内有雾出现。

说明有H2O：取下烧杯，迅速倒转，倒入澄清石灰水，振荡，变浑浊，说明有CO2（4）熄灭后：有白烟（为石蜡蒸气），点燃白烟，蜡烛复燃。

说明石蜡蒸气燃烧。

5、吸入空气与呼出气体的比较结论：与吸入空气相比，呼出气体中O2的量减少，CO2和H2O的量增多。

6、学习化学的重要途径——科学探究一般步骤：提出问题→猜想与假设→设计实验→实验验证→记录与结论→反思与评价化学学习的特点：关注物质的性质、变化、变化过程及其现象；7、化学实验（化学是一门以实验为基础的科学）一、化学实验常用仪器及使用：（一）用于加热的仪器－－试管、烧杯、烧瓶、蒸发皿、锥形瓶可以直接加热的仪器是－－试管、蒸发皿、燃烧匙只能间接加热的仪器是－－烧杯、烧瓶、锥形瓶（垫石棉网—受热均匀）可用于固体加热的仪器是－－试管、蒸发皿可用于液体加热的仪器是－－试管、烧杯、蒸发皿、烧瓶、锥形瓶不可加热的仪器——量筒、漏斗、集气瓶分类名称图形主要用途使用时的注意事项用于加热的仪器试管①在常温或加热时用作少量试剂的反应容器；②用于少量物质的溶解或收集少量气体或作简易气体发生装置（1）试管夹应夹在的中上部，铁夹应夹在离试管口的1/3处。

（2）加热时试管内的液体不得超过试管容积的1/3，反应时试管内的液体不超过试管容积的1/2。

一、选择题1.WORD 是一种（）。

A.操作系统B．文字处理软件C．多媒体制作软件D．网络浏览器2.Word 2010 文档扩展名的默认类型是（）。

A．DOCXB．DOCC．DOTXD．DAT3.Word 2010 软件处理的主要对象是（）。

A.表格B．文档C．图片D．数据4.Word 2010 窗口界面的组成部分中，除常见的组成元素外，还新增加的元素是（）。

A.标题栏B．快速访问工具栏C．状态栏D．滚动条5.按快捷键<Ctrl>+<S>的功能是（）。

A．删除文字B．粘贴文字C．保存文件D．复制文字6.在Word2010 中，快速工具栏上标有“软磁盘”图形按钮的作用是（）文档。

A.打开B．保存C．新建D．打印7.在Word 2010 中“打开”文档的作用是（）。

A.将指定的文档从内存中读入、并显示出来B.为指定的文档打开一个空白窗口C.将指定的文档从外存中读入、并显示出来D.显示并打印指定文档的内容8.Word 2010 有记录最近使用过的文档功能。

如果用户处于保护隐私的要求需要将文档使用记录删除，可以在打开的“文件”面板中单击“选项”按钮中的( )进行操作。

A.常规B．保存C．显示D．高级9.在WORD 中页眉和页脚的默任作用范围是( )：A.全文B.节C.页D.段10.关闭当前文件的快捷键是（）。

A.Ctrl+F6B．Ctrl+F4C．Alt+F6D．Alt+F411.（）标记包含前面段落格式信息。

A.行结束B．段落结束C．分页符D．分节符12.在Word2000 中，当建立一个新文档时，默认的文档格式为（）。

A．居中B．左对齐C．两端对齐D．右对齐13.Word 2010 的视图模式中新增加的模式是（）。

A.普通视图B．页面视图C．大纲视图D．阅读版式视图14.在Word 的编辑状态，单击"还原"按钮的操作是指：（）。

A.将指定的文档打开B.为指定的文档打开一个空白窗口C.使当前窗口缩小D.使当前窗口扩大15.在Word 2010 的编辑状态，执行编辑菜单中“复制”命令后（）。

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章 有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

高中英语知识点扫描大全最新一、定语从句与强调句陷阱题详解1.The factory was built in a secret place, around high mountains.A.which wasB. it wasC. which wereD. them were【陷阱】容易误选A 或B，将A、B 中的which 和it 误认为是其后句子的主语。

【分析】最佳答案是C，around which were high mountains 是一个由“介词+which”引出的非限制性定语从句，而在该从句中，主语是high mountains，around which 是表语，所以句子谓语应用复数were，而不是用单数was。

请做以下类例题目（答案均为C）：(1)Yesterday we visited a modern hospital, around some fruit shops.A.which isB. it isC. which areD. them are(2)The murder happened in an old building, beside the city police station.A.which areB. it isC. which isD. them are(3)Next month we’ll move to a new building, next to a nice restaurants where we can have Chinese food.A.which areB. it isC. which isD. them are2.A man with a bleeding hand hurried in and asked, “Is there a hospital around I can get some medicine for my wounded hand?”A.thatB. whichC. whereD. what【陷阱】容易误选B，认为around 是介词，选which 用以代替前面的名词hospital，在此用作介词around 的宾语。

中考英语知识点梳理：动词讲解考点一: 动词的分类动词按照含义及它们在句中的作用分为四类，即行为动词，也称实义动词，(连)系动词、助动词和情态动词。

一、动词的分类1.实义动词的用法(及物动词与不及物动词)实义动词是能独立作谓语的动词。

按其是否跟宾语分为及物动词(vt.)和不及物动词(vi.)。

(1)及物动词及物动词本身意义不完整，需要接宾语才能使其意思表达完整，如reach，ask，return，love，need。

具体用法为：①动词＋宾语。

如：He reached Canada yesterday.他昨天到达加拿大。

②动词＋宾语＋宾语补足语。

如：They asked me to go fishing with them.他们让我一起去钓鱼。

I saw the children play in the park yesterday.昨天我看见孩子们在公园里玩。

注意：带省略 to 的不定式或现在分词作宾补的常考动词有：make，let，have，see，watch，notice，hear 等。

③动词＋间接宾语＋直接宾语。

如：I will return the storybook to him.我准备把故事书还给他。

注意：带双宾语的常考动词有：give，bring，buy，get，leave，lend，make，offer，pass，teach，tell，r each，return 等。

(2)不及物动词不及物动词本身意思完整，无须接宾语，构成“主语＋谓语”的句型，如swim，come，go，run，travel 等；若后面接宾语，必须与介词连用。

如：Lucy is swimming. 露西正在游泳。

I am waiting for you at the school gate.我正在校门口等你。

(3)有些动词既可作及物动词，又可作不及物动词。

如：We study English.我们学习英语。

(及物)We study hard.我们学习努力。

第一章 有理数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数:32,7，3π+8，sin60o 。

第二章 整式的加减考点一、整式的有关概念 （3分)1、单项式只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示,如b a 2314-，这种表示就是错误的,应写成b a 2313-。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如c b a 235-是6次单项式。

考点二、多项式 （11分）1、多项式几个单项式的和叫做多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

第三章一元一次方程考点一、一元一次方程的概念（6分)1、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程0≠=+bax叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。

a）x为未知数，（0第四章图形的初步认识考点一、直线、射线和线段(3分)1、点和直线的位置关系有线面两种:①点在直线上,或者说直线经过这个点.②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

2、线段的性质（1)线段公理:所有连接两点的线中,线段最短。

也可简单说成：两点之间线段最短。

(2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

3、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

第一节从生物圈到细胞高一生物必修一复习提纲第一章走进细胞1.细胞是生物体结构和功能的基本单位.生命活动是建立在细胞的基础上的.●无细胞结构的病毒必需寄生在活细胞中才能生存.●单细胞生物(如:草履虫),单个细胞即能完成整个的生物体全部生命活动.●多细胞生物的个体,以人为例,起源于一个单细胞:受精卵,经过细胞的不断分裂与分化,形成一个多细胞共同维系的生物个体.2.细胞是最基本的生命系统. 最大的生命系统是：生物圈。

生命系统结构层次：细胞组织器官系统个体种群群落生态系统生物圈第二节细胞的多样性与统一性一.细胞的多样性与统一性1.细胞的统一性: 细胞膜,细胞质,细胞质中都有核糖体.主要遗传物质都是 DNA.2.细胞的多样性: 大小,细胞核,细胞质中的细胞器,包含的生物类群等均不同.根据细胞内有无以核膜为界限的细胞核,把细胞分为真核细胞和原核细胞两大类.这两类细胞分别构成了两大类生物:原核生物和真核生物.●:乳酸菌,大肠杆菌,根瘤菌,霍乱杆菌,炭疽杆菌.●常见的蓝藻有: 颤藻,发菜,念珠藻,蓝球藻.●常见的真菌有:酵母菌.二:细胞学说建立(德科学家:施旺,施莱登) 细胞学说说明细胞的统一性和生物体结构的统一性。

1、细胞是一个有机体，一切动植物都由细胞发育而来，并由细胞和细胞产物所组成。

2、细胞是一个相对独立的单位，既有它自己的生命，又对与其他细胞共同组成的整体的生命起作用。

3、新细胞可以从老细胞中产生。

第二章: 组成细胞的分子.第一节: 组成细胞的元素与化合物一: 元素组成细胞的主要元素是: C H O N P S 基本元素是: C H O N 最基本元素: C组成细胞的元素常见的有 20 多种,根据含量的不同分为: 大量元素和微量元素.大量元素: C H O N P S K Ca Mg 微量元素: Fe Mn Zn Cu B Mo生物与无机自然界的统一性与差异性. 元素种类基本相同,元素含量大不相同.占细胞鲜重最大的元素是: O 占细胞干重最大的元素: C二:组成细胞的化合物:无机化合物:水,无机盐细胞中含量最大的化合物或无机化合物:水有机化合物:糖类,脂质,蛋白质,核酸.细胞中含量最大的有机化合物或细胞中干重含量最大的化合物：蛋白质。

（完整版）office单项选择试题库（答案）（可编辑修改word版）一、单项选择题：1.在 Word2010 中,给每位家长发送一份《期末成绩通知单》，用（D）命令最简便。

A.复制B.信封C.标签D.邮件合并2.Excel2010 中，要录入身份证号，数字分类应选择（D）格式。

A.常规 B 数字（值） C 科学计数 D 文本 E 特殊3.在Powerpoint2010 中，从当前幻灯片开始放映幻灯片的快捷键是（ A ）A.Shift+F5B.F5C. Ctrl+F5D.Alt+F54.如果用户想保存一个正在编辑的文档，但希望以不同文件名存储，可用（B）命令。

A.保存B.另存为C.比较D.限制编辑5.下面有关 Word2010 表格功能的说法不正确的是（D ）。

A.可以通过表格工具将表格转换成文本B.表格的单元格中可以插入表格C.表格中可以插入图片D.不能设置表格的边框线6.Word 2010 中文版应在( D )环境下使用。

A、DOSB、WPSC、UCDOSD、Windows7.Word 中( C )视图方式使得显示效果与打印预览基本相同。

A、普通B、大纲C、页面D、主控文档8.将 Word 文档的连续两段合并成一段，可使用以下( B )键。

A、[Ctrl]B、[Del]C、[Enter]D、[Esc]9.将文档中的一部分文本移动到别处，先要进行的操作是( C )。

A、粘贴B、复制C、选择D、剪切10.在WORD 中，段落格式化的设置不包括( B )。

A、首行缩进B、字体大小C、行间距D、居中对齐11.在 Word 中，如果当前光标在表格中某行的最后一个单元格的外框线上，按 Enter 键后，( C )A、光标所在列加宽B、对表格不起作用C、在光标所在行下增加一行D、光标所在行加高12.在 Word 中，字体格式化的设置不包括(A )。

A、行间距B、字体的大小C、字体和字形D、文字颜色13.Word 2010 编辑状态下，利用（ D ）可快速、直接调整文档的左右边界。

正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：y=k (一定)x例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。

工总＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量工时路程＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。

时间（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x × y = k （一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。

（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。

知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。

（2）若符合y=k (一定)，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反x比例；否则，这两种量就不成比例关系。

【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。

八年级生物上册知识点总结第一章1、各种动物的特征：1.腔肠动物：身体呈辐射对称；体表有刺细胞；有口无肛门（如海葵、海蛰、珊瑚虫）2.扁形动物：身体呈两侧对称；背腹扁平；有口无肛门（如涡虫、华枝睾吸虫、日本血吸虫）3.线性动物：身体细长，呈圆柱形；体表有角质层；有口有肛门（如蛔虫、蛲虫、钩虫、丝虫）4.环节动物：身体呈圆筒形，有许多彼此相似的体节组成；靠刚毛或疣足辅助运动（如沙蚕、5.软体动物：柔软的身体表面有外套膜，大多具有贝壳；运动器官是足（如缢蛏、石鳖、蜗牛、鱿鱼、章鱼，乌贼、扇贝、蛾螺等）6.节肢动物：体表有坚韧的外骨骼；身体和附肢都分节（节肢动物门包括昆虫纲、甲壳纲、蛛形纲、多足纲）7.鱼类：生活在水中；体表常有鳞片覆盖；用鳃呼吸；通过尾部和躯干部的摆动以及鳍的协调作用游泳8.两栖类：幼体生活在水中，用鳃呼吸；成体大多生活在陆地上，也可在水中游泳，用肺呼吸，皮肤辅助呼吸9.爬行类：体表常有角质的鳞片或甲，有肺呼吸，卵生，卵表面有坚硬的外壳10.鸟类：体表覆羽；前肢变成翼；有喙无齿；有气囊辅助肺呼吸11.哺乳类：体表被毛；胎生、哺乳；牙齿有门齿、犬齿、臼齿的分化二、常考的典型动物：1.蚯蚓（1）前后、背腹面的区分：前端有环带，而后端没有；背面颜色较深，腹面的颜色较浅。

（2）用手抚摸蚯蚓的体节腹面处，有粗糙不平的感觉。

因为腹部有刚毛，可以与肌肉配合运动。

（3）用手抚摸蚯蚓的体壁，感觉体表有黏液，具有辅助呼吸的作用；因此实验过程中要使蚯蚓体表保持湿润，实验后蚯蚓要放回到阴暗潮湿，富含腐殖质的土壤中。

2.蝗虫（1）全身结构分头部、胸部、腹部三部分，其中头部负责感觉和摄食（1对触角，一对复眼，三个单眼，口器），胸部为运动中心（三对足，两对翅），腹部容纳内脏器官（气管为呼吸器官）。

（2）身体和附肢分节，好处：运动更加的灵活、精巧，从而增强生存能力。

（3）体表有外骨骼，好处:①保护体内柔嫩的器官②防止体内水分的蒸发。

力知识要点：一、力的概念：力是物体之间的相互作用。

力的一种作用效果是使受力物体发生形变；另一种作用效果是使受力物体的运动状态发生变化，即产生加速度。

这两句话既提示我们研究力学问题首先要确定研究对象（突出相互作用双方中的主体研究方向），又指出分析或量度受力可以从形变或加速度两个方面下手，这也就成为了研究力学问题的总出发点。

二、力的单位：在国际单位制中，力的单位是牛顿。

三、对力的概念的几点理解：1、力的物质性。

不论是直接接触物体间力的作用，还是不直接接触物体间力的作用；不论是宏观物体间力的作用，还是微观物体间力的作用，都离不开施力者，都离不开物质。

2、力的相互性。

施力者同时是受力者，作用力和反作用力大小相等，方向相反，同种性质，分别作用在相应的两个物体上。

并同时存在，同时消失。

3、力的矢量性。

物体受力所产生的效果，不但与力的大小有关，还跟力的作用方向和作用位置有关。

所以，力的大小、方向和作用点叫力的三要素。

力的合成和分解遵从矢量平行四边形法则。

4、力的作用离不开空间和时间。

力的空间累积效应往往对应物体动能的变化；力的时间累积效应往往对应物体动量的变化。

5、在力学范围内，所谓形变是指物体形状和体积的变化。

所谓运动状态的改变是指物体速度的变化，包括速度大小或方向的变化，即产生加速度。

四、力的种类：力的分类方法非常多，常用的有按力的性质命名；按力的效果命名；按力的本质归结。

比如：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力、核力等等是按力的性质命名的。

张力、压力、支持力、阻力、向心力等等是按力的效果命名的。

自然界一切实在的相互作用，按本质说，都可以归结为四种，即：万有引力，电磁力，强相互作用力和弱相互作用力。

高中物理课中出现的弹力、摩擦力、分子力从本质上看都是微观粒子间的电磁相互作用。

核力又包括具有不同本质的强相互作用和弱相互作用。

五、重力：1、重力的定义一般有以下两种。

（1）重力是由于地球的吸引而使物体受到的力。

矣于圆与方程的知识点整理一、标准方程：(x-rt)0+(y-b)・=厂 二一般方程：A"+r+Dx+£y + F = 0(D - +F--4F>0)1・ AF + By- + + Dx+Ey+F = 0 表示圆方程则「A — B 工 O O <5 U - O2 _ 4 F > O [Q 2 + £2 _ 4 A F > O 2•求圆的一般方程一般可采用待定系数法。

3・D" + £- -4F > 0常可用来求有关参数的范帀 三'点与圆的位g 矢系1・判断方法：点到圆心的距离d 与半径『的大小：〃<厂=> 点在圆内：d = r=>点在圆上：J>r=>点在圆外2•涉及最值：(1)圆外一点圆上一动点P,讨论|PB|的最值max四、S 线与圆的位置矣系L 判断方法(d 为圆心到宜线的距离〉：(1)柑离O 没有公共点=>△< OodAr ： (2)相切O 只有一 个公共点oA = 0od = r ： (3)柑交O 有两个公共点>0od<r 。

这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圜相交让你求有关参数的范围.2 •宜线均圆相切(1)知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C 相切意味着什么？圜心C 到直线/的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过世点的切线方程① 切线条数：点在圆外一两条：点在圆上……一条：点在圆内……无 ② 求切线方程的方法及注意点f n 、 2 "E 、k V z+ TV I z 『3 仁=|BN| = |BC|-r卜 |BC|+厂讨谐中的最值U - Oi)点在圆外J 如泄点 P(X ,)* 圆：(x-aY +(y-hy =r . [(x -aY+(y -/?)" >r-] 0 0 0 0第一步：设切线/方程y-yo = k （兀一小）：第二步：通过〃 =『=>«,从而得到切线方程 特別I 注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点P （l, 1）作圆F + r — 4x — 6y+12 = 0的切线，求切线方程.ii ）点在圆上J <1）若点（xo, yo ）在阿x+j = r 上，则切线方程为x x + yy = r^■ ■ ■ ■U 0（2）若点 a ，y ）在圆（.<-«）■ +（y-/?）' = r 则切线方程为 a -"）（兀 一 "）+（y -方）（，一方）=八由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常磴要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 件Jf AC\= r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程<' 如心=-1J （l + P ）［（西+£）2-4 气 xj（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而；1^点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若E^（.v-3/+（y + 5/ = r 上有且仅有两个点到直线4%-3>'-2 = 0的距离为1,则半径厂的取值范用是4•直线与圆相离：会对宜线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、対称间题1. 若圆疋+尸+（川2 -l ）x + 2加$—加=0,关于直线X — y + l = 0,则实数加的值为答案:3 （注意：m = -\时，D- + £--4F<0.故舍去）变式：已知点A 是圆C:“+r + ar + 4y -5 = 0匕任意一点・A 点关于宜线x + 2y-\ =0的对称点在圆C 上，则实数《= _________ ・2•圆（x-l/+（y-3/= 1关于宜线x + y = 0对称的曲线方程是 变式：已知圆（x-4）2+（y-2）2 = I 与圆C2： （x-2/+（y-4）'= 1关于宜线/对称，则直线/的方程为 3•圆（—3）2+0 + 1）2 =1关于点（2. 3）对称的曲线方程是, 4•已知直线y = x + h^圆C ： F+r=l,问：是否存在实数b 使自A （3,3）发出的光线被直线/反射后与③求切线长：利用基本图形，AP-=|CPF CP"-r-3 •直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式：/=ViTPiv'■/f 24 7、 B ' .1?若存在，求出b 的值：若不存在，试说明理由.1 25 25 I 丿方法主要有三种：（1）数形结合：（2〉代换：（3）参数方程（1） 丄 的最大值和最小值：一一看作斜率 （2） y-X 的报小值；一一截距（线性规划） X-5（3） X- + y-的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方 2•已知 AAOB 中，\OB\ = 3 , \OA\ = 4. \AB\ = 5 •点 P 是AAOB 内切圆上一点，求以 pA|, |PB|, pO|为直径的三个圆而枳之和的最大值和最小值.数形结仟和参数方程两种方法均可!3 •设P （x. y ）为圆x-+{y-\Y = 1上的任一点，欲使不等式犬+ y + c>0恒成立，则e 的取值范用是,■答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）L 若直线"u ・ + 2ny — 4 = 0 （ m , neR 始终平分圆，+ y2-4x-2y-4 = 0的周长，则的取值范围是2. 已知圆C ： x-+r _2x + 4y-4 = 0.问：是否存在斜率为1的宜线/,使/被圆C 截得的弦为AB .以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出宜线/的方程，若不存在，说明理由. 提示：XX +3' y =0或弦长公式d = Jj+ E2 -v 一X3•已知圆C ： (x-3/+(y-4/=b 点A((U). 3(0.1),设P 点是圆C 上的动点，d = \PA\"+\PB\\ 求 d的最值及对应的P 点坐标.4 •已知圆 C J (X-1)'+(3'-2)" =25 r 宜线 / ：(2加 + 1)兀+ (w + l)y-7〃?一4 = 0 (weR) （1） 证明：不论也取什么值，宜线/与圆C 均有两个交点; （2） 求苴中弦长最短的直线方程.5•若宜线y = -x + k^曲线x = -/-f 恰有一个公共点，则R 的取值范I 利.6 •已知圆£ + y2+x-6y +加=0与宜线x + 2y-3 = 0交于P. 0两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数也,使OP 丄OQ,若存在，求出W 的值；若不存在，说明理由.圆c 相切于点 L 已知实数X, y 满足方程宀严一4兀+1=0,求:七'圆的参数方程r...Z c\ |x=/・cos X ・+y ・=/*-(r>0)Oy =为参数：(%-«) +(y-h) =r (r>0)o1 M Jx=a+rcos y = b + rsin为参・答案J x-y+1 = 0或大一y — 4 = 0I •判断方法：几何法（d 为圆心距）:（1） dA 打+厂20外离 （3） |打一巧［vdv 斤+巧0相交 （4） t/= r-zs O 内切 2 •两圆公共弦所在直线方程圆C ： }r+y-+Dx+Ey + F=0.圆C ： jr+y^+Dx + Ey + F =0,I I I I 2 2 2 2则（D,-D2）x + （£,-£2）y + （F,-F2）= 0为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G 与C2相切，则表示其中一条公切线方程：若G 与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题(1)过两圆 C J jr+y- + Dx + Ey + F = 0 和 C J X - +y- + D X + E y + F =0 交点的圆系方程为 J I I I 2 22 2 F + ))2 + Dj.v + 耳y + 斤+ (“+>^ + D;v + gy + g)=0 ( H-说明：1）上述圆系不包括C2 : 2）当 =-1时，表示过谢圆交点的直线方程（公共弦）(2)过宜线？b ・+B.\・+C=0打圆 十Dx+£> + F = 0交点的圆系方程 x-+y^+Dx+Ey+F+ (Ax+By + C)= Q（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线：②相外切时，有三条公切线：③相交时，有两条公切线：④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1） 世义法（圆的定义）（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程•例:过圆F + y? =1外一点人（2, 0）作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随列一点的变动而变动 特点为：主动点一宦在某一已知菇亘所表示的（固崔）轨迹上运动.例1 •如图，已知定点A （2,0）,点2是圆F+r= I 上的动点，ZA0Q 的平分线交AS 于当0点在圆上 移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线；^^理和泄比分点公式・例2 •已知圆O ： x-+y-=9,点A （3,0）, B 、C 是圆Ot:的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且(2) </ =八+^0外切(5) d< n -ri o 内含分析：|0円'+4"|=4^2|AABAC = _ ,求MBC的重心G的轨迹方程. 3法I：-ZBAC=-, :.\BC\为定长且等于3^/3X A+X B +X C 3 +X B +X Cx =——3 ----- =——3——Xi+Vfl+yc^yB+Jc3 3「33) (2厂31取BC的中点为址€|-一卩£€| -込」IL24 丿 1 4 2J94••• \OE" + \CE" = ]pC : /.兀£ + >£'"=(1)XB + XC 尸—2- y+y >■ =^- £ 23 + 2XE 兀=—3—J XB + XC=2XE n I y+y =2y，••(3x-3"\ (3 V 93x-3富=—-3 \y =_yI E 2故由（1）得: ____ I +1 I =_n(Z)I 2丿l2丿4 + r =1 xe 0,3、-，y €2)-邑112 I法2：(参数法) 2设B(3cos Jsin )•由ZBOC=2ZBAC= _3C 3cos|\ I 2 ) ( + L3sin| + '丿VX + X + Xy- A B C_A ——(2 }3 + 3cos +3cos . + — II 3(2、=I + cos +cos|「+ 」•••(！)3(2_'3s】n +3sin|l+ 3 丿.• ( “ /八y =〉l +)4+)S = ----------- --------- = sin +sin | + —・・「・(2)2 22 「3、+(2)得：(X-1) +y = 1 xe 0,-」€-2^3 12 I参数法的本质是将动点坐标（x,y）中的X和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程, 通过参数的范围得出X , y的范(4) 求轨迹方程常用到得知识心 + XB + XCIX = ________ 4 ___ .②中点I匕分点公式：磊 ⑤韦达世理•高中数学圜的方程典型例题类型一:圓的方程例1求过两点A(l,4)、8(3,2)且圆心在直线j = 0 I;的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.圆的方程为(X+1)2+),2 =20：点P 在圆外.例2求半径为4.与圆* + y2-4x-2y-4 = 0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.圆的方程为(兀一2 — 2^/^)2+0 + 4)2 =42,或(x-2 + 275)2 + (y + 4)2 = 42 . 例3求经过点A(0,5),且与宜线x-2y = 0和2兀+ y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确世圆的方程.需确崔圆心坐标与半径，由于所求圆过世点A ,故只需确；^^圆心坐标・又圆与两 已知宜线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上・解：•「圆和直线x-2y = (Pj2x+y = 0相切• •••圆心C 在这两条直线的交角平分线上.又圆心到两直线X -2y = 0和2x+y = 0的距离相等.•••两直线交角的平分线方程是x + 3y = 0或3x-y =0.又T 圆过点4(0,5),•••圆心C 只能在直线3»•-y = 0③内角平分线世理:BD\ _ \AB\x-2y x+2y r ■75・XI +X2上.设圆心C{t, 3r)V C到宜线2x + y = 0的距离等于AC\二1?£^ =护+（3一5）2 . v5化简整理得t--6t + 5 =0-解得：21或f = 5•••圆心是(1,3),半径必或圆心是(5.15),半径为5j^・•••所求圆的方程为（X-1）2+0-3）2 = 5 或（兀一5）2+0-15）2= 125 ・说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确；4^圆心坐标得到圆的方程, 这是过;^点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法• 例4 -设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2： (2)被兀轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件⑴⑵的所有圆中，求圆心到直线X-2y = 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程.只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程-满足两个条件的圆有无数个•其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确世圆的半径，求出圆的方程•解法一：设圆心为P(« ■ h),半径为I 则P到X轴、y轴的距离分卩1为PI和由题设知：圆截X轴所得劣弧所对的圆心角为90。

第一章 有理数一、知识网络结构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧科学记数法有理数大小比较律、分配律运算律：交换律、结合、混合运算加、减、乘、除、乘方运算负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数按正负分负分数正分数分数负整数正整数整数按定义分分类近似数和有效数字相反数、绝对值、倒数数轴正数、负数相关概念有理数0二、知识要点1、大于______的数叫正数，根据需要，有时正数前面加上，通常这个“＋”号_____省略。

在正数前面加上一个______的数叫做负数，这个“－”号_______省略。

______既不是正数，也不是负数，它不仅仅表示没有，它是正数和负数的_______。

在同一个问题中，分别用正数和负数表示具有_____________的量，如果正数表示某种意义的量，那么负数表示与它相反的意义的量，但把哪个量规定为正数是可以任意选择的。

2、_______、_______、_________统称为整数，整数可以看作分母为______的分数，正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。

3、有理数分类：按定义来分⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数负整数正整数_______0_______ ； ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数正分数正整数按正负来分________________________ 4、正有理数常常称为正数，负有理数常常称为_______，正整数和0统称________，负整数和0统称________，正数和0统称________，负数和0统称_________ 。

如果ａ是非负数，则 ａ≥0 。

0 可以 － 不可以 0 分界 相反意义正整数 0 负整数 1 整数 分数 正有理数 0负有理数 负数 非负整数 非负数 非正整数 非正数5、规定了_______、__________和___________的直线叫数轴。

第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1 实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质⎪1、实数⎧有理数: 任何有理数都可以用分数形式 q ( p , q 为整数且q ≠ 0) 表示，⎪p ⎨也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示. ⎪⎩ 无理数: 用无限十进不循环小数表示.R = {x | x 一 一 一 }- - 一 一 一 一 一 一 一 ．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利 的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：例：2.001 → 2.0009999 ； 3 → 2.9999 ； -2.001 → -2.009999 -3 → -2.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1） 定义 1 给定两个非负实数x = a 0 .a 1 a n ， y = b 0 .b 1 b n . 其中对于正有限小数x = a 0 .a 1a 2 a n , 其中0 ≤ a i ≤ 9, i = 1, 2, , n , a n ≠ 0, a 0为非负整数，记x = a 0 .a 1 a n -1 (a n -1)9999 ；对于正整数x = a 0 , 则记x = (a 0 -1).9999 ；对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将- y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0 表示为 0＝ 0.0000a 0 ,b 0 为非负整数， a k , b k (k = 1, 2, ) 为整数， 0 ≤ a k ≤ 9, 0 ≤ b k ≤ 9 ． 若有a k = b k , k = 0,1, 2, ，则称 x 与 y 相等，记为 x = y ；若a 0 > b 0 或存在非负整数l ，使得a k = b k , k = 0,1, 2, , l ，而a l +1 > b l +1 ，则称x 大于 y 或 y 小于x ， 分别记为 x > y 或 y < x ． 对于负实数 x 、 y ， 若按上述规定分别有-x = - y 或-x > - y ，则分别称为x = y 与x < y （或 y > x ）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义 2（不足近似与过剩近似）： x = a 0 .a 1 a n 为非负实数，称 有理数 x = a .a a 为实数 x 的n 位不足近似； x = x + 1称为实数 xn0 1nn n10n的n 位过剩近似， n = 0,1, 2, .对于负实数 x = -a .a a，其n 位不足近似 x = -a .a a - 1； 0 1 nn 位过剩近似x n = -a 0 .a 1 a n .n 0 1 n10n注：实数 x 的不足近似 x n 当n 增大时不减，即有 x 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ； 过剩近似 x n 当 n 增大时不增，即有x 0 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ ．命题：记 x = a 0 .a 1 a n ， y = b 0 .b 1 b n 为两个实数，则 x > y 的等 价条件是：存在非负整数 n ，使x n > y n （其中x n 为x 的n 位不足近似，y n 为 y 的n 位过剩近似）．命题应用例 1．设x , y 为实数， x < y ，证明存在有理数r ，满足x < r < y ． 证明：由 x < y ，知：存在非负整数 n ，使得x < y ．令r =1(x+ y )，nn则 r 为有理数，且x ≤ x n < r < y n ≤ y ．即x < r < y ．2nn⎩3、实数常用性质（详见附录Ⅱ． P 289 - P 302 ）．1） 封闭性（实数集R 对+, -,⨯, ÷ ）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数．2） 有序性： ∀a , b ∈ R ，关系a < b , a > b , a = b ，三者必居其一，也只居其一.3） 传递性： ∀a ，b ，c ∈ R ， 若a > b , b > c ，则a > c ．4） 阿基米德性： ∀a , b ∈ R , b > a > 0 ⇒ ∃n ∈ N 使得na > b ．5） 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6） 一一对应关系：实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．例 2．设∀a , b ∈ R ，证明：若对任何正数，有a < b +，则a ≤ b ．（提示：反证法．利用“有序性”，取= a - b ）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为| a |= ⎧ a ,a ≥ 0 ．⎨-a a < 02、几何意义从数轴看，数a 的绝对值| a | 就是点a 到原点的距离．| x - a | 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）| a |=| -a |≥ 0;| a |= 0 ⇔ a = 0 （非负性）；2） - | a |≤ a ≤| a | ；3）| a |< h ⇔ -h < a < h ，| a |≤ h ⇔ -h ≤ a ≤ h .(h > 0) ；abn (1 + x )n n 4）对任何a , b ∈ R 有| a | - | b |≤| a ± b |≤| a | + | b |（三角不等式）；5）| ab |=| a | ⋅ | b |；6）= | a |（ b ≠ 0 ）．| b |三、几个重要不等式1、a 2 + b 2 ≥ 2 ab ,sin x ≤ 1. sin x ≤ x .2、均值不等式:对∀a 1, a 2 , , a n ∈ R + , 记M (a ) =a 1 + a 2 + + a n =1∑na ,(算术平均值)in n i i =11 ⎛ n ⎫ nG (a i ) = = ∏ a i ⎪ , (几何平均值)H (a ) =⎝ i =1 ⎭n = 1= n .(调和平均值) i1 + 1 + + 1 1 ∑n 1 ∑ 1 a 1 a2 a n n i =1 a i i =1 a i有平均值不等式: H (a i ) ≤ G (a i ) ≤ M (a i ), 即：n ≤≤ a 1 + a 2 + + a n1 + 1 + + 1 na 1 a 2 a n等号当且仅当a 1 = a 2 = = a n 时成立.3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)∀x > -1, 有不等式(1+ x )n ≥ 1+ nx ,n ∈ N .当x > -1且 x ≠ 0 , n ∈ N 且n ≥ 2 时,有严格不等式(1 + x )n > 1 + nx .证：由1 + x > 0 且1 + x ≠ 0, ⇒ (1 + x )n + n - 1 = (1 + x )n + 1 + 1 + + 1 >> n = n (1 + x ). ⇒ (1 + x )n > 1 + nx .4、利用二项展开式得到的不等式:对∀h > 0, 由二项展开式n a 1a 2 a n⎨二 绝对值与不等式 (1 + h )n = 1 + nh +n (n -1) h 2 +n (n -1)(n - 2)h 3 + + h n ,2!3!有(1 + h )n > 上式右端任何一项.［练习］P4．5 ［课堂小结］：实数： ⎧一 实数及其性质.⎩[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2 数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2 数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念；(2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1 、证明：对任何x ∈R 有： (1)| x -1| + | x -2 |≥ 1 ； (2)| x -1| + | x - 2 | + | x - 3 |≥ 2 .（（1） x-1=1+(x-2)≥1-x-2,∴x-1+x-2≥1）（（2）x -1 +x - 2 ≥1, x - 2 +x - 3 ≥1, x - 2 +x - 3 ≥ 2.三式相加化简即可）2、证明：| x | - | y | ≤| x -y |.3、设a,b∈R，证明：若对任何正数有a+b<，则a≤b.4、设x, y ∈R, x >y ，证明：存在有理数r 满足y <r <x .[引申]：①由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用来表示变量的变化范围）⎧有限区间设a, b ∈R 且a <b .区间⎨，其中⎩无限区间⎨⎪ ⎨ ⎪ + +⎧ ⎪ ⎪ ⎪有限区间⎪⎪ ⎪ 开区间: {x ∈ R | a < x < b } = (a , b ) 闭区间: {x ∈ R | a ≤ x ≤ b } = [a , b ]⎧⎪闭开区间: {x ∈ R | a ≤ x < b } = [a , b ) ⎪半开半闭区间⎨⎩⎪⎪⎩开闭区间: {x ∈ R | a < x ≤ b } = (a , b ]⎧ {x ∈ R | x ≥ a } = [a , +∞).⎪{x ∈ R | x ≤ a } = (-∞, a ]. 无限区间⎪{x ∈ R | x > a } = (a , +∞).⎪{x ∈ R | x < a } = (-∞, a ). ⎪⎩{x ∈ R | -∞ < x < +∞} = R .2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1） a 的邻域：设a ∈ R ,> 0 ，满足不等式| x - a |< 的全体实数x的集合称为点a 的邻域，记作U (a ;) ，或简记为U (a ) ，即U (a ;) = {x | x - a |< } = (a -, a +) .其中a 称为该邻域的中心，称为该邻域的半径. （2） 点a 的空心邻域U o (a ;) = {x 0 <| x - a |< } = (a -, a ) ⋃ (a , a +) U o (a ) .（3） a 的右邻域和点a 的空心右邻域U + (a ;) = [a , a +) U + (a ) = {x a ≤ x < a +};U 0 (a ;) = (a , a +) U 0 (a ) = {x a < x < a +}. （4） 点a 的左邻域和点a 的空心左邻域U - (a ;) = (a -, a ] U - (a ) = {x a -< x ≤ a }; U(a ;) = (a -, a ) U 0 (a ) = {x a -< x < a }.-+⎨ ⎬ （5） ∞ 邻域， + ∞ 邻域， -∞ 邻域U (∞) = {x | x |> M }, （其中 M 为充分大的正数）； U (+∞) = {x x > M }, U (-∞) = {x x < -M }二 、有界集与无界集1、定义 1（上、下界）：设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ) ，使得一切 x ∈ S 都有x ≤ M (x ≥ L ) ，则称 S 为有上（下）界的数集.数M (L ) 称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S 为有界集.闭区间[a , b ] 、开区间(a , b ) (a , b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = {yy = sin x , x ∈( - ∞ , + ∞ )}也是有界数集.若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界集.( - ∞ , + ∞ ) , ( - ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) 等都是无界数集,集合 E = ⎧ y ⎩ y = 1 , x x ∈ ( 0 ,1 )⎫也是无界数集.⎭注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例：例 1 讨论数集N + = {n | n 为正整数} 的有界性. 解：任取n 0 ∈ N + ，显然有n 0 ≥ 1 ，所以 N + 有下界 1；但 N + 无上界.因为假设 N + 有上界 M,则 M>0，按定义，对任意n 0 ∈ N + ， 都 有 n 0 ≤ M ， 这 是 不 可 能 的 ， 如 取n 0 = [M ] +（1 符号[M ]表示不超过M 的最大整数） 则n 0 ∈ N + ，且n 0 > M .综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.例 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义 2（上确界）设S 是R 中的一个数集，若数满足：(1) 对一切x∈S,有x≤（即是S 的上界）; (2) 对任何<，存在x0∈S ，使得x0>（即是S 的上界中最小的一个），则称数为数集S 的上确界，记作= sup S.从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题 1 M = sup E 充要条件1）∀x ∈E, x ≤M ；2）∀>o, ∃x0∈S, 使得x>M -.证明：必要性，用反证法 .设 2）不成立，则∃0>0,使得∀x∈E,均有x≤M-o，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即∃M是上界，但M>M0.令=M-M>0，由 2），∃x∈E，使得x>M-=M，与M是E 的上界矛盾.定义 3（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数满足：（1）对一切x∈S,有x≥（即是S 的下界）；（2）对任何>，存在x0∈S ，使得x0<（即是S 的下界中最大的一个），则称数为数集 S 的下确界，记作=inf S.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.⎝ ⎭ ⎝ ⎭命题 2 = inf S 的充要条件：1） ∀x ∈ E , x ≥ ；2） ∀＞0， x 0 ∈ S ,有x 0 ＜+.上确界与下确界统称为确界.⎧ (-1 )n ⎫例 3（1） S = ⎨1 +⎩⎬, 则sup S = 1 ； inf S = 0 . n ⎭ （ 2） E = {y y = sin x , x ∈ (0,)}. 则sup S =1； inf S =0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 3：设数集 A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设= sup A ，' = sup A 且≠' ，则不妨设<'= sup A ⇒ ∀x ∈ A 有x ≤' = sup A ⇒ 对<' ， ∃ x 0 ∈ A 使< x 0 ，矛盾.例： sup R - = 0 ， sup ⎛n ⎫= 1， inf ⎛n ⎫ = 1n ∈Z + n +1 ⎪ n ∈Z + n +1 ⎪ 2E = {-5, 0, 3, 9,11} 则有inf E = -5 .开区间(a , b ) 与闭区间[a , b ]有相同的上确界b 与下确界a例 4 设S 和 A 是非空数集，且有S ⊃ A . 则有sup S ≥ sup A , inf S ≤ inf A ..例 5 设 A 和 B 是非空数集.若对 ∀x ∈ A 和 ∀y ∈ B , 都有 x ≤ y , 则有sup A ≤ inf B .证明： ∀y ∈ B , y 是 A 的上界, ⇒ sup A ≤ y . ⇒ sup A 是 B 的下界,⇒ sup A ≤ inf B.例 6 A 和B 为非空数集, S =A B. 试证明: inf S = min{inf A , inf B }.证明：∀x ∈S, 有x ∈A 或x ∈B, 由inf A 和inf B 分别是A 和B 的下界,有x ≥ inf A 或x ≥ inf B. ⇒x ≥ min{inf A , inf B }.即min{inf A , inf B }是数集S 的下界,⇒ inf S ≥ min{inf A , inf B }.又S ⊃A, ⇒ S 的下界就是 A 的下界,inf S 是S 的下界, ⇒ inf S 是 A 的下界, ⇒ inf S ≤ inf A; 同理有inf S ≤ inf B.于是有inf S ≤ min{inf A , inf B }.综上,有inf S = min{inf A , inf B }.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2.确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若max E 存在,必有max E = sup E. 对下确界有类似的结论.4.确界原理:T h1.1(确界原理).设S 非空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明 E ⊂R, E 非空，∃x ∈E ，我们可以找到一个整数p ，使得p 不是E 上界，而p +1是E 的上界.然后我们遍查p.1 , p.2 , , p.9 和p + 1 ，我们可以找到一个q0 ，0 ≤q0 ≤ 9 ，使得p.q0 不是E 上界，p.(q0 + 1) 是E 上界，如果再找第二位小数q1 ， , 如此下10k去，最后得到 p .q 0 q 1q 2 ，它是一个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明） 不妨设S 中的元素都为非负数，则存在非负整数n ，使得1） ∀x ∈ S ，有x > n ；2） 存在x 1 ∈ S ，有x ≤ n + 1 ； 把区间(n , n + 1] 10 等分，分点为 n.1，ｎ.2，．．,ｎ.9, 存在n 1 ，使得 1） ∀ ∈ S ，有； x > n .n 1 ；2）存在x ∈ S ，使得x 2 ≤ n .n 1 + 1 ．210再对开区间(n .n , n .n + 1] 10 等分，同理存在n ，使得111021） 对任何x ∈ S ，有x > n .n 1n 2 ；2） 存在 x 2 ，使x 2 ≤ n .n 1n 2 + 1102继续重复此步骤，知对任何k = 1,2, ，存在n k 使得1） 对任何 x ∈ S ， x > n .n 1n 2 n k - 1； 2） 存在x k ∈ S ， x k ≤ n .n 1n 2 n k ．因此得到= n .n 1n 2 n k ．以下证明= inf S ．（ⅰ）对任意x ∈ S ， x >；（ⅱ）对任何>，存在x ' ∈ S 使> x ' ．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3 函数概念授课章节：第一章实数集与函数——§3 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念. 教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义１．定义１设D, M ⊂R ，如果存在对应法则f ，使对∀x ∈D ，存在唯一的一个数y ∈M 与之对应，则称 f 是定义在数集D 上的函数，记作f : D →Mx |→y .数集D 称为函数 f 的定义域，x 所对应的y ，称为f 在点x 的函数值，记为 f (x) .全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f (D) .即 f (D) ={y | y =f (x), x ∈D}.２．几点说明（1）函数定义的记号中“ f : D →M ”表示按法则 f 建立D 到M 的函数关系，x |→y 表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x |→f (x) .习惯上称x 自变量，y 为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：y =f (x), x ∈D .由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）f (x) =1, x ∈R,g(x) = 1, x ∈R \ {0}. （不相同，对应法则相同，定义域不同）2）(x) =| x |, x ∈R , (x) = x2 , x ∈R.（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则 f 来表示一个函数.即“函数y =f (x) ”或“函数 f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a ∈D ，f (a)称为映射 f 下a 的象. a 称为 f (a) 的原象.（5）函数定义中，∀x ∈D ，只能有唯一的一个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法1主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.⎨ ⎩⎨0,当x 为无理数, ⎨ F (x ) = f (x ) + g (x ), x ∈ D ； G (x ) = f (x ) - g (x ), x ∈ D ；H (x ) = f (x )g (x ), x ∈ D .⎧ 1, x > 0 例如sgn x = ⎪0, x = 0 ，（符号函数）⎪-1, x < 0（借助于 sgnx 可表示 f (x ) =| x |, 即 f (x ) =| x |= x sgn x ）.2） 用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 １） y = [x ] （取整函数）比如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [x ] ≤ x < [x ] +1 , 即0 ≤ x -[x ] < 1.与此有关一个的函数 y = x -[x ] {x } （非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数D (x ) = ⎧1,当x 为有理数, ⎩这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数⎧ 1,当x = p ( p , q ∈ N , p为既约分数) ,R (x ) = ⎪ q q+ q ⎪⎩0,当x = 0,1和(0,1)内的无理数. 三 函数的四则运算给定两个函数 f , x ∈ D 1 , g , x ∈ D 2 ，记D = D 1 D 2 ，并设D ≠ ，定义 f 与 g 在D 上的和、差、积运算如下：若在 D 中除去使 g (x ) = 0 的值，即令 D = D \ {x g (x ) ≠ 0, x ∈ D 2 } ≠ ，⎬ 可在D 上定义 f 与 g 的商运算如下； L (x ) =f (x ), x ∈ D . g (x )注：１）若D = D 1 D 2 =，则 f 与 g 不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写为：f +g , f - g , fg ,f .g四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v ，则功率E 为E = 1 mv 2 ⎫12 v = gt ⎪ ⇒ E = ⎪⎭mg 2t 2 . 2抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 f (v ) = 1mv 2 , v = gt ，把2v (t ) 代入 f ，即得f (v (t )) = 1mg 2t 2 .2这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；y = f (u ) = arcsin u , u ∈ D = [-1,1], u = g (x ) = 2 + x 2 , x ∈ E = R .就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2.定义（复合函数） 设有两个函数 y = f (u ), u ∈ D , u = g (x ), x ∈ E ，⎛ 1 ⎫ 2 x E = {x f (x ) ∈ D } E ，若 E ≠ ，则对每一个 x ∈ E ，通过 g 对应 D 内唯一一个值u ，而u 又通过 f 对应唯一一个值 y ，这就确定了一个定义在E 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y = f (g (x )), x ∈ E 或y = ( f g )(x ), x ∈ E .简记为 f g .称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数， u 为中间变量.3.例子 例y = f (u ) = u , u = g (x ) = 1 - x 2 . 求( f g )(x ) = f [g (x ).]并求定义域. 例⑴f (1 - x ) = x 2 + x + 1,f (x ) =.⑵f x + = x + 1. 则⎪⎝ ⎭f (x ) = ()A . x 2 ,B . x 2 + 1,C . x 2 - 2,D .x 2 + 2.例 讨论函数 y = f (u ) = u , u ∈[0, +∞) 与函数u = g (x ) = 1- x 2 , x ∈ R 能否进行复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？ 例 如 ： y = sin u , u = v , v = 1- x 2 ， 复 合 成 ：y = sin 1- x 2 , x ∈[-1,1] .２）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函x 2a 数，在分解时也要注意定义域的变化.①y = log a 1- x 2 , x ∈(0,1) → y = log u ,u = z , z = 1- x 2.② y = arcsin → y = arcsin u , u = v , v = x 2 +1.③ y = 2sin 2x → y = 2u , u = v 2 , v = sin x .五、反函数１.引言在函数 y = f (x ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：f (u ) = u , u = t 2 +1,那么u 对于 f 来讲是自变量，但对t 来讲， u 是因变量.习惯上说函数 y = f (x ) 中x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究 y 随x 的变化状况，也要研究x随 y 的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念. ２.反函数概念定义设 f : X → R 是一函数， 如果∀ x 1 ， x 2 ∈ X , 由x 1 ≠ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≠ f (x 2 )(或由 f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 )，则称 f 在 X 上是 1-1 的.若 f : X → Y ，Y = f ( X ) ，称 f 为满的.若 f : X → Y 是满的 1-1 的，则称 f 为 1-1 对应.f : X → R 是1-1 的意味着 y = f (x ) 对固定 y 至多有一个解x ， f : X → Y 是 1-1 的意味着对 y ∈Y ， y = 仅有一个解x .f (x ) 有且 x 2 +1y 2 +1 ⎨定义 设 f : X → Y 是1-1 对应. ∀y ∈Y , 由 y = f (x ) 唯 一确定一个 x ∈ X , 由这种对应法则所确定的函数称为y = f (x ) 的反函数，记为x = f -1( y ) .反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域f : X → Yf -1 : Y → X显然有f -1 f= I : X → X(恒等变换）f f -1 = I : Y → Y (恒等变换)( f -1 )-1 = f : X → Y .从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 y = f -1(x ) , 这样它的图形 与 y = f (x ) 的图形是关于对角线 y = x 对称的. 严格单调函数是 1-1 但 1-1 例子 f (x ) =⎧ x ,0 ≤ x < 1 ⎩3 - x ,1 ≤ x ≤ 2它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1. 确定 f : X → Y 的定义域 X 和值域Y ，考虑 1-1 对应条件.固定 y ∈Y ，解方程 f (x ) = y 得出 x = f -1( y ) .2. 按习惯，自变量x 、因变量 y 互换，得y = f -1(x ) . 例 求 y = sh (x ) = e x - e - x2：R → R 的反函数.解 固定 y ，为解 e x - e - x ，令2e x = z ，方程变为 2zy = z 2 -1 z 2 - 2zy -1 = 0 z = y ±( 舍去 y - )得x = ln( y + y 2 +1) ，即 y = ln(x + x 2 +1) = sh -1(x ) ，称为反双曲正弦. 定理 给定函数 y = f (x ) ，其定义域和值域分别记为 X 和Y ， 若在Y 上存在函数g ( y ) ，使得 g ( f (x )) = x , 则有g ( y ) = f -1( y ) .y 2 +1y =分析：要证两层结论：一是y =f (x) 的反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证g( y) = f -1( y) .证要证y =f (x) 的反函数存在，只要证 f (x) 是X 到Y 的 1-1 对应.∀x1，x2∈X ，若f (x1) = g( f (x1)) =x1f (x2 ) ，则由定理条件，我们有g( f (x2 )) =x2⇒x1 =x2，即 f : X →Y是 1-1 对应.再证g( y) = f -1 ( y) .∀y ∈Y ，∃x ∈X ，使得y = f (x) .由反函数定义x =f -1( y) ，再由定理条件g( y) =g( f (x)) =x . ⇒g( y) = f -1( y)例 f : R →R ，若f ( f (x)) 存在唯一（∃| ）不动点，则f (x) 也∃|不动点.证存在性，设x * = f [ f (x *)]，f (x *) = f f [ f (x * )]，即f (x * ) 是f f 的不动点，由唯一性 f (x * ) =x *，即存在f (x) 的不动点x *.唯一性：设x = f (x) ，x = f (x) = f ( f (x)) ，说明x 是 f f 的不动点，由唯一性，x = x *.从映射的观点看函数.设函数y =f (x), x ∈D .满足：对于值域 f (D) 中的每一个值y ，Ｄ中有且只有一个值x ，使得f (x) =y ，则按此对应法则得到一个定义在 f (D) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作f -1 : f (D) →D,( y |→x) 或x =f -1( y), y ∈f (D) .３、注释a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 f 有反函数，意味着 f 是Ｄ与 f (D) 之间的一个一一映射，称 f -1为映射 f 的逆映射，它把 f (D) →D ；b) 函数 f 与f -1 互为反函数，并有: f -1( f (x)) ≡x, x ∈D, f ( f -1(x)) ≡y, y ∈f (D).c)在反函数的表示x =f -1( y), y ∈f (D) 中，是以y 为自变量，x 为因变量.若按习惯做法用x 做为自变量的记号，y 作为因变量的记号，则函数 f 的反函数 f -1可以改写为y =f -1(x), x ∈f (D).应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别.六、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数y=C（Ｃ为常数）；幂函数y =x(∈R) ；指数函数y =a x(a > 0, a ≠ 1) ；对数函数y = logx(a > 0, a ≠ 1) ；a三角函数y = sin x, y = cos x, y =tgx, y = c tgx ；反三角函数y = arcsin x, y = arccos x, y =arctgx, y =arcctgx .注：幂函数y =x(∈R) 和指数函数y =a x(a > 0, a ≠ 1) 都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.定义２．给定实数a > 0, a ≠ 1 ，设x 为无理数，我们规定：⎨ ⎩ { } sin( ), y a ⎧ a x = ⎪sup {a r | r 为有理数},当a > 1时, r < x ⎪i nf a r | r 为有理数 ,当0 < a < 1时. r <x这样解决了中学数学仅对有理数ｘ定义a x 的缺陷．[问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如： y = 2 sin x + cos 2 x , y = 1 = l o g x + x e sinx -1 x 2, y =| x | . 不是初等函数的函数，称为非初等函数.如 Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究的主要对象.为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求下列函数的定义域.（１） y =（２） y = ln | sin x | . 3. 初等函数的几个特例: 设函数 f (x ) 和 g (x ) 都是初等函数, 则（1） f (x ) 是初等函数, 因为 f (x ) = ( f (x ))2 .（2） Φ(x ) = max {f (x ) , g (x )} 和 (x ) = min {f (x ) , g (x )}都是初等函数, 因为 Φ(x ) = max {f (x ) , g (x )} =1 [f (x ) + g (x ) +2 f (x ) - g (x ) ] , (x ) = min {f (x ) , g (x )} = 1 [f (x ) + g (x ) - 2f (x ) -g (x ) ] . x x -1（3）幂指函数(f(x))g ( x)(f (x) > 0)是初等函数,因为(f(x))g(x)=e ln(f ( x) )g(x)=e g ( x) ln f ( x) .［作业］P：3；4:（２）、（３）；5:（２）；7:（３）；11 15§4具有某些特性的函数授课章节：第一章实数集与函数——§4 具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期.教学重点：函数的有界性、单调性.教学难点：周期函数周期的计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成. 教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下.与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义 1 设f 为定义在 D 上的函数，若存在数M (L) ，使得对每一个x ∈D 有f (x) ≤M ( f (x) ≥L) ，则称f 为D 上的有上（下）界函数，M (L) 称为f 在D 上的一个上（下）界.注：（1）f 在D 上有上（下）界，意味着值域f (D) 是一个有上（下）界的数集；（2又）若M(L)为f在D 上的一个（上下）界则，任何大于（Ｍ小于Ｌ）的数也是 f 在D 上的上（下）界.所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：y=sin x，1 是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1 的数都可作为其下界；任何大于 1 的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；6 5 x 5 2 6（4） 由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数” 定义：f 在 D 上有界⇔ f (D ) 是一个有界集⇔ f 在 D 上既有上界又有下 界⇔ f 在 D 上的有上界函数，也为 D 上的有下界函数.2、有界函数定义定义 2 设 f 为定义在 D 上的函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个 x ∈ D 有| f (x ) |≤ M ，则称 f 为 D 上的有界函数.注：（1）几何意义： f 为 D 上的有界函数，则 f 的图象完全落在 y = M 和 y = -M 之间；（2） f 在 D 上有界⇔ f 在 D 上既有上界又有下界；例子： y = sin x , y = cos x ；（3）关于函数 f 在 D 上无上界、无下界或无界的定义.3、 例题例 1 证明 f : X → R 有界的充要条件为： ∃ M , m ，使得对∀x ∈ X , m ≤ f (x ) ≤ M . 证明 如果 f : X → R 有界，按定义∃ M >0，∀x ∈ X 有f (x ) ≤ M ，即 -M ≤ f (x ) ≤ M ,取m = -M ,M = M 即可. 反之如果∃ M , m 使得∀x ∈ X , m ≤ f (x ) ≤ M ，令M 0 = max { M +1, m }，则 f (x ) ≤ M 0 ，即∃ M 0 > 0 ，使得对∀x ∈ X 有界.f (x ) ≤ M 0 ，即 f : X → R 有 例 2．证明 例 3． 设 f (x ) = 1 为(0,1] 上的无上界函数. x f ,g 为 D 上 的 有 界 函 数 . 证 明 ： （ 1）inf f (x ) + inf g (x ) ≤ inf { f (x ) + g (x )} ；x ∈D x ∈D x ∈D（2） s up { f (x ) + g (x )} ≤ sup f (x ) + sup g (x ) .x ∈D x ∈D x ∈D例 4 验证函数 f (x ) = 5x 2x 2+ 3在R 内有界. 解法一 由2x 2 + 3 = ( 2x )2 + ( 3)2 ≥ 2 2x ⋅ = 2 x , 当x ≠ 0 时,有f (x ) = = 2x 2 + 3 ≤ = ≤ 3. f (0) ∴ 对 = 0 ≤ 3 ,∀x ∈ R , 总有 f (x ) ≤ 3,即 f (x ) 在R 内有界.解法二 令实数根.y =5x , ⇒ 2x 2 + 3 关于x 的二次方程 2 yx 2 - 5x + 3y = 0 有 3 5x 2x 2 + 3 5 x 2 6 x5 3 tgt 3 2 tg 2t + 1 5 sin t 16 cos t sec 2 t 5 2 6 2 2 ∴ ∆ = 52 - 24 y 2 ≥ 0, ⇒ y 2 ≤ 25 ≤ 4, ⇒ 24 y ≤ 2. 解法三 令 x = 3tgt , t ∈ ⎛- ⎫ 对应x ∈ ( - ∞ , + ∞ ). 于是f (x ) = 2 5x = 2x 2 + 3 ⎛ 3 , ⎪ ⎝ ⎭= = = ⎫2 2 tgt ⎪ + 3⎝ 2 ⎭= sin 2t , ⇒ f (x ) = sin 2t ≤ 5 . 2 6二、单调函数定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数， ∀x 1 , x 2 ∈ D , x 1 < x 2 , （ 1） 若 f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的增函数；若 f (x 1 ) < f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上 的严格增函数.（ 2） 若 f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) ， 则称 f 为 D 上的减函数； 若 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，则称 f 为 D 上的严格减函数.例 5．证明： y = x 3 在(-∞, +∞) 上是严格增函数.证明：设x < x ， x 3 - x 3 = (x - x )(x 2 + x x + x 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2如x x < 0 ，则x > 0 > x ⇒ x 3 < x 3 1 2 2 1 1 2如x x > 0 ，则x 2 + x x + x 2 > 0, ⇒ x 3 < x 3 1 2 1 1 2 2 1 2故x 3 - x 3 < 0 即得证. 1 2例 6．讨论函数 y = [x ] 在R 上的单调性.∀x 1, x 2 ∈ R ，当x 1 < x 2 时，有[x 1] ≤ [x 2 ] ，但此函数在R 上的不是严格 增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分， f 可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x 轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于 x 轴的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理 1．设 y = f (x ), x ∈ D 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数 f -1 ， 且 f -1 在其定义域 f (D ) 上也是严格增（减）函数. 证明：设 f 在D 上严格增函数.对∀y ∈ f (D ), 一x ∈ D , 一f (x ) = y .下面 证明这样的 x 只有一个.事实上，对于D 内任一 x 1 ≠ x , 由于 f 在D 上严格增函数，当 x 1 < x 时 f (x 1 ) < y ，当 x 1 > x 时 f (x 1 ) > y ，总之 f (x 1 ) ≠ y .即 5 3tgt 2 5 2 6⎨ ∀y ∈ f (D ), 一 一 一 一 一一 一 一x ∈ D , 一一 f (x ) = y ，从而例 7 讨论函数 y = x 2 在(-∞, +∞) 上反函数的存在性；如果 y = x 2 在 (-∞, +∞) 上不存在反函数，在(-∞, +∞) 的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明： y = a x 当a > 1 时在Ｒ上严格增，当0 < a < 1时在R 上严格递减.三、奇函数和偶函数定义 4. 设 D 为对称于原点的数集， f 为定义在 D 上的函数.若 对每一个 x ∈ D 有（1） f (-x ) = - f (x ) ，则称 f 为 D 上的奇函数；（2） f (-x ) = f (x ) ，则称 f 为 D 上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心 对称），偶函数的图象关于 y 轴对称；（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此 f (x ) = x , x ∈[0,1] 没有必要讨论奇偶性.⎧ ⎪ （3） 从奇偶性角度对函数分类： ⎪ 奇函数: y=si nx 偶函数: y=sgnx ；⎪非奇非偶函数: y=si nx+cosx⎩⎪ 既奇又偶函数: y ≡ 0（4） 由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数1、定义设 f 为定义在数集 D 上的函数，若存在> 0 ，使得对一切x ∈ D 有 f (x ±) = f (x ) ，则称 f 为周期函数，称为 f 的一个周期.2、几点说明：（1） 若是 f 的周期，则n (n ∈ N + ) 也是 f 的周期，所以周期若存在，则不唯一.如 y = sin x ,= 2, 4, .因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数 f 的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为 f 的“基本周期”，简称“周期”.如 y = sin x ，周期为2；（2） 任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1） y = x +1，不是周期函数；2） y = C （Ｃ为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的。

Word 快捷大全常用快捷键快捷键作用Ctrl+Shift+Spacebar 创建不间断空格快捷键作用Ctrl+ -(连字符) 创建不间断连字符Ctrl+Q 删除段落格式Ctrl+B 使字符变为粗体Ctrl+Spacebar 删除字符格式Ctrl+I 使字符变为斜体Ctrl+C 复制所选文本或对象Ctrl+U 为字符添加下划线Ctrl+X 剪切所选文本或对象Ctrl+Shift+ 缩小字号Ctrl+V 粘贴文本或对象Ctrl+Shift+> 增大字号Ctrl+Z 撤消上一操作Ctrl+Y 重复上一操作快捷键大全1.用于设置字符格式和段落格式的快捷键快捷键作用Ctrl+Shift+F 改变字体Ctrl+Shift+V 粘贴格式Ctrl+Shift+P 改变字号Ctrl+1 单倍行距Ctrl+Shift+> 增大字号Ctrl+2 双倍行距Ctrl+Shift+< 减小字号Ctrl+5 1.5 倍行距Ctrl+] 逐磅增大字号Ctrl+0 在段前添加一行间距Ctrl+[ 逐磅减小字号Ctrl+E 段落居中Ctrl+D 改变字符格式（"格式"菜单中的"字体"命令）Ctrl+J 两端对齐Shift+F3 切换字母大小写Ctrl+L 左对齐Ctrl+Shift+A 将所选字母设为大写Ctrl+R 右对齐Ctrl+B 应用加粗格式Ctrl+Shift+D 分散对齐Ctrl+U 应用下划线格式Ctrl+M 左侧段落缩进Ctrl+Shift+W 只给字、词加下划线，不给空格加下划线Ctrl+Shift+M 取消左侧段落缩进Ctrl+Shift+H 应用隐藏文字格式Ctrl+T 创建悬挂缩进Ctrl+I 应用倾斜格式Ctrl+Shift+T 减小悬挂缩进量Ctrl+Shift+K 将字母变为小型大写字母Ctrl+Q 取消段落格式Ctrl+=（等号）应用下标格式（自动间距）Ctrl+Shift+S 应用样式Ctrl+Shift++（加号）应用上标格式（自动间距）Alt+Ctrl+K 启动"自动套用格式"Ctrl+Shift+Z 取消人工设置的字符格式Ctrl+Shift+N 应用"正文"样式Ctrl+Shift+Q 将所选部分设为 Symbol 字体Alt+Ctrl+1 应用"标题 1"样式Ctrl+Shift+*（星号）显示非打印字符Alt+Ctrl+2 应用"标题 2"样式Shift+F1（单击）需查看文字格式了解其格式的文字Alt+Ctrl+3 应用"标题 3"样式Ctrl+Shift+C 复制格式Ctrl+Shift+L 应用"列表"样式2.用于编辑和移动文字及图形的快捷键◆删除文字和图形快捷键作用Backspace 删除左侧的一个字符Ctrl+Backspace 删除左侧的一个单词Delete 删除右侧的一个字符◆复制和移动文字及图形快捷键作用Ctrl+C 复制文字或图形F2（然后移动插入移动选取的文字或图形点并按Enter 键）Alt+F3 创建"自动图文集"词条◆插入特殊字符快捷键插入Ctrl+F9 域Shift+Enter 换行符Ctrl+Enter 分页符Ctrl+Shift+Enter 列分隔符Ctrl+ - 可选连字符◆选定文字和图形选定文本的方法是：按住 Shift 键并按能够移动插入点的键。

Word知识点一、文档创建与编辑1、启动文字处理软件Microsoft Word：“开始”菜单—>“程序”—>Microsoft Word；2、Word窗口界面：标题栏是显示目前打开的文档名；菜单栏包含文件、编辑、视图、插入、格式、工具、表格、窗口和帮助等功能菜单；工具栏包含许多常用工具按钮；格式栏主要用于字体格式等编排；状态栏显示当前的页码、总页数、光标的当前位置、行号、列号等。

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4、编辑文本：（1）文本选定，当编辑操作时必须遵循“先选取，后操作”的步骤。

选定长文本时，选将光标定位在文本第一个字前，按下Shift键，同时光标定位在文本的最后一个字后面。

（2）撤消和重复：发生误操作时可以撤消前面所做的100步操作，按一下撤消上一步操作，如恢复原样，可按重复按钮。

1 2 3 4 51、剪切2、复制3、粘贴4、撤消5、重复在“编辑”菜单中有以下命令：命令快捷键命令快捷键剪切Ctrl+X 重复Ctrl+Y复制Ctrl+C 全选Ctrl+A粘贴Ctrl+V 清除Del撤消Ctrl+Z5、Word文档扩展名是.doc二、文字段落格式1、文字格式（字体、字号、字体颜色等）设置：单击“格式”菜单下的“字体”选项。

新建文档默认的字体是宋体，字号是五号。

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一、二次函数概念：二次函数知识点1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何 b 何 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y = ax 2 + c下减。

的性质：左加右减。

的性质：上加3.y = a ( x - h )24.y = a ( x - h )2+ k 的性质：三 、二 次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a ( x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h 何k ) ；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h 何 k ) 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成 y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c（或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）a < 0向下(h 何 0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴性质a > 0向上(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y随 x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h 何 k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y随 x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．2a 四、二次函数y = a ( x - h )2+ k与 y = ax 2+ bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中 h = - 何 k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax2+ bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 (0何 c ) 、以及(0何 c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与 x 轴的交点(x 1 何 0) ， ( x 2 何 0) （若与 x 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2+ bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当 x < - b 2a ．时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a⎝ ⎭ 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值4ac - b 2 4a b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪．当 x < - 2a 时， y 随 x 的增大而增大；当 x > - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - b 2a ⎝ ⎭4ac - b 2 时， y 有最大值 ．4a 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y = ax 2 + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a ≠ 0 ．⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a > 0 的前提下，当b > 0 时， - b 2a < 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当b = 0 时， - b2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．⑵ 在 a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时， - b2a> 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当b = 0 时， - b 2a = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴；当b < 0 时， - b2a< 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴 x = - 2a在 y 轴左边则 ab > 0 ，在 y 轴的右侧则 ab < 03. 常数项c ⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x ，0)，B ( x ，0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二次方程121212ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根．这两点间的距离 AB = x 2 - x 1② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当 a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⎩⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 下面以 a > 0 时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用⎧ 何 何 何 何 ⎪二次函数应用⎨何 何 何 何 何 何 何 何⎪ 何 何 何 何 何 何 何 二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点， 则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx -1的图像大致是（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5 ，求这条抛物线的解析式。

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高一生物考试重要知识点第一章走近细胞第一节从生物圈到细胞1病毒没有细胞结构，但必须依赖（活细胞)才能生存。

2生命活动离不开细胞,细胞是生物体结构和功能的（基本单位）。

3生命系统的结构层次：（细胞）、（组织）、（器官）、（系统）、(个体）、（种群）（群落）、（生态系统）、（生物圈）。

4血液属于（组织）层次，皮肤属于（器官)层次。

5植物没有（系统）层次,单细胞生物既可化做（个体)层次,又可化做（细胞）层次。

6地球上最基本的生命系统是（细胞).7种群：在一定的区域内同种生物个体的总和。

例：一个池塘中所有的鲤鱼。

8群落：在一定的区域内所有生物的总和。

例：一个池塘中所有的生物.（不是所有的鱼）9生态系统：生物群落和它生存的无机环境相互作用而形成的统一整体。

10以细胞代谢为基础的生物与环境之间的物质和能量的交换;以细胞增殖、分化为基础的生长与发育；以细胞内基因的传递和变化为基础的遗传与变异。

第二节细胞的多样性和统一性一、高倍镜的使用步骤(尤其要注意第1和第4步）1 在低倍镜下找到物象，将物象移至(视野中央），2 转动（转换器），换上高倍镜。

3 调节（光圈)和（反光镜），使视野亮度适宜.4 调节（细准焦螺旋），使物象清晰。

二、显微镜使用常识1调亮视野的两种方法（放大光圈）、（使用凹面镜）.2高倍镜：物象（大），视野（暗）,看到细胞数目（少）。