高中数学一轮复习微专题第⑧季解三角形：第8节 高度问题

第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8AB C =，则B ∠的大小是______________. 3．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB4．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====．（2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状．分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，π2331+化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝23，∠MAG ＝6π，由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216． 点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，（2）解：AC，2sin 2βαββ∴===.(0,)2πβ∈，sin 2β∴=，3πβ∴=. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值.【反馈演练】 1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ．7． ABC ∆的三个内角为A B C 、、，则cos 2cos2B CA ++的最大值为 ． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____．9．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形；②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；BDCαβ A例433- 3425(,)3+∞ 32③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形． 其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=．（Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===，2217cos 22cos 12()1525B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=．sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=+⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值 12．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 所以，最小边BC =。

第８课 解三角形【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝.2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC△中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = ．4．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ． 6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b【范例解析】例1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3cos 4A =． （1）求ca的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====． （2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 24A =≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+，3π 2233化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =， 即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac+-+-=，整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点， 线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）． （1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数； （2）求221211y S S =+的最大值与最小值． 分析：利用正弦定理建立目标函数． 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心， 所以AG ＝2323⨯＝，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6πα＝（＋） 则S 1＝12GM ∙GA ∙sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα） 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值．AB CNMGαD例3例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=（2）解：AC，2sin βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a=，则c o s B =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范围 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 7． ABC ∆的三个内角为ABC 、、，则cos 2cos 2B CA ++的最大值为． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sin sin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ； ④ C B A 222sin cos cos =+．其中正确的序号有______②④_____． 9．如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，给出下列结论：①111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形； ②111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形；③111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形； ④111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形．BDCαβ A例433- 34 25(,)3+∞ 332其中，正确结论的序号有____④_____． 10．在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sinB 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3sin 5A ===，由正弦定理，sin sin BC AC A B =．所以232sin sin 355AC B A BC ==⨯=． （Ⅱ）因为4cos 5A =-，所以角A 为钝角，从而角B 为锐角，于是cos 5B ===2217cos 22cos 12125B B =-=⨯-=，2sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭171252=⨯= 11．在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ∆的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<<⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭5x xππππ⎛⎫⎫=++<+<⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当xππ+=62，即xπ=3时，y取得最大值12．在ABC∆中，1tan4A=，3tan5B=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若ABC∆解：（Ⅰ）π()C A B=-+，1345tan tan()113145C A B+∴=-+=-=--⨯．又0πC<<，3π4C∴=．（Ⅱ）34C=π，AB∴边最大，即AB=．又tan tan0A B A Bπ⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A最小，BC边为最小边．由22sin1tancos4sin cos1AAAA A⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π2A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin17A=．由sin sinAB BCC A=得：sin2sinABC ABC==所以，最小边BC．。

第8章 第8讲一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高( )A ．20(1＋33) m B ．20(1＋32) m C ．20(1＋3) mD ．30 m[解析] 如图：h ＝20tan30°＋20tan45°＝20(1＋33)(m)，故选A.[答案] A2．已知两座灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°[解析] 如图，∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B. [答案] B3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处则这船航行的速度为( )A.1762海里/小时B ．346海里/小时C.1722海里/小时D ．342海里/小时[解析] 设船航行的速度为x 海里/小时，则MN ＝4x ，在△PMN 中PM ＝68，∠MPN ＝75°＋45°＝120°.∠PNM ＝45°，由正弦定理可得MN sin120°＝MP sin45° ∴MN ＝68·sin120°sin45°＝346(海里)∴x ＝MN 4＝1726(海里/小时)，故选C.[答案] C4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m[解析] 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得 cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32∴2θ＝30°，4θ＝60°在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ＝2003×32＝300 m 故选B. [答案] B5．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )A.4003m B.40033mC.20033 mD.2003m [解析] 设塔高为h ，则依题意，∠ADB ＝60°， ∠CAD ＝∠CDA ＝30°.在△ACD 中，(200sin60°)2＝h 2＋h 2－2h 2cos120°，∴h ＝4003(m)．[答案] A6．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507 min B.157 min C ．21.5 minD ．2.15 min[解析] t h 后，甲乙两船的距离为s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos120° ＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514 h ＝514×60＝1507 min 时，甲乙两船的距离最近．[答案] A 二、填空题7．在△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系式为S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 为________．[解析] S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝14×2ab cos C ＝12ab cos C又∵S ＝12ab sin C∴12ab sin C ＝12ab cos C ，∴tan C ＝1 ∴∠C ＝π4.[答案] π48．一船以32 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 望见航标灯M 在船的北偏东30°方向上，15分钟后到点B 望见航标灯M 在船的北偏东60°方向上，则船在点B 时与航标灯M 的距离是________km.[解析] 在△ABM 中，∠BAM ＝∠AMB ＝30° ∴BM ＝AB ＝32×14＝8(km)．[答案] 89．从某电视塔的正东方向A 处，测得塔顶仰角是60°，从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角是45°，A 、B 间距离是35 m ，则电视塔的高度是________m.[解析] 如图，CO ⊥平面OAB ，设塔高为h ，则 在Rt △BOC 中，OB ＝h /tan45°＝h在Rt △AOC 中，OA ＝h /tan60°＝33h 在△AOB 中，∠AOB ＝150° AB ＝35由余弦定理可得AB 2＝OB 2＋OA 2－2OA ·OB ·cos150° 即352＝h 2＋13h 2－2·h ·33·h ·(－32)解得h ＝521. [答案] 52110．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为________km.[解析] AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．[答案] 107 三、解答题11．(2007·山东卷)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？[解] 如题图，连结A 1B 1，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得 B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝30 2.答：乙船每小时航行302海里．12．(2010·陕西，17)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？[解] 由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DBsin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时．亲爱的同学请写上你的学习心得。

高三数学第八章知识点总结在高三数学学习中，第八章的内容涉及到一些重要的知识点，如三角函数、向量、指数函数等。

这些知识点在学生的数学基础中扮演着重要的角色。

在这篇文章中，我们将对这些知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握。

一、三角函数1. sin、cos和tan的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）这三个函数都是通过三角形中某个角的边长比例来定义的。

其中，sin A = a / c，cos A = b / c，tan A = a / b。

这些函数可以帮助我们计算角度的大小，解决相关的几何和物理问题。

2. 三角函数的基本关系三角函数之间存在着一系列的基本关系，如sin^2 A + cos^2 A = 1，1 + tan^2 A = sec^2 A等。

这些关系式可以帮助我们化简复杂的三角函数表达式，简化运算。

3. 三角函数的图像和性质通过绘制三角函数的图像，我们可以观察到它们的周期性、对称性和振幅等性质。

同时，这些图像可以带给我们直观的感受，帮助我们更好地理解三角函数的行为和性质。

二、向量1. 向量的定义和表示向量是由大小（模长）和方向（方向角）组成的量。

我们可以用箭头来表示一个向量，并且箭头的长度代表向量的大小和模长。

向量的方向可以用角度来表示，也可以用坐标系中的坐标来表示。

2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积等。

向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

向量减法是将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。

数量积是两个向量的数量相乘再求和，得到一个标量。

向量积是两个向量的数量相乘再求和，得到一个新的向量。

3. 向量的应用向量在几何和物理中有广泛的应用。

例如，在平面几何中，我们可以用向量来表示线段的方向和长度。

在力学中，向量可以用来表示力的大小和方向，帮助我们解决相关的问题。

三、指数函数1. 指数函数的定义指数函数是以某个固定的正数为底数，变量为指数的函数。

第八章 解三角形1.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论：若已知a 、b 、A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa.若sin B >1，无解；若sin B ＝1，一解；若sin B <1，两解.(2)利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A .由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0，这是关于c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解. 2.三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a2R(R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断. 3.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值.解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，0°<A <180°.因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B . 由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B＝sin120°cos B －cos120°sin B sin B＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12. 跟踪演练1 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度.解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.题型二 与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ； (2)求a ，b 的值.解 (1)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ， ∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝cos B sin C ， 即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A .∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos π3)，∴72＝(a ＋b )2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12.∴a ＋b ＝13.②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB2＝255，求△ABC 的面积S .解 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，所以sin B ＝45. 所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－B＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107， 所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.题型三 正弦、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.例3 如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8s 后监测点A,20s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离PD (精确到0.01km).解 (1)由题意PA －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km). ∴PB ＝(x －12)(km)，PC ＝(18＋x )(km). 在△PAB 中，AB ＝20km ，cos∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x.同理cos∠PAC ＝72－x3x .∵cos∠PAB ＝cos∠PAC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327(km).(2)在Rt△PDA 中，PD ＝PA cos∠APD ＝PA cos∠PAB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km).所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71km.跟踪演练3 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时.①当0≤t <2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP ·AQ cos120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100. ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16.③当t >2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos60° ＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0). 当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小.答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近.题型四 函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁.本章在利用正弦、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想.例4 在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长. 解 由正弦定理得a sin A ＝csin C ，∵A ＝2C ，∴a sin2C ＝csin C ，∴a ＝2c cos C .又∵a ＋c ＝8，∴cos C ＝8－c2c，①由余弦定理及a ＋c ＝8，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a ＝(8－c )2＋42－c 28(8－c )＝10－2c8－c.②由①②知8－c 2c ＝10－2c 8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍去).∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.跟踪演练4 已知函数f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值. 解 (1)∵f (x )＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2， 最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B 等价于a >b 等价于sin A >sin B .2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.。

第8节高度测量问题【基础知识】正弦定理和余弦定理仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角．【规律技巧】求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【典例讲解】例1、在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A．2.7 m B．17.3 mC．37.3 m D．373 m【答案】C【变式探究】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．【解析】在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 【答案】10 6【针对训练】1、某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340米/秒)【答案】14032、要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．【答案】B3、如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC 的长；(2)若l ＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD 的高度．【答案】（1）sin sin()l BC αβα=-；（2）2483CD =-.【练习巩固】1、如图所示，已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树________米时，看A ，B 的视角最大．【答案】62、如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD .【答案】cos sin sin()h αβαβ- 3、如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得,,BCD BDC CD s αβ∠=∠==，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .【答案】•s tan sin sin θβαβ（＋）【解析】在BCD ∆中，CBD παβ∠=--，由正弦定理得BC CD sin BDC sin CBD ∠∠＝，所以••CD sin BDC s sin BC sin CBD sin βαβ∠=∠＝（＋）. 在Rt ABC ∆中，•tan s tan sin AB BC ACB sin θβαβ=∠=（＋）. 4、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．【答案】tan sintansin()sAB BC ACBθβαβ⋅=∠=+5、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30o的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75o的方向上，仰角为30o，则此山的高度CD=m.【答案】6100。

考向22 解三角形【2022·全国·高考真题（理）】记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．【2022·全国·高考真题】记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．解答三角高考题的策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化．两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 sin a b A =sin b A a b <<a b ≥a b >a b ≤解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sin x 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有,,a b c 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有cos x 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A B C π++=．1．基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+-；2222cosB b c a ac =+-； 2222cosC c a b ab =+-．常见变形（1）2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =；（2）sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR =；222cosA 2b c a bc +-=； 222cosB 2c a b ac +-=； 222cosC 2a b c ab+-=．111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r ．） 2．相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理：A B C π++=①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+． ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B -=+=-； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+-=+=-⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=． 3．实际应用 （1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． ②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i 为坡度）．坡度又称为坡比．1．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b kab +=，则△ABC 的面积为22c 时，k 的最大值是（ ）A ．2B ．5C ．4D ．252．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2a =，222sin 3sin 2sin A B a C +=，则cos C 的最小值为______．4．（2022·上海·位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点、、A B C 处各有一个水声监测点，B C 、两点到点A 的距离分别为 20 千米和 50 千米．某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A C 、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒．（1）设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B C 、到P 的距离，并求x 的值； （2）求静止目标P 到海防警戒线AC 的距离．（结果精确到 0.01 千米）．5．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <． （1）求角B ；（2）若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+． （1）求角A 的大小；（2）若23a =，6b c +=，求ABC 的面积．7．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，6AB AC ⋅=，向量()cos ,sin s A A =与向量()4,3t =-互相垂直． （1）求ABC 的面积； （2）若7b c +=，求a 的值．1．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，30,2,1B a b ===，则A 等于（ ）A ．45B ．135C ．45或135D ．1202．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））ABC 中，若5,6AB AC BC ===，点E 满足21155CE CA CB =+，直线CE 与直线AB 相交于点D ，则CD 的长（ ） A 810B 15C 10D 303．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222a b c bc -=且cos sin =b C a B ，则ABC 是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形4．（2022·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为 （ ）A ．6B ．406C ．20(13)+海里D ．40海里5．（多选题）（2022·福建·福州三中高三阶段练习）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,sin 2sin a B C ==，以下四个命题中正确的是（ ） A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．M 是BC 中点，MA MB ⋅的最大值为3D ．当2A C =时，ABC 236．（多选题）（2022·广东·华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面圆直径为3A ，B ，C 为底面圆周上的三个不同的动点，M 为母线PC 上一点，则下列说法正确的是（ ）A ．当A ，B 为底面圆直径的两个端点时，120APB ∠=︒ B ．△P AB 3C ．当△P AB 面积最大值时，三棱锥C -P AB 62+D ．当AB 为直径且C 为弧AB 的中点时，MA MB +157．（多选题）（2022·河北·沧县中学模拟预测）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（ ） A ．222<+a b ab B ．22++>ab a b C ．224++≥a b cD ．22++≤a b c 8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，O 为其外心，220OA OB OC ++=，若2BC =，则OA =________．9．（2022·河北·高三期中）已知ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b cp ++=，则ABC 的面积()()()S p p a p b p c =---，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若ABC 的周长为15，()()()sin sin :sin sin :sin sin 4:6:5A B B C C A +++=，则ABC 的面积为___________________．10．（2022·全国·高三专题练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2224a b c +=，则tan B 的最大值为______．11．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁()A 和临秀亭()B 两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A 、B 两地之间的距离，某同学任意选定了与A 、B 不共线的C 处，构成ABC ，以下是测量数据的不同方案： ①测量A ∠、AC 、BC ； ②测量A ∠、B 、BC ； ③测量C ∠、AC 、BC ； ④测量A ∠、C ∠、B ．其中一定能唯一确定A 、B 两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD 中，已知BC ＝2，3cos 5BCD ∠=-.(1)若45CBD ∠=︒，求BD 的长； (2)若5cos ACD ∠=AB ＝4，求AC 的长.13．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)2223S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若22a b c =，求sin C ．14．（2022·上海浦东新·二模）已知函数()()sin cos f x t x x t R =-∈ (1)若函数()f x 为偶函数，求实数t 的值；(2)当3t =时，在ABC 中（,,A B C 所对的边分别为a 、b 、c ），若()223f A c ==，，且ABC 的面积为23a 的值．15．（2022·全国·高三专题练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值．16．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B =，求ABC 面积的最大值．17．（2022·上海金山·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2sin 30b A a -=，且B 为锐角.(1)求角B 的大小；(2)若333c a b =+，证明：ABC 是直角三角形.18．（2022·湖南·湘潭一中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a c A c a C b B -+-=． (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 周长的取值范围．19．（2022·上海黄浦·二模）某公园要建造如图所示的绿地OABC ，OA 、OC 为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏AB 与BC 的总长度为12米，且BAO BCO ∠=∠．设BAO α∠=（02πα<<）．(1)当4AB =，3πα=时，求AC 的长；（结果精确到0.1米）(2)当6AB =时，求OABC 面积S 的最大值及此时α的值．20．（2022·上海虹口·二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若437AD =，337AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积； (2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？1．（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距2．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1B 2C 5D ．33．（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，3AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2a b c ===，则该三角形的面积S =___________．5．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________． 6．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 7．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，360B =︒，223a c ac +=，则b =________．8．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．9．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++． (1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c +的最小值．10．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．11．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为63ABC 的周长．12．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin A C =b ．13．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+14．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）15．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 22A B C =2b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．17．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3318．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=. （1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。

1.2解三角形知识点一测量仰角(或俯角)求高度问题思考如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D 间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)知识点二测量方位角求高度思考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?类型一测量仰角(或俯角)求高度问题命题角度1仰角例1如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10 m B．5 3 m C．5(3－1) m D．5(3＋1) m跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m．(精确到1 m)命题角度2俯角例2如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)跟踪训练2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____ m.类型二测量方位角求高度问题例3如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10 m B．10 2 m C．10 3 m D．10 6 m课堂练习：1．一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m ．(精确到0.1 m)2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．课时作业一、选择题1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33 m B ．201＋32 m C ．20(1＋3) m D ．30 m 2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 3 m3．已知两座灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米 D ．22h 米5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15 m B．5 m C．10 m D．12 m6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是() A．100 2 m B．400 m C．200 3 m D．500 m二、填空题7.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB＝29 mm，则∠ACB＝________.8. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________米．9．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.若AB＝BD，则B、D间的距离为________km.。