广东省佛山市南海区2020-2021学年高一上学期学业水平测试数学试题答案

2023-2024高一上第一次大测数学（答案在最后）一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}21B x x =≤，则A B = （）A.{}1,0,1-B.{}0,1C.{}1,1- D.{}0,1,2【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式可求出{}11B x x =-≤≤，再根据交集定义求解.【详解】由21x ≤解得11x -≤≤，所以{}11B x x =-≤≤，所以A B = {}1,0,1-，故选:A.2.集合2{|4}M x x =≤，集合{}12N x x =≤≤，则M N ð=（）A.{}21x x -≤< B.{}2,1,0--C.{}2x x ≤- D.{}02x x <<【答案】A【解析】【分析】由一元二不等式得到M 的集合，应用集合的补运算求M N ð即可.【详解】2{|4}{|22}M x x x x =≤=-≤≤，又{}12N x x =≤≤，∴{|21}M N x x =-≤<ð，故选：A3.设0x >，则9x x +的最小值是（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式计算即可.【详解】由基本不等式可知96x x +≥=，当且仅当93x x x =⇒=时取得最小值.故选：D 4.命题“x ∃∈R ，10x +≥”的否定是（）A.x ∀∈R ，10x +≥ B.x ∃∈R ，10x +<C.x ∀∈R ，10x +< D.x ∀∈R ，10x +≤【答案】C【解析】【分析】直接根据特称命题的否定形式判定即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知：命题“x ∃∈R ，10x +≥”的否定是“x ∀∈R ，10x +<”.故选：C5.设,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分；若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.6.一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为∅的充要条件是（）A.2040a b ac >⎧⎨-≥⎩ B.2040a b ac >⎧⎨-≤⎩ C.2040a b ac <⎧⎨-≥⎩ D.2040a b ac <⎧⎨-≤⎩【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式解集，结合对应二次函数的性质列不等式组，即可得答案.【详解】由20ax bx c ++<的解集为空，结合对应二次函数性质有20Δ40a b ac >⎧⎨=-≤⎩.故选：B7.集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（）A.4B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】先求出集合A ，再根据集合A 的元素个数即可求出集合A 的子集个数.【详解】解：∵{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-Z ，∴集合A 的子集个数为328=个，故选：D.【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题.8.已知0a >，0b >，且满足1a b +=，则14a b +的最小值为（）A.7B.9C.4D.4+【答案】B【解析】【分析】()1445b aa b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件．【详解】解：因为0a >，0b >，且满足1a b +=，所以()1445b aa b a b a b ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭≥9，当且仅当1233a b ==，时，等号成立．故选B ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．二、多项选择题（每题有两个或两个以上正确答案，共20分）9.若集合{}21,Z A x x n n ==+∈，集合{}41,Z B x x n n ==-∈，则A ，B 的关系不成立的是（）A.A B ⊆B.A B=C.A B D.B A【答案】ABC【解析】【分析】将集合A 、B 描述化为同一形式，判断它们的包含关系，即可得答案.【详解】由{|2(21)1,Z}B x x n n ==-+∈，而{}21,Z A x x n n ==+∈，所以B A ，故不成立的有A 、B 、C.故选：ABC10.已知集合{}1,2,3,4M =，{}2,2N =-，下列结论不成立的是（）A.N M B.M N M⋃=C.M N N⋂= D.{}2M N = 【答案】ABC【解析】【分析】根据集合的基本关系与运算一一判定即可.【详解】因为2M -∉，所以A 错误；由题意可知：{}1,2,3,4,2M N M ⋃=-≠，所以B 错误；易知{}2M N = ，故C 错误，D 正确.故选：ABC11.下列关系不正确的是（）A.{}3πy y ∈> B.{(,)}{(,)}a b b a =C.0.3Q∉ D.{}220,R x x x +=∈=∅【答案】ABC【解析】【分析】根据集合定义，元素与集合关系，相等集合定义判断各项正误即可.【详解】A ：3{|π}y y ∉>，错；B ：{(,)}{(,)}a b b a ≠，集合中点的坐标不同，错；C ：0.3Q ∈（有理数集），错；D ：由220x +>恒成立，对.故选：ABC12.若0a b >>，0c d <<，则错误的有（）A.a b c d > B.a b d c<C.a b d c >D.a b c d<【答案】ACD【解析】【分析】由已知得0ac bd <<且0cd >，应用作差法判断大小关系，即得答案.【详解】由题设0a b >>，00c d ac bd ->->⇒->->⇒0ac bd <<，且0cd >，由a b ad bc c d cd --=，而,ad bc 大小不确定，0cd >，A 、D 错；由a b ac bd d c cd --=，且0ac bd -<，0cd >，故a b d c <，B 对，C 错；故选：ACD三、填空题（共4题，每题5分，共40分）13.已知命题:p “22x x x ∃∈≥N ,”，则:p ⌝________________．【答案】2,2xx x ∀∈<N 【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题可得解.【详解】由特称命题的否定为全称命题可知：命题:p “2,2x x N x ∃∈≥”，则2: ,2x p x N x ⌝∀∈<.【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，除了需要将结论进行否定外，还需将量词进行否定，全称量词换成特称量词，特称量词换成全称量词，属于基础题.14.“A B ⊆”是“A B A = ”的________条件．【答案】充要【解析】【分析】由充分、必要性定义，结合集合之间推出关系判断题设条件间关系.【详解】由A B ⊆，则有A B A = ，充分性成立；由A B A = ，则有A B ⊆，必要性成立；所以“A B ⊆”是“A B A = ”的充要条件.故答案为：充要15.若关于x 的一元二次不等式210x ax -+>对于一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】()2,2-【解析】【分析】根据题意可知，函数21y x ax =-+的图象在x 轴上方，所以240a ∆=-<，由此即可求出结果.【详解】由于关于x 的一元二次不等式210x ax -+>对于一切实数x 恒成立，根据函数21y x ax =-+的图象在x 轴上方，所以240a ∆=-<，所以()2,2a ∈-.故答案为：()2,2-.16.若2x =是关于x 的不等式2(1)()0R x a x a x +++∈≤的解，求a 的取值范围为________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】根据题意，得到2x =是满足不等式2(1)0x a x a +++≤，代入即可求解.【详解】由2x =是关于x 的不等式2(1)()0R x a x a x +++∈≤的解，即2x =是满足不等式2(1)()0R x a x a x +++∈≤，可得222(1)0a a +++≤，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.四、解答题（17题10分，其余12分，共70分）17.已知集合{}20A x x ax b =++=，{}2150B x x cx =++=，且{}5A B = ．（1）求c 的值；（2）若{}{}2,42A = ，求a ，b 的值．【答案】（1）8-;（2）7a =-，10b =．【解析】【分析】（1）根据{}5A B = 可得5∈B ，从而可得关于c 的方程，解方程后可得c 的值.（2）根据{}5A B = 和{}{}2,42A = 可得{}2,5A =，利用韦达定理可求,a b 的值.【详解】（1）因为{}5A B = ，故5∈B ，所以25+5150c +=，故8c =-.（2）因为{}5A B = ，{}{}2,42A = ，故{}2,5A ⊆，但A 为方程20x ax b ++=的解的集合，该集合中最多有两个元素，故{}2,5A =，所以方程20x ax b ++=的解为2,5，所以2525a b -=+⎧⎨=⨯⎩，故710a b =-⎧⎨=⎩，此时494090∆=-=>，综上，7a =-，10b =．【点睛】根据集合的交集的结果去确定参数的取值或取值范围，应先确定公共元素的归属，再结合各个集合的属性条件得到参数满足的方程（方程组），注意求出参数的值后要检验元素的互异性或属性条件是否满足.18.设集合2{|8150}A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.（1）若15a =，试判断集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）B A（2）110,,35a ⎧⎫∈⎨⎩⎭【解析】【分析】（1）直接代值计算判断即可；（2）得到{}{},3,5B =∅，依次计算即可.【小问1详解】当15a =时，{5}B =，因为{}2{|8150}3,5A x x x =-+==，所以B A .【小问2详解】因为集合B 至多有一个元素，由B A ⊆，所以{}{},3,5B =∅当B =∅时，0a =；当{}3B =时，所以13a =；当{}5B =时，所以15a =.所以110,,35a ⎧⎫∈⎨⎩⎭.19.已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B .（1）求A B ⋂；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A B ⋂，求不等式20ax x b ++<的解集．【答案】（1）{|12}x x -<<（2）R【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分别求得集合,A B ，结合集合交集的运算，即可求解；（2）根据题意，得到即1-和2时方程20x ax b ++=的两根，列出方程组求得,a b 的值，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【小问1详解】解：由不等式2230x x --<，即(1)(3)0x x +-<，解得13x -<<，即{|13}A x x =-<<，又由26(3)(2)0x x x x +-=+-<，解得32x -<<，即{|32}B x x =-<<，根据集合交集的运算，可得{|12}B x x A -<<⋂=.【小问2详解】解：由题意得，不等式20x ax b ++<的解集为{|12}x x -<<，即1-和2时方程20x ax b ++=的两个实数根，可得10420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1,2a b =-=-，所以不等式20ax x b ++<，即为220x x --<+，即220x x -+>，因为1870∆=-=-<，所以不等式220x x -+>的解集为R ，即不等式20ax x b ++<的解集为R .20.如图，某小区要建一个面积为2500m 的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽5m ，短边外小路宽8m ，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值．【答案】设计绿地的长为202m ，绿地和小路所占总面积最小，最小值为(26602002m+【解析】【分析】先设绿地的长为x 米()0x >，则宽为500m x ，则绿地与小路所占的总面积()5001610S x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据均值不等式可得出绿地和小路所占的总面积最小值.【详解】设绿地的长为x 米()0x >，则宽为500m x，则绿地与小路所占的总面积()50080001610500160106601080006602002S x x x x ⎛⎫=++=+++≥+⨯=+ ⎪⎝⎭当且仅当800010x x=即2x =时，上式取等号，所以，设计绿地的长为202m ，绿地和小路所占总面积最小，最小值为26602m +.故得解.【点睛】本题考查运用均值不等式求解生活实际问题中的最值问题，解题的关键是设合适的未知量，将所求的量表示成该未知量的函数，再运用均值不等式求解最值，属于中档题.21.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆．求实数m 的取值范围并用集合表示．【答案】{}3m m ≤【解析】【分析】分类讨论集合B 是否为空集，结合集合的关系计算即可.【详解】当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆；若B ≠∅，且满足B A ⊆，如图所示，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，即233m m m ≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩,所以23m ≤≤．综上所述，m 的取值范围为2m <或23m ≤≤，即所求集合为{}3m m ≤．22.建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价是多少元？【答案】解：设水池池底的一边长为x m,则另一边长为4xm,总造价为：4448080222480320y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44803201760x x ≥+⨯⨯=当且仅当4x x=即以2x =时，y 取最小值1760.所以水池的最低总造价是1760元【解析】【详解】本试题主要是考查了函数模型在实际生活中的运用．根据已知条件抽象出变量表示总造价，结合均值不等式得到最值．。

南海区2022届高一学业水平测试高一数学参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案AAABDBCDBC二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分）11．AB 12. BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第1小问2分，第2小问3分） 13. (14]， 14. 32215. )1(3x x - 16. 1，)2,1( 四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18--22题每题12分，共70分） 17. （1）由题意得，}31|{}8221|{<≤-=<≤=x x x B x ………………………………………3分又因为}23|{<<-=x x A ，所以}21|{<≤-=x x B A I ………………………………………5分（2）因为B C B =I ，所以B C ⊆. …………………………………………………………………6分因为{}|13B x x =-≤<，{}|215C x a x a =-<≤+， 所以21153a a -<-⎧⎨+≤⎩，……………………………………………………………………………………………8分解得20a -≤<，故a 的取值范围为[2,0)-．………………………………………………………10分18. 解：（1）因为sin 2cos 5αα+=,所以sin 52cos αα=,代入22sin cos 1αα+=可得25cos 45cos 40αα-+=，……………………………………2分所以)220α-=，故cos α=，sin α=，……………………………………4分所以1tan 2α=．…………………………………………………………………………………6分（2）)cos()2sin()2sin()sin(2απαπαπαπ++--+-ααααcos sin cos sin 2--+=………………………………………………………………………………10分1tan 1tan2--+=αα (11)分1211212--+⨯=34-=．……………………………………………………………………………12分 19.（1）222223)(2)(a ax x a x x x f +-=-+=的定义域为R ……………………………………1分当1a =时，222()3232 1.f x x ax a x x =-+=-+…………………………………………2分22()3()2()132 1.f x x x x x -=---+=++ (3)分所以)()(x f x f -≠-且)()(x f x f ≠-…………………………………………5分所以当1a =时，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．…………………………………………6分（2）22()32f x x ax a =-+，对称轴为3ax =………………………………………………………7分① 当132a ≤，即32a ≤时，2max ()(1)239f x f a a ==-+=，解得1a =1a =…………………………………………………………9分② 当132a >，即32a >时，2max ()(0)9f x f a ===，解得3a =或3a =-（舍去） …11分综上：1a =3a =.……………………12分20 ．解：（1）若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[0,3]v ∈上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型log a Q k v b =+，须0v >，这与试验数据在0v =时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型32Q av bv cv=++，由试验数据得，………………………………………3分0.7,842 1.6,2793 3.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即0.7,420.8,93 1.1,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.1,0.2,0.8,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩…………………………………6分故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤．……………………………………7分（2）设超级快艇在AB 段的航行费用为y则所需时间为3v（小时），其中03v <≤结合（1()3230.10.20.8y v v v v=-+(0.31v ⎡=-⎣………9分 所以当min 2.1y =…11分答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．……………………………………………………………………………………………………12分 21. 解：（1）（2）函数()f x 在定义域内为增函数，证明：设120x x <<，则120x x -<，1201x x <<，因为12211222212212()()log 21(log 21)log log 22f x f x x x x x x x x x -=+--+-=-+-12122122122log log 2()log 2()x x x x x x x x =-+-=+-111221222201log 0log 2()0x x x x x x x x <<∴<∴+-<Q ，即12()()0f x f x -<所以函数()f x 在定义域内为增函数. ……………………………………………………………………………………8分（3）()y f x =Q 是图象是一条连续不断的曲线，…………………………………9分且(0.6)(0.75)0f f <g …………………………………10分当3n =时0.71250.731250.018750.01-=>，所以当3n =时方程()0f x =的根的近似值达不到精确度为0.01当4n =时0.7218750.731250.0093750.01-=<，所以当4n =时方程()0f x =的根的近似值达到精确度为0.01，所以4n =…………………………………11分 方程()0f x =的根的近似值为0.7265625.…………………………………12分22 ． 本题为开放性题，答案不唯一，只需写出符合条件的函数即可，提供以下5个函数仅供参考，写出函数)(x f 给4分，作图2分，证明)(x f 满足结论③及④每个3分．（1）a x x x f ++-=||)(2)0(>a （2） a x x x f +-=||)(2)0(<a （3）|)|(|log |)(2a x x f += )10(<<a （4）a x x f x ++-=||22)(|| )1(>a（5）241()124x x f x x x +⎧⎪-+⎪=⎨+⎪⎪-+⎩10x x x ≤-<<≥，，，，下面以函数||)(2++-=x x x f 证明：1||)(2++-=x x x f 因为对定义域的每一个x1||)()(2x x x f =+-+--=- 所以函数1||)(2++-=x x x f 是偶函数，……………………………………………………………9分 又因为当0≥x 时，1)(2++-=x x x f解⎩⎨⎧≥=++-0012x x x 得251+=x所以当0≥x 时，函数1||)(2++-=x x x f 只有一个零点， 又因为函数1||)(2++-=x x x f 是偶函数，所以函数)(x f 恰有2个零点．………………………………………………………………………12分。

2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，共30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）23．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x≠04．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由＞0得y＞05．+的运算结果正确的是（）A．B．C．D．a+b6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．127．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（）A．32°B．36°C．40°D．42°8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．16B．20C．22D．269．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．因式分解：x2﹣4x＝．12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是．13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为．14．分式方程的解是．15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝cm．17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A （2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为．22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k ≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）△AEF的周长最小值是．（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．故选：D．3．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x≠0解：∵分式有意义，∴x﹣2≠0，∴x≠2，故选：B．4．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由＞0得y＞0解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由5x＞3得x＞，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；D、由＞0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．5．+的运算结果正确的是（）A．B．C．D．a+b解：+＝+＝故+的运算结果正确的是．故选：C．6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．12解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28．故选：B．7．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（）A．32°B．36°C．40°D．42°解：正方形的内角为90°，正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，故选：D．8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．16B．20C．22D．26解：∵AB＝AC，AB＝10，∴AC＝10，由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝10+6＝16．故选：A．9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次与第1次的图案相同．故选：A．10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．12解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵P在AD上运动，∴t≤15÷1＝15，即t≤15，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣15＝15﹣t，解得：t＝6；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，解得：t＝10；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣45＝15﹣t，解得：t＝12；综上所述，t的值为6或10或12，故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．因式分解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣1，1）．解：点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（2﹣3，﹣1+2），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为19或20．解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0，解得x＝6，y＝7，①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19．②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20．故答案为19或20．14．分式方程的解是x＝3．解：去分母得：x＝3（x﹣2），去括号得：x＝3x﹣6，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝100°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°．故答案是：100°．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝ 4.5cm．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵BD＝1.5cm，∴BC＝2BD＝3cm，AB＝2BC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4.5cm．故答案是：4.5．17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是①②④．解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E，∴∠DAB＝∠ACE，故②正确；∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CDB＝∠E＝45°，故①正确；∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝AB2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确；在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示：在△ACE和△FCD中，，∴△ACE≌△FCD（SAS），∴AC＝FC，当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形，则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确；故答案为：①②④．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．解：解①得：x＞2，解②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集是x＞2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．解：（﹣1）÷＝•＝＝﹣，当x＝2021时，原式＝﹣＝﹣．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A （2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为（﹣2，﹣2）．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为（4，6）．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为（1，2）．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（4，6）．故答案为：（4，6）．（3）旋转中心P的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形．（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，∵∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝DB＝2，∴DH＝＝，∵CF＝CB＝4，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，依题意得：，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴x+150＝400+150＝550（元）．答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元．（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，依题意得：400（40﹣y）+550y≤18000，解得：y≤，又∵y为正整数，∴y的最大值为13．答：最多可以购买B种垃圾桶13组．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k ≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）∵当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2，∴点B的横坐标为2，当x＝2时，y2＝×2＝3，∴直线l1，l2的交点坐标为B（2，3），∵当y1＜0时，x＜﹣4，∴直线l1与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直线l1的表达式为y1＝x+2；（2）联立，解得：，∴直线l2，l3的交点坐标为C（﹣1，﹣），∴S△ABC＝＝9；（3）存在，∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，∴设E点坐标为（x，x+2），D点坐标为（m，0），又∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣），在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，①当AC，DE为平行四边形的对角线时，，解得，∴此时D点坐标为（2，0），②当AD，CE为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（2，0），③当AE，CD为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（﹣10，0），综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）．25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）△AEF的周长最小值是6+3．（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．【解答】（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，，∴△BEC≌△AFC（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△CEF是等边三角形．（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，∵△ECF是等边三角形，∴EF＝CE，∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时CE＝AC•sin60°＝3，∴△AEF的周长的最小值为6+3，故答案为：6+3．（3）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD ∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°∵BE＝3，AB＝AC＝6，∴点E为AB中点，点F为AD中点，∴AO＝AB＝3，∴BO＝，∴BD＝6，∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，∴BM＝2EM，∴∴BM＝2，同理可得DN＝2，∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2∴BM＝MN＝DN．。

南海区2023届高一学业水平测试2020年12月一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.L 如图，已知全集U={l,2,3,4∖5},集合A = {l,3,5},则图中阴影部分表示的集合是（ ）3.答案：D解析：根据函数的立义，对于圧义域中的任意X ,都有唯一确定的y 与之对应，故选D.4•设 x∈R,贝 IJ " X 2-5X <0"是"0<x<2"的（ ）A ・充分而不必要条件 C.充要条件 4.答案：B数学试A. {2,4}B. {1,3,5}C. {1,2,3,4,5}D.解析：阴影部分表示的集合是QM = {2,4).2.命题“ ∀x∈R, 2X 2+1>0”的否泄是( A ・ Vx ∈ R. 2√+l≤0C. BX e R, 2X 2+1 ≤ O2.答案：C)B. 3x ∈ R, 2x 2 + 1 >O解析：全称量词命题的否左是存在量词命题, 即 “ VX ∈ D P(X)99的否定是 “ ％ ∈ Dr(X) MB.必要而不充分条件D ・既不充分也不必要条件3・下而的图象中可作为函数y = fW 的图象的是（解析：由X2-5Λ<0,解得0<XV5,由于｛xlθvxv2｝宇｛xlθ<x<5｝,所以“ x2-5x<0 ,,⅛“0<工<2”的必要而不充分条件.5.下列函数中是偶函数，且在(O,-K=O)上单调递增的是( )A. f(x) = Λ∙4B. f(x) = X5C./(χ) = χ÷lD./(χ) = AX X"5.答案：A解析：选项B, C是奇函数，选项D是偶函数，但在(0,+oo)上单调递减，只有选项A符合题意.6.函数= -2-χ与y = 2"的图象( )A.关于X轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y = x对称6.答案：C解析：因为(x,y)与(-X, - J-)关于原点对称，所以函数y = -2^x与y = 2'的图象关于原点对称.7.泄义在R上的奇函数/(x)满足/⑴=O且对任意的正数a、b｛a ≠ b),有,/匕)7"" vθ,则不等a-b式SVo的解集是( )A. (-l,0)∪(l,+o□)B. (-1,0)U(0,1)C. (P,-1)U(I,+s)D. (-∞, — 1)U(0,1)7.答案：C解析：因为任意的正数“、b(a ≠ b).有“⑴— /(〃)< O成立,所以函数/(x)在(0,+s)上单调递减，a-b 又/(1) = 0,作出函数y = f(x)的图象如图所示，由加VO可知当Λ∙>0时，/(x)<0.当Λ∙<0时，X8.髙斯是徳国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“髙斯函数"・设x∈R.用[力表示不超过X的最大整数，则y = [x]称为高斯函数.例如:[-3.5] =-4, [2.1] = 2,已知函数f(x) = x-[x]则下列选项中，正确的是( )Λ. /(x)的最大值为1，没有最小值 B. /(x)的最小值为0,没有最大值C. /(x)没有最大值，没有最小值 D ・/(x)的最大值为1,最小值为O8.答案：B解析:函数f(χ)=χ-[χ]的图象如图所示,有图可知，/(兀)的最小值为0.没有最大值.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.已知幕函数y = x α(σ∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )C.函数y =弋是单调减函数D •函数y = x α的值域为R9.答案：AD解析：将点(3,27)代入y = √,得3a=27,解得α = 3,所以y = x 3(XWR),该函数过原点，是奇函数，在R 上单调递增，值域为R.故选AD.10. 如图，某池塘里的浮萍而积y(单位:m 2)与时间H 单位：月)的关系式为y = ka , (keR 9且kHO ； α>0且t∕≠l).则下列说法正确的是()A. 浮萍每月增加的面积都相等B. 第6个月时，浮萍的而积会超过30 m 2C. 浮萍每月的增长率为1D. 若浮萍而积蔓延到4m 2,6m 2,9m 2所经过的时间分别为 t v t 1J 3,则∕1+∕3 = 2r 2 ・10.答案：BCDka = 111 解析：将(1,1), (3,4)分别代入 y = kc ιt,得｛ ,解得 k=—, a = 2. /. y =-∙2z = 2f ^,,ka =4 2 2过点0,-,(1,1), (2,2), (3,4), (4,8),...,浮萍每月增加的面积不相等，当r = 6时，y = 25A ・函数y = x°的图象过原点B.函数y = χα是偶函数O - -"13^=32>30,< 2丿每月浮萍的面积是上个月的2倍，增长率为1・若浮萍而积蔓延到4m 2,6m ∖9m 2所经过的时间分别为r l √2√3 ,则2r ^, = 4. 2z ^,=6, 2ZH=9, 因为4×9 = 62,所以 V2z3"1=(2^')2, Ar l -l+r 3-l = 2(∕2-l),即r l +r 3 = 2r 2.解析：Ub^-a+h)- = \,当且仅当a = b = -时取等号，故A 正确：42因为 a>0, b>0, cι+b = ∖.所以所以 2">2"=丄，选项 B 正确：2Iog 2 U + Iog 2 b = Iog 2(r∕Z?) ≤ Iog 2 * = 一2,所以 C 错误；•••肪W ∙L ∙∙•丄+丄= HP =丄N4,∙∙∙丄+丄N 丄正确，故选ABD4 a b ab ab CIbA12.对任意两个实数a.b 9赵义min{αb} = ("' 若/(x) = 2-√, g(x) = x 2-2>下列关于b 、 cι>b函数F(X) = min{∕(x),g(x)}的说法j 匸确的是()A ・函数F(Λ∙)是偶函数B. 方程F(X) = O 有两个实数根C. 函数F(X)在(-√Σ,0)上单调递增，在(0,√2)上单调递减D.函数F(X)有最大值为0,无最小值12.答案：ABD解析:作出函数y = F(X)的图象如图所示，由图可知， 函数F(X)是偶函数，方程F(X) = O 有两个实数根±JΣ, 函数F(X)在(-√2,0)上单调递减，在(O, √2)上单调递增. 函数F(X)有最大1 求集合M,N ：11・已知d>0, b>O 9 cι + b = ∖,贝IJ (A ・ ab≤ —411・答案：ABD)C. Iog 7 6Z+ Iog 2∕? -2D.丄 + 丄 M 丄a b 4值为0,无最小值.故选ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13._____________________________ 求值：Iog416 + 162 1 3 = ・13.答案：6丄解析：IogJ6 + 16? =2 + 4 = 6 ・14.若关于X的不等式X2-2^ + «≤0的解集为0,则实数"的取值范困是_______________________14.答案：OVaVl解析：由题意可知，A = (-2α)2-4"=4∕-4"<0,解得OVdV 1・15.用二分法计算f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下:那么方程X4+√-2X-2= O的一个近似解(精确度为0.1)可取为 _____________________ ・16.答案：由R=八①，得IOg n X= y@,在①②两式中α,x相同，在①中有α>0且a≠∖,又对任意的实数y, a y>0t即x>0.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)设函数/(x) = √273的泄义域为集合M ,不等式Λ∙2-4Λ+3>O的解集为N .3 求集合M∩∕V, MUN;4 写岀集合(MnTV)与(MUN)的关系.17.解析：(1) •••函数/(x) = √∑r^3的立义域为集合M ,由2x-3≥0,3得Λ∙≥-, .∖M=∖x15.答案：1.4解析：∙.∙/(1.375)∙∕(1.4375) vO,且1.4375-1.375<0.1,故近似解⅞ ∈ (1.375,1.4375),可取X o =1.4.16.Iog fl X中的X, α要分别满足x>0, “>0且a≠∖,小明同学不知道为什么，请你帮他解释2由A2一4兀 + 3>0得兀>3或尤<1 ♦.∖ N = {x< 1 或x>3} 9(2) ∙∙∙M=]x Λ∙≥-L N = {X < 1 或 x>3), .∖M Γ∖N = {jdx>3}, ...................... 6 分I 2J3MUN = VX XVl 或Xa 二 >・ ........................................................... 8 分(3) (MnN)纭(MUN). ........................................................ 10 分 18.(本题满分12分)已知f (X)= y/x ・（1）求证/（X ）在［0,+Co ）上是增函数:18. (1) Vx 1, %2 ∈[0,+oo )且 X I < X l ,∙.∙ x 1 < x 2, .∙. X 1 - X 2 < 0 > + y∣jζ > 0 ・的大小关系:∙∙∙f(χj -f (勺)=頁-疑=丙一兀2yf^∖+∖pι∙∙∙√zF(2)①Λ^∈R ∙,猜想与a + b②证明你的猜想的结论：③求函数(O<Λ-<1)的最值・∙∙ J(E)-ZW V0,即 /(X 1) </(X 2) > 所以/(X)在[0,+CO)是增函数当a=b 时, a+ba + b方法2：<2f2、如图，点A(a ∖O ∖ B{b ∖0),点E 是AB 的中点E+∖θ , AC 丄43, BD 丄AB, EF 丄初,由图知再2(/ + 戻)一 / 一 庆 一 2ab a 2+b 1-2ab _(a-b)2、A…-------- = ---------- M U .44— 2x +1 + f/(1 — x)~ ÷ X" > 1 — A ，+X 1=J-当且仅当l-Λ- = x,即X = I 时等号成立，所以J X 2-Λ∙ + 1的最小值为无最大值. .............. 12分所以囲的最小值畤无最大值.19. (本题满分12分)若函数f(x) = ∖x-2∖ (1) 在给泄的平而直角坐标系中画出函数/(x)图象； (2) 写岀函数/(X)的值域、单调区间：(3) 在①fx + 2②兀一3,③JV +2这三个式子中任选岀一个使其等于Il(X),求不等式/(X) > h(x)的解集・注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.Cr +b 22(a 2 +b 2)-(a+b)24(Cl+bX<~Γ >出>0, .• 土42 V 2 2IO 分③E 厂③解法二:, 1 1X e-X + -+—= 4 41 X ——2) rr 当且仅空詁时等号成立'12分EF 交CD 于点G ，知EF =a + by........................ 5分(2)由图象可得函数的值域为［0,+8), .......................... 6分单调递减区间为(一s,2),单调递增区间为［2,+s).(3)IO分12分由图知原不等式的解集为R ・ 10分 12分y10分由2-x = 2 + x,得x = O,由图知原不等式的解集为{x ∖x<0}・ ........................ 12分 20.（本题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制左 一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y = y°e",其中/表示经过的时间，儿表示f = 0时的人口数，厂表示人口的年平均增长率. （1） 根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根 据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950〜1959年期间的具体人口增长模型.（精确到 0.0001） （2） 以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？ （参考数据：ln67=4.2O47, ln55 = 4.∞73, In 13 = 2.5649, ln6.7 = 1.9021 , ln5.5 = 1.7047 ） 20.解析：（1）由题意知儿=5.5 ,设1950~1959年期间的我国人口的年平均增长率为宀根据马尔萨 斯人口增长模型，当/=9时，y = 6.7, 有6.7 = 5.5e 9r 即凹=® , ........................................... 5.5 55 两边取自然对数得 9r = ln-= In 67 -In 55 = 4.2047 一 4.∞73 = 0」974, 即 r = 0.1974 ÷9≈0.0219 ・ ................................ 因此,我国在1950 ~ 1959年间的具体人口增长模型为y = 5.5Z o2,9∖r∈[0,9].(2)将y = 13 代入y = 5.5√w2,9∖得13 = 5.5^02l9z, ......................... 7 分1Q 1 3即/°2⑼=0 0219/ = In — = In 13- In 5.5 = 2.5649-1.7047 = 0.8602 ,5.5 5.5从而r=0.8602÷0.0219≈39.28 ・........................................... 10 分从而1950+39.28 = 1989.28, ............................................ 11 分故大约在1990年我国人口总数达到13亿. ................................................. 12分注：如果答1989年扣1分.2x 121.(本题满分12分)已知泄义域为R的函数/(X) = -一一三是奇函数. 2x+a 2(1)求实数"的值；(2)若对任意的“[1,2],不等式f(x2-mx) + f(x2+4)> 0成立，求实数加的取值范围.2x 121・解析：(1)由题意得：函数/(X)= —一一是奇函数，泄义域为R. ....................... 1分2x+a 2A /(0) = 0,・・・丄—丄=0,得a = ∖............................................. 3分1 + “ 2经检验，G = I时，/(Q是奇函数. .......................................................... 4分2r J 2x +1 — 1 ) I j 1(2) ZW =F7T'Ξ = Z FTr^i=1-F7T'Ξ=Ξ-F7T'任取心咕R，且州5,2Λ, - 2 t2则∕U l)-∕(χ2) = j-^zτ2 2 勺+1 丿2 勺+1 2珂+1 (2 勺+1)(2 勺+1)∙/ X I <x2,.∖ 2x, < 2x∖/. 2η -2r2 <0,又(2r,+l)(2x2+l)>0, A/(x1)-∕(x2) <0 , A/(x1) </(x2) > 故在R上单调递增.对任意的x∈R> 不等式/(√-mx) + ∕(x2+4)> 0 成立，即/(x2-WU) >-/(√+4),又因为/(x)是奇函数，所以/(F 一〃M) >/(_/—4), ............................................... 8 分所以2X2-∕72X+4>O,即也V2X +?恒成立， ......................................... 10分X因为2x + ->2√8=4√2 (当且仅当x = y∕2时等号成立)，.............................. 11分所以m<(2x + - ! =4√Σ. ................................................ 12 分V X Lin22.(本题满分12分)如图，AQ4B 是边长为2的正三角形，记AQAB 位于直线x = t(t>O)左侧的图形的面积为/(O.(1) 求函数/(/)解析式： (2) 画岀函数y = /(Q 的图象；(3) 当函数g(f) = ∕(f)-M 有且只有一个零点时，求"的值.22.解析：(1)当0VfWI 时，= ...................................... 1 分当 1 V/W2时，/(O = √3-2^(2-O 2, .............................................. 2 分 当/>2时，/(f) = √J, .......................................................... 3 分—r 2,OVrWl2所以/(r) = <^√3-^-(2-02, 1<∕≤2 ......................................... 4 分2且与射线y = √3(∕>2)无交点.√3,t>27分逆时针旋转时与/(/)图象有两个交点，相切时有一个交点,(3) 当lv∕W2时，直线所以△= 4 一二-8 = 0,解得 a = 2yj3-y ∕β 或 α = 2jJ+Jδ∖当 rt = 2√3-√6 时，r-2√2y + 2 = 0,解得 ∕ = √Σ 在(1,2］内.当rt = 2√3 + √6时，r 2+2√2r + 2 = O, r = -√2 不在(1,2］］内, 当0 V/W1 时，g(t) = ^-t 2-at ,由 g(t) = ^-t 2-at = Q ,解得/ =辛22 ∙y 3因为Og1,所以OwW1,即OVKf ,当Cl = £ 时，直线y = G 过点［1,,(2,Q 这两点都在/(/)的图象上,此时√J -/ + 2 =一f)2-α∕ = 0,所以尸一 4-22.(本题满分12分)如图，AQ4B 是边长为2的正三角形，记AQAB 位于直线x = t(t>O)左侧的图/T当0 VaV 冷-时，直线y = M 与射线y = √3(r>2)有一个交点, 当GWO 或a>2羽-书时，直线y = at 与/(/)的图象无交点, 所以 t∕ = 2√3-√6.0<r≤lt>2(i)若 g(t) = ~t 2-at(O<t^Y)有唯一零点，则 0 VdW 芈, 乙 乙/T(ii)若g(r) = ^-(r-2)2+ √3-6∕M<∕<2有唯一零点，则^ = 2√3-√6, f∕ = 2√3 + √6(舍去),2(iii)若 g(t) = y∕3-at i t>2 有唯一零点，则 0 V"w£2综上所述，当0 VdWf 时，g(f)有两个零点.当^ = 2√3-√6时，函数g(t) = f(t)-at 有且只有一12分另法：设g(t) = f(t)-at=<-t)2-at, l<r≤2。

佛山一中2020级高一上学期第一次段考数学（试题总分：150 分考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是A. ，B. ，C. ，D. ，2.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是A. B.C. D.3.已知a，且，则下列不等式中一定成立的是A. 11a b< B. 22a b< C.b aa b< D. 2ab b<4. 若集合，，且，则实数a 取值的集合为( )A.B.C.D.5. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知00x y >>，，且,则的最小值是A. 5B. 6C.285D.2457.已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是 A. B. C. 或 D. 或8.已知关于x 的一元二次不等式的解集为,则的最小值是A. 6B.C.D. 3二、多项选择题（本大题共4小题,共20分,每小题有多个正确答案,全部选对得5分,部分选对得3分,有选错得0分） 9.下列各结论中正确的是A. “”是“”的充要条件B. “”的最小值为2C. 命题“，”的否定是“，”D. “函数的图象过点”是“”的充要条件10.关于函数，下列说法正确的是A. 在区间上单调递减B. 单调减区间为C. 最大值为2D. 无最小值11.下列各函数中，最小值为2的是A. B.C. D.12.已知函数,关于的不等式的解集为，则A.B. 设，则的最小值一定为C. 不等式的解集为D. 若，且，则x的取值范围是三、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.不等式2131xx+<-的解集是________．。

南海区2022届高一学业水平测试高一数学参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分）11．AB 12. BC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第1小问2分，第2小问3分）13. (14]， 14. 322 15. )1(3x x - 16. 1，)2,1( 四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18--22题每题12分，共70分） 17. （1）由题意得，}31|{}8221|{<≤-=<≤=x x x B x ………………………………………3分又因为}23|{<<-=x x A ，所以}21|{<≤-=x x B A ………………………………………5分（2）因为B C B =，所以B C ⊆. …………………………………………………………………6分因为{}|13B x x =-≤<，{}|215C x a x a =-<≤+，所以253a a -<-⎧⎨+≤⎩，……………………………………………………………………………………………8分解得20a -≤<，故a 的取值范围为[2,0)-．………………………………………………………10分18. 解：（1）因为sin 2cos αα+=,所以sin 2cos αα=,代入22sin cos 1αα+=可得25cos 40αα-+=，……………………………………2分所以)220α-=，故c o s α=，sin α=，……………………………………4分 所以1tan 2α=．…………………………………………………………………………………6分 （2）)cos()2sin()2sin()sin(2απαπαπαπ++--+- ααααcos sin cos sin 2--+=………………………………………………………………………………10分 1tan 1tan 2--+=αα……………………………………………………………………………………11分 1211212--+⨯=34-=．……………………………………………………………………………12分 19. （1）222223)(2)(a ax x a x x x f +-=-+=的定义域为R ……………………………………1分当1a =时，222()3232 1.f x x ax a x x =-+=-+…………………………………………2分 22()3()2()132 1.f x x x x x -=---+=++…………………………………………3分所以)()(x f x f -≠-且)()(x f x f ≠-…………………………………………5分所以当1a =时，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．…………………………………………6分（2）22()32f x x ax a =-+，对称轴为3a x =………………………………………………………7分① 当132a ≤，即32a ≤时，2max ()(1)239f x f a a ==-+=，解得1a =1a =…………………………………………………………9分② 当132a >，即32a >时，2max ()(0)9f x f a ===，解得3a =或3a =-（舍去） …11分综上：1a =3a =.……………………12分20 ．解：（1）若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[0,3]v ∈上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型log a Q k v b =+，须0v >，这与试验数据在0v =时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由试验数据得，………………………………………3分 0.7,842 1.6,2793 3.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即0.7,420.8,931.1,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.1,0.2,0.8,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩…………………………………6分 故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤．……………………………………7分（2）设超级快艇在AB 段的航行费用为y （万元）， 则所需时间为3v（小时），其中03v <≤， 结合（1）知，()3230.10.20.8y v v v v =-+()20.317v ⎡⎤=-+⎣⎦……………………………………9分所以当1v =时，min 2.1y =．…………………………………………………………………………11分用……………………4分（2）函数()f x 在定义域内为增函数，证明：设120x x <<，则120x x -<，1201x x <<，因为 12211222212212()()log 21(log 21)log log 22f x f x x x x x x x x x -=+--+-=-+-12122122122log log 2()log 2()x x x x x x x x =-+-=+-111221222201log 0log 2()0x x x x x x x x <<∴<∴+-<，即12()()0f x f x -<所以函数()f x 在定义域内为增函数. ……………………………………………………………………………………8分（3）()y f x =是图象是一条连续不断的曲线，…………………………………9分且(0.6)(0.75)0f f <…………………………………10分 当3n =时0.71250.731250.018750.01-=>，所以当3n =时方程()0f x =的根的近似值达不到精确度为0.01当4n =时0.7218750.731250.0093750.01-=<，所以当4n =时方程()0f x =的根的近似值达到精确度为0.01，所以4n =…………………………………11分方程()0f x =的根的近似值为0.7265625.…………………………………12分22 ． 本题为开放性题，答案不唯一，只需写出符合条件的函数即可，提供以下5个函数仅供参考，写出函数)(x f 给4分，作图2分，证明)(x f 满足结论③及④每个3分．（1）a x x x f ++-=||)(2 )0(>a （2） a x x x f +-=||)(2)0(<a（3）|)|(|log |)(2a x x f +=(（5）241()124x x f x x x +⎧⎪-+⎪=⎨+⎪⎪-+⎩ 10x x x ≤-<<≥，，，，下面以函数1||)(2++-=x x x f 为例给出证明：证明：1||)(2++-=x x x f 的定义域为R因为对定义域的每一个x ，都有)(1||1||)()(22x f x x x x x f =++-=+-+--=-， 所以函数1||)(2++-=x x x f 是偶函数，……………………………………………………………9分又因为当0≥x 时，1)(2++-=x x x f 解⎩⎨⎧≥=++-0012x x x 得251+=x 所以当0≥x 时，函数1||)(2++-=x x x f 只有一个零点，又因为函数1||)(2++-=x x x f 是偶函数，所以函数)(x f 恰有2个零点．………………………………………………………………………12分。

2020-2021学年广东省佛山市南海区高一(上)期中数学试卷一､单选题(共8小题).1. 如图，已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {}2,4B. {}1,3,5C. {}1,2,3,4,5D. ∅A先判断图中阴影部分表示的集合是UA ，再利用已知集合直接求解补集即可. 易见，图中阴影部分表示的集合是UA ，∵全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,， ∴{}2,4UA =.故选：A.2. 已知命题p ：x R ∀∈，2210x +>，则p ⌝是（ ） A. x R ∀∈，2210x +> B. x R ∃∈，2210x +> C. x R ∃∈，2210x +≤ D. x R ∃∈，2210x +<C根据全称命题的否定是特称命题，即得解. 根据全称命题的否定是特称命题，命题p ：x R ∀∈，2210x +>，的否定为：x R ∃∈，2210x +≤故选：C本题考查了全称命题的否定是特称命题，考查了学生概念理解能力，属于基础题. 3. 如图中，可作为函数y =f （x ）图象的是（ ）A. B.C.D.D根据题意,由函数的定义分析选项,综合即可得答案.根据题意，由函数的定义，直线x =a 与函数的图象最多只能有1个交点，而选项A 、B 、C 中都出现了2个交点的情况，不能作为函数的图象，只有D 符合函数的定义, 故选：D.本题考查函数的定义以及函数的图象，关键是掌握函数的定义，属于基础题 4. 设R x ∈，则“250x x -<”是“02x <<”的（ ） A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B先求解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可. 解：由250x x -<可得05x <<，故由“250x x -<”不能推出“02x <<”，反之，“02x <<” 能推出“250x x -<”， 故“250x x -<”是“02x <<”的必要而不充分条件，故选：B. 5. 下列函数中是偶函数，且在()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ()4f x x =B. ()5f x x =C. ()1f x x x=+D. ()21f x x =A根据常见函数的奇偶性和单调性，逐一判断是否符合题意即可.解：对于A ，()4f x x =为偶函数，由幂函数的性质可知()4f x x =在()0,∞+上单调递增，符合题意；对于B ，()5f x x =为奇函数，不符合题意；对于C ，()1f x x x =+中，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，即()f x 为奇函数，不符合题意；对于D ，()221f x x x-==为偶函数，由幂函数的性质可知()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不符合题意.故选：A.6. 函数2x y -=和2x y =的图象关于（ ） A .x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D. 直线y x =对称B设()2x y f x ==，则()2xf x --=，根据()f x 与()f x -的图象的对称性进行判断即可. 设()2x y f x ==，则()2xf x --=，而()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称，故函数2x y -=和2x y =的图象关于y 轴对称.故选：B.7. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =且对任意的正数a ､b (ab )，有()()0f a f b a b-<-，则不等式()0f x x<的解集是（ ） A. ()()1,01,-⋃+∞ B. ()()1,00,1-C. ()(),11,-∞-+∞D. ()(),10,1-∞-⋃C易知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，不等式()0f x x <等价为()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x >⎧⎨>⎩，进一步求出答案.解：∵对任意的正数a ､b ()a b ≠，有()()0f a f b a b-<-，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减， ∵定义在R 上的奇函数()f x ，且()10f =，∴()f x 在(),0-∞上单调递减，()()110f f -=-=，∴不等式()0f x x <等价为()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x >⎧⎨>⎩，解得1x >或1x <-，∴不等式的解集为()(),11,-∞-+∞.故选：C.8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1，没有最小值 B. ()f x 的最小值为0，没有最大值 C. ()f x 没有最大值，没有最小值 D. ()f x 的最大值为1，最小值为0 B先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象判断最值情况即可. 由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=， 当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-， 当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-， 当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故选：B.二､多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9. 已知函数()y x R αα=∈的图象过点（3，27），下列说法正确的是（ ）A. 函数y x α=的图象过原点B. 函数y x α=是奇函数C. 函数y x α=是单调减函数D. 函数y x α=的值域为RABD利用代入法，结合幂函数的性质进行判断即可.因为函数()y x R αα=∈的图象过点（3，27），所以()33273log 273f x x αα=⇒==⇒=，A ：因为(0)0f =，所以函数3y x =的图象过原点，因此本说法正确；B ：因为33()()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数3y x =是奇函数，因此本说法正确；C ：因为3y x =是实数集上的单调递增函数，所以本说法不正确；D ：因为3y x =的值域是全体实数集，所以本说法正确.故选：ABD10. 如图，某池塘里的浮萍面积y (单位：2m )与时间t (单位：月)的关系式为t y ka =(R k ∈，且0k ≠；0a >且1a ≠).则下列说法正确的是（ ）A. 浮萍每月增加的面积都相等B. 第6个月时，浮萍的面积会超过230mC. 浮萍每月的增长率为1D. 若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += BCD先利用待定系数法求解函数解析式，再根据函数性质逐一计算，判断选项正误即可.解：由题意可知，函数过点()1,1和点()3,4，代入函数关系式：t y ka =(R k ∈，且0k ≠；0a >，且1a ≠)，得314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴函数关系式为11222t t y -=⨯=.由11222tt t ---=不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，每月的增长率为11222t t t ---=1，故A 错误，C 正确；当6x =时，5232y ==，浮萍的面积超过了230m ，故B 正确； 令4y =得13t =；令6y =得22log 12t =；令9y =得32log 18t =， ∴1322223log 18log 1442log 122t t t +=+===，故D 正确.故选：BCD. 11. 已知0a >，0b >，1a b +=，则（ ） A. 14ab ≤B. 122a b -> C. 22log log 2a b +≥- D.1114a b +≥ ABD利用基本不等式逐一判断选项ACD 的正误，利用不等式性质，比较指数幂大小判断B 的正误即可.解：因为0a >，0b >，1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，A 正确； 由0a >，0b >，1a b +=可得10b ->，所以101b b ->>-，所以01a b >>-，所以1a b ->-，故11222a b -->=，B 正确；结合A 选项可知，22221log log log log 24a b ab +=≤=-，C 错误；11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=，当且仅当a b b a =且1a b +=即12a b ==时取等号，故能推出1114a b +≥，D 正确.故选：ABD.12. 对任意两个实数a ，b ，定义(),min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()22f x x =-，()22g x x =-，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（ ） A. 函数()F x 是偶函数B. 方程()0F x =有两个实数根C. 函数()F x 在()2,0-上单调递增，在()0,2上单调递减 D. 函数()F x 有最大值为0，无最小值 ABD先根据题意化简函数，再分段画函数图象，结合函数图象逐一判断选项的正误即可.解：因为(),min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，所以()()(){}min ,F x f x g x =,22x -≤≤时，()()f x g x ≥，()()(){}()2min 2,F x f x g x x g x ==-=； 2x <-或2x >时，()()f x g x <，()()(){}()2min ,2F x f x g x f x x ===-.故()()(){}min ,F x f x g x =的图象如图所示：由图可知，函数()F x 是偶函数，故A 正确；()0F x =3有两个实数根2x 或2x =-B 正确；函数()F x 在()2,0-上单调递减，在(2上单调递增，故C 错误；函数()F x 有最大值为0，无最小值，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共4小题.把答案填在题中的横线上. 13. 求值：124log 1616+=______.6利用对数恒等变换及分数指数幂运算得解 解：原式()12224log 44246=+=+=.故答案为：6.掌握对数恒等变换log log n ma a mb b n=是解题关键 14. 若关于x 的不等式220x ax a -+≤的解集为∅，则实数a 的取值范围是______.()0,1等价转换为()22f x x ax a =-+的图象在x 轴上方，计算∆<0，可得结果．详解】解：由题意知，()2240a a ∆=-<，解得01a <<， ∴实数a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1．15. 用二分法计算()3222f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为______. 1.4先由题中参考数据可得根在区间()1.4056,1.4375内，又因为1.4375和1.4056精确到小数点后面一位都是1.4符合要求，即可得到答案.由表格可得：函数()3222f x x x x =+--的零点在()1.4056,1.4375之间又因为题中要求精确到0.1，1.4056和1.4375精确到小数点后面一位都是1.4符合要求. 故答案为：1.4.易错点睛：本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束． 16. log a x 中的x ，a 要分别满足0x >，0a >且1a ≠，小明同学不知道为什么，请你帮他解释为______.设log a x M =，则M a x =，由于0M a >恒成立，则0x >，根据指数函数定义，对于x y a =，则0a >且1a ≠，故对数中0a >且1a ≠ 利用指数式与对数式的互化求解. 设log a x M =，则M a x =， 因为0M a >恒成立，所以0x >，因为指数函数定义，对于x y a =，则0a >且1a ≠，故对数中0a >且1a ≠，故答案为：设log a x M =，则M a x =，由于0M a >恒成立，则0x >，根据指数函数定义，对于x y a =，则0a >且1a ≠，故对数中0a >且1a ≠.四､解答题：共6小题，解答须写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 设函数()f x =M ，不等式2430x x -+>的解集为N . （1）求集合M ，N ； （2）求集合M N ⋂，M N ⋃；（3）写出集合(M N ⋂)与(M N ⋃)的关系.（1）32M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{1N x x =<或}3x >；（2）{}3M N x x ⋂=>，{1M N x x ⋃=<或32x ⎫≥⎬⎭；（3）()()M N M N ⋂⊆⋃.（1）解不等式230x -≥与2430x x -+>即可得结果； （2）根据（1）分别求解交集与并集即可； （3）由（2）知()()M N M N ⋂⊆⋃．解：（1）{}32302M x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，{}{24301N x x x x x =-+>=<或}3x >； （2）{}3M N x x ⋂=>，{1M N x x ⋃=<或32x ⎫≥⎬⎭；（3）由（2）知()()M N M N ⋂⊆⋃． 18. 已知()f x =（1）求证：()f x 在[)0,+∞上是增函数；（2）①,R a b +∈2a b +的大小关系；②证明①的猜想的结论； ③()01x <<的最值. （1）证明见解析；（2）2a b+≥(当且仅当a b =时等号成立)；②证明见解析；③最小值12，无最大值. （1）利用单调性的定义在定义域内设12x x <，通过作差法证明()()12f x f x <即可；（2）①直接试特殊值猜想结论即可；②拆分22222224a b a b a b ++++=，利用222a b ab +≥证明即得()22222044a b a b a b ++++≥>，再开根式即得结论；③先对根式下二次函数配平方，再根据定义域利用二次函数性质得到取值情况，即得结果. 解：（1）证明：设[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()12f x f x -==，∵[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，∴120x x -<0>， 则()()120f x f x -=<，∴()()12f x f x <，则()f x 在[)0,+∞上是增函数；（2）①解：若,R a b +∈2a b+≥(当且仅当a b =时等号成立)； ②证明：∵()()22222222222222220,2,02444a b a b a b a b a b ab a b a b ab a b ab ++++++++=+-≥+≥=≥=>，∴根据函数f (x )2a b +≥=(当且仅当a b =时等号成立)；=∵01x <<，∴21111,2442x ⎛⎫⎡⎫-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 其中12x =时，21124x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值14，无最大值，12，无最大值.方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论.即取值---作差----变形----定号----下结论.19. 若函数()2f x x =-.（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 图象；（2）写出函数()f x 的值域､单调区间；（3）在①125x +，②3x -，③2x +这三个式子中任选出一个使其等于()h x ，求不等式()()f x h x >的解集.（1）图象答案见解析；（2）值域为[)0,+∞，在(),2-∞上为减函数，在[)2,+∞上为增函数；（3）答案见解析.（1）由()2,222,2x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，再作函数的图象如图所示； （2）根据函数的图象写出函数的值域和单调区间；（3）利用零点分类讨论法解不等式得解.解：（1）由()2,222,2x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如图所示；（2）由图象可得函数的值域为[)0,+∞，在(),2-∞上为减函数，在[)2,+∞上为增函数；（3）若选①，则1225x x ->+，即12252x x x ⎧->+⎪⎨⎪≥⎩或12252x x x ⎧-+>+⎪⎨⎪<⎩， 解得5x >或0x <，即不等式的解集为()(),05,-∞⋃+∞，若选②，则23x x ->-，即232x x x ->-⎧⎨≥⎩或232x x x -+>-⎧⎨<⎩， 解得2x ≥或2x <，即不等式的解集为R ，若选③，22x x ->+，即222x x x ->+⎧⎨≥⎩或222x x x -+>+⎧⎨<⎩， 解得2x <，即不等式的解集为(),2-∞.方法点睛：解绝对值不等式，一般利用零点分类讨论法，注意小分类求交，大综合求并. 20. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0e rt y y =，其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年平均增长率. （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末､1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型．(精确到0.0001)（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿？(参考数据：ln67 4.2047=，ln55 4.0073=，ln13 2.5649=，ln6.7 1.9021=，ln5.5 1.7047=)（1）0.02195.5t y e =；（2）大约在1990年我国人口总数达到13亿.（1）由0t =时，0 5.5y =和9t =时， 6.7y =，通过计算即可得人口增长模型0.02195.5t y e =； （2）将13y =代入0.02195.5t y e =，计算整理得39.28t ≈．解：（1）由条件知，研究的是1950年开始的人口变化，即0t =时，0 5.5y =，9t =时， 6.7y =，则96.7 5.5r e =，得ln6.7ln5.59r =+，又ln6.7 1.9021=，ln5.5 1.7047=，∴9 1.9021 1.7047r =-，得0.0219r ≈，∴我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型为0.02195.5t y e =；（2）将13y =代入0.02195.5t y e =，得0.021913 5.5t e =，∴0.0219ln13ln5.5 2.5649 1.70470.8602t =-=-=，得39.28t ≈.故以（1）中的模型作预测，大约在1990年我国人口总数达到13亿．21. 已知定义域为R 的函数21()22x x f x a =-+是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义加以证明；（3）若对任意的x ∈[1,2]，不等式22()(4)0f x mx f x -++>成立，求实数m 的取值范围.（1）a =1；（2）单调递增，证明见解析；（3）m <（1）根据(0)0f =求出a 的值，再验证即得解；（2）利用定义证明函数单调递增；（3）先利用函数的性质得到42m x x<+，再利用对勾函数的性质分析求解. （1）因为函数的定义域为R,所以11(0)0,112f a a =-=∴=+. 经检验当a =1时，有()()f x f x -=-,所以1a =.（2）2+1111111()=1212212221x x x x f x -=---=-+++， 函数在定义域内单调递增，证明如下：设12x x >，所以211211()()2121x x f x f x -=-++122122=(21)(21)x x x x -++， 因为1222x x >，所以12()()f x f x >，所以函数在R 上单调递增.（3）若对任意的x ∈[1,2]，22()(4)f x mx f x ->-+成立，所以22()(4)f x mx f x ->--，所以224x mx x ->--，所以42m x x<+. 所以44222=42x x x x+≥⋅ 当且仅当2x =时取等.所以42m <.本题主要考查函数的奇偶性的应用，考查函数单调性的证明，考查对勾函数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t .（1）求函数()f t 解析式；（2）画出函数()y f t =的图像；（3）当函数()()g t f t at =-有且只有一个零点时，求a 的值.（1）()()223(01)332(12)3(2)t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪>⎪⎪⎩；（2）见解析；（3)见解析. （1）分三种情况讨论，利用分段函数的解析式求解即可；（2）根据（1）中解析式，分段作图即可得到函数()y f t =的图象；（3）根据（1）中分段函数的解析式，分类讨论讨论函数()()g t f t at =-是否有且只有一个零点时，即可筛选出符合条件的a 的值.（1）当01t <≤时，()23f t t = 当12t <≤时，()()23322f t t =-- 当2t >时，()3f t =()()223(01)332(12)3(2)t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪⎪∴=--<≤⎨⎪>⎪⎪⎩， （2）图象如图，（3）当01t <≤时，()230g t at =-= 3t =01,01t <≤∴<≤02a ∴<≤当2a =时，直线y at =过点(,⎛ ⎝⎭，这两点都在f t 的图像上当0a <<时，直线y at =与射线y =当12t <≤时，直线y at = (a >逆时针旋转时与f t 图像有两个交点，相切时有一个交点，且与射线y = .)220t at --=24203t a t ⎛⎫∴--+= ⎪ ⎪⎝⎭ 2480⎛⎫∴∆=-= ⎪ ⎪⎝⎭a ∴=或a =当a =2420t t ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦220t -+=t ∴=(]1,2内当a =t =(]1,2内当0a ≤或a >-y at =与的图像无交点综上，当a =y at =与f t 有一个交点本题主要考查分段函数的解析式、函数的图象以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。

专题01 集合知识点一：相等集合一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B.显然若两个集合相等，则它们的元素完全相同1.（安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高一上学期期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =【答案】B 【分析】根据集合的元素是否相同判断即可． 【详解】解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同， B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数， 故A ，C ，D 都不对． 故选：B ． 2.（多选题）（广东省佛山市南海区第一中学2020-2021学年高一上学期）下列各组中的两个集合相等的有__________.A 、{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈；B 、{}21,P x x n n N *==-∈，{}21,Q x x n n N *==+∈；C 、{}20P x x x =-=，()11,2nQ x x n Z ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【答案】AC 【分析】判断出A 选项中两个集合均为偶数集，可得出结论；分析出B 选项中的集合P 为正奇数集，集合Q 是从3开始的正奇数构成的集合，可得出结论；求出C 选项中的两个集合，可得出结论.【详解】对于A ，集合{}2,P x x n n Z ==∈为偶数集，集合(){}21,Q x x n n Z ==-∈也为偶数集，则P Q =；对于B ，集合{}21,P x x n n N *==-∈为正奇数集，集合{}21,Q x x n n N *==+∈是从3开始的正奇数构成的集合，则P Q ≠；对于C ，{}{}200,1P x x x =-==，对于()()112nx n Z +-=∈，若n 为奇数，则0x =；若n 为偶数，则1x =，即{}0,1Q =.P Q ∴=.故答案为：AC.3.（福建省龙岩市高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试）已知集合{}20,1,A a =，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于 A ．1-或3 B ．0或1- C ．3 D ．1- 【答案】C 【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得a 的值. 【详解】 由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合. 故选：C4.．(多选题)（广东省广州市（广附、广外、铁一）三校2020年高一上学期期中）下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ） A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R} 【答案】ABD 【分析】选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ； 选项C 中，解出集合M 和P .选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合. 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ．5.（山西省太原市2018-2019学年高一上学期期中）已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a ，b 的值． 【详解】解：由已知A B =，得22a ab b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a ⎧=⎨=⎩.（2） 解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性 得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.知识点二：元素与集合关系1、集合中元素的三个特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性2、(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A.(2)“不属于”：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A.1、（福建省莆田第一中学2020-2021学年高一上学期期中）设集合{}22,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为 A ．1- B ．±1 C ．1 D ．0 【答案】A 【详解】2111A x orx ∈∴== ，若211x x =⇒= ，不满足集合元素的互异性， 故21x =， 1.x =- 故结果选A .2.（内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期中）已知集合 {}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，则集合C 中的元素个数为A ．15B ．13C ．11D ．12 【答案】C 【分析】根据题意，确定,x y 的可能取值；再确定z xy =能取的所有值，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且， 所以x 能取的值为1,2,3,4,5；y 能取的值为1,2,3，因此z xy =能取的值为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15，共11个， 所以集合C 中的元素个数为11. 故选C3.（河南省开封市2020-2021学年高一上学期五县联考期中）已知集合{}230A x x ax a =-+≤，若1A -∉，则实数a 的取值范围为______.【答案】14a >-【分析】利用元素与集合的关系知1x =-满足不等式230x ax a -+>，代入计算即得结果. 【详解】若1A -∉，则1x =-不满足不等式230x ax a -+≤，即1x =-满足不等式230x ax a -+>，故代入1x =-，有130++>a a ，得14a >-．故答案为：14a >-．4.（湖北省武汉市问津联盟2020-2021学年高一上学期期中联考）设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）B 是A 的真子集；（2）11{0,,}35.【分析】（1）算出A 、B 后可判断B 是A 真子集. （2）就B φ=、B φ≠分类讨论即可.（1）{}{}3,5,5A B ==，∴B 是A 真子集 （2）当B φ=时，满足B A ⊆，此时0a =；当B φ≠时，集合1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，得13a =或5，解得13a =或15综上，实数a 的取值集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.知识点三：空集的特殊应用(1)空集：只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集． ∅{0}∅{∅}或 ∅∈{∅}1.（ ）A ．{}0B ．{8xx >∣，且}5x < C ．{}210x x ∈-=N∣ D ．{}4x x >【答案】B【分析】根据空集的定义判断． 【详解】A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素． 故选：B ．2.（河北省张家口市崇礼区第一中学2020-2021学年高一上学期期中）下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 【详解】对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.3.（青海省西宁市大通县第一中学2019-2020学年高一上学期期中）关于以下集合关系表示不正确的是（ ） A ．∅∈{∅} B ．∅∈{∅} C ．∅∈N* D ．∅∈N* 【答案】C 【分析】空集是任何集合的子集.根据元素与集合的关系、集合与集合的关系对选项逐一进行判断，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，集合中含有一个元素空集，故空集是这个集合的元素，故A 选项正确. 空集是任何集合的子集，故B,D 两个选项正确.对于C 选项，空集不是正整数集合的元素，C 选项错误.故选C.4.（青海省西宁市海湖中学2020-2021学年高一上学期）下列关系正确的是 A ．{0}∅⊆ B ．{0}∅∈ C ．0∈∅ D ．{0}⊆∅ 【答案】A 【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项A 正确． 【详解】空集是任何集合的子集； {}0∴∅⊆正确 本题正确选项：A知识点四：子集的应用子集有下列两个性质：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A ；②传递性：对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C.1.（吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一上学期）已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1,1}-D ．{【答案】C 【分析】根据子集关系列式可求得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C2.（江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高一上学期期中）满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．16 【答案】A 【分析】根据已知条件可知集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，写出集合A 的所有情况即可求解. 【详解】因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.3.（湖北省孝感市汉川市第二中学2020-2021学年高一上学期期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是 A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋃=C ．M M N ⊆⋂（）D ．()M N N ⋃⊆【答案】ABCD 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆. 故选ABCD.4.（湖南省怀化市洪江市黔阳二中2020-2021学年高一上学期期中）已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，则下列结论正确的是 （ ）A ．U N ∈U PB ．N P ∈N MC ．(U P )∩M =∈D ．(U M )∩N =∈ 【答案】ABC 【分析】由已知条件画出Venn 图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可 【详解】因为集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，所以作出Venn 图，如图所示，由Venn 图，得U N ∈U P ，故A 正确； N P ∈N M ，故B 正确； (U P )∩M =∈，故C 正确； (U M )∩N ≠∈，故D 错误. 故选：ABC知识点五：交集、并集、补集的运算（1）交集的运算性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩B ⊆A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . （2）并集的运算性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ⊆A ∪B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .（3）全集与补集的性质∁U A ⊆U ，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .1.（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高一上学期期中）设集合{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=，则实数a 的值为________. 【答案】0或1 【分析】由于{}3A B ⋂=，所以可得33a +=或213a +=，从而可出a 的值【详解】解：因为{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=所以33a +=或213a +=，所以0a =或经检验，0a =或1a =都满足题目要求，所以0a =或1a =，故答案为：0或1， 2.（浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 【答案】C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．3.（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =-. 故选：A.4.（江西省南昌大学附中2020-2021年高一上学期期中）设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U = B ．()()U U U C A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅ D ．()()U U C A C B U = 【答案】D 【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆， ()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.5.（黑龙江省齐齐哈尔市克东一中、克山一中等五校2019-2020学年高一上学期期中联考）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞ （1）若A B =∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3-；（2）{5|a a -＜或6}a ＞．（1）求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-，或6}x >，由A B =∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A B B ⋃=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】 解：（1）∈集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >，A B =∅，∈236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤∈实数a 的取值范围是[]2,3-（2）A B B A B =∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞． ∈实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >6.（广东省华南师范大学附属中学南海实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}{}121215{}A xx B x x C x x m =-≤≤=≤-≤=>∣，∣，∣ （1）求(),R A B A B ⋃⋂；（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤<，（2）(,3)-∞ 【分析】（1）先求出集合B ，再求B R ，然后求(),R A B A B ⋃⋂， （2）由()A B C ⋃⋂≠∅，可得答案 【详解】 解：（1）由1215x ≤-≤，得13x ≤≤，所以{}13B x x =≤≤， 所以{1R B x x =<或}3x >，因为{}12A x x =-≤≤，所以{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤< （2）因为()A B C ⋃⋂≠∅，{}C x x m =>，{}13A B x x ⋃=-≤≤， 所以3m <，所以实数m 的取值范围为(,3)-∞，1.（江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ≠⊂N B ．N ≠⊂M C ．M ∈N D ．N ∈M 【答案】A 【分析】根据集合,M N 元素的特征确定正确选项. 【详解】对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M ≠⊂N . 故选：A2、（重庆市涪陵高级中学2019-2020学年高一上学期）已知集合{}260A x x x =+-≤，{}212B x m x m =-≤≤+，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．[]()1,03,-+∞ C ．()3,+∞D ．[)1,3-【答案】B 【分析】求出集合A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合条件B A ⊆得出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】{}{}26032A x x x x x =+-≤=-≤≤.当B =∅时，则212m m ->+，得3m >，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则212m m -≤+，得3m ≤，由B A ⊆，得21322m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得10m -≤≤，此时10m -≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是[]()1,03,-+∞.故选：B.3.（广东省佛山市第三中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题）已知集合{}21,A x y x y Z==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．BAD ．A B =∅【答案】C 【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，BA .故选：C.4.（四川省成都市双流区棠湖中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞ 【答案】D 【分析】先根据A B B ⋃=得到A B 、之间的关系，然后利用不等式确定a 的范围. 【详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又因为{}{|20}|2A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞，故选：D.5.（上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期）已知集合{}2263A x k x k =-+<<-，{}B x k x k =-<<，若AB ，则实数k 的取值范围为________.【答案】10,2⎛+ ⎝⎦【分析】由题意知B ≠∅，可得出0k >，分A =∅和A ≠∅，结合条件A B ，列出关于实数k 的不等式组，解出即可. 【详解】AB ，B ∴≠∅，则k k -<，解得0k >.当A =∅时，2326k k -≤-+，即2290k k +-≤，解得11k -≤≤-+，此时01k <≤；当A ≠∅时，2326k k ->-+，即2290k k +->，解得1k <-或1k >-此时1k >.AB ，则2263k k k k -+≥-⎧⎨-≤⎩，即2630k k k ≤⎧⎨--≤⎩，解得1122k +≤≤，1k <≤经检验，当12k +=时，A B ≠.综上所述，实数k 的取值范围是10,2⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦.6.（重庆市第八中学2018-2019学年度高一上学期期中考试）已知集合A={x|x 2-（a -1）x -a＜0，a∈R}，集合B={x|2x 12x+-＜0}．（1）当a=3时，求A∩B ；（2）若A∈B=R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}；（2）()2,+∞.【分析】（1）结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．（2）结合A∈B=R ，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】 解：（1）当a =3时，A ={x |x 2-2x -3＜0}={x |-1＜x ＜3}， B ={x |212x x+-＜0}={x |x ＞2或x ＜-12}． 则A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}．（2）A ={x |x 2-（a -1）x -a ＜0}={x |（x +1）（x -a ）＜0}，B ={x |x ＞2或x ＜-12}． 若A ∈B =R ，则2a >，即实数a 的取值范围是()2,+∞．7.（北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数()f x 的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+(1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围． 【答案】(1)|34x xA;(2){}|3134UAB x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .11 【分析】(1)分母不能为0,偶次方根式的被开方数不能负值.(2)一个集合的补集是在全集而不在这个集合中的元素组成的集合,两个集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合;(3)依题意得B 是A 的子集,即集合B 的元素都在集合A 中,由此确定a 的范围.【详解】解: (1)要使函数()f x 有意义,则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x .所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, ,{}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A ,若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩, 综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤.8.（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）方程ax 2﹣3x +2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a ≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98= ∈a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。

南海一中高一年级学科素养摸底测试数学（满分100分，时间60分钟）班别： 姓名： 学号：一、选择题，每题5分l 、下列计算正确的是（ ）A ．632b b b +=B ．339b b b ⋅=C ．2222a a a +=D ．()336aa = 2、把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+ D ．2(1)3y x =-+ 3、某厂日产手套总成本y （元）与手套日产量x （副）的关系式为54000y x =+，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副4、如图，点P 是菱形ABCD 边上的一动点，它从点A 出发沿A B C D →→→路径匀速运动到点D ，设PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题，57题每题5分，8-11题每题6分5、计算：10120193-⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________． 6、已知23x y =+，则代数式489x y -+的值是____________．7、函数33y x =-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 8、已知集合{|14},{|23}A x x x B x a x a =->=+或，若B A ⊆，求实数a 的取值范围_________．9、已知集合{,,},{,,}B a b c C a b d ==，集合A 满足A B ⊆，A C ⊆，则满足条件的集合A ，请罗列出来_____________．10、下列各组中的两个集合相等的有__________．A 、{|2,},{|2(1),}P x x n n Z Q x x n n Z ==∈==-∈； B 、{}{}**|21,|21,P x x n n NQ x x n n N ==-⋅∈==+∈； C 、{}21(1)|0,|,2nP x x x Q x x n Z ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭． 11、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，下列结论：A ．0abc >；B ．240b ac ->；C ．80a c +<；D ．520a b c ++>．其中正确的结论有___________．三、解答题，12-15题每题4分，16题10分，17题15分12、先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x y ==．13、解不等式组：122(1)4x x ->⎧⎨+>⎩①② 14、因式分解22524a ab b --15、已知集合{}2{||1A x y B y y x ====+，则A B ⋂【10分】16、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(1,4)-，点B 的坐标为(4,)n ．（1）根据图象，直接写出满足2k kx b x+>的x 的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S =，求点P 的坐标．【15分】17、如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m=+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。